Сингулярные краевые задачи и их аппроксимация для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

'Г.5 04

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рухоппеп ДЖУМЛБАЕВ Дулат Снздыкбеховт

СИНГУЛЯРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Й ИХ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фпзпко-математичсских паук

Киев — 1994

Диссертация есть рукопись.

Работа вшмнека в лаборатории обыкновенных дифференциальных уравненгй Института теоретической и прикладной математики Национальной Академия Наук Республика Казахстан.

Офацаалышз оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, здея-корреспондент Национальной АН Республики Казахстан

ОТаШБЗ М.О.. доятор физико-математаческих наук, профессор

ШЕСШ H.A., доктор физико-математических наук, профессор МАКАРОВ В.Л.

Ведупря организация: Вычислительный центр Российской Академик Наук, г.Москва.

За ¡erra диссертации состойся "-3J" Su a ¿-iss^/r. в часов на заседании специализированного совета Ж 016.50.02 при Институте шхетатшш АН Украина по адресу: 252601 Киев 4, ул.Tepe щзяская, 3.

С дассертацаай можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан • " . 199 г.

Учений секретарь специализированного совета^

-/fjJLjsi idITOA. А.Ю.

ОЩЫ ХАРАКТЕРИСТИКА РАШТЫ

И настся-^е время в различных разделах прикладной математики возникают обыкновенные дифференциальные уравнения, заданные на неограниченных интервалах. При этом в качестве граничного условия, выделяющего искомое решение, выступают требования к поведению решения на бесконечности. Вопросы существования и единственности ограниченных шш совпадающих на бесконечности с заданная функциями решений различшыи методами исследованы в работах Д.В.Аносова, И.Ьодя, А.Вшинера, Ю.Л.Ддлец-кого, Б.П.Демидовича, ИЛ.Кигурадзе, Ю.А.Клокова, В.Коппеля, М.А.Красносельского, М.Г.КреЯна, В.Л.Кулика, А.Д.Майзеля, Х.Мао-сера, ¡О.А.Мятропояьского, Э.М.Мухамадиеш, 0.Перрона, В.А.Плисса, А.М.Самойленко, ФДартмана, Х.Шейфвра и др. Приближенные, методы нахождения решений сингулярных задач разработаны А.А. Абрамовым, П.Василевским, Р.Вайсом, Ю.А.Клоковшл, П. Б.Когаэховой, В.Л.Макаровым, П.А.Марковичем, Ф.Р.Хугом и др. Одной из главных в теория сингулярных краевых задач является проблема аппроксимации юс решений решениями регулярных краевых задач. В связи с этой проблемой возникает необходимость создания метода исследования краевых задач, позволяющего в едини терминах сформулировать условия разрешимости и установить взаимосвязь кевд свойства»*« исходных сингулярных я аппроксимирующих регулярных краевых задач. Краевые задачи, встречающиеся в приложениях, как правило, являются пелинэй-пымя. Введя соответствующие пространства, их можно представить в виде уравнения с ограниченным оператором и, используя при линеаризации производную <1реве, применить и*зрацяонпыэ метода Ньотона-Канторовнча. Однако, как било отмечено самим Л.В.Канторовичем, при этом возникав* трудности, связанны» о оценкой нормы оператора, обратного к производной Яреае. Для многих краевих задач эту ■ трудность можно преодолеть, сведя их н уравнениям с неограниченным оператором. Поэтому.изучение итерационных процессов для нэ-ограиячепных операторных уравнений представляется актуальным как для развития общей теории нелинейных уравнений, тан и дчя применения к исследованию пвлипайшяс кряэвюс задач.

Цель работу. Разработать единый метод исследования ре1уляр-ных и сингулярных краевых задач для обыкновенных лиф|«ренцкаль-кых уравнений. Получить коэффициентные признаки корректной разрешимости линейных краевых задач. Построить регулярные двухточечные краевые задачи, позволяющие с любой точностью определять решения сингулярных задач. Распространить итерационные метода' на уравнения с неограниченным оператором и на его основе изучить вопросы разрешимости и аппроксимации нелинейных сингулярных задач. Установить разделимость обыкноветы^ дифференциальных операторов второго порядка в пространстве . С( К) .

Методы исследования. Основные результаты работы получены па основе метода параметризации и итерационных методов для уравнений о неограниченным оператором. При построении аппроксимирующих регулярных краевых задач используются ляпуновские преобразования , характеризующие поведение на бесконечности решений линейных однородных уравнений.

Научная новизна. Разработан метод параметризации исследования краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений-, Найдены коэффициент» признаки однозначной разрешимости линейных регулярных двухточечных краевых задач к предложены алгоритмы нахождения ех решений; В терминах двусторонне-бесконечпых матриц специальной структуры получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии на всей оси. Получены точные оценки ограниченных решений линейных уравнений второго порядка, Введено определенна ливоаризатсра, обобщающего производную $реше, и установлены условия сходимости итерационна процессов к сильному решению неограниченных операторных уравнений. Достроены регулярные двухточечные краевые задачи, аппроксимирующие сингулярные задача, и дана оценка аппроксимации. В тер;,птах аппроксимирующих регулярных' задач подучен и признаки разрешимости сингулярных задач. Найдены условия разделимости в пространстве С ( И) обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка. Дана схема исследования нелинейных сингулярных задач, основанная на "притягивавших" свойствах "предельных при t " решений и апп-роксиаируюиах регулярных задачах.

Теоретическая и практическая ценность. Метод параметризации и полученные на его основе результаты применимы гак дал выяснения разрешимости краевых задач, так и для нахождения их ре-пенка. Аппроксимирующие регулярные краевые задачи позволяют пай-

ти эффективные условия разрешимости сингулярных краевых задач. Использование лкнеарязатора упрощает применение итерационных методов к исследования нелинейных краевых задач душ дифференциальных уравнений ( обыкновенных и с частнымй производными) и дает возможность установить простые условия сходимости итерационных процессов. Постпоенные аппроксимирующие регулярные двухточечные краевые задачи и предложенные алгоритмы нахоздения юс ps-решений, установленные оценки аппроксимация и сходимости алгоритмов Ы017Г служить осиовсй для создания различных пакетов прикладных программ ревенил сингулярных краевых задач дан обыкновенных дифференциальных уравиешй.

Апробация работы.. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международно;! конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981), на III ВсесоозяоЛ конференции г, услов-до-коррекгнш задачам математической физики и анализа (Алка-Ата, 1989), на Всесоюзной конференции яо зераевнм задачам и спектральным вопросам для дифференциальных уравнений (Алма-Ата, 1991), на расииреняом ееышгаре по дифференциальным уравнениям, посвященном 80-детко академика Alt ¡(азССР О.Л.Еаутыкова (Алма-Ата, 1991), на республиканских конференциях по математике и механике (Алма-Ата, 197?, ISB4), на республиканской научной конференции по теорниприблигения и влоггеши функциональных пространств (Караганда, 1991), па семинарах Института математики АН УССР (рук. академик АН СССР Ю.Л.МптроПольсшй, 1978» 1987, 1989, 1991), Института прикладной математики АН СССР (рук. та.-кор. All СССР К.И.Бабеяко, 1984, 1985, I98S), Вычислительного центра АН СССР (рук. д.ф.-м.й., проф. A.A. Абрамов, 1983, 1989, Î990), Шатиту-та прикладной математики ffî (рук. чл.-кор. All ГССР И.Т.Шоурад-эо, 198?, 1989), на сешшарах по качественной теории дпфферепцп-алышХ ур&аяеияА МГУ (рук. проф. В.А.Кондратьев,

Д.ф.-ÍWt., проф. Н.Х.Розов, Д.ф.ли, проф. В.М.ШыииошцЗков,' 1980, 1982, ISS7, 1989), па сеиаяарах в Киевском государственном укивероитето (pyit. чя.-иер. All УССР А.Ы.Самойлонко, 1978, 1991), Воронежском государственном университете (рук. д.ф«-и.н., проф. . А.И,Перст, 1980), на семинарах в Казахском государственном yim-ворентвто по мэтбдам йичиояепйй (рук. азадетш АЛ КазССР У.й.фл-тапгязия), по <$нкдаонал£яоыу анализу и ого ярамепвйкв й крааччм задачам (рук. чл.-нор. АЛ КазСССР М.О.Отелбаев, чя,-кор. АН КазССР Т.Й.Калмшов), регулярно аа конференция* tt паттряг Институт-1} ттемлгикп s иэхайжт АН ШэССР.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой часта работы, оостоящай из трех глав, методом параметризации (м.п.) исследуются решения линейных обыкновения дифференциальных уравнений. Суть м.п. заключается в том, что интервал, где рассматривается дифференциальное уравнение, разбивается на части с некоторым тагом А >0 и исходная задача сводится s эквивалентной задаче с параметром. При атом свойства решений дифференциального уравнения переходят в свойства последовательности параметров, составленной из значений решений в точках разбиения. Например, условно ограниченности решения эквивалентно требовали» принадлежности, этой поел ем osa т елы1. ости пространству ограниченных последовательностей, а поведение решений при + характеризуется поведением координат J) ,г последовательности Я при

Первая глава посвящена регулярной линейной двухточечной краевой задаче

= k(i)x + fit) , t 6 (0,7),

at

В x (0) * С х iT-) = ci, х с Rrl, (2)

где A(t), fîi) непрерывны на [ОД] ; Б и С - (fixa)- матрицы. Велк X (t) - нормальная фундаментальная йатрица однородного уравнения (2), то необходимым и достаточна?.! условием однозначной разрешимости задачи (I), (2) является отличие от нуля детерминанта матрицы Л) = _В ^СХ(Т)- Одпако, в связи с тем, что для уравнения с переменная коэффициентами Построение Xli) возможно л иль з исключительных случаях, этот признак применим для узкого нлаоса краевых задач. Поэтому многими авторами изучались вопросы, связанные с нахождением условий однозначной разрешаюсь ти в терминах исходных данных: A(t) , В , С . Т • Полученные им иоэффициеяише условия, позволяя исследовать определенные классы

краевых задач, являлись только достаточней условиями. В этой ситуации естественна постановка следующей задачи: найти коэффициентные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости задачи (I), (2). Для этой цели к задаче (I), (2) применяется м.п.

Возьмем А >0 (//Л.=Т), 0 = 1,2,... и введем обозначения: гк ?л Х2

I А(Т<)а/гг * I / АСг^^гуг, ^

(1-ОЬ <1-0/1 (?-<)н.

(г-!)к

12-0 к

а а)

и

Вк

1*ху*> -I

о о

о о

12,..., к ;

сГмулф

О

о •

о о

единичная п*п -матрица.

-г

I\fJ-i

нера-

Теорема I. Цусть при некоторых к>0 : Ык = Т п

ЫН матрица О0(к) : ¿""обратима, а выполнимся венства: ^

а) ИГо^Гй^а),

Тогда краевая зада® (I), (2) имеет единственное репенве.

Через С (У, £ ) обозначил пространство непреривных и огоа-!Мчешш 113 ^ 5 К = £-«*,«») фикций * нормой:

Необходимость условий теорема I устанавливает

Т о о р е и а 2. Краевая задача (I). (г) однозначно разрешила тогда я только тогда, когда дот любого к>0 : Ык * Т найдется , пра «оторас матрица обратша, ис-

полняются иераввпотва а), б) теорема 2.

рея,™ I Иг 3' 1фаВВаЛ Мда,а (1)' (2) Р**-

реяк.л тогда и т»го тогда, когда дм любого 0 б// найдется

/г«А<>Пл0 , при которнх на грим обратимо, а

ъиполт -

О

ются неравенства а), б) теореш I.

Известно, что если дал любых fit) , d задача (I), (2) имеет единственное решение x(t) (однозначная разрешимость задачи (I), (2)), то существует не зависящее от fit) , d число К , удовлетворяющее неравенству

||x(f)!|^ К max (ЦМ)ЦГ fc/jj).

Число К называется константой корректной разрешимости краевой задачи (I), (2).

Найдена взаимосвязь между числами К и

Теорема 4. Краевая задача (I), (2) однозначно разрешила тогда и только тогда, когда для любого 0 £ ftf найдется ko-ho(0)>0 такое, что при всех к € (0, hD]: ///t = T матрица Qj(h): R_f>'гЛобрат-ша, и для ее обратной справедлива цеи-

Ш -1 t

& f > (з)

где Const , не зависящая от k >0 . Причем, если известно К , то для любого £>0 существует hf~ hf(£,0) >0 , н оценка (3) выполняется с константой ( {I) К при всех h € (0,kj]i rfh. =Т , и наоборот: если имеет место (3), то К-ЦГ-Одним из основных условий однозначней разрешимости является обратимость матрица Q.$ (h) при некоторых v> , k . Структура матрица Q$(h) позволяет поблочно определить ее обратную. Установлено, что обратимость п Л/ * п /У -ггагриш Qs (к) эквивалентна обратимости nut -иатриш Л1 -Б + С П LI * (103 п

и к .■ 1к «

. Лг - Г^Л^^О^-^"1' г"2-3....."> (4<5)

^ (4В>

Не зависимо от /V -числа разбиения интервала [0,7 J для нахождения fG.(К")достаточно лайти матрицу, обратную п. ».п. -матри-

пя M. =о формулам (4а) определить ее первую блочную строку. Тогда остальное блочные строки вычисляются по рекурретныы соотношениям (40, в).

Во второй главе на R~ (- .d o) рассматривается уравнение

тг = AU)'x *f<t)- *( R п> (5)

где A(t) , fil) непрерывны и ограничены на R . Ограниченное па R реоение уравнения (5) назовем решением задачи I. Однозначная разрешимость задачи I (регул рность уравнения (5) на R i эквивалентна экспоненциальной дихотомии па всей оси соответствующего однородного уравнения. Поэтому, если для любой функции f(t)e е уравнение (5) имеет единственное решение z(t)e C(R,%"h

то супротвуег но зависящее от f ( t ) число К , удовлетворяющее неравенству

iumi!( 4 Kl! f(è)||(

(К - константа корректной разрешимости задачи 1).

В этой главе условия корректной разрешимости задача 1 (тем самым экспоненциальная дихотомия на R соответствующего однородного уравнения) получены в терминах двусторонне-бескопечяых матриц специального вида, составленных по интегралам от All) па интервалах длины k > 0 .

Через тл обозпачка пространство ограничетмх двусторонав~ бесконечных последовательностей с Qa о нормой:

= supiMji, sf i. Применяя м.п. к задаче I, подучш бесконечную систему уравнений относительно параметров ,Д5 ,

[i^s^V^-ô, ,*eZ. <6>

Двустороняе-баоконечную матрицу, соответствую^» лавой чаотя системы (6), обоэначш через ft. *

Здесь п далее под поры ой матриц аонклзетсл порта, осгглаоовш? ная о пор?*ой походного пространства.

Теорама 5. Задача 1 корректно разрдама тогда и только тогда, когда дет любого 0 ç /V кайдетсп число /ic/i> J такое, что (три мех /it(0,hç] метрит Q ^ г m «•> тп odxw« твмя, я че> о^рзтпкг удовлетворяет оценка "

Il a;; Il » £ .

где - coast , не зависяивя от k>0 . Если при этом известна К , то для любого ¿ >0 найдется h.^ k((¿,0) и оценка (7) выполняется с константой f=(1+¿)K при k е (о,hl< и наоборот: ■зсли имеет место (7), то К = f • '

Матрица ¡ь , хотя и является двусторонне-бесконечной, имеет блотао-ленточлую структуру, что позволяет получить условия корректной разрешимости задачи I в терминах элементов матрица A(t) . Например, если в матрице Mi)-(at ■ (i) ) » À/ = <Л,> даоет место диагональное преобладание по строкам

fa..(t)|*£ |a..(t)| + dit), 9.<i)>9'0, teR, ш u jfi

то матрица ¡t ; mn mft обратима при всех heCOjfó) и справедлива оценка (7) с констшггой ^ - /¡Q .

Теорема 6. Если элементы матрицы A(t) удовлетворяв? неравенствам (8), то задача I корректно разрешима с константой К-1/ü и для д*||) -ограниченного на решения уравнения (5) справедлива оценка

Ц lit) II, é (I fa)/û(t)ll = sup ma* I f. U) {q d) j . ( 9)

' I t Í 1

Далее рассматриваются линейные обыкновенные днфференциальшз уравнения о неограниченными na R коэффициентами и правой часты». Выяснены условия, при которых уравнение (5) с неограниченными A<t), B(t) имеет единственное ограниченное на R решение, я для него справедлива оценка (9). На основе (9) установлены точные оценки ограниченных на R решений лкнейцюс обыкновения ди$фе-ррнняальннх уравнений второго порядка. С их помошы» исследованы "опроса разделимости соответствующих дифференциальных операторов я пространстве С (R) .

В § 4 второй главы исследуется уравнение

Il ^/-4 fd), é,zefi, Ш

1 cil'' >' dt Ъ

л» ^ункпии t( . <¡n<t), f(0 непрерывки я, вообще говоря, пе-г"»:кччин и« R . л

Теорема^ 7. Если выполнены условия: а) t) >0 , d) Ht)/4Ji) е C(R) , то уравнение (10) имеет Ограничен нов на решение £*(t), и для него справедлива оценка

¡!><Ы1, = *up|aV>Ul( fit)/уф II( . (и)

Знак равенства в (П) достигается для ограниченного решения уравнения (10) о правой частью fit) ~-C£j it) , где с -ij.ii'L

.Творена 8. Если выполнены условия: а) a (t) ^ f > 0, f-const, б) \л (t)l 4 Kt Jf jt) ' . К( ~ const f то оператор 4 : С(§ ) —L Cf/9t,ti)(R)riРагим и Ц || i { . Введем обозначения: (R) -i/ространство непрерывных на R функцч?!, принадлежащих с вес ад Sit) > 0 , пространство

непрерывно дифференцируемых на R функций из C(R), прс -йводшп которых принадлежат C^iJR)- Норма в с' (R) определяется венствоа '

I! 2 it) II * так (llAd)i\it Ц б (t) l(t) II, )•

Теораыа 9. Если фикции Ц it) , a it) удовлетворяют условиям а), 0) теоремы 8 и ' 2

в) ..bU_\. £с \ft,t е R ; It -tl < d, йД-еспч, •to оператор : £! C^j ^(R) имеет обратную г

где u(t) = Г q d)dt, К « ——-) +ЛГ,»'с\

j 'г 4 aVf

Определе hjs е I. Оператор ^ называется рячпо лимым в пространство С(£> , если аэ С(Ю П С P(R^ п

¿fX(t)c C(R) следует, что a (t):к({) с C(fi) к

q d)St(t) е C(R). "

Теорема 10. Если выполнены условия т®ор"мм Р, тс «п«Рйтор if разделим в пространстве C<R

В § 5 »той глчян рплсмятр1гра^тйя уряипвлт

ras J>rb >0 , yrt) >tí , f(i) - непрерывные и, воойщз говоря, неограниченные на Я (¡ункщш.

Доказано, что при предположении f(t)/(jil)t б(£) уравненве (12) имеет ограниченное па R решение и для него справедлива оценка (II).

Теорема II. Если (функции p(l) %<jit) удовлетворяют условиям: a) (j<t)/fi t) >- f > О . f - an%t ;

б) 7777 - С/ ' ъ > vt. ^ tl<d , с С и - const,

л (i lt ) * _ ¿

то оператор €п\ г£< обратка и

l/S(¿) 'Ia'

. ÍÍ ^"'л -./с = Cí -

Определение 2. Оператор Р называется разде-лейш б пространстве C(R) , если из е С<Я) П С2( ) и {gX(t)£ d(R) следует, что j)(t)¿(¿j ¿ c"(R) и

T e о p о ц а 12. Если вместе с предположениями теоремы 33 выполнено условие в) 1) ¿ $ > О , £" - coavt , то

i» f'b " , оператор с, разделим в пространстве С (R).

В третьей главе исследуются вопросы, связанные с аппроксимацией сингулярных краевых задач для лилейных обшшовеннцх дифференциальных уравнений. Идя уравнения (5) с непрерывными и ог-ранпченныап; /\(t) , f(t) ставится

Задача 2. По заданное £ > С требуется определить число Т>0 , >i*h -матрицы Б , С , вектор cíe R^, при кото-vm _:jy (Í) -решение двухточечной краевой задачи

4п- - A<t>* * ¿'(-IT), х£Яп, <I3)

ai

В xl-7) * Сх t Т) = ¿ (14)

• удовлетворяет неравенству

шик И л (t)- x\t) II < £ > (15)

teC-Г.Т] Т

где .1 ii)~ ограниченное на R решение уравнения (5).

Решение задачи 2 cootout из следующих этапов:

1. Построение граничных условий аппроксимирующей двухточечг-ноЯ краевой задачи (13), (14) - ir град. В , С и вектора d .

2. Усгацовлепие взаимосвязи между разрешимостями задачи I и аппроксимирующей задачи (13), (14).

3. Нахождение оценки анпрокссмащш, т.е. зависимости £ ох свойств исходных и аппроксимирующих задач.

Хотя построению приближенных методов нахождения репепий сингулярных краевых задач посвянгзно большое количество работ, вопросы пункта 2 ив получила должного внимания. Здесь, по-виднлому, оказалось то, что при построении В , С и d использовались асимптотические разложения семейств решений, обладаю ¡ara определенными свойствами на бесконечности. Если учесть, что это возможно только при некоторых предположениях относительно t (t) , fli) , а разрзвгаоать задач ш зависит от конкретного вида правой части, то прп такса подходе установить взаимосвязь мезду paspenroiootmra не удается, В то аа время выяснение такой взаимосвязи позволяет найти оценку адпроксшаши и установить корректную разреишость сигп'улярпых задач в терминах регулярных двухточечных краевых задач.

Еперззых двух параграфа: третьей главы задача аппроксимация рассматривается в следую сих предположениях.

Предполоавпие I. СЛраведаиво предельное соотношение . -

¿¡ль A(t) * А , Re£.' é О,

i

где 4' ~ собственные значения матриц , / = 1,2,.,., п .

4 f °

Предположение 2. Справедливо йредплъпов со отношение л „

fan, f d) « L •

i — T <*> f

Топи фупкцяя

(T í Г) я тая ( sup I А«)-А |> sup ||Лф~А ||)» ¿e(-«>,-?) t«lV>) " '

S i T) - mm ( sup |¡ f(t) - i !¡. sup || f(t) ■ ft í|)

удовлетворяют условию (Г) —-0 при У-*- , «?•

Через S- обозначим вещественные неособце н*" матрица, приводящие предельные матрица _ к обобщзнно-жордановой форме /1 = .S_A- S'J - {hu 0 \+ , где А* и А* состоят из

7 + * + \о АУ " 22

обобщеняо-жордаяовых клеток, соответствующих собственным значениям матриц Д _ с отрицательными и положительными действительными частями, число которых обозначим через и* и п}, соответственно. С помощью Ilt7~ единичных матриц размерности п,г составим п. кн. -матрицы: р = / ¿л., О \ р = / 0 0 \

1 \ о о) ' ^

Теорема 13. В предположениях I задача I корректно разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия:

а) л7 - ni ~ >Ь1 > п-2 s кЦ = ,

б) для любого 7 > Тс ( Та - некоторое положительное число) двухточечная краевая задача (13), (14), где = С-Рг$+> корректно разрешима с не зависящей от Т константой Kf .

Теорема 13 устанавливает взаимосвязь между задачами I и (13) (34) для предельно автономных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Следующая теорема дал таких систем полностью определяет аппроксшнрующгю двухточечную краевую задачу и дает оценку аппроксимации.

Теорема 14. Пусть выполнены предположения I, 2 и задача I корректно разрешила с константой .i\ . Тогда, начиная с некоторого % >0, определяемого из неравенства /С<5/ ("То ^ < ^ для любого Tz Т0 двухточечная краевая задача

4* * А Юзе* М), t € (-7, т), (16)

ас

имеет единственное решение х^ (t) и справедлива оценка

ffUix l[sjt)-X(h\l 4 —-[КЯ ftöil.fyVf&iT)] , (18)

teC-TJJ 1 1-Щф '

где z*lt) - ограниченное иа R решение уравнения (5).

Доказательство теорем аппроксимации проводится с помощью результатов о корректной разрешимости лилейных краевых задач.

уотановлвшпсс n rrfno-rv двух главах. ИСПОЛЬЗуПГОЯ НвОСОбце (С л'К -матрицы, поэвсдашщдо расщепить двустороннэ-бесконечную ыатрицу в представить ее в виде четырех одя^сторонпе-бесконечпах матриц, связанных конечной матрицей вида Qt(k}% . При этсил

вопрос 2-го пункта сводится к поиску взаимосвязи между ограниченной обратимостью исодпой двусгорояне-бесконечпой н указанной ио-нечной матриц. Дшт иаходдеяия оценки аппроксимации применяется новнй способ укорачивания бесконечных систем линейных уравнений, основанный на расцеплении и использовании блочно-ленточной структуры бесконечных матриц.

В §§ 3, 4 задача аппроксимация рассматривается в обикч случае без преддолсхений I, 2. Через V(A,R„) обозначил мнокество иатриц V-(t) ляпуповских преобразований -Г- V~(t)(j~m (/?_ = (-"*>>!?], J?+= [О,'*)), приводящих уравнение (5) к вадг»

ljT = + fr(t), teRT > (i9)

где блоки матриц A-(t)= V~'(t)A(t)V.(i)-VS^tWJt) -

/Afat) Afeih* * +

~ I I Удовлетворяют следуюодам условиям:

Условие Is -tint llA~(t)ll - &m. |l A*(t) || = 0 . Условие 2: а) задача Копи ira

при любой ограниченной на R_ функции f ¥({у имеет ограяячэнпоэ на R+ реиение; + ' _

б) при лпбой ограниченной па R _ функции f (£) Уравнение

(21)

имеет едянствеппоо ограниченное на решение.

Введем ахи- -щтриад: Р ^пг\.Р ° ).гяй п*

- \с О Г+ \01п*У ?

размерпость матрица A^^(t), и чиоловуо Функцию 2

а;<л = »»о* (suj> ¡¡A it)а, 4«p Iл' (Oil) ■

теорема 15. Задача I корректно разрешима тогда и только тогда, когда для любых V.(t)£ выполняются следую-

щие условия: а) «.о

б) существует Тс>0 такое, что при всех Т* % двухточечная краевая задача (13), 14), гае Б = ZV11 {-Т)л С = P+Vi'iT), корректно разрешима с пе завися ins а от Т константой К(.

Из условия 2 следует существование констант f>+ , ъ = 1,2,

не зависящих от f * ({) и удовлетворявших неравенствам

11 '

где - решение задачи Коти (20), у ¥ct) - ограниченное на

£>_ решение уравнения (21). 2

+ Следующая теорет в терминах аппроксимирующей двухточечной краевой задачи, Ляпуновекнх преобразований VI It) и их констант

п = max (s«f> ||V_(i)|!, sup || v'J ' ЧеЬ^с! teR+

С - так ( sup Hvjt)H , sup !|V+(t)|| г A iefL teRb

устанавливает достаточные условия корректной разрешимости задачи I и оценку ее копстанти сверху.

Теорема 16. Пусть при некоторых V- (t) € выполняются условия: а) ч~ + il^ = П- I

б) дая некоторого Tt> О двухточечная краевая задача (13). (14), где Т- Г, , B^P.V^i-V . С = P^'hTi), корректно разрешима о константой , удовлетворяющей неравенству

I z

Тогда задача I корректно разрешима с константой К - • »г ,

/- IsCfUf)

Правая часть граничных условий где сRn% ,

аппроксимирующзй двухточечной краевой задачи определяется через lj*d) -ограничеиние на /?- решения уравнения (21).

Теорема 17. Пусть задача I корректно разрешима с константой К , п.пря некоторых V- (t) £ V (A, R- ) функции i>- С(Я~ . R ) удовлетворяет неравенства

¿«p hjt)-4ji)¡\ <5(т), sup te(-*>,-T] 2 2 t<?[r,«>) 2

Тогда при вшюляепии условия С(К(Тс) < ¡ дм любого Tí Г0

двухточечная краевая задача (13), (14), где ß = Р V-'(-T) , С => i d~ имеет едипственное решение x(t)

и справедлива оценка * т

max ||tf.it)-x*(t)H * С.с/к.5", (Т) *• i€[-Tj] г 2 2 _í

t (c.íjK^mllfíí)!!/- С<-с,с2к^(т)] . (2I)

Здесь x*(t) - решение задачи I, KQ - константа корректной разрешимости аппроксимирующей двухточечной краевой задачи при Т~ТС.

Через обозначим множество иатриц t) ляпу-

новскнх преобразований па - , irp вводя юн уравнение (5) л виду (19), где диагональные блоки патрицы А.({) удовлетворяют УСЛОВИЮ 2 И || Д * (f) ¡I = ff, t £ R- • *

Пусть UCt,?) - эволюционный оператор уравнения (5).

Следствие 3. Для корректной разрешимости задачи 3 необходимо, чтобы при любых V_, ,(t)£V. )н Т>0 выполнялись условия: а) п~г г п* = п ,

О) det -\v.hJ з cíet [P V"¿f-']> ^ V;^(T)Ü(T-T)>Ö и достато'Ю, чтобы условия а), б) имели место при некоторых

Следствие 2. Пусть задача 3 корректно разрешала, и при некоторых У-^gd) - CA, ) ' ограничен!!;*-«! на R-. реиенипгда уравнения (21) являются ©-яиция у £ <t> Тогда^ рсне-¡ше двухточечно;'; краевой задачи (13), (14), где В 3 Р V-k g С-Т), C = , d- = ^f(;T). совпадает с суяапнем па [-ТТЗ ограни-

ченного на ß решения уравнения (5).

Заметим, что отличив от нуля det DTíу_^прп всех f >0 и (Ь) € напоминает свойство вронскиана и для

сингулярной задача I является аналогам признака однозначной разрешимости регулярной двухточечной краевой задачи в терминах фундаментальной матрицы.

Так как условия I, 2 характеризует грубые свойства преобразованного уравнения, то для уравнений с предельно совпадающими

матрицами можно взять одни и те же V- (1)с Например,

для уравнений о предельно постоянными натр к на« и в качестве V-достаточно взять не особые ил п. -матрацы 6- , приводящие предельные шгриш д к обобдашсо-кордаяовой форме

А. - 5_*',4Х£-, <23)

где в сначала расположены обоокеняо-жордановые клетки,

соответствующие собственным значениям о положительными действительными частями, затем - с отрицательными частями, а в /Г+ наоборот.

Пусть ¿¡т. 1( А (О- А-(1) || =>0 а экспоненциально дихотсыич-

ное на £ - уравнение ж = А - И) -х. приводимо. Если известны

- матрицы ляпуновских преобразований на , приводящие уравнения с матрицами А^б.' « уравнениям с постоянными патрицами, то У~(Ь) = №?<{) е , где - веособые

п ж и, -матрицы, приводящие матрицы преобразованных уравнений к виду (23).

Если учесть, что существование £ У ) эквивален-

тно экспоненциальной дихотомии (э.-д.) на £ - соответствующего однородного уравнек-л, а корректная разрешимость задачи I эквивалентна э.-д. на Я , то теоремы аппроксимации позволяют ответить на следующий вопрос: при каких условиях из э.-д. на /?_ н Й» следует 8.-д. па /5 ?

В работах й.л.Китропольского, А»М.Саиойленко и В.Л.Кулика яа примере треугольной системы из двух уравнений

& ' ш

4*

было показано, что э.-д. на /? для треугольных систем не эквивалентна а.-д. яа R система, составленной из диагональных элементов. Хотя система, составленная из диагональных элементов, не является е.-д. па й , уравнение (24) э.-д. на Я , Вии время введу условея а) любая треугольная оистеиа с диагональными эленеятамя вдя ЦЩ*, , Пе яв-

ляется э.-д. на я . Тая как с одном случае г н* - ¿ц ? в другом случае 4- п * ~ о / р -- .

Из условия теорема 17 и оценки аппроксимации (22) следует, что при построения правой части граничила условий аппроксимирующих краевых задач возникает необходимость нахождения уг* (¿) для достаточно больших . Поэтому в § 5 третьей главы исследуются вопросы, связанные с поведением решений уравнения (5) при £ ;; м . Эти вопросы представляют самостоятельный интерес и далее используются при реиеяяи сингулярных краевых задач о заданными условиями па бесконечности. С помощью г»м>/гf)

найден предельный ре там ограниченных на £ редеяий уравнения (5). Построена корректно разрешимая сингулярная краевая задача, определяющая все ограниченные па полуоси рсиент исходного уравнения.

При изучении поведения решений при г?" —оказывается полезный использование свойств уравнения на бесконечности.

. Определение . Непрерывно дкйвретхйруеыая на + функция Хс 11) называется "предельным при {■-— «> " решением уравнения (5), если

/гт II х0(Ь) - АП) х(Ь - {(£) Ц - О .

/—со

Здесь не требуется ограниченность на функции ,

что позволяет использовать их и при исследовании неограниченных ревений. Через 5Сс< обозначим множество решений уравнения (5), удовлетворяющих условии х (¿) ~xc{^) в

Теорема 18. Пусть уравнение х=?Ай)х э.-д. па Я г и Х0(Ь - "предельное при t — сю решение уравнения (5). Тогда Л'с ) ф и дгя любого, -г (¿) е £СВ ) справедливо

Лт. II хйЬ - =0.

Из теоремы 38 следует усиление одной теоремы Перрона о предельном значении ограниченных решений.

Следствие. 3. Пусть уравнение я = АЮх. э.-д. на £ и ¿¡т 1А(Ь)УУ(1)*6* бе ¡г"'. Тогда уравнение (5)

г ¿ — по

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

¿ип х *<{) = - &, ¿'ж £ *(Ь = 0 >

и эти предельные соотнооепия справедливы для любого ограниченного на Л + решения уравнения (5).

В качестве примера рассматривается уравнение

70* ■ ш

где ^ /г") , 1 О, ?с(1) непрерывны и мранмчвны на £ .

Записывая (2вГв виде систевд двух уравнений первого порядка с

матрицей. А(0=1 , правой частью {({) =

учитывая, что [А ({)]''[{£) = ловия

№

О

'о

и,

№

при выполнении уо-

(26)

-¿¡/п

¿ (Ь - О,

¿ть

на основе следствия 3 имеем

• -СО У

где £*({) - едиястванное ограниченное на £ решение (25). Отсюда следует, что знак равенства в оцопке (II) достигается гакяе и дм ограниченных решений уравнения (25), правая часть которых удовлетворяет условию (26).

На основе полученных результатов исследуется

Задача з. Для заданных непрерывных на , ¡1+ функций , Ц^Ш требуется найти х*(1) -реяеиие уравнения (а), Удовлетворяющее условиям:

\\х*а)-с{_т = 0, -Ал йх*а)-о(Ы*0.

Теорема и супзотвуют х~(Ь

21. Езди уравнение ¿=И(<)аг 8.-д. на I? ~ - "предельные при " решения урав-

нения (5), удовлетворяющие условиям: ¿т ^ II гг._ (О-(/'._ /о II то задача 3 имеет единственное решение. ¥' ■

Во второй части работы, оостапгаей из двух глав. исалвдупт-оя нелинейные уравнения.

В четвертой главе рассматривается нелинейное уравнение

А (я) - 0, (27)

где оператор А отображает банахово пространство X а линейное нормированное пространство У л, вообще говоря, неограничен. Через Ъ1А) и £УЛ) обозначаются соответственно области определения и значений оператора А . По элементу х1 с .Т>(А) вводятся множества

с X: Пх-х'щ < ?} >

V0 = (х с- Ш): ША(г)Нг 6 Ц А <хе) Цг } .

здесь || • III - норма ~Х , ¡1' II, - норма У . Исследуются вопроси суиостаовэпия сильного решения уравнения (87) и сходим-Мости к нему итерационных процессов.

Определение. Заемеят л" е X называется сильным решением уравнения (27), если существует последовательность

Г х- "1с ВШ > сходатяся к я* , что ЦА(х )Л —-0 . когда/г—0^. 1 к %

Как известно, суть итерационных методов заключается в тш, что решение слохкой задачи находится как предел последовательности решена- более простых задач. Так как дая лянеИных уравнений часто удается лапти решение ада его представление, то а качества проогнх задач, в основном, выбираются некоторые линеаризации исходного уравнения. Линеаризация неограниченного оператора приедет к неограниченным лянейньМ оператора«. Поэтому вводится понятие лппоаризатора, обобпдвшэго производную 4реше на неограиичеп-Iте негладкие операторы.

Определенно . ЛинейннЯ оператор С X У назшзается лнпеарпзатором" оператора 4 в точке х с Л)(А), если Л)(А) с иго и сушествуит числа £ ъ О , О , что

I! А(х) -Мх)-С(х- Х)\\2 й г II х-X Ц< ,

для всех X е ])(А) 3 удовлетворяю^ неравенству Цх-х II^ < ^.

Числа и с^ , называемые константами линезризатора, показывают, соответственно, точность и радуге окрестности аппроксимации исходного оператора лиейннм оператором С в точке х .

¡редоолашется, что области определения н значений линеариэатора «а зависят от х и Ъ(А) - D (С) Л $ (, ?) •

Теорема 20, Пусть в каждой точке х с U 0 оператор А кмеет лшшаризатор Сх с константами <?х , ¡Г , удоалетво-рявиг? следующим условиям:

i: сх обратим и II с;' Х)*ГХ&Г , f-mmt ;

2) ^x'fpt 0-const;

3) Гх-НЛ1Х)Н2 Ах < К> К -cer,st'

4) у llAu'jll < (1'9) г .

Хоте» уравнения (27) иыеет изолированное сильное решение и к йену сходится последовательность алеыенгов { х с и"' ОПРЗД0^-емая по итерационному процессу: ■хл>>- ас", ^ s щах (i К),

ЯШ.Х'Я,-1е±м(АП<к>>}, п -0.12..'. <28>

Твореиа 20 в терминах лияеаризатора и его констант устанавливает достаточные условия существования сильного решения и сходимости к пецу итерационного процесса (28). Отметим, что в случав, когда оператор А замкнут в J)/A) , сильное решение совпадает о решением уравнения (27). Далее рассматривается уравнение

А (х) « Жх + F(x) 0, (29)

где Ж : X Y - линейный неограниченный оператор, а F(x) имеет проиэводную греша в S (a:'t' ? )•

Теорема 21. Пусть выполнены следующие условия:

I) для всех sc G U" лияеаризатор * г'(г.) ограниченно обратим

пж - FVflor'l^y^, й п

г) II f'cx) - F'(x)ll^6Y<y) 4 L -и* - х i|( Vor, X с s f.r?):

3) — . .здесь и*-ЦХхе+Р(х1,1Р,

т « Х-*

1Г " Гс

4 « ¿/V/?, 4"д../4--/• д., « /-^

/И - такое неотрицательное число, что ^ < 1 , а * 1 ■

Тогда последовательность элементов {х(п)} с определяемая по демпфированному метода Ньютона

ХШ<)= г<я1Ш+ Г(х1п))][Жх("1 Р(хм)] ,

где при п =0,1,..., иг п^--/ при п - т >"'2, ...

сходится к изолированному сильному реленгоз уравнения (27), принадлежащему 5 Гг''?).

Замечание. Если в теореме 24 предположить, что Ж - пулевой оператор, У - банахово пространство, т-с , то получим известнуп теорему Мысовсккх о сходимости основного метода Ньютона-Канторовича. Так как числа , , т заракнее неизвестны и зависят от г , то при применении теорем, аналогичных теореме 21, возникают трудности, связанные с проверкой условий 3). Следуюппя теорема у продает условия 3), сведя их п проверке одного неравенства меяду у и " при выбранном х" .

Теорема 22. Пусть выполнены следующие условия:

1) для всех х а Ц1 линеаризатор Г'<х). ограниченно обра-

2) производная феше !г (X) равпомеряо непрерывна в

3) < г .

Тогда существуют числа" Ып =>/( »и«= 0,1,2,...), что последовательность элементов с • определяемая итерашопти процессом

п

о

и » о,1,2,..., сходится к изолированному сильному решению уравнения (29), принадлежащему Б цсфц).

Замечание. Из теоремы 22 в случае, когда - нулевой оператор, / - банахово пространство, вытекает локальный вариант теоремы адомара о существовании решений нелинейных уравнений .

' Отметин, что все утвервдения теорем 20-22, кроме изолированности сшьного решения, остаются справедливыми, если условие 3) заменить следующим: при всех I * 1Г линеаризатор имеет ограниченный правый обратный и ЦС'1 ц < г < у (в теореыв 20)

и теореМах21. 22).

В § 3 главы 1У сведением к уравнения« о неограниченным оператором исследуются краевые задачи для полулинейных дифференциальных уравнений с частными производными.

На основе теоремы 22 в § А получены достаточные условия существования изолированного решения регулярной двухточечной краевой задача

= X), (0,Т)> (32)

х(Т)) = о (33)

у [т.

и сходимости к нему последовательности решений линеаризованных двухточечных краевых задач.

Вопроси существования ограниченных решений нелинейных уравнений различш£«1 методами лсолодовшш многими авторши. В § 4 яа оаяове теоремы 23 получены достаточные условия существования ограниченного решения и сходимости к нему последовательности ограничении решений линеаризованных уравнений,

В § б исследовано нелинейное обыкновенное диМерппшальиор уравнеииз второго исзрядка

У У „ £ / , „ \ Ш)

эадаяаоо яа вое?! оси, Устаяовяены достаточные уоловнд существования ограниченных ва 6 решений зпмви?нпя (я;). в частности, доказана

T e op «и а 23. Пусть функция f(ttz, if) при некоторых J> > 0 , а*0 в области R* (¿>с-р, zc+f)* (~af.afi) имеет равномерно непрерывную производную по к п tr , удовлетворяющую условиям

0<3T£f!l(t,X,v)* Mf, \t'va,Z,L>)\*Mz,

где Mf ,М2, р -const . Тогда при выполнении неравенств

ZT 5ир \{(1,з°о)\< р, ntax(f,Mt + Mz)i а, ' teR

уравнение (31) имеет единственное решение

Z*(i) С Сг(ю n{Slt) € c'at): iua)-zcllf<f, 113(011, <«/}.

Следующая теорема обеспечивает существование рграяичешшх решений в случае, когда функция f(tt2,n) неограничен на R прп фиксированном £ , v . Введем обозначения

н, s(m,t):tbR, ¡£-2el<f, Iv-l^apjjd)1} , H,ite{aiZ.tf)-,te[-ni»t]f IZ-2cl<j>, М<а/>т/^Г},

где ail) >, > 0 - непрерывная, вообще говоря, неограниченная па R санкция, удовлетворяют условию:

c,d - const.

Теорема 24. Пусть <$пкцет f(t,i,tr\ в Н{ непрерывна по t я 1меет чаотяыэ производные по 3 п v , удовлетворяющие условиям:

1) cjli) * f'z (its,ff) ± Xz<j(t), кг - const;

2) Ki 7ft), , const;

3) функции , fy(i,X,v) Гфя любой it > О разномерно непрерывны в HUt.

Тогда прп выполнении нероиепогва

~ in Ht^.O) fc sap

teR

ft)

уравнение (34) иыеет единственное решение U*(t) , удовлетворявшее условиям:

Мр IZ*(Ü-2eJ<f> suf te/г

Mqtl)

< Л,

Ls

Определение . Оператор называется разделимым в ClR) . если для лпбой фикции 2 Ii) е C2(R) из (t.ztt) ztt))£ Н{ и •rzitieMR) следуе-с. что

TfÜZ(i) е C(R) и f<t.2tt>,Jnb)eC(R).

Теорема 25. Пусть выполнены условия I), 2) теоремы 24 и F(l 20(i) е С(R ) . Тогда оператор £ разделам в С (Я) •

В пятой главе диссертации изучается решения нелинейного дифференциального уравнения

-jjf- = fU,x)t t е х е R\ (36)

ограниченные на 3 или удовлетворяющие условиям

-¿>11 ¡¡X(t)-cp_(t)ll * 0, (37)

т 00 *

где (f. (t) - непрерывные, вообще говоря» неограниченные на R -функции. Исследуются вопроси существования и построения регулярных двухточечной краевых задач па конечном интервале, позволяющих с задшшой точи ость п определить сужения решений рассматриваем® сингуяярцых краевых задач. Ври атом используются итерационные процессы дая неограниченных операторных уравнения и результаты главы 311, где аналогичные вопросы рассмотрены для линейных уравнений. С целью изучении поведения решений уравнения (36) при i вводится определение "предельного при t — «*» "

решения нелинейного уравнения и обозначении

s(ttm, % г)={х(Ь с е а R"}1. х (i)- xcm * сц />'\ их di-xe<m<f},

В § 1 доказало слодущзе утверждение, устанавливающее "при-тягппающзо" свойство "цредальяого крп t " решения.

Теорема ¿6. Пусть фикция {(у) тлеет равномерно непрерывную производную по х в С(х(1 ),£, г). где ге<{) "предельное при / — со " решение уравнения {36), и линеаризованное уравнение .

- К"-*."»)- г'"-

э.-д. на . Тогда_ существуют числа Т >0 , ?с£<.0, г] , при которых в ) уравнение (36) имеет хотя бы од-

но решение, и для любого х({) - решения уравнения (36), принадлежащего 5 [Х'** Ь 7с) • гдеТ^Т , справедливо предельное соотношение:

1*(*>-*,<Щ'0. ) (20)

Отметим, что если выполнены условия георемы 26 и | р (^х)Я ¿М,

то дяя любого д решения уравнения (36), принадлотащвго

5(ХСН),[Т? ) , справедливо (38) и С ' с

¿ш Ц я (¿) - X а) II =0. 439)

Через ляпуновское преобразование линеаризованного уравнения, построена сингулярная краевая задача, позволявшая однозначно определить любое решение уравнения (£5), принадоежаяее заданному функциональному аару. Доказана устойчивость свойств решений уравнение (36), характеризуемых теоремоЯ 26, к исчезающим при £ 00 возмущениям.

Результаты § I представляют сачосгсятелъщй интерес п далае используются при аппроксимация сингулярных краевых задач регулярней двухточечными' краевыми задачами.

Во втором параграфе получено слз дующее утверядениэ о супззс-твовании решений сингулярной краевой задачи (35), (37).

Теорема 27. Пусть з й(осс<Ь, /?,г> , где яЧИ)- "предельное при /"—-+:«*> " решение уравнения (25), удовлетворяюдао предельным соотношениям

Жт || * а) »о,

"с I +

функции {(¿, X ) имеет равномерно непрерывную производную по х и выполнены условия:

I) при всех х(1) € 8(хс/1\?) задача I для линеаризованного уравнения

корректно разрешима с константой у , 2) Н^^.гЛИМ, м-сстЬ (Ь,х)е С (х0Ш,я,-г)-

Тогда при выполнении неравенства

задача (35).. (37) имеет изолированнее решение х

Построена двухточечная регулярная краевая задача

= ХеЯ\ <40)

Р- У-~{(-Т)[х(-7)- хо(-Т)] * - = 0, (41)

где Р_ , Р+ - проект!фуюии0 матрицы, К (¿) € Л'с (¿) - "предельное при + «> " решение уравнения (ЭЗ).

В следующее теоремах установлена взаимосвязь между разреаш-у остями исходных сищуяяршвс и аппр о и с ю.шру ю ших регулярных краевых задач.

Теорема 28, Пусть выполнены условия теоремы 27 и х*(Ь е &(хоа), ■г) -решение задачи (Бб), (37). Тогда сущзог-вувт числа Гс>0 , го>0 , при которых для любого Т%Т0 г

а) линейная двухточечная краевая задача

+ *€(-Г,Г), <42>

Р.V:\-7)л (-Т) * ?+У~\т)х(Т) из)

корректив разрешима о нвзависявдШ от Т конотантой К*\

б) задача (40), (41) в иара $(х*ф1 [~Г,Т]1?0)£

имеет едияетвеняоо решение х (Ь) и .справедлива оценка

Г

««X IIх*(ЬЦ * 2К*(ЦРУ Л-Т)[х*(-Т) -^0(-Т)]||Ч| РД1т)[**ГП- se.iT)] 11} . ш)

Приведены условия, при которшс аналогичное утверждение имеет место и для решения уравнения (36), прянаплегадаго Stt^Uz).

Теорема -29. Пусть z.(t)- "предельное при t—.о Xt - "предельное при t " решение уравнения (36)-и вы-

полняются следующие условия:

I) фунюот Pit, с) имеет производную но г вдоль xjt), и сугоствуют ляпуновскяе преобразования V-(t>( Vif' (7, 7-),/?_),

f Jl* + 4-

2) при некоторых, To>0 , гс>0 ,fc>U задача (40), (41), где T'TV, V-(+7 )*V:(*TC) , хс(; J)- a . (iT), имеет решегше %7lt)u непрерывно дифференцируемая 1Ш 8 (функция tc({) удовлетворяет соотношениям х ({) - i (t~), t ч (-ю - Т -е ) ;

t - » с р'

l|re(t>- Xjl)l\ < ?r , i е С- 7c-ftf, -тс). xc (t) = xT(t) , a xD<t)-xt(tH<z , tt[7e,Ter€c] ; t e [T>fc,c*>);

3) фикция f(t,X) в o/x (k),R,Tc) непрерывно дифференцируема по я п для некоторого £? О

j <*,*>- v^«,

4) линейная двухточечная краевая задача (42), (43) при Т-Т„г V-(7 Т) = V-(7Т\ 1V/)-oc„il) корректно разрешима с константой

п справедливы неравенства:

«> К U,ct t Цф] - ^.(frl^h) *

положительные числа ^ , г =1,2.

JjCTy) . характеризующие Vy (¿J , определяются так яе, как в случае линейных уравнений;

б) £К «ес,с£ K/ii'KS1(T0)-c,cic]< i,

в) К II хс({)~ fit, лс(6)1!( < (1-е/О .

Тогда в ,$ ('х (7), ) уравнение (35) имеет единственное ро-£ ' с J

шеяие.

Теорема 30. Пусть выполнены условия теоремы 29 и Функции удовлетворяют предельным соотношениям

/I я. ¡о - 9- (Oil - 0.

Тогда задача (35), (3?) в г,. ) имеет единственное

решение.

Теоремы 23,-30 в терминах "предельных при / —- решений и регулярных краевых задач устанавливают достаточные условия существования и единственности рассматриваемых сингулярных краевых задач.

Предлагается схема исследования сингулярных задач, основанная на "притягивавших" свойствах "предельных при ^ -<- т* <>э решений и аппроксимирующее регулярных задачах.

В § 3 результаты первых двух параграфов применяются к изучению сингулярных краевых задач для предельно линейных и предельно почта периодических нелинейных обыкновенных дмф{«ре нциаль них уравнений.

В четвертом параграфе главы на основе полученных результатов исследуются сингулярные краевые задачи для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дяумабаев Д.С. Об одном методе исследования обыкновенных дифференциальных уравнений// Изв.АН КазССР. Сер. физг мат, -1982.-£ 3. - С. 1-5.

2. Дяумабаев Д.С. Об ограниченности решения и его производной иа всей оси дифференциального уравнения первого порядка // Изв.АН КазССР, Сер. физ.-мат. - 1982. -й5, - С, 4-7.

3. Ддукабавв Д.С. Об ограниченности решения и его производной на полуоси некоторых краевых аадач для обыкновенных ди^рен-шшьных уравнений // Дкффзренц.уравнения. - 1982. - 18. - Й П.

- С. 2013-2014.

4.. Дкуыабаев Д.С. О разрешимости нелинейных замкнутых операторных уравнений // Изв.АН КазССР. Сер. фиа.-ыат. - 1984. * I. - С. 31-34.

5. Джуыабаев Д.С. О сходимости модификации метода Ньютона-

Канторовича для замкнутых операторных уравнений // Изв, АН КазССР. Сер. фаэ.-ыат, - 1984, ~ № 3. - С. 27-31.

6. Дяумабаев Д.С. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифг^ренциальних уравнений // Математические методы и юс нри-лояеокя. - Алыа-Ата, 19В6. - С. 19-го. ■

7. Джумабаев Д. С. Сходимость итерационных ыеюдов для неограниченна операторных уравнений // Кат. заметет. - 1987. - 41, вып. 5. - с. 637-645.

8. Дяумабаев Д.С. Аппроксимация задачи нахождения ограниченного решения двухточечными краевыми задачами // Диференц. уравнения. - 1987. - 23, Л 12. - С. 2IS8-2I89.

9. Дяумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вести. АН КазССР. - 1988. -I. - С.48-52.

10. Ддумабаев Д.С. Скорость сходимости итерационных процессов дня неограниченных операторных уравнений // Изв. АГ КазССР. Сер. фаз.-мат. - IS88. - * 5.

11. Дкукабаев Д.С. Ограниченные решения и их аппроксимация для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Условно-корректные задачи математической физики: Тез. Всесоюз. нонф. Красноярск, 1989. - С. 33.

12. Джуыабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // &урн. вычислит, математики и мат.физики. - 1989. - 29. № I. -С. 50-66.

13. Дяумабаев Д.С. Аппроксимации ограниченного решения и экспоненциальная дихотомия на оса //Диферевц. уравнения. - 1989. - 25. - № 12. - C.2I90-2192.

14. Дяумабаев Д.С. Аппроксимация ограниченного репанкя обыкновенного дифференциального уравнения ревекияма двухточечных краевых задач // ¿уря. вычислит, математики и шт. физики. - 1990. -30. - № 3. - С. 388-404.

15. Джумабаев Д.С. Аппроксимация отраниченного решения и экспоненциальная дихотомия на оси // Яурн. вычислит, математики и мат. физики. - 1990. - 30. - Js II. - 1646-1660.

16. Ддумабаев Д.С. Аппроксимация сингулярных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Тез. докл. науч. кояф. 'Чфаевыа задачи и их спектральные вопроси для дифференциальных уравнений". - Алма-Ата, 1991. - С. 35.

17. Дяумабаев Д.С. Предельные решения и поведение на бесконечности речений нелинейных обыкновенных дкффзренциальник уравнений // Тез. докл. Республ.науч. конф. "Теория приближения и вложения функциональных пространств". - Караганда, 1991. - С.69.

18. Дгумабаев Д.С. Сингулярные краевые задачи а кх аппроксимация для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений// S/рв. вычислит, математики и мат.физики, 1992. - 92. й I. -

С. 13-29.

19. Дгумабаев Д.С., Медатбеков И.М. Об ограниченности решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка // Изв. АН КазССР. Сер. 4из.-мат. - 198?. -4 1.-С. 20-23.

20. Двумабаев Д.С. Медетбскова P.A.. О разделимости линейного дифреренциального уравнения второго порядка // Там ке. - 1993. - £ 5. - С. 21-26.

21. Жаутыков O.A., Даумабаев Д.С, Об одном подходе к исследовании периодических решений дифференциальных уравнений // Аналитические метода теории нелинейных кгиг»баннХ: Тр. 1а мсадунар. койф. по нелинейным колебаниям. T.I. - Киев: Наук.дуика, 1984. -C.I4I-I4S.

22. Жаутыкоз O.A., Ядумабаев Д.С, Решение краевых задач на основе модификации метода Ныиона-Канторовича//Изв. АН КазССР. Сер. фаз.-мат. - 1987. J* 5. - С. 19-22.

23. Каутыкоз O.A., Джукабаев Д.С. Об одном подходе к обосновании метода стрельбы к выбору начального приближения // Изв. АН КазССР. Сер. фаз.-мат. - 1988. -XI,- C.I8-23.

24. Bai-jtA'jaev D.S. Си iv.e SoLva&llity of Z.'onlir.eax Cloeod

Operators ¿quatioss IJ -Jer. I-at.i, Sos. j?reusl. (2) - 193Э -

142. - ?. 91 - 9ч. ' ^

25. Bz'üu^aaaev S.S. Ca tfce Ccnveräenee оi a ...oai-ficaviou

of tl:e Se'.rlor. - Zsutorovicii :;ethod Гох Closeü Operator ~c.uati-on. // Та:.; -Р. D5-99. '

Поди, в печ.¿З.ОЧЯЧ . '¿орлат 60x84/16. Бумага тип. йфс. печать. 1сл. печ. . усл. кр.-отт. . Уч.-изд. л./,5*

'Хараа 100 экз. Зак./// Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики АН Украины 252601 Киев 4, ГСП, уд. Терещенковская, 3