Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЫСТРЕЦКИЙ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 д "р ¿0?2

Воронеж - '2012

Работа выполнена в Вологодском государственном педагогическом

университете

Научный руководитель:

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита состоится 17 апреля 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж. Университетская пл., 1, ВГУ, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан марта 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук,

профессор Гликлих Ю.Е.

доктор физико - математических иаук, профессор Наймов Алижон Набиджанович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических паук, профессор Каменский Михаил Игоревич

доктор физико - математических наук, профессор Климов Владимир Степанович

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости трегьей двухточечной краевой задачи вида

= .: , ?') +Ж0 < * < 1, г 6 К", (1)

з'(0) = Л„(г(0), -(1)) + Л0(г), г'(1) = /1,(^(0), г(1)) + ВД, (2) где отображения

Р: [0,1] х В." х К" К", /: [0,1] х Е" х Еп ь-> Е",

А0, Ах: Е™ х В" ^ Е", /г0,1ц: С1 ([0,1]; В") ^ Е'г непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) Р(£, Л -1, А~2) = Л"'Р(7, гь г-2) для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

2) А ^Хги А го) = А,4;(гь г2) для всех А > 0, } = 0,1;

3) шах гь г2)|(|г1| + ЫГ" 0 при + |г2| -> оо;

4) Р|!р1|^(;)!->0лри ||г||с1 -»00, ¿=0,1.

Здесь через С'1 ([0,1];Е") обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

М1с = \\4с + \\A\o = шах |г(4)| + пих |х>(«)|.

В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р, Ао, Ах являются главными нелинейными членами, а отображения /. Лр, Лх — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Ао, А\. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С1 ([0,1];Е") или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.

В работах С. Н. Бернштейна, Н.Нагумо, К. Шрёдера, Ю.А. Клокова в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" — /(¿. У, у'), в случае когда правая часть / относительно у имеет

порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задала не с первыми краевыми условиями, а с третьими.

В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н.Наимова краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей Р(Ь,х,у) = 0 состоит лишь из поверхности у = 0. Основная проблема состоит в согласовании множества нулей Р(Ь,х,у) — 0 с отображениями Ао: Аъ участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей Р(£, х, у) = 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности у = В(Ь,х) или из двух гиперповерхностей у — Б^.т), у = В2^,х). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения.

Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной .т'(£) решения через само решение х(Ь).

2. Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных

членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

3. В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении Р, Ло, А\ и при любых возмущениях /, Ло, п.\.

4. Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях п = 2 и п ^ 2.

5. При п = 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Вологодском государственном техническом университете и в Вологодском государственном педагогическом университете, на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 20082011 г.г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (Вологда, 2008-2009 г.г.), на шестой международной научно-технической конференции «ИНФОС-2011» (Вологда, 2011 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения» (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э.М Мухамадиева, Душанбе, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[9]. Из совместных публикаций [2], [3], [5], [9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [5) и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы — 125 страниц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию условий существования априорной оценки решений третьей нелинейной двухточечной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдены достаточные условия существования априорной оценки, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль как на одной нетривиальной гиперповерхности, так и на двух нетривиальных гиперповерхностях. Вначале рассматриваются нелинейные краевые задачи общего вида

= + Q<t<í, г е Е", (1.)

¿'(0) = /¡„(¿(0)^(1)) + ВД, = А1(г{0), г(1)) + /г, (4 (2)

Непрерывные отображения Р. /: [0,1] х Е" х Е" н^ К"-, ^: Е" х Е* Е'\ /го, : С ([0,1]; Еп) ь-> Е" удовлетворяют условиям:

1) Агь Хаг2) = АтР(Мъ г2) для всех А > 0 и фиксированных т, а таких, что 0 < а < 1 < то;

2) А,-(Агь Аг2) = А г2) для всех А > 0, ] - 0,1;

3) гаах |2ь z2)\(\zl\ + \г2\)~'^а 0 при |г1| + Ы ос;

4) 0 при ЦгЦ^ -V оо, з = 0,1.

Здесь через С1 ([0,1]; Еп) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

\\4р = Ыс + Н~'1!с = так т\ + тах

Будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если множество решений задачи либо пусто, либо ограничено по норме пространства

СЯ([0,1]; К").

В отличие от линейных систем, для доказательства нелокальной продолжимости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо оценить производную их решений. Для системы (1), если решения, выпущенные из точки < = 0, непродолжимы до точки Ь = 1, то естественно решение краевой задачи (1), (2) не существует, поэтому необходимо исключить такие случаи. Справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть при любом т0 € [0,1] система

у/ = Р{ т„, 0, и;)

пе имеет ненулевых ограниченных на промежутке (—оо, оо) решений. Тогда существует постоянное М\ такое, что для любого решения г{Ь) задачи (1), (И) справедлива оценка

для всех Ь € [0,1].

Дальше рассматривается случай, когда множество нулей главной нелинейности Р состоит ш одной гиперповерхности, и выясняется, как должны быть согласованы краевые условия, чтобы имела место априорная оценка. Рассмотрена краевая задача

;/' = 0((^-С(М)) + ДМ,;% 0 < £ < 1, геГ, (3)

г'(0) = Мт, г(1)) + Ш, ^(1) = ^(2(0), 2(1)) + ВД. (4)

Непрерывные отображения С),С\ [0,1] х Е" ^ К", /: [0,1] х К" х К." ^ К", Ло,Лг: 21" х Е" н-» II", /г0, Ы: С1 ([0,1];Е") ь» К" удовлетворяют условиям 2)~4), а также условиям:

5) = Х'пС}(1, г) для всех А > 0 и фиксированного т > 1;

0) Аг) = 2) для всех А > 0;

7) при любых фиксированных ¿о С [0,1] автономная система

не имеет ненулевых ограниченных решений;

8) для всякого ненулевого решения системы г' = С(Ь, г), если Ло(г(0), г(1))-

- С(0,г(0)) 6 Ь+(р(0, -)), то ^1(0(0), г(1)) - С(1,д(1)) £ М£'(М),

где через £+(£?(0, •)), Ь_(<2(1, •)) обозначены множества точек из Ж", для которых выпущенные из них траектории систем ?/ = (?(0,г')> = <2(1»^) ограничены при í > 0, £ < 0.

Верна следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 2)~8), тогда задача (3), (4) допускает, априорную оценку.

Далее рассмотрена краевая задача

= (¿(1, (У - В^. ~ Ы1; ~)УП2) + Ж г. (Г))

0 < * < 1, з € С,

/(О) = ^(г(О),г(1)) + йо(г0, ~'(1) = г(1)) + /ц(~~), (С)

где € — комплексная плоскость, т\, ?пг — фиксированные натуральные числа. Отображения Я,ВиВ2: [0,1]хС С, /: [0,1] х€хС С, Л0, А\ : СхСмС, Но, : СГ71 ([0,1]; С) 1-» С непрерывны и удовлетворяют условиям:

9) существует т > |т2 такое, что СЦу, Аг) = Ат<2(£, г) для всех А > 0;

10) В^, Хг) = АВД*, г) для всех А > 0, ( £ |0,1], 3 = 1,2;

11) ЛДАгь Аг2) = ААД^ь г2) для всех А > 0, * е [0,1], ./ = 0,1;

12) тах 22)|(|г1|+ |г2|)_" -» 0 при ¡2x1 +Ы -» то. гдеп = го(т1+т2);

13) Ы\с}Мг)\ -> 0 при ||г||С1 оо, з = 0,1;

14) ВДг) = В2(г,г) или В^г) ф для всех í б [0,1], г € С\{0};

15) при любых фиксированных 1о Е [0,1], го € С система

V' = (V - Вх{1 о, ;0))">' - Вг(*с, ¿о)Г2) не имеет нестационарных ограниченных решений;

16) при ] — 1,2 для всех ненулевых решений л(£) системы / = В$,г) либо Ло(г(0),г(1)) £ ¿+((3,-8(0)), либо Аг(г(0),г(1)) £ £-(<?> *(!))■

8

Через L^lQyZo) обозначено множество точек из С, для которых выпущенные из них траектории системы г/ - Q(0, (v - Вi(0, z0)))m,(v - Б2(0, го)))"") ограничены при t > 0. Множество точек, из С, для которых выпущенные из них траектории системы и' = Q( 1, (v-Bi(l, .Ji))mi(v-B2(l, «i))m') ограничены при t < 0, обозначено через L-(Q, Z\). Справедлива теорема.

Теорема 1.3. Задача (5), (0) допускает априорную оценку, если выполнены условия 9) 16).

В завершении главы рассмотрены краевые задачи вида

z" = (z1 - hz)-«Hz' - b2z)"•* + f(t, z, z'), 0 < í < 1, z£C, (7) z'{ 0) = aÜOz{ 0) + a01;(l) + 1ф), zf(l) = огог(0) + ацг(1) + Ai (г), (8)

где mi, m-2 — натуральные числа, í>i, í^, fou, «оь ящ, ~~ заданные комплексные числа, /, /?0,1ц — непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям 12) и 13) при т = iii\ + т-2- Введено обозначение

B(bh bi) = {б € С : Ъ = (1 - /t)bi + цЬг, М £ [0,1]}.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.4. Пусть для любых zQ £ С \ {0} и b € B(b\,b2) выполняется хотя бы одно из двух условий:

1) решение завачи

v' = '{v - 6i20)mi('y ~ Щ = aoo¿o + aQ1ebZQ, v € C,

неограничено при t > 0;

2) решение задачи

v =■ (v - b\ebZ\))ms(v ^еЛго)"'2, v(0) = «ю-о + anebzo, v e €,

неограничено при t < 0.

Тогда задача (7), (S) допускает априорную оценку.

Во второй главе з случае п > 2 и в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи. Доказана инвариантность свойства разрешимости. С помощью

топологических методов вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Вначале рассматривается разрешимость краевых задач вида (3), (4). Задача (3), (4) называется разрешимой, если при любых /, Но и /¿1, удовлетворяющих условиям 3), 4), существует хотя бы одно решение задачи (3), (4).

Через Ит обозначено множество всех троек (/, /га, /11), удовлетворяющим условиям 3) и 4), через Рт — множество всех четверок Ац, Ау), удо-

влетворяющих условиям 5)-8). На множестве Тт можно задать метрику. Два элемента метрического пространства Тт называются гомотопными, если их можно соединить линией, целиком лежащей в Рт, такая линия называется гомотопией.

В предположении, что гомотоггая (<2л,Сл, Лод^л), А £ [0,1], соединяет четверки (<2о,Со,Ло,о,Ао)> (<2ь С\, Ад.Лд) в пространстве Тт, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть задача (3), (4) разрешима при ф — <2о> С = О'о, Л0 = Л),о, Ах = Аи0 и любых (/, /го, 1ц) из Ц,п. То?да задача (3), (4) разрешима и при С} = С}\, С = С71; Ао — А0,1, А\ = Лхд и любых (/, Л,0,1ц) из Л,п.

Теорема 2.1 легко обобщается для задал (5), (6) и (7). (8).

Дальше рассматривается разрешимость краевых задач следующего вида

х" = (Э(х') + /(¿, х,х'), 0 < 4 < 1, х £ К", (9)

¿{0) = Л(х{0)) + Чх), х(1)=А(х(0)) + }г1(х). (10)

Непрерывные отображения С), А: К" ^ Е'\ /: [0,1] х В" х К" ^ Е'\ До, /и: (^([О,1]; К")К" удовлетворяют условиям:

17) С>{\х) = Ат<Э(х) для всех А > 0 и фиксированного та >1; .

18) А(Хх) - АА(х) для всех А > 0;

19) (МоА) е^т-

Задача (9), (10) в пространстве в = С([0,1];К") х С([0,1];Еп) с нормой ||(х,у)|| = ||ж||с + 1М|с, гдр (х,у) 6 О, х,у € С([0,1];Н"), порождает вполне

непрерывное векторное поле

( 1 £ •К.''- У) - (х, у) - .1(0) + /ц(х) - М-г) - ¡(Я(у) + /(*, х, у)) (Ь + / у(з) аз, V о о

Л(.г(0)) + /го(а-) + ¡((¿(у) + }{1,х, у)) ж) .

о

А именно, если х — решение краевой задачи (9), (10), то пара (х,х') £ С будет особой точкой поля Ф, т.е. Ф(х,х') = 0. Обратное также верно. Отсюда можно сделать два вывода:

1) если краевая задача допускает априорную оценку, то определено вращение 7эс(Ф) поля Ф на сферах достаточно больших радиусов пространства 0\

2) если определено вращение. 7оо(Ф) ы 7оо(Ф) Ф то краевая задача имеет хотя бы одно решение.

Для положительно однородных отображений С} и Л, невырожденных на единичной сфере в К", через 7'(-4) обозначены их вращения на данной

сфере. Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Пусть система

у' = V € К",

не имеет ненулевых ограниченных решений и пусть отображение А невырождено на единичной сфере 6 Н". Тогда имеет место равенство

7ос(<1>) - 7(СЭЫЛ),

следовательно, если 7((5)т(-4) ф 0, то краевая задача (9), (10) имеет хотя бы одно решение.

Далее рассмотрены краевые задачи вида

х" = |а:' - Ох\"1-\1{х' - Пх) + /(/, х, х), 0 < < < 1, х £ Ш", (11)

х'(О) = Воох( 0) + В01х(1) + Ло(х), , .

х'(1) = Вюх(0) + Впх{ 1) + Ы{х), ( '

где О, <7, Дга, В(ц, £>ц — постоянные квадратные матрицы порядка п,

отображения /: [0,1] х К" х Еп Е", Л,,,^: С1([0,1];И") >-+ Е" лежат во

множестве ~Ят. Здесь отображения <5, Л0, Аг имеют вид (¿(г) — \х\т~13г, А](х,у) = Взох + В^у, ] = 0,1. Через П+, П_ обозначены проекторы пз Еп в подпространства £+(«/), £_(./)• Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть матрица 7 не имеет чисто мнимых собственных значений и пусть матрица

Е = П_ (До + В01е° - И) + П+ (В.0 + Впе° - £>е°) невырождена. Тогда задача (11), (12) разрешима.

Вторая глава завершается рассмотрением краевой задачи

г" = Q{i{z' - Ог)+ f{t,z,z'), 0 < / < 1, гбГ, (13)

г'{0) = Лоог(О) + Л0!г(1) + Л0(г), г'(1) = Л102(0) + Апг(1) + /ц(г). (14)

Здесь П, А)о, Лоь Лщ, Лц — квадратные матрицы порядка п, (/, /?гь /и) £ автономная система и' = фо(м) не имеет ненулевых ограниченных решений, а вращение 7(<2о) конечномерного поля <Зо- Е" ь-» Е" отлично от нуля.

Теорема 2.4. Пусть матрица Р = Лоо + Ладе0-Г1 невырождена и имеет место равенство

Лоо + Лте° - £> = Лю + Лце° - £>е°. Тогда задача (13), (Ц) разрешима.

В третьей главе изучены достаточные условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи на плоскости. Решена задача гомотопической классификации в отдельных случаях. Вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Глава начинается с рассмотрения разрешимости краевой задачи

г" = (г' - Ъг)Г 4- /(*, г, г'), 0 < I < 1, гбС, (15)

¿(О) = аоог(О) + 0,012(1) + ¡г0{г), г'(1) = йюг(О) + апг{ 1) + /ц(г), (16)

где аоо, аоь аю, ац — комплексные числа, т — целое число, большее единицы, (/,/10,^1) Е Вводится метрическое пространство Мт — множество векторов (6,аоо,ао1,а1о,ац) € С3, удовлетворяющих условиям:

20) число («оо + яо1 сь - Ь)(аю + аись - бе'') не равно нулю;

21) аге[(ооо + а01еь - Ь)/{а10 + аие» - Ъс»)\ ф к = 0,1,.. .,т.

Для задачи (15), (16) при каждом элементе (Ь,ам,ат,ак),ап) & Мт имеет место априорная оценка и в каждой связной компоненте пространства Мт свойство разрешимости краевой задачи (15), (16) сохраняется. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Любой элемент из Мт можно гомотопировать к элементу (0,1,0, а, 0), где а = (ат+атеь-Ь)/(аю+апеь-Ье''). Множество Мт состоит из т + 1 связной компоненты, каждая связная компонента определяется принадлежностью числа а к одному из множеств

ДО = {а 6 С \ {0} : аге, + € } , , = 0,1,..., т.

1 (_ т +1 \т + 1 т +1 / ]

В силу теоремы 3.1 достаточно исследовать разрешимость краевой задачи (15), (10) для элементов (0,1,0,«, 0) 6 Мт. Для этого вводится вполне непрерывное векторное поле

Фа(у, z) = (у, г) - (7(Г + Ж Я, У)) ¿з + г(0) + /*,(*), \о

/ у + аг(0) + /ц(г) - Ло(г) - /(Г" + /(*, г, у))

О о }

где (у, £) — пара функций из пространства Е = С([0,1]; С) х <7(;0,1]; С). Всякая особая точка поля Фа является решением задачи (15), (16) для элемента (0,1,0, а, 0) е Мт и наоборот. Имеет место теорема.

Теорема 3.2. Вращение 7оо(Фа) поля Ф14 на сферах достаточно большого радиуса пространства Е определено и справедлива ыедующая формула

, . I — т, если а € N0,

Тоо(Фа) = < 1

[ I, иначе.

Следовательно, для любого элемента (Ь, адо, аоь а1СЬ «п) 6 Мт краевая задача (15), (16) разрешима.

Далее рассмотрена краевая задача

г" = (;' - М)Ш1(2' - М'п2 + /(*» ^ «')» 0 < 4 < 1, г £ С, (17)

13

г'(0) = аоог(О) + а0^(1) + Н0(г), г'(1) = а10г(0) + аиг(1) + /и (г), (18)

где 61,62,000,001,«ю, ап € С, шь 7п2 — натуральные числа, (/, /г0, /и) С т = ?П1 + 7712- Введено обозначение

Я(6х, 62) = {6 € С : 6 = (1 - + /Л2, /'• £ [0,1]}

и доказана

Теорема 3.3. Пусть при любых Ь2 6 £(61,62), 6 € £(61,62) следующее числа, отличны от нуля

ода+от^' ~ аю+оце'

^ = / (4 - 61)"'1 (4 - 62)'П2 Л, Ех = / (4 - бк^)"'1 (4 - Ь2ес)"12 Л,

аоо+ао1в'' ~ "ю + оце' „

/ (4-61)"»»(4-62)^Л, £2= / (£ — Ь\е')Шх{1 — бгс'О'"2 и выполнены условия

агё§^(2г + 1)тг, /,-../ 1.2. г еж. Г]

Тогда краевая задача (17), (18) разрешима.

Дальше рассмотрена гомотопическая классификация краевых задач вида

г" =7т+ /(*,*,/), 0<*<1, геС, (19)

з'(0) = г(П) + }ф), г'(1) = Л~(0) + ^(г). (20)

Здесь т — целое число, большее единицы, тройка (/, 1ьц, Н\) £ 'К,,,, линейное отображение. А: € С удовлетворяет условию:

22) Аг0 ф 0, а1'ё(Л2о) ф 2кк/(т 4- 1), к = 0,1,... ,т?г для любого ненулевого г0 £ С, ащ го = (2?1 + 1)тг/(т + 1). п = 0,1,..., т.

Из теоремы 1.2 следует, что задача (19), (20) допускает априорную оценку. Через Рт обозначено множество линейных отображений /г. С >->• С, удовлетворяющих усяовию 22). На множестве Рт определена метрика. Доказано, что множество Р-2 состоит из 24 связных компонент, а множество Р> — из 1С. В завершение найдены достаточные условия разрешимости краевой задачи

г" = (г1-В1(г))^(г'-В2(г)Г> + 1И,г,г'), 0 < I < 1, г £ С, (21)

~'(0) = Л0(г(0),;(1)) + h0(z), z'( 1) = Л](г(0),л(1)) + /ц(г), (22) где (/, /г0, ¡и) б Те,,,, числа тъ тг постоянные натуральные, m = тj + m2, отображения Bi,i?2: Си С, Л0, Л1: С х С н-> С непрерывны и удовлетворяют условиям:

23) В;(А~) = Aß,-(.s) для всех А > О J = 1,2;

24) Л^А;Ь А.~2) = АЛ^л, z2) для всех А > 0, j = 0,1.

Публикации автора по теме диссертации

[1] БыстрецкийМ. В. О третьей двухточечной краевой задаче на плоскости. / М. В. Быстрецкий /'/' Вузовская наука — региону: Материалы шестой всероссийской научно-технической конференции. В 2-х т. — Вологда: ВоГТУ, 2008. — Т. 1. - С. 65 -69.

[2] БыстрецкийМ. В. О третьей двухточечной краевой задаче на плоскости. / М. В. Быстрецкий, А. Н. Наймов // Труды воронежской зимней математической школы С.Г.Крейна- 2008. - Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 48-53.

[3] Быстрецкий М. В. Об оценке производных решении третьей нелинейной краевой задачи на плоскости. /' М. В. Быстрецкий, А. Н. Наймов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. — Воронеж: ВорГУ, 2009. -С. 35-30.

[4] Быстрецкий М. В. Априорная оценка решений третьей нелинейной краевой задачи на плоскости. / М. В. Быстрецкий // Вузовская наука — региону: Материалы седьмой всероссийской научно-технической конференции. В 2-х т. - Вологда: ВоГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 33-37.

[5| БыстрецкийМ. В. Об априорной оценке и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи / А.Н.Наимов, М. В. Быстрецкий // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - №2. - С. 280-284. - РАН ISSN: 0374-0641.

[0] Быстрецкий M.B. О разрешимости одной краевой задачи на плоскости. / М. В. Быстрецкий // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понгрягинские чтения -XXII». - Воронеж: ВорГУ, 2011. - С. 38-39.

[7] БыстрецкийМ.В. О гомотопической классификации одного множества нелинейных краевых задачи на плоскости. / М.В.Быстрецкий // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения», посвященной 70-летию профессора Э. М. Мухамадиева. — Душанбе: Институт математики АН РТ, 2011. — С. 20-21.

[8] БыстрецкийМ.В. О разрешимости одной краевой задачи на плоскости. / М.В.Быстрецкий // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 6-й международной научно-технической конференции. - Вологда: ВоГТУ, 2011. •- С. 34-38.

[9] БыстрецкийМ.В. Об одном классе нелинейных краевых задал для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / М.В.Быстрецкий, А. Н. Наймов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - Воронеж: ВорГУ, 2011. - Ш - С. 73-77.

Работы [5] и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 27.02.2012. Заказ № 143. Формат 60x90/16. Тираж 100 экз. Отпечатано в «ИП Киселев A.B.», 160022, г. Вологда, Пошехонское шоссе, 18.

61 12-1/689

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЫСТРЕЦКИЙ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Наймов Алижон Набиджанович

Вологда - 2012

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Априорные оценки 24

§1.1 Основные результаты................................................24

§1.2 Оценка производной..................................................32

§1.3 Априорная оценка: случай одной гиперповерхности..............40

§1.4 Априорная оценка: случай двух гиперповерхностей..............43

Глава 2. Разрешимость краевых задач в п-мерном случае 59

§2.1 Основные результаты................................................59

§2.2 Инвариантность свойства разрешимости............................66

§2.3 Свойства систем вида т! = \г\т~1Сг................................68

§2.4 Гомотопическая классификация невырожденных квадратных

матриц..................................................................78

§2.5 Доказательство теорем о разрешимости............................81

Глава 3. Разрешимость краевых задач в двумерном случае 92

§3.1 Основные результаты ................................................92

§3.2 Автономные системы с положительно однородной нелинейностью. 99 §3.3 Гомотопическая классификация и разрешимость: случай одной

гиперповерхности......................................................101

§3.4 Разрешимость в случае двух гиперповерхностей..................115

Литература 121

Введение

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида

г" = + 0<£<1, геЯп, (1)

¿(0) = Л)(.г(0), 2(1)) + Лой, ^(1) = Аг(г(0), *(1)) + /г^), (2) где отображения

Р: [0,1Г, /: [0,1] х Еп х Еп ^ Еп,

А0, Аг: Еп х Еп ^ Еп, /г0, /ц : Сг([0,1]; Еп) ^ Еп непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) Л^х, А^) = АТОР(£, ^1,^2) Для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

2) Aj(Xzl, Л^г) = ЛАг(2:1,2:2) для всех Л > 0, = 0,1;

3) тах\/{г,гиг2)\(\г1\ + Ы)~т 0 при \гг\ + |2г2| оо;

4) \Ну(г)\ —У 0 при Н-гЦс1 оо, ^ = 0,1.

Здесь через С1([0,1];ЕП) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

|Ыи = \\г\\с + \и'\\с — шах \ги)\ + тах \г'и)\.

1 " ....... 1

В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р, Ло, А\ являются главными нелинейными членами, а отображения /, До, — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются

в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Ао, А\. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С1 ([0,1]; Еп) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.

Исследованию априорной оценки и разрешимости двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены многочисленные работы. Среди них отметим классические и фундаментальные работы С. Н. Бернштейна [4-6], М.Нагумо [27], а также работы Ю.А. Клокова [17,18], К.Шрёдера [44], Н.И.Васильева [8], А. Я. Ленина [20], А. И. Перова [16], М. А. Красносельского [14,15,19], В. В. Филиппова [39-41], Э. М. Мухамадиева [22-26], А. Н. Наимова [28-31]. В последние годы двухточечные краевые задачи исследовались в работах R. Agarwal [1], Y. An [2], В. Ahmad [3], F. Geng [9], R.Du [10], Y. Ermachenko [12], Z.Zhou [13], Z. Han [7], P. Cerda [38], X. Chang [43].

В указанных работах С. Н. Бернштейна, Н. Нагумо, Ю.А. Клокова, К. Шрё-дера, А. Я. Лепина, Н. И. Васильева в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" = /(¿, у, у'), в случае когда правая часть / относительно у' имеет порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими. При этом актуально применение методов нелинейного анализа таких, как метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей.

В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н. Наимова [26, 28,30,31] краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P(t,x,y) = 0 состоит лишь из поверхности у — 0. Основная проблема состоит в согласовании множества

нулей Р(1;,х,у) = 0 с отображениями Ао, участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей Р(1,х, у) — 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности у = В{Ь, х) или из двух гиперповерхностей у = В^, х), у = В2^,х). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения, так как вышеуказанные методы непосредственно неприменимы.

Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной решения через само решение х{Ь).

2. Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

3. В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении Р, Ао, А\ и при любых возмущениях /, /го,

4. Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях п = 2 и п ^ 2.

5. При п — 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в ряде выступлений на научном семинаре по актуальным проблемам математики и ее приложений в Вологодском государственном техническом университете (руководитель — профессор Э. Мухамадиев, 2008-2011 г.г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Вологодского государственного педагогического университета (руководитель — профессор А. И. Зейфман, 20082010 г.г.), на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 2008-2011 г.г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (Вологда, февраль 2008 г., 2009 г.), на шестой международной научно-технической конференции «Инфос-2011» (Вологда, 24-25 июня 2011 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения» (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э. Мухамадиева, Душанбе, 28-30 июня 2011 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 работах [В1]-[В9]. Из совместных публикаций [В2], [ВЗ], [В5], [В9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [В5] и [В9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы — 125 страниц.

Содержание работы

Первая глава посвящена исследованию условий существования априорной оценки у третьих нелинейных двухточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдены достаточные условия существования априорной оценки как в случае, когда главная

нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной нетривиальной гиперповерхности, так и в случае двух нетривиальных гиперповерхностей.

Во второй главе для n-мерного случая в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости для третьей нелинейной краевой двухточечной задачи. Доказана инвариантность свойства разрешимости. С помощью топологических методов вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

В третьей главе для краевой задачи на плоскости изучены достаточные условия разрешимости третьей нелинейной краевой двухточечной задачи. Решена задача гомотопической классификации в отдельных случаях. Вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Изложим отдельно по главам содержание основных результатов диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются нелинейные краевые задачи вида

z" = P(t,z,z') + f{t,z,z'), 0<t<l, ze Rn, (1)

2;(0) = Л0(2(0), 2(1)) + h0(z), z'(\) = Ai(*(0), 2(1)) + hx(z), (2) где отображения

P: [0,1] x ЕГ x Rn н» Rn, /: [0,1]хГхГ4 Rn,

A0; ЛьГхЕМ IT, h0, h: ^([0,1]; ЕГ) ^ Rn непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) P(t, Xzi, Xaz2) = XmP(t, 21,22) для всех Л > 0 и фиксированных т, а таких, что 0 < а ^ 1 < т;

2) Aj(Xzi, Л22) = XAi(z\, Z2) для всех Л > 0, j = 0,1;

3) max \f{t, 2Ь z2)\{\z1\ + \z2\)-m'a ^ 0 при Н + Ы-^сю;

4) \\z\\^\hj(z)\ 0 при ||21|(71 ОО, j = 0, 1.

Здесь через С1 ([0,1]; Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

\\z\W = \\z\\c + \\A\c = max \z(t)I + тах \z'{t)\.

м II II II 0^1

Будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если множество решений задачи либо пусто, либо ограничено по норме пространства ^([0,1]; К/1)-

В отличие от линейных систем, для доказательства нелокальной продолжимости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо оценить производную их решений. Для системы (1), если решения, выпущенные из точки t = 0, непродолжимы до точки t = 1, то естественно решение краевой задачи (1), (2) не существует, поэтому необходимо исключить такие случаи. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть при любых То £ [0,1] система

V/= Р(г0,0,w)

не имеет ненулевых ограниченных на промежутке (—оо,оо) решений. Тогда существует постоянное М\ такое; что для любого решения z(t) задачи (1), (2) справедлива оценка

\z'{t)\ ^ Mi(l + \z{t)\) для всех t е [0,1]. (4)

Теорема 1.1 является обобщением аналогичной теоремы, сформулированной и доказанной в работе [30], где рассматривается лишь случай а = 1.

Приведенная теорема является первым шагом к нахождению условий, при которых задача (1), (2) допускает априорную оценку. В работах Нагумо [27], Шрёдера [44], Клокова и Васильева [8] было доказано, что для систем сильно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка первая краевая задача не всегда допускает априорную оценку. В работах [26,28,30,31] впервые доказано, что для краевых задач вида (1), (2), в отличие от первой краевой задачи, при более общих условиях имеет место априорная оценка. При этом установлено, что наличие априорной оценки зависит от структуры множества нулей главной нелинейности Р и согласованности данного множества с краевыми условиями. Это связано с качественным

исследованием решений семейства сингулярно возмущенных систем нелинейных уравнений вида

екик = P(t,y0(t),uk) +о(1), 0<£<1,

удовлетворяющих краевым условиям

ик(0) = Ао(уо,ик) + о(1), ик(1) = Ai(y0,uk) + о(1),

когда к —У оо. Необходимо найти предельный объект, к которому приближаются решения (в каком-то смысле), и в терминах данного объекта сформулировать условия априорной оценки. Такой способ вывода априорных оценок применялся в работах [22-24] при исследовании периодических и ограниченных решений для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в работах [26,28]. В работе [30] приведены общие условия априорной оценки для краевых задач вида (1), (2), они сформулированы в терминах специально введенной системы понятий и обозначений. Некоторые из использованных методов исследования задач с малым параметром описываются в работе [21].

В первой главе выделены конкретные группы задач вида (1), (2) для которых априорная оценка не следует из указанных общих условий, но можно сформулировать более простые и содержательные условия, обеспечивающие априорную оценку. В условиях априорной оценки можно исследовать разрешимость краевой задачи (1), (2). Проводимое исследование хотя идейно и методологически близко к работам [26,28,30], получаемые результаты оттуда не следуют.

Дальше рассматривается случай, когда множество нулей главной нелинейности Р состоит из одной гиперповерхности, и выясняется, как должны быть согласованы краевые условия, чтобы имела место априорная оценка.

Рассмотрена краевая задача:

z" = Q(t,z' -C(t,z)) + f(t,z,z'), 0 < ¿ < 1, zeRn, (5)

2/(0) = 4,(z(0), 2(1)) + ho(z), z'( 1) = 4l(z(0), ^(1)) + fci(z), (6)

где отображения

<Э, С: [0,1] Е", /: [0,1] хГхКМ Еп,

А0, Ац ГхГн) КД к0, кг: ^([0,1]; Еп) ^ Еп непрерывны и удовлетворяют условиям 2)-4), а также условиям:

5) Хг) = ХтС2(1, 2) для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

6) С(£, Хг) = АС(£, для всех Л > 0;

7) при любых фиксированных £0 С [0,1] автономная система

v' = Q(to,v) (7)

не имеет ненулевых ограниченных решений;

8) для всякого ненулевого решения системы г' = С{р, г) если

АоШ,2(1)) - С(о,2(0)) е ь+(д(0, •)),

то

Л1(2(0),2(1))-С(1,2(1))^^№(1,-)),

где через Ь+(<3(0, •)), 1, •)) обозначено множества точек из Ип, для

которых выпущенные из них траектории систем г/ = (^(0, г»), г/ = г;) ограничены при £ > 0, £ < 0.

Верна следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 2)-8), тогда задача (5), (6) допускает априорную оценку.

Далее рассмотрена краевая задача

2" = <2(1, (2' - В^, г))^(г> - В2{1, г)Г2) + Ж А ^

2'(0) = л0(2(0), 2(1)) + V*), ^(1) = А1(г(0),г(1)) + Ь(г), (9)

где С — комплексная плоскость, тх, т2 — фиксированные натуральные числа, отображения

Я,ВЪВ2: [0,1] х С ^ С, /: [0,1] х С х С ^ С,

Ао, ЛьСхСнС, ho, h : С1 ([0,1]; С) ^ С

непрерывны и удовлетворяют условиям:

9) существует т > 1/{т\ + т2) такое, что Q(t,Xz) = ЛmQ(t,z) для всех Л > 0;

10) Bj(t, Xz) = ЛBj(t, z) для всех Л > 0, t G [0,1], j = 1, 2;

11) Aj(Xzi, Xz2) = XAj(zi, z2) для всех Л > 0, t G [0,1], j = 0,1;

12) max \f(t, zi, z2)\(\z1\ + \z2\)~n -> 0 при l^il + l^l ->■ oo, где n = тЦ+ш2);

X

13) 11*11 cl\hj(z)\ —0 при И* oo, j = 0,1;

14) 2) = B2(t, 2) или 2) ^ 2) для всех t G [0,1], 2 G C\{0};

15) при любых фиксированных to G [0,1], zq G С система

v' = Q(to, (v - Si(i0,20))mi(^ - B2(io, zo))m2) не имеет нестационарных ограниченных решений;

16) при j = 1,2 для всякого ненулевого решения z(t) систем z! = Bj(t, 2) либо л0(2(0),2(1)) £ L+(Q,2(0)), либо ^(2(0), 2(1)) g £_(Q,z(l)).

Через L+(Q,20) обозначено множество точек из С, для которых выпущенные из них траектории системы

v' = Q(0, (v - Bi(0,2o)))mi(v - B2(0, 20)))W2)

ограничены при t > 0. Через L-(Q, zi) — множество точек из С, для которых выпущенные из них траектории системы

v' = Q(l, (V - Вг(1, Zl)r (v - В2{ 1, 2^))777,2 )

ограничены при i < 0. Справедлива теорема.

Теорема 1.3. Если для задачи (8), (9) выполнены условия 9)-16), то для ее решений верна априорная оценка.

В завершении главы рассмотрены краевые задачи вида

г" = {г1 - М)™1 (У - Ъ2г)т* + /(¿, г'), 0 <t <1, г е С, (10)

/(0) = а002(0) + а01г(1) + к0(г), г'{1) = а10г( 0) + апг( 1) + Н^г), (11)

где т1, — натуральные числа, 61, Ь2, аоо, аоъ аю, ап ~~ заданные комплексные числа, /, /го, /11 — непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям 12) и 13) при ш = 777-1 + тг. Введено обозначение

£(г>1, б2) = {б е С : ъ = (1 - + /Л>2, /х е [о, 1]|.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.4. Пусть для любых го 6 С \ {0} и 6 £ .8(61,62) выполняется хотя бы одно из двух условий:

1) решение задачи

у' = (у- Ьгго)т^и - Ъ2го)т\ и(0) = а00г0 + а0хе%, ^еС, неограничено при Ь > 0; 2) решение задачи

г/ = (у - Ь1еьго)т^{у - Ь2еьго)т\ г;(0) = а10г0 + аце%, ибС, неограничено при £ < 0.

Тогда задача (10), (11) допускает априорную оценку.

Условие 1) выполняется, если имеют место следующие импликации

1т3(612:0, а0020 + ао1в62о, 6120, Ь2г0) = 0 =>> => Яе3(6120, а0020 + ао1е620,6120,6220) > 0,

1тд(6220, а0020 + ао1бь20, 6120, Ь2г0) = 0 => Яе 3(6220, а0020 + а01еь20, 6120, 6220) > 0, где 3(21, 22, С1,с2) = — Сх)7711 (5 — с2)т2 йв. Аналогично, условие 2) выполняется, если имеют место следующие импликации

1т з(б1еь20, аю20 + ацеьгь, 6^20, 62еЬ20) = 0

=>- Яез(б1е62о, аю^о + аце62о, Ьгеьго, Ъ2еъго) < 0,

12

1тд(Ъ2еьхо, 0 + апеьг0, Ъгеьг0, Ь2еьг0) = 0 11ед(Ь2еь2о, аю^о + апеь20, б^6^, Ь2еьг0) <0. Таким образом, задача (10), (11) допускает априорную оценку, если при любых

£ С \ {0}, 6 е 5(61,62), имеют место либо импликации (12), (13), либо импликации (14), (15).

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [В1-В5].

Во второй главе в случае п ) 2 и в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи. Доказ�