Сопряженный конвективно-кондуктивный теплоперенос в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи Шеремет Михаил Александрович

СОПРЯЖЕННЫЙ КОНВЕКТИВНО-КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ С ЛОКАЛЬНО СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2006

Работа выполнена на механико-математическом факультете ГОУ ВПО "Томский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов Гений Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Матвиенко Олег Викторович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Либин Эдуард Ефимович

Ведущая организация: Институт теплофизики СО РАН

Защита диссертации состоится "3" июля 2006 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "26" мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^

доктор технических наук ¡УдуЛвУ/ Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение теплопереноса в неоднородных средах имеет большое значение при моделировании и оптимизации физических процессов, связанных с производством и рациональным использованием энергии. Общим для этих процессов является наличие, по крайней мере, двух компонент среды (твердое тело и жидкость). Поэтому возникают задачи сопряженного теплообмена, т.е. совместного моделирования теплопереноса как в жидкой фазе, так и в связанных с ней элементах твердой фазы.

Усложнение технических устройств и неотложность многих проблем энергетики и охраны окружающей среды привели к тому, что в последние годы исследование сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса было связано с очень широким кругом задач: проблема отвода тепла во многих приборах, процессах и системах; анализ сопряженного теплопереноса в ядерных энергетических установках, в газовых турбинах при оребрении поверхности; проектирование надежных топливных систем летательных аппаратов нового поколения; моделирование и эксплуатация современных средств транспортировки и хранения вязких нефтепродуктов и т.д.

Каждой из таких задач присущи свои требования к точности определения и полноте моделирования конкретных процессов.

Известны результаты решения ряда важных для практики и теории задач сопряженного теплопереноса (В.И. Терехов, В.В. Иванов, С.Г. Черкасов). Но в этих работах рассматривается или одномерная постановка, в которой влияние свободной конвекции учитывается в граничных условиях III рода, или осесимметричная постановка с учетом одномерного кондуктивного теплопереноса в ограждающих конструкциях.

На сегодняшний день одной из актуальных проблем является теплоэнергосбережение. Решение ее представляет собой достаточно сложную и комплексную задачу. Комплексность заключается в том, что обычно необходимо не только смоделировать рассматриваемый процесс, но и на основе выполненного анализа предложить варианты решения проблемы теплоэнергосбережения. Эмпирический анализ технологических систем теплоснабжения дает лишь стационарные данные, относящиеся к конкретному

рассматриваемому объекту и определенному моменту времени, и не позволяет оценить динамику процесса, которая на практике имеет большое значение. Поэтому эффективным инструментом решения подобного рода задач является применение методов математического моделирования для описания комплекса процессов, протекающих в реальных системах-потребителях тепловой энергии.

По этим причинам исследование закономерностей сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях является актуальной и неизученной до настоящего времени задачей.

Исследования выполнялись по проекту совместного конкурса фундаментальных научных исследований РФФИ и Администрации Томской области в 2005 году (№ 05-02-98006, конкурс р обь а) "Математическое моделирование процесса теплопереноса в объектах теплоснабжения с учетом взаимодействия с окружающей средой".

Цель работы заключается в математическом моделировании нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях (плоская и пространственная постановки) с локально сосредоточенными источниками тепловыделения и неоднородными граничными условиями при конвективно-радиационном теплообмене с внешней средой.

Научная новизна работы. Впервые получено решение задачи сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса при наличии локальных источников температурной неоднородности для области, состоящей из элементов с различными теплофизическими характеристиками. Также впервые учитывается конвективно-радиационный теплообмен с внешней средой на одной из границ.

Практическая значимость. Создан вычислительный комплекс для моделирования сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях с распределенными источниками тепловыделения, а также с учетом конвективно-радиационного теплообмена на одной из внешних границ.

Полученные новые численные результаты могут быть использованы для совершенствования существующих методик расчета теплового состояния промышленных и социальных объектов, а также позволят прогнозировать оптимальный режим теплопотребления. Разработанная математическая модель может быть применена для определения параметров теплового режима объекта теплоснабжения в условиях его "идеальной теплозащиты".

Соответственно созданный математический аппарат может быть использован при разработке нормативов по теплопотреблению объектов жилого фонда социального и промышленного назначения. При этом могут быть учтены факторы старения материалов ограждающих конструкций, износ систем отопления и ряд других.

Степень достоверности результатов проведенных исследований. Обоснованность научных положений и выводов, сформулированных в работе, заключается в следующем:

достоверность подтверждается результатами тестирования разработанных метода и алгоритма на решении ряда менее сложных задач и сопоставлением результатов с экспериментальными данными и теоретическими исследованиями других авторов, опубликованных в международных журналах: International Journal of Heat and Mass Transfer, International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, Applied Thermal Engineering. Автор защищает:

1. Новую математическую модель в переменных "векторный потенциал — вектор завихренности — температура" для описания сопряженного теплопереноса в замкнутом объеме.

2. Алгоритм решения задач сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях, состоящих из элементов с различными теплофизическими характеристиками, при наличии источников температурной неоднородности.

3. Результаты численного моделирования нестационарного сопряженного теплообмена в замкнутых областях.

4. Выводы по сопоставлению результатов моделирования сопряженного теплопереноса в плоской и пространственной постановках.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003), на III семинаре вузов Сибири и Дальнего Востока по теплофизике и теплоэнергетике (Барнаул, 2003), на 6-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 2003), на 9-й Всероссийской научно-технической конференции "Энергетика: экология, надежность, безопасность" (Томск, 2003), на V Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2004), на Международной конференции "Сопряженные задачи механики, информатики и экологии" (Горно-

Алтайск, 2004), на XXVII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2004), на 4-й Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2004), на молодежной конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2005), на XV Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" (Калуга, 2005), на 14-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2005), на XXVIII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 21 работе, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы, включающего 142 наименования, содержит 67 рисунков, 5 таблиц -всего 188 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, показана новизна и практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу современного состояния исследований в области сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса.

Установлено, что в настоящее время математическое моделирование сопряженного теплопереноса в замкнутых областях переживает этап становления. В большей мере проводится анализ только плоских задач при отсутствии каких-либо внутренних температурных неоднородностей. При этом теплообмен с внешней средой или не учитывается (условия теплоизоляции), или учитывается опосредованно (граничные условия I рода).

Во второй главе представлены физическая, геометрическая и математическая модели сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутой прямоугольной области (рис. 1) с локальным источником тепловыделения при условии конвективно-

радиационного теплообмена с окружающей средой на одной из внешних границ.

4 VI

Рис. 1 - Область решения рассматриваемой задачи: 1, 2, 3 - элементы твердой стенки, 4 — газ, 5 — источник тепловыделения

При проведении численного анализа предполагалось, что теплофизические свойства газа и элементов стенки не зависят от температуры, а режим течения является ламинарным. Газ считается ньютоновской жидкостью, несжимаемой и удовлетворяющей приближению Буссинеска.

Движение газа и теплоотдача в полости принимаются двумерными, теплообмен излучением от источника тепловыделения и между стенками — пренебрежимо малым по сравнению с конвективным теплообменом, а газ абсолютно прозрачным для теплового излучения.

В такой постановке процесс переноса тепла в области решения описывается системой нестационарных двумерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска для газа и уравнением теплопроводности для элементов твердой стенки с нелинейными граничными условиями.

Безразмерные уравнения Буссинеска в переменных "вихрь скорости — функция тока - температура" для рассматриваемой задачи имеют вид:

в газовой полости:

ДЧ/ = -2-П

(2)

Д©

(3)

• для элементов твердой стенки:

(4)

Здесь X, У — безразмерные декартовы координаты; г — безразмерное время; и, V — безразмерные скорости;

безразмерная температура; — начальная температура

рассматриваемой области решения; Тт - температура на источнике тепловыделения; *Р — безразмерный аналог функции тока; £2 -безразмерный аналог вектора вихря; Д - оператор Лапласа; БЬ = Г0г0/£ - число Струхаля; /0 - масштаб времени; К0 - масштаб

скорости (скорость конвекции); Сг = Рй:и1,3(Гит-7о)/у2 — число Грасгофа; V - коэффициент кинематической вязкости; р -температурный коэффициент объемного расширения; Рг = у/а — число Прандтля; - коэффициент температуропроводности /-ой

подобласти; ¥о1 = 1? - число Фурье, соответствующее /'-ой подобласти.

Начальные условия для системы уравнений (1) - (4):

= П(Х,Уу0) = 0;

©ДХ.К.О) = 0; / = 1,4; ©4 з © -температура в газовой полости; (5)

®(ЛГ,У,0) = 1 при < у <.

И1+И2+ И„т

Граничные условия для системы уравнений (1) — (4) на внешних границах области решения:

дХ

где Qi = Ы, •

= В!, ©ДХ,Г,т) + В1/

Т0-Ге Тт ~ То

Тит ~То

Тит — Тп

I = 1,3, при +

Ь ¡о

= 0, »=1,3,

ах

при хЛ + 1, 0о^Т;

ь ь

ЗЗДГ.х) ¥ =

дУ н Ь /0

аэз^г.т) Л ^ ь+н+ы /21\ . г

57 Ь Ъ Ц

на внутренних границах области решения:

дл

¡©I (А", У, т) = 04 (X, У, т), при

¡аэ^.г.т) , еэА(х,у,х) { ж 4'1 аГ~'

(7)

(8) (9)

££ £

(10)

£' £ £ ' *0' ^ £ £ £

oí

<ЭДГ,т)=©4(Х,Г,т), д&}(ХГ,г) . 3&4(X,Y,Z)

„ h +H I, ,, Л , „ Т при —, 0¿t<—; (11)

X L Li tQ

dY

dY

h l l T

Ö^x) =ЩХ,У,X), (12)

ЗЭцХ.Г.х)

er '2 ay '

при * A Äl^ysAlV^W, Oáxá^;

(13)

ЗЗДГ.х) при 3Y 2,1 SY '

0<Г<:^-, 0<х<—;

А

.Т.

V

лг=^н О<Y<&, OST^—; L L íq

(14)

м/

ак при

Z I L t0

h. ^Jlílm, o^x<L

L L L t0

(15)

сш cK

то ;

приХ=-

<Y<-L L L

, Oáx<—; (16)

аЭ.С^Уд) ^ ¿ЕДОК,х) при

дХ

■3,1"

дх

r=A±L/j 0<xA о<T¿I;

L i/o

Z, L L /0

(17)

Здесь Bi, = a.L/Xi — число Био, соответствующее /-ой подобласти;

подобласти; Те - ' температура окружающей среды; а -коэффициент теплообмена; е — приведенная степень черноты; о — постоянная Стефана-Больцмана; Ху=Х^Ху — относительный

коэффициент теплопроводности.

Система уравнений (1) — (4) с соответствующими начальными (5) и граничными условиями (6) — (17) решена методом конечных разностей.

Уравнения (1) - (4) решались последовательно. Каждый временной шаг начинался с вычисления поля температуры в газовой полости и в элементах твердой стенки (уравнения 3, 4), затем решалось уравнение Пуассона для функции тока (2). Далее определялись граничные условия для вектора вихря по формуле Вудса, и решалось уравнение (1).

Для численного решения уравнений (1), (2) применялась разностная схема, которая строится по аналогии с известной схемой переменных направлений, предложенной в работах Douglas J., Peaceman D.W., Rachford H.H. для решения уравнения теплопроводности. Аппроксимация конвективных членов рассматривалась усредненной относительно U и | U | (или V и | V |) для того, чтобы схема не зависела от знака скорости. Уравнения (3), (4) решались с использованием локально одномерной схемы A.A. Самарского, причем для разрешения нелинейного граничного условия III рода использовался метод простой итерации.

Метод решения был протестирован на 6 модельных задачах: движение жидкости в полости с подвижной верхней крышкой; естественная конвекция в замкнутой прямоугольной области; естественная конвекция в замкнутой прямоугольной области с двумя перегородками (вертикальные стенки каверны - при постоянных температурах); естественная конвекция в замкнутой прямоугольной области с двумя перегородками (горизонтальные стенки каверны — при постоянных температурах); естественная конвекция в замкнутой прямоугольной области с участком повышенной температуры на нижней стенке; сопряженная естественная конвекция в замкнутой прямоугольной области, одна из стенок которой имеет конечную толщину.

число Старка, соответствующее /-ой

Рассмотренные модельные задачи показали, что использование разработанного численного алгоритма для моделирования процессов как свободноконвективного, так и сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса дает достаточно хорошее (отклонения по числам N1] составляют не более 10%) согласование с результатами как экспериментальных работ, так и теоретических. Поэтому этот численный алгоритм был применен для моделирования исследовавшегося процесса в замкнутой прямоугольной области, представленной на рис. 1.

Численный анализ основных закономерностей конвективно-кондуктивного теплопереноса был проведен при следующих значениях безразмерных комплексов: ЭЬ = 1, Рг = 0.71, вг = 104 - 107, Ро, = 1.04-10'7, Ро2 = 2.17-10"8, Ро3 = 9.0410"8, В1, = 98.57, ЕИ3 = 69, К, = 4.66-10'3, N3 = 3.27-10"3 (индексы у безразмерных комплексов соответствуют рис. I) и определяющих температур: 0е = -1, ©ит = 1, ©0 = 0. Поскольку рассматривался существенно нестационарный процесс БЬ = 1, для определения масштаба времени необходимо знать масштабы скорости и длины:

?0 = £/К0 = поскольку р = \/Т0 . Распределения

гидродинамических и тепловых параметров (рис. 2—Л)

соответствуют моменту времени т = 5.8 • 104 .

Получены распределения гидродинамических характеристик и температур, характеризующие основные закономерности рассматриваемого процесса (рис. 2^4). Выделены циркуляционные течения в различных зонах области решения, обусловленные влиянием источника тепловыделения, распространением возмущений от элементов твердой стенки, а также динамикой кондуктивного теплопереноса в твердом материале. Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой полости и кондуктивного теплопереноса в элементах твердой стенки.

Показано также влияние числа Грасгофа на гидродинамические и тепловые характеристики.

С увеличением Ог от 104 до 105 происходит объединение циркуляционных зон над источником тепловыделения, при этом масштабы вторичных течений под источником уменьшаются. Ядро вектора завихренности начинает претерпевать структурные изменения, что связано как с увеличением роли подъемной силы,

так и с увеличением интенсивности распространения возмущений от стенок.

1.2

> У

0.9

ы*

> ' 0.6

щ

0.3

ЩИ

* 1.6

Рис. 2 — Типичные линии тока (а) и поле температуры (б) при вг = 10'

Рис. 3 - Типичные линии тока (а) и поле температуры (б) при йг = 10

При Сг = 106 циркуляционные течения над источником тепловыделения сохраняются, а структура основного вихря, находящегося в центре газовой полости, терпит изменения. Линии тока вытягиваются вдоль диагонали прямоугольника, в котором сосредоточен газ. Распространение возмущений от элементов твердой стенки в большей мере происходит в области над источником тепловыделения и в непосредственной близости с поверхностью самого нагревателя. Интенсификация процесса теплопереноса наблюдается в области верхнего правого угла источника тепловыделения, в зоне, где смыкаются два вихря.

О 0.4 0.8 1.2 л: 1.8

Рис. 4 — Поле вектора завихренности при Ог = 10

С ростом числа Грасгофа ядро вектора завихренности скорости продолжает претерпевать структурные изменения, и уже при вг = 107 четкие очертания внутренней области вектора завихренности скорости размыты (рис. 4). Такая картина распределения возмущений характерна для случая интенсификации процесса, когда нельзя выделить какую-то основную зону, где сосредоточено максимальное воздействие возмущений, поскольку при изменении режима течения данная область уже не будет отвечать таким условиям. Т.е. имеет место существенная зависимость режима свободноконвективного течения от числа Ог. Этот вывод подтверждается динамикой рассматриваемого процесса в зависимости от Ог.

Результаты численных исследований также позволяют сделать вывод о значительном влиянии интенсивности теплообмена на границах раздела газа и элементов твердой стенки на нестационарные температурные поля. При этом существенную роль играют источники тепловыделения. Они являются своеобразной преградой для тепловой волны, движущейся от окружающей среды, а также инициируют конвективное течение в газовой полости.

В третьей главе проведен анализ нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутом объеме (рис. 5) с локальными источниками тепловыделения при условии конвективно-радиационного теплообмена с окружающей средой на одной из внешних граней области решения.

В пространственной постановке основные допущения, не накладывающие существенных ограничений на общность формулировки задачи, аналогичны плоской постановке. В области решения рассматривался участок с повышенной интенсивностью теплопередачи, состоящий из двух элементов твердого материала и слоя газа между ними (4 на рис. 5).

х

Рис. 5 — Область решения рассматриваемой задачи: 1—4 - элементы твердого материала, 5 - газ, 6 - источники тепловыделения

В такой постановке процесс переноса тепла в рассматриваемой области (рис. 5) описывается системой нестационарных пространственных уравнений конвекции в приближении Буссинеска для газа и нестационарным пространственным уравнением теплопроводности на основе гипотезы Фурье для элементов твердого материала с нелинейными граничными условиями.

Математическая модель сформулирована в безразмерных переменных "векторный потенциал — вектор завихренности скорости — температура".

• для газа:

г

У

сПх ^ ди

аг х ах 1 д® 2 ЗУ'

но дх дх ег аг л ах

_ дУ ЗУ 1 1 50 --£2,-=-т=Д£2„---,

у ЗУ 2 32 у 2дХ

1 аог {идпг 1Гдпг |уап, д но ^т аг дУ зг х дх _ д!г т 1

(20)

АЧ*х=-2-Пх> (21)

ДЧ», (22)

Д¥2=-2 (23)

1 50 „50 ,,30 п/е0 1

--+ и-+ У-+ №-=-г=Д0, (24)

Но дх дХ ЗУ 32 Рт4ст

• для элементов твердого материала:

1 5© —

= /-1,4. (25)

Бо, дх

Здесь X, У, 2 — безразмерные декартовы координаты; и, V, IV — безразмерные скорости; Ч'*, — безразмерные компоненты

векторного потенциала; Ох, С1У, - безразмерные компоненты вектора завихренности; Но = У^ /Ьх — число гомохронности;

Gт = ^gzI?x{Tm:-TQ)/v2^ — число Грасгофа; Ьх — длина рассматриваемой области решения по оси х.

Начальные условия для системы уравнений (18) - (25):

ч?х(х,г,г,о)=о, ч>у{х,у,г,о)=о, ч>г(х,у,2,о)=о,

ох (х, у, г,о)=о, пу {х, у, г,о)=о, пг (х, у, г,о)=о, (2б)

©¡(Х,У,2,6) = 0, / = 1,5; ©5 == ©- температура в газовой полости за исключением источников тепловыделения, на которых во все время процесса © = 1.

Граничные условия для системы уравнений (18) - (25) • на границе, разделяющей внешнюю среду и рассматриваемую область, записываются граничные условия, отражающие теплообмен за счет конвекции и излучения рассматриваемого объема с внешней средой

<?л -10 ^27)

4 ,

@,(х,у,г, т) + —' ' т

где = Ы,- ( ------- . ,

'т~'0> I ' иг — '{

где / = 1,3,4 в соответствии с рис. 5;

X = 0;

• на всех внешних границах рассматриваемой области кроме границы, на которой осуществляется теплообмен с внешней средой, заданы условия теплоизоляции

аадг,^) =0)Где ,=й ахк ¿ = 1,3;

• на всех участках области решение, где происходит сопряжение материалов с различными теплофизическими параметрами; заданы условия 4-го рода

Щ ^ 35>/ дхк и ехк

©,' = ©/, = Ч/.* Т^к ' где = ^ > = 1>5> к = 1'3' (29)

• на внутренних границах газа и твердого материала, параллельных плоскости Хё:

а©, д&<

=—— = ЧЛ, = 0; 0, =©5, = (30)

х дУ дУ дУ

• на внутренних границах газа и твердого материала, параллельных плоскости У2:

= ^=^,=0; =©5, = / = 1,4; (31)

дХ у г ' 5 дХ 5''дХ

• на внутренних границах газа и твердого материала, параллельных плоскости ХУ:

Задача (18) — (25) с соответствующими начальными (26) и граничными (27) — (32) условиями решена методом конечных разностей.

Методика и алгоритм решения краевой задачи (18) - (32) аналогичны решению задачи (1) — (17).

Разработанный метод решения был протестирован на двух модельных задачах. Рассматривалась естественная конвекция в замкнутом кубе, одна грань которого имеет максимальную температуру, а противоположная грань — минимальную температуру. Остальные грани или адиабатические, или температура на них изменяется по линейному закону.

В результате решения модельных задач было получено достаточно хорошее (отклонения по числам Нуссельта составляют не более 5%) согласование с результатами как экспериментальных, так и теоретических работ. Разработанный численный алгоритм был применен для моделирования процесса нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутом объеме (рис. 5).

Численные исследования проведены при следующих значениях безразмерных комплексов: Но = 1, йг = 105 - 106, Рг = 0.71 и определяющих температур: Т = 253 К, Т„ - 333 К, Т0 = 293 К, Распределения гидродинамических и тепловых параметров (рис. 69) соответствуют моменту времени г = 24 ч.

Получены поля течения и температур, характеризующие основные закономерности рассматриваемого процесса (рис. 6-8). Выделены вихревые движения в различных зонах области решения, обусловленные влиянием как источников тепловыделения, так и динамикой кондуктивного теплопереноса в ограждающих конструкциях.

Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой полости и кондуктивной теплопередачи в элементах твердого материала. Влияние теплопроводности на естественную конвекцию хорошо отражено в подобласти с повышенной интенсивностью теплопередачи, состоящей из двух элементов твердого материала и слоя газа между ними (область 4 на рис. 5). Выделены циркуляционные течения в этой зоне, влияющие на основное вихревое движение в газовой полости.

Проведен также анализ влияния числа Грасгофа на поле скорости и на распределение температуры.

О.в 1.2 1.В 2.4

а

Рис. 6 - Типичные линии тока (а) и поле температуры (б) в сечении х - 0.78 м при йг = 106, Т, К; у, г, м

Рис. 7 - Типичные линии тока (а) и поле температуры (б) в сечении^ = 1.08 м при С5г = 106, Т, К; х, г, м

а б

Рис. 8 - Типичные линии тока (а) и поле температуры (б) в сечении г = 1.74 м при ¿г = 106, Т, К; х, у, м

Увеличение числа Грасгофа от 105 до 106 приводит как к качественному, так и количественному изменению циркуляционных течений, что отражено в несоответствии интегральных характеристик (например, ^ тах > так > тах) • Распределения

изотерм при этом заметно отличаются. Происходит существенное изменение ориентации линий постоянной температуры параллельно оси г. Основной причиной, приводящей к таким изменениям, является не только увеличение роли подъемной силы. Учет переноса массы, количества движения и энергии по третьей координате приводит к соответствующим изменениям полей характерных величин в отличие от плоского случая.

Проведено сравнение результатов моделирования теплопереноса и гидродинамики исследуемого процесса в плоской и пространственной постановках.

Размеры зоны вторичного течения в плоском случае заметно превышают аналогичные в пространственном случае. Такой эффект объясняется тем, что в двумерной постановке движение газовых масс осуществляется только в плоскости без возможных перетоков и теплоотвода во внешние области в третьем направлении. В случае решения пространственной задачи, на распределения как температуры, так и скорости оказывают влияние не только элементы данного сечения, но и вся область в целом.

Характер отличий в распределении температуры аналогичен отличиям в линиях тока. Например, изотермы, соответствующие 295 К и 300 К, охватывают большую площадь, чем в случае пространственной постановки.

Теплоотвод на внешних границах области конвективного теплопереноса приводит не только к снижению абсолютных значений температуры, но и к некоторой стабилизации самого течения и соответственно процесса теплопереноса.

Исследование влияния числа Сг на профиль температуры по длине области решения (рис. 9) в трех характерных сечениях для плоской и пространственной моделей установило зоны существенной температурной неоднородности, а также масштабы отклонения локальных значений температуры для этих моделей.

Установлено, что при определенном уровне интенсивности процессов подвода энергии от источника и отвода через внешние границы вместо роста количества вихревых структур за счет их распада при увеличении Сг и соответствующего изменения

температурных распределений, осуществляется стабилизация течения и теплообмена за счет влияния энергоемкой конденсированной фазы.

Рис. 9 — Распределение температуры в сечении, проходящем над источником тепловыделения при г — 1.8 м (двумерная модель: 1 - вг = 105, 2 - вг = 106; трехмерная модель: 3 - вг = 105, 4 - вг = 106)

Полученные результаты также позволяют сделать вывод о том, что интенсивность теплообмена на внешних границах области термогравитационной конвекции определяет не только абсолютные значения температур, но и характер самого конвективного течения. Регулируя условия теплоотвода на внешних границах области свободноконвективного течения, можно достаточно эффективно управлять течением жидкости, а соответственно и полем температур в этой области. Такой механизм управления тепловым режимом может быть целесообразен при реализации тонких химических технологий, технологий получения элементной базы радиоэлектроники, при получении новых материалов, в биотехнологиях. Выделенный механизм управления тепловым режимом может быть очень эффективным в тех приложениях, где требуются, исходя из регламента основного технологического процесса, определенные уровни градиентов температур или скоростей нагрева или охлаждения объектов.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

т,к

■ к

Ч

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Впервые получено решение задачи нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутой области с локальными источниками тепловыделения при условии конвективно-радиационного теплообмена с окружающей средой на одной из внешних границ и неоднородными граничными условиями.

2. Выделены закономерности сопряженного теплопереноса в широком диапазоне изменения числа Грасгофа 104<Сг<107

(двумерная модель) и 105 < вг < 10б (пространственная модель).

3. плоская модель:

3.1. Получены распределения гидродинамических параметров и температур, характеризующие основные закономерности рассматриваемого процесса.

3.2. Выделены циркуляционные течения в различных зонах области решения, обусловленные влиянием источника тепловыделения, распространением возмущений от элементов твердой стенки, а также динамикой кондуктивного теплопереноса в твердом материале.

3.3. Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой полости и кондуктивного теплообмена в элементах твердой стенки.

3.4. Показаны масштабы влияния числа Грасгофа на гидродинамические и тепловые характеристики.

3.5. Показано значительное влияние интенсивности теплообмена на границах раздела газовой и твердой фаз на нестационарные температурные поля.

4. пространственная модель:

4.1. Получены распределения гидродинамических параметров и температур для характерных сечений области решения.

4.2. Выделены вихревые движения в различных зонах анализируемой области, обусловленные влиянием как источников тепловыделения, так и динамикой кондуктивного теплопереноса в ограждающих конструкциях.

4.3. Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой полости и кондуктивной теплопередачи в элементах твердого материала.

4.4. Выделены циркуляционные течения в зоне с повышенной интенсивностью теплопередачи, влияющие на основное вихревое движение в газовой полости.

4.5. Показаны масштабы влияния числа Грасгофа на поле скорости и распределение температуры.

4.6. Проведено сравнение результатов моделирования теплопереноса и гидродинамики исследуемого процесса в плоской и пространственной постановках. Выделены зоны существенной температурной неоднородности, а также масштабы отклонения локальных значений температуры для этих моделей.

5. Установлено, что при определенном уровне интенсивности процессов подвода энергии от источника и отвода через внешние границы вместо роста количества вихревых структур за счет их распада при увеличении вг и соответствующего изменения температурных распределений, осуществляется стабилизация течения и теплообмена за счет влияния энергоемкой конденсированной фазы.

6. Установлено, что интенсивность теплообмена на внешних границах области термогравитационной конвекции определяет не только абсолютные значения температур, но и характер самого конвективного течения. Контролируя условия теплоотвода на внешних границах области решения, можно достаточно эффективно управлять течением жидкости, а соответственно и полем температур в газовой полости.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Численное моделирование пространственного теплопереноса в составных параллелепипедах с локально сосредоточенными участками тепловыделения // Краевые задачи и математическое моделирование: Сборник трудов 6-й Всероссийской научной конференции 29 ноября - 1 декабря 2003 г. Краевые задачи и методы их решения / НФИ КемГУ; Под общ. ред. В.О. Каледина.-Новокузнецк, 2003.-Т. 1. - С. 108-112.

2. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование процесса теплопереноса на примере типичного объекта теплоснабжения // Материалы девятой Всероссийской научно-технической конференции «Энергетика: экология, надежность, безопасность». - Томск: Изд-во ТПУ, 2003. - Т. 2. - С. 19-23.

3. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование пространственного теплопереноса в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения // Известия Томского политехнического университета. - 2003. -Т. 306, №6.-С. 69-72.

4. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарного теплопереноса через ограждающие конструкции зданий с учетом неоднородного характера теплообмена внутри здания // Ползуновский вестник. — 2004. — №1.-С. 215-218.

5. Кузнецов • Г.В., Шеремет М.А. Пространственное моделирование теплопереноса через ограждающие конструкции в условиях неоднородного теплообмена на границах // V Минский международный форум по тепло- и массообмену: Тезисы докладов и сообщений. - Минск: Институт тепло- и массообмена им. A.B. Лыкова, 2004. - Т. 1. - С. 249-250.

6. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Пространственный теплообмен в замкнутом прямоугольном объеме с локальными источниками тепловыделения // Сопряженные задачи механики, информатики и экологии: Материалы международной конференции. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 142-143.

7. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Численное моделирование пространственного нестационарного теплопереноса в замкнутом объеме с учетом работы локально сосредоточенных источников тепловыделения // XXVII Сибирский теплофизический семинар, посвященный 90-летию академика С.С. Кутателадзе: Тезисы докладов. - Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2004. С. 217-219.

8. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование конвективного теплопереноса в замкнутой области // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. - Томск: Изд-во ТГУ, 2004. С. 407-408.

9. Шеремет М.А. Моделирование конвективно-кондуктивного теплопереноса в области с локально сосредоточенным источником тепловыделения // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): Тезисы докладов. — Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 304.

10. Шеремет М.А. Естественно-конвективный теплообмен в сопряженной постановке // Устойчивость и турбулентность

течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: Доклады молодежной конференции. Вып. X — Новосибирск: Нонпарель, 2005. С. 202-205.

11. Вавилов В.П., Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование термогравитационной конвекции в сопряженной постановке в замкнутой области П Известия Томского политехнического университета. — 2005. - Т. 308, № 5. - С. 104109.

12. Шеремет М.А. Численное моделирование теплообмена в прямоугольной области // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. В 2-х т. Т. 2. -М.: Издательство МЭИ, 2005. С. 470-473.

13. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование нестационарного теплопереноса в замкнутой области с локальным источником тепловыделения // Теплофизика и аэромеханика. - 2005. — Т. 12, №2.-С. 305-314.

14. Шеремет М.А. Задача ламинарной свободной конвекции в сопряженной постановке // 14-ая Всероссийская школа-конференция молодых ученых: Тезисы докладов. - Пермь: Пермский государственный технический университет, 2005. С. 79-80.

15. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование пространственного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутом объеме // XXVIII Сибирский теплофизический семинар, посвященный 70-летию академика В.Е. Накорякова: Тезисы докладов. — Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2005. С. 129-130.

16. Вавилов В.П., Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование нестационарного теплопереноса в системе теплоэнергопотребления с локально сосредоточенным источником тепловыделения в сопряженной постановке // Промышленная теплотехника. — 2005. — Т. 27, № 4. — С. 43-55.

17. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Гидродинамика процесса сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения. Томский государственный университет. -Томск, 2005. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.10.05 № 1268 - В 2005.

18. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Сопряженный конвективно-кондуктивный теплоперенос в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения. Томский государственный университет. — Томск, 2005. - 19 с. — Деп. в ВИНИТИ03.10.05 № 1269-В 2005.

19. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование теплопереноса в объектах теплоснабжения и анализ тепловых потерь // "Современные энергосберегающие тепловые технологии (сушка и тепловые процессы)": Труды Второй Международной научно-практической конференции. — М.: Издательство МЭИ, 2005. С. 163-166.

20. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Сопряженный теплоперенос в замкнутой области с локально сосредоточенным источником тепловыделения // ИФЖ. - 2006. - Т. 79, № 1. - С. 56-63.

21. Шеремет М.А. Нестационарный конвективно-кондуктивный теплоперенос в замкнутом объеме // Сборник научных трудов научной конференции молодых учёных по механике сплошных сред «Поздеевские чтения» - Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 139-141.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД № 00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № -ШЯ пт «2Л.» 03~ 2006 г. Тираж МО экз.

Введение

1. Современные исследования в области сопряженного конвективно- 16 кондуктивного теплопереноса

2. Постановка задачи сопряженного конвективно-кондуктивного 33 теплопереноса при движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой прямоугольной области

2.1. Физическая и геометрическая модели

2.2. Математическая модель

2.3. Краткое описание используемого численного метода

2.4. Метод прогонки решения трехточечных разностных 45 уравнений второго порядка

2.5. Решения уравнения Пуассона для функции тока

2.6. Особенности постановки граничных условий для вектора 49 завихренности скорости

2.7. Аппроксимация уравнения для вектора завихренности 51 скорости

2.8. Аппроксимация уравнения энергии

2.9. Тестовые задачи

2.9.1. Движение жидкости в полости с подвижной 58 верхней крышкой

2.9.2. Естественная конвекция в замкнутой 62 прямоугольной области (левая вертикальная стенка поддерживается при максимальной температуре)

2.9.3. Естественная конвекция в замкнутой 68 прямоугольной области с двумя перегородками (вертикальные стенки каверны - при постоянных температурах)

2.9.4. Естественная конвекция в замкнутой 73 прямоугольной области с двумя перегородками (горизонтальные стенки каверны - при постоянных температурах)

2.9.5. Естественная конвекция в замкнутой 78 прямоугольной области с участком повышенной температуры на нижней стенке

2.9.6. Сопряженная естественная конвекция в замкнутой 82 прямоугольной области, одна из стенок которой имеет конечную толщину

2.10 Численные исследования основных закономерностей 87 сопряженного конвективно-кондуктивного теплообмена при движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой прямоугольной области Постановка задачи сопряженного конвективно-кондуктивного 105 теплопереноса при движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутом объеме

3.1 Физическая и геометрическая модели

3.2 Математическая модель

3.3 Краткое описание используемого численного метода

3.4 Решение уравнения Пуассона для компонент векторного 121 потенциала

3.5 Постановка граничных условий для компонент вектора 123 завихренности скорости

3.6 Аппроксимация уравнения для вектора завихренности скорости

3.7 Аппроксимация уравнения энергии

3.8 Тестовые задачи

3.8.1 Естественная конвекция в замкнутом кубе (случай 130 линейного распределения температуры на гранях)

3.8.2 Естественная конвекция в замкнутом кубе (случай 135 адиабатических граней) 3.9 Численные исследования основных закономерностей 140 сопряженного конвективно-кондуктивного теплообмена при движении вязкой несжимаемой жидкости в замкнутом объеме Заключение

Изучение теплопереноса в неоднородных средах имеет большое значение при моделировании и оптимизации физических процессов, связанных с производством и рациональным использованием энергии. Усложнение технических устройств и неотложность многих проблем энергетики и охраны окружающей среды привели к тому, что в последние годы изучение теплообмена было связано с очень широким кругом задач. Каждой из таких задач присущи свои требования к точности определения и полноте моделирования конкретных процессов, представляющих интерес [1]. Эти задачи относятся как к процессам отвода тепла, космическим исследованиям и производственным процессам, так и к физике атмосферы, геофизике и воздействию на окружающую среду.

Общим для процессов теплопереноса в неоднородных средах является наличие, по крайней мере, двух компонент среды (твердое тело и жидкость). Поэтому возникают сопряженные задачи теплообмена, т.е. совместного моделирования теплопереноса как в жидкой фазе, так и в связанных с ней элементах твердой фазы.

В известных исследованиях теплопереноса основное внимание уделяется конвекции [2-4], при которой относительное движение жидкости создает дополнительный механизм переноса энергии. Конвекция обычно сочетается с теплопроводностью [5], поскольку, хотя движение жидкости и изменяет процесс переноса, окончательная передача энергии от одного элемента жидкости к соседнему элементу осуществляется теплопроводностью. На поверхности теплообмена, а также в самой твердой фазе теплоперенос осуществляется за счет кондукции. Таким образом, изучение сопряженного теплопереноса включает процессы конвекции, теплопроводности, а иногда и процессы излучения [6]. Поэтому совместный анализ передачи тепла как в твердой, так и в жидкой фазах становится очень сложным, хотя его значение в 9 природе и технике вряд ли можно преувеличить.

Конвективно-кондуктивный теплоперенос играет важную роль в природе и во многих отраслях техники, представляющих значительный интерес. Но кроме этого, изучение совместно протекающих процессов естественной конвекции и теплопроводности имеет большое значение в связи с проблемой отвода тепла во многих приборах, процессах и системах [7]. Естественная конвекция совместно с теплопроводностью существенно влияет на предельные значения • тепловых потоков в замкнутых областях [8], и рассмотрение их становится очень важным для задач, в которых другие способы отвода тепла невозможны или неэффективны. В частности, от масштабов естественной конвекции зависит безопасность эксплуатации технических систем в условиях, когда обычные способы отвода тепла непригодны и удаление выделяемого системой тепла проводится за счет этого механизма. Последнее имеет особенно большое значение во многих электронных приборах и системах, а также энергетических ^ установках, где детальное моделирование теплопереноса в процессе проектирования необходимо, чтобы избежать в дальнейшем перегрева при реальной эксплуатации [9-15].

В ядерных энергетических установках конвективный теплообмен осуществляется в контурах с малыми скоростями вынужденного течения и в больших полостях, занимаемых металлами [16-21]. При этом необходимо учитывать теплоотвод через стенки энергетических установок, что связано с анализом влияния окружающей среды. Такие условия существуют в корпусах реакторов, расширительных баках, холодных ловушках непроточного типа [1618, 20]. Проектирование современной трубопроводной арматуры для ядерной энергетики во многом осложнено особенностями ее тепловых режимов [16-21]. Условия теплообмена на поверхности арматуры существенно различны: обычно нижняя часть корпуса теплоизолирована, а верхняя находится в условиях естественно-конвективного и лучистого теплообмена с окружающей t средой [18-20].

Явление естественной конвекции имеет большое значение и в газовых турбинах [22]. Роль ее становится особенно значительной с повышением температуры рабочего тела. Постановка задачи тепловой конвекции в полостях турбин отличается крайней сложностью в первую очередь из-за разнообразия геометрий полостей и граничных условий для уравнения энергии [22, 23]. Увеличение эффективности теплообмена обычно достигается оребрением, что ,# приводит к необходимости анализа не только конвективного теплопереноса в полости турбины, но и кондуктивного теплопереноса в элементах оребрения [24-29].

В последнее время отмечается возросший интерес к использованию водорода и некоторых природных газов в качестве перспективных топлив для авиационной техники нового поколения [30-32]. Особенностью применения указанных топлив является использование их в жидком состоянии при низких, в том числе и криогенных температурах. Проектирование надежных топливных систем летательных аппаратов требует детального изучения процессов тепломассообмена, протекающих в криогенных топливных баках в различных эксплуатационных режимах, основным из которых является свободная конвекция в жидкой фазе и кондуктивный теплоперенос в стенках топливных баков [30].

Значительная часть энергии, выделяемой при работе радиоэлектронной аппаратуры, превращается в тепловую путем теплопроводности и естественной конвекции, что приводит к повышению температуры приборов [33, 34]. Это ухудшает изоляционные свойства, изменяет плотность и подвижность носителей тока в полупроводниках, вызывает снижение индуктивности насыщения в сердечниках. Для обеспечения нормального теплового режима необходимо специально разрабатывать оптимальную систему охлаждения и выбирать ее параметры.

В основе проектирования и эксплуатации современных средств f транспортировки и хранения вязких нефтепродуктов также лежат результаты исследований теплообмена между нефтепродуктами и ограждающими элементами конструкции танков судов и резервуаров [35]. Величина теплопотерь через стенки ограждающих конструкций составляет от 30 до 70% количества тепла, расходуемого на подогрев нефтепродуктов.

Свободная конвекция в ряде случаев существенно влияет на теплообмен трубопроводов (нефть, сжиженный газ) с окружающей средой [13,14,36]. Л Вопросы свободно-конвективного теплообмена имеют большое значение и в строительной теплофизике [37, 38]. Процессы тепло- и массообмена в помещениях зданий и ограждающих конструкциях связаны с влиянием климатических условий, а также с работой систем кондиционирования и отопления [39, 40]. Естественно-конвективный теплообмен оказывает большое влияние на распространение пожара в помещении [41-44].

Современные объемные монокристаллы являются исходным материалом для микро- и оптоэлектроники, нелинейной оптики, лазерной техники [45-47]. Для промышленных и научных целей их получают различными методами вытягивания из расплава, в частности, различными вариантами метода Чохральского. Упрощенной моделью процессов конвективно-кондуктивного теплообмена в методе Чохральского может быть свободная или смешанная конвекция у холодного диска, осесимметрично расположенного на свободной поверхности жидкости, заполняющей до некоторого уровня z = H ф цилиндрический сосуд, и кондуктивный теплоперенос как в стенках сосуда, так и в самом кристалле [45-47].

Приведенные выше примеры подтверждают важность и практическую значимость решения задач сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса.

Математическое моделирование сопряженного теплопереноса [48, 49] в полной постановке предполагает совместное решение уравнений переноса массы, импульса и энергии для одного или двух теплоносителей (при одностороннем обтекании поверхности) и уравнения энергии для обтекаемого тела с условиями сопряжения температур и тепловых потоков на границах раздела сред. Численная реализация исходной системы уравнений при такой постановке в большинстве случаев представляет собой непростую задачу, требующую значительных объемов памяти и существенных затрат машинного времени даже на современных ЭВМ [50,51].

Известны три подхода при решении сопряженных задач теплообмена: применение интегральных методов решения, основанное на анализе общей структуры стабилизированных установившихся течений [50, 52-54]; пренебрежение теплопереносом в элементах твердой фазы [55—60]; решение сопряженных задач в полной постановке [51,61,62].

Первый подход возможен только при решении достаточно узкого класса сопряженных задач - стабилизированные установившиеся течения. Интегральные методы решения сопряженных задач основаны на анализе общей структуры стабилизированных установившихся течений при обтекании тел внешним теплоносителем. При этом известно [50, 53], что во внешнем потоке можно выделить следующие основные типы течения:

• течение типа пограничного слоя;

• развитые течения в каналах;

• переходные течения;

• отрывные течения;

• присоединенные течения за зонами отрыва и некоторые другие течения.

Разделив обтекаемую поверхность на участки с различным характером течения, используя функциональные соотношения (на основе теоремы Дюамеля) в качестве обобщенных граничных условий и выполнив условие "сшивки" локальных значений температур и тепловых потоков на границе раздела выделенных участков можно записать одно уравнение или систему взаимосвязанных уравнений, описывающих сопряженный теплоперенос в исследуемом объекте. В результате сопряженная задача теплообмена сводится ^ к решению системы взаимосвязанных интегро-дифференциальных уравнений переноса теплоты модифицированного типа [52, 54].

Второй подход к решению сопряженных задач теплообмена не соответствует самому понятию рассматриваемой задачи (нет сопряженности), и полученные результаты в полной мере не характеризуют действительный процесс [55-60].

Третий подход представляет собой непосредственное решение ♦ сопряженной задач на основе совместного исследования полной системы уравнений Навье-Стокса для жидкости и уравнения энергии для твердого тела.

Известно всего несколько результатов решений задач, относящихся к третьему подходу [51, 61, 62]. В основном это задачи в двумерной постановке для достаточно простых областей и в большей степени представляющие собой модельные задачи для апробации численных алгоритмов [51, 61].

Анализ влияния внутренних источников тепловыделения на распределение температуры внутри газовой полости представляет собой самостоятельную вычислительную проблему, связанную с преодолением трудностей, обусловленных существенными температурными градиентами в зоне источника температурной неоднородности. Такие исследования проводились только для конвективных течений без учета кондуктивного теплопереноса в ограждающих твердых стенках [63-66].

Необходимо отметить, что во всех, представленных в периодической печати, работах по анализу сопряженного теплопереноса для уравнения энергии в твердом теле рассматриваются граничные условия I или II рода, без учета лучистого теплообмена с окружающей средой.

Цель работы заключается в математическом моделировании нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях (плоская и пространственная постановки) с локально сосредоточенными источниками тепловыделения и неоднородными граничными условиями при конвективно-радиационном теплообмене с ^ внешней средой.

Научная новизна работы. Впервые получено решение задачи сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса при наличии локальных источников температурной неоднородности для области, состоящей из элементов с различными теплофизическими характеристиками. Также впервые учитывается конвективно-радиационный теплообмен с внешней средой на одной из границ.

Практическая значимость. Создан вычислительный комплекс для Л моделирования сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях с распределенными источниками тепловыделения, а также с учетом конвективно-радиационного теплообмена на одной из внешних границ.

Полученные новые численные результаты могут быть использованы для совершенствования существующих методик расчета теплового состояния промышленных и социальных объектов, а также позволят прогнозировать оптимальный режим теплопотребления. Разработанная математическая модель может быть применена для определения параметров теплового режима объекта теплоснабжения в условиях его "идеальной теплозащиты". Соответственно созданный математический аппарат может быть использован при разработке нормативов по теплопотреблению объектов жилого фонда социального и промышленного назначения. При этом могут быть учтены факторы старения материалов ограждающих конструкций, износ систем отопления и ряд других.

Исследования выполнялись по проекту совместного конкурса фундаментальных научных исследований РФФИ и Администрации Томской области в 2005 году (№ 05-02-98006, конкурс робьа) "Математическое моделирование процесса теплопереноса в объектах теплоснабжения с учетом взаимодействия с окружающей средой".

Степень достоверности результатов проведенных исследований.

Обоснованность научных положений и выводов, сформулированных в работе, заключается в следующем: достоверность подтверждается результатами тестирования разработанных метода и алгоритма на решении ряда менее сложных задач и сопоставлением результатов с экспериментальными данными и численными исследованиями других авторов, опубликованных в международных журналах: International Journal of Heat and Mass Transfer, International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, Applied Thermal Engineering.

Автор защищает:

1. Новую математическую модель в переменных "векторный потенциал -вектор завихренности - температура" для описания сопряженного теплопереноса в замкнутом объеме.

2. Алгоритм решения задач сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутых областях, состоящих из элементов с различными теплофизическими характеристиками, при наличии источников температурной неоднородности.

3. Результаты численного моделирования нестационарного сопряженного теплообмена в замкнутых областях.

4. Выводы по сопоставлению результатов моделирования сопряженного теплопереноса в плоской и пространственной постановках.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003), на III семинаре вузов Сибири и Дальнего Востока по теплофизике и теплоэнергетике (Барнаул, 2003), на 6-й Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк, 2003), на 9-й Всероссийской научно-технической конференции "Энергетика: экология, надежность, безопасность" (Томск, 2003), на V Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2004), на

Международной конференции "Сопряженные задачи механики, информатики и ^ экологии" (Горно-Алтайск, 2004), на XXVII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2004), на 4-й Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск,

2004), на молодежной конференция "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2005), на XV Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" (Калуга, 2005), на 14-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2005), на XXVIII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск,

2005).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журналах: "Теплофизика и аэромеханика" [67], "Промышленная теплотехника" [68], "Инженерно-« физический журнал" [69], Известия Томского политехнического университета

70,71], "Ползуновский вестник" [72]. Содержание работы.

Первая глава отражает современные тенденции в области сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса как в российской науке, так и за рубежом.

Вторая глава посвящена решению двумерной задачи нестационарного Ф сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутой области.

В этой главе представлены физическая, геометрическая и математическая постановки плоской задачи. Проводится анализ используемого численного метода и применение его непосредственного для решения полученной системы уравнений. Для верификации используемого численного алгоритма приведены тестовые задачи, которые показали достаточно хорошее согласование с работами других авторов. Проведен анализ исследуемой плоской задачи, получены типичные поля течения и температуры, и проанализированы особенности рассматриваемого процесса.

Результаты численных исследований выполнены для режимов свободноконвективного теплопереноса, соответствующих числам Грасгофа до 107. Получены распределения гидродинамических параметров и температур, характеризующие основные закономерности рассматриваемого процесса. Выделены циркуляционные течения в различных зонах области решения, обусловленные влиянием источника тепловыделения, распространением возмущений от элементов твердой стенки, а также динамикой кондуктивного теплопереноса в твердом материале. Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой фазе и кондуктивного теплопереноса в элементах твердой фазы.

Результаты численных исследований также позволяют сделать вывод о значительном влиянии интенсивности теплообмена на границах раздела газа и элементов твердого материала на нестационарные температурные поля. При этом существенную роль играют источники тепловыделения. Они являются своеобразной преградой для тепловой волны, движущейся от окружающей среды, а также инициируют конвективное течение в газовой полости.

В третьей главе представлена пространственная модель конвективно-кондуктивного процесса теплопереноса в замкнутом объеме с двумя источниками температурной неоднородности. Анализируются разностные схемы для решения полученной системы дифференциальных уравнений. Верификация численного метода также проходит на модельных задачах. В результате проведен анализ как гидродинамических, так и термических особенностей исследуемого процесса. Исследования проведены при умеренных числах Грасгофа Gr = 105 - 106.

Получены пространственные распределения основных гидродинамических параметров и температур для характерных сечений. Выделены вихревые движения в различных зонах области решения, обусловленные влиянием как источников тепловыделения, так и динамикой кондуктивного теплопереноса в ограждающих конструкциях.

Установлены масштабы взаимного влияния конвективного теплопереноса в газовой среде и кондуктивного теплопереноса в элементах твердой стенки. Одна из подобластей решения моделировала зону с повышенной интенсивностью теплопередачи, состоящую из двух элементов твердого материала и слоя газа между ними. Выделены циркуляционные течения в этой зоне, влияющие на основное вихревое движение в газовой полости.

Также проведен анализ влияния числа Грасгофа как на распределение температуры, так и на поле скорости.

Проведено сравнение результатов моделирования исследуемого процесса в плоской и пространственной постановках.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

3. общие выводы для плоской и пространственной моделей:

3.1. Установлено, что при определенном уровне интенсивности процессов подвода энергии от источника и отвода через внешние границы вместо роста количества вихревых структур за счет их распада при увеличении Gr и соответствующего изменения температурных распределений, осуществляется стабилизация течения и теплообмена за счет влияния энергоемкой конденсированной фазы.

3.2. Установлено, что интенсивность теплообмена на внешних границах области термогравитационной конвекции определяет не только абсолютные значения температур, но и характер самого конвективного течения. Регулируя условия теплоотвода на внешних границах области свободноконвективного течения, можно достаточно эффективно управлять течением жидкости, а соответственно и полем температур в этой области. Такой механизм управления тепловым режимом может быть целесообразен при реализации тонких химических технологий, технологий получения элементной базы радиоэлектроники, при получении новых материалов, в биотехнологиях. Выделенный механизм управления тепловым режимом может быть очень эффективным в тех приложениях, где требуются, исходя из регламента основного технологического процесса, определенные уровни градиентов температур или скоростей нагрева или охлаждения объектов.

В завершении диссертации автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.В. Кузнецову за помощь в проведении представленных исследований и обсуждении полученных результатов, а также за моральную поддержку и теплоту человеческих отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе впервые проведено математическое моделирование нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутой области (плоская и пространственная модели) с локально сосредоточенными источниками тепловыделения при условии конвективно-радиационного теплообмена на одной из внешних границ.

Численное исследование выполнено с помощью разработанного конечно-разностного алгоритма в диапазоне изменения числа Грасгофа 104 <Gr<107 (двумерная модель) и 105 < Gr < 106 (пространственная модель).

1. Полежаев В.И. Свободная конвекция: обзор моделей, методов и приложений // Труды 1 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1994. - Т.2. - С. 3-10.

2. Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. М.: Мир, 1983.-400 с.

3. Соковишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. - 224 с.

4. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. Т. 1. -678 с.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -600 с.

6. Блох А.Г. Основы теплообмена излучением. М.: Госэнергоиздат, 1962. -330 с.

7. Lee J.R., На M.Y. A numerical study of natural convection in a horizontal enclosure with a conducting body // International Journal of Heat and Mass Transfer 2005. - Vol. 48. - Pp. 3308-3318.

8. Большов Л.А., Кондратенко П.С. Пограничные слои и особенности распределения теплоотдачи энерговыделяющей жидкости // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1998. - Т.З. -С. 50-53.

9. Гусев С.Е., Пиндрус А.А., Шохина О.С. Ламинарная свободная конвекция около горизонтального цилиндра // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 61-63.

10. Свиридов Е.М. Процесс замерзания воды внутри горизонтальной трубы // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002.-Т.З.-С. 140-143.

11. Григорук Д.Г., Кондратенко П.С. Свободная конвекция энерговыделяющей жидкости в цилиндрической геометрии // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. -С. 57-60.

12. Кондратенко П.С., Никольский Д.В. Свободная конвекция в квазидвумерной геометрии // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 87-90.

13. Теплообмен в ядерных энергетических установках / Б.С. Петухов, Л.Г. Генин, С.А. Ковалев, C.J1. Соловьев. М.: Изд-во МЭИ, 2003. - 548 с.

14. Матюхин Н.М., Сорокин А.П. Нестационарная естественная конвекция и проблемы моделирования устройств аварийного расхолаживания ЯЭУ // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002.-Т.З.-С. 108-111.

15. Горобец В.Г. Влияние неизотермичности на теплоотдачу пучка труб с плавниковым оребрением при наличии покрытия на внешней поверхности // V

16. Минский международный форум по тепло- и массообмену (электронная версия докладов). Минск: Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова, 2004.

17. Горобец В.Г. Исследование теплоотдачи новых типов вертикальных поверхностей с дискретным оребрением в условиях свободной конвекции // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1998.-Т.З.-С. 58-60.

18. Самородов А.В. Влияние компоновочных параметров труб со спиральными ребрами в шахматном пучке на свободноконвективный теплообмен // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1998. - Т.З. - С. 143-146.

19. Волков А.В., Самородов А.В., Кунтыш В.Б. Свободноконвективный теплообмен малорядных шахматных пучков из оребренных труб для вязких теплоносителей // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 41-44.

20. Горобец В.Г. Теплообмен и оптимальные размеры горизонтальной цилиндрической поверхности с поперечным разрезным оребрением при естественной конвекции // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 53-56.

21. Богданова М.В., Миловская Л.С., Фалеев В.В. Моделирование теплопереноса в криоемкости при наличии переменного внешнего теплового потока // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. -Москва, 1998. Т.З. - С. 42-45.

22. Макаров М.В., Яньков Г.Г. Методика численного расчета процессов тепломассообмена в криогенном топливном баке // Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1998. - Т.З. - С. 96-99.

23. Макаров М.В., Яньков Г.Г. Численное исследование процессов тепломассообмена в криогенном топливном баке // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 102— 107.

24. Дульнев Г.Н., Семяшкин Э.М. Теплообмен в радиоэлектронных аппаратах. Л., 1968. - 360 с.

25. Краус А.Д. Охлаждение электронного оборудования. Л., 1971. - 248 с.

26. Костылев И.И. Подогрев груза на танкерах. Л., 1976. - 104 с.

27. Дрейцер Г.А., Кузьминов В.А. Расчет разогрева и охлаждения трубопроводов. М., 1977. - 128 с.

28. Terekhov V.I., Terekhov V.V., Grishchenko V.V. Heat-transfer control in vertical enclosures with multiple fins attached to the walls // Proc. 6th ISHT. -Beijing, 2004.-Pp. 578-582.

29. Лыков A.B. Теоретические основы строительной теплофизики. Минск, 1961.-520с.

30. Грищенко В.В., Низовцев М.И., Терехов В.В., Терехов В.И. Математическое моделирование теплопереноса в прослойке между слоями остекления // Известия ВУЗов. Строительство. 2002. - № 7. - С. 120-127.

31. Костоломов И.В., Кутушев А.Г. Численное исследование процесса принудительного воздухообмена в помещении // Теплофизика и аэромеханика. 2005. - Т. 12, №4. - С. 623-635.

32. Романенко П.Н., Бобырь Н.Ф., Башкирцев М.П. Теплопередача в пожарном деле. М., 1969. - 426 с.

33. Каменщиков Л.П., Быков В.И., Амельчугов С.П. Численное моделирование распространения дыма в зданиях повышенной этажности //

34. Труды 2 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1998. -Т.З.- С. 80-83.

35. Пузач С.В., Казеннов В.М. Некоторые закономерности тепломассообмена при пожаре в помещении // ИФЖ. 2002. - Т.75, № 5. - С. 130-137.

36. Бердников B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского // ИФЖ. 2001. - Т.74, № 4. -С. 122-127.

37. Лыков А.В. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978. -480 с.

38. Лыков А.В., Алексашенко А.А., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск: Изд-во БГУ, 1971. - 346 с.

39. Merrikh A.A., Lage J.L. Natural convection in an enclosure with disconnected and conducting solid blocks // International Journal of Heat and Mass Transfer-2005. Vol. 48. - Pp. 1361-1372.

40. Петрикевич Б.Б., Панин С.Д., Астрахов А.В. Применение интегральной теории пограничного слоя для решения сопряженных задач теплообмена в каналах высокоэнергетических установок // ИФЖ. 2000. - Т. 73, № 1. - С. 131-137.

41. Горобец В.Г. Сопряженный теплообмен вертикальных поверхностей с непрерывным оребрением при естественной конвекции // Изв. РАН. Энергетика. 2003. - № 3. - С. 132-140.

42. Бароцци Г.С., Пальярини Г. Метод решения сопряженных задач теплообмена: вариант полностью развитого ламинарного течения в трубе // Теплопередача. -1985. Т. 107, № 1. - С. 72-79.

43. Adjlout L., Imine О., Azzi A., Belkadi М. Laminar natural convection in an inclined cavity with a wavy wall // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2002. Vol. 45. - Pp. 2141-2152.

44. Abourida В., Hasnaoui M. Numerical study of partitions effect on multiplicity of solutions in an infinite channel periodically heated from below // Energy Conversion and Management. 2005. - Vol. 46. - Pp. 2697-2717.

45. Piazza I.D., Ciofalo M. Low-Prandtl number natural convection in volumetrically heated rectangular enclosures I. Slender cavity, AR = 4 // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2000. - Vol. 43. - Pp. 3027-3051.

46. Arcidiacono S., Piazza I.D., Ciofalo M. Low-Prandtl number natural convection in volumetrically heated rectangular enclosures II. Square cavity, AR = 1 // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2001. - Vol. 44. - Pp. 537-550.

47. Arcidiacono S., Ciofalo M. Low-Prandtl number natural convection in volumetrically heated rectangular enclosures III. Shallow cavity, AR = 0.25 // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2001. - Vol. 44. - Pp. 3053-3065.

48. Oosthuizen P.H., Paul J.T. Natural convection in a rectangular enclosure with two heated sections on the lower surface // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2005. - Vol. 26. - Pp. 587-596.

49. Liaqat A., Baytas A.C. Conjugate natural convection in a square enclosure containing volumetric sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2001. Vol. 44. - Pp. 3273-3280.

50. Инаба X. Свободная конвекция в наклонном прямоугольном канале при нагреве от нижней поверхности // Теплопередача. 1986. - Т. 108, № 4. - С. 2834.

51. Пуликакос Д. Свободная конвекция в заполненном жидкостью ограниченном пространстве, порожденная наличием одной вертикальной стенки с горячим и холодным участками // Теплопередача. 1985. - Т. 107, № 4.-С. 98-107.

52. Aubinet М., Deltour J. Natural convection above line heat sources in greenhouse canopies // Int. J. Heat and Mass Transfer 1994 - Vol. 37, № 12. - Pp. 1795-1806.

53. Young Т., Vafai K. Convective flow and heat transfer in a channel containing multiple heated obstacles // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1998. -Vol. 41.-Pp. 3279-3298.

54. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование нестационарного теплопереноса в замкнутой области с локальным источником тепловыделения // Теплофизика и аэромеханика. 2005. - Т. 12, №2. - С. 305-314.

55. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Сопряженный теплоперенос в замкнутой области с локально сосредоточенным источником тепловыделения // ИФЖ. -2006.-Т. 79, № 1.-С. 56-63.

56. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Моделирование пространственного теплопереноса в замкнутом объеме с локально сосредоточенными источниками тепловыделения // Известия Томского политехнического университета. 2003. -Т. 306,№6.-С. 69-72.

57. Вавилов В.П., Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование термогравитационной конвекции в сопряженной постановке в замкнутой области // Известия Томского политехнического университета. -2005. Т. 308, № 5. - С. 104-109.

58. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Математическое моделирование нестационарного теплопереноса через ограждающие конструкции зданий с учетом неоднородного характера теплообмена внутри здания // Ползуновский вестник. 2004. - № 1. - С. 215-218.

59. Якоб М. Вопросы теплопередачи. М.: ИЛ, 1960. - 360 с.

60. Королев С.А. Численное исследование тепловой конвекции в условиях сопряженного теплообмена: Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. Ижевск, 2004.-19 с.

61. Catton I. The effect of insulating vertical walls on the onset of motion in a fluid heated from below // Int. J. Heat and Mass Transfer 1972. - Vol. 15. - Pp. 665-672.

62. Ким Д.М., Висканта P. Влияние теплопроводности стенки на теплообмен при свободной конвекции в полости квадратного сечения // Теплопередача.- 1985.-Т. 107,№ 1.-С. 141-150.

63. Эль-Шербини, Холландс, Рейтби. Влияние температурных граничных условий на свободную конвекцию в вертикальных и наклонных слоях воздуха // Теплопередача. -1982. Т. 104, № з. с. 107.

64. Catton I., Bejan A., Greif R., Hollands K.G.T. Natural Convection in Enclosures // Proceedings of a Workshop on Natural Convection. July 18-21, 1982. - Breckenridge.

65. Larson D.W., Viskanta R. Transient combined laminar free convection and radiation in a rectangular enclosure // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - Vol. 78. -Pp. 68-85.

66. Koutsoheras W., Charters W.W.S. Natural convection phenomena in inclined cells with finite walls- a numerical solution // Solar Energy. 1977. - Vol. 19. - Pp. 433-438.

67. Мейер, Митчелл, Эль-Вакил. Влияние тепловых свойств ячейки на свободную конвекцию в наклонных прямоугольных ячейках // Теплопередача. -1982.-Т. 104, № 1.-С. 120.

68. Kim D.M., Viskanta R. Heat transfer by combined wall conduction and natural convection through a rectangular solid with a cavity // Proceedings of the

69. ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference. New York. - 1983. - Vol. 1. -Pp. 313-322.

70. Kaminski D.A., Prakash C. Conjugate natural convection in a square enclosure effect of conduction on one of the vertical walls // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1986. - Vol. 29. - Pp. 1979-1988.

71. Kimura S., Bejan A. The "heatline" visualization of convective heat transfer // ASME J. Heat Transfer. 1983. - Vol. 105. - Pp. 916-919.

72. Morega A.M., Bejan A. Heatline visualization of forced convection boundary layers // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1993. - Vol. 36. - Pp. 3957-3966.

73. Deng Q.H., Tang G.F. Numerical visualization of mass and heat transport for conjugate natural convection/heat conduction by streamline and heatline // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2002. - Vol. 45. - Pp. 2373-2385.

74. Aydin O. Determination of optimum air-layer thickness in double-pane windows // Energy and Buildings. 2000. - Vol. 32. - Pp. 303-308.

75. Aydin O. Conjugate heat transfer analysis of double pane windows // Building and Environment. 2006. - Vol. 41. - Pp. 109-116.

76. House J.M., Beckermann C., Smith T.F. Effect of a centered conducting body on natural convection heat transfer in an enclosure // Numerical Heat Transfer, Part A.-1990.-Vol. 18.-Pp. 213-225.

77. Oh J.Y., Ha M.Y., Kim K.C. Numerical study of heat transfer and flow of natural convection in an enclosure with a heat-generating conducting body // Numerical Heat Transfer, Part A. 1997. - Vol. 31. - Pp. 289-304.

78. Ha M.Y., Jung M.J., Kim Y.S. A numerical study on transient heat transfer and fluid flow of natural convection in an enclosure with a heat-generating conducting body // Numerical Heat Transfer, Part A. 1999. - Vol. 35. - Pp. 415434.

79. Ермолаев И.А., Жбанов А.И., Кошелев B.C. Моделирование естественной термогравитационной конвекции в горизонтальных каналах с сечением нерегулярной формы // ИФЖ. 2003. - Т. 76, № 4. - С. 134-137.

80. Spiegel Е.А. and Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid // Astrophys. J. 1960. - Vol. 131, № 5. - Pp. 442-447.

81. Чжун 3.B., Ян К., Ллойд Дж.Р. Влияние переменности свойств на ламинарную свободную конвекцию в квадратной полости // Теплопередача. -1985.-Т. 107, № 1.-С. 135-141.

82. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximations applicable to a thin layer of fluid // Astrophys. J. 1962. - Vol. 136, № 3. - Pp. 1126-1133.

83. Кочин H.E., Кибель И.А., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. - 4.1. - 584 с.

84. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. - 736 с.

85. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, 1960.-510 с.

86. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

87. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288 с.

88. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунини Е.Л. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. - № 5. - С 57-62.

89. Israeli М. A fast implicit numerical method for time dependent viscous flows // Studies in Applied Mathematics. 1970. - Vol. 49, № 4. - Pp. 327-349.

90. Самарский А.А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977. - 656 с.

91. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962. -Т. 2.-620 с.

92. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

93. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.-840 с.

94. Douglas J. On the numerical integration of uxx + uyy=ut by implicit methods

95. J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1955. - Vol. 3, No. 1. - Pp. 42-65.

96. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1955. - Vol. 3, No. l.-Pp. 28-41.

97. Тарунин E.JI. Двухполевой метод решения задач гидродинамики вязкой жидкости. Пермь, 1985. - 88 с.

98. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. - 225 с.

99. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. - Т. 2. - 392 с.

100. Тарунин Е.Л. Анализ аппроксимации формул для вихря скорости на твердой границе. В кн.: Гидродинамика. Ученые записки. - Пермь. - 1976. -вып.9,№ 152.-С. 167-178.

101. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости // Численные методы МСС. 1978. - Т. 9, № 7 - С. 97-111.

102. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь, функция тока // Численные методы МСС. 1979. - Т. 10, № 2 - С. 49-58.

103. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.: Энергия, 1964.-208 с.

104. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

105. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991.-Т.2.-555 с.

106. Rogers S.E., Kwak D. An Upwind Differencing Scheme for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Applied Numerical Mathematics. 1991. -Vol. 8.-Pp. 43-64.

107. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method // J. Comput. Phys. -1982. Vol. 48. - Pp. 387-411.

108. G. de Vahl Davis. Natural convection of air in a square cavity: a bench numerical solution // International Journal for Numerical Methods of Fluids 1983. -Vol.3.-Pp. 249-264.

109. Hortmann M., Peric M., Sheuerer G. Finite volume multigrid prediction of laminar natural convection: benchmark solutions // International Journal for Numerical Methods of Fluids 1990. - Vol. 11. - Pp. 189-207.

110. Kalita J.C., Dalai. D.C., Dass A.K. Fully compact higher-order computation of steady-state natural convection in a square cavity // Phys. Rev. E64 (066703). -2001.-Pp. 1-13.

111. Lage J.L., Bejan A. The Ra-Pr domain of laminar natural convection in an enclosure heated from the side // Numerical Heat Transfer, Part A. 1991. - Vol. 19. -Pp. 21—41.

112. Полежаев В.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. - № 2. - С. 103-111.

113. Ben-Nakhi A., Chamkha A.J. Natural convection in inclined partitioned enclosures // Heat Mass Transfer. 2005.

114. Raji A, Hasnaoui M, Zrikem Z Natural convection in interacting cavities heated from below // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. -1997. Vol. 7, № 6. - Pp. 580-597.

115. Calcagni В., Marsili F., Paroncini M. Natural convective heat transfer in square enclosures heated from below // Applied Thermal Engineering. 2005. - Vol. 25.-Pp. 2522-2531.

116. Aziz К., Heliums J.D. Numerical solution of three-dimensional equations of motion for laminar natural convection // The physics of fluids. 1967. - Vol. 10, № 2.-Pp. 314-324.

117. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. СО АН СССР, 1967. - 195 с

118. Douglas J., Rachford Н. On the numerical solution of heat conduction problems on two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. - Vol. 82,№2.-Pp. 421-439.

119. Douglas J. Alternating direction methods for three space variables // Numer. Math. 1962. - Vol. 4, № 6. - Pp. 41-63.

120. Leong W.H., Hollands K.G.T., Brunger A.P. Experimental Nusselt numbers for a cubical-cavity benchmark problem in natural convection // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. - Vol. 42. - Pp. 1979-1989.

121. Волков П.К., Переверзев A.B. Метод конечных элементов для решения краевых задач регуляризованных уравнений несжимаемой жидкости в переменных "скорость давление" // Математическое моделирование. - 2003. -Т. 15, №3.-С. 15-28.

122. Гинкин В.П., Ганина С.М. Метод и программа расчета трехмерной конвекции на сетках большой размерности // Труды 3 Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 2002. - Т.З. - С. 49-52.

123. Fusegi Т., Hyin J.M., Kuwahara K. A numerical study of 3D natural convection in a differently heated cubical enclosure // International Journal of Heat and Mass Transfer. -1991. Vol. 34. - Pp. 1543-1557.