Регуляризация неустойчивых задач в топологических векторных пространствах и конечномерная аппроксимация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1.1. Основные определения и простейшие свойства регу-ляризуемости.

1.2. Регуляризуемость и тихоновская регуляризуемость

1.3. Свойство С и линейная регуляризуемость.

2 КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТИ

2.1. Критерий линейной регуляризуемости в терминах теории двойственности

2.2. Регуляризуемость в полурефлексивных пространствах

2.3. Случай банаховых пространств.

3 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РЕГУЛЯРИЗУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

3.1. Спектральные операторы скалярного типа.

3.2. Спектральные операторы конечного типа.

3.3. Один метод построения подпространств в С*(0,1) с различной характеристикой.

3.4. Интегральные операторы.

4 КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЗАДАЧ

4.1. Критерий сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки.

4.2. Метод регуляризации.

4.3. Метод L-регуляризации

4.4. О сходимости аппроксимаций в методе М.М.Лаврентьева

5 КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н.ТИХОНОВА п-го ПОРЯДКА

5.1. О сходимости конечномерных аппроксимаций по различным метрикам.

5.2. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к ре-гуляризованному решению.

5.3. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению.

Теория регуляризуемости отображений возникла в связи с решением некорректно поставленных задач. В своей книге [151] Ж. Ада-мар сформулировал условия, которым должны удовлетворять постановки задач для уравнений с частными производными, чтобы эти задачи имели физический смысл. В абстрактной постановке для уравнения

Ах = у, (0.0.1) где X, У - метрические пространства, А : X —>• У - некоторое отображение, эти условия принимают следующий вид:

1) для любого у Е У существует х Е X такой, что Ах = у (существование решения);

2) если Ах1 = Ах2, то х\ — х2 (единственность решения);

3) решение уравнения (0.0.1) непрерывно зависит от у Е У, т.е. отображение А~г непрерывно (непрерывная зависимость решения от исходных данных).

Задачу решения уравнения (0.0.1), для которого не выполняется какое-нибудь из сформулированных условий, после Ж. Адамара стали называть некорректно поставленной задачей или просто некорректной задачей. Наиболее важным случаем некорректных задач является случай, когда не выполняется условие 3), т.е. решение не является непрерывной функцией исходных данных. В этом случае будем данную задачу называть неустойчивой задачей.

Ж. Адамар полагал, что только задачи с непрерывной зависимостью решения от исходных данных могут иметь физическую интерпретацию. Однако на практике большое распространение имеют именно задачи, в которых нет непрерывной зависимости решения от исходных данных, ибо к ним относятся интегральные уравнения первого рода, многие уравнения в частных производных, численное дифференцирование и многие другие задачи. Оказалось, что неустойчивые задачи часто возникают при описании различных физических явлений (см. [56, 72, 73, 108, 120, 140, 141]) в геофизике, гидродинамике, спектроскопии. Все это указывает на принципиальную важность их решения.

Первый шаг в решении неустойчивых задач был сделан в 1943 году А.Н. Тихоновым в работе [132]. В этой работе предполагалось, что известна дополнительная информация о решении уравнения (0.0.1), а именно, известно, что оно принадлежит некоторому компакту М С X. В этом случае отображение А"1 будет непрерывным на АМ и задача становится корректной. Задачи, допускающие такую информацию о решении, в работе [72] М.М. Лаврентьевым были названы корректными по Тихонову, а М - классом корректности.

Следующий шаг в решении неустойчивых задач был сделан М.М. Лаврентьевым и В.К. Ивановым. Если в методе А.Н. Тихонова предполагалось, что решение принадлежит компакту М и приближенное значение правой части не выходит из АМ, то М.М. Лаврентьеву и В.К. Иванову удалось освободиться от предположения о принадлежности приближенного значения правой части множеству АМ. Для этой цели М.М. Лаврентьев в [69, 72] заменял уравнение (0.0.1) уравнением второго рода, а В.К. Иванов в [47] использовал введенное им понятие квазирешения.

Понятие регуляризуемости и регуляризующего алгоритма были введены А.Н. Тихоновым в работах [133, 134] 1963 года. Эти работы характеризовали новый подход к решению некорректных задач. Если предшествующие методы решения некорректных задач тем или иным образом сводили эти задачи к корректным задачам, то этот метод трактует решение именно некорректных задач. Рассмотрим сущность понятия регуляризуемости.

Пусть X, У - метрические пространства и / : X —^ У - непрерывное отображение. Если вместо элемента ж £ X задано некоторое приближение к нему ж<$ такое, что р(х,х&) < 8 и надо вычислить приближенно /(ж), то естественно за это приближенное значение взять у § = /(ж<$). Погрешность определится через модуль непрерывности и стремится к нулю, если х$ —¥ х.

Так решаются устойчивые задачи. Теперь допустим, что / - произвольное отображение с областью определения И С X и множеством значений в У, и вместо х € X задано приближенное значение так, что р(х,хь) < 5. Поставим задачу найти приближенно /(ж). Теперь уже нельзя положить у$ = так как, во-первых, может не принадлежать И и тогда не существует, а, во-вторых, даже если х$ Е то = может не приближаться к /(ж), если / не является непрерывной функцией. В этом случае поступим следующим образом. Для нахождения приближения у& к /(ж) мы применим к ж<5 не отображение /, а некоторое другое отображение, которое обозначим через Щ. Итак, за приближенное значение /(ж) возьмем у$ = В,§(х$). Причем ясно, что для удовлетворительного решения поставленной задачи нахождения приближенного значения /(ж) надо, чтобы область определения отображений совпадала со всем пространством X и —> /(ж) при 5 —0 и р(х,х$) < 5 для любого ж £ -О. Задачу нахождения значений /(ж) (или просто отображение /) называют регуляризуемой, если существует семейство {Д^}, 0 < 5 < ¿о* с указанными выше свойствами, а само это семейство называют регуляризующим алгоритмом или просто регуляризатором. Задачу решения уравнения (0.0.1) назовем регу-ляризуемой, если регуляризуемо отображение А~1.

В указанных выше работах А.Н. Тихонова 1963 года были построены конкретные регуляризаторы для интегральных уравнений. В последовавшей затем серии работ [135-141] А.Н. Тихонова показывается применимость построенных им регуляризаторов к различным задачам математики и физики.

Многообразным свойствам и применениям тихоновских регуляризаторов посвящены работы В.Я. Арсенина [3-5], В.В. Васина [14-16], A.C. Леонова [74, 75], O.A. Лисковца [76, 77], В.П. Ма-слова [79, 80], И.В. Мельниковой [81], В.А. Морозова [104-108], В.Н. Страхова [119-121], В.П. Тананы [122-128], А.Г. Яголы [148, 149] и многих других математиков.

Практическим приложениям к различным областям естествознания посвящены работы [36, 37, 119, 120, 136-141], в которых показывается эффективность метода регуляризации.

Впервые новые классы регуляризаторов были построены А.Б. Ба-кушинским в работах [7-10]. Для построения этих регуляризаторов

A.Б. Бакушинским была использована техника спектрального разложения операторов. А именно, им было показано, что некоторые функции от оператора А являются регуляризатором для отображения А"1.

Далее начала развиваться общая теория регуляризуемости. Впервые в работах В.А. Винокурова был дан ответ на вопрос: для любого ли уравнения (0.0.1) существует регуляризатор? В [21] В.А. Винокуровым было найдено необходимое условие регуляризуемости.

B.В. Васин и В.П. Танана [17] показали, что любой линейный непрерывный инъективный оператор А, определенный на сепарабельном Е -пространстве имеет регуляризуемое обратное отображение А~1. А.Б. Бакушинским [9] показана регуляризуемость А"1, если А -линейный непрерывный инъективный оператор, определенный на равномерно выпуклом пространстве. В.А. Винокуров [22] показал, что для регуляризуемости А"1 достаточна лишь рефлексивность сепарабельного банахова пространства X.

В.А. Винокуровым [23] было найдено необходимое и достаточное условие регуляризуемости отображения /, которое заключается в следующем. Если / - отображение с областью определения И С X ж множеством значений в сепарабельном пространстве У, то / регу-ляризуемо тогда и только тогда, когда отображение /, рассматриваемое как отображение из V в /(О), является 5-измеримой функцией первого класса.

В работе [28] В.А. Винокуровым, Ю.И. Петуниным и А.Н. Плич-ко условия регуляризуемости отображения А~1, где А - линейный непрерывный инъективный оператор, были сформулированы в терминах теории двойственности банаховых пространств. Как впоследствии выяснилось, этот подход оказался весьма плодотворным при изучении различных видов регуляризуемости отображений, обратных к линейным операторам. Опишем существо этого подхода.

Пусть Х,У- банаховы пространства, X сепарабельно и А : X —»■ У - линейный непрерывный инъективный оператор. Оказалось, что регуляризуемость отображения Асвязана с подпространством А*У* С X* сопряженного к X пространства X*. Вначале проведем неформальное обсуждение этих идей. Регуляризуемость А"1 говорит о том, что это отображение хотя и может быть разрывным, но не отходит "далеко" от непрерывных отображений, точнее, оно должно быть В-измеримым отображением первого класса. Хорошо известно, что если отображение А~1 непрерывно, то A*Y* = X*. Естественно предположить, что, в случае регуляризуемости A1 подпространство A*Y* не должно быть слишком "малым". Перейдем к точным формулировкам.

Подпространство М С X* называется подпространством ненулевой характеристики, если норма

II II

IFIII = SUP ~\\J\T feM,ftо Ц/11 эквивалентна исходной норме пространства X ([67]).

Введем на пространстве X новую норму по формуле

INI* = \\Ах\\. (0.0.2)

Оказалось, что условия регуляризуемости отображения Aможно сформулировать в двух эквивалентных формах:

1. Отображение А~1 регуляризуемо тогда и только тогда, когда A*Y* С X* - подпространство ненулевой характеристики.

2. Отображение Aрегуляризуемо тогда и только тогда, когда замыкание единичного шара в X по норме (0.0.2) является ограниченным множеством в исходной метрике пространства X.

Используя эти критерии в [28] показано, что если X - квазирефлексивное пространство, то любой линейный непрерывный инъ-ективный оператор А имеет регуляризуемое обратное отображение А-1; для любого неквазирефлексивного банахова пространства X существует банахово пространство У и линейный непрерывный инъективный оператор А : X Y такой, что отображение А-1 нерегуляризуемо. Применяя подход, основанный на теории двойственности, Ю.И. Петунин и А.Н. Пличко [111] исследуют различные классы регуляризуемых отображений. В этой работе доказывается, в частности, следующее важное утверждение.

Если X, У, Z - банаховы пространства, X сепарабельно, У рефлексивно, А: Х-^УиВ: У - линейные непрерывные инъективные операторы, отображение А"1 регуляризуемо, то регу-ляризуемо и отображение (ВА)~1.

Из этого утверждения выводится регуляризуемость нескольких классических некорректных задач, в частности показывается, что если А : С(а,Ь) —>• ^(а, Ъ) - интегральный оператор, действующий по формуле ь

А : /(х) I К(х, £)/(*) (0.0.3) а причем А/ ф 0, если / Е ^(¿Ц Ь) и / ф 0, и ъ ъ

11 \К(х,£)\2 ¿хсИ < оо, а а то отображение А~1 регуляризуемо. Этот результат - далеко идущее обобщение работ А.Н. Тихонова 1963 года по регуляризации интегральных уравнений.

Если X и У - нормированные пространства и для отображения / с областью определения И С X и множеством значений в У существует регуляризатор {Д^} такой, что все отображения -(конечномерные) линейные непрерывные операторы, то / называется (конечномерно) линейно регуляризуемым отображением.

В работах [29, 30] В.А. Винокуров, Л.Д. Менихес и А.Н. Плич-ко изучали линейную (конечномерную) регуляризуемость отображения А-1, если А - линейный непрерывный инъективный оператор, также с использованием теории двойственности. В этих работах были введены понятия добазисных и квазибазисных подпространств в сопряженных пространствах и с их помощью сформулированы критерии линейной (конечномерной) регуляризуемости. Подпространство М С X* называется добазисным, если существует последовательность линейных непрерывных операторов {Вп}, Вп : X —> X такая, что В*Х* С М и lim Впх = х для любого п п—>оо х G X. Подпространство М называется квазибазисным, если в предыдущем определении Вп - конечномерные операторы. С помощью найденных критериев в [84] доказано, что если X- квазирефлексивное банахово пространство со свойством ограниченной аппроксимации, то для любого линейного непрерывного инъективного оператора А, А : X —у Y, отображение А~1 конечномерно линейно регул яризуемо.

В [23] было введено несколько определений регуляризуемости и показано, что все они эквивалентны. В этой работе было названо тихоновской регуляризуемостью то, что мы назвали регуляри-зуемостью, а регуляризуемость определялась иначе (см. определения 1.1.1 и 1.1.2). Регуляризуемость в смысле определения 1.1.2 может быть перенесена на топологические пространства. В работе [31] изучалась таким образом определенная регуляризуемость в топологических пространствах. Впервые понятие регуляризуемости в топологических пространствах было дано В.К. Ивановым [54] в несколько иных терминах.

Наряду с развитием общей теории регуляризуемости большую роль играют вопросы, связанные с практическим решением неустойчивых задач. Здесь одним из основных вопросов является вопрос о конечномерной аппроксимации. Действительно, при практическом применении любого регуляризатора, необходимо заменять его конечномерным аналогом. Так, в работах [19, 20, 35, 39, 128,

130, 160] рассматриваются конечномерные аппроксимации для методов невязки и регуляризации. Здесь основным является вопрос о сходимости конечномерных аппроксимаций.

Уже в своих первых работах 1963 года по регуляризации интегральных уравнений А.Н. Тихонов рассматривает вопрос и о конечномерной аппроксимации. Причем А.Н. Тихонов изучает вопрос о сходимости конечноразностных аппроксимаций к точному решению.

Потом, однако, более распространенной становится задача о сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению ([128]).

Для нахождения условий сходимости конечномерных аппроксимаций В.П. Танана [126, 128] вводит понятие т-равномерной сходимости линейных операторов. Сильная сходимость аппроксимацион-ных операторов к оператору задачи недостаточна для сходимости аппроксимаций, равномерная сходимость является слишком сильным условием и не всегда на практике выполняется; т-равномерная сходимость является как раз нужным добавлением к сильной сходимости, обеспечивающим сходимость аппроксимаций.

Затем появляются понятия слабой замкнутости пары и полноты последовательности операторов ([19], [128]). С помощью этих понятий формулируются условия сходимости конечномерных аппроксимаций ([35], [160]).

Перейдем к изложению результатов диссертации.

В главе I вводится и изучается тихоновская регуляризуемость в топологических векторных пространствах. Регуляризуемость в топологических пространствах была введена В.А. Винокуровым в [31]. Недостаток этой регуляризуемости состоит в том, что на ее основе нельзя ввести понятие линейной регуляризуемости, показавшей свою плодотворность в банаховых пространствах. При введении понятия тихоновской регуляризуемости в топологических векторных пространствах автор руководствовался двумя соображениями: во-первых, необходимостью изучения линейной регуляризуемости в пространствах более общих чем банаховы; и, во-вторых, возможностью исследовать регуляризуемость отображений, действующих в пространствах обобщенных функций. В главе II будет показано, что первое соображение удалось осуществить полностью: критерии линейной регуляризуемости и многие результаты, известные в банаховом случае, удалось перенести на более общий случай. Второе соображение, касающееся обобщенных функций, удалось осуществить лишь частично.

В параграфе 2 главы I показывается естественность тихоновской регуляризуемости в топологических векторных пространствах. Доказывается теорема о совпадении понятий регуляризуемости и тихоновской регуляризуемости при очень общих предположениях. Здесь надо отметить, что как регуляризуемость, так и тихоновская регуляризуемость определяются не абсолютно, а относительно некоторого базиса окрестностей нуля. Вопрос о независимости регуляризуемости от базиса в общем случае не решен. В третьем параграфе доказывается независимость тихоновской регуляризуемости от базиса в случае метризуемых пространств. Также в этом параграфе решается вопрос о связи линейной (конечномерной) регуляризуемости со свойством С (СК). Хорошо известно и просто доказывается, что в случае банаховых пространств, линейная (конечномерная) регуляризуемость совпадает со свойством С(СК). Здесь доказывается, что и в произвольных метризуемых пространствах этот факт имеет место, но доказательство существенно более сложно, чем в банаховом случае. Необходимо отметить, что тихоновская регуляризуемость и свойство С (СК) определяются с помощью некоторых базисов окрестностей нуля, но в разных пространствах. И это обстоятельство оказывается существенным, хотя в случае банаховых пространств оно затемнялось тем фактом, что в них есть счетный убывающий базис окрестностей нуля. Во второй главе мы увидим, что для сохранения критериев линейной регу-ляризуемости в терминах теории двойственности, как это было в случае банаховых пространств, нужно определять свойство С (СК) и тихоновскую регуляризуемость через базисы окрестностей нуля в разных пространствах.

В главе II рассмотрен критерий линейной (конечномерной) ре-гуляризуемости в терминах теории двойственности, который обобщает известный ранее в случае банаховых пространств. Для этого вводятся и изучаются понятия добазисных и квазибазисных подпространств в случае топологических векторных пространств. Здесь так же как и раньше для тихоновской регуляризуемости или для свойств С (СК) понятия добазисных и квазибазисных подпространств рассматриваются относительно некоторого базиса окрестностей нуля. В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 доказываются критерии обладания свойством С (СК) отображения А~1 для линейных непрерывных инъек-тивных операторов А в топологических векторных пространствах. В теоремах 2.1.3 и 2.1.4 рассмотрены критерии линейной (конечномерной) регуляризуемости отображения А"1 в терминах теории двойственности. Во втором параграфе изучается регуляризуемость в полурефлексивных пространствах. Обобщаются хорошо известные в банаховом случае вопросы о регуляризуемости в рефлексивных банаховых пространствах.

Для этого вводится новое понятие ограниченной регуляризуемос-ти для отображения А(см. определение 2.2.2). В случае банаховых пространств ограниченная регуляризуемость совпадает с ре-гуляризуемостью, но в произвольных топологических векторных пространствах это разные понятия. Для вновь введенного понятия сохраняются свойства регуляризуемости, имеющие место в рефлексивных банаховых пространствах, что доказывается в теоремах 2.2.1 и 2.2.2. Таким образом, теоремы 2.2.1 и 2.2.2 можно рассматривать как обобщающие свойства регуляризуемости в рефлексивных банаховых пространствах на случай общих топологических векторных пространств. Можно поставить вопрос: а не будут ли справедливы полученные результаты и для обычной регуляризуемости? Оказывается, что нет. Далее приводится пример оператора А на рефлексивном пространстве Фреше с базисом, для которого отображение А~1 не регуляризуемо. Этот пример показывает на резкое отличие банахова случая от ненормируемых пространств. Тем не менее из результатов этого параграфа следует, что отображение А"1 из рассмотренного примера, ограниченно регуляризуемо. В предложениях 2.2.3 и 2.2.4 рассмотрено понятие регуляризуемости в некоторых пространствах, встречающихся в теории обобщенных функций.

В третьем параграфе рассмотрены некоторые приложения полученных результатов для случая банаховых пространств. Рассматривая критерии конечномерной линейной регуляризуемости и регуляризуемости, мы видим, что они отличаются от критерия линейной регуляризуемости тем существенным обстоятельством, что как конечномерная линейная, так и обычная регуляризуемость определяются только образом сопряженного оператора, в то время как для линейной регуляризуемости в теоремах первого параграфа, необходимо еще задавать образ самого оператора. Лежит ли это обстоятельство в существе дела или зависит от недостаточной техники рассмотренных доказательств? В теореме 2.3.1 показано, что это обстоятельство существенно. Итак, линейная регуляризуемость, в отличие от всех других видов регуляризуемости, не определяется только образом сопряженного оператора, а еще зависит и от вложения образа самого оператора в объемлющее пространство. Одновременно теорема 2.3.1 дает ответ и на вопрос, поставленный в [29]: существует ли банахово пространство У и его замкнутое подпространство X С У такие, что для вложения А : X —У отображение А~1 не обладает свойством С? В указанной теореме строятся такие пространства X и У. Далее изучается связь между квазибазисными, добазисными подпространствами и подпространствами ненулевой характеристики. Теорема 2.3.2 утверждает, что каждое добазисное подпространство имеет ненулевую характеристику. Это утверждение очень естественно, так как подпространства ненулевой характеристики связаны с регуляризуемостью, а добазисные подпространства - с линейной регуляризуемостью.

Далее приведен пример недобазисного подпространства ненулевой характеристики в пространстве, сопряженном к несепарабель-ному банахову пространству, и показано, что если X - сепарабель-ное банахово пространство без свойства ограниченной аппроксимации, то в X* существует недобазисное подпространство ненулевой характеристики. В теореме 2.3.4 доказывается, что в пространствах со свойством ограниченной аппроксимации каждое добазисное подпространство является квазибазисным.

В главе III рассмотрены некоторые конкретные классы операторов, для которых регуляризуемы обратные отображения. В первых двух параграфах исследуется вопрос о линейной регуляризуемос-ти отображения А-1, если А - спектральный оператор (в смысле Данфорда). Эти результаты представляют обобщение результатов А.Б. Бакушинского [6-8] на случай банаховых пространств. Обычно в банаховых пространствах при изучении аналогичного вопроса используется операционное исчисление, основанное на интеграле Коши где /(А) - аналитическая функция в окрестности спектра оператора А, контур I окружает спектр. Однако этот метод наталкивается на многочисленные трудности. Для спектральных операторов имеется более полное операционное исчисление, основанное на спектральном разложении таких операторов.

В первом параграфе рассмотрен спектральный оператор скалярного типа. Показано, что если ~ последовательность функций, заданных на спектре оператора А, А - инъективный спектральный оператор скалярного типа, ограниченный или неограниченный, и удовлетворяющая следующим условиям:

1) Фп(^) ~ измерима и ограничена для п = 1,2,.;

2) 1рп(\)\ - ограничена равномерно по п — 1, 2,.;

3) /фп(Х)Х —»• 1 при п —оо для любого А £ с {А), X ф 0; то отображение А~1 линейно регуляризуемо и Яп = фк„(А) является регуляризатором для А"1 при некоторой последовательности номеров (кп).

Затем вводится определение оператора, обладающего свойством 5, с некоторым ограничением на спектр, и показывается, что резольвента является регуляризатором для отображения обратного к такому оператору. Эти результаты являются обобщением результатов А.Б. Бакушинского на банахов случай.

Во втором параграфе приводится пример, из которого следует, что для спектральных операторов не скалярного типа результаты предыдущего параграфа не имеют места. Однако для спектральных операторов конечного типа в теореме 3.2.1 находится множество, на котором резольвента регуляризует А~1. Затем приводится пример спектрального оператора типа I, обладающего свойством показывающий, что на всем пространстве резольвента может и не регуляризовать отображение Ат.е., что условия теоремы 3.2.1 существенны.

В следующих двух параграфах рассмотрен вопрос о регуляризу-емости отображений, обратных к интегральным операторам. Этот вопрос имеет длинную историю (см., например, [29, 52, 70, 81, 83, 111, 119, 131, 133, 134, 157]. Как уже упоминалось, что если для интегрального оператора А из (0.0.3) действующего из С(а, Ъ) в £г(а, Ь), его продолжение на L/2(a,b) взаимно однозначно, то отображение А~1 регуляризуемо. Впервые это было доказано В.П. Та-наной в [131] и затем с помощью теории двойственности Ю.И. Пе-туниным и А.Н. Пличко в [111]. В начале 70-х годов В.А. Винокуров поставил вопрос о доказательстве регуляризуемости А~1 для любого инъективного интегрального оператора (0.0.3). Затем в работе автора [83] был построен пример интегрального оператора (0.0.3) с нерегуляризуемым обратным отображением и, тем самым, дан отрицательный ответ на вопрос В.А. Винокурова. В последнем параграфе главы III сначала дается обобщение рассмотренного выше результата о регуляризуемости А~1 для оператора (0.0.3). А именно, доказано, что если продолжение оператора (0.0.3) на £2(0,6) имеет конечномерное ядро (не обязательно нулевое), то отображение Арегуляризуемо. Затем построен класс интегральных операторов, для которых обратные регуляризуемы, и класс интегральных операторов с нерегуляризуемыми обратными отображениями. Причем в обоих случаях продолжение этих операторов на £2(0,6) имеет бесконечномерное ядро. Это дает ответ на вопрос, естественно возникающий после теоремы 3.4.1 и [83]: может ли А~1 быть регуляризуемым, если продолжение А на £2(0,6) имеет бесконечномерное ядро?

Построения четвертого параграфа существенно опираются на вычисления, проведенные в третьем параграфе. Здесь строятся некоторые подпространства в С*(0,1) и вычисляется их характеристика.

Отметим, что результаты работы [83] были обобщены А.Н. Плич-ко [113] и М.И. Островским [109] в другом направлении. Они строили интегральные операторы с нерегуляризуемыми обратными в различных функциональных пространствах, используя метод работы [83].

В главе IV рассматриваются условия сходимости конечномерных аппроксимаций при решении неустойчивых задач классическими методами.

Метод невязки для уравнения Ти = / состоит в решении вариационной задачи

М{\\и\\ : и е £>(£), IIТи - /¿II < 5}. (0.0.4)

Пусть заданы последовательность конечномерных подпространств {Нп} и последовательность операторов {Тп}. Конечномерный аналог задачи (0.0.4) состоит в решении вариационной задачи т£{|М| :иеНп, \\Тпи - /?|| < 5}.

0.0.5)

Аналогично метод регуляризации и его конечномерный аналог состоит в решении следующих вариационных задач:

Речь идет о связи задач (0.0.4) и (0.0.5) и задач (0.0.6) и (0.0.7). Точнее, вопрос состоит в нахождении условий на операторы {Тп}, при которых решения задачи (0.0.5) сходятся к решению задачи (0.0.4), а решения задачи (0.0.7) сходятся к решению задачи (0.0.6) при п —У оо. Раньше такие условия были найдены в случае гильбертовых пространств [160] или для банаховых пространств, но в частном случае непрерывного оператора Т [35]. Здесь мы находим необходимые и достаточные условия для сходимости аппроксимаций в общем случае банаховых пространств и для замкнутых операторов. Кроме того, раньше для этих целей использовалось понятие слабой замкнутости пары (определение 4.1.3) и понятие полноты последовательности операторов (определение 4.1.1). Практически условие слабой замкнутости пары трудно проверяемо, в то время как условие полноты проверить значительно легче. Оказалось, что от условия слабой замкнутости можно избавиться, за счет условия полноты последовательности сопряженных операторов. В диссертации даны критерии сходимости конечномерных аппроксимаций для методов невязки и регуляризации в терминах теории двойственности, использующие только условие полноты последовательности операторов. Эти критерии составляют содержание теорем 4.1.3и4.2.1из ш£ {\\Ти - ¡¿\\р + : и <Е £>(Т)},

0.0.6)

Ы{\\Тпи-^Р + аМ" :иеНп}.

0.0.7) первого и второго параграфов главы IV. Отметим еще, что переход от гильбертовского случая к банахову был непростым. Основную роль в случае гильбертовых пространств играл один результат фон Неймана [114, теорема 6.4.6], который не переносится на банаховы пространства, так как в нем рассматривается произведение оператора на его сопряженный.

Рассмотренные выше теоремы 4.1.3 и 4.2.1 дают критерии сходимости конечномерных аппроксимаций в некотором глобальном смысле, т.е. сразу для всех допустимых последовательностей подпространств. Представляют интерес и критерии сходимости аппроксимаций в локальном смысле, т.е. для некоторой конкретной последовательности подпространств. Такие критерии даны в теореме 4.2.3. В третьем параграфе изучаются критерии сходимости конечномерных аппроксимаций метода //-регуляризации также в терминах теории двойственности банаховых пространств. Из полученных критериев выводится сходимость конечноразностных аппроксимаций метода регуляризации А.Н. Тихонова п-го порядка в Ьр. В главе V мы значительно усилим этот результат, доказав равномерную сходимость конечноразностных аппроксимаций. Но отметим, что ранее не было известно даже о сходимости в Ьр.

В последнем параграфе главы IV рассмотрена некоторая модификация метода М.М. Лаврентьева. Метод М.М. Лаврентьева состоит в замене уравнения Аи = / уравнением

Аи + аи = /.

Этот метод проходит только в случае самосопряженного оператора А. Для других операторов данное уравнение предварительно умножают на сопряженный оператор. Однако возможен и другой подход. В диссертации выясняется, что при очень неограничительных условиях на оператор А существует такая изометрия Q, что заменив данное уравнение уравнением

Au + aQu = f, (0.0.8) мы получим то же самое, что и в классическом методе Лаврентьева, где Q - тождественный оператор. Рассмотрим аппроксимацию уравнения (0.0.8),

Апи + aQnu = /п, (0.0.9) и конечномерную аппроксимацию inf {\\Апи + aQnu - /„|| : и £ Нп}. (0.0.10)

В теоремах 4.4.1-4.4.6 получены критерии сходимости решений задач (0.0.9) и (0.0.10) к решению уравнения (0.0.8) так же, как и раньше в терминах двойственности банаховых пространств.

В главе V изучается конечноразностная аппроксимация метода регуляризации Тихонова n-го порядка. Пусть Т - интегральный оператор и L - оператор дифференцирования Lu = и'. Метод регуляризации к-то порядка состоит в сведении уравнения к вариационной задаче inf{||Tu - fS\\p + а Е ||1ВД2ЛхГ}, (0.0.11)

L г=0 } где Ki(s) - непрерывные функции, üQ(s) >0, \\fs - /о|| < 6 и /0 -значение правой части уравнения Tu = /, при котором оно имеет решение щ.

Рассмотрим разбиение отрезка [0; 1] на 2п равных частей. Обозначим через Un пространство постоянных на отрезках разбиения функций, через Тп - дискретизацию оператора Т и через Ln - разностный оператор. Конечноразностная аппроксимация задачи (0.0.11) состоит в сведении ее к задаче ы{\\Тпи-^\\? + а^:\\К^з)ипи\\?:иеит и(0) = о}, (0.0.12) где Я и К?(з) е ип, П К?(з) К{(з) при п оо.

Здесь речь идет о связи решений вариационных задач (0.0.11) и (0.0.12), и о связи решений задачи (0.0.12) с точным решением щ.

А.Н. Тихонов в работе [133] сформулировал без доказательства теорему о равномерной сходимости к точному решению конечнораз-ностных аппроксимаций метода регуляризации первого порядка, а в статье [38] дано ее доказательство при дополнительных ограничениях.

Затем в работе [134] А.Н. Тихонов рассматривает метод регуляризации п-го порядка. В этом случае он лишь намечает программу исследований, которая получила дальнейшее развитие в книге [142].

Используя методы главы IV, в главе V доказывается равномерная сходимость конечноразностных аппроксимаций метода регуляризации п-го порядка.

Во втором параграфе доказывается равномерная сходимость решений задачи (0.0.12) к решению задачи (0.0.11) при п —» оо; а, 5 -постоянные.

В третьем параграфе доказывается равномерная сходимость решений задачи (0.0.12) к точному решению гго при п —» оо, 5 —> 0 и некоторой функции а = а(6,п). Важную роль в доказательстве играет понятие полноты последовательности операторов, понятие, уже столь успешно использованное в предыдущей главе.

Я с благодарностью отмечаю влияние В.А. Винокурова на формирование результатов первых трех глав. Чтение его работ и беседы с ним были для меня очень плодотворны.

Я выражаю благодарность В.П. Танане за то, что он ввел меня в круг вопросов конечномерной аппроксимации и показал, насколько интересными могут быть проблемы в этой области.

Я благодарю Е.И. Шумову за высокопрофессиональную работу по набору рукописи.

Я выражаю благодарность кафедре математического анализа Южно-Уральского государственного университета за помощь и поддержку в различных вопросах, а, главное, за создание благоприятной атмосферы для научной работы.

1. Антохин Ю.Т. Аналитический подход к проблеме уравнений первого рода //Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. N 4. С. 727-730.

2. Антохин Ю.Т. Некорректные задачи в гильбертовом пространстве и устойчивые методы их решения //Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3. N 7. С. 1135-1156.

3. Арсенин В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. N 5. С. 922-926.

4. Арсенин В.Я. Об оптимальном суммировании рядов Фурье с приближенными коэффициентами //Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. N 2. С. 257-260.

5. Арсенин В.Я., Савелова Т.Н. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа свертки //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. N 6. С. 13921396.

6. Бакушинский А.Б. Об одном численном методе решения интегральных уравнений Фредгольма I рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. N 4. С. 744-749.

7. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляри-зирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве //Журн. вычисл. матем. и матем. физ.1967. Т. 7. N 3. С. 672-677.

8. Бакушинский А.Б. Алгоритм регуляризации для линейных уравнений с неограниченными операторами //Докл. АН СССР.1968. Т. 183. N 1. С. 12-17.

9. Бакушинский А.Б. Избранные вопросы приближенного решения некорректных задач. М.: Изд-во МГУ. 1968.

10. Бакушинский А.Б. Новый регуляризируюгций алгоритм для решения линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве //В сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 12. Изд-во МГУ. 1969. С. 53-55.

11. Бакушинский А.Б. К распространению принципа невязки //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10. N 1. С. 210213.

12. Бакушинский А.Б. К проблеме построения линейных регуля-ризирующих алгоримов в банаховых пространствах //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. N 1. С. 204-210.

13. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: Изд-во иностр. лит. 1959.

14. Васин В.В. К задаче вычисления значений неограниченного оператора в Б-пространстве //Изв. вузов. Матем. 1972. N 5. С. 2228.

15. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач //Матем. заметки. 1970. Т 7. N 3. С. 265-272.

16. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. N 6. С. 133-1390.

17. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода //Матем. записки Уральск, ун-та. 1968. Т. 6, тетр. 4. С. 27-37.

18. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач //Докл. АН СССР. 1974. Т. 215. N 5. С. 1032-1034.

19. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. N 1. С. 11-21.

20. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Свердловск: УрГУ. 1989. 96 с.

21. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуе-мости по Тихонову //Докл. АН СССР. 1970. Т. 195. N 3. С. 530-531.

22. Винокуров В.А. Общие свойства погрешности приближенного решения линейных функциональных уравнений //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. N 1. С. 22-28.

23. Винокуров В.А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. N 5. С. 1097-2013.

24. Винокуров В.А. Свойства функционала погрешности Д(/, Я, 8, х) при фиксированном 8 как функции х. 1. //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. N 4. С. 815-829.

25. Винокуров В.А. Асимптотические оценки погрешности. 2. //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. N 6. С. 13691381.

26. Винокуров В.А. Асимптотические оценки погрешности. 3. //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. N 1. С. 3-19.

27. Винокуров В.А. Интегральные погрешности. 4. //Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. N 3. С. 549-566.

28. Винокуров В.А., Петунин Ю.И., Пличко А.Н. Условия измеримости и регуляризуемости отображений, обратных к непрерывным линейным отображениям //Докл. АН СССР. 1975. Т. 220. N 3. С. 509-511.

29. Винокуров В.А., Пличко А.Н. О регуляризуемости линейных обратных задач линейными методами //Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. N 5. С. 1037-1040.

30. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимое и достаточное условие линейной регуляризуемости //Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. N 6. С. 1292-1294.

31. Винокуров В.А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах //Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. N 5. С. 1033-1037.

32. Винокуров В.А., Доманский E.H., Менихес Л.Д., Пличко А.Н. О некоторых проблемах линейной регуляризуемости //Докл. АН СССР. 1983. Т. 270. N 1. С. 31-34.

33. Гапоненко Ю.Л. Метод дискретной функции Грина для решения линейных некорректных задач //Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. N 2. С. 269-271.

34. Гласко В.В., Заикин П.Н. О программе регуляризирующе-го алгоритма //В сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 6. Изд-во МГУ. 1966. С. 61-63.

35. Гольдина М.Г., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация метода невязки в ^-пространствах //Исследования по функциональному анализу и его приложениям. Свердловск: УрГУ. 1985. С. 9-18.

36. Гончарский A.B., Ягола А.Г. О решении интегральных уравьнений вида J K(x,s)dg(s) = и(х) //Докл. АН СССР. 1970. Т. 193. N 2. С. 266-267.

37. Гончарский A.B., Ягола А.Г., Леонов A.C. О решении двумерных интегральных уравнений Фредгольма I рода с ядром, зависящим от разности аргументов //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 5. N 5. С. 1296-1301.

38. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. N 1. С. 15-24.

39. Данилин А.Р. Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки //Изв. вузов. Матем. 1980. N 11. С. 3840.

40. Данфорд Н. и Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит. 1962.

41. Данфорд Н. и Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир. 1966.

42. Данфорд Н. и Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир. 1974.

43. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища шк., 1980. 216 с.

44. Домбровская И.Н. О линейных операторных уравнениях первого рода //Изв. вузов. Матем. 1964. N 2. С. 74-78.

45. Домбровская И.Н. Об уравнеиях первого рода с замкнутым оператором //Изв. вузов. Матем. 1967. N 6. С. 39-42.

46. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах //Сиб. матем. журн. 1965. Т. 6. N 3. С. 499-508.

47. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах //Докл. АН СССР. 1962. Т. 145. N 2. С. 270-272.

48. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах //Матем. сб. 1963. Т. 61. N 2. С. 211-223.

49. Иванов В.К. Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах //Сиб. матем. журн. 1965. Т. 6. N 4. С. 832-839.

50. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач //Сиб. матем. журн. 1966. Т. 7. N 3. С. 546-558.

51. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. N 6. С. 1089-1094.

52. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода. Дифферен. ур-ия. 1967. Т. 3. N 3. 410-421.

53. Иванов В.К. О регуляризации линейных операторных уравнений первого рода //Изв. вузов. Матем. 1967. N 10. С. 50-55.

54. Иванов В.К. Некорректные задачи в топологических пространствах //Сиб. матем. журн. 1969. Т. 10. N 5. С. 1065-1074.

55. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. N 1. С. 30-41.

56. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.

57. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.

58. Калякин JI.A. О приближенном решении некорректных задач в нормированных пространствах //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. N 5. С. 1168-1181.

59. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

60. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз. 1958.

61. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968.

62. Коркина Л.Ф. О решении операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах //Изв. вузов. Матем. 1967. N 7. С. 65-69.

63. Коркина Л.Ф. О регуляризации операторных уравнений первого рода //Изв. вузов. Матем. 1969. N 8. С. 26-29.

64. Коркина Л.Ф. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина //Изв. вузов. Матем. 1968. N 5. С. 44-49.

65. Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых граничных задач //Докл. АН СССР. 1957. Т. 114. N 6. С. 1162-1165.

66. Крейн С.Г., Прозоровская О.И. О приближенных методах решения некорректных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ.1963. Т. 3. N 1. С. 120-130.

67. Крейн С.Г., Петунии Ю.И. Шкалы банаховых пространств //Успехи матем. наук. 1966. Т. 21. N 2. С. 89-168.

68. Крейн С.Г. Линейные уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1971.

69. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. С. 819-842.

70. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. N 1. С. 31-33.

71. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики //Сиб. матем. журн. 1966. Т. 7. N 3. С. 559-576.

72. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 92 с.

73. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 288 с.

74. Леонов A.C. О регуляризации некорректных задач с разрывными решениями и применение этой методики для решения некоторых нелинейных уравнений //Докл. АН СССР. 1980. Т. 250. N 1'. С. 31-35.

75. Леонов A.C. Кусочно равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. N 3. С. 516-531.

76. Лисковец O.A. О регуляризации линейных уравнений в банаховых пространствах. I. //Дифферен. ур-ия. 1968. Т. 4. N 6. С. 1136— 1139.

77. Лисковец O.A. О регуляризации линейных уравнений в банаховых пространствах. И. //Дифферен. ур-ия. 1970. Т. 6. N 11. С. 2094-2095.

78. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1965.

79. Маслов В.П. Регуляризация некорректных задач для сингулярных интегральных уравнений //Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. N 5. С. 1012-1014.

80. Маслов В.П. Существование решения некорректной задачи эквивалентно сходимости регуляризованного процесса //Успехи ма-тем. наук. 1968. Т. 23. N 3. С. 183-184.

81. Мельникова И.В. О решении интегральных уравнений первого рода в пространстве М //Матем. записки Уральск, ун-та. 1968. Т. 6, тетр. 4. С. 95-102.

82. Менихес Л.Д. Некоторые вопросы регуляризации в нормированных пространствах //В сб. "Исследования по современному математическому анализу", Свердловск: УрГУ. 1977. С. 108-114.

83. Менихес Л.Д. О регуляризуемости отображений, обратных к интегральным операторам //Докл. АН СССР. 1978. Т. 241. N 2. С. 282-285.

84. Менихес Л.Д., Пличко А.Н. Условия линейной и конечномерной регуляризуемости линейных обратных задач //Докл. АНСССР. 1978. Т. 241. N 5. С. 1027-1030.

85. Менихес Л.Д. Условия линейной и конечномерной линейной регуляризуемости //В сб. "Исследования по функциональному анализу". Свердловск: УрГУ. 1978. С. 65-70.

86. Менихес Л.Д. О равномерной регуляризации некорректных задач //Изв. вузов. Матем. 1979. N 11. С. 34-39.

87. Менихес Л.Д. Линейная регуляризуемость отображений, обратных к линейным операторам //Изв. вузов. Матем. 1979. N 12. С. 35-38.

88. Менихес Л.Д. О существовании нерегуляризуемых интегральных уравнений /Тезисы Всесоюзной конференции по некорректно поставленным задачам. Фрунзе, 18-23 сентября 1979 г. Фрунзе: Изд-во "ИЛИМ". 1979. С. 81.

89. Менихес Л.Д. О линейной регуляризуемости обратных задач //В сб. "Исследование операторных уравнений в функциональных пространствах". Свердловск: УрГУ. 1983. С. 72-76.

90. Менихес Л.Д. Регуляризуемость в топологических пространствах /В сб. "Прикладные задачи математического анализа": Тематический сборник научных трудов. Челябинск: ЧПИ. 1986. С. 8387.

91. Менихес Л.Д. Регуляризуемость в пространствах дифференцируемых функций /XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. Челябинск, 2630 мая 1986 г. Ч. I. Челябинск. 1986. С. 72.

92. Мешхес Л.Д., Шнчко A.M. До теорп регуляризовност! в то-полопчних векторних просторах //Укр. матем. журн. 1990. Т. 42. N 6. С. 777-781.

93. Менихес Л.Д. К теории регуляризуемости в пространствах Фреше /Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тезисы докладов Международной конференции. Москва, 19-25 августа 1991 г. Москва, Изд-во ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1991. С. 197.

94. Менихес Л.Д. О регуляризации интегральных уравнений / Алгоритмический анализ некорректных задач: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург: УрГУ. 1998. С. 172.

95. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева //Сиб. журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 1998. Т. 1. N 1. С. 59-66.

96. Менихес Л.Д. К вопросу о сходимости конечномерных аппроксимаций метода регуляризации /Южно-Уральский государственный университет. Челябинск. 1998.15 с. Деп. в ВИНИТИ 01.04.98, N 971-В98.

97. Менихес Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам /Южно-Уральский государственный университет. Челябинск. 1998. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 01.04.98, N 972-В98.

98. Менихес Л.Д., Танана В.П. Исследование сходимости конеч-норазностных аппроксимаций метода регуляризации А.Н. Тихонова п-го порядка /Южно-Уральский государственный университет. Челябинск. 1998. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 01.04.98, N 970-В98.

99. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах //Успехи матем. наук. 1961. Т. 16. N 4. С. 63-132.

100. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации //Журн. вычисл. матем.и матем. физ. 1966. Т. 6. N 1. С. 170-175.

101. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов //В сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 8. Изд-во МГУ. 1967. С. 63-95.

102. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. N 2. С. 295-309.

103. Морозов В.А. Об оценках погрешности решения некорректно поставленных задач с линейными неограниченными операторами //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10. N 5. С. 1081— 1091.

104. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи /В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 11. М.: ВИНИТИ. 1973. С. 129-178.

105. Островский М.И. Замечание об аналитической представимости отображений, обратных к интегральным операторам //Математическая физика, анализ, геометрия. 1994. Т. 1. N 3/4. С. 513— 515.

106. Петунин Ю.И., Пличко А.Н. Теория характеристик подпространств и ее приложения. Киев: Вища шк. 1980. 216 с.

107. Петунин Ю.И., Пличко А.Н. Регуляризуемость по Тихонову некоторых классов некорректных задач //Матем. сб. Киев: Изд-во "Наукова думка". 1976. С. 221-224.

108. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир. 1967. 266 с.

109. Пличко А.Н. Ненормирующие подпространства и интегральные операторы с нерегуляризуемым обратным //Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29. N 4. С. 208-211.

110. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука. 1965. 624 с.

111. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ. М.: Мир. 1977. 360 с.

112. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

113. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. 448 с.

114. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов //Матем. заметки. 1967. Т. 1, N. 2. С. 137-148.

115. Страхов В.Н. Об одном численном методе решения линейных интегральных уравнений типа свертки //Докл. АН СССР. 1963. Т. 153. N 3. С. 533-536.

116. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. I, И. //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. Т. 8. С. 3053. /N 9, С. 64-96/

117. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Дифферен. ур-ия. 1970. Т. 6. N 8. С. 1490-1495.

118. Танана В.П. Некорректно поставленные задачи и геометрии банаховых пространств //Докл. АН СССР. 1970. Т. 193. N 1. С. 4345.

119. Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода и геометрические свойства банаховых пространств //Изв. вузов. Матем. 1971. N 7. С. 81-93.

120. Танана В.П. Об устойчивости метода невязки при решении некорректных задач //Изв. вузов. Матем. 1974. N 9. С. 75-80.

121. Танана В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач //Докл. АН СССР. 1975. Т. 220. N 5. С. 1035-1037.

122. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах решения нелинейных неустойчивых задач //Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17. N 5. С. 1108-1120.

123. Танана В.П. Оптимальные по порядку методы решения нелинейных некорректно поставленных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. N 2. С. 503-507.

124. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука. 1981. 158 с.

125. Танана В.П. Конечномерная аппроксимация метода регуляризации при решении обратных задач //Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. N 3. С. 557-559.

126. Танана В.П. Конечномерная аппроксимация метода регуляризации //Изв. вузов. Матем. 1986. N 7. С. 65-69.

127. Танана В.П. О решении интегральных уравнений Фредголь-ма первого рода в пространстве С(0,1) //Математические записки. Свердловск: УрГУ, 1970. Т. 7. Тетр. 4. С. 83-90.

128. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач //Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. N 5. С. 195-198.

129. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации //Докл. АН СССР. 1963. Т. 151. N 3. С. 501504.

130. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //Докл. АН СССР. 1963. Т. 153. N 1. С. 49-52.

131. Тихонов А.Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье //Докл. АН СССР. 1964. Т. 156. N 2. С. 268-271.

132. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. N 3. С. 564-571.

133. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах //В сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 8. Изд-во МГУ. 1967. С. 3-33.

134. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. N 4. С. 910-914.

135. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления //Докл. АН СССР. 1965. Т. 162. N 4. С. 763-765.

136. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиенко O.K., Мелихов В.Г. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. N 12. С. 30-48.

137. Тихонов А.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1974.

138. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. 1995. 312 с.

139. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина //Изв. вузов. Матем. 1972. N 8. С. 94-104.

140. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука. 1982. 190 с.

141. Худак Ю.И. О регуляризации решений интегральных уравнений I рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. N 4. С. 766-769.

142. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971. 360 с.

143. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир. 1969.

144. Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки в рефлексивных пространствах //Докл. АН СССР. 1979. Т. 249. N 1. С. 71-73.

145. Ягола А.Г. Некорректно поставленные задачи с приближенно заданным оператором //Computational Mathematics Banach Center Publ. PWN-Polish Scientific Publishers. Warsaw. 1984. V. 13. P. 265-279.

146. Enflo P. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. V. 130. N 3-4. (1973). P. 309-317.

147. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les équations aux derivées partielles lineaires hyperfoliques. Paris, 1932.

148. Hadamard J. Sur les problèmes aux derivées partielles et leur signification physique. Bull. Univ. Princeton. 1902. V. 13. P. 49-52.

149. Johnson W.B. and Szankowski A. Complementably universal Banach spaces. Studia Math. 1976. V. 58. N 1. P. 91-97.

150. Menikhes L.D. and Tanana V.P. A convergence criterion for approximations in the residual method in Banach Spaces //J.Inv. and Ill-Posed Problems. 1997. V. 5. No 3. P. 255-264.

151. Menikhes L.D. and Tanana V.P. On the convergence of approximations of the regularization method and the Tikhonov regulariza-tion method of n-th order //J.Inv. and Ill-Posed Problems. 1998. V. 6. No 3. P. zw-iez.

152. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. Journal of the Accociation for Computing Machinery. 1962. V. 9. N 1. P. 84-97.

153. Phillips R.S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940). P. 516-541.

154. Rolewicz S. Metric Linear Spaces. Dordrecht e.a. Warszawa: Reidel Publ. Co-PWN, 1985. 459 p.

155. Tanana V.P. A criterion of convergence of approximations in the residual method for linear ill-posed problems //J.Inv. and 111-Posed Problems. V. 5. No 2. PP. 193-204.