Волны конечной амплитуды в неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

•л

^ " САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ^ УНИВЕРСИТЕТ

\

На правах рукописи Перегудин Сергей Иванович

ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУЛЫ В НЕОДНОРОДНОЙ

ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук.

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета прикладной, математики - процессов управления Санкт - Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ —

доктор физико-математических наук. Алешков

профессор Юрий Зосимович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ —

доктор технических наук, Загрядская

профессор Наталия Николаевна, кандидат физико-математических Рыдалевская

наук, доцент Мария Александровна

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Морской гидрофизический институт

Защита диссертации состоится " года в

часов 3.0 минут на заседани диссертационного совета К.063.57.13 по присуждению ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького СПбГУ по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская набережная, д. 7/9. Автореферат разослан " ^ "У^а^л^хЭч 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.- мат. наук, доцент Нарбут М.А.

1 Общая характеристика работы

1.1. Актуальность проблемы. Развитие человечества неразрывно связано с океаном. Водный покров земного шара почти в три раза превосходит по площади часть, занимаемую сушей. Море посылает человеку многообразно растительного и животного мира, даст огромный энергетический потенциал, по сей день морские пути остаются одним из важных средств общения, прибрежные зоны имеют наиболее благоприятную и устойчивую экологическую обстановку. В будущем человечество ещё в большей степени будет связано с океаном — гидротехнические сооружения дальше продвинутся в морс, затаённая энергия водной толщи послужит на пользу человеку.

Данная работа посвящена одному из важных вопросов теории волн — внутренним волнам, распространяющимся в стратифицированной жидкости. В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии и физики атмосферы, а также в связи с использованием криогенных жидкостей в технике и рядом других проблем задачи о распространении внутренних волн и колебаний в стратифицированных жидкостях вызывают наибольший интерес. Реальный мировой океан представляет собой сложную динамическую систему, в частности он вращается вместе с Землёй и стратифицирован по глубине. В связи с этим можно отметить. что экспериментальные исследования и натурные наблюдения внутренних волн представляют собой достаточно сложную в техническом отношении задачу, что особенно повышает роль теоретических исследований.

1.2. Цель работы. Основная задача диссертации состоит в исследовании внутренних волн конечной амплитуды в неоднородной жидкости и их взаимодействия с вертикальной стенкой, а также изучения влияния стратификации и рельефа на волновой режим.

1.3. Основные научные задачи.

1). Исследование процесса распространения поверхностных и

внутренних волн в жидкости со скачком плотности как соответствующей нелинейной задачи для системы уравнений в частных производных. ^

2). Исследование закономерностей взаимодействия волн конечной амплитуды с вертикальной стенкой при фронтальном подходе.

3). Изучение математической модели, описывающей течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины.

4). Исследование влияния рельефа и стратификации на распространенно внутренних волн.

1.4. Методы исследования. В основ}' исследования названных задач положены основные законы гидромеханики и теории внутренних гравитационных волн. При реализации полученных математических моделей используются методы математической физики. в частности метод возмущений, метод малого параметра, аппарат функций Грина, аналитические и приближённые методы решения краевых задач. Приведенные решения позволяют производить качественный анализ изучаемой проблемы непосредственно,либо с применением ЭВМ.

1.5. Научная новизна работы. Основные резулыаты. выносимые на защит\г, являются новыми.

1.0. Теоретическая и практическая значимость работы. Проведенные исследования углубляют представление о распространении внутренних волн в океане и взаимодействии их с сооружсни-ямия. имеющими вертикальную грань. Полученные результаты и методы могут быть использованы для расчета силового воздействия волн, для определения волнового режима акваторий, в исследованиях специалистов по гидродинамике и математической физике.

Полученные аналитические решения могут позволить проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных.

1.7. Достоверность основных научных положений диссертации и полученных результатов обеспечивается строгостью постанов-

ки задачи и используемого математического аппарата: сопоставлением некоторых положений и следствий с результатами, известными в литературе.

1.8. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

- Восьмой международной сессии Рабочей Группы "'Лабораторное моделирование динамических процессов в океане"' на тему "Пограничные эффекты в стратифицированной и/или вращающейся жидкости"' (С.-Петербург, июнь 1995);

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"' (Саранск, декабрь 1994);

- Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Прикладная механика) (Киев, май 1995):

- семинарах аэродинамической лаборатории НИИММ СПбГУ, кафедры гидроаэромеханики математико - механического факультета и кафедры высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского университета (1991-1995).

В целом работа докладывалась на кафедре высшей математики ( рук. профессор Ю.З.Алешков) и гидроаэромеханики СПбГУ (рук. чл.-кор. РАН В.Г. Дулов, 1995).

1.9. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах 1-6.

1.10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения. четырех глав, Заключения и списка литературы. Работа изложена на 172 страницах машинописного текста, из них 12 страниц —. список литературы, содержащий 103 наименования.

i

2 Содержание работы

Во Введении раскрывается актуальность темы диссертации, освящается состояние изучаемого вопроса, выявляется отношение по-

лученных результатов к результатам других авторов, излагается краткое содержание каждой из глав.

Первая глава посвящена волнам малой амплитуды и их распространению над неровным дном. Первый параграф содержит вывод основных уравнений и граничных условий. В декартовой прямоугольной системе координат представлена система уравнений:

div v = 0 ,

1 + ^ = 0,

dv у -» V»

— + V— -v xrotv = -gj--

ot 2 р

с граничными условиями дт] дг)

p=p0(i,i),

дН дН

+ vt —--h t'y = 0 ,

У = r](x,t) , У = V(x,t) : у=-Н{хЛ) ,

81 1 дх

описывающая движение несжимаемой и невязкой стратифицированной жидкости со свободной поверхностью над твёрдым дном. В результате линейных преобразований, предположения малости

амплитуды и малости |Н(хЛ) — Я0|

ОН

дх

.исходная система при-

водится к уравнению в частных производных для вертикальной скорости ш(х,у)

2

д . . д dt + u{y)dï ( д . ч д

N2 dw d2w g ду дх2

ду2

'д2и К2 ди ,ду2 д ду с неоднородными условиями на границе

dw дх

+

— N2

tfw дх2

д . д — + и(у) —— Ôt yj) дх

1

д2

W

dw ( д . д \ du dw ду~ + di) !hj

д . . д

p кШ + и{у)Тх

дх2

У = о,

~ + (« + ух) ^ + (Н(х, 0 - Я0) = 0 , = -Н0 .

2 9 &Р _ где Л = — —■—- —--квадрат частоты Вяйсяля-Брента. р = р{у) +

Р{у) ОУ

+р' и стратификация предполагается устойчивой, то есть р'{у) < < 0. Коэффициенты уравнения для ги(х,у) переменны и зависят посредством скорости набегающего потока и(у) и квадрата частоты Вяйсяля - Врента 1\'2(у) только от вертикальной координаты.

Далее в параграфах 1.2, 1.3 и 1.4 рассматриваются частные решения граничной задачи для ги(х.у), соответствующие самостоятельным задачам теории внутренних гравитационных волн.

Так §1.2 рассматривает случай, когда движение имеет установившийся вид. Данному случаю соответствует совокупность первой и третьей краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Для некоторых частных видов стратификации и скорости и(у) решение представляется в виде ряда Фурье. Качественный анализ полученного решения позволяет судить о влиянии рельефа на основные гидродинамические характеристики.

§1.3 рассматривает случай, когда движение носит чисто волновой характер, то есть и(у) = 0. При гармонической зависимости от времени и экспоненциальном убывании плотности с высотой, решение, так же в виде ряда Фурье, позволяет сделать выводы о параметрах волны за препятствием.

Рассматриваемый в §1.4 общий случай начально-краевой задачи о распространении волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности при помощи интегрального преобразования Лапласа по времени и преобразования Фурье по горизонтальной координате в случае экспоненциального распределения плотности также позволяет построить решение, характеризующееся рельефом дна.

Заключительный параграф первой главы, §1.5, рассматривает установившееся движение неоднородной жидкости со свободной поверхностью над горизонтальным дном. В отличии от преды-

дущей. в данной задаче вместо эйлеровых переменных (х.у) используются переменные (я, и) и стратификация характеризуется функцией /9(f)- а se квадратом частоты Вяйсяля - Брента. В результате замены переменных, свс1оодная поверхность становится известной функцией. Искомыми функциями становятся горизонтальная и вертикальная составляющая вектора скорости а в си-л3' уравнения неразрывности, модифицированного л-равнения Дю-брейль - Жакотен

о

дах йау дач , , [ 1

+1~ aï = /г (v) ~9Р(v)i îm dt '

о

û2

!i(v) = у + Р + 9Р(^)У

и граничных условий.

В предположении малости отклонения линий тока от горизонтального положения, гидродинамическая задача сводится к смешанной краевой задаче в терминах вертикальной скорости для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом, зависящем от изменения плотности по линиям тока. Решение полученной задачи представлено в случае постоянной и кусочно-постоянной плотности. Для случая произвольного распределения плотности построена функция Грина, позволяющая представить решение в виде интегрального уравнения. Для экспоненциального убывания плотности с высотой, приближённое решение построено при помощи метода Галёркина. Качественный анализ полученных решений позволяет судить о влиянии стратификации на волновой режим.

Во второй главе рассматривается вопрос о движение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины, когда свободная поверхность отсутствует, а дно имеет неровность. В первом параграфе, предполагая плотность постоянной, отсутствие

вихря позволяет записать следующую задачу

дхг + д,/ ~ '

д-Р

у = 0,

Оу

ОН ду др

где у (а;, у) — потенциал скорости, у = —Н{х) — уравнение дна, оси ХО\~ — оси прямоугольной декартовой системы координат, причём, твёрдая крышка совпадает с осью абсцисс. В предположении почти ровного дна, потенциал скорости ищется в виде суммы потенциала набегающего потока и возмущения, вносимого препятствием.

ф.у) = их+Ф{т.у. г) .

Краевые условия на нижней границе аппроксимируются рядом Тэйлора в окрестности равновесного состояния. Предположение о возможности представления возмущения набегающего потока в виде сходящегося степенного ряда по малому параметру

»'=1

характеризующего рельеф дна, позволяет для коэффициентов ряда получить последовательность краевых задач. Так как представлено реккурентное соотношение, позволяющее для любого члена ряда выписать соответствующее ему уравнение с граничными условиями, то рассмотрен случай первого приближения, из которого можно вычислить все последущие. Решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа представлено в виде ряда Фурье по ортогональной системе функций. Аналогичным методом рассмотрен случай, когда твёрдая крышка также имеет неровность. В окончательном виде с учётом первого приближения представлено выражение для потенциала скорости потока. Учёт остальных

членов ассимптотического разложения не приводится по причине подобия и громозкости вычислений. Анализ предельной скорости потока позволяет сделать вывод о зависимости скорости от рельефа дна. .... /

В §2.2 рассматривается установившийся поток стратифицированной жидкости в канале с неровным дном при условии, что твёрдая крышка также может иметь неровность.

(Ни а = 0 , а ■ V/) = 0 ,

дН

(а • V) а = —г>р] — \'р , V — — и граничные условия

ап = 0 , у = а(х) , ап = 0. и = ,3(.г);.

где Я — глубина жидкости, с — характерная скорость. Рассматриваемая гидродинамическая задача приводится к задаче Дирихле в терминах вертикальной скорости для уравнения Гельмголь-ца, коэффициент коюрого зависит от скорости потока и распределения плотности вдоль линий тока. Представленное для частных случаев скорости и плотности решение также позволяет судить о влиянии рельефа и стратификации на параметры волнового движения.

В третьей главе рассматривается задача безвихревого движения двух слоев идеальной несжимаемой жидкости над твёрдым дном. Жидкость в каждом слое предполагается однородной и считается. что слои не перемешиваются.

§3.1 рассматривает общую постановку задачи в переменных Эйлера. Используется декартова система координат, в которой ось абсцисс направлена вдоль невозмущенной поверхности раздела, ось ординат — вертикально вверх.

. о-

_

ах-2

¿у

Р] ■ д -Рз , 1 р} + дг + 2

ду

V дх

+

зя^а^эя ¿)у>1

5л: Эх 1

дщ дщ д^ _

' Sí 9л: (9л:

дх дх ду '

<9^ <9?/

Ра 2

Эх У ^ \ ду )

у = т]1(х,г), у = Н2 + Г)2(х, ,

+ 5(Я2 + ?г2) = /2(<),

у = Я2 + 0 ?

где — потенциал скорости, г/ = — Я(х,?) —уравнения дна, у = — уравнения поверхности раздела, — давление, р,

— плотность. /_,■(<) — произвольная функция времени, — давление, приложенное к свободной поверхности у = Н2 + 1]2{хЛ) , Н2

— глубина верхнего слоя в невозмущённом состоянии. Величины, относящиеся к нижней жидкости, отмечены индексом 1, а к верхнему слою — индексом 2.

В §3.2, за счёт предположения о малости амплитуды, производится линеаризация граничных условий на свободной поверхности и на поверхности раздела. После предположения о горизонтальности и недеформируемости дна, постоянстве давления, приложенного к свободной поверхности, потенциалы скорости ищутся в виде плоской стоячей волны. Учёт граничных условий порождает дисперсионное соотношение, зависящее от плотности и относительной глубины каждог<{ слоя. Отличие рассмотренного случая от однородной жидкости состоит в том, что здесь присутствуют два вида частот, порождающие два семейства волн. Анализ отношения амплитуд колебаний внутренней и поверхностной волн выявляет возможность существования двух различных ти-

нов волнового процесса. В заключении параграфа представлено выражение для фазовой скорости бегущей волны.

§3.3 рассматривает задачу §3.2 в подвижной системе координат, что позволяет судить об установившихся волнах. Использование безразмерных переменных и безразмерных искомых функций позволяет преобразовать данную задачу в систему уравнений с малым параметром е, характеризующем крутизну волны. При £ равном нулю решение задачи схоже с решением §3.2. При отличном от нуля г решение ищется в виде степенных рядов при помощи первого метода Стокса. Граничные условия на свободной поверхности и на поверхности раздела аппроксимируются рядом Тэйлора в окрестности соответствующего невозмущённого уровня. Приравнивание коэффициентов при степенях малого параметра позволяет получить краевые задачи первого, второго и третьего приближения.

В §3.4 найдены первые три приближения, то есть представлено решение с точностью до =3. Качественный анализ решения показывает, что изменение формы волны проявляется уже со второго приближения — гребень уже, впадина шире, изменение фазовой скорости наблюдается только с третьего приближения. В заключении параграфа представлены выражения для высоты внутренней и поверхностной волны. Все представленные выражения предполагают конечность или бесконечность глубины жидкости.

В четвёртой главе рассматривается задача о стоячих волнах в двухслойной жидкости и их взаимодействии с вертикальной стенкой.

В первом параграфе формулируются основные уравнения и граничные условия задачи набегания внутренней и поверхностной волны на вертикальную стенку.

^ + .¿ = 1,2, дх\ ду[

Р]

дН'

5/,

2й Ох,

+

ду 1

• +

ОН*

+ — = 0 . дх 1 с).Г1 дух

V1 = Р2 •

М + М^г!

с?.Г] (9.1-1

<9</1

_ у}

ММ

с?/1 О.Г] дх\

Р-1 О.

. 1

01X

+ 9

м

дт

0.г г

+

Л '*

От

Г}

0х}

= о.

.г = 0

У1 = Щ + чЦхии),

+ 9 + =

= 0

В предположении горизонтального дна рассматривается задача о волнах малой амплитуды и производится качественный анализ решения.

В §4.2 при помощи первого метода Стокса исследуется влияние нелинейности на каждый тип волн. С точностью до £3 представлены выражения для потенциалов скорости, ординаты свободной поверхности и поверхности раздела. Выводы о характере волнового движения аналогичны соответствующим выводам главы 3.

Заключительный параграф четвёртой главы исследует взаимодействие волн с вертикальной стенкой. Выражения для давления, найденные из интеграла Лагранжа-Коши

д

Рз 3 р] к 01

¡1 2

дх

+

дц

2 7Г

а

\

где под ^ понимается степенной ряд:

,„* _ - „« 1-2 I _3 .„* I

I

и погонной нагрузки на омываемую часть стенки ,

ег) 1

кР= ! У р-г<1у

-Я £41

представлены с точностью до с3.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы выполненного исследования:

1. Изучен процесс распространения внутренних волн малой амплитуды в слое стратифицированной жидкости переменной ограниченной глубины при наличии течения. Для конкретных случаев стратификации получено точное решение краевой задачи. В частности, если плотность экспоненциально убывает с высотой.

2. Произведен анализ распространения волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости. Рассмотрены случаи как конечной, так и бесконечной глубины жидкости. Полученные дисперсионные соотношения и аналитические решения позволяют выявить общие закономерности изучаемого процесса.

3. Исследованы закономерности силового воздействия нелинейных стоячих волн в двухслойной жидкости на вертикальную стенку при фронтальном подходе. Представлено выражение для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки.

4. Выполнен анализ течения однородной жидкости в канале переменной глубины. Представлено асимптотическое решение нелинейной задачи.

о. Рассмотрен вопрос о течении стратифицированной жидкости в канале переменной глубины. Для конкретного случая изменения плотности и скорости набегающего потока получено точное решение краевой задачи.

6. Исследовано влияние стратификации и рельефа на волновой режим.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в следующих работах: '

I

1. Алешков Ю.З., Перегудин С.И. Внутренние волны конечной амплитуды. - тезисы доклада в программе Международной конференции "Дифференциальные л-равнения и их приложения", 22 -24 декабря 1994 года. Саранск. 1994, С. 17.

2. Перегудин С.И. Потенциальное обтекание неровности дна потоком однородной жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 08.07.94, №1699 - В 94.

3. Перегудин С.И. Внутренние и поверхностные волны в слоисто - неоднородной жидкости. - В кн.: Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". 22 - 24 декабря 1994 года, Саранск. Саранск, 1995, С. 269 -276.

4. Перегудин С.И. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины. //Тр. семинара по дифф. уравнениям Мордовского гос. ун-та, Саранск, январь - июнь 1993 года / Морд. гос. ун-т. - Саранск, 1993. С. 40 - 47, Деп. в ВИНИТИ, 22.07.93, .\s2076 - В 93.

5. Перегудин С.И. Волны в неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности. - тезисы доклада в программе Международной конференции" Моделирование и исследование устойчивости систем" (Прикладная механика), 15 - 19 мая 1995 года, Киев. С. 93.

6. Peregudin S.I. Internal waves of finite amplitude in nonhomogeneous fluid. - "Boundary effects in stratified and/or rotating fluid", International Workshop Abstracts The Eighth meeting of the working group "Laboratory modelling ofr dynamic processen in the ocean", St.Petersburg, June 6 - 8, 1995. Moskow, 1995, P. 13.