О двухточечных краевых задачах для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ.

§ I. Некоторые вспомогательные предложения.

§2. О множестве а,в)

§ 3. Леммы о разрешимости краевой задачи

0.1), (0.2)

§ 4. О вектор-функциях, обладающих свойствами

§ 5. Теоремы существования обобщенного решения.

ГЛАВА II. СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ.

§ 6. Обобщенное решение и краевые условия.

§ 7. Дифференцируемость обобщенного решения.

ГЛАВА III. О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ.

§ 8. Регулярная задача.

§ 9. Сингулярная задача Дирихле.

§ 10. Смешанные задачи с сингулярностями.

0.1. Основные обозначения и термины. ^ - К-мерное евклидово пространство, =: у

X — (ос^^Е^ - вектор-столбец с компонентами ос1,.,**. Если

- вектор из с компонентами 1:, ^.х1^.

ОС-^ - скалярное произведение векторов ^ » а

IIX || — у5>Х - евклидова норма вектора Х€

Если t0 £^8£](>+оо[ и , то и ч2к-Ц

1гпе$2) - лебегова мера множества 2) £ К.

- промежутки, т. е. множества типа э а, или]а, , где - % + оо

Дг - КхК-матрица с элементами ее1 к и=1,■-,*)> ¡1А||-2 |а1к|. - нулевая, а Е - единичная КхК-матрицы. Д*1 - матрица, обратная а •

Ах - произведение К х к-ма трицы Д на вектор-столбец X € К*.

Запись д>0 означает, что а - Кхи.-матрица и для любого ненулевого вектора X 6 К. Дх-Х>0. означает, что либо а> е либо

Цусть А ^ © . Тогда пРИ А>9 о при А 9

Легко видеть, что если Д>0 , то (х) - полная вариация функции ос: ¡А ь ] —* $ на сегменте

С«,«].

X — (ОС1) £ ^ \ [а, £ ] $ называется вектор-функцией ограниченной вариации на £] , если каждая ее компонента Xй имеет ограниченную вариацию на этом сегменте.

- множество непрерывных вектор-функций х'.М-ЛНсГ, 5ср")а^] ?5 ) ~ множество интегрируемых по Лебегу функций а ЦевС(^5) -множество функций X: ^ 3 » сужение которых на принадлежит для любого сегмента с ^ . Ясно, что если ^ - сегмент, то =

С1([а,ё]', ~ множество вектор-функций

X: » каждая компонента которых абсолютно непрерывна на вместе со своей первой производной.

2 ) "" множество вектор-функций Ос: ^ (^ С \Г ) ' °Ужение которых на к?] принадлежит ) да любого сегмента [с1, ¡3] С

К (С01 "63 ^ К^* 3 ^ "" кп~асс КэрэтвОДори» е- множество вектор-функций [.а,^ 5 ($ С К") таких» что ^(-Ь/)'. непрерывна при почти всех 1е[а)й) -.[а,?] измерима при любом Х€ ^ и ыах {11|(-,хМ1 • £ I ССа,€3; Ы при любом К+. к^йос ( З' * ' ^ ^ "" шожество

К") * сужение которых на (Д X $ принадлежит х ; $) ^ л*^0110 сегмента [р^]^

Цусть Р>05 и - + Тогда при О ^ 3 £ р

ХрС5)г^ при >

О при

Я тк* при ш>г

I о при и

С^- (-^2.- ) при

Будем говорить, что тот или иной факт имеет место внутри промежутка ^ , если этот факт имеет место в каздом сегменте, содержащемся внутри этого промежутка. Например, если последовательность ОС^)^ ^ равномерно сходится в каждом сегменте, содержащемся внутри интервала , то будем говорить, что она равномерно сходится внутри

0.2. Постановка задачи. Всюду ниже предполагается, что

АеВДсК+ооС, и ^€^(1=1,2)

Диссертация посвящена вопросу разрешимости и однозначной разрешимости краевых задач вида х"=|М (0.1) ос с со = а х'(а)+с1, х№=-вх'(еуьсл 3 (0.2) хда^К^раЖхГ-.Ю.

Частными случаями краевых условий (0.2) являются краевые условия Дирихле

ЭС(а)=С19 О(0.3)

ЗС(а) п 0? Ос(Е)г О (0.3о) и смешанные краевые условия

ЭС(оО= AxVHC.,, - cs> (0.4) эс(оО - Асс'(«)> ос(6)= О. (о.40)

Вектор-дункция ОС £ С([а, g] ^U^C; ) называется решением краевой задачи (0.1), (0.2) в классическом смысле, если она почти всюду на @ удовлетворяет дифференциальной системе (0.1) и краевым условиям (0.2)

Вектор-функцию ограниченной вариации ОС • kg]-Г назовем обобщенным решением краевой задачи (0.1), (0.2), если найдутся последовааНоО ( ч-fOO jj,^ .и такие, что

I} [0,1]) 0 = и равномерно на каздом конечном отрезке k —> +00

2) дня любого натурального к вектор-функция

Хке С1 ([<3, £]-$н)является решением дифференциальной системы удовлетворяющим краевым условиям (0.2);

3) последовательность (ЭС^)^ Р331101^110 ограничена на Са j ? 1 и в каждой точке этого отрезка

I) Подразумевается, что если Д> Э ( В > © ), то существует предел J? L м х'(-Ь) ( 0 [ ^ ОС'({))

Хью. ос. (-0 = ХС-Ь).1} к * +оо К

Краевые задачи вида (0.1), (0.2) называются регулярными, если 1?П) » и сингулярными, ее-ж

В диссертации изучаются разрешимость и однозначная разрешимость в классическом смысле регулярной краевой задачи (0.1), (0.2), сингулярной задачи Дирихле (0.1), (0.3) и смешанной сингулярной задачи (0.1), (0.4). Кроме того, исследуется вопрос о существовании обобщенного решения регулярной задачи (0.1), (0.2) и изучаются свойства такого решения.

0.3. Краткий обзор литературы. При К-1 как регулярным, так и сингулярным задачам вида (0.1), (0.2) посвящено большое число работ (см. [II, 12, 13, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 331 и указанную там литературу). В основу многих из них положены классические работы С. Н. Бернштейна [I], М.На-гумо Ц32] и Тонелли [35] (сказанное особенно касается задачи Дирихле (0.1), (0.3)). При [\> \ такие задачи преимущественно изучались в регулярном случае в работах Дгк. Скор-ца-Драгони [ 34], Ф. Хартмана [18, 22], 10. А. Клокова[14] , А. Ласоты и Д&. А. Йорка [29], Дк. Мауэ[30, 31] и др. Ниже мы приведем некоторые результаты из этих работ, непосредственно связанные с настоящей диссертацией.

Стараясь обобщить теорему Бернштейна-Нагумо [32] для векторного случая, Ф. Хартман доказал следующую теорему:

I) Если к-1, = 0 И ' то введенное нами обобщенное решение является обобщенным решением краевой задачи (0.1), (0.3) в смысле работы [1б] (см. определение 3 из [1б] и теорему I из [15]).

Теорема 0.1 [22]15. Пусть | £ С([«,g]X)

IIClII áXoM.l), (0.6) при X-'j- 0 и Цх||=г0)(0.6) II \ адд)|| Ó к Ыа aswiijii'J<0.7> при (i,a^)£[«J]xR2h и

Uf^x^lU^ (nuil) при Upc^KWJxlf1 (0-8) iwete>oik^o)'ViicCCR+.iR+),ÍOieC(K+j3o>+ooC)H

ОО S <AS- . ^ (0.9)

1 Ul(S)

Тогда краевая задача (0.1), (0.3) имеет хотя бы одно решение X » удовлетворяющее оценке

НхШН^о при olé-Ug2). (0.10)

В [22] показано также, что если вместо (0.8) выполняется условие где 1< >^0 и > т0 условие (0.7) становится излишним.

В работе А. Ласоты и А. Йорка

29] установлены условия разрешимости краевой задачи (0.1), (0.2), которые но

1) См. также [18], стр. 508.

2) В [22] эта теорема сформулирована несколько иначе. Именно, ^ определена и удовлетворяет неравенствам (0.7), (0.8) не на всем множестве а лишь на его части [ailxR^Nlét^ . Эта разница несущественна ввиду оценки решения (0.10).

0.13) сят характер односторонних ограничений, налагаемых на век-тор-®пакцшо £ .

Теорема 0.2 [29} . Цгеть С([а,£]ХК ; , к4>,0, кг>°> (1 = и при

Тогда краевая задача (0.1), (0.2) разрешима.

Теорема 0.3 [29] . 15гсть \ £ С ([а, £] хК2М?Ь) к2>0, <4=0 (£ = 1,2) И

1«н + №1*31) +

НУ II при

Предположим далее, что соблюдается (0.8), где Со^ £ С(К4-,]0, + оо[) Удовлетворяет условию (0.9). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) разрешима.

Д?к. Мауэ [30, 31] предложил теоремы существования, касающиеся небернштейновского случая, когда порядок роста ^ (-1, ЭС^ ^) по ^ превышает два.

Теорема 0.4 [31]1). Цготь | £ С

ПРИ

2К

Предположим далее, что при (¿.¡икММ » где ^(ЧММ^), сог+-,]о;+-п ^

I) Аналогичный результат содержится в [30]. со

--~ 4- (7° •

0Ц*(5)

Тогда краевая задача (0.1), (0.3о) разрешима.

Заметим, что в теореме 0.4 вместо (0.14) можно потребовать условие \ (± ) »■-к, IIх111 -ш\г- ? а)IIX |г* (0 м/) при

Полученная при такой замене теорема и теорема 0.4 охватывают один и тот же класс дифференциальных систем. Приведем теорему единственности решения: Теорема 0.5 [30] . Пусть ^ £ С(Та]X в*), и

-У^НИгЫ!

Тогда краевая задача (0.1), (0.3о) имеет не более одного решения.

Следует отметить, что вышеприведенные теоремы доказывались различными методами. Поэтому трудно было заметить существующую между ними внутреннюю взаимосвязь. Далее, при У\. — 1 их условия являются более жесткими, чем условия известных ранее теорем, касающихся скалярного случая. Например, при К - 1 оба варианта теоремы 0.1 накладывают более жесткие ограничения на рост функции £ относительно третьего аргумента, чем известное условие Бернштейна-Нагумо, не говоря уже об односторонних условиях, принадлежащих X. Ефе-зеру [21] и И. Т. Кигурадзе [II, 12] . Это обстоятельство не является случайным, ибо, как показывает приведенный в[22] пример Хейнца1 ^ [24] , дня К > 1 -мерных вектор-функций лемма Бернштейна-Нагумо об априорных оценках, лежащая в основе теории двухточечных краевых задач для скалярных уравнений, уже не справедлива.

Отметим также, что при W-\ условие (0.6) теоремы 0.1 выполняется в том и только в том случае, когда Т.0 - верхняя, а - нижняя функции уравнения (0.1)(т. е. £("ЬДо>0)>0

Поэтому естественно возникает вопрос об обобщении условия (0.6) таким образом, чтобы при 1 охватывались более общие случаи наличия пары верхних и нижних функций уравнения (0.1).

В данной диссертации сделана попытка в какой-то степени избавиться от вышеупомянутых недостатков. Доказанные нами теоремы обобщают теоремы 0.1-0.5 и, с другой стороны, служат К > 1 -мерными аналогами для теорем, касающихся скалярных задач.

0.4. Основные результаты диссертации. В первой главе (§§ 1-5) исследуется разрешимость регулярной краевой задачи (0.1), (0.2) в обобщенном смысле.

Определение I.I. Вектор-функция • ]<*>(*[-> R* принадлежит множеству fo(^>j?) , если ]<*,£[ —]-оо>0] измерима, V и любое ненулевое решение 1L дифференциального уравнения

I) Пример Хейнца - это множество двумерных вектор-функций (cos (Н, Slh.pt) , Где рс|? . и)и7 имеет не более одного нуля на [с<, , какова бы ни была измеримая функция ^ОчРС"^ К » удовлетворяющая неравенству

Определение 2.1. Цуетв 0 £ )( ^ 1 « Скажем, что вектор — функция ): ]а; £[ принадлежит множеству Р^!01» А;В) > если €1 ([а,6] ; , ^ ••]<*,£М"00»1измерима , а-*-у(1\тмв)-*)\ии\ ¿и <*> и МЛ) » где

I (Л-| при

Замечание 2.1, леммы 2.1-2.2 и предложение 2.1 характеризуют множество кДа Д ¡3). ц ^ ) ) ' л . I

Определение 4.1. Пусть ^^(ЗаДх^ ) и Ч >0 . Вектор-функция + обладает если для любого неотрисвоиством цательного числа р найдется 1 ^ >, О такое, что

5 ЦОс'ШН^^,, (0.15) каковы бы ни были а £ ^ и решение ос С С^Ц,,^! \ К.^) дифференциальной системы х^ХО^'Н)?^^')' (0.16) удовлетворяющее условиям ЭС(4)|| ^ Р ДРИ (0.17) х'Ц)||>А при "М-и^. (оде)

Заметил, что для любого функция с(]<*$[Х^* К) заведомо обладает свойством причем в качестве Г11 для числа ^ можно взять

Определение 4.2. Пусть ^ К(Ь,ЙХ^-^ и ^>0 . Вектор-функция обладает свойством \/(&>£] Д) » если ^ л^01,0 неотрицательного числа р найдется ^>,0 такое, что,каковы бы ни были (Х^с^-^ и функция С [0, \]) » решение ОС £ С^й^з] ] дифференциальной системы (0.16), удовлетворяющее наряду с (0.17) и (0.18) условию при удовлетворяет и оценке (0.15).

В предложениях 4.1-4.6 содержатся эффективные признаки наличия свойств V ([$,$], ^ ) ж \/(Са) У вектор-функции ^ . Отметим, что если выполняется условие (0.7), то, ввиду предложения 4.3, вектор-функция ^ обладает свойством У([а, • Если же ^ удовлетворяет условиям теоремы 0.2 (или теоремы 0.3), то она обладает свойством \/([а, >1) предложения 4.4 и 4.5).

Определение 5.1. Цгсть ^((([р.^Х^^)-Пара функций (^,"2) называется парой Нагумо дифференциальной системы (0.1), если при С1 а ^ и найдется последовательность положительных чисел ((к). К - 4 таких, что ¡¿1[у\ Рк — ч- оо и к.—»4- оо при W'M (k=i,2r.).

Определение 5.2. Бару Нагумо дифференциальной системы (O.I) назовем парой Нагумо регулярной краевой задачи (0.1), (0.2), если И

Я^МуЖ $Щкогда а в^С,,Ца-адН1 >Ш

0 }

Эти понятия тесно связаны с понятиями нижних и верхних функций скалярных уравнений и задач. Именно, наличие пары Нагумо скалярного уравнения (0.1) (скалярной задачи (0.1), (0.2)) эквивалентно наличию нижней ( ) и верхней ( ) функций уравнения (0.1) (задачи (0.1), (0.2)), удовлетворяющих условию

М-^М-Н при а г ^г £ см. замечание 5.2). Отметим также, что если выполняются условия (0.5) и (0.6), где лСо>0, то является парой Нагумо краевой задачи (0.1), (0.3) (см. замечания 5.1 и 3.2).

Теорема 5.1. Пусть вектор-функция

Х^МГ) обладает свойством \/(1>Дг) и существует пара Нагумо краевой задачи (0.1),

0.2). Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение х » удовлетворяющее неравенству

Нзсю-гГОМ^щи а.£ (0.19)

Эта теорема по своему характеру аналогична теореме 3 из работы [16]1).

Теорема 5.3. Цусть соблюдаются следующие условия: либо Д>б , либо А = 9 и О ^ (о.201) либо © , либо В-6 и с2, (0.202) вектор-функция ^([а,?»] обладает свойством ([а, 6] , Ъ) и, кроме того, где Ци,«]з !?+) и г) £ Р, (01, /\; В) • Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.

Теорема 5.4. Пусть соблюдаются условия (0.20^) при где 0Ч<15 (-1)4; бЦ1ЯШ+) и

• ТогДа краевая задача

0.1), (0.2) имеет хотя бы одно обобщенное решение.

Вторая глава диссертации (§§ 6-7) посвящается изучению свойств обобщенного решения регулярной задачи (0.1), (0.2).

В § 6 доказывается, что обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) всегда удовлетворяет краевым условиям (0.2) ( теорема 6.1).

В § 7 исследуются дифференциальные свойства обобщенного решения. В частности, доказано, что если выполняются условия какой-либо из теорем 5.1, 5.3 и 5.4, то обобщенное

I) См. сноску на стр. 7. решение удовлетворяет дифференциальной системе (0.1) на открытом всюду плотном множестве из Б*,«] (теоремы 7.1 и 7.2). Теоремы 7.3-7.6 содержат условия, при соблюдении которых мера этого множества равна & .

В третьей главе (§§ 8-10) изучаются разрешимость и однозначная разрешимость краевых задач в классическом смысле.

В § 8 рассматривается регулярная задача (0.1), (0.2). Теоремы существования классического решения этой задачи получаются с помощью теорем существования обобщенного решения добавлением к их условиям односторонних ограничений на рост вектор-функции ^ по ^ . Доказательство этих теорем сводится к установлению факта, что любое обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) является решением в классическом смысле.

Теорема 8.1. Пусть вектор-функция

К(ММ2МГ) обладает свойством У(М1д), существует пара Нагумо (Яр> 7) краевой задачи (0.1), (0.2), 01 ^ а0 й »на ]а0 соблюдается неравенство а на За, ~~ неравенство где и Ь^.й-.К^ЛеССС+'.^.ибСС^Пол-С) и оО

0.21) о

Тогда краевая задача (0.1), (0.2) имеет хотя бы одно решение ОС € СЧСа,€]; ) , удовлетворяющее условию (0.19).

I) В частности, при обобщенное решение почти всюду на [а, 8] удовлетворяет дифференциальному уравнению (0.1) (см. теоремы 7.1 и 7.6, а также определение 7.2 и замечание 7.4).

Эта теорема обобщает теорему 0.1 (см. замечание 8.1). Определение 8.1. Пусть t > О . Запись 4 éZ^M] означает, что ^ «([a,*] X Г) и если то найдотся число X > 0 и функция i Р+) такие, что при (l.X^ielXsí-to.oCo^cl

Если | £ K([a,g]xR2i то | € Z^MJ при любом *>о. Теорема 8.3. Пусть вектор-функция обладает свойством V([a, t) , существует пара Нагумо (ifZ) краевой задачи (0.1), (0.2), соблюдаются условия (0.20¿)(l -1)4) и при каждом справедливо неравенство

-1)J-^(W)\W) ((IxiljCJ(ll^ll)[ZUH IIМ) принос ,y)eTj(aJ)> где >е € ЦС«.€3-,Р+), и выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение х € С ([а Д] • R П) , удовлетворяющее условию (0.19).

Теоремы 8.1 и 8.3 являются векторными аналогами теорем И. Т. Кигурадзе [п]и X. Ефезера[21]. См. также [23, 32, 33].

Теорема 8.4. Пусть выполняются условия теоремы 5.3, а < а0 » на 3Qo»ét^R^ соблюдается неравенство

Ш+ИУИМШЬ а на ^а, ~ неравенство выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение ос е C*(ía> ;

Теорема 8.4 обобщает как теорему 0.2, так и теорему 0.3 (см. замечание 8.5).

Теорема 8.7. Пусть выполняются условия теоремы 5.4, 0L£d0¿?oéí>, t > О , на Icio ,£[xR2h соблюдается неравенство а на R2^ -неравенство (й:И№*11, MIJO*- fít^JI + лт+тп^Ш), где н выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение ОС С с

Теорема 8.7 обобщает теорему 0.4 (см. замечание 8.7). Теорема 8.9. Пусть выполняются условия теоремы £ £ [J*^ и ПРИ кажД°м справедливо неравенство где £е и выполняется условие (0.21). Тогда краевая задача (0.1),(0.2) имеет хотя бы одно решение X 6 S] Г).

I) Если функции (i. - 1) > фигурирующие в теореме 5.4, ограничены на 3d, 6 [ »то это условие можно опустить (см. замечание 8.10).

0.22)

0.23)

Теоремы 8.7 и 8.9 охватывают небернштейновский случай, когда порядок роста | по ^ превышает два.

Примеры показывают, что если в неравенствах (0.22), (0.23) и (0.24ри = 1Д) ^Оши^О*-^^!-*заменить на к+Ц^||3+г(к,е>0), то теоремы 8.7 и 8.9 перестанут быть верными (см. замечание 8.6). Теорема 8.10. Пусть соблюдается условие при и^ь^ысх^оид), где (^¡Лг) £ А, В) • Тогда краевая задача (0.1),

0.2) имеет не более одного решения.

Теорема 8.10 обобщает теорему 0.5 и теорему II.6 из [12].

Из приведенных нами теорем с применением предложений 4.1-4.6 и 2.1 можно получить эффективные признаки разрешимости и однозначной разрешимости краевой задачи (0.1),(0.2).

В § 9 устанавливаются теоремы существования и единственности решения краевой задачи (0.1), (0.3) в сингулярном случае, когда ) . Доказываются теоремы, аналогичные приведенным для регулярной задачи (теоремы 9.1-9.7). Отдельно (в п. 9.4) рассматривается случай, когда дифференциальная система (0.1) имеет вид х"=1а,х). сод')

Т е о р е м а 9.8. Ц г0Ть |= С|< ^ДО* ЦТ) и на ^^(.^к соблюдаются неравенства где функции ^Н-аЦМН^) неотрицательны и суммируемы на [а, ] , причем система дифференциальных неравенств х1

Л2 г1

1 = 1,.» (0.26) при краевых условиях (0.3о) имеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (0.1'), (0.3о) разрешима.

С л е д о т^в и е . = и на соблюдаются неравенства (0.25), где функция ^ ({-а) ({5-1:)-^(Ч) неотрицательна и суммируема на а, -П , и)={{а-Ц"* при (I,И,.• •,к),

• •

Е все характеристические числа матрицы (Ч4)^ по модулю меньше, чем

ЗС*

Тогда краевая задача (0.1'), (0.3о) разрешима.

Предложенная в следствии оценка характеристических чисел является неулучшаемой (см. замечание 9.6).

Теорема 9.9. {^^¡¡а^Ю и на 1а,соблюдаются неравенства

I Г где функции Н-а] (-&-{]<& (4) неотрицательны и суммируемы на С^, , причем система дифференциальных неравенств (0.26) при краевых условиях (0.3о) имеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (0.1'), (0.3о) имеет не более одного решения. При этом если существует ненулевое решение системы (0.26), удовлетворяющее (0.3Q), то найдется такая вектор-функция (^ £ (]а,g[х» удовлетворяющая неравенствам (0.27), для которой задача (O.l'), (0.3Q) имеет бесконечное множество решений.

Теорема 9.10. Пусть удовлетворяются условия теоремы 9.9 и i

5 (i-*)№-t)|fM, ---Opi ¿ + ( ■ ■ h). a

Тогда краевая задача (O.l'), (0.3Q) имеет одно и только одно решение.

В § 10 изучаются разрешимость и однозначная разрешимость краевой задачи (0.1), (0.4) в сингулярном случае, ког

Основные результаты диссертации изложены в работах [з-9]. Они докладывались на научных семинарах Института прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского государственного университета, на IX и X конференциях математиков вузов Грузинской ССР (г. Батуми, 1981 г., г. Телави, 1983 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов по актуальным проблемам прикладной математики и механики (г. Тбилиси, 1981 г.) и на YIII школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Рига, 1983 г.).

Основные результаты этого пункта содержатся в трех тео-I) ремах. '

I) При аналогичные результаты получены в [12, 2(3

Теорема 9.8. Пусть на За^Сх соблюдаются неравенства

К " * о где фикции неотрицательны и суммируемы на [о() , причем система дифференциальных неравенств

У К

-и, (1=1>.»>М (9.48) d t j = 4 при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение^К Тогда краевая задача (9.45), (9.46) разрешима.

Следствие . Цусть на ] а,£[Х соблюдаются неравенства (9.47), где функция t (i-a неотрицательна и суммируема на ? ] > t-dj^-tf*ПрИ (9.49)

• •

О < 6g ^ % ^ ^ и все характеристические числа матрицы Q - по модулю меньше, чем

Jt

Тогда краевая задача (9.45), (9.46) разрешима.

Замечание 9.6. Предложенная в следствии оценка характеристических чисел является неулучшаемой. Действительно, пусть а-0 , у г 0 , К--1 и с^гЯ?. Нетрудно проверить, что скалярная задача и"- и(о)-о> 11(1) = О не имеет решения.

I) Решения подразумеваются в классе С([аД]

Теорема 9.9. Пусть на ЗаДСх]^1 соблюдаются неравенства где функции {, (-(г-сО ) ^) неотрицательны и сутлмируемы на [оц -§] , причем система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет не более одного решения. При этом если существует ненулевое решение системы (9.48), удовлетворяющее (9.46), то найдется такая вектор-функция удовлетворяющая неравенствам (9.50), для которой задача (9.45), (9.46) имеет бесконечное множество решений.

Теорема 9.10. Пусть удовлетворяются условия теоремы 9.9 и

5 '% О,. .,0)^4:^(14.,*). (9.51) а

Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет одно и только одно решение.

Следствие . Пусть на С^ ИЗ"" соблюдаются неравенства (9.50), где функции ^ определены равенствами (9.49), причем 0 ^ б^ , б^ ¿И , О и все характеристические числа матрицы — ( ^ п0 мо~ дулю меньше, чем

Пусть, кроме вышесказанного, выполняется (9.51). Тогда краевая задача (9.45), (9.46) имеет одно и только одно решение.

Замечание 9.7. Пусть функции -Ь->(-(:-о0(£-1:){1. Ф = неотрицательны, сутлмируемы и система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. Тогда, каковы бы ни были измеримые функции , удовлетворяющие неравенствам тГ при (9.52) линеиная дифференциальная система п.

J^V С^,-;*) (9.53)

Ott* j = i при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое решение. С другой стороны, если ОС—(Х1].^ - ненулевое решение системы (9.48), то X является решением системы (9.53), где oiVw.

J-T-r--— fcWbxk) при ЛШхЧфО кщ i j-, '

О при ¿£ij(t)|ocJU)|-0 Ь))- 1)- - -5 И. ). Очевидно, что функции ^ удовлетворяют неравенствам (9.52).

Прежде чем приступить к доказательству сформулированных выше теорем, нам придется привести некоторые вспомогательные предложения об оценке решении системы дифференциальных неравенств.

С использованием стандартных рассуждений легко доказывается

Лемма 9.8. Цусть функции -Ь —>(-(:-сх)(-&-1 .,1а), -I —=»■ ——(Чг) неотрицательны и суммируемы на С ос, % ] , причем система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) имеет только нулевое ре

- по шение. Тогда найдется такое что, какова бы ни быяа непрерывная вектор-функция X - (ОС.^^^ £ ffa.it удовлетворяющая наряду с (9.46) системе дифференциальных неравенств оИ*справедлива оценка

0 = 1 при (1-^1,.,к).

При этом если -¡^(-Ь) ЕЕ О , то = О.

Лемма 9.9. Пусть выполняются условия леммы 9.8. Тогда найдется функция ^ £ С (0х, У удовлетворяющая (9.18), такая, что, какова бы ни была непрерывная вектор-функция ос г (Хи)[г/| £ С^ос0а>££> , удовлетворяющая наряду с (9.46) системе дифференциальных неравенств справедлива оценка х(±)|| < ^(^)при ос ^ Ь ± При этом если =0 , то еО.

Доказательство . Подберем число по лемме 9.8 и положим г л 1 прж (9.55) а ЧИ

Докажем, что ул. и есть искомая функция. Легко видеть, что

О*»?]—* непрерьгона и удовлетворяет (9.18). фо*ь Удовлетворяет системе (9.54) и краевым условиям (9.46). Рассмотрим скалярных задач

- Е - № (9.56,) скХ ь и1(Л) = 0> и1(&) = 0 (9.57^)

1=1,. Поскольку (0,0) € Р0(а,-£) , согласно лемме 1.8, задача (9.56^), (9.57^) имеет единственное решение , причем при * 1(1-1,

Докажем, что х1(1)| < гс1(4:) при а % = (9.58)

Допустим обратное. Тогда для некоторого I € ишдутсятакие, что |х1(-У| - и х1("Ь)| > иЧ-Ь) >0 при ^ Ь (9.59)

Не ограничивая общности, можно считать, что хЧи >0 при "Ь^ ^ ^ Из (9.54) и (9.56^) находим ос4*1 п Ф й^ ¿-и . 1

Следовательно, так как ОС1 (£к) — КЛ'У (к-<\,1), имеем

Х1(±) при

Это противоречит (9.59).

Таким образом, справедливы неравенства (9.58). Поэтому вектор-функция удовлетворяет системе дифференциальных неравенств

I - - ■. |л £ + (1=1Г.,К)(9.60) и, согласно лемме 9.8, справедлива оценка Ъ0 при Гьг-!,. (9.61)

Ввиду (9.57^), (9.60) и (9.61), при любом Ь£ {V находим К

ИчкТ^при а ^£ I а а-И

Отсюда, в силу (9.55) и (9.58), вытекает требуемая оценка.

Лемма 9.10. Пусть функции ^ определены равенствами (9.49), где О б'<|,6'£</1 , > О и все • • \ и. характеристические числа матрицы — О /1 дулю меньше, чем по мо

ЗГ'

1<*

М]

Тогда система дифференциальных неравенств (9.48) при краевых условиях (9.46) тлеет только нулевое решение.

Доказательство . Пусть непрерывная вектор-функция X ~ (X1 )[*,, (]<*>£[ 5 является решением системы (9.48), удовлетворяющим краевым условиям (9.46). Легко показать, что существуют конечные пределы Ос'Ш и ЛьмХ'а) . Поэтому вектор-функция непрерывно дифференцируема на ь\ ♦ Положим X

-МГ^йРлри а

-оИ: сА-Ь I

1=1,.,к), ¿ФУ-",. а

Ввиду (9.46), при любом ^ ж игле ем Р 1

01 * ( а а

Следовательно, так как П^уу ^ ^ ПРИ а ^ ^г £ » полу

I) Эта оценка характеристических чисел является не-улучшаемой. чаем, что

9 ? 1 ¿У в) хУ+) а

•Ь (1= К).

Ввиду (9.48) и (9.49),

И. % j = i

4й П^х^Ди 1* Г^хчф

1=1 а ■ а л,.-4- « 4

Отсюда, применяя лемму II.II [12], находим л и та

1а

ОС

Поскольку все характеристические числа матрицы Г* по модулю меньше единицы, из полученного неравенства вытекает, что2 = 0(1=1,.^Следовательно, Х0Ь)= 0.Лемтла доказана.

Доказательство теоремы 9.8. Подберем функцию ^ по лемме 9.9, определим число равенством (9.23) и положим I к 1 О ^Ч-ЛЬЦ.).

Согласно лемме 1.3, дифференциальная система

• и ^^Л / и имеет хотя бы одно решение Хк = £ C (&,C|;R J> Удовлетворяющее краевым условиям (9.46). Ввиду лемглы 9.9, при любом натуральном к справедлива оценка (9.44). Следова-телыю, последовательности (xk)k/| и (OCj^ )^ равномерно ограничены и равностепенно непрерывны внутри lci,£E. Согласно лемме Арцела-Асколи, без ограничения общности можем считать, что (Х^.)^ и (ОС^равномерно сходятся внутри a, Í £ . Полагая

QCL(-t) -h^xhi:) при cL¿-i¿% (4=1,.,*)> в силу вышесказанного, получим, что вектор-функция X - (Xс) 16 С^ с (Ja,i [; £ к) является решением дифференциальной системы (9.45). Кроме того, ввиду (9.18) и (9.44), удовлетворяются краевые условия (9.46). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 9.9. С помощью лешлы 9.9 легко докажем, что задача (9.45), (9.46) имеет не более одного решения. Предположим теперь, что существует ненулевое решение системы (9.48), удовлетворяющее краевым условиям (9.46). Как было отмечено выше (см. замечание 9.7), найдутся измеримые функции : £ , удовлетворяющие неравенствам (9.52), такие, что задача (9.53),

9.46) имеет ненулевое решение. Таким образом, вектор-функ-h где

1 j = 4 удовлетворяет неравенствам (9.50), а задача (9.45), (9.46) имеет бесконечное множество решений. Теорема доказана. Теорема 9.10 легко доказывается с помощью теорем 9.8 Í1) и 9.9.

Если принять во внимание лемму 9.10, справедливость следствий теорем 9.8 и 9.10 станет очевидной.

§ 10. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ С СЖУЛЯРНОСТЯШ

Основываясь на идеях, которые были использованы в предыдущих параграфах данной главы, можно доказать аналогичные теоремы для смешанных задач с сингулярностями. В этом параграфе рассмотрены задачи (0.1), (0.4) и (0.1), (0.4о) и приведены соответствующие теоремы без доказательств. Всюду предполагается, что А>Э и

Определение 10.1. Пара функций (Яр, ¿г) называется парой Нагумо сингулярной краевой задачи (0.1), (0.4), если выполняются условия (3.16), (3.17), (3.25) и, кроме того, для любого сегмента [с^] С [сх, € С найдется сколь угодно большое число ^ такое, что справедливо соотношение (9.1).

Теорема 10.1. Пусть вектор-функция ^ обладает свойством \/(С°1, У » существует пара Нагумо (^Н) краевой задачи (0.1), (0.4) и на Ца,К2^ соблюдается неравенство (8.1), где ^бЦЬ,«]-,^). ^¿СМ+Ь СО бС(К+ 'эЗОэ+ооС) ж выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4) имеет хотя бы одно решение сс > удовлетворяющее условию (3.20).

Теорема 10.2. Пусть вектор-функция облапает свойством V(t*, € ], Ъ) » существует пара Нагумо (^"2) краевой задачи (0.1), (0.4о) и при каждом соблюдается (8.9р, где £ £ Ц[а> g].R+) , C(R+j R+) ' U)6 С(Р.+ )]0,4-оо[) и выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4о) имеет хотя бы одно решение X , удовлетворяющее условию (3.20).

Замечание 10.1. Если ^Pi&J-D , то в теореме 10.1 (10.2) можно считать, что вектор-функция ^ обладает свойством Vg0C(b,€[,tJ и функция /eLМожно также в неравенстве (8.1) (в неравенствах (8.9j)) вместо функции YOlSCIl) написать функцию ^ ft, Цос||) , где

С([Х£[ xR+ > R+).

Теорема 10.3. Пусть вектор-функция £ обладает свойством VeoC(b>€[,t) и справедливо (5.12), где ({Ibfiflje eR(a,8,A,0) , а £LioC(b,6C> R+) удовлетворяет условию 4 ± оо. (Ю.1)

OL

Пусть, кроме вышесказанного, на За,-6С X соблюдается неравенство (9.4), где Ц е UjMC) R+), %С(Ь,№®'> R+),

U)eC(R+5]0, ) и выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4Q) разрешима.

Теорема 10.4. Цусть вектор-функция f^Zl* []?(,£[ обладает свойством VeoC(b>£[A) и справедливо (5.12), где

UbPjeRMA©)' а ftoeL£eC([p#«[-,R+) удовлетворяет условию (10.I). Пусть, кроме вышесказанного, при каждом j 6 соблюдается (9.6j), где i 6 LgoC (Ь,£[ R+)'

I) Запись означает, что f е K^bi^R") и ^ € [Ч, J4 для любого сегмента С -ВС.

У е С(&>6СХ , и) € С(Р+>]0,+*>£) и выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4о) разрешима.

Теорема 10.5. Пусть выполняется (5.13), где

0 • а С>К+) давлетворяет условию (10.1). Пусть, кроме вышесказанного, на соблюдается неравенство (9.7), где ^ > 0 ,

1 £ и.е(Ь,«5и ЮбС(К+-,]0.+-С)и выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4о) разрешима.

Теорема 10.6. Пусть выполняется (5.13), где летворяет условию (10.1). Пусть, кроме вышесказанного, ^ £ [а, € [ и при кавдом ^ 6 И > соблюдается (9.9^, выполняется условие (7.35). Тогда краевая задача (0.1), (0.4о) разрешима.

Теорема 10.7. Пусть соблюдается условие (8.18), где • Тогда краевая задача (0.1),

0.4) имеет не более одного решения.

1. Бернштейн С. Н. Об уравнениях вариационного исчисления. Успехи мат. наук, 1940, т. 8, с. 32-74.

2. Васильев Н. И., Клоков 10. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зи-натне, 1978. - 184 с.

3. Гаприндашвили Г. Д. 0 разрешимости нелинейных двухточечных краевых задач. Тезисы докл. IX конф. математиков вузов ГССР, Батуми: Сабчота Аджара, 1981, с. 58.

4. Гаприндашвили Г. Д. 0 разрешимости одной двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Труды Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа, 1983, т. 14, с. 14-51.

5. Гаприндашвили Г. Д. Об одной двухточечной краевой задаче для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Тезисы докл. X конф. математиков вузов ГССР, Тбилиси: Изд-во Груз, политехи, ин-та им. В. И. Ленина, 1983, с. 43.

6. Гаприндашвили Г. Д. О разрешимости одной нелинейной двухточечной краевой задачи. Сообщ. АН Груз. ССР, 1984, т. 114, Л I, с. 53-56.

7. Гаприндашвили Г. Д. Об обобщенных решениях одной нелинейной двухточечной краевой задачи. Сообщ. АН Груз. ССР,1984, т. 114, № 2, с. 257-260.

8. Гаприндашвили Г. Д. Об одной краевой задаче для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностями. Дифференц. уравнения, 1984, т. 20, № 9, с. 1514-1523.

9. Гогиберидзе Н. В., Кигурадзе И. Т. К вопросу не-осщшшционности сингулярных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, №11, с. 2064-2067.

10. Кигурадзе И. Т. О некоторых сингулярных краевых задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 10, с. 1753-1773.

11. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1975. - 352 с.

12. Кигурадзе И. Т., Лежава Н. Р. К вопросу разрешимости нелинейных двухточечных краевых задач. Матем. заметки, 1974, т. 16, № 3, с. 479-490.

13. Клоков Ю. А. Некоторые краевые задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. -Латв. мат. ежегодник, 1966, вып. 2, с. Ш-121.

14. Лепин Л. А. Предельные свойства обобщенных нижних и верхних функций. Латв. мат, ежегодник, 1980, вып. 24,с. 124- 132.

15. Лепин Л. А. Обобщенное решение и разрешимость краевых задач для дифференциального уравнения второго порядка. -Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 8, с. 1323-1330.

16. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. Москва: Наука, 1974. - 480 с.

17. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 1970. - 720 с.

18. Шехтер Б. Л. Об однозначной разрешимости одной линейной двухточечной краевой задачи. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, № 4, с. 687-693.

19. Шехтер Б. Л. Об одной краевой задаче для двумерных разрывных дифференциальных систем. Труды Ин-та прикл. Мат. им. И. Н. Векуа, 1980, т. 8, с. 79-161.

20. Ephezer П. Über die Existenz der Lösungen von Handwertaufgaben mit gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Math. Z., 1955» 61, N 4-, S. 435-4-54.

21. Hartman Ph. On boundary value problems for systems of ordinary nonlinear, second order differential equations.-Trans. Amer. Math, Soc., 1960, v. 96, N 3, p. 493-509«

22. Heidel J. A second order nonlinear boundary value problem. J. Math. Anal, and Appl., 1974, v. 4-8, IT 2,p. 49З-5ОЗ.

23. Heinz E. On certain non-linear elliptic differential equations and univalent mappings. J. anal. Math., 1956/1957, v. 5, P. 197-272.

24. Hukuhara M. La propriété de Kneser globale et le problème aux limites. Pubis. Pes. Inst. Math. Sei., 1966, ser. A, v. 1, И" 2, p. 129-148.

25. Hukuhara M. Families knesériermes et le problème aux limites pour l'équation differéntielle ordinaire du second ordre. Pubis. Pes. Inst. Math. Sei., 1967» ser. A, v. 3, H 2, р. 24-З-27О.

26. Iwano M. Applications of Nagumo-Hukuhara theory onthe boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations to Abrikosow problem and Falkner-Scan problem. Ann. Mat. pura ed appl., 1977, v. 113, p. 303-392.

27. Kaminogo T. Boundary value problems for ordinary differential equations. Tohoku Math. J., 1977, v. 29, N 3, p. 449-461.

28. Mawhin J. The Bernstein-Nagumo problem and two-point boundary value problems for ordinary differential equations. Qual. Theory Differ. Equations, Vol, 2, Amsterdam e. a., 1981, p. 709-740.

29. ITagumo M. Über die Differentialgleichungzz ^(x,^-, . Proc, Ihys.-Math. Soc. Japan, 1937, B. 19(3), S. 861-866.

30. Schräder K. Existence theorems for second order boundary value problems. J# Different. Equat., 1969, v. 5, N 3, P. 572-584.

31. Seorza-Dragoni G. Sul problema dei valori ai limit! per i systemi di equazioni differenziali del secondo ordine. Boll. Un. Mat. Ital., 1935, v. 14, p. 225-230.

32. Tonelli L. Sullf equazione differenziale