Исследование дного класса разностных схем решения некоторых задач конвективного теплопереноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

'"' ' ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

На правах рукописи

РАШВД АБШ НАСЕР

ИССЛЕДОЗАШЕ ОДНОГО КЛАССА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКТИВНОГО ТЕГЛОПЕРЕНОСА

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1992

Работа выполнена в Белорусском государственном университете имени В.И.Ленина.

Научный руководитель - доктор физико-математических каук,

профессор Абрашин Вячеслав Николаевич

Официальные оппонента - доктор физико-математических наук,

профессор Белов Юрий Анатольевич

- доктор физико-математических наук Иванаускас Феликсас Феликсо

Ведущая организация - Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыиа АН России

Защита состоится " 22 "мая 1992 года в/у0'' часов на заседании специализированного совета К 006,19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г.Минск ул.Сурганова.П, Институт математики АН Беларуси .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан 1992 года.

Ученый секретарь специа-тиоировэнного совета кандидат физ.-мат.наук

А .И.Астровский

- - , ^

' } ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Актуальность темы. Вычислительный эксперимент в настоящее время явдяется одним кз сзнойных инструментов для исследования сложных ;,&ктуйльных задач науки к техники. Важнейшими элементами вычислительного эксперимента является построение математической модели изучаемого объекта к разработка вычислительного алгоритма. От того, насколько проработанными и обоснованны;,<:л язлявтся- эти этапы, в существенной мере зависит эффективность всего исследования в делом.

Следует, однако, отметить, что для некоторых прикладных исследований вопросы, связанные с изучением исходной математической задачи, а танке сходимости соответствующих дискретных аналогов, остаются слабо проработанными. Это есть следствие сложности и прехде Есего нелинейности современных задач. Поэтому работы, в которых анализ указанных вопросов удается довести до конца, представляют большой теоретический и прикладной интьрее. В первую очередь это касается разнообразных задач математической физики таких, как задачи гидро-и газодинамики, описываемые системой уравнений Навье-Стокса. Проблемаи исследования и решения этих задач посвящена сЗширная литература как отечественная, так и зарубежная. Отметим работы Самарского А А. , Марчука Г. И. , Полежаева В. И. , Попова 0. П. , Фрязинова И. 3. , Яненко В. Н. , Друнина Е, Л. , Рожденственской 5. Л. , Абраишна Ь.К., Лионса Ж. -Я. , Темама Р., Роуча П. и других авторов. Цель работы состояла в построении и исследовании эффективных итерационных алгоритмов решения неявных консервативных разностных схем для задач тепловой конвекции, описываемых двумерной системой уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных вихрь- функция тока- тэмпература, а также для многомерных нелинейных задач конвективного переноса. Используемые неявные разностные схемы приводят к системе нелинейных разностных уравнений, реализация которых проводится комбинацией методов Ныс.-она и переменных направлений, исследуется их сходимость.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в зледувдем:

- для двухмерных консервативных.разностных схем, аппроксимирующих сравнения вязкой несжимаемой жидкости в переменных вихря - тока,

построены эффективные итерационные алгоритмы, основанные на методе Ньютона, а также на методе переменных направлений, изучены вопросы их сходимости;

- для многомерного нелинейного уравнения конвективного переноса построены консервативные разностные схемы,изучена их устойчивость, предложены итерационные процессы их реализации, основанные как ка методе Ньютона, так и на комбинации методов Ньютона и переменных направлений. Проведены исследования сходимости итерационных процессов;

- проведены математическое и численное моделирование процессов конвекции в вихревой камере, исследование поведения решений в зависимости от теплофкзическкх и конструктивных параметров задачи.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы могут быть использованы для решения широкого класса неявных нелинейных разностных схем. В предлагаемой работе с их помощью был проведен вычислительный эксперимент по численному моделировании вихревых образований в установке, созданной в лаборатории энергопереноса ИТКО АН РБ, исследовалось поведение основных физических характеристик течений и влияние входных параметров потока.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на мех- , республиканской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (г.Минск, 1990 г., 1992 г.), на объединенном научном семинаре кафедр вычислительной математики и математической физики Белгосуниверситета им В. И. ЛенинаС1991г.,1692г. ), на научном семинаре лаборатории численных методов математической физики АН РБ.

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций, 3 работы сданы в печать.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы (105 наименований) и изложена на 123 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теми, формулируется цель исследований и приводится краткое изложение основных резуль-

- ц -

татов.

В первой главе рассматривается модельная задача тепловой конвекции в замкнутой прямоугольной области, записанная в декартовой системе координат (х,у) в безразмерных переменных вихрь ы, функция тока ц>, температура Т:

^Г" + —" + —5у~ » С -^Г" + 3 Ь9 " С1)

> +

oxz ду*

+ с» = О, С2)

■ ДТ oCuT) gCvT) _ , а*Т . ^Т , _ Л

и в -2SL у » - -SL и = -Si- - -21- С4)

= 0, и!г = О, Т1Г = 0. С5)

у Сх,у,0)'= yto, со (х,у,0) s шо, Т Сх,у,0) = То, (63 Г = (0 i s i i , 0 < у < 1 , О s t s у* >.

1 J г '

Известна разрешимость задами С1)-С6), причем решения ограничены и удовлетворяют соотношении

»>• "О. <7)

Задача С1)-(6) аппроксишруется на равномерной сетке узлов ^ неявной консервативной разностной схемой:

' ~ Л л *

/3, - iХ/3- + й- ) + С г Р - с Г Р ~ В0о = 0,

1 t 1 XX 1 уу ' у 1 У. ' X 1 у к '

У- + }-. +/3=0, В = bg, • (8)

' XX • уу ' ' э'

б. - а С 6-' +0- ) + С г в - С Г 9 3- = 0,

t XX уу 'у X • X у

В\г • У\у- 0; Т., /311го= ов, П1=о=

Здесь /3=<о, уау/ - сеточные функции температуры, вихря и . функций тока. Конвективные члены аппроксимируются симметричными разностями на полуцелых точках, что приводит к девятиточечному, шаблону, при атом выполняется сеточньй. аколог соотношения (7), а именно:

СС уу 3 ); ~ С ?; ¡? Зр ,/Ь - 0. (9)

В первом параграфе рассматривается задача плоского течения

вязкой несжимаемой жидкости без температуры (1)-(25.

Доказывается абсолютная устойчивость разностной схемы в гильбертовой норме.

Для решения нелинейной системы разностных уравнений строится итерационный процесс по методу Ньютона и доказывается его сходимость к решению разностной задачи по квадратичному закону.

Предлагаются вычислительные алгоритмы для определения значений решения на верхнем слое, являющееся комбинацией методов Ньютона и многокомпонентного итерационного метода переменных направлений. В первом варианте имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешним циклом метода Ньютона по итерациям з и внут- • ренним циклом метода переменных направлений по итерациям к, т.е. расчетыеформулы имеют следующий вид:

|3 - /3 8 + 1 ,к + 1 5 8 + 1 ,к+1 8+1 ¿к 3 8+»,к

—х—~- = и ¡3 - - Су 3 +и {3 - + Су (3 -

Т 'гхх ' у 1 1 х ' гуу 'х ' г у

8 +1 ,|с Б 5 + 1,к 5 БВ ЭЭ

-Су- ¡3 }• + ( Г В +.( у 13 - С У (3 , *

'у I х 4 X У У х х У

я+1 ,к+1

л

[3 - ¡3 5+1,к+1 з 8+1 ,к + 1 ап ,к+1 в 8+1 ,к + 1

—-- = V (3 - •- Су б 3~ + и!3 - + С у (3 -

,Т ' «.хх 'у *1 х гуу 'ж 'а у

8 +1 , к 8 8+1, к 8 85 88

- Су (3 + Су (3 + С у (3 - С у [3 )» , СЮ)

• у I х 1 у I у У х х 1 У

■ О, к = 0,1,2,..

г 1г = |3 1Г = О, к * 0,1,2,..

Доказывается теорема о сходимости итерационного процесса переменных направлений к решению линеаризованной по методу Ньютона системы со скоростью геометрической прогрессии при условиях выбора шагов сетки

где , С - некоторые ограниченные положительные константы, а параметр * выбирается из соображений максимальной скорости схо-

Второй вариант предусматривает решение исходной дифференциальной задачи при помощи схемы, в которой в отличие от С 8) в конвективных членах г~х , 'Гу берется на нижнем слое. Данная схема реализуется при помощи итерационного процесса типа переменных направлений. Доказывается теорема о сходимости данного итерационного процесса к разностному решению со скоростью геометрической прогрессии.

■Во втором параграфе для задачи (1)-(6) и разностной схемы (8) обобщаются результаты перзого параграфа. Доказывается абсолютная устойчивость схемы С8) в гильбертовой корме. Строятся итерационный процесс Ньютона и итерационный метод переменных направлений для системы трех уравнений. Доказывается теорема о сходимости метода Ньютона к решении разностной схемы по квадратичному закону. Обсуждается различные способы Еыбора начального приближения.

Во второй главе строятся и исследуются классы разностных схем для нелинейной многомерной задачи конвективного переноса

-х

т < С —й— , т < С Ь'

I У ' г

дкмости С х > 0, * —»■ 0 3.

иСх,131Г =0, и(х,03 = и СхЗ,

Г

СИ)

u « uCx #x f . . , , x .t3 ,<pCu) » Cp (u3,,.. tp (u3), » * p i p

х - Сх ,х.....х)в!1{01хЛ,0«х11 .....0 5Х51>.

1 В р р I I ' 82 ' рр

Для аппроксимации задачи С113 строится консервативная разностная схе;.;а с использованием функционалов по пространственным переменным

Р А р

П = и 1 Уг X + I с*осУ)5« + fh- (3!'l) ^ht'

oft а а ой» ~

уСхДЗ = О,

С12)

уСх.О) = и СхЗ, х « и

В Су 3 - В Су 3 а п. в '1.-I

где $ СуЗ

а а

dB Си)

-gjj- = раСи). т.е. ВаСиЗ = J раСиЗ du.

есть некоторая первообразная функции раСиЗ.

В третьем параграфе доказывается абсолютная устойчивость предложенной разностной схемы С123 по начальным данным к правой части уравнения в гильбертовой норме. Исследуется сходимость метода Ньютона к решению задачи С12), где линеаризованные уравнения относительно s+1-ой итерации имеют вид

Y т Y " У I Ух х + I < «у с yt - yt +

т а=» a a a=i а а

■ а

" V + '¿«а + CX'U *

сх сх а

у ¡г = 0, s = 0,1,2,..

В четвертом параграфе предлагается двухступенчатый итерационный процесс, на первом э^апе которого строится система нелинейных уравнений относительно 5+1-ой итерации многокомпонентного метода типа переменных, направлений, а на втором каждое из уравнений линеаризуется по методу Ньютона по своей переменной.

Внешний итерационный процесс типа переменных направлений относительно значений у на 5+1-ой итерации имеет следующий вид:

a + i

у, - У

S+1 8 S А

- Л + Ла + ... + Лр + fh

У - у в +1 s+j в л

---= Л" + Л + ...+Л + г.

Т i я р h

С14)

S + 1

У - У a+i в+t а+1 л

—^--- = Л + Л + ...+Л + f,

Г I г р h

syaiy = 0, s = o,i.2.:.. Здесь уа = yaCXil ,хг1 , ... , xpi , t,),

р

s s s а

= Л v = vy- + С $ ) . . a aJ ^cfa а

Доказывается теорема о сходимости итерационного процесса (14) к решению неявной разностной схемы С12) со скоростью геометрической прогрессии при условиях выбора шагов сетки

к*-* м**

где С , Са = const >0,(*>0, *—-0).

Внутренний итерационный процесс по методу Ньютона строится для каждого из уравнений (14), обосновывается его сходимость.

Предложенный многокомпонентный итерационный метод типа переменных направлений решения задачи (12) допускает полное распарал-

яеливание по следующему алгоритму:

У< " У «♦» 8 8 /Ч --_

1 т , = от С Л, 4 Лг3 +. £ Ал ♦ Г,, 11.Р

Во всех алгоритмах итерации находятся скалярньши разностными прогонками по своему направление.

Л Для исследования разностных схем и алгоритмов применялся метод энергетических неравенств, широко использовался математический аппарат разностных схем, теоремы вложения, ^-неравенства и различные приемы.получения априорных оценок.

В третьей главе с помощью предложенных алгоритмов численно исследуются конкретные задачи математического моделирования про-■ цессов тепловой конвеции.

В пятом параграфе отрабатывается математическая модель образования осесимметричных вихревых течений в камере. Уравнения модели формулируются в переменных функция тока у, завихренность и, циркуляция Г, температура Т в цилиндрической системе координат.

Проблема постановки вычислительных граничных условии, необходимых для замыкания системы разностных уравнений, возникает при моделировании фтических процессов в областях, через границы которых возможен перенос вещества и энергии. Теоретические исследования устойчивости разностных схем в ограниченной открытой области проводятся, главным образом, для одномерного уравнения -§£- + с -Ц- ~ 0, моделирующего поток с постоянной скоростью с. • Мы исследовали влияние различных условий излучения на открытой границе области: одномерный, двумерный, конечноразностный + сг + % = 0 и двумерный полулагрануев

СГ - - + сг + сг = 0. Последнее соотношение является условием сохранения значения { вдоль траектории. Для температуры ставились общепринятые,условия. ,

Для зтой задачи использовались разностные схемы вида С8) и разностные схемы с разностными производными против потока. Для аппроксимации уравнений излучения вычислялись по характеристикам смещения за временной интервал вдоль траектории, проходящей через граничный узел. Всс аппроксимации граничных условий включались в ебш^о итерационную схему ыетодоз Ньютона и переменных направлений.

Полученные результаты численных экспериментов показывает,что полу-лагракжев метод может эффективно использоваться в задачах численного моделирования течений с открытыми границами.

Проводился широкий вычислительный эксперимент с целью изучения влияния-теплофизических, конструктивных, и сеточных параметров задачи. Результаты числовых экспериментов представлены многочисленными графиками и таблицами.

В шестом параграфе изложены результаты сравнения различных итерационных методов реализации неявной разностной схемы для ' осесимметричной задачи тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде с внутренним источником тепла.

Все проведенное численные расчеты показывают эффективность предложенных итерационных алгоритмов.

Работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Рашид А.Н., Лапко С. Л. Об устойчивости неявной разностной схемы для 'уравнений вязкой несжимаемой эдкости и сходимости методов Ньютона и переменных направлений к разностному решению. Материалы межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи. Минск, 1992. - С.'14.

2. Рашид А. Н., Лапко С. Л. Консервативные разностные схемы для многомерного уравнения коньактивного переноса. Материалы межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи. Минск, 1992. - С. 116.

3. Рашид А.Н. (Насер Р. А. 3 Математическое моделирование вихревых образований свободно-конвективного типа. Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и инормационное обеспечение. Материалы межреспубликанской научно-практической конеренции творчнекой молодежи. Минск, 1530. - С. 112-113.

4. Лапко С.Л., Рашид А. Н. Разностные схемы для многомерного уравнения конвективной диффузии // Дифференц.уравнения. - 1992.

- Т. 28, N Св печати).

5. Лапко С. Л. Раиид А. Н. Разностные схемы для задачи тепловой конвекции в переменных вихрь - функция тока // Весц1 АН РБ. Сер. Физ.-мат. наук. - 1392. Св печати).

6. Рашид А. Н. и др. О пояулагранжевом методе реализации условий излучения при численном решении уравнений Новье-Стокса //

Диференц. уравнения. (В печати).