Разрешимость двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Обозначения

Введение . б

Глава I. Краевая задача смешанного типа для уравнения второго порядка.

§1.1. <5* -ограниченность производных решений дифференциального уравнения.

§ 1.2. Нижние и верхние функции и <f -ограниченность

§ 1.3. Обобщенная разрешимость краевой задачи смешанного типа.

§ 1.4. Разрешимость краевой задачи для уравнения с несуммируемой особенностью

§ 1.5. Об одной краевой задаче, возникшей в теории химического реактора

Глава П. Краевые задачи для системы уравнений второго порддка.

§ 2.1. Априорные оценки решений

§ 2.2. Априорные оценки производных ограниченных решений

§ 2.3. Разрешимость одной краевой задачи для системы уравнений с несуммируемой особенностью.

§ 2.4. Нижние и верхние функции и разрешимость смешанной краевой задачи

Глава Ш. Краевая задача для системы уравнений с разделенными краевыми условиями

§ 3.1. Разрешимость краевой задачи с разделенными краевыми условиями.

§ 3.2. Связь разрешимости краевой задачи с соответствующей задачей в вариациях

§ 3.3. Система с квадратичными нелинейностями

В диссертации исследуется разрешимость некоторых классов двухточечных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти классы обобщают многочисленные, возникшие из широкого круга приложений и, судя по литературе, активно изучаемые краевые задачи.

0.1. Теория нелинейных краевых задач, одно из актуальнейших направлений математического анализа, проистекает из классических работ С.Н.Бернштейна (см.[Ill с.191-210). 0 современном состоянии этой теории можно получить представление из большого числа монографий, вышедших за последние два десятилетия. Назовем следующие работы, каждая из которых содержит глубокие, не дублирующиеся результаты по упомянутому направлению: Ю.А.Клоков [25], П.Бейли, Л.Шемпайн [66], В,В.Гудков, Ю.А.Клоков, А.Я.Лепин, В.Д.Пономарев [17], С.Бернфелд, В.Лак-шмикантам , И.Т.Кигурадзе Ll9], Н.И.Васильев, Ю.А.Клоков [14], Ж.Моэн [Д04]. К этому списку следует добавить и главу, посвященную краевым задачам, книги М.А.Красносельского, А.И.Перова, А.И.Поволоцкого, П.П.Забрейко [29]. Несмотря на достаточно хорошее развитие общей теории, применение общих . результатов к широкому классу прикладных задач затруднительно даже в случае дифференциального уравнения второго порядка. Классы краевых задач, возникшие из приложений и требующие подход, свойственный лишь этим задачам, рассматриваются уже в хорошо известных руководствах по теории обыкновенных дифференциальных уравнений Дж.Сансоне [46] и Ф.Хартмана [49]. Исследование задач такого типа встречается, например, в работах М.М.Адъютова, Ю.А.Клокова, А.П.Михайлова [IQ, И.В.

Амирханова, Е.П.Жадкова[5,б], А.Д.Мышкиса, Г.В.Щербины [36], Дж.Гарнера, Р.Келлога [82,83], М.Ивано[90], Дж.МакЛе-ода [109] и в многих других.

Кратко обрисуем положение дел по наличию методов, применяемых для исследования разрешимости краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Широкий класс методов базируется на теоремах типа Кнезера-Хукухара о связности сечения интегральной воронки (см., например, М.Ф.Бокштейн [12]). Хорошее представление об этих методах можно получить из библиографии, приведенной в монографии С.Бернфелда, В.Лакшми-кантама[б8]. Весьма общие теоремы разрешимости нелинейных краевых задач удается получить применением современных топологических методов. Например, в работе А.Мухамадиева, Ю.В. Покорного [35], пользуясь понятием топологической степени отображения, получена теорема существования нескольких неподвижных точек отображения, что позволяет установить наличие нескольких решений краевой задачи. Сильные результаты разрешимости краевых задач, используя аппарат дифференциальных неравенств и функции Грина краевой задачи, получены в работах Н.В.Азбелева и его учеников (например, [2]). Использование оценок функции Грина дало возможность Ю.В.Покорному [41] получить интересные условия разрешимости задачи Валле-Пуссе-на, которые являются новыми и в случае двухточечной краевой задачи. Как известно, для линейных краевых задач из единственности решения следует его существование. Это обстоятельство послужило отправным пунктом для получения аналогичных результатов для нелинейных дифференциальных уравнений (см. Н.И.Васильев, Ю.А.Клоков [14]). Нередко для установления разрешимости той или иной краевой задачи применяется вариационный метод (Р.Дризкол [75]). Одним из наиболее мощных ме

•годов, применяемых при изучении нелинейных краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, является метод априорных оценок. Этот метод получил свое развитие, основываясь на результатах Дж.Скорца-Драгони и Р.Конти (см.Дж.Сансо-не [4б], Ф.Хартман [49J), которые позволяют установить разрешимость задачи Дирихле для уравнения второго порядка и системы уравнений первого порядка, разрешенных относительно старшей производной, с непрерывными и ограниченными правыми частями. Значительное обобщение условий, обеспечивающих априорные оценки решений и производных ограниченных решений краевых задач, дают так называемые односторонние оценки правой части уравнения. Результаты такого вида содержатся в монографии И.Т.Кигурадзе [I9J. Метод априорных оценок является основным и в настоящей диссертации, а суть метода хорошо иллюстрируется теоремами 2.2.7 и 3.1.3 диссертации.

0.2. Не претендуя на исчерпывающий обзор изучаемых в литературе прикладных задач, кратко осветим имеющиеся результаты по двухточечным краевым задачам, встречающимся в приложениях, для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, многие из которых уже стали классическими.

0.2.1. Для уравнения j^r'V ^r^jiя? ^ (o.i) возникшего из радиотехники, А.Льенар [ 101 указал достаточные условия существования периодического решения. В последующих многочисленных работах изучались различные обобщения уравнения Льенара вида str'j = ^^^ с целью получения наиболее широких достаточных условий, при которых это уравнение имеет единственное периодическое решение. С уравнением Льенара тесно связано так называемое уравнение Релея s<r = . (0.2)

Например, важным специальным случаем уравнения (0.1) является уравнение Ван дер Поля

J2T ^с ЯГ = ^ е Г*? + являющееся математической моделью лампового генератора на триоде в случае кубической характеристики лампы. Если положить с> то последнее уравнение преобразуется в специальный случай уравнения Релея з ■ л г?'- J * * = ^

Используя имеющуюся связь уравнений (0.1) и (0.2), в работе М.А.Аматова [4], анализом фазовой плоскости для соответствующей системы уравнений первого порядка, выведены условия существования бесконечного множества периодических решений уравнения (0.1).

При изучении вынужденных колебаний маятника получается уравнение Дуффинга, которое, следуя В.Лауду [.102], запишем в следующей форме jf'rxrJ я?' ^r^rj =r где jf предполагается четной функцией,^ - нечетной функцией, а€ - нечетной и периодической функцией. В силу этих свойств, исследование существования периодического решения этого уравнения сводится к двухточечной краевой задаче.

Упомянутые в этом пункте классы уравнений могут и комбинироваться. В качестве примера приведем уравнение

5 С яг*- ^Jxr' ^ fY-fZxr^Jsr = ^ которое получено А.Хорватсом при изучении воздушных компрессоров и насосов. Если <5=7^, то имеем уравнение Дуффин-га, если^- , то - уравнение Ван дер Поля.

0.2.2. Из исследований в астрофизике свое развитие получило уравнение Эмдена-Фаулера

Гг?^'/ + (0-3)

Наряду с уравнением (0.3) рассматривается и более общее уравнение где f€

2Г v ^ ^S^JzZT = CP ; С ( L<ci + „ l + которое нашло свое применение в многочисленных областях естествознания (например, в механике жидкостей, газовой динамике, релятивистской механике, ядерной физике, теории химического реактора). Обширную библиографию, посвященную обобщенному уравнению Эмдена-Фаулера, можно найти в статье Дж.Уонга [138]. Заменой переменных Г

7* vS = у + А f У^гг; ) у о + и. —

J2T

Str Г это уравнение преобразуется к виду где <=г е

Вместо последнего уравнения обычно рассматривается уравнение х/

0.4) rig^»^ -ЯГ : при £ {L&. Отметим ряд работ, в которых изучаются вопросы колеблемости и асимптотическое поведение решений уравнения (0.4) - Л.А.Беклемишева [ 9], И.Т.Кигурадзе [21,22], А.В.Костин [28], Т.В.Степанова [47], Т.А.Чантурия [57].

В работе Г.Густафсона и К.Шмита [85], применением теорем о неподвижных точках отображений на конусах получен следующий результат. Пусть функция С CLQ + r=*e=>)J L + ) имеет, быть может, лишь изолированные нули /* &

- l ie и Z , тогда на любом конечном интервале положительной полуоси однородная задача Дирихле для уравнения (0.4) имеет нетривиальное решение. Случай неоднородных краевых условий приводит к достаточно громоздким условиям разрешимости соответствующих краевых задач. В этом можно убедиться, например, из результата Д.Улриха L132Идля весьма частного случая уравнения (0.4). Единственность даже положительного решения однородной задачи Дирихле, как это видно из работы К.Кофмана [723» получается при очень жестких ограничениях на функцию ^е. Для приложений важны также решения краевых задач, имеющие определенное количество нулей. Многие из известных нам результатов существования таких решений получены применением методики из работы И.Колоднера [9б]]» в которой изучается вращение тяжелой струны с одним незакрепленным концом, что приводит к краевой задаче

В физике часто возникают также и краевые задачи для рассматриваемых в этом пункте уравнений с условиями на бесконечность. Из исследований краевых задач такого вида приведем работу А.Даса и К.Кофмана в которой изучена возникшая в квантовой механике краевая задача где с* ^ ^ неизвестный, отличный от нуля параметр, -конкретно выписанная функция. Эта задача демонстрирует типичный для прикладных задач случай, когда присутствующий в уравнении параметр определяется дополнительным краевым условием.

Важным и широко изучаемым специальным случаем уравнения (0.3) является уравнение Томаса-Ферми

- Z ^ s (0.5) которое возникает в ядерной физике. Легко видеть, что частным решением этого уравнения является яс— г/ 3 , однако физический интерес представляют решения уравнения (0.5), удовлетворяющие одному из следующих трех краевых условий: г ^ str Г J — ^ ^ Sir = Y ; ЯГ <r+ = ^

5ZT (Г— ^ V , где € . В.Шеда в своей недавней работе

126], пользуясь методикой априорных оценок и результатами монографии Н.И.Васильева и Ю.А.Клокова [14], в достаточно полной мере изучил вопросы существования и единственности для классов краевых задач, включающих и упомянутые три задачи для уравнения Томаса-Ферми. Р.И.Анищенко в серии работ, основные из которых указаны в списке литературы статьи [7~|, рассматривает краевую задачу где ^ & J ^ ^ & ^ и дифференциальное уравнение обобщает так называемое уравнение Томаса-Ферми-Дирака которое возникает в статистической теории атома. Автором изучается разрешимость этой задачи в зависимости от параметров Г, Л,

0.2.3. Если, то уравнение (0.3) при имеет особенность, которая является несуммируемой. Краевые задачи вида

J , (0.6) ^Г^А^лг^/У^ (0.7) где ^ у J € ^ > возникают в многочисленных приложениях. Перечислим некоторые работы, в которых для упомянутой краевой задачи изучаются вопросы существования решения и оценки количества имеющихся решений в зависимости от параметров, которые, быть может, входят в правую часть дифференциального уравнения. Дж.Тейлор [130] рассматривает задачу из электродинамики при -/ля-у— <ъ< + Аг , Д.Джозеф и Т.Луцдас грен [93], возникшую при изучении явления воспламенения вме си газов задачу, в которой sJА (4+ ^c^J

С.Партер [115] - задачу из теории химического реактора, имея

J С- ——) . Отметим, что краевая задача

0.6)-(0.7) с Car), методом анализа фазовой плоскости, подробно исследована уже в более ранней работе И.М.Гельфанда [16]. В этом случае правая часть уравнения (0.6) получается из правой части, рассматриваемой в упомянутой работе Д.Джозефа и Т.Лундгрена [93], предельным переходом по, если ^ = ^ .

Естественным обобщением уравнения (0.6) является уравнение ^ ^ ' = ^ ^rV . (0.8)

Краевые задачи (0.8),(0.7) встречаются, например, в работах А.Каллегари, Э.Рейсса и Х.Келлера [ 71] при изучении деформации эластичной мембраны, Д.Джозефа [92] при исследовании теплообмена в проводниках. Одним из методов доказательства разрешимости краевой задачи (0.8),(0.7) является преобразование в интегро-дифференциальное уравнение типа Гаммерштейна и применение теорем о неподвижной точке отображений в функциональных пространствах. Такой подход в наиболее общем виде при С € + для случая квазилинейной правой части уравнения (0.8) реализован Г.де Фигуэйредо [81]. Специальный квазилинейный случай уравнения (0.8) при с С- ^ ■/• ^^J^ пользуясь методом монотонных итераций, разобран Р.Дикки [74]. Однако легко сообразить, что методика априорных оценок (см., например, Н.И.Васильев и Ю.А.Клоков [14]) дает для этой краевой задачи более сильные результаты существования. В приложениях для уравнений (0.6),(0.8) встречаются и краевые задачи с условиями на бесконечность. Существование положительных или имеющих определенное количество нулей решений уравнения (0.6) при ^ —яг^- ^г^ удовлетворяющих краевым условиям С? ^ (0.9) изучаются, например, Е.П.Жидковым и В.П.Шириковым [18], В.П.

Шириковым [60], Г.В.Щербиной [62]. При изучении течения жидкости, если число Рейнольдса мало, возникает уравнение (0.8), в котором ys** ^ о^^г^гг , с краевыми условиями czrf&J — ^ сс С+ = ^ . Некоторые результаты разрешимости этой краевой задачи содержатся в работах К.Тама [ 1293 и А.МакГиливрея CI053. С упомянутыми в этом пункте краевыми задачами тесно связаны и другие задачи. Например, задача, рассмотренная С.Партером [115], родственна задаче

Одним из последних исследований этой краевой задачи на предмет оценки количества решений в зависимости от входящих в уравнение параметров является работа Л.Уильямса и Р.Леггета [136]. И.В.Амирханов и Е.П.Жидков в работах [5,6] изучают существование положительных или имеющих определенное количество нулей решений краевой задачи

У- ^ ^ . . J- » которая заменой переменного получается при с = ^ из задачи вида (0.8)-(0.9).

Широкий класс задач, возникающих в приложениях, охватывается случаем, когда в уравнении (0.4) имеем f ё- С-^^у J . Так, например, С.Талиаферро в статье [ 127] показал, что краевая задача, возникшая из гидродинамики ^ С ((Я -1); Г ^ & ^ разрешима тогда и только тогда, когда сходится интеграл е>

Более общие задачи такого типа изучались Н.В.Азбелевым, Р.К. Рагимхановым, Л.Н.Фадеевой в работе L2], важный частный случай которых подробнее рассмотрен в монографии Н.И.Васильева и Ю.А.Клокова £14~|. Задачи, имеющие различные приложения, для уравнений вида с краевыми условиями на конечном интервале или полуоси рассматриваются и в работах М.М.Адъютова, Ю.А.Клокова, А.П.Михайлова £ 13, Е.Г.Некряча [37], П.А.Осипенко £38], Н.Андерсона и А.Артурса £641, А.Азиса и Т.На £651, С.Лунинга и У.Перри £103"], У.Стейнметца £1221. Отметим также интересные исследования Г.В.Щербины £633, А.Д.Мышкиса и Г.В.Щербины [36J краевых задач на полуоси из теории капиллярных явлений с правой частью дифференциального уравнения существенно не удовлетворяющей условиям Бернштейна, а именно, имеющей кубический рост по производной решения.

0.2.4. Рассматривая процессы химического реактора при наличии нескольких химических компонент возникают краевые задачи, обобщающие задачи, упомянутые в предыдущем пункте. Так, например, в работах Н.Фергусона и Б.Финлайсона £801, Г.Стояка £125] встречаются краевая задача вида яг.г-г-м + co.ii) где с ~ J ^ ^ ^tf^ функции , которые характеризуют диффузию с -той химической компоненты в реакторе, такие, что, быть может, = В статьях П.Рентропа

120] и Г.Тостона [131] при изучении механической задачи об изгибе тонкой оболочки также возникает краевая задача (0.10)-(0.11), где S7— ^ -zf3 и функции ^ имеют квадратическую нелинейность. Аналогичную задачу, имея

- ^ и краевые условия яг. ^ ^ при исследовании движения электрона в полярном кристалле, получает К.Балла [.83. Н.де Бруйн [70J для краевой задачи

V + Г^J^ = ^ У устанавливает область f^s^J -плоскости, в которой существует решение, компонента яг которого неотрицательна. В работах М.Рентропа [ 119,120Dвстречаются краевая задача для нахождения решений специального вида уравнения Гинзбурга-Ландау из теории сверхпроводимости яг Г J = s<r =■ где ^^ - скалярные функции аргумента ^V ^C ^Г ^ параметры. А.М.Вайнберг [13] при рассмотрении кинетики процесса абсорбции осложненной необратимой химической реакции, получает краевую задачу для системы двух уравнения второго порядка с условиями с*"6 L + ) . Авторы упомянутых исследований, как правило, интересуются лишь численными методами решения поставленных задач, оставляя доказательство существования и единственности в стороне. Достаточные условия разрешимости и единственности решения для краевой задачи, обобщающей (0.10) -(0.11), методом априорных оценок получены Н.И.Васильевым и А.И.Ломакиной [15]. А.В.Финкельштейном [48], применением принципа Шаудера и теоремы о неявной функции, получены достаточные условия существования и единственности краевой задачи из теории химического реактора, когда в уравнении (0.10)^/?^=- -Z' , однако, в силу наличия рециркулирующих потоков в реакторе, краевые условия имеют вид

Л е к.

0.2.5. Заканчивая обзор, в качестве иллюстрации проследим более детально имеющиеся результаты существования для одного класса прикладных краевых задач.

-

Пусть в пространстве, снабженном цилиндрической системой координат fzf/" , в плоскости г? помещен бесконечный диск, вращающийся около оси/*"^^ с постоянной угловой скоростью » а полупространство > & заполнено вязкой жидкостью. Установившееся движение этой жидкости в качестве примера случая, когда возможно получить явное решение соответствующей системы уравнений Навье-Стокса, рассмотрел Т.фон Карман в работе [94]. При предположении, что компонента скорости движения точки жидкости в направлении оси не зависит от расстояния до оси вращения, система уравнений На-вье-Стокса приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая после преобразования принимает следующий вид: со.12) ^ у = .

Если-^^ ^, ^ ~~ соответствующие координатам составляющие скорости точки ^ , то в задаче СО. 12) с<А О

0.13) у г ^ /Z и случаи > ol ^ соответствуют отсосу или притоку жидкости через вращающийся диск, свойства жидкости (коэффициент вязкости) учтены в коэффициентах пропорциональности. С математической точки зрения ограничение (0.13) не существенно, поэтому в последующем краевая задача (0.12) рассматривалась без этого ограничения. Дж.Уотсон£ 134 J показал, что для любых ^ найдется число - , ) такое, что для ^ ^ ^ краевая задача (0.12) разрешима. Дж. МакЛеод установил разрешимость краевой задачи (0.12) при любых в случаях & LI061, ^ ^ [107]. Во втором случае существенным оказалось обстоятельство, что при ^ = ^^ решение краевой задачи (0.12) единственно. Дж. МакЛеод в статье [108 J доказал, что краевая задача (0.12) не имеет решения, если ^ --^^ ив работе £107J вьщвинул гипотезу, что это единственный случай отсутствия решения. Вопрос о справедливости этой гипотезы, насколько известно диссертанту, и в настоящее время является открытым. Также не решен вопрос о количестве решений этой краевой задачи в общем случае. Из результата А.Элкрата £78 J следует, что если ^^ = & — сУ 9 т0 задача (0.12) имеет бесконечное множество решений. Наконец, отметим, что в работах СДастинг-са £87J и Ф.Хартмана £86Д методами, отличными от тех, которые применены Дж.МакЛеодом, устанавливается разрешимость некоторых краевых задач из теории пограничного слоя, которые являются обобщениями частных случаев краевой задачи (0.12).

Г.Бетчелор £67 Д и К.Стюартсон £123] впервые рассмотрели гидродинамическую задачу, сформулированную Т.фон Карманом на конечном интервале, то есть для случая, когда жидкость заполняет полосу между двумя плоскопараллельными дисками, вращающимися около общей оси. При предположении, что диски находятся в плоскостях ^ ^ и вращаются, соответственно, с угловыми скоростями ^о и , получается краевая задача

0.14)

0.15) где ^g — c<JQ ^ ^ ^ 0<J-? , a ~ неопределенная постоянная, возникающая из уравнения давления. В упомянутых статьях обсуждается вопрос о возможном поведении решений краевой задачи (0.14)—(0.15) при маленькой кинематической вязкости. Г.Бетчелор считал, что жидкость распределится в двух основных слоях с тонким слоем перехода, и основные слои будут вращаться с угловыми скоростями, близкими к скоростям дисков. К.Стюартсон предполагал, что основная масса жидкости будет мало возмущена. В последующем многочисленные авторы пытались подтвердить упомянутые точки зрения. Отметим, например, работы К.Пирсона [117], Г.Ланса и М.Роджерса LI00], Г.Меллора, П.Чепла и В.Стокса [112], М.Холодниока, М.Кубичека и В.Хла-вачека [881. В последних двух работах показано, что краевая задача (0.14)-(0Л5), возможно, может иметь несколько решений, в том числе и такие, поведение которых соответствует предположениям Г.Бетчелора и К.Стюартсона. Интересные наблюдения о возможности появления новых решений краевой задачи (0.14)~(0.15) при уменьшении кинематической вязкости, содержатся в работе Х.Расмуссена [118].

Из огромного количества работ, посвященных краевой задаче (0.14)—СО.15), которую, следуя А.Элкрату [77], будем называть задачей фон Кармана-Бетчелора, лишь в некоторых имеются строгие доказательства разрешимости краевой задачи в зависимости от значений параметров ^^ ^ , Если первое из уравнений (0.14) продифференцировать, то получаем систему уравнений шестого порцдка

X/- (0Лб)

Заметим, что если ^ — > то краевая задача (0.16),(0.15) тлеет тривиальное решение. Используя это обстоятельство, С.Хастингс [87 J и А.Элкрат L?63 доказали разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора для значений ^ , ^ , принадлежащих некоторой окрестности прямой ^ =? ^ . Если в системе (0.16) положить /- = // — £ Л , то получаем // , ' о (0.17) и при фиксированных , fy уменьшение числа <5 соо твет-ствует уменьшению кинематической вязкости. Система (0.17) удобна для исследования методикой малого параметра. Этим методом при ^ = - , существенно используя краевые условия и предполагаемую симметрию решения относительно точки С^, разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора установлена в работе Дж.МакЛеода и С.Партера [ПОЗ. Интересно заметить, что в этой работе доказано существование решения, которое имеет свойства, предвиденные К.Стюартсоном. Наконец, в работе Дж. МакЛеода и С.Партера [III3 установлено, что при достаточно малой кинематической вязкости в случае ^ ^ ^ ^ задача фон Кармана-Бетчелора не имеет решения, компонента которого монотонна. Изучению асимптотического поведения решений системы (0.17) при посвящены статьи Х.Крейса и

С. Партера ( 98,99 Д.

Если в условиях СО.15) функция j/ на концах интервала принимает ненулевые значения, то, согласно сказанному ранее, это соответствует случаю, когда через диски имеется приток или отсос жидкости. Интересный результат для краевых задач такого типа получил А.Элкрат L783. Он рассматривал краевые условия

0.18) и показал, что краевая задача (0.16),(0.18) имеет решение при любых ^ & £ ^ ^ и компонента ^ этого решения монотонна* Сопоставляя этот факт с уже упомянутым результатом Дж.МакЛеода и С.Партера ЦШД, заключаем, что предельным переходом, устремив в условиях (0.18) о< к нулю, получить разрешимость задачи фон Кармана-Бетчелора невозможно.

Пусть теперь компонента скорости движения точки жидкости в направлении оси зависит от расстояния /* от оси вращения следующим образом: f9 , где и жидкость находится в магнитном поле, которое характеризует число 1.0,-*-e=>d=:=i) . При этих предположениях многими авторами изучался следующий аналог краевой задачи (0.12)

Доказано, что при отсутствии магнитного поля C^s—cp) эта краевая задача не имеет решения, если ^ . В этом случае попытки получить решения численными методами терпели неудачу для ■/3 . Однако, как показали К.Стюартсон и

Б.Тройч £124}, при любом о? > & нахождение этих решений возможно и в случае ^^^ у J .В работе С.Кхари [95] изучался аналог краевой задачи СО.14)—(0,15) для случая, когда оба диска неподвижны, но имеется наличие магнитного поля и приток либо отсос жидкости через диски. При этих предположениях краевая задача принимает вид фон Кармана-Бетчелора распространяется на случай наличия теплообмена между слоями жидкости. При этом получается система дифференциальных уравнений девятого порядка с одним неизвестным параметром и десятью краевыми условиями. В последнее время появились и работы с другими обобщениями задачи фон Кармана-Бетчелора. Например, Д.Кнайт [.973 рассматривает случай, когда диски вращаются вокруг несовпадающих параллельных осей, Р.Верма и Г.Сингх [1333 уделяют внимание случаю, когда один из дисков изменяет скорость вращения по периодическому закону.

0.3. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст в каждой из трех глав разбит на параграфы, которые в свою очередь, так же как и введение, разбиты на пункты. В каждом пункте содержатся не более одного утверждения типа теоремы, леммы, следствия, замечания. При ссылках

1. Адъютов М.М., Клоков Ю.А., Михайлов А.П. Автомодельные тепловые структуры с сокращающейся полушириной. - Дифференциальные уравнения, 1983, т.19, № 7, с.1107-1114.

2. Азбелев Н.В., Рагимханов Р.К., Фадеева Л.Н. Интегральные уравнения с разрывным оператором. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 5, с.862-873.

3. Алексеев В.М. Теорема об интегральном неравенстве и некоторые ее приложения. Математический сборник, 1965,т.68, № 2, с.251-273.

4. Аматов М.А. О периодических решениях уравнения Льенара. -В сб.: Дифференциальные уравнения: вып.З, Рязань, 1974, с.12-18.

5. Амирханов И.В., Жидков Е.П. Достаточное условие существования. частицеподобного решения для некоторых полевых моделей, чЛ. ОИЯИ, Р5-80-479. Дубна, 1980.

6. Амирханов И.В., Жидков Е.П. Достаточное условие существования частицеподобного решения для некоторых полевых моделей, ч.2. ОИЯИ, Р5-80-585. Дубна, 1980.

7. Анищенко Р.И. Обобщенная краевая задача для уравнения Томаса-Ферми-Дирака. Известия вузов. Матем., 1979, № 6, с.3-5.

8. Балла К. К решению сингулярных краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. -Журнал вычислительной математики и математической физики, 1980, т.20, № 4, с.909-922.

9. Беклемишева Л.А. 0 нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. Математический сборник, 1962, т.56,2, с.207-236.

10. Берман B.C., Востоков В.В. Точное решение одной нелинейной краевой задачи теории химических реакторов. -Прикладная математика и механика, 1982, т.46, № 3,с.517-521.

11. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.З. М., Издательство АН СССР, I960.- 439 с.

12. Бокштейн М.Ф. Теоремы существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Ученые записки МГУ, вып. 15. Математика. ГОНТИ, M.-JI., 1939, с.3-72.

13. Вайнберг A.M. Приближенное решение одной краевой задачи теории абсорбции. Труды Московского ин-та хим.машиностроения, вып.39, 1972, с.42-44.

14. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, "Зинат-не", 1978. - 183 с.

15. Васильев Н.И., Ломакина А.И. Об одной двухточечной краевой задаче с несуммируемой особенностью. Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, № 2, с.195-200.

16. Гельфанд И.М. Задачи теории квазилинейных уравнений. -Успехи математических наук, 1959, т.14, № I, с.87-158.

17. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига, "Зинатне", 1973. - 135 с.

18. Жидков Е.П., Шириков В.П. Об одной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1964, т.4, № 5, с.804-816.

19. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи дляобыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, Изд-во ТГУ, 1975. - 352 с.

20. Кигурадзе И.Т. О задаче Коши для сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, № 10, с.1271-1291.

21. Кигурадзе И.Т. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения типа Эмдена-Фау-лера. Известия АН СССР, сер.математическая, 1965, т.29, № 5, с.965-986.

22. Кигурадзе И.Т. Заметка о колеблемости решений уравнения Casop.pro Pestov.Mat.,1967, т.92, № 3, с.343-350.

23. Кигурадзе И.Т. О некоторых сингулярных краевых задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, № 10, с.1753-1773.

24. Климов B.C. О вторых решениях краевых задач. ДАН СССР, 1970, т.198, № 2, с.280-283.

25. Клоков Ю.А. Краевые задачи с условиями на бесконечности для уравнений математической физики. Рига, Изд-во РКИИГА, 1963. - 107 с.

26. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. -М., ИЛ, 1958.

27. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., "Мир", 1969.

28. Костин А.Ф. Асимптотическое поведение продолжаемых решений уравнений типа Эщена-Фаулера. ДАН СССР, 1971, т.200, № I, с.28-31.

29. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М., Физматгиз, 1963. - 245 с.

30. Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О некоторых нелинейных задачах, имеющих много решений. Сибирский математический журнал, 1963, т.4, № I, с.120-137.

31. Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Связность множества решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных функций. Латвийский математический ежегодник, 1976, вып.17, с.187-192.

32. Лепин Л;А. Обобщенные нижние и верхние функции и их свойства. Латвийский математический ежегодник, 1980, вып.24, с.I13-123.

33. Лепин Л.А. Предельные свойства обобщенных нижних и верхних функций. Латвийский математический ежегодник, 1980, вып.24, с.124-132.

34. Лепин Л.А. Обобщенные решения и разрешимость краевых задач для дифференциального уравнения второго порядка. -Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, № 8, 1323-1330.

35. Мухамадиев А., Покорный Ю.В. 0 монотонных операторах с несколькими неподвижными точками. ДАН Таджикской ССР, 1967, 14, № I, с.6-9.

36. Мышкис А.Д., Щербина Г.В. Об одной предельной краевой задаче, не удовлетворяющей условию С.Н.Бернштейна и имеющей приложение в теории капиллярных явлений. Дифференциальные уравнения, 1976, т.12, № 6, с.991-998.

37. Некряч Е.Г. Решение краевой двухточечной задачи фильтрации в двухслойном пласте. В сб.: Краевые задачи теории фильтрации", Киев, 1973, с.168-177.

38. Осипенко П.А. К исследованию первой краевой задачи наотрезке для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. В сб.: Некоторые вопросы прикладной математики: вып.5, Киев, 1971, с.133-140.

39. Перов А.И. О двухточечной краевой задаче. ДАН СССР, 1958, т.122, № 6, с.982-985.

40. Покорный Ю.В. О вторых решениях многоточечных краевых задач с выпуклыми нелинейностями. Дифференциальные уравнения, 1975, т.II, № 10, с.1801-1810.

41. Покорный Ю.В. Некоторые оценки дифференцируемых функций.- Математические заметки, 1977, т.21, № 5, с.653-664.

42. Пономарев В.Д. Существование решения краевой задачи с функциональным граничным условием. Дифференциальные уравнения, 1973, т.9, № 12, с.2162-2165.

43. Пономарев В.Д. Существование решения простейшей краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.- Латвийский математический ежегодник, 1978, вып.22, с.69-74.

44. Пономарев В.Д., Цепитис Я.В. Существование решения краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Латвийский математический ежегодник, 1976, вып.19, с.187-193.

45. Садырбаев Ф.Ж. Функции Ляпунова и разрешимость первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1980, т.16, № 4, с.629-634.

46. Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.2,- М., Изд-во иностр.лит-ры, 1954. 416 с.

47. Степанова Т.В. Обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера. -Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 5, с.831-838.4S. Финкелыптейн А.В. 0 существовании и единственности решения одной краевой задачи. Дифференциальные уравнения, 1971, т.7, № 10, с.1918-1921.

48. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.

49. Цепитис Я.В. Необходимые и достаточные условия разрешимости двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Латвийский математический ежегодник, 1977, вып.21, с.108-112.

50. Цепитис Я.В. 0 разрешимости краевой задачи, возникшей при изучении движения жидкости между двумя вращающимися дисками. Латвийский математический ежегодник, 1981, вып.25, с.102-108.

51. Цепитис Я.В. 0 разрешимости одной краевой задачи, возникшей в приложениях. В мат.конф.: ХУ Воронежская зимняя математическая школа: Воронежский ун-т, Воронеж, 1981,с.122.

52. Цепитис Я.В. 0 разрешимости краевой задачи одного типа, встречающейся в приложениях. Латвийский математический ежегодник, 1983, вып.27, с.122-130.

53. Цепитис Я.В. Разрешимость краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с несуммируемой особенностью. Дифференциальные уравнения, 1983, г.19, № 12,с.2071-2075.

54. Цепитис Я.В. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с разделенными краевыми условиями. В мат. конф.: УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах: Рига, изд-во ЛГУ, 1983, ч.2, с.114-115.

55. Цепитис Я.В. Разрешимость краевой задачи смешанного типа для системы уравнений второго порядка. Латвийский математический ежегодник, в печати.

56. Чантурия Т.А. Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. Сообщения АН Груз.ССР, 1970, т.57, с.289-292.

57. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью. Труды Московского математического общества, 1959, вып.8, с.155-197.

58. Шехтер Б.Л. 0 числе решений двухточечной краевой задачи для уравнения второго порядка с разрывной правой частью. Дифференциальные уравнения, 1975, т.II, № 3, с.484-497.

59. Шириков В.И. Задача Коши и краевая задача для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1965, т.163, № 4, с.834-836.

60. Щербина.Г.В. Краевая задача на полуоси для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Вестник Харьковского Гос.ун-та, сер.механики, математики, 1967, вып.33, с.94-102.

61. Щербина Г.В. Об одной встречающейся в приложениях краевой задаче для дифференциальных уравнений второго порядка на полуоси. ДАН СССР, 1968, т.178, № 2, с.314-316.

62. Щербина Г.В. 0 сингулярной нелинейной краевой задаче для уравнения второго порядка с быстрорастущей правой частью. Дифференциальные уравнения, 1976, т.12, № 2, с.299-304.

63. Anderson И"., Arthurs A.M. Dual extremum principles for a nonlinear diffusion problem. Quart.Appl.Math.,1977, v.35, No.1, pp.188-190.

64. Aaiz A., Na J.Y. Solution of heat conduction equation with temperature dependent generation and thermal conductivity by GPM. J.Ind.Math.Soc., 1981, v.31, No.2, PP.67-73.

65. Bailey P., Shampine L., Waltman P. Nonlinear two point boundary value problems. New York: Academic Press, 1968. - 171 P.

66. Batchelor G.K. Note on a class of solutions of the Na-vier-Stokes equations representing steady rotationally-symmetric flow. Quart.Journ.Mech.Appl.Math., 1951»v.4, No.1, pp.29-^1.

67. Bernfeld S., Lakshmikantham V. An introduction to a boundary value problems. New York & London: Academic Press Inc., 1974. - 303 P.

68. Callegari A.J., Reiss E.L., Keller H.B. Membrane buckling: A study of solutions multiplicity. Comm.pure appl.math., 1971, v.24, pp.499-527.

69. Cofftnan C.V. On the positive solutions of boundary value problems for a class of nonlinear differentialequations. J.of Diff.Equat., 1967, v.3, Ho.1, pp.92111.

70. Das A., Coffman C.V. A class of eigenvalues of the fine-structure consonant and internal energy obtained from a class of exact solutions of the combined Klein-Gordon-Maxwell-Einstein field equations. Journ.Math.Phys.,1967, v.8, pp.1720-1735.

71. Elcrat A.R. On the swirling flow between rotating coaxial disks. J.of Diff.Equat., 1975, v.18, pp.423-4-30.

72. Elcrat A.R. Energy stability for the flow between rotating coaxial disks. Proc.Roy.Soc,Edinburgh, 1979, v.83A, N 3-4, pp.255-261.

73. Elcrat A.R. On the flow between a rotating disk and a porous disk. Arch.Ration.Mech.and Anal., 1980, v.73, N 1, pp.63-68.

74. Fabry C., Habets P. The Picard boundary value problem for nonlinear second order vector differential equations. J. of Diff.Equat., 1981, v.42, pp.186-198.

75. Garner J.В., Kelog R.B. On one tube flow problem arising in physiology. Math.Biology, 1980, v.42, N 3, PP.295-304.

76. Garner J.B., Kelog R.B. The diffusion convection equation with pressure. J.of Math.Anal.and Appl., 1981, v.79, pp.58-70.

77. George J.H., Sutton W.G. Application of Lyapunov Theory to boundary value problems. Proc.Amer.Math.Soc.,1970, v.25, N 3, pp.666-671.

78. Gustafson G.B., Schmitt K. Nonzero solutions of boundary value problems for second order ordinary and delay-differential equations. J. of Diff.Equat., 1972, v. 12, N 1, pp.129-147.

79. Hartman P. The swirling flow problem. Indiana Univ. Math.Journ., 1972, v.21, pp.849-855.

80. Hastings S.P. On existence theorems for some problems from boundary layer theory. Arch.Rational.Mech.Anal., 1970, v.38, IT 4, pp.308-316.

81. Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between two rotating, coaxial disks. Journ. of Fluid Mech., 1977, v.81, pp.689-699.

82. Horvath A. Periodic solutions of a combined van der Pol-Duffing Differential equation. Int.Journ.mech. Sci., 1975, v.17, IT 11-12, pp.677-680.

83. Iwano M. Applications of ITagumo-Hukuhara theory on the boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations to Abrikosov problem and Falkner-Skan problem. Ann.Math.pura ed appl., 1977, v.113,PP.303-392.

84. Jawa M.S. The axially symmetric flow and heat transfer of viscous liquid between two infinite slowly rotating porous disks. Arch.Mech.Stosow., 1967, v.19, pp.399409.

85. Joseph D.D. Nonlinear heat generation and stability of the temperature distribution in conducting solids. -Int.Journ.Heat Mass Transfer., 1965, v.8, pp.281-288.

86. Joseph D.D., Lundgren I.S. Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources. Arch.Rat.Mech.and Analysis, 1973, v.49, H" 4, pp.244-269.94. von Karman I. Dber laminare und turbulente reibung. -Z.Angew.Math.Mech., 1921, v.1, pp.232-252.

87. Khare S. Radial flow of a viscous incompressible electrically conducting fluid between two stationary, porous discs in the presence of transverse magnetic field. Proc.Indian Acad.Sci., 1977, v.85, PP.19-25.

88. Kolodner I.T. Heavy rotating string a nonlinear eigenvalue problem. Comm.Pure Appl.Math., 1955, v.8, pp.395-408.

89. Knight D.G. Flow between eccentric disks rotating at different speeds: inertia effects. Journ.Appl.Math. and Ph., 1980, v.31, P.309-317.

90. Kreiss H.O., Parter S^V. On the swirling flow between rotating coaxial disks, asymptotic behaviour I. -Proc.Roy.SoC.Edinburgh, 1981, V.A90, pp.293-316.

91. Lienard A. Etude des oscillations entretenues. Rev. gen.electr., 1928, v.23, PP.901-954.

92. Mawhin J. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems. Providence Rhode Island: Pubis. Amer.Math.Soc., 1979. - 122 p.

93. McGillivray A.D. On a model equation of Lagerstrom. SIAM Journ.Appl.Math., 1978, v.34, N 4, pp.804-812.

94. McLeod J.B. Von Karman's swirling flow problem. Arch. Rational Mech.Anal., 1969, v.33, pp.91-102.

95. McLeod J.B. A note on rotationally symmetric flow above an infinite rotating disc. Mathematica, 1970, v.17, pp.243-249.

96. Mcleod J.B. The existence of axially symmetric flow above a rotating disc. Proc.Roy.Soc.London, 1971» v.A321, pp.391-414.

97. McLeod J.B. Swirling flow. Lect.lTotes Math., 1975, v.448, pp.242-255.

98. McLeod J.B., Parter S.V. On the flow between two coun-terrotating infinite plane discs. Arch.Rational Mech.Anal., 1974, v.54, pp.301-327.

99. McLeod J.B., Parter S.V. The nonmonotonicity of solutions in swirling flow. Proc.Roy.Soc.Edinburgh, 1977, v.A76, pp.161-182.

100. Mellor G.L., Chappie P.J., Stokes V.K. On the flow between a rotating and a stationary disc. Journ.of Fluid Mech., 1968, v.31, pp.95-112.

101. Nagumo M. Uber die Differentialgleichung- Proc.Phys.Math.Soc. Japan, 1937, v.19, pp.861-866.

102. Parter S.V., Stein M.L., Stein P.R. On the multiplicity of solutions of differential equation arising in chemical reactor theory. Studies Appl.Math., 1975, v. 54, N 4, pp.293-314.

103. Pearson C.E. Numerical solutions for the time-dependent viscous flow between two rotating coaxial discs.- Journ.of Fluid Mech., 1965, v.21, pp.623-633.

104. Rasmussen H. A note on the nonunique solutions for the flow between two infinite rotating discs. Z. angew.math.mech., 1973, v.53, pp.273-274.

105. Rentrop P. numerical solution of the singular Gina-burg-Landau equations by multiple schooting. Computing, 1976, v.16, Ж 1-2, pp.61-67.

106. Rentrop P. A Taylor series method for the numerical solution of tv/o-point boundary value problems. ITumer. Math., 1979, v. 31, PP.359-375.

107. Schrader K. Existence theorem for second order boundary value problems. Journ.of Different.Equat., 1969, v.5, N 3, PP.572-584.

108. Steinmetz W. On a nonlinear singular perturbation boundary value problem in gas lubrication theory. SIAM Journ.of Appl.Math., 1974, v.26, H 4, pp.816-827.

109. Stewartson K. The flow between two rotating coaxial discs. Proc.Cambr.Phil.Soc., 1953, v.49, pp.333-341.

110. Stewartson K., Troesch B.A. On a pair of equations occuring in swirling viscous flow with an applied magnetic field. Journ.of Appl.Math.Phys., 1977, v.28, PP.951-963.

111. Stoyan G. On the identification of diffusion coefficients. Banach.cent.publ., Warszawa, РШ, 1978, v.3, PP.367-377.

112. Seda V. On a generalization of the Thomas-Fermi equation. Acta math.Univ.comen., 1980, v.39, pp.97-114.

113. Taliafero S.D. A nonlinear singular boundary value problem. Nonlinear Anal.: Theory, meth.appl., 1979, v.3, N 6, pp.897-904.

114. Tam K.K. A note on the asymptotic solution of the flo?^ between two oppositely rotating infinite plane discs. SIAM Journ.of Appl.Math., 1969, v.17, pp. 1305-1ЗЮ.

115. Tam K.K. On the bagerstrom model for flow at low Reyn-holds numbers. Journ.Math.An.Appl., 1975, v.49,pp.286-294.

116. Taylor G.J. The coalescence of closely spaced drops when they are at different electric potentials. -Proc.Roy,Soc., 1968, V.A306, pp.423-434.

117. Thurston G.A. A numerical solution of the nonlinear equations for axisymmetric bending of shallow spherical shells. Trans.ASME, ser.E, 1961, v.28, N 4,PP.557-562.

118. Watson J. On the existence of solutions for a classof rotating disc flows and the convergence of a successive approximation scheme. Journ.Inst.Math.Appl., 1966, v.1, pp.3^8-371.

119. Well K.H. Note on a problem by Lance and a problem by Bellman.-.- Journ.Math.Anal.and Appl., 1972, v.40,pp.258-269.

120. Williams L.R., Legget R.W. Unique and multiple solutions of a family of a differential equations modelling chemical reactions. SIAM Journ.Math.Anal., 1982,v.13, N 1, pp.122-133.