Фактор-методы решения нелинейных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

г...::

р.:-: глций

российская академия наук

институт проблем кибернетики

На прайах рукописи ИЗМАИЛОВ Алексей Феридович

УДК 519.6

ФАКТОР-МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Работа выполнена в Институтб проблем кибернетики Российской Академии Наук.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Третьяков A.A.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Курбатов A.M. кандидат физико-математических наук, доцент Денисов Д.В.

Ведущая организация - ВЦ РАН

Защита диссертации состоится " ^ " 1993 г. в

чаС1| ОО мин. на заседании специализированного совета К 003.78.01 Института проблем кибернетики РАН по адресу: 117312, Москва, ул.Вавилова, д.37.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кащ&щат физ.-мат. наук

А.З.Ишмухаметов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время в различных областях науки, техники и производства все чаще возникают важные теоретические и прикладные задачи, математическая постановка которых сводится к проблеме описания и практического отыскания множеств решений экстремальных задач и операторных уравнений. При этом совершенно особое место занимают нелинейные задачи.

Нелинейные отображения, а значит и соответствующие нелинейные экстремальные задачи и операторные уравнения, можно разделить на два существенно различающихся класса: невырожденные (регулярные) отображения (задачи) и отображения (задачи) вырожденного типа (нерегулярные), причем именно последние являются нелинейными по существу.

Под невырожденным в некоторой точке отображением мы понимаем такое отображение, которое в этой точке удовлетворяет некоторому условию регулярности. Условия регулярности могут быть различны, но сущность всех классических условий регулярности одна - это те дополнительные требования, которые допускают описание локальной структуры отображения на основе его линейной аппроксимации. Это простое соображение, по сути, лежит в основе всего классического гладкого нелинейного анализа. Такой подход позволяет, в предположениях о регулярности, доказать важнейшие в практическом отношении результаты, такие. как теоремы о неявной функции, теорема Люстерника о касательном конусе, содержательная форма принципа Лагранжа и т.д. Совершенно естественно также, что результаты о сходимости и скорости сходимости большинства традиционных численных методов, основанных на идеях линеаризации, обычно доказываются в некоторых предположениях о регулярности.

Для вырожденных в некоторой точке отображений, т.е. таких отображений, которые в данной точке не удовлетворяют некоторым традиционным условиям регулярности, линейной аппроксимации уже недостаточно для сколь-нибудь полного описания их локальной структуры. Поэтому в вырожденном случае те классические результаты, о которых говорилось выше, уже либо неприменимы, либо бессодержательны (как, например, принцип Лагранжа). Аналогичное соображение относится и к большинству известных численных методов - в вырожденных ситуациях они' либо

неработоспособны, либо неэффективны.

Вместе с тем, прикладные задачи, возникающие в таких областях, как ракетодинамика, космическая навигация, механика, управление термоядерным синтезом и многих других, нередко оказываются вырожденными. Поэтому проблема их изучения и создания эффективных методов решения является актуальной.

Новые подходы к исследованию вырожденных задач появились в связи с введением концепции р-регулярности, допускающей построение на ее основе единой теории нелинейных задач.

Целью работы является развитие математического аппарата для исследования существенна нелинейных отображений. При этом, с одной стороны, подводится общая теоретическая база под аппарат фактор-анализа нелинейных отображений и положения теории р-регулярности, а с другой стороны, рассматриваются некоторые приложения этой теории, и, в частности, различные аспекты построения численных методов решения вырожденных задач.

Методика исследования базируется на аппарате р-фактор-операторов и конструкции р-регулярности. При этом применяются теоретические и вычислительные методы линейной алгебры, теории линейных операторов, нелинейного анализа, математического программирования и теории экстремальных задач.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- сформирована концепция фактор-анализа существенно нелинейных отображений;

- построены результаты о локальном представлении вырожденных нелинейных отображений;

- рассмотрен вопрос о типичности свойства 2-регулярности;

- изучены свойства обратимости однородных степени р полиномиальных отображений;

- построены условия оптимальности высших порядков в задачах с особенностями;

- изучены различные аспекты численных методов решения задач с особенностями.

Практическая значимость. Алгоритмы, рассмотренные в диссертации, охватывают широкий класс задач с особенностями и позволяют вффвктивно решать нерегулярные системы нелинейных

уравбений и задачи оптимизации. Теоретические результаты работы могут быть использованы при построении новых численных методов, а также для дальнейшего развития математического аппарата исследования существенно нелинейных задач.

Апробация работы. Материалы диссертации, обсувдались на семинаре отдела прикладной математики Института Проблем Кибернетики РАН (декабрь 1992г., Москва) и были представлены на Первой советско-итальянской конференции по методам и приложениям математического программирования (сентябрь 1992г., Италия) .

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, -объединяющих 9 параграфов, заключения, списка литературы и приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава является теоретической основой всей диссертации. В ней рассматриваются положения, составляющие базу теории р-регулярности.

В §1.1 вводится конструкция р-фактор-оператора в случав общих пространств и, на основании этой конструкции, доказываются аналоги результата о линеаризации для нерегулярных нелинейных отображений.

Пусть X и Y - нормированные линейные пространства, U -некоторая окрестность точки i" в L

Определение I. Отображение F: U - Y, удовлетворяет в точке х* условию регулярности (или, короче, регулярно б х*), если оно дифференцируемо по Фреше в точке х* и

ImP ' (х*) = Y.

В регулярном случае справедлив следующий результат.

Лемма I (о представлении регулярного нелинейного отображения). Пусть X и Y - банаховы пространства,W - окрестность точки X* в X, Fítf (W-7). ImP '(х*) = Y. Тогда существует окрестности U точки 0 и V точки х* в X и диффеолорфизл р: У - V такие, что

р(0) = X*,

F(p(.г)) = Fix*) + F '{x*)lx1 Varet/, причел р '(0) = Ix, где IxíC(X,X) - единичный оператор. '

Таким образом, для регулярного отображения существует такая гладкая криволинейная система координат (с точностью до членов высших порядков малости совпадающая с исходной), в которой это отображение становится линейным. В случае нерегулярного отображения этот результат, разумеется, неверен, но можно доказать его более слабые, но достаточные для многих важных приложений, аналоги в терминах старших производных.

Пусть ЛР(Х-У) - пространство непрерывных однородных степени р полиномиальных отображений пространства X в пространство У. Обозначим через Q[x]p действие отображения QtMp(X,Y) на элемент xtX', пусть

KerQ = { Qfx]p=0 }. Кроме того, будем использовать стандартное обозначение для образа произвольного отображения Ф: X - У:

1шФ = { yiY\ 3 ха: Ф(х)=у ). Также введем обозначение для нормы правого обратного (вообще говоря, многозначного) оператора для отображения Ф: |{ф>~1| = sup ini { \х\ | ха. Ф(х)=у).

Му=1

Пусть X и У - банаховы пространства, ff - окрестность точки х* в X, отображение F: ff - Y дифференцируемо по Фреше до р-го порядка включительно в точке х*. Пусть ImP ' (х*) t Y. Тогда мы можем ввести следующую цепочку пространств:

У, = ImF '(х*),

Yl = 11л 1т 1С{ЧС4_1....«1С2«Р(П(0:*)[-]4 £ 1=?7рГ.

У = 2 , р р

где - У, = а - - канонические

отображения, (=£ГГр. Определим также линейные операторы €£(2{,У{), (=ТТр. следующим образом: является непрерывным продолжением тождественного оператора, действующего из ¥{ в на все пространство (такое продолжение всегда существует - это доказывается в диссертации). Определим операторы П{: У - (=Т7р,

/V /V .

П1 = %1, П4 = 1с4»1с4«,п;1_1«...<чсг, 1=Е7р. Теперь мы можем ввести следующие отображения:

Г С * - V

(г) = ПсР(х), 1=Т7р.

Определение 2. Линейный оператор 9p(x*,h) € £(*,rt-...«lTp).

такой, что

Ф (x*,h)x = (П,Р '(х*)х, Еg*1

Р Пр?(р'(г*)1?г]р-1х) =

= (/^(ж*)®, /г" (ï*)[Wi.....f{pp\x*)[h]p^x),

называется р-фатор-операторол.

Определение 3. Отображение F: W - Y, где X и Y - линейные нормированные пространства, a W - окрестность точки а:* в X, дифференцируемое по Фреше до р-го порядка включительно в точке х*, называется р-регулярннл в точке х*, если

р

Irai (x*,h)=Y Wiet п Кег/|1)(х*)}\{0), р t=i 1

v

либо { П Кег/<п0г*)) = СО). t=t 1

В диссертации доказано, что свойство р-регулярности является типичным в классе вырожденных отображений.

Основной результат §1.1 дается следующей леммой. Лемма 2. (о представлении р-регулярного нелинейного отображения). Пусть X и Y -банаховы пространства, W -окрестность точки х* в X, отображение F: ff - Y дифференцируе-ло по Фреше в Я и илеет производные Фрете во р-го порядка включительно в точке х*, причел первая производная непрерывна в точке х* (в равномерной операторной топологии пространства C(X,Y)). Пусть, кроле того,

вир |{Ф (ж*,Ь)}~1| < «. (I)

М*=1 р

Тогда существуют окрестности U точки Ou 7 точки х* в X и отображения <р : U X и ф: 7 - X такие, что <р(О) = х*, ф(х*) = О, /t«P(x)) =f,(x*) + f {l)(x*)lxll ши. Vl=T7p, ft(x) = ft(x*) + f'{(thx*)[<p(x)ll Ш7, Vt=T-7p, причел фиф дифференцируемы по Фреше в точках 0 и х* соответственно, и

Ф ' (0) = ф '(х*) = 1х. Отметим, что,в отличие от классической леммы Морса и леммы I, отображения ф и ф в лемме 2 могут не быть не только диффеоморфизмами, но и гомеоморфизмами.

Условие (I) - центральное в лемме 2 - сильнее, чем условие р-регулярности. Однако в более частных результатах достаточно требовать выполнения условия р-регулярности. Например, справедлив следующий локальный результат.

Лемма 3. Пусть выполнены все условия леллы 2, кроле, возложно. (I). Пустъ МХ, 1ггФр(х*,?1) = У. Тогда найдутся число е>0 и отображения г,:[0,е] - X, 1=1,2, такие, что /«(Лшг^«)) = /{(аГ) + ^ /<(<)(х*НШ*

У{с[0,е], ТТр.

/4<х*+«Л) = /4(ж*) + ^ /4(1)№*)[(/г+г2(£)]{

УШО.е], У1=Т7р,

|г4({)|х = о(П, 1=1,2.

Леммы о представлении являются базой для построения необходимых и достаточных условий экстремума в выровденных задачах с ограничениями-равенствами. Например, обобщенная теорема Люстерника для выровденных отображений является простым следствием леммы 2. Этим примером далеко не исчерпывается область применения лемм о представлении выровденных нелинейных отображений. Эти леммы составляют логическое ядро теории р-ре-^улярности и фактор-анализа нелинейных отображений.

В §1.2 рассматривается важный класс абсолютно-выровденных отображений, а именно однородные степени р полиномиальные отображения. С одной стороны, это дает хороший пример применения результатов теории р-регулярности, а с другой стороны, класс отображений степени важен как сам по себе, так и для приложений (поскольку для описания структуры вырожденных нелинейных отображений приходится привлекать информацию об их старших дифференциалах, которые являются отображениями степени). По аналогии с классическим линейным анализом, доказывается аналог теоремы Банаха о правом обратном операторе, но уже для нелинейных отображений степени. При этом оказывается, что, в рассматриваемом случае, условия классических теорем нужно дополнять некоторыми условиями типа р-регулярности.

Теорема I. Пусть К и У - банаховы пространства, Qt €ЛР(Х-~У), 1т0 = У . Пусть, кроле того,

I) в случае КегС = {0} выполнено

вир |«2[?г]р-1Г1| < с;

Мх=1

2) в случае КегЗ ? {0} существует х^КвгЯ такой, что </[аг0]1'~1Х = У.

Тогда |{д}-1| <

Отметим еще один результат, полученный в этом параграфе и дающий, в частности, достаточные условия того, что и в бесконечномерном случае условия положительной определенности и сильной положительности квадратичной формы эквивалентны.

Лемма 4 (о сильной положительности). Пусть X и. У -банаховы пространства, ЯеМр(Х,У). Пусть Ь - залкнутое подпространство пространства X, и КегЯ П I = СОК Тогда, если вир |«эт]р"1Г1| < со,

но-

то найдется число а>0 такое,что

[Я1х]р[у > а[х\х ШЬ . В §1.3 для однородных степени р полиномиальных отображений доказываются аналоги теорем о малых возмущениях обратимых и обобщенно-обратимых операторов.

Лемма 5. Пусть А, X, У - банаховы пространства, и -окрестность точки \0 в А, Я: и - ЛР(Х.,У) непрерывно в точке Л0. Тогда, если

3 ШегЯ(\0) : С?(Л0)С?г1 = У. то существуют окрестность и 'я и точка К0 б Л и число С>0 такие, что

|{«?(А.))~1| < С ши '. Лемма 6. Пусть X, У - банаховы пространства, и -окрестность точки в А, (3: и - ЛР(К,У) непрерывно в точке Х0. Тогда, если

Кег<эа0) = (0), 1шв(Л0) « у, вир |{<Э(Л..)Шр-1Г1| < ос,

то существуют окрестность и 'е и точки Х0 в Л и число С>0 такие, что

|{(3(Л.)}-,| < С ши '. Более того, функция |(0(Л,)}~'| полунепрерывна сверху в точке

Особый интерес представляет случай, когда возмущаемое

отобрвжение является гомеоморфизмом. При этом обратимость может пониматься в классическом смысле. Гомеоморфный случай подробно рассмотрен в заключительной части §1.3.

Во второй главе рассматривается проблема характеризации локальных экстремумов в задачах с ограничениями, причем в тех случаях, когда стандартные средства оказываются недостаточными для содержательной характеризации такого рода, а именно, в некоторых предположениях о вырожденности.

В §2.1 изучается задача с регулярными ограничениями-равенствами

<р(х) - т1л , Р(д:) =0, (2)

где <р: X - к1; Р: X - У; X, У - банаховы пространства, для которой не выполнены классические достаточные условия экстремума второго порядка. Для такой задачи необходимые условия второго порядка приводятся к специальной форме.

Пусть

Х*У* - к1, С(х,\) = ф(ж) + <к,Т(х)>, - функция Лагранжа задачи (2).

Теорема 2 (необходимые условия второго порядка). Пусть X, У - банаховы пространства, <р и Р - строго дифферен-цируелые по Фреше в точке х*(Х и имеющие вторую производную Фреше в этой точке отображения окрестности и точки х*еХ в к1 и У соответственно. Тогда, если 1тР '(я*)=У и х*€1осехгг(2), то

1) найдется функционал А.*сУ* такой,что

Сх(х*.\*) = О (условие стационарности функции Лагранжа по х);

2) множество КегСхх(х*) П КегР '(х*) - замкнутое линейное подпространство пространства X, причел однозначно определено линейное отображение

П - а*(П) : КегС(х*,\*) Л КегР ' (х*) - У*

XX

такое, что

£хх(х*Л*)Ш + Р '*(х*)а*т = О для любого НКетСхх(х*,Х*) П КегР ' (х*) (условие 2-сшцио-нарности).

Отметим, что данная теорема эквивалентна классическим необходимым условиям экстремума второго порядка. Точки, удовлетворяющие в данной задаче необходимым условиям экстремума

второго порядка, будем называть 2-стационарным..

Для сокращения записей введем функцию Сг: J«Y*«jf»Y* - ГС1, CAx,\,h,a) = С(х,К) + С (тДНЛ] + áF{x).

tz x

которую можно назвать 2-функцией Лагранжа задачи (2). С помощью теоремы 2 доказываются следующие необходимые условия экстремума третьего порядка.

Теорема 3 (необходимые условия третьего порядка). Пусть X, Y - банаховы пространства, <р и F - двсаЮи. дифференцируемые по Фреше отображения окрестности U точки х*еХ* в гс1 и У соответственно, илещие третьи производные Фреш в точке х*. Тогда, если ImF '(x*)=Y и :r*elocextr(2), то, наряду с утверждениям, теорем I, справедливо следующее: Сгхх{х* (К))Шг = О

тКегСхх(х*,\*) Л KerF ' (х*).

В §2.2 для некоторого частного, но достаточно важного случая вырожденности в задачах с ограничениями-неравенствами <р(х) - mln, А = <x€X¡ /,(х)Ю, 1=Т71), (3)

а 1

где X - банахово пространство, <р, /{: X - гс, í=i,га, вводится естественным образом связанное с условием р-регулярности условие р{-регулярности, и на его основе доказываются содержательные условия оптимальности.

Пусть <р(я) q-1 раз, a /t0r) р{-1 раз дифференцируемы по Фреше в окрестности точки х* и имеют q-ю и, соответственно, pt~e производные Фреше в точке х*, <7,pteN, leí (г*). Пусть, наконец,

<ри)(х*)=0,й=Т7^Т, f{tkUx*)= 0, й=1 ,pt-1, lzT(x*). (4)

Определение 4. Ограничения задачи (3), удовлетворяющие всем изложенным выше требованиям, называются pt-pe-гулярныли в точке х*. если для всякого icAíO) такого, что

/. 1 (2*)Ixl l20 Viel(X*),

«V V

найдется х(Х такой, что

(р.) * р,-1 ~ „

fi 1 (х )Ш 1 ixi>o viel (г*).

Теорема 4. Пусть <р(я) д-1 раз, а /с(я) pt-1 роз дифференцируем по Фреше в окрестности точки х*еА и илект q-ю и, соответственно, pt~e производные Фреше в точке х*, iel(x*), причел выполнено условие (4). Пусть выполнено условие р -ре-

гулярности, ограничений в точке х*. Тогда, если х* - локальный

минимум задачи (3). то для всякого htX такого, что (р.) „ р. * /4 1 (х )lh] lzO vteKx ),

выполнено следующее: либо <p(q)(x*)[h]q>0, либо найдутся числа

atK>, t€l (х*), такие, что

' I а/*1\х*)ШРг\

Теорема 5. Пуст X - банахово пространство; <р(х) q-1 раз дифференцируема по Фрегие в окрестности точки x*zA и имеет q-ю производную Фреше в точке х*; /Лх) pt раз дифференцируемы по Фреше в окрестности точки х , причел vx первые производные непрерывны в точке х* (в равномерной операторной топологии пространства X*). Пусть, кроме того,

1(х*)={1.....3),

и выполнено условие (4). Определил отображение 9(x*,h) следующим образол: при фиксированном heX

ф . , (р.) . р.-1 _

Ф(1*.Л)€£(Х,кв), (Ф(х*,Л)[-)){ =1 <x*)[?iJ 1 [•], t=T7s.

Пусть

вир |{ф(х*,/г)}~1| < К, 0<К«х>. 14=1

Тогда, если существует число а>0 такое, что

Ф(,,)и*)[П]4 :> a|h|q для всех hiX таких, что

ft 1 (х*)1Л] 1 Ю VteKz*), то х* - изолированный локальный линилул задачи (3).

В третьей главе обсуждаются вопросы, связанные с построением численных методов решения задач с особенностями.

При использовании в методах квадратичного штрафа стандартных процедур безусловной минимизации обычно (при отсутствии у задачи каких-либо свойств типа выпуклости и достаточно произвольном выборе начального приближения) удается доказать сходимость к таким точкам, в которых выполнены лишь необходимые условия оптимальности первого порядка. Это связано с тем, что сами процедуры безусловной минимизации обычно гарантируют сходимость лишь к точкам нуля производной минимизируемой функции. Данный недостаток может быть в каком-то смысле устранен, если использовать специальные методы безус-

ловной минимизации.

В §3.1 рассмотрен метод безусловной минимизации, гарантированно сходящийся к точкам, удовлетворяющим необходимым условиям второго порядка. Для задачи

Ф(х) - min, «Е*, (5)

где (ргЕ™ - о?1, рассматривается метод

= ХЬ + й=0'1'... .

где ф(х^) - направление убывания функции ф в точке хк, выбираемое некоторым традиционным способом (например, антиградиент), aat- шаговый параметр. Пусть метод обладает свойством релаксационности: ) < ф(^ь) для любого й такого, что 0. Пусть, кроме того, для метода доказана сходимость генерируемой им последовательности к множеству

St = { яеЕп | ф '(г*) = 0 ) стационарных точек задачи (5).

Рассмотрим следующую схему:

хы\ = хк + afeWV + WV "{xk)[hk])• ^О'1..... (6)

Здесь параметры ак, ßA, yk - числовые, а hktКепр " (xk) -векторный. Они выбираются различными способами, которые подробно рассматриваются в диссертации.

Наиболее очевидный, но мало конструктивный способ выбора параметров ак, ßÄ. ук при уже выбранном hk основан на мини-зации функции трех переменных

ФА(а,р,7) = ф(хА + аф(гй) + - 7<р '' <?feH^fe3)) ,й=0,1.....

на неотрицательном ортанте пространства к .

Для определения Пк используется следующее правило: ' 0,если ф '' (xfc)[/ih]=0 УЛеКепр '' (хк); heArgmax{I'Ä(h) | he Кепр '' (xk), |ft|=1> (7) в противном случае, где Фк(П) = |ф "Ub)(h]|2, /г=0,1.....

Теорема 6. Пусть феСг(Еп) ах* - предельная точна последовательности генерируелой летодол (6), (7). Тог-

да <р " (х*)Ш = 0 VfteKenp " (х*).

В диссертация рассмотрены и другие способы выбора числовых параметров ак, ßfe, yk, более простые с вычислительной точки зрения.

В §3.2 рассмотренный в §3.1 метод распространяется на задачи с регулярными ограничениями-неравенствами. При этом ис-

\ =

пользуются результаты §2.2.

Наконец, в §3.3 рассматриваются методы квадратичного штрафа для задач с ограничениями-равенствами, организованные таким образом, что они гарантированно сходятся к точкам, удовлетворяющим необходимым условиям второго порядка в смысле §2.1.

Для задачи

<р(т) - min, Fix) = О, (8)

где <р: Л - к, Р: JT - У, X и У - гильбертовы пространства, рассмотрим квадратичную штрафную функцию:

®0(я) = Ф(х) + y[F(x)l* . Процесс строится следующим образом. Фиксируем последовательность чисел (ск) такую, что 0 < cfc < cfc+1 для любого

й=0,1.....и (с.) - <». Фиксируем две последовательности iei)

* а-« *

и Cef} такие, что е? » 0 и е? > О для любого £=0,1,... , и

( * — Л л

ie') - О , {е£> - О . Точки х. выбираются из условий:

к*«о к-ко * .

,V»,|i*<e»' (9)

|Ф„"(х.)[Л1| е? ¥№rt"(iJ: |ft|=1 (10) ы х °ь *

(в отличив от обычной реализации методов квадратичного штрафа, где требуют лишь выполнения (9)). Для практической реализации метода нужно воспользоваться процедурами безусловной минимизации, рассмотренными в §3.1. При этом задачи безусловной минимизации должны решаться ассимптотически точно.

Теорема 7. Пусть X и У -гильбертовы пространства, Ф,Fz(ß-{X), {cfc>, (е^), (е|) - такие числовые последовательности, то О < сА < с>+1 , е]| > 0 и е| > 0 для любого fe=0,1,... , и (с.) - со , {е?> - 0 , - 0 . Пусть для лку-

* fc-к» * *-ко * ь-ко

Оого к=0,1,... xh - такая точка, что выполнены условия (9) и (10), их* - предельная точка последовательности, ixk), пртел 1тР ' (х*) = У. Тогда х* - 2-сшщионарная точка задачи (8). При этом, если для некоторого h* е Kerl^x* ) П П КегР '(г*) и некоторой сходящейся к х* подпоследовательности ixh ) последовательности (х^) существует последовательность ih. } такая, что Я1

h. €КегФ ) Vt=0,1.....ih. ) - h* ,

At 0ftt At At t-«o

mo

{VCA F ' {Xb )t7l> ]) - a*(h*) •

* * III 1-00 t

где a (h ) определяется в теореле 2, а гу: i-У - канонический изолорфизл пространств Y и Y*.

§3.4 посвящен вопросам практической реализации и ослабления условий квадратичной сходимости 2-фактор-метода решения вырожденных систем нелинейных уравнений. Предложены алгоритмы выбора параметров метода, существенно расширяющие класс эффективно решаемых методом задач.

Рассмотренные в третьей главе методы были реализованы в виде программных комплексов для IBM PC. Проведена проверка теоретических положений, а также ставнительный анализ свойств методов при различных способах выбора параметров, на тестовых задачах. Вычислительная практика подтверждает высокую эффективность предложенных алгоритмов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сформулированы и доказаны леммы о представлении нелинейных вырожденных отображений, дающие локальное описание структуры таких отображений и основанные на конструкции р-фактор-операторов. Изучены свойства обратимости однородных степени р полиномиальных отображений.

2. Построены условия оптимальности для определенных классов экстремальных задач с особенностями.

3. Предложены численные методы решения экстремальных задач, гарантированно сходящиеся к точкам, удовлетворяющим необходимым условиям второго порядка.

4. Рассмотрены вопросы практической реализации 2-фактор-метода решения вырожденных систем нелинейных уравнений. Предложены алгоритмы выбора параметров метода, существенно расширяющие класс решаемых им задач.

Материалы диссертационной работы содержатся в следующих публикациях:

I. Измаилов А.Ф. Необходимые условия высших порядков в задачах на экстремум // Ж. вычисл. матем. и матем. 'физ.,

1992, Т.32, *8. с.1310-1313.

2. Измаилов А.Ф. О вырожденных экстремальных задачах с ограничениями типа неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992, т.32, *Ю, С.1570-1581.

3. Измаилов А.Ф. Оптимизационные методы второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т.33, *2, с. 163-178.

4. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. К вопросу об обратимости однородных степени р полиномиальных отображений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т.33, Jf3, с.323-334.

Б. Измаилов А.Ф., Третьяков A.A. Леммы о представлении вырожденных нелинейных отображений. В печати.