Построение регуляризирующих операторов для решения нелинейных операторных и интегральных уравнений первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

?Т и ин

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ МИНИСТЕРСТВА НАУКИ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517. 98. 968. 95

СААДАБАЕВ АСКЕРБЕК

Построение регуляризирующих операторов для решения нелинейных операторных и интегральных уравнений первого рода

01. 01. 02-дифференциальнЫе уравнения

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибнрск-1993 г.

К0Й1ТЕТ ПО ВЫОШ ШКиЛЕ ¡.мкнстерства наш вксшел

ШКОЛЫ »1 ТЙХПИЧЁСКОЛ ПОЛИ ГИКИ РОССИЙСКОЙ 4ВДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВАШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 5I7.98.9C8.9b

СААДАБАЕЕ АСКЕРБЕК

ПОСТРОЕНИЕ РЕГУЛЯРИЗИРУЩ1Х ОПЕРАТОРОВ ДШ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993 г.

Работа выполнена на кафе,шч-диффзоенциальных уравнен».; Кыргосуниверситета

Официальные оппоненты:- доктотэ физико-математических наук,

профессор Ю.С.Завьялов

- доктор физико-математических наук, поофессоп В.П.Танана

- доктоо физико-математических наук, поофессор А.М.Федотов

Ведущая организация¿Уральский государственный университет

Защита состоится "" ¿¿¿£1*2- 1993г. в/Ужасов на заседании Специализированного совета Д 063.98.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск,ул.Пирогова,2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан "/£." 1- 19ЭЗг.

Ученый секретарь Специализированного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор /' / ./^А.В.Каких!

У

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА.РАБОТЫ' •

Актуальность темы.- Основным вопросом в теории некорректн-:- поставленных задач является построение устойчивого решения относительно данных задачи. На практичес<ум важность таких задач впервые обратил внимание А.Н.Тихонов* ¿1.М. Лаврентьев^ в связи с решением серии некорректных задач математической физики предложил впервые метод построения- устойчивых решений та.члх задач, йетод М.¡А.Лаврентьева достаточно хорошо изучен для линейных задач.

Для нелинейного операторного и интегрального уравнения первого рода применение метода .<1.У. Лаврентьева и пути исследования' нелинейных задач этим методом не изучены,

Цель работы заключается в построении рзгуляризи-рующего оператора для широкого класса нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве и для нелинейных интегральных уравнений первого рода в пространстве непрерывных функций, устойчивого относительно возмущения данных задачи, изучении сходимости- и получении оценки отклонения между приближенным и точным решениями, применении разработанной теории к некорректным нелинейным задачам математической физики.

Методика исследования основывается на -спектральной теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, на теории линейных.интегральных операторов с симметричным ядром в пространстве непрерывных функций, а также на использовании общих результатов нелинейного функционального,анализа в гильбертовых пространствах и нелинейных интегральных операторов в пространстве непрерывных функций, ■•

Научная' новизна исследования заключается в следующих основных' результатах диссертации :

Г. На основе идеи метода Н,¿¡.Лаврентьева, разработанного для линейных задач,' разработан метод построения регуляризирую-. щих операторов для решения широкого класса нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве и нелинейных интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций. . ■

1. А.Н.Тихонов Об устойчивости обратных задач.-ДАН СССР,1943, Т,39л Ь

2, М.М.Лавоентьев 0 некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1952.

2, Доказаны существование и единственность решения вспомогательных уравнений.

3. Установлена связь мекду решенкям/t исходного л вспомогательного уравнения. Доказано, что решение уравнения второго рода с правой частью, при которой исходное уравнение имеет решение, сходится к точному решению исходного уравнения при стремление параметра к нуля по норме пространства.

4. Доказано, иго решение уравнения второго рода с приближенно' заданными правой частью л оператором при определенной зависимости параметра регуляризация от погрешности правой части и оператора и при стремлении последних к нулю стремится к точному решения исходного уравнения.

5, Разработанные методы построения регуляризирующих операторов применены к классу.нелинейных .некорректных задач математической физики.

Теоретическая и. практическая ценность, .3 диссертационной работе заложены основы нового направления в общей теории методов регуляризации - теория построения регуляризирущих операторов для решения нелинейных некорректных задачу Разработаны метода построения регу-ляриэярущих операторов, изучена их сходимость и устойчивость. Полученные теоретические результаты к решению класса нелиней-'Ных некорректных задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались' на семинаре по обратным задачам математической физики МГУ,.на. Всесоюзной конференции по некорректно постав-пленным задачам, Фрунзе, 1979, на Всесоюзных школах-семинарах по некорректным поставленным'задачам; Hgopyc Эстонская ССР, • : 19Ь2 г { Саратов 1965, Алма-Ата, I9B9; на Второй Северо-Кав-'-казской региональной 'конференция гю функционолъно-дифферен-:циальным уравнениям, Махачкала,' I9bbr; на Международной конференции по-некорректно поставленным задачам,Москва,199I г; на Всесоюзной, конференции .'"Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных ■ задач",Бишкек,1991 г,'на Международной -конференции'по дифференциальным уравнениям, Болгария, Пловдив,'-I99I г*.

П у б л я к а ц и и. Основные результаты диссертации any, . линованы в работах II] - ' [23]

^ т Р У к тура и о б ъ е м д и с с е р т а ц и л, диссертация состоит т введения,четырех глав,содер-ощих 14

...¿аграфов, и сплска цитированной литературы. Объем диссертации машинописных страниц, список литературы содержит 42 наиме-мование. :

осдаьшиа РАБОМ

Бо введении излагаются возникновение и основные этапы развития теория некорректно поставленных задач и устойчивых методов решения, т.е. построение репуляризируюгцих операторов. Изложены в виде теорем основные результаты диссертации,

В первой главе исследуется нелинейное операторное уравнение первого рода в гильбертовом-пространстве. Постпоено приближенное решение как решение нелинейного операторного уравнения второго рода. Доказана теорема существования и единственности решения вспомогательных уравнений при лабой правой части в отличие от исходного уравнения. Доказано, что решение уравнения второго рода с правой частью, при которой исходное уравнение первого рода имеет решение, сходится по норме к этому решения при стремлении параметра регуляризации к нулю. Далее показано, что эта сходимость имеет место не только при точно заданной правой части, но и в некоторой её 8 -окрестности прл определенной зависимости параметра регуляризации от погрешности 8 правой части н при стремлении последней к нулю, В § I.I построен рёгуляризирущлй оператор для решения уравнения вида

A-e-U+AK.X, (I.IJ)

где А - линейный вполне непрерывный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н. , Kt - нелинейный оператор, .определенный в Н . -

Допустим, что при U -U. уравнение (I.I.I) имеет единственное решение 2в£Н . Пусть вместо элемента Ue известен элемент Ц. 3 , удовлетворяющий неравенству

(1.1,2)

В силу некорректности решения уравнения (LIЛ) при уравнение (I.I.I)-, вообще говоря, классического решения не имеет. Если ке имеет, то в силу неустойчивости решения уравнения (I.I.I) оно является близким по норме к точному решении •2

О п р е д с л е н к е ■ I.I.I. Элемент , построенный

по данным элементам Us , операторам .А,К », называется приближенным решением уравнения (1,1.1)» если выполняется условие ^"-»З» при S ь .по норме пространства H • • , Для построения приближенного решения наряду с-уравнением (I.I.I) рассмотрим уравнение

где нелинейный оператор "К» удовлетворяет условии Липшица

V d.i.4)

■ Доказана следующая теорема существования*.

Те ope м a' I.I.I.Пусть I) А - вполне.непрерывный линейный самосопряженный положительный -оператор; 2) К,' - нелинейный оператор, определенный в Ц и удовлетворяющий условию Липшица (1,1.4), причем . .. Тогда уравнение (I.I.3)

. при любо:.: ■ ' \Д € H • -, и любом tt>o . имеет единственное решение З^сИ. . ... -

Связь■между решениями .уравнений (I.I.l), (I.I.3),устанавливается с ледующе Я, теоремой. ...

•Л е о р е-м а-"1.1.2. Пусть I.) выполнены все условия теоремы.I.I.I; 2). при. о уравнение (I.I.I) имеет единственное решение '> представимое в виде A'V,, , .Va ¿H ; i - Тогда решение . •g®. уравнения (I.I.3) при : -сходится, к точному решению . . уравнения (I.I.I) '"при- а—».о ; по норме пространства H . Скорость сходимости

удовлетворяет неравенству "• " . ■. (1Л.5)

1--N д,

Следующая теорема обобщает.теорему I.I.2. Т е о р е м av 1,1.3. Пусть I)' выполняются все условия тео • • реш, 1,1.2; 2) 'элемент U "удовлетворяет-неравенству (I.I.2) 3) параметр о(, • выбран по формуле '

и* «г1 ' '

Ы.

(&) „ S u<r (к.«-)1;

£

Тогда решение ' уравнения (I.I.3) при U=ug сходите

к -точному решений .уравнения (I.I.I). Скорость сходимости

удовлетворяет нерз бйнству

II М 6 -77^- S *

Далее рассмотрен случай, когда приближенно задан операторА- , т.е. вместо А( задан оператор А^ , удовлетворяющий неравенству

lUh-All^h. £1.1.6)

Определение I.I.2. Элемент 4L у h , построений по данным (ч^А^.КЛ 5 называется приближенным реше--шем .уравнения (I.I.I), если выполняется условие ¿К,-»'S

Л О

три о^п—»о по норме пространства п , где г„ точное эешение .уравнения (I.I.I) при Ц=и0.

Для построения приближенного решения наряду с уравнением [I.I.I) рассмотрим уравнение

'oU* Aj,* _£1.1.7)

Существование решения уравнения £1.1.7) устанавливает сле-сую'дая

Теорема 1.1.4. Пусть I) выполнены все условия теоре-1Ы I.I.I; 2) линейный непрерывный оператор А^ удовлетворяет еравенсгву (1,1.6); 3) параметр d. (h-) удовлетворяет условии

tlm-h-.

К-» о Ы (h)

огда существует число о < t\0 такое, что при равнение £1.1.7) при любом U.6H имеет единственное рв-

ение

Связь между решениями уравнения- (I.I.I) и £1.1.7) характери-

■/ет .

. Т е о"р е м а I.I.5. Пусть I) выполнены все условия теоремы .1.2; 2) выполнены условия 2), 3) теоремы 1,1.4; 3) параметр > о при h-»o • Тогда решение зД, уравнения £.1.7) при Цт:Ц0 сходится к точному решению "3 а уравне-гя (I.I.I)-при jk-v о в пространстве Н . Скорость :одимости оценивается неравенством

h „ ,, , КЫ II V.II ,<г * U) -01'

Устойчивость решения уравнения £1.1.7) от правой части залавливается следующей теоремой.

V о о р е м о I.I.6. Пусть I) выполнены все условия теорв-

мы I.I.2; 2) элемент US и оператор Л^ удовлетворяют неравенствам (1.1.2), (I.I.6), соответственно; 3) параметр d выбран по формуле , UtS+t*,Y\ \ ~¿7T

, Тогда существует число h.0 такое, что при любом* h. решение Э^р уравнения (I.I.7) при ц= Uf существует и при * сходится к точному решению уравнения (I.I.I).

Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

Таким образом решение уравнения (1.1.7} является приближенным решением уравнения (I.I.I).

В § 1.2. исследован случай, когда -оператор А не является ■ 'положительным и самосопряженным.

Для аоетроения приближенного решения уравнения (I.I.I) введем уравнение

¿*i*-A4AiL = Аи-^ЛЧК«*, (i.2.1)

где А* - сопряженный оператор к оператору А . «^-.положительный параметр. :

Относительно уравнение (1.2.1) доказаны теоремы аналогичны* теоремам I.I.I-I.I.6.

В § 1.3 исследован случай, когда в .уравнении (I.I.I) опера-трр А' является самосопряженным непрерывным и положительным.

• Для построения приближенного решения наряду с уравнением (I.I.I) рассмотрим уравнение

ota +-АЛ AKva . : (1.3.i)

.Имеет место...следующая теорема'существования для уравнения

3.1) .•

Те о р е м а- 1.3,1. Пусть I) оператор /\ . линейный не-лрерывный положительной и самосопряженный; 2).нелинейный оператор К, определен на всем пространстве Н и удовлетворяет условию Липшица с постоянной í .

Тогда при любом ме Н и любом oí >о уравнение (1.3.1 имеет единственное решение

Связь между решениями уравнений (I.I.I) и (I.3.I) установлена следующей теоремой.

Ь

Теорема 1.3.2. Пусть I) выполнены все условия тео-1>0(ии 1.3.Г; 2) при и=иь .уравнение (1.1.1) имеет единствен-' поз решение 10 1 представимое в виде А \г, 6. Н . Тогда решение д." .уравнения £1-3.1) при -ц*и. 'и при и-»о сходится к точному решению З0 уравнения (1.1.1) в пространстве Н • Скорость сходимости .удовлетворяет неравенству

Устойчивость решения уравнения (1.3.1) в окрестности элемента ц» характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1.3.3. Пусть I) выполнены все условия теоремы 1.3.2; 2) элемент ид удовлетворяет неравенству (1.1.2); 3) параметр о1 меняется по закону

в >/? /^Ц\Гв11" .

Тогда решение уравнения (1.3.1) при 11-*-и£ является приближенным решением .уравнения (1.1.1). Скорость сходимости удовлетворяет неравенству _

„В • „ Н||\Гв|Г ,тг

Частный случай этой теоремы доказан в работе

Сш].

Рассмотрим случай,'-когда в уравнении (1.1.1) приближенно заданы правая часть и оператор Д. . Допустим, что вместо оператора Д задан оператор , удовлетворявший неравенству (1.1.6).

Для построения приближенного решения рассмотрим уравнение

второго рода

с1г * и + (1.3.2)

Доказана следующая теорема существования для решения уравнения (1.3.2).

Теорема 1.3.4. Пусть I) выполнены все условия теоремы 1.3.1; 2) линейный непрерывный оператор удовлетворяет неравенству (1.2.2); 3) параметр Л удовлетворяет .условию

Тогда существует такое >1„ ', что при любом _ь<Ь«, и при любом иеЯ существует и единственно решение уравне-

ния (1.3.2).

Сктгл . решениями уравнений (1.3.2) и (1.1.1) устзнав-

ливается следующей теоремой.

Теорема 1.3.5. Пусть I) выполнены все условия теоремы 1.3.2; 2) выполнены .условия 2), 3) теоремы 1.3.4; 3) параметр Ы (ь) удовлетворяет условию о.

Тогда решение . уравнения (1.3.2) при и=и. сходится

к точному решению уравнения (1.1.1) при по нор-

ме пространства Н . Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

Устойчивость решения уравнения (1.3.2) в окрестности -элемента и„ характеризуется теоремой.

Теорема 1.3.0. Пусть I) выполняются все условия теоремы 1.3.2; 2) элемент и непрерывный оператор удовлетворяют' неравенствам (1.1.2) ■ -и (1.1,0), соответственно; 3) параметр о((Г»*0 меняется по закону

Тогда существует такое, число Ь. 0 , чт.о при любом реш<

ние уравнения (1.3.2) при и»иг .существует,

единстБенно и при ->о сходится к точному решению "2.0 уравнения (1.1.1) по норме пространства Н • Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

■ .' В § 1.4. построено приближенное решение уравнения (1.1.1) ] случае, когда линейный, оператор '.А является непрерывным.

Для построения приближенного решения уравнения (1.1.1) введем уравнение второго рода вида , •

а-г а аЧ+ . (1.4.1)

гдо А - ' сопряженный оператор к оператору Д , Л. - положительный параметр.- Для уравнений (1.4.1) и (1.1.11 доказаны теоремы аналогичные тесремам 1.3.1-1.3.6.

В § 1.5 исследовано нелинейное уравнение (1.1.1) с возмущенным нелинейным оператором. Вместо оператора задан оператор , представиыый б виде

+ (1.5.1)

где оператор Кг удовлетворяет условие Липаица с постоянной

л/г , Т.е.

ЦКаСаЛ- Шх lU.-лЛ.

0 п р е д е л е'н и е I.5.I. Элемент 2.h , построенный

по данным 'Ч >"КЬ называется приближенным решением уравнения (I.I.I), если X „ при -» о в пространстве Н .

Для я с-.'1 роения приближенного реыеждя н-.р%цу с уравнением (I.I.I)

рассмотри.» уравнение атирого рода

АЪ + hi U+ (1,5.2)

•'«лееv мести дледумщ-чя твмрема суцьсгг.зг.нил

'1 е о р с м l.O.i. пусть I) А - линейный нзпрзрыьний lii.ie-iWTOJuii .'ii гзиос.л»рн.1сен/!Ый onej-чтср; 2) оператор К», пред-ездьим и ииде "Kv, - A>V h Кг 5 где "К, Kj - нелинейные опора-•ыри, «лр«, .алс-ннме ь Я и удонлътьоря/хздз услошы Липшице, iip.j'ie:'. п.чл'ошшзя Лю'-Ыи'-* Ы дли оператора удовлетворяет

./елоаиi.j 1 ; 3) параметр и ОО удовлетворяет условии ii.

ТоГДЧ oy |"/.Ti'.yOT ТЯКСО ha > О , что при любом ft bv0 и л'лхч;;; uOl уоаыгвние (1.0.2) имеет единственное решение

"-С €.)).

Cm.ii. мбад. 1-с-й.ониями урвбнений (I.b.2) и (I.I.I) устанавливается сл"д;/Р!:(вл теоремой

1 е и р е а 1.6.2. Пусть I) выполнены все условия теоремы I.L.I; Z) ¡:г-я и =.ц. уравнение (I.I.I) имеет единственное р-«у»ии-з Н , представпмое в виде =2в*А\Г» ,\Г. 6Н: 3) пзромотп -л. (¡С] удовлетворяет условию fiim с< fh) =о. Т&гд'. рвение уравнения (1.5.2) при и «ц„ сходится nc;t ь 0 к точному решению н» .уравнения (I.I.I). Дкл '-t, ••;■:•!{ .-.гиянуости справедлива оценка

, А/. Kt, ___,h ,1

и * ii - -г;(* >f 7- х } ^ t d "id <>;

Д^нуспи, чче, вместо эле.-леато U, задан элемент цг , удов-ЛЗТВСГЯЙЧИЯ MSplECHCPBy (1.1.2) .

T e >j p e 1.1 a 1.0.3. Пусть I) выполнены усяовия II» 2) тс; г.-Л; .':> олшат VIг удовлетворяет нерак-тст?^

(1.1.2); 3) параметр выбрэн по формуле

Тогда решение уравнения (1.^.2) при и-иг схо-

дится при Б5н -» о к точному решению ъ0 ' уравнения

(1.1.1). Скорость сходимости удоьлет'-орлет неравенству

11 ^е " ^ ~ г ^ Ссв£ + с,П).а

Во второй главе исследовано линейное интегральное уравнение первого рода с пространстве непрерывных функции. Построено приближенное решение данного ур-шюпил. Доказана сходимость построенного решения по приближенным дпннгн к точному решонп.-о исходного уравнения при стремлении погрешности к нулю по порта пространства непрерывных функций.

Б § 2.1 исследовано линейное интегральное уравнение первого рода вида

^ =ииу 5 Ои}, ■ (2.1.1)

с

где ]<(*.*> - непрерньиая и квадрате о-& 1, симметричная и положительно определенная в смысле

во

функция. Левую часть (2.1.1) рассмотрим как оператор ©

Допустим, что при и^л-ИД*)- уравнение (2.1.1) имеет единственное решение СО £ С- - пространству непре-

рывных функций. Обычно•в практических задачах Еместо функьии и„(.*) задается функция "ис и) , удоияетьоряч^пя

неравенству

иь - ие С-оН ^ ■ . (2.1.2)

, . О п р е д е л е н-и е 2.1.1. Функция С Е»и1,

построенная по данной функции цс (*) и ядру к (-1,$) . называется приближенным решен/,зм уравнения (2.1.1), если ^ф-^.С*) при по норме лространстгл -С С»»О . Для построения

приближенного решения наряду..; уравнение:/. '2 Л Л) рассмотрим уравнение ктхиого р-да ичд-.

+ КОО -=-41+.^ ± ■ (2.1.3)

ччноснтелыю уртьнения (2.1.3) имеет место следующая теорема су.дествоьания:

Т е о р е м a 2.I.I. Пусть -X'(t,s) - непрерывная симметричная и положительно определенная функция в квадрате Ofet.Sii. . Т дз для любой функции "U (ti с С С»»*1 и лю-

бой d >о .урчтепие (2.1.3) имеет единственное решение

■Za (i.) 6 С .

Связь манду решениями уравнений (2.I.I) и (2.1.2) установлен1) оледуищеЛ теоремой.

Т <е о р с м а 2.1.2. Пусть I) ьыпс.шлются условия теоремы 2.1.1; 21 уравнение (2.Í.I) при U(,-tl = Uoít) имеет точное роаение (t) é. Л (о,О , где _м (ол) - класс непрерывных функций, ряд Ьурье лобой функции кз этого класса сходится риьночерьс к этой функции. Тогда реле.ы«} Zj (■*■") уравнения (2.1.3) при u(t)=uc(t) схпдитс.? к точному решению ./раь'нения (2.I.I) при ot~>o по норме пространства C(o,i)

Реши'!iie ./píi¡тнелия (2.1,3) сходится к точному решении H.it) .vp.-зы.чш.ы (2.1.1) не только при точно заданной правой части, а и ь некот;ои.1 окрестности этой правой части. Справедлива

Т е о р е и .'i 2.1.3. Пусть I) выголняются все условия теоремы 2.1.2; 2) функция иs удовлетворяет неравенству (2.1.2); 3) параметр oí удовлетворяет условиям

JL „о tyn =

В-*,а о1г(£) '

Тогда реленпо £¡j (*■) уравнения (2.1.3) при u=uff(t) сходит-■ся к точному решении И1 уравнения (2.1.1) при £-»о по норме пространства С. (°¡t).

Допустим, что точное решение 2\> í-t) уравнения (2.X.I)

истокообразно продетаьимо с помощью оператора К ;

- К v0) Ve е О», О •

Тогда справедлива

Теорема 2.1.4. Пусть I) выполняются условия теоремы 2.1.1; 2) оператор к®, i , действует из прост-

ранства ¿гС<м) в С (°,i) ; 3) при u = ueu> урав-

нение (I.I.I) имеет единственное решение г„(-ь), представимое в виде , \r0éL2C<>>ti. Тогда решение zjft) урав-

нения (2.1.3) при u„(í) сходится при «/-> о к точному

решений zo (о Уравнения (2.1.1) в CCo,i) . • Скорость сходимости .удовлетворяет неравенству

13

ЛОВИ*)

Обозначим 43роз Я. КЛЭСС функций, УДОВЛОТВОрЯМЩИХ ус-

í'L^^.wecM-.i.w-Kv^wv.w^^í, ^const].

Справедлива

Т е-о р о м а 2.1.5, лусть I) выполнены условия I), 2) теоремы 2.1.4; 2) при UlO* U„U) ypm-ueiut-u (2.1.i") имеет единственное рсиенне Лг 3) функция U5it) /дои-

летворнзт неравенству (2.1.2). Тогда рилепис- 5 (t> Уроь-нения (2.1.3) üj-.i- ц ю* utlt> сходит::« к точном/ рехс-

нию =Н. См уравнения (2.1.1) при о в . Ско-

рость сходимости удовлетворяет нерчьенетву

Некоторый частный случай этой теоремы доказан d Ш •

Б этом же параграфе исследован гяуч-зй, когда прибтшжно задано ядро К интегрального уравнения (2.1.1).

Доказаны теореки аналогичные таоремам 2.1.4-2.1.5. Б 5 2.2. построено приближенное резание интегрального урав нения (2,1.1) в случае произвольного непрерывного ядра К

Для построения приближенного решения уравнения (2.I.I) аве дем уравнение второго рода вида

4Í+- я ttV (2.2.1)

где К* интегральны, ;лтор вида :

НЧ s .

Справедлива

Теорема 2.2.1. Пусть I) ядро "К таково, что

b(i)=(SK 1»»*)«^* является непрерывной функцией на

сегменте [«>»} \ 2) r.p;-. и с*)«и«Л*) дтушнеппо (2.1.1)

имеет единст!* .з непрерывное реал".-..!« гв(л> , ¡¡оедстази-мое в пиде =„ (ti = WK^o , (t) & Ua . Тогда ур ишони-з (2.2.1) при с!>о разрешимо для любого UC*) € Ц, С«,, О ■л решение (t) этого уравнения при iHf> «u»(t> и d-»o

стремится к точному peireu-'s > fe с1; уравнения

(2.I.I) по нормо пространств" С C«<>á> . Сюрос.ть •.хоа,к«оот«

ь"» г

Решение ^ Ы уравнения (2.2.1) не только при иIV) =иом сходится к ре»енл;о СО уравнения (2.1.1), а такие в некоторой окрестности ило решение уравнения (2.2.1) сходится к решению 2г уравнения (2.1.1). Справедлива

Т е о р е м а 2.2.2..Пусть I) выполняются все условия теоремы 2.2.1; 2) элемент иг удовлетворяет неравенству

(2.1.2); 3) паоаметр оС удоететвопяет соотношению ■у

Тогда решение 'З.д уравнения (2.2.1) при гд

при £-» о сходится к точному решению уравнения

(2.1.1). Скорость сходимости удо^отворяет неравенству

"Де =

ЧастнмЯ с.'у/чгл этой теоремы доказан в работе [./] . Далее построчно пр^блкменное решение уравнения (2.1.1) в с луча з, когда приближенно заданы ядро и рраизя

часть и (V)

Пусть вместо ядра Х^У) задана функция ,

удо в лет не ря:<);:;а я нора ве нет ну

1\ кил) -Кх (-ь (2.2.2)

Для посчроения приближенного решения введем уравнение *

*

Справедлива

Т о о р ч ::, ч 2.2.3, Пусть I) выполняя!ся условия I), 2) теорэмм 2.2.2; 2) пз1>рсрннн«я функция К удовлзтоо-

ряот неравенству (2.2,2); 3) параметр с1 выбран по формуле

4 С*,

с, к. - постоянные, .-г ядер К

г-;;-":НЛ- (» ноп — (2.2.3) г.

"'а

при Б, Я—»о по норме пространства С(Ъ,1) . Скорость сходимости удовлетворяет неравенству ^

]|а>)-г.ш1ил - м.О-тХ&Пх*^

В § 2.3.построено приближенное решение уравнения (2.1.1; в случае положительного непрерывного ядра. Здесь показано, что решение уравнения (2.1.3) является приближенным решением урпинени! (2.1.1). " Доказана

Лемма 2.3.1. Пусть ядро К.^^ непрерывно по ОбЪ.Ъб 1_ и положительно. Тогда при любом и(д')£С(<М

уравнение (2.1.3) имеет единственное решение С Сод)

и справедливо оценка

Связь, между решениями уравнений (2.1.3) и (2.1.1) устанавливает ся следующей теоремой.

Теорема 2.3.1. Пусть.I) ядро К непрерывно

квадрате о & ь3^< 1 и положительно; 2) при и(4) = и„и>

уравнение (2.1.1) имеет единственное решение г., М е. .№г 5

где { а. Мб с ол, 2.(*) - к V, м; и<IIи ± г }.

Тогда I). уравнение (2.1.3) при любом щ-ь> С С°иЗ и любо

Ы > о имеет единственное решение С , 2) ре-

шение ^ уравнения (2.1.3) при ц ¡.^ = ц0схо-

дится к решению . Zo.it) уравнения (2.1,1) при' ы.-^-о пс норме пространства. С(о,

Устойчивость решения уравнения (2.1.3) от правой часта установлена теоремой.

Теорема 2.3.2. Пусть -I) выполнены все условия теоре мы 2.3.1; 2) функция и г (*") удовлетворяет неравенству (2,1.2); 3) параметр Ы, удовлетворяет соотношению

Аа5 = со

где <0 - модуль непрерывности оператора л на множества

Тогда решение 3л (1) уравнения (2.1.3) при и(ч)=Ч8а) сходится к решению 3,(0 уравнения (2.1.1) .при Ы-+о. Эта теорема доказана в £15}

В третьей глг.£)Э построено приближенное решение в пространстве нелп«»риы»кх функций нелинейного интегрального уравнония

ИДГ1

ил^^аь» + ¡^(^Ш (3.1.1)

О 13

3 § 3.1 исследован случай, когда ядро К(*»$) является ^ммотрпчным л ЯОЛ07,ЙТвЛЫШМ. В р.о до>м об о риэчснко

К (1) = К, (г) = К си>

о

■до К инуегр.'льш.! оператор, определенный о поглощыо ядра

Для построения приближенного решения наряду с уравнением :3.1Л) рзссмотрам урзьнечие второго рода вида

А г + КСО==иМ + Х*/г(л(*,г(ь>)) , (3.1.2)

Спрчг.едлига

Т _> о рома 3.1.1. Пусть I) ядро К(*>*) является г»г,;:.«'7г>; положительно определенным и непрерывным в къздрэ-ге о & Ь3ъ * 1 • 2) функция - непрерывна а

эСляст.; 0 4 54 1 оо »1 удовлетворяет условии

| Л Л

3) постипннпй Л.стзица & такова, что

"5 Ко < 1 , где К „= ^ К |.

1огдг, для л;обол и и> 6 С Ом) и любой ^ > о уравнение (3.1.2) имоет единст! енноэ роаюнио '3: н СО е С (0,1),.

Оьязь между регеннягч уравнений (3.1.1) и (3.1.2) устзнзв-

Т о о рем а ЗЛ .2. ыуетъ I) выполнено все условия тосре-мы 3.1.1; 2) при = М . уравнение (3.1.1) им-оот единственное нспреркеи^с рсазние 2„М , нрздегсеимез в видл

лг0 е Ь, (о,!).

1огдл ре'.:оь.;е :/};оън?ни- (3.1.2) при и (Л) = иаШ

сходятся пен о( о к ро::г"Д,;:о К , урешония (3.1.1)

по норме «(•.-,стран-С Од) • С::«р5.'сть отц-угл-зетя уд. ..-

Г?

Решение уравнения (3.1.2) сходится к решению

20 .уравнения (3.1.1) не только при цЫгИЛО, айв некоторой окрестности функции и4 . Допустим, что

вместо функции и а и) задана функция ц£ ОЛ , удовлетворяющая неравенству (2.1.2). Справедлива

Теорема 3.1.3. Пусть I) выполнены все условия теоремы 3,1,2; 2) функция (-4) удовлетворяет неравенству (2.1.2); 3) параметр ^ меняется но закону

«К«) -

Тогда решение (*) .уравнения (3.1.2) при = а сходится к решению уравнения (3.1.1) при $~+о по нор

ме пространства с 0>и} . Скорость сходимости удовлетворяет неравенству д.

Из этой теоремы следует, что решение уравнения (3.1.2) является приближенным решением уравнения (3.1.1) с приближенно заданной правой частью.

Частный случай этой теоремы доказан в [10] . В § 3.2 построено приближенное решение уравнения. (3.1.1) в случае, когда приближенно заданы ядро К и правая

часть и (-4)

Допустим, что вместо ядер К (*»£>) и Н, С-1 ^задали яДРа Ки и удовлетворяющие неравенствам

|| к ад - кьМ| с. С1М - ^ и, ||к,м -к1(1М| (3-2 л

Д«я тстроанля приближенного рапшшя уракиония (3.1.1) гл.? -дом уравнение

Ы г -v- К^СйЬ + К^(мСь.Г)). (3.2.:;)

Относительно суиретчоьанлп роъсигнк урлеленлл (3,2.25 докаэанд сл-лду,о';ея

'Г з ,: р { е а 3.2.1. Пуст;, П ¡г;о1;ч г ¡с о у;лот<л ^к.регл:! о.1.1 е 3.1; л' к^л; игл/име Лунки;:.! КД'-Л^К^

летворяют неравенствам (3.2.1); 3) параметр удовлетворяет

условию ^ •

<1 I»)

Тогда существует такое Ь0 » что при любом Ь^^о и любой функции иШбССм} существует единственное решение уравнения (3.2.2).

Сходимость решения уравнения (3.2.2) к'решению уравнения

(3.1.1) доказана теоремой.

Теорема 3.2.2. Пусть I) выполнены условия I), 2) теоремы 3.2.1; 2) параметр <1(й) выбран по формуле

Тогда существует такое Ко , что при любом и любом

Ц(0€ССо,1) решение уравнения (3.2.2) существует, единственно, и решение И^Ы .уравнения (3.2.2) при ии)- и6№ сходится к решению ' уравнения (3.1.1) при в пространстве 'ССо.О . Скорость сходимости удовлетворяет неравенству ,

И^.о^'ЮН «о^0' гЛе ^ -постоянная.

Решение уравнения (3,1.1) не является устойчивым от правой части 14 (Д) -3 отличие от этого решение уравнения (3.2.2) в окрестности функции и0(Л) обладает устойчивость. Следующая теорема обобщает теорему 3.2.2. Теорема 3.2.3. Пусть I) выполняется условие I) теоремы 3.2.2; 2) функция 135 С^) удовлетворяет неравенству

(2.1.2); 3) парсаметр о(. выбран по закону

Тогда существует такое 5а а , что при любом Ь0 и любом и(*.)£.С(од) решение уравнения (3.2.2) существует, единственно и решение уравнения (3.2.2) при

сходится к решению ' и> уравнения (3.1. Т) в пространстве С (о,!) • Скорость сходимости удовлетворяет ' неравенству , ^ - ' '

¡1 -3= ¿5 № - * .«И Ч ^ ■ * К

В § 3.3 построено г:ркблйжеиное резюнке уравнения (3.3.1). з случае, когда ядре "К и* является ' "."метрлчнпм и поло-

жительным.

Для построения приближенного решения наряду с уравнением (3.1,1) введем уравнение второго рода вида ,

оЫ + - Н*и (3'3л)

Степень оператора К определим по формуле

о V (.

Относительно уравнения (3.3.1) и (3.1.1) доказаны теоремы аналогичные теоремам 3.2.1.-3.2.3.

В четвертой глапе рассмотрены некоторые некорректные задач: математической физики. Применяя методы, разработанные в предыдущих главах, построены устойчивые решения этих задач.

В § 4.1 рассматривается задача Ковш для уравнения теплопроводности с обратным временем

Ш ~ . Т, (4,1.1) •а* -э** •

, о (4.1.3)

Введем обозначение

и(*,о) ~ фС*). (4.1.4)

Допустим, что при фС^о^^С*) задача (4Л.1)-(4.1.4) имеет единственное решение ч>в С*} €. С Со,£1.

Непрерывная функция с^ удовлетворяет неравенству

Задача (4ДЛ)-(4Л*4) сводится к интегральному .уравнению о

где

К - ¿1 ъыы» ,

гда (¿Гк\г<р

Ак = а

Для построения приближенного рененд$ .уоаьнвния "(4,1.6) введем уравнение (

Справедлива

Теорема 4.1.1. Пусть I) при ф(х) = ФвСх) уравнение (4.1.6) имеет единственное решение Ч>„ С*) 6 С ОД] 2) функция удовлетворяет неравенству (4.1.5); 3), параметр о1 (<5) выбран в виде ■

г

Тогда решение ^ уравнения (4.1.6) при сходится при к решению ф„ С*-) по норме простран-

ства СО^З . Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

1\ <(8) (=0~ Ф0С*)| с СоД1 4 Кц 5 «ч»

Теорема 4.1.1 доказана в Г16, 19, 20"1.

В § 4.2 построено приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа

с условиями

и.(о,ч^ = и(1Л) — О, (4.2.2)

ИС*>°) = О, 1Ц (А°) - ФС*) . (4.2.3)

Введем обозначение

К-х)-(4.2.4)

Решение задачи (4.2.1)-(4.2.4) сводится к интегральному уравнению I

•Эиг

где

где

$ К 2(ь)с15 = <р(эс), ; (4.2.5)

о

Я>1 -«-к

Ц3* С*) = /I 'э'ь.л к от х 3 Ах

$1гкЯГу0

К

Наряду с уравнением г(4.2.5) введем уравнение 1

оСн С»л^г(5)с(ь - ФОО. (4.2.6)

а

Справедлива

Те орем а 4.2.1. Пусть при Ф О) цо (г) уравнение (4.2.5) имеет единственное непрерывное решение ^„(зо . Тогда

21

решение Э^Оо уравнения (4.2.6) при ф с*) * С*-) при сходится к решению 2:в (э^ уравнения (4.2,5). Скорость'сходимости удовлетворяет неравенству

Допустим, что вместо (?£.) задана функция Ф^Сх)^

удовлетворяющая неравенству

ViColl « <5. (4.2.7) ,

" С

Устойчивость решения уравнения (4.2.6) доказывается следующей теоремой.

Теорема 4.2.2. Пусть I) выполняются условия теоремы 4.2.1; 2) непрерывная функция ' удовлетворяет нера-

венству (4.2.7); 3) параметр d, выбран по формуле

1-е g i-C

а таешение з «fii

Тогда решение г.*С») Уравнения (4.2.6) при ФС*) * ^ С») сходится при о к решению Н0С») уравнения (4.2.5) по норме пространства с Св„•.Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

Эти теоремы' доказаны в [19, 21].

В § 4.3 рассматривается нелинейное .уравнение

, Их» * *> 4 ■

с условиями

•Ц "»и (£,*) « О , О^-Ь^т, • (4.3.2)

и (*,т) = ф , о-^*.-*. 1. (4.3.3)

Найти функцию и (*,в)=»-а(*) устойчивую от заданной функции"

Введем обозначения г

<ЗГ«) *Р ■ «к> И (л

V» бийГкаь, Л»» е 4 • -

кг 1 ч» .

Допустим, что функция $ (V, Ч.1) истокообразно представила"

где Л (у и) непрерывна в области

•221

удовлетворяет условию Липшица

(4.3.5)

огда решение задачи (4.3Л)-(4.3.3) сводится к нелинейному ин-

егральному уравнению

1 ^ ' н> С*> = 3 Но 0* >т,\>) ас»>*>'К (V, (4>3.б)

■де

I/ ( -г ^ ^к^)^к(м)

Х> - оператор обратный к оператору

о а

1ля построения устойчивого решения уравнения (4.3.6) введем /равнение " ^

^ а + Ко Ы Л*, 0) Ч(\Я 41) а - ^ Н, С* 4Т, V) * (4 3 7)

* ( Гм (*, £ (гШч)).

Справедлива

Теорема '4.3.1. Пусть I) функция пред-

ставала в виде (4.3.4); 2) Д ' непрерывна в области -

о 4 у 4 г,-»* ¿ц<. «> ' и удовлетворяет условию (4.3.5);

3) постоянная Липшица • Ы -Для функции С4(ч.Ц) удовлетворяет условию. ыт

с» < 1,

1-г

<о

Тогда уравнение (4.3,7) для.лвббй с1 > а и любой функции . V « С (о*») ' имеет единственное решение -дс») ^ ^ Связь между реаениямн уравнений (4.3.6),. (443.7) устанавливает следующая.

Т.е о р е м а -1.3.2. Пусть I) выполнены все условия'.тео-; рем» 4.3.1;■ 2) при ч'Рч) * С-ч) уравнение (4.3.6) имеет

единственна решение ЗД-к) : . » предстзвимое.' в виде '

- *

Тогда решение С*} .уравнения (4.3.7) при ... , с

сходится при d о к решению г с С*) урf по норме пространства C.t»»il • Для скорости справедлива оценка

* *r - -г*

где С* - постоянная, <S* -— t

Допустим, что вместо'функции (розадана ф.ун.'..„ : <ps удовлетворяющая неравенству

Теорема 4.3.3. Пусть I) выполнены все условия теоремы 4.3.2); 2) функция' (х)> удовлетворяет неравенеч ву (4.3.8); 3) параметр oi. изменяется по закону

Тогда решение 0*3 уравнения (4.3.7) при ф (*} »<ps(x) является приближенным, рещением уравнения (4,3.6) и, следовательно, задачи (4.3.1)-(4.3.3). Скорость сходимости удовлетворяет неравенству

где С* - постоянная.

11УБШР ПО ТЕМЕ даССЕРТАЩИ

1. Саадабаев A.C. О регуляризации интегральных уравнений типа Фредгальма 1-го рода в пространстве непрерывных функций. //Лсслед. по интегро-дифферанц. уравнениям. Фрунзе: Илим/ 1977

2. Саадабаев A.C. 0 регуляризации нелинейного операторной уравнения 1-го рода //Известия АН Кирг.ССР, 1977, № I,

3. Саадабаев A.C. Применение сингулярно-возмущенных уравнений для регуляризации нелинейного операторного уравнения I—рс рода //Деп. !? 2110-77, деп. •

4. Саадабаев A.C. Регуляризации нелинейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в пространстве непрерывных функций //Деп. 2103-7?, деп.

о. Саадабаев A.C. Регуляризация нелинейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в пространстве непрерывных функций //Деп. 2103-77, деп.

6. Саадабаев A.C. Приближенное решение интегрального .уравнения Фредгольча 1-го рода в пространстве непрерывных функций /известия All Кирг.ССР, 1979. № 2.

7. Саадабаев. A.C. Регуляризация нелинейного интегрального равнения со слабой особенностью //Всесоюзная конференция по :екорректно поставленным задачам (Труды докладов). Фрунзе: Илим, .979. .

8. Саадабаев A.C. Приближенное решение интегрального урав-1ения Фредгольма 1-го рода в пространстве непрерывных функций '/Исслед. по интегро-дифферепц. уравнениям, Фрунзе. 1979.

9. Саадабаев A.C. Регуляризация решений интегрального 'равнения 1-го рода- с приближенно заданным ядром и правой 1астью //известия АН Кирг.ССР. 1981. № 4.

10. Саадабаев A.C. О построении регуляризующего алгоритма ;ля решения нелинейного интегрального уравнения 1-го рода //В :б. Вопросы качественного исследования и приближенного решения штегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе. 1931.

11. Саадабаев A.C. Задача Коши для нелинейного уравнения 1апласа в бесконечной полосе //В сб. Асимптотические методы теории дифференц. и интегро-дифференц. уравнений и их прилол сение. Фрунзе. 1931.

12. Саадабаев A.G. Применение метода регуляризации Тихонова с решению внешней задачи Дирихле //Методы решения некорректных задач и их приложения (Труда Всесоозной школы-семинара. Ноорус, [982). Новосибирск, 1982.

13. Саадабаев A.C. Об операторных уравнениях 1-го рода с 1риблин;еннвми данными в Гильбертовом пространстве //В сб. Исслед. 10 интегро-дифференц. уравнениям. Фрунза, 1982. Вып.15,

14. Саадабаев A.C. Приближенное решение операторного уравнения 1-го рода в Банаховом пространстве //В сб. Иссдед. по ин~ гегро-диффоренц. уравнениям., Фрунзе: Ийим. 1982,.Вып.15.,

15. Саадабаов A.C. 0 решениях интегрального уравнения 1-го рода в пространстве непрерывных функций //Качественные и приближенные методы теории дифференциальных- а интегро-дифференц/. уравнений. Фрунзе.• 1993,

.16.; Саадабаев A.C. Устойчивые метода ретенил уравнения с.' частными производными //Теория и методы решения .'некорректно, доставленных' задач и их приложения "(ТрудаВсесоюзной .'ш<олЫ-се-'.-;' динара по некорректно поставленным 'задачам),.; Саратов!'.-;; 1985''i

17. Саадабаев A.C. Методы решения интегральных уравнений 1-го рода (Учебное пособие). Фрунзе, 1986, 1

18. Саадабаев A.C. Приближенное решение нелинейного операторного уравнения 1-го рода //В сб. Исслед. по интегро-дифферен) уравнениям. Фрунзе. 1986. Вып. 19.

19. Саадабаев A.C. Оценка точности приближенного решения интегрального уравнения 1-го рода в'равномерной метрике //3 сб. Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Фрунзе, 1988. Вып.21.

20. Саадабаев A.C. Устойчивые методы решения для уравнения теплопроводности с обратным временем в равномерной метрике

. //Функционально-диффербнц. уравнения. Тезисы второй северокавказской региональной конференции. Махачкала. ГС88.

21. Саадабаев A.C. Конечномерная аппроксимация решения ■ задачи Кощи для уравнения Лапласа //Условно-корректные задачи математической физики. Тезисы Всесоюзной конференции, Красноярск. 1989.

• 22. Саадабаев A.C. Построение регуляризирующего оператора для решения операторного уравнения I-га рода //Тезисы докладов Международной конференции по некорректно поставленным задачам. Москва. 1991. '

23. Саадабаев A.C. Построение регуляризирущега оператора .для решения интегрального уравнения 1-го рода //Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории еингуляр-! . но-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач'.' < Бишкек. 1991.