Волны в жидкости, возбуждаемые поверхностной системой давлений, при наличии пластины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.^.

I. Волны в идеальной жидкости от периодических давлений в присутствии полубесконечной пластины.

1.1. Постановка и решение задачи (однородная жидкость)

1.2. Частный случай задания давления: ?

1.3. Постановка и решение задачи для упругой пластины

1.4. Численное исследование полученных решений

1.5. Волны в неоднородной жидкости.

1.6. Анализ результатов при конкретном давлении.

II. Волны на поверхности идеальной жидкости при наличии пластины конечной ширины.

2.1. Постановка и метод решения задачи (упругая пластина).

2.2. Решение задачи в случае широкой пластины.

2.3. Решение задачи при заданном давлении.

2.4. Случай жесткой пластины

2.5. Определение силы давления со стороны жидкости на пластину

III. Волны в вязкой жидкости,вызываемые поверхностной системой давлений,при наличии пластины.

3.1. Задача о колебаниях вязкой жидкости в присутствии тонкой полубесконечной пластины

3.2. Определение трансформанты Фурье потенциальной составляющей поля скоростей.

3.3. Свободная поверхность жидкости и компоненты скорости при заданном давлении

Вторая половина XX века характеризуется не только интенсивными атомными и космическими исследованиями, но и интенсивным освоением морей и океанов. Освоение Мирового океана в настоящее время выдвигается в ряд важнейших научно-технических проблем. Эффективное решение этой проблемы требует расширения исследований во всех областях науки об океане. Теоретическое и экспериментальное изучение волн, являющихся преобладающим, видом движения в океане, представляется в этой связи актуальным и практически значимым.

Разработка естественных богатств морей требует разрешения большого количества комплексных задач, в числе которых важное место занимают, вопросы определения волновых воздействий на гидротехнические сооружения, в частности на горизонтальные надводные преграды, которые выполняют функции оснований, причалов, волнозащитных сооружений.

В настоящей диссертации рассматриваются некоторые задачи теории волн тяжелой несжимаемой жидкости, связанные с изучением взаимодействия препятствий,, занимающих часть поверхности жидкости с волнами от периодических внешних нагрузок. В рамках линейной теории формулируются и решаются задачи о пространственном, движении жидкости, возникающем под действием периодического давления, в предположении» что часть поверхности жидкости покрыта тонкой пластиной конечной или бесконечной ширины.

К рассматриваемым задачам приводит исследование воздействия ледяного покрова, моделируемого тонкой упругой или жесткой пластиной, на волны, генерируемые колебаниями атмосферного давления, а также изучение ряда проблем волнозащиты, в которых пластина конечной ширины может рассматриваться как волнолом.

Исследование волнового воздействия на горизонтальные надводные преграды связано также с разработкой некоторых плавучих гидро. U О w и U /. технических сооружении с малой осадкой, простейшей схематизацией которых является горизонтальная пластина, расположенная на поверхности воды.

Научная новизна работы состоит в том, что задачи о генера -ции волн поверхностными давлениями рассмотрены в случае, когда только часть поверхности жидкости, покрыта тонкой пластиной. В работе получены зависимости, связывающие параметры образующихся волн с характеристиками давления и пластины, определены условия генерации волновых движений различных типов, проведен анализ возможности возникновения резонансных явлений. Изучено и воздействие генерируемых волн на пластину: установлена зависимость про -гиба пластины, распределения гидродинамического давления на ней от параметров, характеризующих давление и набегающие волны.

Поверхностные и внутренние волны, возникающие под действием периодических колебаний внешнего давления, приложенного к некоторому участку свободной поверхности, подробно исследованы в работах Черкесова JI.В.»Букатова А.Е.Доценко С.Ф.,Федосенко B.C. Основные результаты этих исследований изложены в [44-47]. В указанных работах при изучении процесса, развития воли (в предполо -жениях линейной теории) решение отыскивается с помощью преобра -зования Лапласа по времени и Фурье по горизонтальным координатам. Полученные выражения для вида свободной поверхности и поверхности раздела анализируются на большом расстоянии от источников возмущения асимптотическими методами. Соответствующие интегралы исследуются методом стационарной фазы. В [45 - 47] изучается также влияние ледяного покрова, моделируемого тонкой упругой пластиной, на волновые движения, генерируемые периодическими колебаниями внешней нагрузки ( атмосферного давления ), приложенной к некоторой области льда.

Волновые процессы, происходящие в море, покрытом льдом, широкий круг вопросов, имеющих отношение к динамике ледяного покрова, рассмотрены в работах Хейсина Д.Е. [40-41]. Бдесь исследуется влияние битых и сплошных льдов на распространение и затухание гравитационных волн,приводится решение задач о воздействии системы внешних динамических нагрузок на ледяной покров.

Следует отметить, что в упомянутых выше работах поверхность жидкости либо свободна от препятствий, либо вся покрыта тонкой пластиной.

Задачи волновых движений жидкости при наличии на свободной поверхности различного рода препятствий, по-видимому,впервые были поставлены Леви, Фридрихсом* Хейнсом, Вейтцем, Келлером [33] . Изучая плоское движение жидкости у нависшего обрыва, Леви предельным переходом (устремлением угла наклона обрыва к & ) получил так называемую задачу о доке: поверхность воды до некоторого места является свободной, а далее покрыта горизонтальной плоскостью.

Фридрихе и Леви [52] решили задачу о доке в случае двумерных волн. Решение проводилось методами теории функций комплексного переменного. Для трехмерных волн, имеющих синусоидальный вид в направлении кромки дока, в воде постоянной глубины, задача была решена Хейнсом [53] методом интегральных уравнений Ви-нера-Хопфа [27] . В 1956 году Хейнс рассмотрел эту же задачу в случае бесконечной глубины [54]. Вейтц и Келлер [б1] применили метод Винера-Хопфа для отыскания решения задачи об "упругом" доке, точнее, полуплоскость занятая твердой пластиной в этой задаче была заменена на область битого льда.

Выше перечисленные задачи касаются свободных колебаний жидкости при наличии твердого или "упругого" дока.

Различные задачи,как о действии препятствий на волны, так и о волновом движении, создаваемом колеблющимися погруженными телами, были рассмотрены Урселлом в серии работ [58-60] .

Рубин [57] сформулировал задачу о конечном доке, который представляет собой жесткую пластину конечной ширины, находящую -ся на свободной поверхности. Существование решений этой задачи, ведущих себя в бесконечности как прогрессивные волны, было доказано на основе вариационных принципов механики. Нахождение решения задачи было сведено к исследованию движения жидкости между полубесконечными доками.

Важные результаты принадлежат Йону и Флейшману, изучавшим действие плавающих тел на волны в мелкой воде [33] . Рассматривались двумерные движения жидкости при наличии на свободной поверхности жестко закрепленной в горизонтальном положении или свободно плавающей пластины. Нужно учесть, что полученные результаты пригодны лишь для длинных волн на мелкой воде.

В "[51] Феттером методом интегральных уравнений решена плоская задача о распространении волн от движущейся полосы, лежащей на свободной поверхности. Исследован случай резонанса, когда частота падающей волны равна частоте колебаний самой полосы.

В ряде работ Витгока В.Ф. [7-9] рассмотрены задачи о волновом движении жидкости при наличии препятствий, занимающих часть свободной поверхности. Так в [7] исследована дифракция волн малой амплитуды, набегающих из бесконечности на неподвижный док конечной ширины, моделируемый пластиной, расположенной на свободной поверхности. Для определения потенциала скоростей применялся метод Винера-Хопфа. Вычислены коэффициенты отражения и прохождения волн в случае нормального набегания, при условии, что ширина дока велика по сравнению с глубиной жидкости. В[8-9] изучалось движение жидкости, вызываемое колеблющимся участком дна, в предположении, что на поверхности находится жесткая полубесконечная ( [8] ) и конечная ( [9] ) пластина.

В первом разделе настоящей работы рассматриваются поверхностные и внутренние волны в жидкости конечной глубины, возникающие под действием периодического давления,приложенного к некоторой области поверхности жидкости, причем часть поверхности, покрыта тонкой полубесконечной пластиной.

Первые три подраздела содержат постановку и решение задачи длят случая однородной жидкости [62,66] . Предполагается, что пластина в жидкость не погружается; на возвышение свободной поверхности на кромке пластины и границе области, приложения давления накладывается условие ограниченности.Зависимость по одной из пространственных координат и времени выбирается в гармони -ческом виде. При помощи преобразования Фурье в комплексной области задача приводится к функциональному уравнению, из которого методом Винера-Хопфа определяется трансформанта Фурье искомого потенциала скоростей. Применение обратного преобразования Фурье дает решение задачи. В подразделах 1.1 - 1.2 пластина предполагается жесткой, подраздел 1.3 содержит решение задачи для, случая упругой пластины. Рассмотрен конкретный случай задания давления. Найдены аналитические выражения: вида возникающих волн, исследована зависимость характера волнового движения от параметров прикладываемого давления и возможность возникновения резонансных явлений.

Проведено численное исследование амплитуд волн, генерируемых приложенным давлением, отраженных от пластины и возникающих за областью приложения давления, для различных значений параметров, которые определяют скорость распространения волны давления вдоль кромки пластины, ширину области приложения дав -ления, угол падения генерируемой волны на пластину, упругие свойства пластины. Результаты расчета и их анализ приведены в подразделе 1.4.

В подразделах 1.5 - 1.6 в тех же предположениях рассматриваются волны,возникающие на свободной поверхности и поверхности раздела двухслойной жидкости конечной глубины [бЗ]. В каждом из слоев плотность жидкости постоянна.Получены выражения вида свободной поверхности и поверхности раздела. Как и для, однородной жидкости показана возможность возникновения различных типов волновых движений, определены условия, при которых имеет место явление резонанса.Поскольку аналитические выражения вида волн являются весьма сложными, то для выяснения влияния параметров задачи на длину и амплитуду образующихся волн выполнен численный расчет, результаты которого приведены в виде графиков и таблиц.

Во втором разделе исследуется волновое движение жидкости, генерируемое периодическими поверхностными возмущениями в предположении, что на свободной поверхности находится пластина конечной ширины [65].

Подраздел 2.1 содержит постановку и метод решения задачи в случае упругой пластины. Толщина пластины предполагалась много меньше глубины жидкости. Возникающее функциональное уравнение сведено к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой при выполнении условий регулярности может быть получено методом последовательных приближений. В подразделе 2.2 в предположении (широкая пластина) определяется потенциал скоростей движения жидкости. На основании общего решения рассмотрен частный случай задания давления (подраздел 2.3). В подразделе 2.4 решена задача в случае широкой жесткой пластины. Указаны причины, побудившие рассмотреть отдельно этот случай. Полученные результаты позволяют рассчитать (подраздел 2.5) распределение давления на пластине, силу, действующую на пластину со стороны жидкости , и ее момент, амплитуды волнового движения, коэффициенты отражения и прохождения. Результаты вычислений оформлены в виде графиков и таблиц.

Третий раздел посвящен исследованию волн от периодического давления при наличии пластины в вязкой жидкости [64,67].

Метод решения задач о линейных колебаниях вязкой жидкости, опирающийся на возможность представления поля скоростей в виде суперпозиции потенциального и вихревого, изложен в работах Моисеева H.H. [23-24] . При рассмотрении движений вязкой жидкости, которые близки к безвихревым движениям идеальной жидкости,функции Y и % » описывающие вихревую составляющую поля скоростей, можно считать отличными от нуля только вблизи твердых границ и свободной поверхности. Вдали от границ области, течение жидкости будет близко к потенциальному* В этом случае функции ¥ и X будут функциями типа пограничного слоя [14] . На границе области они будут компенсировать невязку граничных условий, которая возникает, если решать задачу в рамках идеальной жидкости, и будут экспоненциально убывать вдоль внутренней нормали к границе области. Этим методом был получен ряд результатов: Багаева Н.Я. и Моисеев H.H. [з] решили задачу о стоячих волнах между вертикальными стенками (рассматривались свободные и вынужденные колебания), Шмидт А.Г. [42-43] получил решение задачи о гравитационных и капиллярных волнах на поверхности шарового слоя и на поверхности жидкости конечной глубины.

В данной работе указанный метод используется для приближенного решения задачи о движении вязкой жидкости, возникающем под действием периодических давлений, при наличии полубесконечной пластины. В подразделе 3.1 получены выражения для Y и X через граничные значения потенциальной составляющей поля скоростей ¥ . Для определения функции f возникает отдельная краевая задача, решение которой путем сведения к функциональному уравнению, изложено в подразделе 3.2. Полученное общее решение позволяет определить вид свободной поверхности и выражения составляющих скорости при конкретном давлении ( подраздел 3.3 ). Для ряда значений параметров выполнен расчет амплитуд возникающих волн, построены графики изменения составляющих скорости по глубине жидкости под пластиной. Проведен анализ полученных результатов и их сопоставление с аналогичным расчетом для случая идеальной жидкости.

В заключении изложены основные результаты работы.

При решении рассмотренных задач использованы методы теории интегрального преобразования Фурье и теории функций комплексного переменного.Возможность применения методов и соответствующих теорем строго аргументирована. Научные предположения, сделанные в работе,согласуются с основными положениями теории волновых движений жидкости. Полученные в диссертации соотношения качественно согласуются с известными результатами работ Черкесова Л.В. [45-46 ]. Как частный случай, из решения (2.4.10)42.4.14) вытекают результаты работы Витюка В.Ф. [7]. Отсюда следует, что исходные предположения не противоречивы, а результаты и выводы диссертационной работы являются достоверными.

Исследования, проведенные в диссертации, позволяют прогнозировать параметры вынужденного волнового движения и степень его воздействия на горизонтально расположенные препятствия по известным из наблюдения источникам возмущения (атмосферные давления), характеристикам пластины и ее расположению. Полученные на основе этого оценки параметров волн имеют практическое применение в вопросах навигации, а также могут использоваться при проектировании волнозащитных сооружений.

I. ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ОТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДАВЛЕНИЙ В ПРИСУТСТВИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ.

Основные результаты работы коротко можно сформулировать так:

1. В предположении линейной теории получено решение задачи о волновом движении идеальной жидкости, генерируемом периодической системой давлений,приложенной к полосе свободной поверхности. Часть поверхности жидкости ( вне области приложения давления ) покрыта тонкой полубесконечной пластиной. Рассмотрены случаи жесткой и упругой пластины,

2. Исследована зависимость характера возникающего волнового движения от параметров прикладываемого давления, определены условия, при которых имеет место явление резонанса. Установлено, что на свободной поверхности жидкости образуется незатухающее волновое движение, когда скорость распространения волны давления вдоль кромки пластины ( С^-со/к ) превосходит скорость распространения прогрессивной волны ( ОгкЬ. ). Если указанные скорости совпадают ( имеет место явление резонанса. По мере продвижения под жесткой пластиной волновое движение затухает.

3. В случае упругой пластины получено выражение для частоты собственных колебаний поверхности пластина-жидкость. При совпадении частоты прикладываемого давления с частотой собственных колебаний в области расположения пластины наблюдается резонанс. Показано, что в данном случае, четырем возможным связям между исходными параметрами соответствует четыре различных типа движения жидкости: а) во всей области течения развивается незатухающее приЬя!-*«» волновое движение; б) прогрессивная: волна, генерируемая на свободной поверхности не проходит под пластину; в) незатухающая с ростом |д?1 волна существует лишь в области расположения пластины; г) прикладываемое давление не генерирует незатухающее при

Л1! — «» волновое движение жидкости.

4. Проведено численное исследование решений, в предположении,что во всей области течения развивается незатухающее с ростом волновое движение. Выполене расчеты амплитуд возникающих волн и коэффициентов отражения для различных значений параметров»характеризующих прикладываемое давление, расположение и жесткость пластины. Результаты приведены, в виде: таблиц и графиков зависимостей рассматриваемых величин от волнового числа {к=кк ).Этот параметр при фиксированных значениях глубины к и частоты ¿А определяет как скорость распространения волны давления вдоль кромки пластины, так и угол на.бегания генерируемой волны на пластину. При этом установлено: а) амплитуда генерируемой волны возрастает с уменьшением скорости Сд , причем в интервале О * к * соответствующем уменьшению отношения <^/9 Д° значения 1.6-1.4, рост амплитуды происходит по линейному закону, а, скорость ее роста определяется длиной волны и шириной области приложения давления; б) коэффициент отражения КР для жесткой пластины при всех значениях параметров практически равен единице, а для случая упругой пластины его величина растет при уменьшении длины волны и вид зависимости, Кг(к) в области больших значений к существенно определяется жесткостью пластины; в) амплитуда Л волнового движения за областью приложения давления' в значительной степени определяется фазами генерируемой и отраженной волн; в случае жесткой пластины зависимость Л(к) имеет большое число; локальных экстремальных значений при генерации, коротких волн и для большинства значений волнового числа К происходит отражение, усиливающее генерируемую волну; в случае упругой пластины М(к) монотонно возрастает с ростом к и жесткости пластины; г) отношение амплитуды волнового движения поверхности пластинажидкость к амплитуде генерируемой волны растет при увеличении длины волны.

5. На двухслойной модели исследовано влияние жесткой полубеско -нечной пластины на внутренние волны, возбуждаемые поверхностными периодическими возмущениями. Получено уравнение для определения скоростей <у/ и прогрессивных волн, распространяющихся по свободной поверхности и границе раздела. Показано, что если

- С^т = ), то в области вне пластины на свободной поверхности и поверхности раздела наблюдается, явление резонанса. Пока

Сц^О^т, % то движение жидкости представляет собой наложение двух прогрессивных волн: поверхностной (соответствующей т-1 ) и внутренней (соответствующей т = 2> ). Если то на обеих поверхностях образуется одна внутренняя волна. В случае, когда

9* незатухающее волновое движение отсутствует. Наличие пластины на поверхности жидкости приводит к изменению характера волнового движения на границе раздела под пластиной, в этой области возникает лишь одна внутренняя волна, а генерируемая приложенным давлением поверхностная волна под пластину не распространяется.

6. Представлены результаты численного анализа полученного решения. Исследована зависимость длин образующихся волн1 от отношения плотностей. Показано,что длина внутренней волны, возникающей под пластикой,, незначительно отличается от длины внутренней волны, распространяющейся вне этой области. Для. ряда значений параметров определена зависимость амплитуд волн от отношения плотностей и глубин слоев жидкости.

7. Изучено воздействие системы давлений, приложенных к поверх -ности жидкости на пластину (упругую и жесткую) конечной ширины. Для случая широкой пластины определен потенциал скоростей движения жидкости, получены аналитические выражения для силы и момента силы, действующих на пластину.

8. Для случая конечной жесткой пластины выполнены расчеты, которые иллюстрируют применение полученных аналитических результатов для практических целей и позволяют сделать следующие выводы: а) амплитуда давления достигает наибольших значений при больших отношениях когда генерируемая волна набегает на пластину под углом, близким к 90°; уменьшение угла набегания приводит к уменьшению- давления, причем на правом конце пластины (расположенном со стороны набегания волны) амплитуда давления уменьшается значительно медленнее, чем на левом; соотношение между значениями давления на концах пластины существенно зависит от ее ширины; б) при фиксированной длине набегающей волны (Л ) распределение давления на пластине определяется в значительной степени значением расстояния между пластиной и областью приложения давления

В-О. ; в) при фиксированных значениях угла набегания и отношения Л/(3~а) амплитуда давления уменьшается с уменьшением длины волны; г) коэффициент прохождения при малых углах набегания близок к нулю, а изменение его значений в зависимости от длины волны показывает, что жесткая пластина эффективна как волнолом при больших значениях частоты прикладываемого давления.

9. Получено приближенное решение задачи о движении вязкой жидкости под действием поверхностных давлений при наличии жесткой полубесконечной пластины. Показано: а) различия в значениях горизонтальных составляющих ( и , V ) для идеальной и вязкой жидкости велики лишь в слое жидкости толщины о.огк „ прилегающем к пластине и дну, а для остальных глубин - не превосходят 0.5$. Значения вертикальных составляющих V/ ) по всей глубине жидкости практически совпадают; б) характер зависимости И , V , V/ от глубины существенно определяется значением угла набегания генерируемой волны на пластину;при уменьшении этого угла наблюдается рост всех составляющих скорости в верхней области движения жидкости, при этом изменение вертикальной составляющей происходит в наиболее узких пределах; в) для любого фиксированного угла набегания волны на пластину составляющие скорости, принимают наибольшие значения в верхнем слое жидкости; с увеличением глубины Ц , V , V? убывают и могут иметь ряд локальных экстремумов; г) по мере продвижения под пластиной и , V , И/ уменьшаются, причем в верхней части течения быстрее, чем в нижней; затухание движения жидкости происходит наиболее быстро в случае коротких волн.

ЗАКЛ ЮЧЕНИЕ

1. Алешков Ю.З., Лиодт Г.О. Прохождение волн через систему двух вертикальных пластинок.- Водные ресурсы, 1978,с. 159-165.

2. Алешков Ю.З. Гидродинамическое воздействие на тонкое тело при его неустановившемся продольном движении в жидкости конечной глубины.-Изв. АН СССР,MST, 1979,ЖЕ,с.'76-82.

3. Алешков Ю.З., Ермаков B.C. Волновые нагрузки на плавучие сооружения.- В кн.: Исслед. мор. гидротехн. сооруж. для освоения шельфа. Л., 1980,с. 19-24.

4. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. -Л.: ЛГУ, 1981.- 196 с.

5. Багаева Н.Я., Моисеев H.H. Три задачи о колебаниях вязкой жидкости.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т.4, 152, с.317-326.

6. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного,- М.: Наука,, 1969.- 239 с.

7. Витюк В.Ф. , Дифракция поверхностных волн на доке конечной ширины.- гаШ, 1970, т.34, J£l, с.32-40.

8. Витюк В.Ф. Волны, возникающие от возмущений дна бассейна, при наличии дока.- ПМЧ, 1972, т.36, JB4, с. 636-640.

9. Витюк В.Ф. К теории устойчивости плавающей пластины.- Изв. АН СССР,», 1977,15Т,с.170-172.

10. Войт С.С. Волны на поверхности жидкости, возникающие от перемещающейся периодической системы давлений.- ГОШ,1957,т.21, II,с.21-26.

11. Войт С.С. Волны на поверхности жидкости, возникающие от переменной системы давлений.- Труды 1ЛГИ АН СССР,.- 1957, 10.

12. Войт С.С. Волны на поверхности раздела двух жидкостей, возникающие от перемещающейся периодической системы давлений.-Труды МГИ АН СССР, 1959,17,с.27-35.

13. Войт С.С. Дифракция от полуплоскости волн, образуемых на поверхности периодически действующим источником.- ПММ, IS6I, т.25,Я2,с.370-374.

14. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для дифференциальных уравнений с малым параметром.-Успехи матем. наук, 1957,т.12,вып.5/77,с.3-122.

15. Дифракция и волны. 8-й Все с. симпозиум по дифракции и распространению волн. Краткие тезисы докладов. Т.1,Т.2,Т.З. -М.: ВНИИ физ. измерений Госстандарта ССОР, 1981.- 1104 с.

16. Дмитриев A.A. Волны на поверхности вязкой жидкости, возбуждаемые пульсирующим источником.- Изв. АН СССР,сер. геофиз., 1953,

17. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.- М.-Л.,Физматгиз, 1962.- 708 с.

18. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика .4.1.- М.: Гостехиздат, 1955.- 324 с.

19. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.- М.: Наука, 1973.- 416 с.

20. Лебедев А.Н. Волны на поверхности вязкой жидкости конечной глубины, вызванные начальными возмущениями.- МГИ, 1969 , 1(43), с. 170-184.

21. Лебедев А.Н. Влияние ледяного покрова на распространение поверхностных гравитационных волн в вязкой жидкости.- МГИ, 1969, 2(44),с.121-136.

22. Моисеев H.H. Вводная статья.- В сб.: Теория поверхностных волн. М.: ИЛ, 1959,с.5-27.

23. Моисеев H.H. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость жидкости мала. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961,т.1,^3,с.548-550.

24. Моисеев H.H. О течении тяжелой жидкости над волнистым дном.- ?т

25. Л ММ, 1957,т.21, )i?I, с.15-20.

26. Моисеев H.H. Некоторые вопросы гидромеханики поверхностных волн.- В сб.: Механика в СССР за 50 лет.- М.: Наука, 1970, т.2,с.55-78.

27. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1958,т.I.- 930 с.

28. Нобл Б. Применение метода Зинера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.:ИЛ,1962.-278с.

29. Поверхностные и внутренние волны.- Севастополь: Изд. МГИ АН УССР, 1981. 137 с.

30. Селезов И.Т., Яковлев В.В. дифракция, волн на симметричных неоднородностях.- К.: Наук, думка, 1978.- 145 с.

31. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного.- М. : Наука, 1970.- 304 с.

32. Снеддон H.H. Преобразование Фурье.- М.: ИЛ, 1955.- 666 с.

33. Сретенский Л.В. Теория волновых движений жидкости.- М.: Наука, 1977.- 816 с.

34. Стокер Дж. Волны на воде.- М.: ИЛ, 1959.- 617 с.

35. Теория волн и расчет гидротехнических сооружений,- М.: Наука, 1975.- 192 с.

36. ТитчмаршЕ. Введение в теорию интегралов Фурье.- ОГИЗ, 1948.

37. Титчмарш Е. Теория функций,- М.: Наука,. 1980.- 464 с.

38. Труды координационных совещаний по гидротехнике. Гидротехнические сооружения и волны на морях и водохранилищах. -Л.: Энергия, 1972, вып.75.- 207 с.

39. Труды координационных совещаний по гидротехнике. Вопросы теории и расчета ветровых волн и их воздействий на гидротехнические сооружения.- Л.: Энергия, 1973,вып.84.- 116 с.

40. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.:Мир,1977.- 622 с.

41. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова.- Л.:Гидрометеоиздат,,1967, 215 с.

42. Хейсин Д.Е. Некоторые нестационарные задачи динамики ледяного покрова,- Тр.Аркт.и Антаркт.НИИ, 1971,300,с.81-91.

43. Шмидт А.Г. Гравитационные и капиллярные волны на поверхности шарового слоя зязкой гравитирующей жидкости.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964,т.4,Н,с.183-189.

44. Шмидт А.Г. Колебания вязкой жидкости конечной глубины,вызванные начальным смещением ее свободной поверхности. Е. вычисл. матем. и матем. физ., 1965,т.5,$2,с.287-297.

45. Черкесов Л.В. Неустановившиеся волны.- К.:Наук.думка,1970.-196 с.

46. Черкесов Л.В. Поверхностные и внутренние волны.- К. : Наук, думка, 1973.- 247 с.

47. Черкесов Л.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. К.: Наук, думка, 1976.- 364 с. .

48. Черкесов Л.З. Гидродинамика волн.- К.: Наук, думка, 1980.259 с.

49. Экспериментальные и теоретические вопросы волновых движений жидкости.- Краснодар: Кубанский гос. ун-т., 1981.- 156 с.

50. Яковлев В.В. Волновые движения жидкости в составном прямоугольном бассейне.- В сб.:Волны в сплошных средах.К.:Наук. думка, 1978, с.46-52.

51. Яковлев В.В., Яковлева Т.М. Дифракция поверхностных гравитационных волн на осесимметричном препятствии.- В кн.: Матем. методы исслед. гидродинам, течений. К., 1978,с.78-81.

52. Fetter AM. Transmission and riftaction of surfacewaves 6y a movaite clockr Phys, ftuicis, ¡969, f¿t p.

53. Frldric/is /С.О., lewyH ftie dock problem. Comm. Pure AppL Mathp. tss-w.- 206

54. Heins /¡.f. Weder woves oner a channel of finde depih wiih a dock. Amer. 1 Maih/942, 9t p. ISO-Ш.

55. Heinz A.B. The scope and &тсШ1оги of the method of Wietier and Hopf.- Comm. Pare Appt. Maih. t /9S6t Çt p. M ¿/66,55. /Carp SM. Wiener-Hopf techniques and mixed Soundary vaCue pro Seem.- Comm. Pure Appt. Maih., /950, 3J p. М-Ш.

56. LewyH. On steady free surface f£ow itг a gravity fietd. Comm, Pure Appf. Maih., /955, ^ 49?-Soi.

57. Ru&inH. The dock of finiie extent. Comm, Pure1. Appt. Maih., /954^

58. Urse № P. The effect of a fexed vertical! Carrier on surface waves in deep water. Proc. Camêndge Phie. Soc, > /94?t 4Stp. J7V-JS4.

59. Urse ft? P. On. /he waves to the roââîng of a ship.

60. Quart. 7. Mec/i. Appt. Math. t /94<Pf /1

61. Ursetâ P. Surface waves on deep waier ¿n thepre&tnce of a suêmeryec/ circular extender-, / /¡г ; ProC. Camên-gde Phi t. Soc^ /9SO, 46, p./4/-/63.

62. Weit г /Cetâer IB. £ef"factions of noter waves from, floating ice in waier of finite deprth. Con?m. Pure Appt Math., /9SO, 3, p. 505-Si*.

63. Кладько O.P. Вычисление формы поверхности жидкости в задаче о возбуждении волн системой давлений при наличии дока.-В сб.: Вычислительная математика. К.: Ин-т кибернетики АН УССР, 1975, с.42-47.

64. Кладько С.Р. Волны в неоднородной жидкости от периодических давлений в присутствии тонкой пластины. Изб. АН СССР, МЕГ, 1976,^5,с.91-96.

65. Кладько С.Р. О возбуждении волн системой поверхностных давлений при наличии пластины.- В кн.: 2-й Республ. симпозиум по дифф. и интегр. уравнениям. Тезисы докладов. Одесса, 1978, с.161.

66. Кладько С.Р., Витюк В.Ф. О действии периодической системы давлений на плавающую пластину конечной ширины. Изв. АН СССР,маг, 1978,т, с. 183-186 .

67. Кладько С.Р. О волнах в идеальной жидкости от периодических давлений при наличии полубесконечной пластины.- В кн.: 3-й Республ. симпозиум по дифф. и интегр. уравнениям. Тезисы докладов. Одесса, Т982,с.128.

68. Кладько С.Р. Волны в вязкой жидкости,вызываемые поверхностной системой давлений, при наличии пластины. 'Запорожье : Запорож. машиностр. ин-т.,1983.- 19с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 14 июня 1983г., Л477Ук - Д83).