Применение нелокальных операторов для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/

а-

{

п

Российский Государственный Педагогический Университет

им. А.И.Герцена

На правах рукописи

Павлюков Константин Владимирович

ПРИМЕНЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02— дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Валентин Фёдорович Зайцев

Санкт-Петербург 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 4 ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ДОПУСКАМЫЕ

ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. 27

§ 1. Каноническая и ультраканоническая формы ЭНО. 27

§ 2. ЭНО, допускаемые ОДУ 1-го порядка. 29

§ 3. Примеры применения ЭНО для ОДУ. 33 § 4. Способ нахождения конечных нелокальных

преобразований. 36

§5. Обсуждение результатов. 39 ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ

ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩЕГО ЭНО. 40

§ 1. Необходимые определения и пояснения. 41 § 2. Некоторые частные случаи решения определяющей системы

(2.1.1) и обратной задачи. 44

§ 3. Упрощение определяющей системы (2.1.1). 51 § 4. Построение алгоритма решения определяющей системы

(2.1.1) при 54 § 5. Группа эквивалентности и симметрии определяющей системы (2.1.1). 62 § 6. Обсуждение результатов. 69 ГЛАВА 3. ТЕОРЕМЫ О ФАКТОРИЗАЦИИ И СИНТЕЗ УРАВНЕНИЙ. 70 § 1. Необходимые определения. 70 § 2. Теоремы о факторизации. 71 § 3. Примеры синтеза уравнений с заданными свойствами. 77 § 4. Обсуждение результатов. 82

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

84 87 92 94

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе представлены результаты поиска альтернативных методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для получения дополнительной (например, симметрийной) информации о решениях ОДУ и, в некоторых случаях, общего решения ОДУ в аналитическом виде. Здесь так же рассматривается вопрос о возможности сведения ОДУ к системе специального вида, синтеза ОДУ с заданными свойствами, а также изучается проблема решения обратной задачи для ОДУ 2-го порядка, допускающего ЭНО.

Проблема нахождения аналитического вида решений ОДУ возникла вместе с появлением ОДУ в математических теориях и приложениях. Поисками конструктивных методов точных решений занимались многие математики 18 и 19 веков. В начале 20 века задача о поиске аналитического вида решений ОДУ отступила на второй план, уступив место развивающимся качественным методам теории дифференциальных уравнений. Последующее появление ЭВМ позволило весьма эффективно использовать трудоёмкие численные алгоритмы. Успешная реализация численных методов повлекла дальнейший отход от классической постановки задачи. Тем не менее, примерно с середины нашего века стал возрождаться интерес к методам теории поиска решений дифференциальных уравнений в аналитическом виде (задача о нахождении аналитического вида решений ОДУ даже послужила толчком для возникновения и развития некоторых современных направлений математического анализа), в частности, к теории Ли, группам Ли-Беклунда. В настоящее время вновь стал актуальным вопрос об отыскании аналитического вида решений дифференциальных уравнений, причём интерес к решению именно этой проблемы возник среди широких кругов специалистов самого раз-

личного профиля из-за актуальности задач, появившихся в приложениях. Примерами таких важных задач могут являться: поиск нечисловой информации о решении (например, симметрии), поиск решений с определёнными априорными свойствами, построение модельных уравнений и решение обратных задач (задач моделирования) по известному классу решений.

Решение поставленных задач зачастую позволяет снизить трудоёмкость и энергоёмкость машинных алгоритмов. Сокращение времени машинного счёта может быть достигнуто путём максимального использования информации, заключённой в исходном уравнении, и путём выбора в качестве модельного такого уравнения, которое было бы структурно близко к исходному и интегрировалось бы в квадратурах.

Интерес к симметрийным методам исследования связан с тем, что симметрия присуща всем объектам и явлениям. Многообразие её форм даёт возможность применять симметрийный принцип в различных научных направлениях, в том числе и в теории дифференциальных уравнений. Использование симметрийного подхода позволяет получать качественно новую информацию о дифференциальных уравнениях.

Суммируя всё вышеизложенное, можно сказать, что рост потребностей ряда прикладных наук, а также необходимость поиска эффективных и экономичных алгоритмов для ЭВМ привели к возникновению нового класса задач теории ОДУ - задач группового анализа и групповой классификации.

Настоящая работа содержит результаты исследований в одной из наименее изученных областей современного группового анализа. Исторически так сложилось, что наиболее широкое применение в групповом анализе получили точечные однопараметрические группы Ли преобразований. Расширение понятия точечных однопараметрических групп

преобразований приводит к касательным или контактным группам преобразований. Возможность применения касательных симметрий для интегрирования ОДУ показана, например, в [29]. Использование касательных преобразований для интегрирования ОДУ первого порядка (также как и классический алгоритм группового анализа) является неэффективным.

В настоящее время успешно развивается теория групп преобразований Ли-Беклунда. Применение их к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений описано в [29, 30]. В частности, при помощи групп Ли-Беклунда (метод отображений) интегрируются некоторые классы ОДУ первого порядка, для которых классические методы интегрирования остаются бессильными.

Кроме точечных, касательных групп, групп Ли-Беклунда существует ещё класс преобразований, называемых нелокальными. В нелокальные преобразования входят, наряду с переменными из обычного продолженного пространства (х, у, у', у", ...) , нелокальные переменные, не представимые в виде конечных целых положительных степеней оператора полной производной В*(}>). Нелокальные переменные могут быть представлены бесконечными рядами по степеням Г)х (у), однако более удобно представление через интегральные переменные. В частности, в класс нелокальных входят преобразования, характеризуемые экспоненциальными нелокальными операторами.

Определение 1. Преобразование вида

У = /{х^у'У,...^,^ (х,у,у',...,у(к) )ск),

х = ф,у,у',у",.,у(к\!ь2 (лу,у',-,у(к) называется нелокальным преобразованием.

Поясним теперь, что будем понимать под экспоненциальным нелокальным оператором (ЭНО), но для этого необходимо сначала обратиться к основным определениям классического группового анализа.

Приведенные ниже основные обозначения и определения соответствуют принятым в [36]. Пусть X , Y, Z . П a Z банаховы пространства, А - интервал в R, симметричный относительно нуля, V с Z -открытое множество, банахово пространство.

Определение 2. Пусть Z = XxY и Х={х], Y= {у} , V с Z -открытое множество. Отображение h : V х А —> Z называется однопа-раметрическим семейством локальных преобразований пространства Z, если для каждого а е. А частное отображение

ha : V —> Z

является преобразованием открытого множества V. Отображение h при этом задаётся формулами вида:

x=f(x, у, а), у = g(x, у, а\

и обозначается как h (/, g).

Иными словами, отображение h, действующее в плоскости (X У) и зависящее от вещественного параметра а , называется однопарамет-рическим семейством локальных преобразований, если при любом значении параметра а отображение h является преобразованием плоскости (я, у).

Определение 3. Локальной однопараметрической группой Ли локальных (точечных) преобразований пространства Z называется такое однопараметрическое семейство локальных преобразований h : V X Л —> Z, которое обладает следующими свойствами:

1. Для любых х, у е V выполняется /

j=0~x> S\a=Q-y-

2. Для любых a, b, а + b е. А , х, у е V выполняется

Д/(Л У, а\ ё(х, у, а), Ь) =/(*, у,а + Ь), % (/(х, у, а), ^х, у, а), b)=g (х, у, а + Ь).

3. Если а е. А и /(х, у, а) = х , g (х, у, а)=у для всех х, у е V, то а = 0.

4. /г е Со0(Ух А).

В таком случае говорят [36], что отображение // задаёт группу.

Действие однопараметрической группы Ли точечных преобразований определяется согласно следующему общему определению действия группы на некотором множестве.

Пусть М - множество. Преобразованием множества М называется взаимно однозначное отображение М на М. Совокупность т(М) всех преобразований множества М образуют группу, в которой роль групповой операции играет композиция отображений, а роль „единицы" - тождественное преобразование. Группа т(М) называется группой преобразований множества М.

Пусть О - группа. Представлением группы О в т(М) называется групповой гомоморфизм п : О —> т(М). Это означает, что для каждого элемента gEG образ к есть преобразование множества М и для любых , g2^■G справедливо равенство

Образ ж (О) группы в есть подгруппа группы т(М), которая также называется представлением группы О в виде группы преобразований множества М.

Отображение (х, g) —> п произведения М х О в множество М называется действием группы О на множестве М.

Согласно [36], порождающее группу Ли отображение

И : Ух А —^

можно назвать также локальным действием аддитивной группы действительных чисел на пространстве X. При этом группа Ли может рассматриваться как представление /?(Д) с т(Ж), элементами которого являются локальные преобразования Иа : V —> Z пространства Ж.

Действие однопараметрических точечных групп Ли будут рассматриваться нами на многообразиях.

Определение 4. Пусть со : Н —> 7 - отображение класса Сж (Н),

взаимно однозначно отображающее Н на ш(Я). Образ О = со(Н) с / называется многообразием в пространстве /.

Определение 5. Пусть О - многообразие. Преобразованием многообразия П будем называть взаимно однозначное отображение П на П. Совокупность т(П) всех преобразований многообразия П образуют группу, называемую группой преобразований многообразия П.

Определение 6. Пусть к : ¥х А —> Z есть отображение, порождающее локальную однопараметрическую группу Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (^(х,у), т|(где -

компонента этого вектора в X, а г\ - его компонента в Г. Рассматриваются значения дифференцируемого отображения Р : (х, у) —» К. Линейный дифференциальный оператор

X = Е>(х,у)дх+ц(х,у)ду,

действующий на отображение F по формуле

Хт = ^х,у)Рх+Ц{х,у)Ру,

называется инфинитезимальным оператором группы Ли точечных преобразований.

Если инфинитезимальный оператор считать определённым с точностью до произвольного числового множителя, то, по теореме Ли, су-

ществует взаимно однозначное соответствие между группами Ли и их операторами.

Определение 7. Рассматриваются отображения F : Z —> Н и предполагается, что группа Ли точечных преобразований действует на II тривиально (тождественное преобразование). Отображение F есть инвариант однопараметрической группы Ли точечных преобразований, порождённой отображением h (/, g): Fx А —> Z, если для любых (х, у, а) е. Z х А выполнено равенство

F{f{x, у, a), g(x, у, а)) = F(x, у).

Известно (например, [36]) следующее необходимое и достаточное условие.

Отображение F: Z —> Н класса С\{х, у) является инвариантом локальной однопараметрической группы Ли точечных преобразований с касательным векторным полем л(л%>0) если и только если для

любых допустимых х, у выполняется равенство

i(x,y)Fx+r](x,y)Fy=0.

Пусть размерность пространства II не превосходит размерности пространства Z. Для любого непрерывно дифференцируемого отображения 14/: Z —> Н вводится понятие ранга этого отображения на открытом множестве V с Z. С этой целью рассматривается производная у) , которая есть линейное отображение Z —► Н. Ранг матрицы

у)) этого линейного отображения называется рангом отображения ц/ в точке (х, у) . Говорят, что отображение цг имеет ранг на множестве V, если его ранг один и тот же во всех точках этого множества.

Как известно из дифференциальной геометрии, всякое отображение V—> Н класса Сл (V), имеющее ранг на V и такое, что i|/(x0, у0) =

0 для некоторой (х0, у0) е V, задаёт (локально, в окрестности точки (дсо, >>о)) некоторое многообразие как множество тех точек (х, у) е

V, для которых выполнено равенство 1|/(х, у) = 0. Это равенство называется уравнением многообразия Многообразие ¥ называется регулярно заданным многообразием, если ранг отображения ц/ на V равен размерности пространства И.

Определение 8. Многообразие ¥ инвариантно относительно группы Ли точечных преобразований, порождённой отображением к (/, g), если для любых х, у е , аеК будет

Ч; (А*, У, а), £(Л У, а)) = 0 .

Для многообразий, регулярно заданных уравнением .у) = 0, существует следующее необходимое и достаточное условие инвариантности.

Пусть Z - банахово пространство переменных (х, у) (то есть плоскость (х, у)). Многообразие ¥ с Z, регулярно заданное уравнением 1|/(л:, у) = 0, инвариантно относительно однопараметрической группы Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (^(х, у), т](х, у)) , если и только если выполнено равенство

у) у* + т)(х, у) = 0 , где Е,(х,у)дх + г](х,у)ду - оператор группы, а знак заменяет слова

„на многообразии и означает, что равенство выполнено для х, у е 1Р.

Приведенные выше определения формируют своего рода язык, с помощью которого удобно рассматривать и изучать объекты группового анализа и, в частности, определять изложенные далее основные понятия.

Определение 9. Банахово пространство Уь, образованное производными до к-то порядка отображения и \ X —> У класса Сж (X), называется к-м продолжением пространства У с помощью X.

Пусть / = 1хГ. Пространство Zl = Z х ^ называется первым продолжением пространства ^ Продолжения высших порядков определяются индуктивно: Z* Z* _ ! х Ук (к = 2 , 3 , ...). Пространство 2ц называется к-м продолжением пространства Z. Так, в нашем, плоском случае, = (х,у,у',у", ..., >>(А)).

Определение 10. Каждое отображение и : X —> Г класса (X), действующее по формуле у = и (х), продолжается до отображения X —> Уи . Это продолжение осуществляется с помощью операторов дифференцирования дх и задаётся производными

действующими по формуле

уЮ=дх11(х) (к= 1,2,...).

Тем самым каждое отображение и : X —> У продолжается до

отображения и: X —» , где и - продолженное отображение, дейк к

ствующее по формуле

и{х) = (х, и (х), дхи{х), ..., дх (х)) (к = 0,1,2, ...).

В частности, и (х) = (х, и (х)) есть „нулевое продолжение" отображения

и : X —> У до отображения и: X —»Z.

На основе определения продолженного отображения вводятся определения продолженного преобразования, которое используется для определения понятия продолженной группы. Так как в данной работе действия продолженных групп не рассматриваются, а исследование посвящено операторам групп, то и нет смысла приводить здесь определение продолженной группы.

Определение 11. Пусть задана однопараметрическая группа Ли точечных преобразований с касательным векторным полем (£(*,у),

г)(д;,у)) и, соответственно, с инфинитезимальным оператором

X = Цх,у)дх+л\(х,у)д у.

Оператор продолженной к раз группы имеет вид

= % +11 ду +^ду, +^2ду„ + ... +£кду<»

где С,3 (5 = 1 , ..., к) - компоненты соответствующего касательного вектора (принадлежащего, кстати, пространству ) в продолженном пространстве Уь , и находятся эти компоненты по известным [28, 36] формулам продолжения координат инфинитезимального оператора. С помощью этих формул можно по известным и т| построить любое

продолжение оператора группы. Оператор X называется продолжен-

(к)

ным оператором или к-м продолжением оператора исходной (не продолженной) группы Ли.

Определение 12. Инварианты продолженной к раз однопарамет-рической группы Ли точечных преобразований называются дифференциальными инвариантами группы. Они представляют собой отображение Г: —>И. В рассматриваемом случае инвариант продолженной к раз однопараметрической группы Ли точечных преобразований, фактически зависящий от у^к\ называется дифференциальным инвариантом порядка к однопараметрической группы Ли точечных преобразований. В этом смысле инвариант группы Ли суть её дифференциальный инвариант нулевого порядка.

В силу упомянутого выше критерия инвариантности все дифференциальные инварианты группы Ли порядка не выше чем к являются решениями дифференциального уравнения

хтх,у,у\у", ... = о,

ск)

в котором X есть продолженный оператор.

(к)

В групповом анализе уравнения часто приходится рассматривать как некоторые дифференциальные многообразия, инвариантные относительно данного оператора (или, что тоже самое, группы), поэтому поясним, что называется дифференциальным инвариантным многообразием.

Определение 13. Если многообразие ? с/ь заданное с помощью некоторого отображения ц/: —>Н уравнением вида

1К*,у,у', ...,у(к)) - О,

является инвариантным многообразием продолженной к раз однопара-метрической группы Ли точечных преобразований, то ¥ называется также дифференциальным инвариантным многообразием.

Для целей группового анализа оказывается удобной и существенной трактовка дифференциального уравнения как многооб�