Функциональный подход в гидродинамике нематических жидких кристаллов при наличии градиента температур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

\0

На правах рукописи

ВЕРЕВОЧНИКОВ АНДРЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

функциональный подход в гидродинамике нематических жидких кристаллов при наличии градиента температур

01.02.05 ■ механика Жидкости, газа и плазмы

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УФА - 1998

Работа выполнена в Башкирском государственном университете и институте физики молекул и кристаллов УНЦ РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Чувыров А.Н. (Башкирский государственный университет), кандидат физико-математических наук, доцент Мигранов Н.Г. (Башкирский государственный университет).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Житников В.П. (кафедра информатики и ВТ УГАТУ, г.Уфа), доктор физико-математических наук, с.и.с. Скалдин O.A. (Институт физики молекул и кристаллов УНЦ РАН).

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится « П- » йелт^Ц*? 1998 г. в ¡^^

часов на заседании диссертационного совета К.064.13.06 при

Башкирском государственном университете по адресу: 450074,

г.Уфа, ул.Фрунзе, 32, физический факультет, к. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан « N

1998 г.

Ученый секретарь диссертационного/ совета, к.т.н. /^-¿О / /лУ Ковалева Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Актуальность работы. Жидкие кристаллы были открыты еще в начале прошлого столетия, однако результаты исследований физических свойств жидких кристаллов не получили широкой известности. Это связано с тем, что сами жидкие кристаллы не находили практического применения. Возможность применения жидких кристаллов (ЖК) для систем отображения и записи информации, например, жидкокристаллических индикаторов и; плоских дисплеев, объясняет большой размах исследований в физике жидких кристаллов в начале 60-х годов.

В последнее время особенно интересным и продуктивным стало направление исследований, связанное с изучением стационарных структур, возникающих в жидких кристаллах. Отметим, что сравнительно новой системой, богатой структурными превращениями, можно считать термоконвективную неустойчивость в жидких кристаллах.

Жидкие кристаллы представляют собой разновидность конденсированного состояния вещества, способного находиться в термодинамически устойчивом состоянии между изотропио-жидкой и твердой фазами. Фундаментальным свойством ЖК, отличающим его от изотропной жидкости и придающим сходство с твердым гелом, является наличие орнентационной степени свободы, которая характеризует макроскопическую упорядоченность длинных осей молекул в пространстве.

В настоящее время наиболее широко исследуются тематические жидкие кристаллы (НЖК), которые характеризуются этсутствнем дальнего порядка в расположении центров тяжести

молекул. Однако молекулы НЖК имеют тенденцию устанавливаться параллельно некоторой выделенной оси.

Несмотря на то, что экспериментально открыто и изучено достаточно большое количество диссипативных структур в НЖК, с теоретической точки зрения был проведен лишь линейный и слабонелинейный анализ уравнений гидродинамики нематической жидкости. В связи с этим было бы весьма интересно применить в нелинейной задаче термоконвекции в анизотропной жидкости метод Грэхема, впервые примененный им в задаче Рэлея-Бенара в изотропной жидкости. Грэхем использовал одпопараметрическое масштабное преобразование пространственно-временных координат и гидродинамических функций, включив в рассмотрение тепловые флуктуации. Этот подход позволил получить уравнение Ланжевена, для амплитуды через которую выражаются все

гидродинамические переменные. Также, Грэхемом было найдено уравнение Фоккера-Планка для равновесной плотности вероятности М7 распределения амплитуды и; и получен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП) имеющий вид

известного функционала Гинзбурга-Ландау. Таким образом, на сегодняшний день задача построения обобщенного потенциала в задаче Рэлея-Бенара в НЖК, исследование с его помощью диссипативных структур, а также гидродинамических флуктуации в критической области возникновения термоконвекции является нерешенной.

Целью работы являлось теоретическое исследование поведения нематического жидкого кристалла во внешнем тепловом поле при помощи обобщенного термодинамического потенциала,

аналога свободной энергии для систем вдали от термодинамического! равновесия, а также исследование гидродинамических флуктуации в критической области возникновения термоконвекции.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. В настоящей диссертационной работе с помощью теории возмущений исследован эффект термоконвекции нематичсских жидких кристаллов. Получено уравнение движения для' комплексной амплитуды - а>, через которую выражаются все гидродинамические переменные системы и впервые восстановлен обобщенный термодинамический потенциал, описывающий поведение НЖК вдали от термодинамического равновесия.

2. Найдено пороговое значение градиента температуры, при котором возникает конвективное течение нематической жидкости. Также найдено критическое значение волнового вектора, соответствующее возникающим-диссипативным структурам.

3. Проведено описание взаимодействующих мод, одна из которых является мягкой модой и ее величина пропорциональна квадратному корню разности температур (Г-Гс)1''2- То есть ее поведение аналогично поведению мягкой моды при фазовом! переходе второго рода.

4. Впервые определены корреляционные функции основных гидродинамических переменных как ниже, так и выше порога возникновения термоконвекции в НЖК.

Практическая ценность состоит в следующем:

1. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при дальнейшем развитии исследований нелинейных

диссипативных структур, возникающих в жидких кристаллах во, внешних тепловых полях, а также для исследования гидродинамических флуктуации НЖК.

2. Полученные результаты могут быть использованы для создания принципиально нового класса устройств теплоэнергетики, в которых процесс конвекции может регулироваться внешними полями.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Наличие порога температур, при котором существуют три типа взаимодействующих мод, одна их которых является мягкой модой и при приближении значения градиента температуры к критическому (снизу) она переходит в нулевую и вызывает конвективное течение в НЖК, в то время как другие остаются затухающими.

2. Метод построения обобщенного термодинамического потенциала, который описывает дпссипативные структуры и флуктуации в НЖК выше порога термоконвекции.

3. Условия образования возникающих диссипативных структур.

4. Корреляционные функции для одно- и двумерных флуктуации в НЖК как ниже, так и выше порога возникновения тер моконвекции.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 16-ой Международной конференции по жидким кристаллам (США, Кент, 1996), научной конференции по научно-техническим программам Минобразования России (Россия, Уфа, 1997), на Первом Всероссийском семинаре «Нелинейные

процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении» (Россия, Москва, 1997), на 7-ой международной конференции «Нелинейная оптика жидких и фоторефрактивных кристаллов - 97>> (Украина, п.Партенит, 1997), па международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии и технологических процессов)» (Россия, Красноярск, 1997), на Европейской конференции по жидким кристаллам (Польша, Закопане, 1997), на международной конференции «Структуры, нелинейная динамика и стохастическое поведение пространственно-протяженных, комплексных систем» (Венгрия, Будапешт, 1997), на международной конференции «Оптические технологии в течении жидкости, термическом течении и течении горения» (США, Сан Диего, 1997).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20

работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и приложения, изложена на 157 страницах, содержит 9 иллюстраций и список литературы из 94 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи работы, показана ее научная новизна.

В первой главе приводится литературный обзор экспериментальных и теоретических работ, связанных с изучением воздействия температурных полей на ориентированный слой

нематического жидкого кристалла. Из литературного обзора можно сделать вывод, что в настоящее время достаточно хорошо изучены основные закономерности возникновения стационарных диссипативных структур различного типа в 11ЖК при воздействии на них тепловых полей. Однако, с теоретической точки зрения в основном решалась линейная и слабонелинейная задачи движения нематпческой жидкости. Таким образом, возникает закономерный интерес к теоретическим исследованиям поведения НЖК в тепловых полях, в частности, к применению различных теоретических методов в этой задаче.

Во второй главе рассматривается линеаризованная задача для иланарно ориентированного слоя НЖК, помещенного во внешнее поле градиента температуры. Рассматривается двумерная задача, когда все физические переменные зависят только от координат х и • Рассмотрена модель образования

термоконвективной неустойчивости исходя из условия возникновения «пулевой» моды, приводящей к нарастанию флуктуации вблизи порога термоконвекции в НЖК. Показано, что возникают три типа взаимодействующих мод, одна из которых при приближении (снизу) к критическому значению градиента температуры переходит в нулевую, в то время как другие остаются затухающими. Найдено критическое значение градиента температур, при котором наступает термоконвекция, а также критическое значение волнового числа возникающих при атом модулированных структур (роллов). Также получены спектральные представления флуктуации скорости движения нематика (г>г2)ю/г^,

директора (?772)(ок'^ и температуры + ) для области

температур ниже порога термоконвекции.

В третьей главе приводятся некоторые теоретические доводы и представления позволяющие описать систему вдали от термодинамического равновесия на языке обобщенного термодинамического потенциала, поскольку рассматриваемая задача посвящена исследованию нелинейной системы уравнений, которую можно упростить вблизи точки бифуркации путем введения в рассмотрение комплексной амплитуды ш,'.

В четвертой главе рассматривается нелинейная задача. Вблизи порога термоконвекции задача упрощается вследствие появления «медленной» моды, которая определяет поведение системы. Эту моду молено описать с помощью медленно изменяющейся комплексной амплитуды, чье абсолютное значение и фаза описывают интенсивность вращения и положение конвективных роллов, соответственно.

В §4.1 в исходную систему дифференциальных уравнений включаются флуктуационные члены. Для построения функционала получены корреляционные функции для введенных в систему флуктуационных членов, при этом используются соотношения, вытекающие из теории Онзагера. Используя гидродинамическое приближение Ландау получены корреляционные функции для введенных в систему уравнений нематодинампки флуктуационных членов.

В §4.2, используя метод теории возмущений, учитывающий разномасштабность изменений переменных с учетом флуктуационных членов х=£/с, г/=г|/'е1 '2, £=т.'е2. к=(/?-7?с) / Яс,

(здесь R - число Рэлея, Rq ~ критическое значение числа Рэлея), : было получено уравнение Ланжевена для комплексной амплитуды и>(х), через которую выражаются все гидродинамические функции

где v=(R-Rc)/Rc, (f*o,I) ~ флуктуационный член.

Лапжевеновскому уравнению соответствует стохастическое уравнение Фоккера-Плаика для плотности вероятности W нахождения комплексной амплитуды w ■

С05г^=1Ы2х[5ж(д:)[(-С1у-С2Ь(д:)|2)ю(дг)-Сз0г2г£,Чд:)-

где значение Q определяется материальными параметрами ЫЖК.

Исходя из уравнения Фоккера-Планка, удалось восстановить обобщенный термодинамический потенциал - аналог свободной энергии, но для систем вдали от термодинамического равновесия

Ф({х})=д»-1Яа2д:[ С1у1г^|2+С2|И4/2+Сз|Э^Р+ +iC4(dxwô,j2w*-exw*dy2w) /2+C5|ey2ffi.-|2].

Экстремумы OTI1 описывают наиболее вероятные нелинейные диссипативные структуры. OT1I зависит от медленно!! переменной - амплитуды w как функционал, амплитуда w играет роль параметра порядка перехода.

Исследуются экстремумы полученного ОТП, которые соответствуют стабильному, метастабилыюму и неустойчивому состояниям. Единственное граничное условие, накладываемое на систему, - это конечность комплексной амплитуды w(x) при |ге'|-»=о. В случае, когда величина градиента температуры будет меньше

критической, единственным решением будет а,=0, что соответствует покоящемуся НЖК.

Когда появляются нетривиальные решения,

например, в виде плоской волны. Абсолютный минимум ОТП реализуется для роллов с критическим значением волнового числа Оказалось, что внутри области 0<А1 <(С((-Лс) /1С-;|)1 2 (где Д/ех - изменение волнового вектора вдоль оси ОХ, С} и С3 -константы, входящие в ОТП.

Показано существование еще одного решения, описывающее слегка искаженную решетку. Предполагается, что это решение не зависит от координаты у и описывает две различные решетки для х->-оо и дг—>оо, отличающиеся фазами. Они плавно переходят друг в друга в области около х=0. Состояния, описываемые последним решением, соответствуют седловым точкам нашего потенциала, которые расположены в функциональном пространстве.

В пятой главе проводится анализ полученного в предыдущей главе обобщенного термодинамического потенциала. Используя квазитермодинамическое приближение рассчитаны одно и двумерные флуктуации основных гидродинамических переменных НЖК в поле градиента температуры для более общего случая.

В §5.1 рассматривается ОТП, зависящий лишь от одной координаты х. Для нахождения независящих от времени двухточечных корреляционных функций в случае теплопроводности

необходимо знать плотность совместной вероятности

Путем решения соответствующего дифференциального уравнения в

частных производных (согласно теореме Фейнмана-Каца) найдены

не зависящие от времени корреляционные функции для режима теплопроводности. Для нахождения зависящих от времени корреляционных функций используется квазилинейное приближение. Для этого в функционале слагаемое |го|4 заменяется ; на <|а'|2>|к'р. Затем полученный ОТП диагоналпзируется с ! помощью пространственного Фурье-преобразования, которое позволило оценить выражения для корреляционных функций. При рассмотрении режима термоконвекцин комплексная амплитуда гг ; пропорциональна (1+гСг))ехр(гр(.г)), где г(х) - малая флуктуация ' амплитуды, tp(x) - медленная флуктуация фазы. В этом случае уже необходимо оцепить корреляционные функции Kr(q) и Kp(q). Используя квазилинейное приближение были найдены выражения для независящих от времени корреляционных функций для режимов теплопроводности и термоконвеции. Зависящие от времени корреляционные функции для режима термоконвекции и теплоироводпоЬти найдены из решения уравнения Фоккера-Плапка в рамках квазилинейного приближения.

В §5.2 рассматриваются флуктуации, распространяющиеся во всех направлениях в плоскости А'ОУ. Как и в предыдущем параграфе здесь получены временные и пространственные корреляционные функции для случаев R<Rc » R>Rc-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Основные физические результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Получено стохастическое уравнение движения для комплексной амплитуды, через которую выражаются все гидродинамические переменные системы, модуль которой описывает

интенсивность вращения роллов, а фаза - их положение в пространстве.

2. Используя теорию возмущений, впервые получен обобщенный термодинамический потенциал, аналог свободной энергии для „ неравновесных систем, описывающий НЖК во внешнем поле градиента температур.

3. Определено теоретически критическое значение градиента температуры, соответствующее возникновению термоконвекцин в нематике. Найдены три типа взаимодействующих мод, одна из которых является мягкой модой и при приближении величины приложенного градиента температур к критическому значению (снизу) она переходит в нулевую и вызывает термоконвекцию, в то время как другие остаются затухающими.

4. Рассмотрены, одно- и двумерные флуктуации основных гидродинамических переменных НЖК в поле градиента температур, получены зависящие и независящие от времени корреляционные функции для режима термоконвекции и теплопроводности. Исследованы одно- и двумерный случаи.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. Функциональный подход к проблеме Бенара-Рзлея для нематического жидкого кристалла / / Письма в ЖТФ, 1.988, Т.24, Вып.12, С.6-12.

2. Мигранов Н.Г., Веревочников A.B. Функциональный подход к проблеме шевронов в нематпческих жидких кристаллах // УФЖ, 1998, Т.43, N3, С.313-317.

3. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В., Чувыров А.Н. Флуктуации директора, скорости, температуры вблизи порога термоконвекции нематического жидкого кристалла // УФЖ, 1998, Т.43, N6, С.687-691.

4. Веревочников А.В., Мигранов Н.Г. Итерационный подход в конструировании обобщенного потенциала для нематического жидкого кристалла вблизи первой точки бифуркации // Вестник СамГУ, 1997, N3(6), С.115-119.

5. Веревочников А.В., Мигранов Н.Г. Построение функционала для нематического жидкого кристалла в поле градиента температур // Вестник Башкирского университета, 1997, N2(1, И), С.23-27.

6. Веревочников А.В. Гидродинамические флуктуации в нематических жидких кристаллах вблизи критических точек // Вестник Башкирского, университета, 1997, N2(1, II), С.28-30.

7. Migrcmov N.G., Verevochnikov A.V. and Chuvyrov A.N. j The functional construction for liquid crystals in the thermal field : gradient presence // Abs. of European Confernce of Liquid Crystals, Zakopane, Poland, 1997, P.377.

8. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The neinatic's director fluctuations in a finite thickness slab in the external ' electric field // Abs. of 16th International Liquid Crystal Conference, Kent, Ohio, USA, 1996, P.241.

9. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Hydrodynamic variables fluctuations in the nematic near the thermoconvective threshold // Abs. of PNS'97 (Patterns, Non-Linear

Dynamics and Stochastic Behaviour in Spatially Extended, Complex System), Budapest, Hungary, 1997, P.lll.

10. Migranov N.G., Verevochnikov A.V., Chuvyrov A.N. Hydrodynamic fluctuations in the liquid crystals above threshold of the spatial structure formation // Abs. of PNS'97 (Patterns, NonLinear Dynamics and Stochastic Behaviour in Spatially Extended, Complex System), Budapest, Hungary, 1997, P.112.

11. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Light scattering on liquid crystal director fluctuations in the thermoconvective flow // Abs. of SPIE Vol.3172 (Optical Technology in Fluid, Thermal, and Combustion Flow III), San Diego, California, USA, 1997, P.41.

12. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Исследование явления самоорганизации в жидких кристаллах в температурном поле при помощи функционала // Сб. тезисов Междунар. конф. «Математические модели и. методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии и технологических процессов)», Красноярск, 1997, С.53-5-1.

13. Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Light scattering on the fluctuations of the hydrodynamic variables in the liquid crystals near the threshold thermoconvective instability // Abs. of Vllth Internationa] Conference NOLPC'97, Partenit, Crimea, Ukraine, 1997, P.176.

14. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г., Чувыров ATI. Диссипативные структуры в жидких кристаллах в поле градиента температур // Сб. тезисов Первою Всероссийского семинара

"Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении", Москва, 1997, С.73.

15. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. О нелинейном поведении жидкого кристалла в присутствии флуктуации гидродинамических переменных / Сб. статей и тезисов науч. конф. по научно-техническим программам Минобразования России, Уфа, 1997, С.8-11. 1

16. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Решение линейной | задачи движения нсматика в тепловом поле / / Сб. статей и тезисов науч. конф. по научно-техническим программам Минобразования России, Уфа, 1997, С. 16-19.

17. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Докритическое поведение ориентированного нематика в поле градиента температур ; / / Ден. в ВИНИТИ, Москва, N1773-B97, 29.05.97, 8с.

18. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Описание критического поведения планарного слоя нематика при помощи | функции Ляпунова // Деп. в ВИНИТИ, Москва, N1772-B97, , 29.05.97, 8с.

19. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Корреляционные функции основных гидродинамических переменных в жидких кристаллах в задаче Рэлея-Бенара // Деп. в ВИНИТИ, Москва, N3565-B97, 08.12.97, 8с. 1

20. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. К вопросу образования шевронов в поле градиента температур в планарном нематике -'/ Деп. в ВИНИТИ, Москва, N3566-B97, 08.12.97, 11с.