Построение методов решения вырожденных задач на основе фактор анализа нелинейных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

1 Аппарат факторанализа нелинейных отображений и его дальнейшее развитие

§ 1.1 Р-регулярные отображения.

§ 1.2 Условие невырожденности второго дифференциала.

§ 1.3 Модификация 2-фактороператора.

§ 1.4 Свойства симметричных матриц.

2 Методы решения вырожденных систем нелинейных уравнений

§ 2.1 Алгоритм построения системы линейно независимых векторов

§ 2.2 Процедура преобразования системы нелинейных уравнений

§2.3 Метод локализации особенности.

§ 2.4 Первая модификация 2-факторметода.

§ 2.5 Вторая модификация 2-факторметода.

§ 2.6 О выборе метода решения задачи.

3 Вырожденные задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств

§3.1 Метод поиска нерегулярного экстремума на основе модифицированного 2-фактороператора

§3.2 Построение метода с использованием

2-факторфункции Лагранжа.

§ 3.3 Вычислительные аспекты применения методов.

Рассматривается система нелинейных уравнений ш) О, жег, т < п,

0.1)

V 1т{х) а также классическая задача на условный экстремум ф) А = {х £ К" | Р(ж) = 0},

0.2) где отображение Р : Мп Мт и функция (р : Жп —> М предполагаются достаточно гладкими.

По своим свойствам нелинейные задачи оптимизации и операторные уравнения можно разделить на два существенно различающихся класса: невырожденные задачи (их также называют регулярными) и задачи вырожденного типа (нерегулярные). Для невырожденных задач в решении выполняется условие регулярности: первая производная отображения Р является сюръективным линейным оператором.

В настоящей работе рассматриваются вырожденные задачи. А именно, при исследовании нелинейной системы (0.1) предполагается, что отображение Р может быть вырождено (нерегулярно) в точке ж*, т.е. линейный оператор Е'(х*) несюръективен:

При этом х* называется особой точкой отображения Р и особым решением нелинейного операторного уравнения (0.1). При рассмотрении задачи (0.2) вырождение может иметь разный характер. Будем называть гапк Р'(а;*) < га, или, другими словами согапк Р '{%*) > 0. х* нерегулярным экстремумом или особым решением задачи (0.2), когда в ж* нарушается условие регулярности ограничений и вырожденным экстремумом, когда в точке х* отображение .Р регулярно, но не выполнены классические достаточные условия оптимальности второго порядка. Заметим, что вырожденность оператора Р'{х*) порождает множество решений задачи (0.1) или (0.2) сложной структуры в окрестности особой точки.

Основная задача, поставленная в диссертационной работе, заключается в отыскании особых решений х* системы (0.1) или задачи (0.2). Подчеркнем, что все рассмотрения носят локальный характер.

Вырожденные задачи часто возникают в оптимальном управлении (особые режимы управления [21]), в математической экономике (при использовании производственных функций типа Кобба-Дугласа [9]), в теории ветвления решений нелинейных уравнений [17, 41, 44, 45] и других областях. Поэтому проблема их детального изучения и создания эффективных методов решения представляется весьма актуальной не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

Большинство известных в настоящее время численных методов решения нелинейных операторных уравнений и экстремальных задач были разработаны и применялись в основном для невырожденных задач [18, 37, 40, 42, 43]. Построение этих методов основано на идеях линеаризации: информация о значениях отображения и его первой производной используется для построения следующего приближения к решению операторного уравнения (в случае задачи оптимизации - значение функции, градиента и гессиана). Результаты о сходимости и скорости сходимости таких методов обычно доказываются в некоторых предположениях о регулярности. Однако, в нерегулярном случае линейной аппроксимации уже недостаточно, поскольку классические результаты функционального анализа и теории экстремальных задач, позволяющие охарактеризовать структуру отображения или функционала в некоторой окрестности решения — такие как теорема о неявной функции и теорема Люстерника [5, 36, 40], условия оптимальности Лагранжа-Эйлера [5, 18, 37], — в вырожденных ситуациях становятся бессодержательными. При этом традиционные численные методы либо вообще неприменимы, либо теряют свою эффективность: если даже построенная итерационная последовательность сходится к решению, то, как правило, намного медленнее, чем в регулярном случае [33, 40, 42, 58, 62].

На настоящий момент по вопросам конструктивного описания и построения методов решения вырожденных нелинейных задач опубликовано большое число работ как отечественными (Е.Р.Аваков, А.А.Аграчев, А.В.Арутюнов, А.Б.Бакушинский, К.Н.Белаш, Н.А.Бобылев, Ю.М.Данилин, Д.В.Денисов, А.В.Дмитрук, В.М.Задачин, А.Ф.Измаилов, М.А.Красносельский, А.А.Милютин, Б.Т.Поляк, В.М.Тихомиров, В.А.Треногин, А.А.Третьяков), так и зарубежными (E.L.Allgower, K.Böhmer, M.G.Crandall, D.W.Decker, P.D.Frank, A.O.Griewank, A.Hoy, H.B.Keller, C.T.Kelley, J.Marsden, P.J.Rabier, P.H.Rabinowitz, G.W.Reddien, W.C.Rheinboldt, R.B.Schnabel и др.) авторами.

По всей видимости, началом исследований по проблематике особых решений и численных методов для их отыскания можно считать 1870 год, когда Шредером в [73] бвшо показано, что метод Ньютона обладает только линейной скоростью сходимости к кратному корню одного скалярного уравнения с одним неизвестным {п — т — 1), но квадратичную скорость сходимости можно восстановить домножением стандартного шага метода Ньютона на кратность корня.

Внимание к этой проблематике было привлечено вновь в 1966 г. после появления работы [72], в которой была сделана первая попытка обобщить результаты из [73] на многомерный случай. В свою очередь, работа [72] инициировала целый ряд публикаций [54, 55, 56, 57, 58, 62, 63, 64] и др., где детально исследовалось поведение методов ньютоновского типа в окрестности особого решения. По сути основной результат проведенных в этих работах исследований состоит в следующем: в лучшем случае можно гарантировать линейную скорость сходимости метода Ньютона к особому решению, и, кроме того, выбор достаточно хорошего начального приближения еще не гарантирует сходимость метода к искомому решению (множество подходящих начальных приближений может не содержать окрестности точного решения, хотя это множество, как правило, довольно "плотное" [62, 63]).

Отыскание особых решений связано с еще одной очень существенной трудностью — особые решения могут быть неустойчивы по отношению к возмущениям отображения Р [35] (чтобы увидеть, какие проблемы вызывает этот тип неустойчивости, достаточно попытаться применить метод Ньютона к скалярному уравнению х1 = 5 при любом 6 < 0). Что касается методов ньютоновского типа, то они могут быть неустойчивы также и по отношению к вычислительным ошибкам в окрестности особого решения [63].

На основе проведенных исследований были предложены различные подходы к отысканию особых решений нелинейного операторного уравнения вида (0.1). В первых работах, посвященных этой тематике, были рассмотрены некоторые модификации метода Ньютона, направленные на восстановление присущей методу высокой скорости сходимости (обзор в [58] и [63]). Эти модификации базируются на сочетании многошаговых вариантов метода Ньютона с основной идеей работы [73]. Однако, эти модификации не позволяют преодолеть остальные трудности, упомянутые выше. Кроме того, условия, используемые для обоснования этих модификаций, весьма ограничительные: эти условия могут выполняться лишь при согапк Р'{х*) < 2 [58]. Аналогичные трудности возникают в связи с так называемыми тензорными методами [59, 74]: обоснованные реализации этого подхода известны только для согапк ¥ '(х*) < 1.

В настоящее время доминирующим в области численного отыскания особых решений задачи (0.1) представляется другой подход, связанный с построением так называемых расширенных (определяющих) систем. Насколько известно, этот подход впервые был предложен в работах [70, 76, 77]. Однако, идея этого подхода настолько естественна, что возможно, она использовалась и до этого в каких-то других работах. Основная идея состоит в том, чтобы включить уравнение (0.1) в некоторое семейство уравнений, зависящее от некоторых дополнительных переменных (параметров) таким образом, чтобы оператор новой системы имел сюръективную производную в соответствующем решении. Этот первый этап называется развертка ("unfolding")особенности. Второй этап, получивший название отсечение ("cut"), состоит во введении дополнительных уравнений для того, чтобы расширенная система была полностью определенной и искомое особое решение было бы соответствующим регулярным (изолированным) решением расширенной системы. Тогда это решение можно искать, применяя любой традиционный численный метод (например, метод Ньютона).

В первых публикациях, посвященных подходу "развертка-отсечение", рассматривался только случай corank F'(ж*) = 1. Этот подход получил дальнейшее развитие в работах [63, 65, 66, 68, 69, 78] (по-видимому, этот список можно продолжить), где особое внимание уделялось ослаблению ограничений на согапкР'(ж*), а также получению расширенных систем как можно меньшего размера. Нужно особо отметить работу [71], в которой была предложена минимально расширенная определяющая система для произвольного г, а также работы [60], где делается попытка подведения идеологической базы под "unfolding-cut", и [52], содержащую фундаментальное изложение данного подхода и его реализаций. Среди последних публикаций в рамках данного подхода следует отметить [53, 61, 67].

Заметим, что реализация обоих этапов подхода "развертка-отсечение" требует определенной информированности о структуре вырожденности. Минимальным из таких требований является знание числа г = согапк.Р^ж*). Это можно интерпретировать следующим образом: ищется не просто решение (0.1), и даже не просто особое решение, а особое решение заданного коранга. Основным же недостатком подхода "развертка-отсечение" является то, что размер системы, которую нужно решать, неизбежно увеличивается.

Параллельно с упомянутыми исследованиями велась (и ведется по сей день) работа по содержательной характеризации особых экстремумов и анализу поведения известных методов оптимизации (градиентных, штрафных функций и т.д.) на вырожденных экстремальных задачах [1, 2, 4, 7, 8, 13, 22, 24, 27, 28, 37, 46, 48] и др.

Что касается построения специальных методов решения вырожденных задач оптимизации с ограничениями типа равенств (0.2), то таких методов практически не существует или они обоснованы для узких классов задач [75].

Новые возможности для исследования вырожденных нелинейных отображений, а также для построения эффективных численных методов решения вырожденных задач открылись в 1982-1985 гг. в связи с введением в [47] конструкции р-регулярности. Появление этой конструкции естественным образом объясняется тем, что для анализа структуры вырожденности нужно привлекать информацию о старших производных, что в свою очередь, требует специального математического аппарата. Сначала конструкция ^-регулярности была использована в задачах оптимизации, где впервые давалось описание касательного конуса к поверхности уровня нелинейного отображения в вырожденном случае, а также формулировались необходимые и достаточные условия оптимальности р-го порядка [47]. Одновременно на основе конструкции р-регулярности был доказан ряд теорем о неявной функции в вырожденном случае [50]. Эти качественные результаты позволили построить новые методы для решения нелинейных систем с особенностями [12, 49], обладающие квадратичной скоростью сходимости в вырожденном случае, в первую очередь так называемый 2-факторметод.

В последние годы концепция р-регулярности сформировалась в единую теорию, получившую название факторанализ нелинейных отображений (или теория р-регулярности). Она предоставляет эффективный математический аппарат для исследования широкого класса существенно нелинейных задач. В монографиях [33, 35] изложены основные положения теории факторанализа. Кроме того, в [8] рассмотрены элементы теории 2-регулярности, связанные с экстремальными задачами.

Элементы созданной теории были применены к задачам оптимального управления и вариационного исчисления, к устойчивому решению задач с приближенной информацией и к некоторым задачам математической физики [35]. Таким образом, возникнув из задач оптимизации, концепции теории р-регулярности находят все новое применение в самых различных областях математики, что говорит об универсальности данного подхода к решению разнообразных существенно нелинейных проблем.

Остановимся кратко на существующих методах решения вырожденных задач, построенных на базе аппарата теории р-регулярности.

На идеях 2-факторметода решения систем нелинейных уравнений был предложен новый подход построения регуляризованного уравнения той же размерности, что и (0.1), так чтобы особое решение х* исходного уравнения (0.1) стало регулярным решением построенного уравнения [29, 34, 35]. Однако, известные реализации этого подхода касаются лишь случая п = т. Указанный подход укладывается в рамки рассмотренного выше подхода "развертка-отсечение", но не имеет указанного выше недостатка неизбежного увеличения размера системы уравнений, которую нужно решать. Необходимая информированность о структуре особенности аналогична той, которая требуется для реализаций подхода "ип£окНг^-си1]".

Для случая р-регулярности ограничений задачи (0.2) была построена общая теория содержательных условий оптимальности, основанная на конструкции ^»-регулярности [1, 8, 33, 35, 47, 50] и др. Что касается методов решения задачи (0.2), то здесь следует отметить работу [31] и монографию [35], в которой предложен один подход для отыскания нерегулярных экстремумов и рассмотрен 3-факторметод для случая вырожденного экстремума. Однако, применение этих методов возможно при выполнении некоторого специального условия, которое не всегда выполняется.

Таким образом, проблема создания качественно новых методов аналитического исследования и численного решения вырожденных нелинейных задач, свободных от указанных выше недостатков, представляется весьма актуальной.

Целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие аппарата факторанализа (теории р-регулярности) для исследования структур нелинейных отображений в нерегулярном случае и разработка на базе этих исследований численных методов решения вырожденных систем нелинейных уравнений и задач оптимизации с ограничениями типа равенств.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Разработан новый метод для поиска особых решений систем нелинейных уравнений общего вида.

2. Предложены две модификации 2-факторметода решения вырожденной системы нелинейных уравнений, не содержащие ортопроектор и обладающие квадратичной скоростью сходимости к искомому решению.

3. Построены два новых метода решения нерегулярных задач оптимизации с ограничениями типа равенств. Доказана локальная квадратичная скорость сходимости первого метода и геометрическая второго.

4. Рассмотрен класс отображений, удовлетворяющих новому условию невырожденности второго дифференциала. Доказана широта этого класса.

5. Сформулирован и доказан критерий вырожденности в решении оператора системы нелинейных уравнений.

6. Сформулирован и доказан ряд свойств симметричных матриц, имеющих тривиальное общее ядро.

7. Разработана процедура определения ранга вырождения в искомом решении.

1. Аваков Е.Р. Условия экстремума для гладких задач с ограничениями типа равенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т.25. №5. С.680—693.

2. Аваков Е.Р. Необходимые условия экстремума для гладких анормальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств // Мат. заметки. 1989. Т.45. вып.6. С.3-11.

3. Аваков Е.Р. Теоремы об оценках в окрестности особой точки отображения // Мат. заметки. 1990. Т.47. вып.5. С.3-13.

4. Аграчев A.A. Еще одно условие условного экстремума // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. вып. 5. С. 153-154.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

7. Арутюнов A.B. К теории анормальных экстремальных задач с конечномерным образом// Докл. АН СССР. 1996. Т. 348. №3. С.295-298.

8. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

9. Ашманов С.А. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1978.

10. Вакушинский A.B. Итерационные методы решения нелинейных операторных уравнений при отсутствии регулярности. Новый подход // Докл. АН СССР. 1993. Т.ЗЗО. N3. С.282-284.

11. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

12. Белаш К.Н., Третьяков A.A. Методы решения вырожденных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №7. С.1097-1102.

13. Бобылев H.A., Красносельский М.А. Анализ на экстремум. Вырожденные случаи. // ИПУ АН СССР. М., 1981.

14. Брежнева O.A., Измаилов А.Ф., Третьяков A.A., Хмура А. Один подход к поиску особых решений системы нелинейных уравнений общего вида // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №3. С.365-377.

15. Брежнева O.A., Третьяков A.A. Факторметоды решения нелинейных проблем// В сб. Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде. Екатеринбург: УРО РАН. 2000. С. 111-114.

16. Брежнева O.A., Третьяков A.A. Новые методы решения существенно нелинейных проблем. М.: ВЦ РАН, 2000.

17. Байнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решения нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

19. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.

20. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

22. Данилин Ю.М. Метод Ньютона с регулировкой шага для вырожденных задач минимизации // Докл. АН СССР. 1981. Т.259. N3. С.530-532.

23. Денисов Д.В, Карманов В.Г., Третьяков A.A. Ускоренный метод Ньютона для решения функциональных уравнений // Докл. АН СССР. 1985. Т.281. №6. С.1293-1297.

24. Денисов Д.В, Третьяков A.A. О свойствах регулярных множеств // Вопросы оптимизации и управления. М.: МГУ, 1979. С. 13-19.

25. Денисов Д.В., Третьяков A.A. Описание структуры вырожденных функциональных систем и методы их решения // Методы и алгоритмы в численном анализе. М.: Изд-во МГУ, 1984. С.86-95.

26. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Лю-стерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т.35. вып.6. С.11-46.

27. Задании В.М. Модифицированные методы Ньютона и квазиньютоновского типа с псевдообращениями для решения вырожденных задач. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1987. 152 с.

28. Измаилов А.Ф. Необходимые условия высших порядков в задачах на экстремум // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т.32. №8. С.1310-1313.

29. Измаилов А.Ф. Устойчивые методы для отыскания 2-регулярных решений нелинейных операторных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №9. С.22-34.

30. Измаилов А.Ф. О методах высших порядков для отыскания особых решений нелинейных операторных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №5. С.20-29.

31. Измаилов А.Ф. О методах Лагранжа для отыскания вырожденных решений задач на условный экстремум // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №4. С. 10-17.

32. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Фактор-анализ нелинейных отображений и обобщение понятия 2-регулярности //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т.ЗЗ. №4. С.637-641.

33. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Факторанализ нелинейных отображений. М.: Наука. Физматлит, 1994.

34. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. О локальной регуляризации некоторых классов нелинейных операторных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №7. С. 15-29.

35. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. 2-регулярные решения нелинейных задач. М.: Наука. Физматлит, 1999.

36. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

37. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

38. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решения задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986.

39. Марчу к Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

40. Ортега Дэю., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

41. Обен Ж.-П.,Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

42. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

43. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

44. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения (под ред.Келлера Дж.Б., Антпмана С.) М.: Мир, 1974.

45. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

46. Третьяков A.A. Оценка сходимости метода штрафных функций в задачах с ограничениями из класса Вопросы оптимизации и управления. М.: МГУ, 1980. С.25-35.

47. Третьяков A.A. Необходимые и достаточные условия оптимальности Р-го порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т.24. №2. С.203—209.

48. Третьяков A.A. Регулярность допустимых множеств в оценках скорости сходимости метода штрафных функций // Численный анализ: методы, алгоритмы, приложения. М.: МГУ, 1985. С. 108-116.

49. Третьяков A.A. Некоторые схемы решения вырожденных экстремальных задач // Оптимизация и управление. М.: МГУ, 1985.

50. Третьяков A.A. Теорема о неявной функции в вырожденных задачах // Успехи мат. наук. 1987. Т.42. №5. С.215-216.

51. Шилов Т.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.: Наука, 1969.

52. Allgower E.L. and Böhmer К. Resolving singular nonlinear equations// Rocky Mountain J. Math. 1988. V. 18 P. 225-268.

53. Allgower E.L., Böhmer К., Hoy A. , and Janovsky V. . Direct methods for solving singular nonlinear equations // Z. Angew. Math. Mech. 1999. V.79. т. P.219-231.

54. Decker D.W., Kelley C.T. Newton's method at singular points. I // SIAM J. Numer. Anal. 1980. V.17 №1. P.66-71.

55. Decker D.W., Kelley C.T. Newton's method at singular points. II // SIAM J. Numer. Anal. 1980. V.17. №3. P.465-471.

56. Decker D.W., Kelley C.T. Convergence acceleration for Newton's method at singular points// SIAM J. Numer. Anal. 1981. V.19. №1. P.219-229.

57. Decker D.W., Kelley C.T. Sublinear convergence of the chord method at singular points // Numer. Math. 1983. V.42. P. 147-154,

58. Decker D. W., Keller H.B., Kelley C. T. Convergence rates for Newton's method at singular points // SIAM J. Numer. Analys. 1983. V.20. №2. P.296—314.

59. Feng D., Frank P.D., Schnabel R.B. Local convergence analysis of tensor methods for nonlinear equations // Math. Progr. 1993. V.62. P. 427-459.

60. Fink J.P., Rhemboldt W.C. A geometric framework for the numerical study of singular points // SIAM J. Numer. Anal. 1987. V. 24. №3. P.618-633.

61. Govaerts W. Computation of singularities in large nonlinear systems 11 SIAM J. Numer. Anal. 1997. V.34. P.867-880.

62. Griewank A.O. Star like domains of convergence for Newton's method at singularities // Numer. Math. 1980. V.35. P.95—111.

63. Griewank A.O. On solving nonlinear equations with simple singularities or nearly singular solutions // SIAM Rev. 1985. V.27. №4. P.537-563.

64. Griewank A.O., Osborne M.R. Analysis of Newton's method at irregular singularities // SIAM J. Numer. Anal. 1983. V. 20. JNM. P. 747773.

65. Griewank A.O. , Reddien G.W. Characterization and computation of generalized turning points // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V.21. P.176-185.

66. Griewank A.O., Reddien G.W. The aproximate solution of defining equations for generalized turning points // SIAM J. Numer. Anal. 1996. V.33. P.1912-1920.

67. Hermann M., Kunkel P., Middelman W. Augmented systems for computation of singular points in Banach space problems // Z. Angew. Math. Mech. 1998. V.78. P.39-50.

68. Hoy A. A relation between Newton and Gauss-Newton steps for singular nonlinear equations // Computing. 1988. V.40. P. 19-27.

69. Kunkel P. A tree-based analysis of a family of augmented systems for the computation of singular points // IMA J. Numer. Anal. 1996. V.16. P.501-527.

70. Moore G., Spence A. The calculation of turning points of nonlinear equations // SIAM J. Numer. Anal. 1980. V.17. P.567-576.

71. Rabier P.J., Reddien G.W. Characterization and computation of singular points with maximum rank deficiency // SIAM J. Numer. Anal. V.23, №5. P.1040-1051.

72. Rail L.B. Convergence of Newton's process to multiple solutions // Numer. Math. 1966. V.9 P.23-37.

73. Schroeder E. Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflosung der Gleichungen // Math. Annalen. 1870. V.2. P.317-365.

74. Schnabel R.B., Frank P.D. Tensor methods for nonlinear equations // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V.21. P.815-843.

75. Schnabel R.B., Feng D. Tenzor methods for equality constrained optimization // SIAM J on Optimization 1996. V.6. №3. P. 653-673.

76. Seydel R. Numerical computation of branch points in ordinary differential equations // Numer. Math. 1979. V.32. P.51-68.

77. Weber H., Werner W. On the accurate determination of nonisolated solutions of nonlinear equations // Computing. 1981. V.26. P.315-326.

78. Yamamoto M. A note on solutions of nonlinear equations with singular Jacobian matrices //J- Math. Tokushima Univ. 1983. V.17. P.26-88.