Конечномерная аппроксимация обратных задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ •

Специализированный совет Д 01.94.27

на правам рукописи

ТОКТОСУНОВ ЫИРЕЕК БЕРДИБЕКОВИЧ

КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСШШШ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МА1ИШ!ЙЧ£СК0И ФИЗИКИ '.

- 01.01.02 дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БИШКЕК - 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Кыргызского государственного национального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Саадабаев A.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических, наук, профессор Темирбулатов С.И. (Казахский государственный национальный университет им. Аль-Фараби);

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Атаманов Э.Р. (Институт математики HAH Кыргызской Республики).

Ведущая организация: Институт теоретической 2 прикладной математики HAH Республики 'Казахстан.

Занята диссертации состоится ^ OfcO^A.Х995 г.

|Г<£ 5

в I i ■ часов на заседании Специализированного соЕета Д 01.94.27

ч; — ♦

по присуждении ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики. v

С диссертацией можно ознакомиться в ЩБ HAH Кыргызской Республики. f

Автореферат разослан ^ г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 720071, г.Бишек-71, цроспект Чуй, 265 "А", Институт математики HAH Кыргызской Республики, Специализированный совет Д 01.94.27. Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, „

старший научный сотрудник <йскандаров С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Широким классом некорректно поставленных задач, возникающих в физике, технике и з других отраслях знаний являются так называемые обратные задачи определения интересующих нас количественных характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений. Поэтому не"вызывает сомнения необходимость разработки методов решения таких задач. При этом приближенные решения, получаемые по приближенным исходным данным, должны быть устойчивы к малым изменениям последних. Для нахождения приближенных решений естественно переходить р конечномерному пространству. Быстро растущее использование вычислительной техники требует развития вычислительных алгоритмов для решения широких классов задач. Большой вклад в теории некорректно поставленных задач внесли, Тихонов А.Н., Лаврентьев М.Ы., Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П., Морозов В.А., Арсенин В.Я., Винокуров В.А., Гончарский д.В., Романов В.Г. и'многие другие ученые.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I) Построить приближенные решения некоторых обратных .задач математической физики, операторных и интегральных уравнений первого рода в конечномерных пространствах.

2) Показать сходимость решения конечномерной задачи к решению исходной задачи при определенной зависимости параметра регуляризации от размерности аппроксимирующего пространства.

3) Показать устойчивость найденного приближенного решения от погрешности исходных данных. ч .

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Для нахождения приближенного решения исходных некорректных задач применяется метод конечномерной аппроксимации, ф.е. бесконечномерная задача аппроксимируется семейством конечномерных задач, решения которых сходятся к решению исходной задачи. •

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые'задача минимизации сглаживающего функционала Тихонова решается в конечномерном пространстве, что позволяет находить устойчивые приближенные решения некорректных задач в конечномерных пространствах. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному. Доказана устойчивость данного метода.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. . В теоретическом отношении результаты диссертации продолжают развитие теории

некорректно поставленных задач.. Полученные "результаты могут найти применение при численном нахождении приближенных репений некорректных задач на ЭЕМ.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации дологена ка республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Г.Фрунзе, сентябрь 1989 г.), на международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (г.Москва, август 1991 г.), на всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (г.Бишкек, сентябрь. 1991, г Ч нз семинаре кафедры дифференциальных уравнений Кыргызского государственного национального университета. До теме диссертации опубликована 7 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из- введения, одиннадцати параграфов и библиографии из 69 наименований. Общий объем работы 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность выбранного направления исследования, дается обзор литературы и приведена аннотация результатов диссертации.

В §1 -рассматривается операторное уравнение

Аг = и. ^. (I)

где А - линейный Еполне непрерывный положительный

самосопряженный оператор,' ■ действующий из гильбертозэ пространства Ява.

Известно,, что ' линейный вполне непрерывный

самосопряженный оператор А в гильбертовом пространстве имеет

полную.систему ортонормировании собственных элементов, {ф^,!»

соответствующих собственным значениям {А.4[ > ... > ¡Як| >____

причем Г О при к —» «о. •

г* I •

В пространстве И рассмотрим функционал

П Г)

£(0,,..., а , и) = а| ^а.ф^' + \л[ £ а.ср.) - и{*. (2)

131 .

п

где а > о - параметр, ап) € Д , и е Н.

Пусть Нп конечномерное пространство, порожденное

элементами <р4, ср2,..., фп, Рп - оператор ортогонального"

проектирования' Н в Ип. Минимизируем функционал (2) на Я .

Через обозначим вектор, минимизирующий функционал (2)

при и = и0. Этому вектору соответствует элемент

г» * • 1 =1

ТЕОРЕМА I. Пусть: I) А - линейный

вполне непрерывный положительный самосопряженный оператор' из

гильбертова пространства Н в Я; 2) при и = ио

уравнение (I) имеет единственное решение го £ В; 3) параметр

а удовлетворяет неравенству

* . ■ А.2

ТЛ ^ а ^ и- • Т. > Т. - постоянные, —— —► О 1 " 1 2 1 2 а(п)

при /г —» со. Тогда га при п —» оо по норме г.

пространства Н.

Пусть гместо элемента ио задан элемент ив, удовлетворяющий неравенству

К - ие8 < <3>

п

Обозначим через ^а^з' € й вектор, _минимизирующий функционал (2) при и - Этому вектору соответствует

п

семейство элементов ~ 1 а> а^^Ъ'

¡ = 1 ,

ТЕОРЕМА 2. Пусть: -I) выполнены все условия теоремы I; 2) элемент и^ • удовлетворяет неравенству (3); 3) выполнено

неравенство 6 ^ ^ И ТХ-1--0 ПРИ

а —> О. Тогда элемент гп а> ' соответствующий вектору £ (и^). минимизирующему функционал (2) при и = иа, сходится к точному реьению уравнения (I) по норме пространства Н при

а — о.

Во втором параграфе предполагается, что при и = ио уравнение (I) имеет единственное решение го, истокообразно представшее с помощью оператора В = А&, 0 < 0 < 1, т.е. = ВдЛ, где -д е Н.

Рассмотрим в пространства ■ Б следующий функцион. П " 2 Ы^Ъ, и] = а[ I а.ср. \ \ ^ а. ср.) - и| . (4)

1 =1

Пусть Рп - ортогональный проектор пространства Н в Обозначим через проекцию элемента т.е.

и

= Рп« = £ С. ф. .

ТЕОРЕМА 3. Пусть: I) А - линейный вполне непрерывный положительный самосопряженный оператор из гильбертова пространства Н в Н; 2) при и = ио уравнению (I) имеет единственное решение, представимое в Еиде га = А"Ъ0, ■й е а'; 3; параметр а удовлетворяет неравенству Л'Л-п!?! < а{п) ^ • где тГ < Тг - - положительные

постоянные- Тогда элемент гп°а = ВЬ^ при п —» со

сходится к точному решению"уравнения (I) по норме пространства Н.

ТЕОРЕМА 4. Пусть: I) выполняется условия теоремы 3; 2) номер аппроксимации я удовлетворяет неравенству

8ТЛ< < • Тогда элемент " при « • б О

сходится к точному решению уравнения (I) по норме пространства Е. '

В третьем параграфе конечномерная аппроксимация построена с помощью компактного оператора. Рассмотрено уравнение (I) с линейным " ^прерывным оператором А. Доказаны теоремы аналогичные теоремам I и 2.

Пусть вместо оператора А дан оператор ^ такой, что

- 4) ^ П. (5)

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть I) £ -.вполне непрерывный оператор из 2 в II; 2) выполняются условия (3) и (5). Тогда при

а(71(е, Ю) = Оф. К \го\ + 5) -и при б — О, К — О элемент га?п*дь»п<8ь> сходится" к точному решения исходного уравнения по норме пространства 1.

В четвертом параграфе для нелинейного операторного -уравнения первого рода строится конечномерный регуляризируксгй оператор.

Рассмотрим уравнение

А = /, (6)

где А : U -* F - нелинейный непрерывный-оператор, U - банахово, F - гильбертово пространства", / - известный элемент в пространстве F.

Пусть Z с и и В - оператор вложения из Z в U. Пусть " ср1, ср2,..., фп,... оазис в пространстве Z.

Обозначим через 2п конечномерное пространство, порожденное элементами cps, ф2,..., фп.

Минимизируем следующий функционал

п • п

л = а1 2'а,<р, Iх + 1А{ 1 a¡(Pi] - л*. (?) i =1 i =1

по О;,..., а^. Пусть этот минимум достигается в 'точке

(at а,..., ап а). Этому вектору соответствует элемент

* г»

í=i

Предположим, что нелинейный оператор удовлетворяет условию . \Az± - AzJ М - z21), (8)

где Q(a) положительная функция и' Q(o) —» 0 при о -* 0. Обозначим ¡£(?п -

ТЕОРЕМА в. Пусть: I) непрерывный оператор А : U -» Р удовлетворяет условию (8); 2) оператор вложения В : Z —► U является вполне непрерывным; 3) <pt,-<р2...., Фл>... является базисом'в пространстве Z; 4) -конечномерное простран-

ство, порожденное элементами ф4, ф2,..., фп. Тогда при

т/n (p(n)ízj) $ а(п) . $ 72П (Р^п)|2о| элемент

г»

2 гда (аЛ.....' аЛ> . ~ вект°Р'

i

минимизирующий функционал (7) при / = /о, при л —► <¿

сходится к точному решению уравнения (6).

ТЕОРЕМА 7.- Пусть выполняются все условия теоремы 6и

элемент /е € F удовлетворяет неравенству " - /0| ^ S. ■ -i -i Тогда при. ^ 6 < Q(P(n)¡2o|) $ \ 5 элемент

п i = i

минимизирующий функционал (7) при / = /§. при 3 —► 0

сходится к точному решению уравнения (6).

В § 5 находится пргблыенное решение для интегрального уравнения с положительным симметричным • ядром в равномерной метрике.

Рассмотрим линейное интегральное уравнение перЕого рода 1

J K(t, a)z(3)d3 = u(i), t e tO.ij, (9)

о

лде K(t, a) - непрерывная функция в квадрате 0 < t, з ^ 1. Леву® часть уравнения (9) обозначим через K(z), она является интегральным оператором. Пусть ядро K{t, а) является

симметричным и пояснительным и обозначим через |<pk (t ) ортонормирование собственные функции ядра, соответствующие характеристическим значениям jv,., причем \ > 0, и \ —► оо При к —» оо.

Для нахождения устойчивого решения наряду с ураьяением (9) рассмотрим интегральное уравнение второго рода

clz + Ш)- - u(t), t с СОИ 1. где а - ползжительный действительный параметр.

ТЕОРЕМА 8. Цусть: I) ядро 9) непрерывно в

квадрате 0 ^ t, з < 1 * и симметрично; 2) оператор К, Q < 9 < 1, ' действует из пространства 12(0,1) а С(0,1). Тогда для любого решения уравнения (9), принадлежащего множеству JfcC(O.I); Ж = { z(t)е 0(0,1) : г = Ed, it е 1г(0,1)

выполняется-предельное равенство Ilm (аЕ + ЕГ'&г = z(i;

а-»о

и справедлива оценка

|(а£ + КУ'Ш) - z(t)JC(Ü 1( < Cjei/ {0 ^оГ9. '

2

Пусть вместо функции • u(t) задана функция uö(t), удовлетворяющая неравенству

|u(t) - UQ(t)|ctefll< С. (10)

Рассмотрим в пространстве 12(0,1) ограниченный шар

S, = {« € Д,(0.1) : <г},

ц Jf. = Ä(S'r) - образ шара при отображении К, причем 3fr

компактное множество в ¡Л0,1).'

'ТЕОРЕМА 9. Пусть выполняются все условия теоремы 8 условие (10). Тогда для .табого решения уравнения О), принадлежащего мнокестзу К tC(0,l) справедлива разномерная оценка |(аЕ + Я)'4ц3 - М) !С(„ t, < C'2ÍC*, Ct, -j

в.»-9./-<э-в) ддд любого t е sr.

В § 6 находится приближенное решена для интегрального уравнения первого рода с приближенно заданным ядром, показан? устойчивость такого' рехэния. Доказаны теоремы аналогичные теоремам 6 и Э. Получены оценки сходимости приближенного несения к точному реизнию исходного уравнения.

В § 7 для интегрального уравнения первого рода находится пгислизэнное решс-ние в ггсострансгез негпоэоьЕннх функций.

Рассмотрим интегральное урзЕнс-ни'е СЗ) с ядром Кц, э), действующи из пространства С(0,1) в 12(0,1). Прэлюлсюм, что интегральный оператор А является полозсптель- ьи л самосопряженным. Пусть- 3 вполне непрерывный оператор, отооражангий пространства' Хг(0,1> з С(0,1), перестановочный с оператором А.

Введем сглагиванцгй функционал Г1С-з,и]= а^}* io l)+ |Л5в - u(í)|* (0>1), Vtfc L (0,1). (II)

ТЕОРЕМА 10. Пусть I) ядро э) непрерывная функция

з квадрате О < г, з « 1;'2) ' В - линейный вполне непрерывный оператор, отоСрахзюций' I2(0,1) в С(0,1); 3) при u(í) = uo(í) ■■ уравнение (9) имеет единственное решение -

Я(3), т.е. существует функция т}0с I2(0,1), ^ г такая, что zQ = где г - фиксированное число; 4) элемент

■$о представил с помощью оператора С: vo= Gg, Jg¡ < г, rt^e С = АЗ. Тогда элемент _ za = 6t>a, " где t*a - элемент,, минимизирующий функционал (II) при и = uQ, при a —► О сходл---* к точном:/ решению уравнения (9) по не оме пространства (7(0,1), причем сходимость будет равномерной для любого сп, представимого в виде zo = 3{AB)g, где- g с Ь'г = L {0,\},

Sr = { 8 € S--' : 151 « " }•

В § 3 построена конечномерная аппроксимация/ регенеч интегрального уравнения перЕ :то родэ и поковать устойчивость реиения конечномерной задачи. Получены оценка ' сходимости

приближенного решения к точно:;}' решению походного уравнения. Доказаны теорема аналогичные теоремам I и 2.

В § & находится приближенное решение для краевой задач!! для уравнения эллиптического типа. Рассмотрим линейное уравнение

- dtvi.ii и) + q{xyJ. = £{х), х = (т, тх) € С с условием

'¿десь д(Г) > О, щг) > С, g(:r) - заданные непрерывные функции в ограниченной области 0 £ Я2, причем Ь{х) - имеет непрерывную производную, дО - граница области С, <р(г) € С(дС-). Введем оператор по формуле

{-сИь{к gram/,)+q(x)u, при хеС,

■

и|йс; , при хедО.

Тогда исходная задача запишется в виде

=/. /=Р|- (12)

м

Линейный оператор А является непрерывным из пространства

и = К* (О е 12(С)«1г(дС) = I. Через £ обозначим

оператор вложения 2 -- в V; В : .2 » и.

Пусть семейство конечномерных пространств <= £

таких, что '£с2 и и2=г, аШ Ъ = п. Пусть

т* г>«-1 п п

П - (

Ф , <р Ф - базис в пространстве Zn.

' п

Рассмотрим следующий функционал в пространстве К :

Л = а)гп]" + - /| . (13)

Обозначим через = вектор, минимизирующий функцио-

нал (13) при / - ?0- Этому вектору соответствует элемент

гЛх = 2<0« % = ..... О-

Пусть Рп - ортогональный проектор Z на Введемч

числовую последовательность §(п) = |В(РП - причем

р(п) —» 0 при и —► -со. Параметр' а выберем так, чтобы отношение

было ограничено при любом п и а(п) — 0 при i со.

ТЕОРЕМА'II. Пусть: I) Zn - конечномерное пространство, порожденное элементами <р , ,..., ф^; 2) .1 - линэйкпй непрерывный оператор из U в ? и .4zo = / ; 2} : 2 —» Z - ортогональный проектор £ на Zn; А) В : Z — L' хтаейнкй компактный оператор. 'Тогда при выполнения условия ¡.14:

и а(п) —» 0 при п —► оо семейство jz/^J czor-vrr:?.

к точному решению О yDSEIiSKH.t {12 ;.

ТЕОРЕМА 12. Пусть: I) выполнены все условия т? ср-га II: 2) элемент удовлетворяет н-э^э^енств'/ )/ — *j < ^.

Тогда при а (г.) = а при 3 С . злзмзнт

- »—» z по носке пиостпанствз Z.

В 3 Ю построена конечномерная аппроксимация задачи Ксг^л для уравнения Лапласа.

Рассмотрим следующую задачу

Ч., 'V. = -» riG»

•дх.О) = ф(Х), X € Я. \ (х,0) = ф(Х), X € Л. Эту задачу закинем 'з операторной форда

An = /, «15}

где оператор .4 действует из пространства У = з

пространство Р - « Ь2(Д) « Lz(R).. .

Рассмотрим следующий функционал M?tz,/] = aj?n2jz + iA3Pn2 - /J2, . Vz e Z, a > 0. Доказаны теоремы - аналогичные теоремам II и 12.

В § II метод конечномерной аппроксимация приу-.-нея для решения обратной задачи- для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

си

3t дзг

с условия;«!

= a, х, t е <3Q,

■an

•J.(X, T) = ф(Х), X <

Введем следущкй оператор:

дги

--г-. х, ten,

dz*

z, t <l да,

"ea

u(t, T), X i G. Тсгдз исходная задача запишется в виде (15), где / = colon (0, 0, фи)). Пусть <р , у,,..., ф^,...- оазис в пространстве (О).

г-йсслотрий п -. мерное пространство 2 , порожденное системой , ,. • •. . Пусть - ортогональный пр-оектор на

псдггросттзансгво Z , т.е. Р • : £ —• Z .

* * г» п тч

Расгкэтоан еле душка функционал в £п:

г> п

= а{ ^ а,<Р, |2 +■ М( I " -С- <16>

j =i i г 1 .

ооознзчш чэрез вектор, нинЕмвзцрукядеа функционал Ц6)

при f - /о. »Этому вектору соответствует элемент

i = i

Пусть S : Z — U = 1(G) - оператор вложения.' Введем

• обозначение 0(rz) = |B(?n - Е)

ТЕОРЕМА 13. Пусть I) Рп : Z -* 2. - ортогональный

проектор; 2) В - вполне непрерывный оператор вложения Z в U.

z г /

1згда при (п) $ сх(П) $ 7 ¡3 (тг) эль,:ент ипа,

ревлдзукщпг тачную юпевю границу функционала U6) при /

= /0, сходятся к точному решению уравнения (15) при п —> ».

ТЕОРЕМА 14. Пусть Еьшолкяются все .условия теоремы 13,-

элемент Д ? удовлетворяет неравенству |/е - /е| < С.

2*2 2 , р Тогда при a(6) = р (п), р (п) = б • элемент un а" реализующий точную гранйцу функционала (16) при / =

сходится к точному решению уравнения (15) при п —> со ро норме пространства г.

ЛИТЕРАТУРА

1) регуляризованный Еариационный метод решения обратной задачи для уравнения теплопроводности//Тез. докл. республ. конф. "Ди$-ференц. уравнения и их приложения", Фрунзе, сент. 1989т. -Фрунзе: Киргиз, гос. ун-т, 1989. - С.18. (совм . с- Сзадэбаэ-ВЫМ A.C.)

2) Конечномерная аппроксимация решения краевых задач для'уравнения в частных производных//Третья Всесоюзн. кснф. "НоЕые подходы к решении дифферент, уравнений", Дрогобыч, июнь 1Э91 г.:Тез. докл. - М.:Изд-во Еичисл. центр АН СССР, 1991. - С. 117. (совм. с Саадабаевым A.C.)

3) Построение конечномерного регуляризирукдего оператора для решения нелинейного операторного уравнения первого рода//Гс-з. докл. Межденар.кокф. "Некорректно " поставленные задачи з естественных науках", Москва, зег. 1991 г. - М.:Изд-во ИПМ км. Келдыша АН СССР, 1991. - С. 232.(совм. с Саадабаевнм A.C.)

4) Регуляризованный вариационный метод решения обратной задачи для уравнения теалопроводности//Исслед.по интегро-дифференц. уравнениям. -.Бишкэк:Илим, 1991. - Вш. 23. - С. 156-159.

5) Построение конечномерного регуляризирувдего оператора для решения задачи Кош для уравнения теплопроводности с обратным зременем//Тез.докл. Третьей Северо-КаЕказск. региональной кснф. по фукквдональяо-диффСренц. уравнениям, и их- приложениям.-Махачкала, сент. 1991г.' - Махачкала:Изд-во Даг.гос.ун-та, 1991. - С. 159. •

6) Конечномерная аппроксимация операторного уравнения с приближенно заданным оператором//Тез.докл.' Всесоюзн. конф. "Асимптотически методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач"» 'Бишкек,, сент. 1991г. *-Еишкек:Илим,- 1991.- С. 106.

7) Конечномерная аппроксимация решения нелинейно.-о операторного уравнения первого рода//Тез.докл. V научн. сессии аспирантов Кыргосуниверситета. - Бишкек:Кыр.гос.ун-т, 1992. -'С. 15.

Т0КТ0СУН03 ЩРБЕК. БЕРДИБЕКОЩЧ

Мггемзтикалцк фпзиканын тескери мзселелеринин чектуу чендуу

VCV.

¿ШОТАЩ1Й

Опер&тордук, ■ внтегрзлдак текдемелер канз мзтематикалык тескери- маселелер .учтн чектуу чендуу мейкиндккте какыкдаштырылгзн -чыгарылаятар тузулет. ' Параметр чектуу мсйккнднкткн нсмеркнеЕ кез кзракды Оолгондо таоылгзн какындзшгцрылган чнгарылкш састатш населении так чыгарылылзка ¿'мтулазры карсетулат. ¡¿ннда2 чыгарцлыш оерклген човдуктзрдл; каталышкан туруктуу экени дзлилденэт.

TQKÏQSUNOV MIE3EK BERDIEEKOVICH

Flnlte-dicsnslonal approximation of Inverse problems oi the mathematical physics.

SUMMARY

A stable method, for approximating the solutions oi ill-posed problem ana conditions that guarantee the best possible rate lor the regularised solutions were studied in this research. Results on convergence " and convergence rates for îi'Khonov régularisation combined with Iinlte-dimenslonal approxirnetlon were presented.