Гидродинамические флуктуации и диссипативные структуры в нематических жидких кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Общая характеристика работы

Введение.

ГЛАВА 1, Построение обобщенного термодинамического потенциала с помощью теории возмущений

1.1 Линеаризованные уравнения нематодинамики.

1.2 Дисперсионные соотношения в отсутствие внешнего поля.

1.3 Дисперсионные соотношения в электрическом поле

1.4 Построение обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение нематика вдали от термодинамического равновесия.

1.5 Уравнение Ланжевена для комплексной амплитуды

1.6 Уравнение Фоккера-Планка.

1.7 Анализ устойчивости решений

Выводы.

ГЛАВА 2. Образование сверхструктур в системе доменов

Вильямса

2.1 Несоизмеримые структуры. Стационарные солитоны

2.2 Стационарное уравнение вт-Гордона.

2.3 Условия образования двумерных диссипативных структур

2.4 Появление периодических разрывов в роллах.

Выводы.

ГЛАВА 3. Теоретико-групповой подход к проблеме НЖК во внешних электрических полях

3.1 Некоторые сведения о групповом анализе дифференциальных уравнений.

3.2 Групповой анализ и групповая классификация уравнения движения медленной амплитуды.

3.3 Предварительный групповой анализ уравнений нема-тодинамики в постоянном электрическом поле.

Выводы.

ГЛАВА 4. Построение обобщенного термодинамического потенциала групповым методом

4.1 Построение функционала, описывающего электрогидродинамическую неустойчивость нематического жидкого кристалла в постоянном электрическом поле

4.2 Построение функционала для диэлектрического режима электрогидродинамической нестабильности нема-тика.

Выводы.

ГЛАВА 5. Обобщенный термодинамический потенциал в задаче Рэлея-Бенара для планарного нематического жидкого кристалла

5.1 Флуктуации основных гидродинамических переменных в нематике вблизи порога термоконвективной неустойчивости

5.2 Вывод обобщенного термодинамического потенциала для нематика в поле градиента температур.

Выводы.

ГЛАВА 6. Гидродинамические флуктуации параметра порядка

6.1 Пространственные корреляционные функции скорости и температуры нематической мезофазы. Одномерный случай.

6.2 Квазилинейные приближения в режимах теплопроводности и термоконвекции.

6.3 Временные корреляционные функции параметра порядка в планарных нематиках.

6.4 Гидродинамические флуктуации параметра порядка. Двумерный случай. Режимы теплопроводности и термоконвекции

Выводы.

Актуальность темы. Использование жидких кристаллов (ЖК) в современной технике отображения информации, интенсивное внедрение их в компьютерную технологию, расширяющееся применение в различных областях науки, техники и медицины требует всестороннего исследования физических свойств жидких кристаллов. С другой стороны, жидкие кристаллы являются прекрасным модельным объектом для изучения нелинейных диссипативных структур, возникающих во многих открытых физических системах, находящихся вдали от термодинамического равновесия. Возникающие неравновесные структуры в жидкокристаллической мезофазе очень хорошо визуализуются, причем условия проведения экспериментальных исследований весьма "мягкие": комнатные температуры, сравнительно небольшие внешние поля, широкий диапазон изменения состояния жидкого кристалла. Указанные свойства ЖК позволяют, при изменении внешних параметров, воздействующих на систему, проследить за возникновением и развитием в ней макронеоднородностей (включая и потокового типа).

Появляются богатые возможности для сравнения теоретической и экспериментальной картин развития нелинейных структур. В жидких кристаллах, в отличие от обычных жидкостей, имеется ориен-тационная степень свободы, которая обуславливает их уникальные свойства, связанные с высокой чувствительностью пространственного распределения молекул к воздействию электрических, магнитных полей, упругих напряжений, вязких течений, градиента температур, концентрации смесей или зарядов.

Отметим также, что для науки явление возникновения порядка из хаоса интересно само по себе. В теоретической физике, например, до конца не исследован механизм образования и развития нелинейных структур потокового типа, наблюдаемых в открытых системах вдали от термодинамического равновесия. А изучение подобных эффектов в жидких кристаллах позволяет, в силу указанных выше причин, проследить наиболее полно все стадии образования и развития диссипативных структур.

Важно, что эти структуры нашли свое практическое применение. В качестве одного из примеров такого использования являются полупроводниковые диоды Ганна.

Таким образом из вышесказанного следует, что диссипативные структуры интересны для науки и перспективны для практики.

Однако облегченные условия для экспериментального наблюдения, возникающих выше порога неустойчивостей, диссипативных структур в жидких кристаллах отнюдь не является таковыми для развития самой теории. Например, даже нематический жидкий кристалл (НЖК), который по своей структуре несколько проще чем смектик или холестерик, во внешнем поле (электрическом или тепловом) описывается довольно сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. А в случае приложенного дополнительного периодического электрического поля к основному и при определенных соотношениях между величинами этих полей, возникающие домены Капустина-Вильямса становятся неодномерными. Параметром порядка в появляющейся картине упорядоченных структур выступает многомерный вектор. Это предъявляет к используемой теории определенные требования и вызывает необходимость, кроме исследования самой физики явления, развивать и совершенствовать метод теоретического описания нелинейных диссипативных структур.

Анализ экспериментальных работ [199, 200] по исследованию влияния дополнительного модулированного электрического поля на основе прежних теорий, исходящих только из рассмотрения свободной энергии искажения нематического жидкого кристалла без учета макропотоков и соответствующих периодических граничных условий, оказался недостаточным и неполным. Не был ясен механизм образования регулярных разрывов в системе доменов Капустина-Вильямса при наличии периодического электрического поля вдоль невозмущенного направления директора.

Всем сказанным выше и определяется актуальность темы диссертационной работы.

Целью работы являляется теоретическое исследование стационарных нелинейных диссипативных структур, возникающих в тонких пленках нематического жидкого кристалла, гидродинамических флук-туаций вблизи порогов неустойчивостей, а также разработка адекватного математического аппарата, на языке которого возможно было бы единым образом описывать поведение этих структур. Научная новизна и практическая ценность диссертации

В работе получены следующие основные оригинальные научные результаты:

1. С помощью построенного в работе обобщенного термодинамического потенциала (ОТП), аналога свободной энергии, описывающего поведение нематика вдали от термодинамического равновесия, найдены условия образования и области устойчивости доменов Ка-пустина-Вильямса. Найдено уравнение движения для комплексной амплитуды, через которую выражаются все гидродинамические переменные рассматриваемой системы. Определены пороги устойчивости диссипативных структур, условия образования геликоидально закрученных доменных структур, получены критерии образования разрывов в них.

2. В задаче электрогидродинамической нестабильности и в проблеме Рэлея-Бенара в нематическом жидком кристалле, найдены три типа мод, одна из которых представляет собой "мягкую" моду и при приближении значения электрического поля к критическому (снизу) переходит в нулевую и нарушает механическую устойчивость системы. При этом другие моды остаются затухающими.

3. Предложена теоретическая модель образования и развития двумерных диссипативных структур за порогом электроконвективной неустойчивости при наличии дополнительного модулирующего электрического поля, которая позволяет адекватно объяснить наблюдаемую экспериментально картину образования неодномерных структур [199].

4. Исходя из свойств симметрии системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение нематика во внешнем электрическом поле, найдена группа Ли уравнения Эйлера, соответствующего функционала, играющего в рассматриваемой задаче роль обобщенного термодинамического потенциала, а также генератор точечных преобразований.

Для планарного слоя нематического жидкого кристалла в постоянном электрическом поле для режима проводимости построен обобщенный термодинамический потенциал, минимум которого реализует наиболее вероятные диссипативные структуры.

5. Проведена групповая классификация уравнений нематодинами-ки в постоянном электрическом поле и определены существенные константы. Выделены физические случаи, вытекающие из анализа системы уравнений, описывающей поведение нематика во внешнем электрическом поле, и получены определяющие уравнения для вычисления полной группы точечных преобразований, допускаемой исходной системой уравнений нематодинамики.

6. На основе теоретико-групповых представлений, исходя из инерционного механизма возникновения высокочастотной электрогидродинамической неустойчивости, найден обобщенный термодинамический потенциал, описывающий поведение нематического жидкого кристалла в диэлектрическом режиме, показана возможность образования структур в этом электрическом поле.

7. Построен обобщенный термодинамический потенциал для для нематического жидкого кристалла в поле градиента температур, в рамках теории возмущений вблизи критической точки Рэлея-Бенара, с учетом соответствующих скейлинговых преобразований пространственных переменных и времени. Рассчитаны одно- и двумерные гидродинамические флуктуации в планарном слое нематического жидкого кристалла. Получены временные, пространственные корреляционные функции флуктуаций амплитуды параметра порядка в окрестности критической точки.

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при исследовании НЖК в других полях (магнитных, сдвиговых, давлений), при изучении биологических объектов, обладающих жидкокристаллическим упорядочением. При интерпретации экспериментальных данных, полученных при исследовании жидких кристаллов во внешних электрических, магнитных, сдвиговых и тепловых полях, могут оказаться полезными предсказания и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

С другой стороны, развиваемый аппарат, использующий группы и алгебры Ли, может быть применен для дальнейших теоретических исследований смектических, холестерических и лиотропных жидких кристаллов, помещенных во внешние поля, а также в решении вопросов неустойчивостей в жидкости, плазме и твердом теле. На защиту выносятся следующие положения.

- предлагаются два метода построения обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение нематического жидкого кристалла вдали от термодинамического равновесия. Первый из них использует теорию возмущений, другой - теоретико-групповой подход, который позволяет выписать дифференциальные инварианты и по ним восстановить искомый функционал;

- решение задачи о гидродинамических флуктуациях в планарно ориентированном нематическом жидком кристалле в окрестностях пороговых значений внешних полей;

- решение нелинейной задачи, объясняющей экспериментально наблюдаемые несоизмеримые диссипативные структуры, солитоны и периодические разрывы в системе роллов в нематической мезофазе при электрогидродинамической нестабильности.

Апробация работы. Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на V конференции социалистических стран по жидким кристаллам (Одесса, 1983), на V (Ленинград, 1987) и VI (Баку, 1988) Всесоюзных и IX (Самара, 1993) Российском коллоквиумах по современному групповому анализу, на конференции молодых ученых Башкирского филиала АН СССР (Уфа, 1987), на Междунарной научной конференции «Nonlinear turbulent processes in Physics», (Киев, 1989), на Европейской конференции «International European Conference Liquid Crystal» (Valley d'Aosta, Italy, 1990), на XV Международной конференции по жидким кристаллам

- «ILCC'94» (Budapest, 1994), на X конференции Европейского физического общества (Sevilla, 1996), на XVI Международной конференции по жидким кристаллам - «ILCC'98» (Kent, USA, 1997), на Всероссийском семинаре «Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении» (Москва, 1997), на Международной конференции «International Conférence on Optical Technology in Fluid, Thermal Science, Engineering & Instrumentation» (San-Diego, USA, 1997), на Международной конференции «Liquid Crystals Science & Technology» - «ECLC'97» (Zakopane, Poland, 1997), на 10-й Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-10'98» (Казань, 1998), на XIII сессии Жидкокристаллического Общества «Содружество» (Уфа, 1998), на XVII Международной конференции по жидким кристаллам - «ILCC'98» (Strasbourg-Cedex, France, 1998), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1997), на Всероссийской конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, 1997), на Международной конференции «Patterns, nonlinear dynamics and stochastic behavior in spatially extended complex systems» (Budapest, Hungary, 1997), на научном семинаре Института прикладной математики имени М.В. Келдыша (Москва, 1988), на научном семинаре кафедры теоретической физики Киевского государственного университета (Киев, 1989), на научных семинарах отдела теоретической физики Института физики АН УССР, (Киев, 1980 - 1989 г.г.), на ежегодных научных конференциях Башгосуниверситета по научно-техническим программам Минобразования России (Уфа, 1995 -1997), на семинарах лаборатории теоретической физики Института физики молекул и кристаллов Уфимского научного центра РАН (Уфа,

Введение

За последнее десятилетие нелинейные диссипативные структуры все больше привлекают к себе внимание. Это обусловлено тем, что, во-первых, для науки явление возникновения порядка из хаоса интересно само по себе, во-вторых, сами диссипативные структуры, представляющие собой самоорганизующиеся (когерентные) физические системы с меньшей пространственной симметрией, чем исходные, могут служить удобным методом исследования тех нелинейных механизмов, которые ответственны за возникновение данных структур, поскольку именно в этих явлениях нелинейные механизмы проявляются наиболее рельефно. Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны давно. Это неустойчивость Рэлея - Бенара в жидкости [160], процесс лазерной генерации [163], эффект Ганна в некоторых типах полупроводников, химические реакции Белоусова-Жаботинского [32]. Более того, нелинейные эффекты, возникающие в открытых системах вдали от термодинамического равновесия могут быть весьма эффективно использованы и на практике. В качестве яркого примера следует отметить создание диодов Ганна, нашедших широкое применение в качестве генераторов сверхвысоких частот (частота колебаний / ~ (1,.,5) х Ю10 Герц). Хорошо известно, что схемы современного усилителя обязательно включают в себя сравнительно маломощный, но очень стабильный и малошумящий генератор (гетеродин). Здесь ганновские диоды незаменимы и успешно работают во многих радиолокационных устройствах, в спутниковых антенных усилителях. [25]. Эффект Ганна лежащий в основе одноименных диодов - это чисто диссипа-тивное явление, возникающее в некоторых полупроводниках в основном с электронной проводимостью (арсенид галлия СаАв, антимо-нид индия 1п8Ь, антимонид мышьяка 1пАв, германий Се, подвергнутый сжатию, кремний 81, охлажденный до низких температур и другие), к которым приложено внешнее постоянное электрическое поле. Пока значение поля ниже некоторого критического Екр внутри полупроводника распределение электрического поля равномерное. Но как только оно становится больше Екр происходит резкое разбиение однородного поля внутри образца на неоднородные участки -на домены.

В полупроводнике возникает, перемещается и исчезает область сильного электрического поля, называемого электрическим доменом или доменом Ганна. Обычно домен возникает вблизи катода и, дойдя до анода исчезает. По мере его исчезновения падение напряжения на домене уменьшается, а на остальной части образца соответственно возрастает. По мере приближения этого поля к критическому Екр плотность тока ] приближается к своему критическому значению. Когда поле вне домена становится больше Екр у катода начинает формироваться новый домен, ток падает и процесс повторяется. Говоря другими словами эффект Ганна - это генерация высокочастотных колебаний электрического тока в полупроводниках с N - образной объемной вольтамперной характеристикой (зависимости плотности тока ] от напряженности электрического поля Е). Генерация возникает, если постоянное напряжение С/, приложенное к образцу длиной Ь, таково, что среднее электрическое поле в образце Е = и/Ь соответствует падающему участку вольтамперной характеристики, на котором дифференциальное сопротивление ¿Е/¿2 отрицательно. Колебания тока имеют вид периодически последовательных импульсов. Здесь прослеживается яркая аналогия с электрогидродинамической неустойчивостью в жидких кристаллах, когда появление периодических доменов связано также с наличием внешнего поля, значение которого больше некоторого критического значения для рассматриваемого образца и, вследствие того, что система открыта происходит подвод и диссипация энергии. Все сказанное в полной мере можно отнести и к образованию гексагональных решеток в жидкости при превышении критического значения градиента температур.

Те же механизмы лежат и в основе работы лазера. Лазер непрерывного действия представляет собой сильно неравновесную открытую систему, образованную активными атомами и модами электромагнитного поля в резонаторе. Эта система выводится из равновесия благодаря постоянному притоку энергии от внешнего некогерентного источника оптической накачки. Поступающая энергия не накапливается в лазерной системе, а непрерывно покидает ее в форме электромагнитного излучения и потока тепла. Когда интенсивность накачки мала, генерируемое лазером излучение состоит из случайных, не сфазированных между собой цугов волн. Если однако повышать мощность накачки, то после достижения некоторого порога лазерное излучение становится когерентным, то есть начинает представлять собой как бы один гигантский волновой цуг, где фазы волны жестко скоррелированы на макроскопических расстояниях. Переход к когерентной генерации, сопровождающийся установлением порядка в лазерной системе, можно интерпретировать как эффект самоорганизации.

Отметим также и реакцию Белоусова-Жаботинского [4, 32], случайно открытую Белоусовым в 1958 году и исследованную Жаботин-ским, а затем и другими. Можно отметить, что и здесь наблюдается яркий эффект кооперативных явлений. В этой реакции органическое вещество, например малоновая кислота, (СООН — СН2 — СООН), окисляется ионами бромата натрия ^аВгОз) в присутствии каталитической пары (С3+/С4+.) В реакционной системе возникают самоподдерживающиеся колебания которые выражаются в том, что эта химическая система периодически изменяет цвет переходя от ярко красного (основное состояние) к голубому.

Из этих далеко не полных примеров видна общая особенность эффектов самоорганизации. Они наблюдаются в открытых системах потокового типа, связанных по меньшей мере с двумя внешними системами, не находящимися в равновесии друг с другом. Незатухающие потоки энергии или вещества поддерживают систему в состоянии, далеком от теплового равновесия. Рост устанавливающейся упорядоченности в таких системах происходит с повышением степени неравновесности, при увеличении потока энергии и (или) вещества, проходящего через систему [88].

В плане изучения диссипативных структур, возникающих во многих открытых физических системах, особенно привлекательными представляются жидкие кристаллы. Это связано с тем, что подобные структуры в ориентированных ЖК легко визуализуются вследствие возникающего пространственно - периодического распределения директора. Если учесть к тому же, что условия проведения эксперимента весьма мягкие: комнатные температуры, слабые электрические поля, обычные атмосферные давления, то становится понятным, что ЖК являются прекрасным материалом в исследовании нелинейных диссипативных структур. Причем жидкие кристаллы позволяют легко проследить все стадии образования диссипативных структур от их зарождения до полного исчезновения при изменении внешних условий. Появляются богатые возможности для сравнения теоретической и экспериментальной картин развития этих структур.

Изучение электрогидродинамики жидких кристаллов, безусловно, представляет большие преимущества по сравнению с обычной жидкостью. Здесь и временные (пространственные) масштабы более предпочтительны для экспериментальных исследований чем в изотропных жидкостях, например в конвекции Рэлея-Бенара. Отсутствие вращательной симметрии в плоскости также упрощает изучение больших систем, которые, в некоторых случаях хорошо описываются в одномерным приближении. А большой выбор физически при-емлимых контролирующих параметров (электрические напряжения, частоты, магнитные, сдвиговые поля) позволяет получить огромное разнообразие сценариев нелинейного поведения жидких кристаллов при их изменениях.

Конечно есть и недостатки в изучении жидких кристаллов: уравнения, описывающие их динамику чрезвычайно сложны, в них входит большое количество материальных параметров среды, которые, к сожалению, не всегда точно известны (их значения иногда приходится находить из косвенных измерений), сами параметры в зависимости от внешних условий могут изменяться. Поэтому полного теоретического описания процессов происходящих в жидких кристаллах исходя из микроскопических уравнений, к сожалению, достичь не удается: всегда имеется, хоть и малое, отличие в полученных результатах даже между анализом в линейной теорией и огромным экспериментальным материалом [146].

Не менее интересной особенностью поведения жидких кристаллов в электрических полях является, также возможность плавного перехода из диссипативного состояния в недиссипативный режим, когда отсутствует гидродинамических поток. Примерами являются переходы Фредерикса, сплей-твист переход [198], который приводит к периодической структуре с волновым вектором нормальным к первоначальной ориентации директора. Это обстоятельство приводит к уникальной возможности изменения в поведении системы, когда начинают включаться нелинейные эффекты, хотя жидкий кристалл находится в полностью нелинейном состоянии.

Следует отметить, что "облегченные" условия для экспериментального наблюдения нелинейных диссипативных структур (ДС) в жидких кристаллах отнюдь не являются таковыми для развития теории. ЖК описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, а возникающие структуры являются не одномерными. Параметром порядка в этих структурах выступает многомерный вектор. Все это предъявляет к развиваемой теории жесткие требования.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию стационарных нелинейных диссипативных структур, возникающих в тонких ориентированных слоях нематических жидких кристаллов, гидродинамических флуктуации, а также развитию адекватного математического аппарата, на языке которого возможно было бы единым образом описывать поведение этих структур во внешних полях. Таким образом, в круг рассматриваемых вопросов, затрагиваемых в данной работе, вошли анализ линейных и нелинейных задач поведения нематика во внешних электрических и тепловых полях; исследование конкретных нелинейных доменных структур в НЖК выше порога электрогидродинамической (ЭГД) неустойчивости и объяснение экспериментально наблюдаемых картин; описание флуктуа-ций основных гидродинамических переменных вблизи критических точек; а также развитие теоретико-группового подхода для построения обобщенного термодинамического потенциала, аналога свободной энергии, для описания рассматриваемой системы вдали от термодинамического равновесия.

Предлагаемый метод является довольно общим и может быть применим не только к НЖК, но и к другим нелинейным неравновесным системам.

Напомним, что явление ЭГД - неустойчивости, проявляющееся на картине в виде чередующихся светлых и темных полос - доменов Вильямса (Рис. 0.1), было обнаружено давно и довольно хорошо описано в литературе [29, 109, 98, 39, 12, 40]. Известен был и механизм образования конвективных ячеек под действием внешнего электрического поля (модель Хелфриха - Kappa) [173, 109]. Вследствие флуктуаций директора и анизотропии электропроводности немати-ка происходит изменение распределения директора в пространстве и накопление в различных областях мезофазы зарядов разных знаков (на Рис. 0.2 в области А сконцентрирован положительный заряд, а в области В - отрицательный). Возникает вращательный момент М^, который, при превышении некорого порогового значения внешнего поля Ес, приводит к появлению электроконвекции нематичес-кого жидкого кристалла.

Нашей задачей было выяснить, возможно ли существование других структур за порогом электроконвективной неустойчивости. Требовали своего объяснения и ряд экспериментальных работ, выполненных группой американских исследователей [199, 201], в которых наблюдались двумерные (геликоидальные) структуры, стационарные солитоны, разрывы в системе роллов. Эти авторы, в отличие от обычного рассмотрения ЭГД неустойчивости, к основному электри

Источник света

Рис. 0.1: Модулированная структура (домены Вильямса) в планарном нематическом жидком кристалле в постоянном (или низкочастотном) электрическом поле, приложенным перпендикулярно слою образца ческому полю прикладывали слабое пространственно-модулированное электрическое поле. При определенных отношениях (гДе ^о модуль волнового вектора исходной немодулированной системы роллов, а к\ - модуль волнового вектора дополнительного периодического поля) возникала двумерная картина диссипативных структур.

Использование нами обобщенного термодинамического потенциала (ОТП), но уже с включением дополнительного электрического пространственно - модулированного поля позволило полностью объяснить экспериментально наблюдаемые картины.

Необходимо отметить, что было сделано в этой области до наших исследований.

В работах Крамера и др. [127, 133, 190, 254] исследовались электрогидродинамические эффекты в нематических жидких кристаллах. Наряду с линейной постановкой проблемы в этих работах была предпринята попытка рассмотреть и слабонелинейную область. К этому времени уже появились экспериментальные факты о существовании наклонных зигзаг роллов [232]. Для объяснения механизма зарождения этих структур в указанных выше работах была рассмотрена линейная трехмерная задача, поскольку теоретического описания возникновения наклонных роллов двумерной постановки задачи оказалось недостаточной. В рассматриваемой модели авторы ввели понятие "нейтральной поверхности" в пространстве волнового вектора q = (<71,92) = ((ЬР)? которое разделяет указанное пространство на устойчивые (Л < До(ч)) и неустойчивые области (Я > До(я))-Как и в двумерном случае порог нестабильности Яс вычислялся путем минимизации Ко по д. Это, в свою очередь, позволяет найти критическое значение волнового вектора qс- По указанной схеме авторы нашли и критическое значение частоты из с

1х

Рис. 0.2: Модель Хельфриха [173] демонстрирующая образование пространственных зарядов (области А и В), обусловленное флуктуациями продольного изгиба. Приложенное поле Ег действует на заряды, вызывая появление потоков в противоположных направлениях. Это создает вращающий момент Ма, действующий на молекулы. К этому добавляется диэлектрический вращающий момент вследствие возникающего поперечного поля Ех, которое вызвано распределением пространственного заряда.

Как отмечают указанные авторы, в отличие, например, от изотропной жидкости в анизотропной среде уже можно говорить о направлениях появляющихся структур и их форме. Если направление волнового вектора q = (дс>Рс) совпадает с осью анизотропии (рс = 0) или перпендикулярна ей (цс = 0) то наблюдаются нормальные или параллельные роллы. Если же вектор qс составляет какой-то угол с (<?с), то появляются наклонные роллы. В этом случае имеется дополнительное спонтанное нарушение симметрии (хираль-ность) [133] и два симметрично вырожденных направления - "зиг" и "заг", которые могут накладываться и давать прямоугольники.

Принципиальной стороной нашего подхода являлось не усложнение модели, описывающей возникновение диссипативных структур, исследований гидродинамических флуктуаций, а максимальное использование классической постановки задачи (это оносится и к явлению термоконвекции в нематиках) и развитие функционального подхода (на основе обобщенного термодинамического потенциала), успешно примененного для изотропных жидкостей. Следует отметить, что в отличие от обычной жидкости система нелинейных дифференциальных уравнений в нематических жидких кристаллах уже намного сложнее и, к тому же, необходим учет анизотропии системы. А если учесть, что с математической точки зрения задача для ориентированного нематика является несамосопряженной, то становится понятным, что необходим иной, принципиаольный подход, который позволил бы рассматриваемую проблему свести к более простой, но сохранившей основные черты физических процессов системы. Наличие большого числа параметров (коэффициента вязкости Лесли, коэффициентов деформации Франка), которые сами в свою очередь требовали своего точного определения, а также учет в рассматриваемой физической системе гидродинамических флуктуаций, безусловно, также усложняли рассматриваемую проблему поведения нематического жидкого кристалла во внешних электрических и тепловых полях. Поэтому те методы и приемы, которые ранее успешно использовались для описания гидродинамических эффектов в НЖК во внешних полях нуждались в дальнейшем развитии.

Открытые физические системы, которые при воздействии внешнего параметра достигают точки бифуркации и развиваются по какому одному из сценариев из их большого числа, безусловно требовали для своего адекватного описания новых подходов. Здесь, на наш взгляд, метод, основанный на функционале, аналоге свободной энергии для систем вдали от термодинамического равновесия, оказался вполне продуктивным и позволил проследить за ходом развития возникающих структур и объяснить некоторые экспериментальные факты.

Обобщенный термодинамический потенциал, экстремум которого определяет диссипативные структуры, был впервые предложен Р. Грэхэмом [160] в задаче Бенара для изотропной жидкости. В той задаче рассматривался слой жидкости, подогреваемой снизу, где при определенной разности температур наступало конвективное течение и появлялись так называемые ячейки Бенара. Эти ячейки обычно напоминают пчелиные соты - гексагональные решетки, представляющие собой восходящие конвективные потоки жидкости, которые переходят в нисходящие в центрах ячеек. Объяснить конвекцию Бенара можно следующим образом [89]: слабые конвективные потоки, возникающие как флуктуации относительно среднего состояния, существуют всегда, но ниже некоторого критического значения градиента температур эти флуктуации затухают и исчезают. Однако стоит превысить критическое значение градиента температуры, то некоторые флуктуации усиливаются и порождают макроскопическое течение. Возникает новый молекулярный порядок, по существу, гигантская флуктуация, стабилизируемая за счет обмена энергией с внешней средой. Этот порядок и характеризуется возникновением того, что принято называть диссипативными структурами.

Были попытки решения задачи Рэлея - Бенара не только в линейном, но и в нелинейном приближениях. Линейная теория говоря о существовании порога возникновения неустойчивости в жидкости, ничего не могла сказать о форме возникающих диссипативных структур и почему даже при небольшом превышении градиента температур, наиболее устойчивыми оставались роллы с определенным критическим значением волнового числа кс. При рассмотрении нелинейной задачи термоконвекции, авторы [238] искали решение гидродинамических уравнений с данными граничными условиями в виде разложения неизвестных функций, например скорости v(x) и температуры Т(х) относительно некоторого неизвестного малого параметра € г(х) = б[у<°>(х) + €уМ(х) + . • •] Т(х) = б[Т^(х) + еТ^(х) + •••]. Число Рэлея Л также разлагалось в ряд по е :

Д = Дс + + е2Д<2) + • • •.

Гидродинамические уравнения затем решались методом итераций для неизвестных функций Т^(х), начиная с наименьшего порядка по е. Из условия существования решений в каждом порядке по е удавалось однозначно определить неизвестные члены в разложении параметра Л, то есть и т. д. Тогда малый параметр е можно выразить через разницу Я—Яс если описываемый процесс остановлен при заданном порядке е. Ясно, что этот подход ограничен окрестностью вблизи критической точки. Однако он позволяет дать ответы на вопросы относительно возникновения конвективного движения и поведения системы при Л слегка выше порога Лс

Полученный в задаче Бенара для изотропной жидкости функционал [160], напоминал обычный термодинамический потенциал для равновесных систем. Его минимум определял структуры, возникающие за порогом неустойчивости. Этот функционал отличался от обычного потенциала тем, что учитывал в физической системе наличие гидродинамических потоков.

В упомянутой работе на основе полученного функционала исследовались гидродинамические флуктуации горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу вблизи точки гидродинамической неустойчивости. Предполагалось, что конвекция реализуется в форме почти двумерных валов (роллов). Оказалось, вблизи неустойчивости вся гидродинамика жидкости, описываемая в приближении Буссене-ска, значительно упрощается появлением медленной моды, которая подавляет движение всех гидродинамических переменных. Эта мода описывается медленно изменяющейся в пространстве и во времени комплексной амплитудой, чье абсолютное значение и фаза фактически отражают интенсивность вращения (то есть скорость) роллов и их местоположение, соответственно.

Следующим шагом явился вывод приближенного уравнения движения, которому удовлетворяет медленная переменная т. По аналогии с работой [49] были учтены флуктуационные члены. Это привело к стохастическому уравнению Ланжевена. Было показано, что флуктуации удовлетворяют принципу детального равновесия, который позволяет получить обобщенный термодинамический потенциал. Этот потенциал зависит как функционал от медленной переменной ъи, которая играет роль параметра порядка перехода.

Подобный подход, опирающийся на идею обобщенного термодинамического потенциала, позволил получить дальнейшие оценки гидродинамических флуктуаций для горизонтального слоя жидкости, со свободными границами вблизи критической точки (точки Бенара). Для строго двумерных потоков (когда отсутствует зависимость от одной из горизонтальных координат) удалось рассчитать состояния жидкости для стационарного случая и определить корреляционые длины флуктуаций амплитуды и интенсивности. При этом не было необходимости использовать какие-либо новые аппроксимации, достаточно было иметь только опубликованные численные данные, полученные для одномерных полей Гинзбурга - Ландау [236].

Нестационарные (динамические) свойства такой физической системы как слой жидкости в поле градиента температур, удалось выразить через времена когерентности для трехмерного случая, которые были рассчитаны в квазилинейном приближении. Это позволило, в свою очередь, довольно хорошо воспроизвести результаты стационарного двумерного случая.

Для режима, когда конвекция в жидкости еще не наступила, результаты работы [160] в нижайшем порядке содержали результаты Зайцева и Шлиомиса [35].

Было показано, что вблизи критической точки появляются большие и долгоживущие флуктуации скорости и температуры при критическом значении волнового числа. Их происхождение можно связать со случайными появлениями и исчезновениями конвективных решеток. Размеры и времена жизни появляющихся в поле градиента температур гидродинамических потоков в точке Бенара ограничиваются только нелинейным взаимодействием критических мод с другими пассивными модами. Для случая развитой тепловой конвекции, взаимодействие с пассивными модами стабилизирует амплитуду конвективных решеток - остаются только медленные флуктуации положений роллов (для жидкости со свободными границами) и разрушается дальний порядок в решетке из одномерных роллов.

При приближении к точке Бенара снизу стабилизирующее влияние пассивных мод уменьшается и это влияние остается существенным только для больших флуктуаций в точке срыва неустойчивости. При приближении сверху к точке Бенара эта точка напоминает критическую точку фазового перехода Ландау. Функциональный подход позволил также рассчитать ширину области вблизи критической точки Бенара, где уже начинает нарушаться приближение Ландау. Можно отметить, что эта область для простых жидкостей чрезвычайно мала и экспериментально ее трудно выделить.

Метод построения функционала - обобщенного термодинамического потенциала, для системы находящейся вдали от термодинамического равновесия, состоял в нахождении решения с помощью теории возмущений [160] по вышеуказанному параметру е. Но приступая к решению этой проблемы, необходимо было рассмотреть линейную задачу, с тем, чтобы выяснить какие моды возможны в этой системе и их поведение. Для этого исходная система дифференциальных уравнений, описывающая поведение жидкости в поле градиента температур, была линеаризована и найдено нулевое решение. Из условия совместности линеаризованной системы уравнений нематодинамики были найдены моды, среди которых была и "мягкая" мода, которая при достижении внешнего параметра своего критического значения приводила к возникновению конвективного движения. Дальнейший анализ линейной задачи помог установить, что частота зависит от е2, а это, в свою очередь, позволило ввести е2 в качестве масштабного множителя на шкале времени. С другой стороны, поскольку линеаризованные уравнения в работе [160] содержали пространственные производные, которые вблизи критической точки должны перенормироваться и в системе должны появиться медленные переменные ([216, 238]), причем координаты х\ и будут фигурировать вместе с б и л/ё. Для дальнейшего решения нелинейной задачи была успешно использована теория возмущений, которая учитывала разномас-штабность изменения переменных.

Подобная процедура описания роста нестабильных "мягких" мод, приводящих к появлению диссипативных структур в системах, находящихся вдали от термодинамического равновесия и, построения уравнения для медленно меняющейся в пространстве и во времени амплитуды нулевого решения, была выполнена в работах [178, 237, 216, 245, 188] , а также в работе по исследованию ДС в химически реагирующих системах [193].

Полученному уравнению для комплексной амплитуды, являющемуся уравнением Ланжевена, соответствует уравнение Фоккера -Планка для распределения вероятности флуктуаций амплитуды медленной моды. Исходя из уравнения Фоккера - Планка, по известному способу восстанавливается функционал - обобщенный термодинамический потенциал, который позволял исследовать возникающие структуры за порогом термоконвективной неустойчивости.

Несколько слов о том, с чем из известных понятий можно связать обобщенный термодинамический потенциал. По своему назначению он схож с функционалом Ляпунова, поскольку обобщенный термодинамический потенциал для открытой системы играет ту же роль, что функционал Ляпунова для слабо неравновесных системах вблизи термодинамического равновесия. Можно привести такой пример: в области линейной неравновесной термодинамики производство энтропии й8/<1Ь (где 5 энтропия физической системы) принадлежит к числу таких функций Ляпунова (когда существует зависимость только от одной переменной). Если на систему подействовать возмущением, то производство энтропии увеличится, но система ответит на это возвращением в состояние с наименьшим производством энтропии.

Как видно из вышесказаного, в проблеме образования диссипа-тивных структур в жидкости совершенно не затрагивались вопросы описания системы при помощи группового подхода, в жидкости не возникали двумерные геликоидальные структуры, не учитывалось наличие зарядов в среде, не исследовалось поведения мод во внешних полях. Нельзя забывать, что НЖК является прежде всего анизотропной жидкостью и содержит ориентационное упорядочение, которое чутко реагирует на малейшее внешнее воздействие.

Таким образом, следовало ожидать от НЖК новых эффектов, которые, в силу указанных выше причин, не могли появиться в простой жидкости и встала задача объяснить их, попытаться развить ранее используемый подход [160] для такого сложного объекта как жидкий кристалл, и предложить новое решение, более универсальное, опирающееся на теоретико- групповой анализ исходной системы нелинейных уравнений нематодинамики в различных полях.

Итак, как уже отмечалось выше, в данной диссертации, помимо решения линейной задачи, расчета корреляционных функций основных гидродинамических переменных, удалось из анализа обобщенного термодинамического потенциала, построенного для нематичес-кого жидкого кристалла в электрических полях и в поле градиента температур, предсказать принципиальную возможность появления, при определенных условиях, геликоидальных структур, которые были затем экспериментально обнаружены в работе [199]. Вывод обобщенного термодинамического потенциала для нематика по стандартной схеме [160], с использованием разномасштабной теории возмущений, был сопряжен с очень громоздкими и трудоемкими вычислениями. Большой объем вычислительных работ заняло определение конкретного вида коэффициентов, входящих в искомый функционал. И здесь уместна аналогия с описанием фазовых переходов в термодинамически равновесных системах. Как известно, в этом случае существуют два подхода в получении функционала. Первый - это микроскопический. Такой подход применим, например, к одно- и двумерным моделям Изинга, допускающим точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе II рода. Получение термодинамического потенциала здесь требует вычисления статистической суммы взятой по всем возможным конфигурациям. Другой путь построения потенциала - феноменологический. Последний не определяет конкретный вид коэффициентов, входящих в функционал свободной энергии, но позволяет построить всю теорию фазовых переходов в равновесных системах. (Хотя, следует отметить, что, например из гамильтониана для задачи Изинга путем соответствующих преобразований можно получить гамильтониан Гинзбурга - Ландау и тогда коэффициенты разложения в этом функционале удается определить.) Естественным образом встал вопрос: а нельзя ли получить обобщенный термодинамический потенциал для нашей задачи другим, менее трудоемким способом, позволяющим описывать поведение системы вдали от термодинамического равновесия?

Как оказалось, такой путь есть. Этот подход опирается на теоретико - групповой метод, который позволяет существенно сократить время на вывод функционала, дает возможность исследовать поведение системы, причем не только для жидких кристаллов, но и для других конденсированных сред в сильно неравновесных случаях.

Идея метода состоит в следующем. Из решения линейной задачи вблизи порога неустойчивости можно установить группу симметрии системы уравнений нематодинамики. Линейная теория дает возможность выделить разные масштабы изменения пространственных переменных и времени. А это позволяет построить генератор растяжений - инфинитезимальный оператор. Следующий шаг состоит в том, что рассматривается пространство значений искомых переменных и их производных, входящих в систему, которые считаются независимыми. Тогда мы получаем алгебраические уравнения, определяющие некоторое многообразие в этом расширенном пространстве. А как известно [77], многообразие можно задавать с помощью касательных пространств [37], которые мы можем определить.

Теперь, зная решение вблизи критической точки, можно линеаризовать систему нелинейных уравнений, вычислить допускаемую ею группу преобразований и ее дифференциальные инварианты. Предполагается, что эти инварианты описывают поведение нелинейной системы и по ним можно построить искомый функционал.

Таким образом, не вычисляя кинетических коэффициентов, удалось получить и исследовать функционал, описывающий диссипа-тивные структуры за порогом электрогидродинамической неустойчивости.

Отметим, что описываемый в диссертации способ построения функционала групповым методом, имеет универсальный характер и может быть успешно использован для исследования неустойчивостей не только в нематических жидких кристаллах, но и в иных типах ме-зофаз (холестериках, смектиках, дискоидных, лиотропных), а также в других средах (плазме, жидкости, твердом теле и т.д.)

Данная диссертация состоит из введения, шести глав, общих выводов и результатов, трех приложений и списка литературы.

Общие выводы и результаты

1. Исходя из решения линеаризованных систем уравнений, описывающих динамику нематического жидкого кристалла во внешнем электрическом поле, а также в поле градиента температур, найден спектр собственных частот для обоих режимов неустойчивос-тей, среди которых имеется "мягкая" мода, ответственная за появление электрогидродинамической и термоконвективной неустойчивос-тей, соответственно. Найдена спектральная плотность флуктуации директора во внешних электрических полях, а в тепловом режиме - спектральные плотности флуктуаций директора, температуры и скоростей мезофазы, которые имеют характер лоренцевых кривых и вид которых зависит от значения перпендикулярной составляющей волнового вектора возмущений в нематике.

2. В гидродинамическом приближении получены корреляционные функции для флуктуационных членов, включенных в начальную систему уравнений нематодинамики в электрическом поле и в поле градиента температур.

3. Показано, что вблизи критической точки задача поведения нематического кристалла во внешнем поле упрощается появлением медленной комплексной амплитуды, играющего роль параметра порядка и через которую выражаются все гидродинамические переменные. Абсолютное значение указанного параметра характеризует интенсивность вращения роллов, а фаза указывает их местоположение в пространстве. Сделана оценка скоростей вращения нематичес-кой мезофазы в присутствии электрического поля, которая соответствует экспериментально наблюдаемым и соответствует десяткам микрометров в секунду.

4. Найденный с помощью разномасштабной теории возмущений обобщенный термодинамический потенциал, являющийся аналогом свободной энергии, но для термодинамически неравновесных систем позволил описать диссипативные структуры, возникающие за порогом электроконвективной неустойчивости. Полученная теоретическая картина образования и развития двумерных структур хорошо совпадает с наблюдаемой на эксперименте.

5. Показано, что экстремумы построенного функционала соответствуют стабильным, метастабильным и нестабильным состояниям нематика во внешних полях. Показано, что внутри определенной области распределения волновых векторов для полей превышающих критическое значение состояния устойчивы. Указывается на существование и других решений, описывающих искаженную решетку с определенным периодом возникающих возмущений, определяемых параметрами среды и величиной превышения над пороговым значением поля.

6. Показана возможность возникновения стационарных солитонов (доменных стенок), которые образуют солитонную решетку вдоль направления, определяемого невозмущенным директором. В данном случае солитоны выступают как промежуточное состояние между соизмеримой и несоизмеримой фазами, появляющимися под действием внешнего модулированного поля. Оказалось возможным в рамках предложенной схемы предсказать появление не только геликоидальных структур, но и наличие периодических разрывов.

7. Исходя из теоретико-групповых представлений опираясь на симметрию исходной системы уравнений нематодинамики во внешнем электрическом поле, построен обобщенный термодинамический потенциал. Вид этого функционала полностью совпадает с выше найденным по теории возмущений для низкочастотного режима электрогидродинамической неустойчивости, однако трудоемкость его получения несравненно меньше используемого ранее метода теории возмущений. Это позволяет его использовать в широком классе задач неравновесных систем.

8. С помощью полученного обобщённого термодинамического потенциала дана дальнейшая оценка гидродинамических флуктуаций для неограниченного в плоскости планарного нематического слоя жидкого кристалла по обе стороны от точки термоконвективной неустойчивости. Используя квазилинейное приближение в одномерном случае, были рассчитаны пространственные, а также временные корреляционные функции флуктуаций параметра порядка. Была решена двумерная задача и найдены пространственные и временные корреляционные функции комплексной амплитуды, через которую выражаются все гидродинамические переменные рассматриваемой проблемы, в предположении определённых соотношений между коэффициентами, входящими в ОТП.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

В монографиях:

1. Мигранов Н.Г. Гидродинамические флуктуации и диссипативные структуры в жидких кристаллах. - Уфа: Из-во УНЦ РАН, 1996. -133 с.

2. Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. Неравновесные явления и автоволны в нематических жидких кристаллах. - Уфа: Из-во Башгосунивер-ситета, 1997.- 192 с. в журналах, сборниках, материалах конференций:

3. Belotskii E.D., Migranov N.G., Tomchuk P.M. Formation of two-dimensional incommensurate structures in the system of Williams domains // Liquid Crystals 1988. - V. 3, N 10. - P. 1327 - 1338.

4. Мигранов Н.Г. Флуктуации директора в нематических жидких кристаллах во внешних электрических полях // Украинский Физический Журнал. - 1988.- Т. 33, № 12. - С. 1811 -1813.

5. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Построение обобщенных термодинамических потенциалов методом алгебр Ли // Теор. и Мат. Физика.- 1989.- Т. 81, № 2.- С. 239 - 246.

6. Веревочников А.В., Мигранов Н.Г. Построение функционала для нематического жидкого кристалла в поле градиента температур // Вестник Башкирского университета.- 1997.- № 2 (I, II).- С. 23 - 27.

7. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В., Чувыров А.Н. Функциональный подход к проблеме Бенара-Рэлея для нематического жидкого кристалла // Письма в ЖТФ. - 1998. - Т. 24, вып.12. - С. 6 - 12.

8. Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. Метод обобщенного термодинамического потенциала в теории термо- и электроконвекции в жидких кристаллах // Вестник Башкирского университета.- 1997. - № 3 (I, II). - С.27 - 34

9. Веревочников А.В., Мигранов Н.Г. Итерационный подход в конструировании обобщенного потенциала для нематического жидкого кристалла вблизи первой точки бифуркации // Вестник Самарского государственного университета. - 1997. - № 3(6). - С. 115 - 119.

10. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В., Чувыров А.Н. Флуктуации директора, скорости, температуры вблизи порога термоконвекции нематического жидкого кристалла // Украинский Физический Журнал. - 1998. - Т. 43 , № 6 . - С. 687 - 691.

11. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В. Функциональный подход к проблеме шевронов в нематических жидких кристаллах // Украинский Физический Журнал. -1998.- Т. 43 № 3.- С. 313 - 317.

12. Migranov N.G. Nematic slow complex amplitude motion equation's group classification // Ukrainian Physical Journal.- 1996.- V.41, N 1.-P. 51 - 54.

13. Migranov N.G., Tomchuk P.M.The nematodynamic equations' preliminary group analysis in the d.c. electric field presence // Ukrainian Physical Journal.- 1996.- V.41, № 10. - P. 927 - 930.

14. Белоцкий Е.Д., Томчук П.М., Мигранов Н.Г. Нелинейные процессы в нематических жидких кристаллах в электрических полях / Препринт № 7 Института физики АН УССР. Киев, 1983.- 26 с.

15. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Образование двумерных несоизмеримых структур в системе доменов Вильямса / Препринт № 8 Института физики АН УССР. Киев, 1986. - 23 с.

16. Belotskii E.D., Migranov N.G., Tomchuk P.M. Applications of the Lie algebras to derivation of the Generalized Thermodynamic Potentials / В кн. Nonlinear turbulent Processes in Physics. World Scient. Publ. Co. Ptl. Ltd. Singapore, 1990. - P. 762 - 776.

17. Мигранов Н.Г. Групповая классификация уравнений движения нематических жидких кристаллов во внешних полях / В кн. Современный групповой анализ: методы и приложения.- Ленинград, ЛИИ АН СССР.- 1990.- С. 48 - 50.

18. Мигранов Н.Г. Исследование уравнений движения анизотропной сплошной среды в электрическом поле / В кн. Проблемы механики и управления.- Уфа: из-во Институт механики УНЦ РАН, 1994.- С. 90 - 96.

19. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Корреляционные функции основных гидродинамических переменных в жидких кристаллах в задаче Рэлея-Бенара / Деп. в ВИНИТИ.- Москва, № 3565-В 97, от 08.12.1997. - 8 с.

20. Мигранов Н.Г. Корреляционные соотношения для флуктуаций электрогидродинамических переменных в жидких кристаллах / Сб. статей: Научная конференция по научно-техническим программам Госкомвуза России.- Уфа: Башгосуниверситет.- 1996.- С. 66 - 69.

21. Мигранов Н.Г. Спектральное представление флуктуаций гидродинамических переменных вблизи бифуркации в нематической ме-зофазе / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1771-В 97 от 29.05.1997 г. 9 с.

22. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Описание критического поведения планарного слоя нематика при помощи функции Ляпунова /Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1772-В 97, от 29.05.1997: г. 8 с.

23. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Докритическое поведение ориентированного нематика в поле градиента температур / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1773-В 97, от 29.05. 1997 г. 8с.

24. Мигранов Н.Г., Гайсин P.P. Математическое моделирование поведения нематического жидкого кристалла вблизи порога электрогидродинамической неустойчивости / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1774-В 97, от 29.05. 1997 г. 33 с.

25. Мигранов Н.Г., Гайсин P.P. Скейлинговый подход в построении обобщенного термодинамического потенциала в задаче электроконвекции нематика / Сб. статей: Научная конференции по научно-техническим программам Минобразования России.- Уфа: из-во Баш-госуниверситета, 1997.- С. 20 - 23.

26. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. К вопросу образования шевронов в поле градиента температур в планарном нематике / Деп. в ВИНИТИ.- Москва, № 3566-В 97, от 08.12.1997. - 11 с.

27. Мигранов Н.Г. Квазистационарные флуктуации директора не-матического жидкого кристалла / Сб. статей: Научная конференции по научно-техническим программам Минобразования России Уфа: из-во Башгосуниверситета, 1997. С. 12 - 15.

28. Гайсин P.P., Мигранов Н.Г. Исследование уравнений движения жидких кристаллов методом компьютерной алгебры / Труды Всероссийской. научной конференции. "Физика конденсир. состояния."-Стерлитамак: из-во Стерлитамакского филиала АН РБ, 1997.- Т.1 -С.42 - 44.

29. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. О нелинейном поведении жидкого кристалла в присутствии флуктуаций гидродинамических переменных. / Сб. статей: Научная конференции по научно-техническим программам Минобразования России. Уфа: из-во Башгосуниверситета, 1997. С. 8 - 11.

30. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Решение линейной задачи движения нематика в тепловом поле / Сб. статей: Научная конференции по научно-техническим программам Минобразования России. -Уфа: из-во Башгосуниверситета, 1997.- С. 16 - 19.

В тезисах конференций:

31. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Геликоидальная неустойчивость валов электрогидродинамической неустойчивости /Сб. тезисов докладов: V Междунар. конф. соц. стран по жидким кристаллам. - Одесса, 1983. - T.I, ч.П. - С. 152

32. Migranov N.G. Light scattering frequency spectrum in ne-matics close to the electrohydrodynamic insta-bility threshold / Сб. тезисов докладов: International European Conference on Liquid Crystals.- Valley d'Aosta, Italy. - 1990. - P. 122.

33. Мигранов Н.Г. Теоретико-групповой подход в описании нелинейных диссипативных структур вблизи точки бифуркации в жидких кристаллах / Сб. тез. докладов XI Росс. Коллоквиума по современному групповому анализу. - Самара, 1993. - С. 155.

34. Migranov N.G. Nematic slow complex amplitude motion equation's group classification / Сб. тез.докладов XV International Liquid Cryst. Conf. - Budapest, 1994. - P. 295.

35. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The nematic's director fluctuations in a finite thickness slab in the external electric field / Сб. тез. докладов XVI International Liquid Crystal Conference. - Kent, 1996.- USA. - P.241.

36. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The periodic breakdown appearance in the electroconvective rolls in the nematic liquid crystals / Сб. тез. докладов X European Phys. Society Conf. - Sevilla, 1996. - SPAIN. - P.242.

37. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The functional construction for liquid crystals in the thermal gradient presence / Сб. тезисов, докладов European Conference, on Liquid Crystal: Science & Technol. ECLC'97. - Zakopane, 1997.- POLAND. P. 377.

38. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Light scattering on liquid crystal director fluctuations in the thermoconvective flow / Сб. тез. докладов International Conference: Optical Technol. in Fluid,

Thermal Science, Engineering & Instrumentation'97. San-Diego, 1997.-USA.- P. 41

39. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B., Чувыров А.Н. Диссипатив-ные структуры в жидких кристаллах в поле градиента температур / Сб. тез. докладов I Всероссийского семинара: "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении" - Москва, 1997. - С. 73.

40. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Hydrodynamics fluctuations in the liquid crystals above threshold of the spatial structures formation / Сб. тезисов, докладов International Conference Patterns, non-linear dynamics & stoch. behavior, in spatially extended, complex systems. PNS'97 Budapest, 1997. - Hungary.- P. 112.

41. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Hydrodynamic variables fluctuations in the nematics near the thermoconvective threshold / Сб. тезисов, докладов International Conference Patterns, nonlinear dynamics & stoch. behav. in spatial, extend.,complex systems. PNS'97 - Budapest, 1997 .- Hungary. - P. 111.

42. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Исследование явления самоорганизации в жидких кристаллах в температурном поле при помощи функционала / Сб. тезисов докладов Всероссийской конференции "Математич.модели и методы их исследования" - Красноярск: Крас-нояр. госуниверситет, 1997. - С. 53 - 54.

43. Gaisin R.R., Migranov N.G. The functional approach to the electro-convection problem in anisotropic fluids / Сб. тезисов, докладов 10-й Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики: "Волга-10'98" (Петровские чтения). - Казань: КГУ, 1998. - С. 16 - 17.

- 227

44. Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Computer algebra methods of the functional constuction describing behavior of liquid crystals subjected to gradient temperature / Сб. тезисов, докладов 10-й Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики: "Волга-10'98" (Петровские чтения). - Казань: КГУ, 1998. - С. 40 - 41.

45. Gaisin R.R., Migranov N.G. The quasithermal potential method in the electrocovection problem with periodic boundary conditions in oriented nematic liquid ctystals / Сб. тезисов, докладов XVII International Liquid Cryst. Conference. - ILCC'98. - Strasbourg-Cedex, 1998. - France. - P3-116.

Отношение работы к научно-техническим программам.

Работа выполнена по тематическому плану фундаментальных исследований НИР Башгосуниверситета (тема № 303, номер государственной регистрации 01960000933, код ГРНТИ 29.19.03 и 29.19.15); по проекту 676 Федеральной целевой программы ФЦП "ИНТЕГРАЦИЯ"; по региональной научно-технической программе "Вузовская наука регионам" (тема № 142, номер государственной регистрации 01930010463, код ГРНТИ 29.19.09 и 29.19.11).

1. Агранович В.М., Гинзбург В.Л. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теории экситона - М.: Наука, 1979. - 270 с.

2. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.- 479 с.

3. Барник М.И., Блинов Л.М., Гребенкин М.Ф. и др. Электрогидродинамика в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ. -1975.- Т. 69, вып.З. С. 1080 - 1087.

4. Белоусов Б. В кн. Сборник рефератов по радиационной медицине М.: Медгиз, 1959. С. 145 147.

5. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Построение обобщенного термодинамического потенциала методом алгебр Ли // Теоретич. и математич. физика.- 1989.- Т. 81, № 2.- С. 239 -246.

6. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Нелинейные процессы в НЖК в электрических полях Киев, 1983. - 26 с. Пре-пр./ АН УССР. Ин-т физики; № 7.

7. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Неустойчивость валов при ЭГД неустойчивости Одесса, 1983. - Тезисы докладов 5-й конференции социалистических стран по жидким кристаллам; том 1, часть II. - С. 152.

8. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Образование двумерных несоизмеримых структур в системе доменов Вильямса Киев, 1986. 23 с. - Препр. / АН УССР. Ин-т физики; № 8.

9. Белоцкий Е.Д., Мигранов Н.Г., Томчук П.М. Построение обобщенных термодинамических потенциалов методом алгебр Ли- Киев, 1988. 17 с. Препр. / АН УССР. Ин-т физики; № 22.

10. Белоцкий Е.Д., Томчук П.М. Несоизмеримые и геликоидальные структуры в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ.- 1985.- Т.88, вып.5. С. 1634 - 1640.

11. Белоцкий Е.Д., Томчук П.М. Теория высокочастотных дис-сипативных структур в нематических жидких кристаллах // Украинский физический журнал 1992. - Т. 37, № 6. - С. 860 -869.

12. Блинов Л.М. Электро и магнитооптика жидких кристаллов -М.: Наука, 1978. - 384 с.

13. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Построение функционала для нематического жидкого кристалла в поле градиента температур // Вестник Башкирского университета.- 1997.- № 2 (I, II).- С. 23 27.

14. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Итерационный подход в конструировании обобщенного потенциала для нематического жидкого кристалла вблизи первой точки бифуркации // Вестник Самарского университета. 1997. - № 3(6). - С. 115-119.

15. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Корреляционные функции основных гидродинамических переменных в жидких кристаллах в задаче Рэлея-Бенара / Деп. в ВИНИТИ.- Москва, № 3565В 97, от 08.12.1997. 8 с.

16. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. К вопросу образования шевронов в поле градиента температур в планарном нематике / Деп. в ВИНИТИ.- Москва, № 3566-В 97, от 08.12.1997. 11 с.

17. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Решение линейной задачи движения нематика в тепловом поле / Сб. статей: Научная конференции по научно-техническим программам Минобразования России. Уфа: из-во Башгосуниверситета, 1997.- С. 16 - 19.

18. Вистинь JI.K. Новое электроструктурное явление в жидких кристаллах // Доклады АН СССР. 1970. - Т. 194, № 6.- С. 1318 -1321.

19. Вистинь JI.K., Кабаенков А.Ю., Яковенко С.С. Два типа структуры доменов Капустина-Вильямса // Кристаллография. -1986. Т. 31, № 2. - С. 360 - 366.

20. Вистинь JI.K., Яковенко С.С., Чичерин А.Е. и др. Поведение доменов второго рода в нематиках в электрических полях, превышающих пороговое // Кристаллография. -1981. Т. 26, № 4. - С. 871 - 874.

21. Вайнштейн Б.К., Жидкие кристаллы. Структура, свойства, применения // Вестник АН СССР. № 1. - С. 9 - 20.

22. Вайнштейн Б.Л., Чистяков И.Г., Вистинь Л.К. и др. Влияние электрических полей на структуру и свойства жидких кристаллов // Болгарский физич. журнал. 1977. - Т. 3, № 3. - С. 292 - 306.

23. Ганн Дж. Эффект Ганна // УФН 1966.- Т. 89, вып.1. - С. 147 - 160.

24. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости М.: Наука, 1972. - 352 с.

25. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций: Пер. с англ. М.: Мир, 1973 - 280 с.

26. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.

27. Де Жен П. Физика жидких кристаллов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 384 с.

28. Дзялошинский И.Е. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках. III. // ЖЭТФ. 1964.- Т. 47. вып.3(9) - С. 992 -1001.

29. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-694 с.

30. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания М.: Наука, 1974. - 250 с.

31. Же В. Де. Физические свойства жидкокристаллических веществ: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 152 с.

32. Жидкие кристаллы / под ред. Жданова С.И. М.: Химия, 1979. - 327 с.

33. Зайцев В.М., Шлиомис М.И. Гидродинамические флуктуации вблизи порога конвекции // ЖЭТФ. 1970.- Т. 59. вып. - С. 1583 - 1586 .

34. Зельдович Б.Л., Табирян Н.В. Флуктуации директора нематического жидкого кристалла в ячейке с конечной толщиной / / ЖЭТФ.- 1981. Т. 81, вып.5. - С. 1738 - 1747.

35. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике М.: Наука, 1983. 280 с.

36. Иоффе И.В. Новый вид гидродинамической неустойчивости в непроводящих нематических жидких кристаллах // ЖТФ. -1988. Т. 58. № 5. - С. 992 - 993.

37. Капустин А.П. Экспериментальные исследования жидких кристаллов М.: Наука, 1978. - 368 с.

38. Капустин А.П. Электрооптические и акустические свойства жидких кристаллов М.: Наука, 1973. - 232 с.

39. Капустин А.П., Чумакова С.П. Электрооптические эффекты в тонких слоях жидких кристаллов // Кристаллография. 1970.- Т. 15, № 5. С. 1091 - 1092.

40. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи -М.:Мир, 1985. 228 с.

41. Кац Е.И. О термоконвективной неустойчивости в нематичес-ких жидких кристаллах // ФТТ. 1981. - Т. 23, № 7. - С. 2100- 2104.

42. Кирсанов Е.А., Разумов A.A. Низкочастотный режим электрогидродинамической неустойчивости в нематиках / / ЖЭТФ. -1983. Т. 84, № 3. - С. 982 - 984.

43. Кирсанов Е.А., Разумов A.A., Мушников Ю.С. Пороговые характеристики электроконвективного течения в нематиках / / ЖЭТФ. 1981. - Т. 81, № 2. - С. 581 - 587.

44. Кирсанов Е.А., Разумов A.A. Электроконвективное течение в нематических жидких кристаллах // Acta Phys. Pol. Ser.A -1979. V. 56, № 1. - С. 143 - 149.

45. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. М.: Наука, 1974. - 632 с.

46. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 5, ч. 1. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука, 1976. -564 с.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 9. ч. 2. Статистическая физика. 3-е изд. - М.: Наука. 1978. -448 с.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц. Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 736 с.

49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. О гидродинамических флуктуаци-ях // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32, вып.З. - С. 618 - 620.

50. Латтинджер Дж., Кон В. Проблемы физики полупроводников М.: Изд-во ИЛ, 1957. - С. 514 - 535.

51. Ли Цзун-дао Математические методы в физике: Пер. с англ. -М.: Мир, 1965. 256 с.

52. Мигранов Н.Г. Гидродинамические флуктуации и диссипатив-ные структуры в жидких кристаллах Уфа: Из-во УНЦ РАН, 1996. 133 с.

53. Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. Неравновесные явления и автоволны в нематических жидких кристаллах Уфа: Из-во Баш-госуниверситета, 1997.- 192 с.

54. Мигранов Н.Г. Солитоны в системе диссипативных структур нематика Уфа, 1987. - Тезисы докладов конференции молодых ученых Башкирского филиала АН СССР. - С. 157.

55. Мигранов Н.Г. Флуктуации директора в нематических жидких кристаллах во внешних электрических полях / / Украинский Физический Журнал. 1988.- Т. 33, № 12. - С. 1811 -1813.

56. Мигранов Н.Г., Гайсин P.P. Построение уравнения огибающей и функции Ляпунова для жидких кристаллов во внешних электрических полях. Сб. тез. докл. II Регион, физ.-мат. конференции УРФМК-2. Уфа.: БГПИ, 1997.- С. 85 - 86.

57. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Функциональный подход к проблеме шевронов в нематических жидких кристаллах // Украин. Физич. Журнал. -1998.- Т. 43, № 3. С.313 - 317.

58. Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. Метод обобщенного термодинамического потенциала в теории термо- и электроконвекции в жидких кристаллах // Вестник Башкирского университета.-1997. № 3 (I, II). - С. 27 - 34.

59. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B., Чувыров А.Н. Флуктуации директора, скорости, температуры вблизи порога термоконвекции нематического жидкого кристалла // Украинский Физический Журнал. 1998. - Т. 43, № 6 . - С. 687 - 691 .

60. Мигранов Н.Г. Групповая классификация уравнений движения нематических жидких кристаллов во внешних полях / В кн. Современный групповой анализ: методы и приложения.- Ленинград, ЛИИ АН СССР.- 1990.- С. 48 50.

61. Мигранов Н.Г. Исследование уравнений движения анизотропной сплошной среды в электрическом поле / В кн. Проблемы механики и управления.- Уфа: из-во Институт механики УНЦ РАН, 1994.- С. 90 96.

62. Мигранов Н.Г. Теоретико-групповой подход в описании нелинейных диссипативных структур вблизи точки бифуркации в жидких кристаллах / Сб. тез. докладов XI Росс. Коллоквиума по современному групповому анализу. Самара, 1993. - С. 155.

63. Мигранов Н.Г. Корреляционные соотношения для флуктуаций электрогидродинамических переменных в жидких кристаллах / Сб. статей: Научная конференция по научно-техническим программам Госкомвуза России.- Уфа: Башгосуниверситет.-1996.- С. 66 69.

64. Мигранов Н.Г. Спектральное представление флуктуаций гидродинамических переменных вблизи бифуркации в нематичес-кой мезофазе печат / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1771-В 97 от 29.05.1997 г. 9 с.

65. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Описание критического поведения планарного слоя нематика при помощи функции Ляпунова /Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1772-В 97, от 29.05.1997 г. 8 с.

66. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Докритическое поведение ориентированного нематика в поле градиента температур / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1773-В 97, от 29.05. 1997 г. 8с.

67. Мигранов Н.Г., Гайсин P.P. Математическое моделирование поведения нематического жидкого кристалла вблизи порогаэлектрогидродинамической неустойчивости / Деп. в ВИНИТИ. Москва, № 1774-В 97, от 29.05. 1997 г. 33 с.

68. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1972. - 352 с.

69. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 535 с.

70. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. - 512 с.

71. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. 326 с.

72. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978. - 400 с.

73. Паташинский А,3., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов М.: Наука, 1975. - 265 с.

74. Паташинский А.З., Покровский B.JI. Продольная восприим-чивчивость и корреляция вырожденных систем // ЖЭТФ -1973. Т. 64, вып.4. - С. 1445 - 1451.

75. Пикин С.А. Высокочастотный ЭГД эффект в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ. 1971.- Т. 61, вып.5. - С. 2133- 2139.

76. Пикин С.А. Корреляционные функции в жидких кристаллах -в кн. Кристаллография и кристаллохимия. М.1986. - С. 42 -46.

77. Пикин С.А. Стационарное течение нематической жидкости во внешнем электрическом поле // ЖЭТФ. 1971.- Т. 60, вып.З.- С. 1185 1190.

78. Пикин С.А. Структурные превращения в жидких кристаллах- М.: Наука, 1981. 336 с.

79. Пикин С.А., Блинов JI.M. Жидкие кристаллы М.: Наука, 1982.

80. Пикин С.А., Инденбом В.В. Новый тип электрогидродинамики в жидком кристалле // Кристаллография. 1975. - Т. 20, № 6.- С. 1127 1129.

81. Пикин С.А., Чигринов В.Г. Новый тип высокочастотной неустойчивости в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ.- 1985.- Т. 78, вып.1. С. 246 - 252.

82. Пикин С.А., Штольберг A.A. К теории электрогидродинамического эффекта в жидких кристаллах // Кристаллография. -1973. Т. 18, № 3. - С. 445 - 453.

83. Полак J1.C. Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах М.: Наука, 1983. - 285 с.

84. Пригожин И. От существующего к возникающему: Пер. с англ. М.: Наука, 1985. - 327 с.

85. Покровский В.Л., Талапов А.Л. Теория двумерных несоизмеримых кристаллов // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78, в. 1. - С. 269 -295.

86. Покровский В.Л., Талапов А.Л. Фазовые переходы и спектры колебаний почти соизмеримых структур // ЖЭТФ 1978. -Т.75, вып.9. - С. 1151 - 1157.

87. Разумов A.A.,Кирсанов Е.А. Электроконвективное течение в нематике. Скорость и деформация // ЖЭТФ. 1979. - Т.76, № 1. - С. 175 - 180.

88. Разумов А.А.,Кирсанов Е.А. Электротермический эффект в режиме проводимости нематических жидких кристаллов // ЖТФ. 1980. - Т.50, № 6. - С. 1302 - 1303.

89. Романов В.П., Шалагинов А.Н. Влияние ориентирующих поверхностей на флуктуации директора в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ. 1992. - Т. 102, вып.6. - С. 884 - 889.

90. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы М.: Наука, 1976. - 496 с.

91. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть II. Случайные поля Часть I. Случайные поля М.: Наука, 1978. - 464 с.

92. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. - 432 с.

93. Сонин A.C. Введение в физику жидких кристаллов М.: Наука, 1983. 319 с.

94. Труфанов А.Н., Барник М.И., Блинов JI.M. Новый вид высокочастотной электрогидродинамической неустойчивости в нематических жидких кристаллах // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78, № 2. -С. 622 - 631.

95. Труфанов А.Н., Барник М.И., Блинов JI.M. и др. Электрогидродинамическая неустойчивость в гомеотропно ориентированных слоях нематических жидких кристаллов // ЖЭТФ. -1981. Т. 80, № 2. - С. 704 - 715.

96. Фейнман Р.П., Хиббс А.Р, Квантовая механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир, 1968. 382 с.

97. Фейнман Р.П. Статистическая механика. Курс лекций. М.: Мир, 1978. - 407 с.

98. Фел Л.Г., Ласене Г.Э. О стационарной электрогидродинамической неустойчивости в планарном нематическом жидком кристалле (НЖК) // Лит. Физ. Сб. 1987. - Т. 27, № 6. - С. 703 -707.

99. Фел Л.Г., Ласене Г.Э. Термоконвективный эффект в нематическом жидком кристалле // ЖЭТФ. 1984. - Т.86, № 1. - С. 157-164.

100. Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 400 с.

101. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам: Пер. с англ. М.: Мир, 1966. - 587 с.

102. Хатаевич В.И., Зейналлы А.Х. Диссипативные структуры в турбулентом движении жидких кристаллов // Письма в ЖЭТФ. 1978. - Т. 27, № 8. - С. 434 - 438.

103. Хунг Jle Тхе. Инвариантно-групповые свойства и интегрируемость одномерных уравнений нематических жидких кристаллов // Вест.МГУ.Сер.Матем.механ. 1986. - № 4.- С. 87 - 89.

104. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 344 с.

105. Чигринов В.Г., Пикин С.А. ЭГД-эффект в жидких кристаллах в переменном электрическом поле // Кристаллография. 1978.- Т.23, № 2. С. 333 - 341.

106. Чистяков И.Г. Жидкие кристаллы М.; Наука, 1966. - 127 с.

107. Чистяков И.Г., Вистинь JI.K. Домены в жидких кристаллах // Кристаллография. 1974. - Т.19, № 2 - С. 195 - 216.

108. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах- М.: Мир, 1979. 279 с.

109. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука, 1965. - 424 с.

110. Яблонский С.В., Блинов Л.М. Электрогидродинамическая неустойчивость как неравновесный фазовый переход // Кристаллография. 1982. - Т.27, № 5. - С. 936 - 940.

111. Akahoshi S., Miyakawa К. А поп-linear analysis of the Williams domain mode in nematic liquid crystals // J. Phys. Soc. Japan. -1977,- V. 42, № 5. P. 1997 - 2005.

112. Aslaksen E.W. Comment on the electrohydrodynamic instability in nematic liquids // J. Appl. Phys. 1972. - V. 43, N 3. - P. 776 - 777.

113. Barrat P.J., Coles C.W., Hodson D.A. The effect of non-uniform temperature gradients on thermal instabilités //J. Non-Equil. Thermodyn. 1985. -V. 10, N.3. - P. 171 - 184.

114. Barrat P.J., Sloan D.M. Thermal instabilities in nematic liquid crystal //J. Phys. Ser. A: Math, and Gen. 1976. - V. 9, N 11. -P. 1987 - 1998.

115. Barrat P. J., Zuniga I. Thermal convection in nematic layers //J. Non-Equil. Thermodyn. 1985. -V. 10, N.3. - P. 233 - 240.

116. Belotskii E.D., Migranov N.G., Tomchuk P.M. Formation of two -dimensional incommensurate structures in the system of Williams domains // Liquid Crystals. 1988. - V. 3, N 10.- P; 1327 - 1338

117. Belotskii E.D., Migranov N.G., Tomchuk P.M. Applications of the Lie algebras to derivation of the Generalized Thermodynamic Potentials / B kh. Nonlinear turbulent Processes in Physics. World Scient. Publ. Co. Ptl. Ltd. Singapore, 1990. P. 762 776.

118. Ben-Abraham S.I. Nonlinear effects in liquid crystals // Phys. Rev. Ser. A. 1976. - V. 14, N. 3. - P. 1251 - 1257.

119. Bertolotti M., Lagomarsino S., Scudier F. Velocity measurement of electrohydro dynamic flow in a nematic liquid crystal //J. Phys. Ser. C: Solid State Phys. 1973. - V. 6, N 9. - P. L177 - L180.

120. Blinov L., Chigrinov V. Electrooptic effects in Liquid Crystal Materials. Springer-Verlag, 1994.

121. Bodenschatz E., Weber A., Kramer L. Interaction and Dynamics of defects in roll patterns of anisotropic Fluids // Stat. Physics (Belgium). 1991 V. 64, N. 5/6. - P. 1007 - 1015.

122. Bodenschatz E., Zimmermann W., Kramer L. On electrically driven pattern-forming instabilities in planar nematics //J. Phys. (France). 1988. - V. 49. - P. 1875 - 1899.

123. Bolomey P. H. Comportment d'un cristal liquide nematique sous l'action du champ electrique // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1974. -V. 29, N1/2.-P. 103-115.

124. Bolomey P. H. Deformation de l'aignment moléculaire et formation des( "chevrons" dans un nématique en regime diélectriquie // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1975. - V. 31, N 1/2. - P. 145 - 151.

125. Brand H., Deissler R.J., Ahlers G. A simple model for the Benard instability with horizontal flow near threshold // Phys. Rev. Ser. A. 1992. - V. 43, N 11. - P. 4262 - 4270.

126. Brand H., Pleiner H. Nonlinear effects in electrohydrodynamics of uniaxial nematic liquid crystal // Phys. Rev. 1987. - Ser. A, V.35, N 7. - P. 3122 - 3127.

127. Buka A. Pattern formation in liquid crystals // Physica Scripta. -1989. V. T25. - P. 114 -117.

128. Buka A., Kramer L. Pattern formation in liquid crystals New-York, Berlin, Heidelberg:Springer, 1996.- 339 p.

129. Buka A., Por G. Morphological phase transitions of patterns in liquid crystals // Phase Transition. 1991. -V. 21. - P. 227 - 236.

130. Busse F.H., Riahi N. Nonlinear convection in a layer with nearly insulating boundaries // J. Fluid Mech. 1980. - V. 96. - P.243 -249.

131. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys. 1978. - V. 41. - P. 1929 - 1933.

132. Busse F.H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below //J. Math.& Phys. 1967. - V. 46. - P. 140 - 145.

133. Carrol Т.О. J. Appl. Phys. 1981. - V. 43, N 4. - P. 1342 - 1346. // Phys. Rev. Ser. A. - 1987. - V. 35, N. 1. - P. 1949.

134. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability -Oxford: Clarendon Press, 1961. 801 p.

135. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The nematic's director fluctuations in a finite thickness slab in the external electric field / Сб. тез. докладов XVI International Liquid Crystal Conference. Kent, 1996.- USA. - P.241.

136. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The periodic breakdown appearance in the electroconvective rolls in the nematic liquid crystals / Сб. тез. докладов X European Phys. Society Conference. Sevilla, 1996. - SPAIN. - P.242.

137. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. - V.65, N 3. - P. 851 -1112.

138. Cross M.C., Newell A.C. Convection patterns in large aspect ratio system // Physica. 1984. - V. 10D. - P. 299. Physics. - 1993. - V. 65, N. 3, Part II. - P. 851 - 1112.

139. Dale Т., Migliori A. Current- and magnetic field - induced order and disorder in ordered nematic liquid crystals //J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41, N 4. - P. 998 - 999.

140. Dubois-Violette E. Theory of instabilities of nematics under a.c. electric field: special effects near the cut off frequency // Le Journal de Physique (France). 1972. - V. 33, N 1. - P. 95 - 100.

141. Dubois-Violette E., de Gennes P.G., Parodi O. Hydrodynamic instabilities of nematic liquid crystals under A. C. electric fields // Le Journal de Physique (France). 1971. - V. 32, N.4. - P. 305 - 317.

142. Dubois-Violette E., Guyon E., Pieranski P. Heat convection in a nematic liquid crystal // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1974. - V. 26, N 1/4. - P. 193 - 212.

143. Dubois-Violette E., Rothen F. Nonlinearities close to the thermal threshold in a planar nematic liquid crystal // Le Journal de Physique (France). 1979. - V. 40, N 10. - P. 1013 - 1023

144. Durand G., Veyssie M., Rondelez F. et al. Effect Delectrohydrody-namique dans un cristal liquide nematique // Comt. Rend. Acad. Sci. (Paris). 1970. - V. 270, N 1. - P. B97 - B100.

145. Ericksen J.L. General solutions in the hydrostatic theory of liquid crystals // Trans. Soc. Rheol. 1967. - V. 11, N 1. - P. 5 - 14.

146. Faetti S., Fronzoni L., Rolla P.A. Electrohydrodynamic domain patterns in freely suspended layers of nematics liquid crystals // J. Chem. Phys. 1983. - V. 79, N 3. - P. 1427 - 1433.

147. Galerne Y., Durand G., Veyssie M. et al. Electrohydrodynamic instability in a nematic liquid crystal: effect of an additional stabilizing a.c. electric field on the spatial period of "chevrons" // Phys. Lett. Ser. A. 1972. - V. 38, N 6. - P. 449 -450.

148. Gertsberg V.L., Sivashinsky G.I. Large cells in nonlinear Rayleigh-Benard convection // Progr. Theor. Phys (Japan). 1981. - V. 66.-P. 1216.

149. Gladestone G.L. Nonlinear behaviour of electrohydrodynamic instability threshold in nematic liquid crystals // Phys. Letters. Ser.A (Holland). -1971. V. 37, N 4. - P. 325 - 327.

150. Govers E., Vertogen G. On fluctuation theory of De Jennes for nematics // Physica. 1987. - Ser. A, V. 141, N 2-3. - P. 625 - 630.

151. Graham R. Hydrodynamic fluctuations near the convection instability // Phys. Rev. Ser.A 1974. - V. 10, N 5. - P.1762 -1784.

152. Graham R. Macroscopic theory of fluctuations and instabilities in optics and hydroynamics -in Fluctuations, instabilities and phase transitions /edited by T. Riste. Plenum Press. N.Y. London, 1975.- P. 215 280.

153. Graham R., Haken H. Microscopic reversibility, stability and Onsager relations in systems far from thermal equilibrium // Phys. Lett. 1970. - a 33, N 6. - P. 335 - 336.

154. Graham R., Haken H. Fluctuations and stability of stationary non- equilibrium systems in detailed balance // Z. Phys. 1971. - V. 245, N 2. - 141 - 153.

155. Graham R., Haken H. Generalized thermodynamic potential for Markoff systems in detailed Balance and far from equilibrium // Z. Phys. 1971. - V. 234, N 3. - P. 289 - 302.

156. Greubel W., Wolff U. Electrically controllable domains in nematic liquid crystals // Appl. Phys. Lett. 1971. - V. 19, N 7. - P. 213 -215.

157. Greenside H.S., Cross M.C. Stability analysis of two dimensional models of three-dimensional convection // Phys. Rev. Ser. A. -1985. V.31. - P.2492.

158. Grover C.P. Electrohydrodynamic distortion patterns in wedged homeotropic samples of MBBA // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1986.- V. 141, N 3/4. P. 179 - 189.

159. Group d 'Etudes des cristaux liquides (Orsay). Dynamics of fluctuations in nematic liquid crystal //J. Chem. Phys. 1969. - V. 51, N 2. - P. 816 - 822.

160. Guyone E., Pieranski P. Convective instabilities in nematic liquid crystals // Physica. 1974.- V. 25, N 3. - P. 449 - 452.

161. Guyone E., Pieranski P. Etude expérimentale de la convection dans un film de cristal liquide nematique // C. R. Acad. Sci. 1972. -V. 274, N 9. - P. B656 - B658.

162. Haken H. Cooperative phenomena in systems far from thermal equilibrium and in nonphysical system // Rev. Mod. Phys. 1975.- V. 47, N 1. P. 67 - 121.

163. Heilmeir G.H. A simplified electrohydrodynamic treatment of threshold effects in nematic liquid crystals // Proc. IEEE. 1971.- V. 59, N 3. P. 422 - 423.

164. Helfrich W. Conduction-induced alignment of nematic liquid crystals: basis model and stability considerations //J. Chem. Phys. 1969. - V. 51, N 9. - P. 4092 - 4105.

165. Hertrich A., Decker W., Pesch W., Krammer L. The electrohydro-dynamic instability in homeotropic nematic layers // Journal de Physique (France). 1992. - V. 2. - P. 1915 - 1930.

166. Hidetoshi M., Kouji O., Hajime H., et al. Digital image processing study on dynamics of dissipative structure in nematic liquid crystal // J. Phys. Soc. Japan. 1985.- V. 54, N 5. - P. 1724 - 1729.

167. Hidetoshi M., Yasuo K., Hajime H., et al. Laser light scattering study of nematic liquid crystal //J. Phys. Soc. Japan. 1984.- V. 53, N 10. - P. 3280 - 3283.

168. Hidetoshi M., Yasuo K., Itou Y. et al. Speed distribution analysis of the convective flow in electrohydro dynamic instabilities of nematic liquid crystals // Phys. Rev. - 1985. Ser. A, V. 31,

169. Hijikuro N. Reductive perturbation approach to electrohy-drodynamic instabilities and dissipative structures in liquid crystals // Progr. Theor. Phys. 1975. - V. 54, N 2. - P. 592-593.

170. Hirakawa K., Kai S. Analogy between hydrodynamic instabilities in nematic liquid crystal and classical fluid // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1977. - V. 40, N 1/4 - P. 975 - 998.

171. Hodson D.A., Barratt P.J., Sloan D.M. A nonlinear analysis of thermal instabilities in nematic liquid crystals. 1 // J. Nonequilibr. Thermodyn. 1984. - V. 9, N 2.- P. 107 - 130.

172. Hodson D.A., Barratt P.J., Sloan D.M. A nonlinear analysis of thermal instabilities in nematic liquid crystals. 2 // J. Nonequilibr. Thermodyn. 1985. - V. 10, N 1.- P. 37 - 56.

173. Hory J., Okwamoto Y., Ono M. et al. Phase transition between stationary states. A simple model of laser like behaviour // Progr. Theor. Phys. - 1974.- V. 52, N 4. - P 1146 - 1160.

174. Kai S., Araoka M., Yamazaki H. et al. Autocorrelation and power spectrum of director-fluctuation in electrohydrodynamic instabilities of nematic liquid crystal //J. Phys. Soc. Japan. -1979.- V. 46, N 2. P. 401 - 409.

175. Kai S., Araoka M., Yamazaki H. et al. Second moment of direct-fluctuation in electrohydrodynamic instabilities of nematic liquid crystal //J. Phys. Soc. Japan. 1979.- V. 46, N 2. - P. 393 - 400.

176. Kai S., Hirakawa K. Successive transitions in electrohydrodynamic instabilities of nematics // Suppl. Progr. Theor. Phys. (Japan). -1978 N 64. - P. 212 - 242.

177. Kai S., Wakabayashi S., Imasaki M. Fluctuations and distribution of macroscopic order in formation processes of a dissipative stuctures // Phys. Rev. Ser.A- 1986. V. 33, N 4. - P. 2612 -2620.

178. Kai S., Yamazaki H., Araoka M. et al. Characteristic behavior of fluctuation of flow caused by electrohydrodynamic instability effect in MBBA // J. Phys. Soc. Japan. 1976. - V. 41, N 4. - P. 1439 -1440.

179. Kakutani T., Ono H., Taniuti T., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation. 2. Application to hudromagnetic waves in cold plasma //J. Phys. Soc. Japan. -1968. V. 24, N 5. - P. 1159 - 1166.

180. Kelker H. Handbook of liquid crystals Weinheim, Deerfield: Verlag Chemi, 1980. - 917 p.

181. Kramer L., Zimmermann W., Bodenschhantz E., Pesch W. Pattern-selection in convective instabilities with axial anisotropy Berlin: Springer-Verlag, 1988.- 240 p.

182. Krishnamurthy K.S., Bhate M.S. Some novel electric field -induced textures in nematics //J. Appl. Phys. (Japan). - 1985. - Pt.l, V. 24, N 5. - P. 626 - 627.

183. Krishnamurthy K.S., Revannsiddaiah D. Optical studies on Williams domains // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1979. - V. 55, N 1-4. - P. 33 - 46.

184. Kuramoto Y. Phase dynamics of weakly unstable periodic structures // Progr. Theor. Phys. 1984. - V. 71, N 6. - P. 1182 -1196.

185. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys. -1975. V. 54, N 3. - P. 687 - 699.

186. Kuramoto Y., Tsuzuki T. Reductive perturbation approach to chemical instabilities // Progr. Theor. Phys. 1974. - V. 52, N 4. - P. 1399 - 1401.

187. Lefever R. Dissipative structures and their mechanism of onset -in Fluctuations, instabilities and phase transi- tions. /edited by T. Riste. Plenum Press. N.Y. London, 1975. P. 353 - 378.

188. Leu W.H., Gerritsma C.J., Van Boxtel A.M. Electrohydrodynamic instabilities in nematic liquid crystals // Phys. Letters Ser.A (Holland). 1971. - V. 34, N 4. - P. 203 - 204.

189. Lonberg F., Meyer R.B. New ground state for the splay-Freedericksz transition in a polymer nematic liquid crystal // Phys. Rev. Lett. 1985.- V.55, N . P. 718 - 722.

190. Lowe M., Gollub J.P., Lubensky T.C. Commensurate and incommensurate structures in a nonequilibrium system // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51, N 9. - P. 786 - 789.

191. Lowe M., Gollub J.P. Pattern selection near the onset of convection: Eckaus instability // Phys. Rev. Lett. -1985. V., 55 - P. 2575- 2576.

192. Lowe M., Gollub J.P. Solitons and commensurate incommensurate transition in a convecting nematic fluid // Phys. Rev. Ser.A- 1985. V. 31, N 6. - P. 3893 - 3897.

193. Masters A.J. Director fluctuations in nematic liquid crystals; longrange correlations and the hydro dynamic equations / / Molecular Physics. 1985. - V. 56, N 4. - P. 887 - 901.

194. Matsumoto S., Kawamoto M., Tsukada T. Conductivity effects on cut-off frequency of electrohydro dynamic instability in nematic liquid // Chem. Lett. 1973. - N 8. - P. 837 - 842.

195. Migranov N.G. Nematic slow complex amplitude motion equation's group classification // Ukrainian Physical Journal.- 1996.- V.41, N 1.- P. 51 54.

196. Migranov N.G., Tomchuk P.M. The nematodynamic equations' preliminary group analysis in the d.c. electric field presence // Ukrainian Physical Journal.- 1996.- V.41, № 10. P. 927 - 930.

197. Migranov N.G. Light scattering frequency spectrum in nematics close to the electrohydrodynamic instability threshold / Сб. тезисов докладов: International European Conference on Liquid Crystals.- Valley d'Aosta, Italy. 1990. - P. 122.

198. Migranov N.G. Nematic slow complex amplitude motion equation's group classification / Сб. тез.докладов XV International Liquid Crystals Conf. Budapest, 1994. - P. 295.

199. Miike H., Yasuo K., Hashimoto H. et al. Laser light scattering study on electrohydrodynamic instability of nematic liquid crystal //J. Phys. Soc. Japan. 1984.- V. 53, N 10. - P. 3280 - 3283.

200. Miyakawa K. Fluctuations in nematic liquid crystals under the thermal gradient //J. Phys. Soc. Japan. 1975. - V. 39, N 3. - P. 628 - 633.

201. Moritz E., Franklin W. Some nonlinear EHD effects in nematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1977. - V. 40, N 1/4. - P. 943 - 951.

202. Nakagawa M., Akahane T. A new type of electrohydrodynamic instability in nematic liquid crystals with positive dielectric anisotropy. II. Theoretical treatment // J. Phys. Soc. Japan. -1983. V. 52, N 11. - P. 3782 - 3789.

203. Nakamura S., Kabashima S., Kawakubo T. Wave number spectrum dissipative structures in nematic liquid crystals //J. Phys. Soc. Japan. 1980. - V. 48, N 1. - P. 33 - 36.

204. Nasta L., Lupu A., Giurgea M. Characteristics of domains appearing in nematic liquid crystals below the threshold voltage of chevrons //Mol.Cryst.Liq.Cryst. 1981. - V. 71, N 1-2.-P. 65-76.

205. Newell A.C. Propagation in nonequilibrium systems /edited by J.E. Wesfreid. Springer, London, New York, 1988. - 250 p.

206. Newell A.C., Whitehead J.A. Finite bandwidth, finite amplitude convection // J. Fluid Mech. 1969. - V. 38, N 2. - P. 279 - 303.

207. Onsager O. Reciprocal relations in irreversible process //Phys. Rev. Ser. A. 1931. V. 37. P. 405.

208. Parker J.H., Carr E.F Anomalous alignment and domains in nematic liquid crystal //J. Chem. Phys. 1971. - V. 55, N 4. - P. 1846 - 1850.

209. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. - V. 4. - P. 489.

210. Penz P.A. Electrohydrodynamic waveslengths and response rates for a nematic liquid crystal // Phys. Rev. Ser. A 1974. -V. 10, N 4. - P. 1300 - 1310.

211. Penz P.A. Order parameter distribution for electrohydrodynamic mode of nematic liquid crystal // Mol. Cryst. Liquid Cryst. -1971.- V. 15, N 2. P. 141 - 160.

212. Penz P.A. Propagating electrohydrodynamic mode in a nematic liquid crystal // Phys. Rev. Ser. A 1975. -V. 12, N 12. - P. 1585- 1590.

213. Penz P.A., Ford G. M. Electrohydrodynamic solutions for nematic liquid crystals // Appl. Phys. Lett. 1972. - V. 20, N 11. - P. 415- 416.

214. Pikin S.A. Incommensurate structures in liquid crystals // Incommmens. Phases Diel. 1986. - V. 2. - P. 319 - 366.

215. Pomeau Y., Manneville P. Stability and fluctuations of a spatially periodic convective flow //J. Phys. Lett. -1979. V. 40 - P. L 609- L 611.

216. Privman V., Hohenberg P.C., Aharony A. Universal critical-point amplitude relations in Phase transions and /edited by C. Domb and J.L. Lebiwitz. - Academic. London, 1991. - V. 14.

217. Pytte E., Thomas H. Soft modes, critical fluctuations, and optical properties for a two valley model of Gunn - instability semiconductors // Phys. Rev. Ser.A - 1969. - V. 179, N 2.- P. 431- 443.

218. Raghunathan V. A., Maheswara Murthy P.R., Madhusudana N.V. Propagating electrohydrodynamic instabilities in nematics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1991. - V. 199. - P. 239 - 248.

219. Rehberg I., Winkler B.L., de la Torre Juárez, et al. Pattern formation in a liquid crystal //Festkôrperprobleme. 1989.- V.29. P.35

220. Rehberg I., Rasenat S., Fineberg J. et al. Temporal modulation of traveling waves // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61, N 21. - P. 2449- 2452.

221. Rehberg I., Rasenat S., Steinberg V. Travelling waves and defect-initiated turbulence in electroconvecting nematics // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62, N 7. - P. 756 - 759.

222. Ribotta R., Joets A., Lei Lin Oblique roll instability in electroconvective anisotropic fluid // Phys. Rev. Lett. 1986. -V. 56, N. 15. - P. 1595 - 1597.

223. Riste T., Otnes K. Soft mode dynamics and spatio temporal symmetry breaking in a thermo - convective system // Z. Phys. -1987. - Ser. A, V. 68, N 2/3. - P. 265 -269.

224. Rigopolous R.A., Zenginoglou H.M. Electrohydrodynamic limits of nematics // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1976. - V. 35, N 3/4. - P. 307 - 318.

225. Sakaguchi H. Breakdown of phase dynamics //Progr. Theor. Phys.- 1990. V. 84, N 5. - P. 792 - 800.

226. Scalapino D.J., Sears M., Ferrel R.A. Statistical mechanics of one-dimensional Ginzburg-Landau fields // Phys. Rev. Ser. B. 1972.- V. 6, N 9. P. 3409 - 3416.

227. Segel L.A The non linear interaction of a finite number of disturbances to a layer of fluid heated from below //J. Fluid Mech.- 1965. V. 21, N 2. - P. 359 - 384.

228. Schlüter A., Lortz D., Busse F. On stability of steady finite amplitude convection // J. Fluid Mech. 1965. - V. 23, N 1. -P. 129 - 144.

229. Schöpf W., Kramer L. Small-amplitude periodic and chaotic solutions of the complex Ginzburg-Landau equation for a sub critical bifurcation // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 66, N. 18. -P. 2316 - 2319.

230. Sinclair E.J., Carr E.F. Flow patterns and molecular alignment in a nematic liquid crystal due to electric fields // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1976. - V. 37, N 1/4. - P. 303 - 311

231. Sinclair E.J., Carr E.F. Flow patterns in bulk samples of a nematic liquid crystal due to electric fields // Mol. Cryst. Liquid Cryst. -1976. V. 35, N 1/2. - P. 143 - 153.

232. Stephen M.J., Straley J.P. Physics of liquid crystals // Rev. Mod. Phys. 1974. - V. 46, N 4. - P. 617 - 704.

233. Swift J.B., Hohenberg P.C. Hydrodynamic fluctuations at the convection instability // Phys. Rev. Ser.A. 1977. - V. 15. - P.319.

234. Stephen M.J., Straley J.P. Physics of liquid crystals // Rev. Mod. Phys. 1974. - V. 46, N 4. - P. 617 - 704.

235. Taniuti T., Wei C.C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation // J. Phys. Soc. Japan. 1968. - V. 24, N 4. - P. 941 - 946.

236. Teaney D.T., Migliori A. Current- and magnetic field - induced order and disorder in ordered nematic liquid crystals //J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41, N 3. - P. 998 - 999.

237. Tsuchiya Y., Horrie Sh., Itakura H. Coherent pattern oscillation of Williams domain in nematic liquid crystal //J. Phys. Soc. Japan.- 1988. -V.57, N 2. P. 669 - 670.

238. Turnbull R.J. Theory of behavior of nematic liquids crystals in a constant field //J. Phys. Ser. D: Appl. Phys. 1973. - V. 6, N 14.- P. 1745 1754.

239. Velarde M.G., Zuniga I. Thermoconvective instabilities of nematic liquid layers: new theoretical predictions // Le Journal de Physique (France). 1979. - V. 40, N 7. - P. 725 - 731.

240. Walgraef D., Schiller C. Anisotropy effect on pattern selection near dynamical instabilities // Physica. 1987. - Ser. D., V. 27, N 3. -P. 423 - 432.

241. Wang X. Soliton waves and nonequilibrium phase transition in liquid crystals // Phys. Rev. 1985. - Ser. A, V. 32, N 5. - P. 3126- 3129.

242. Wang Z.H., Keyes P.H. Critical and multicritical fluctuations of nematic liquid crystals // Phys. Rev. 1996. - Ser. E, V. 54, N 5.- P. 5249 5262.- 281

243. Williams R. Liquid crystal domains in a longitudinal electric field //J. Chem. Phys. 1972. - V. 56, N 1. - P. 147 - 148.

244. Wolfram T., Zimmermann W., Kramer L. The influence of the electrohydrodynamic instability in nematics // Liquid Crystals. -1988. V. 4, N 3. - P. 309 - 316.

245. Yamazaki H., Kai S., Hirakawa K. Convective pattern in dielectric regime of electrohydrodynamic instabilities //J. Phys. Soc. Japan. 1987. - V. 56. - P. 502 - 505.

246. Yang C. et al. Evolution process of the angle-deflective ocsillation of the Willams domain //J. Phys. Soc. Japan. 1987. - V. 56, N 2. - P. 425 - 428.

247. Zenginoglou H.M., Rigopoulos R.A., Kosmopoulos I.A. On the electrohydrodynamic instability limits under the action of sinusoidal electric fields // Mol. Cryst. Liquid Cryst. 1977. - V. 39, N1/2.-P. 27 - 32.

248. Zimmerman W. Pattern formation in electrohydrodynamic convection // Mat. Res. Soc. Bull. 1991. - V.16. P. 46