Нелинейные задачи теплопроводности и термоупругости полых цилиндров с переменным по длине нагревом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

61 = $3-5>/Ш- 2

Саратовский государственный технический университет

)

На правах рукописи

Кириллова Татьяна Валерьяновна

Нелинейные задачи теплопроводности и термоупругости полых цилиндров с переменным по длине нагревом

01.02.04.-механика деформируемого твердого тела

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Шляхов С.М.

---

Саратов 1999

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................... 5

I. ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА С ПЕРЕМЕННЫМ ПО ДЛИНЕ НАГРЕВОМ........................................................................... 12

1.1. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа.................................... 12

1.2. Поля температур в цилиндрах при заданных температурах границ........19

1.3. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Метод последовательных приближений...................................................25

1.4. Поля температур в цилиндрах при наличии теплообмена со средой.......28

1.5. Метод возмущения в физически нелинейной задаче термоупругости

для коротких цилиндров.............................................................47

II. МЕТОД СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ ЦИЛИНДРОВ СО СВОБОДНЫМИ ТОРЦАМИ................................62

2.1. Задача термоупругости для цилиндров средней длины из нелинейно деформируемого материала..........................................................62

2.2. Температурные напряжения в цилиндре средней длины

со свободными торцами...............................................................75

2.3. Нелинейная задача теплопроводности составного цилиндра

с идеальным тепловым контактом слоев.........................................83

2.4. Температурные напряжения в двухслойном цилиндре

с идеальным механическим контактом слоев...................................89

III. МЕТОД СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ ЦИЛИНДРОВ С ОГРАНИЧЕНИЕМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТОРЦЕВ.......100

3.1. Постановка задачи термоупругости для цилиндров с переменным

по длине нагревом с ограничением перемещений торцев...................100

3.2. Поле напряжений в однослойном цилиндре с ограничением перемещений торцев..................................................................105

3.3. Напряженно-деформированное состояние двухслойного цилиндра

с ограничением перемещений торцев............................................. 117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................132

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................134

ПРИЛОЖЕНИЕ 1..............................................................................142

ПРИЛОЖЕНИЕ 2..............................................................................181

Основные обозначения

г, в - полярные координаты

г, в, г - цилиндрические координаты

Х(Г) - коэффициент теплопроводности

Е(Г) ~ модуль Юнга

а(Т) - коэффициент теплообмена

а(Г) - коэффициент линейного теплового расширения

¡и - коэффициент Пуассона

ее> Уп ~ компоненты тензора деформаций

е0 - средняя деформация

е, - интенсивность деформаций

аг, ав, сг2, тп - компоненты тензора напряжений

суо - среднее напряжение

су. - интенсивность напряжений

Фг> Фв> Ф* Фп - начальные деформации

и,уч - составляющие перемещений

е0 - параметр возмущения

Т - температура

Введение

Развитие энергомашиностроения, авиационной, ракетной техники и других отраслей промышленности требует решения вопросов прочности элементов конструкций, находящихся под силовым и температурным воздействием. Многие элементы таких конструкций имеют ввд двухсвязных областей в форме цилиндров, как однородных, так и составленных из различных материалов. Ужесточение требований к надежности работы этих элементов приводит к необходимости совершенствовать их расчетные модели, учитывать факторы, считавшиеся ранее второстепенными, такие, как влияние температуры на термомеханические и теп-лофизические характеристики материалов, нелинейность упругих свойств и т.д. Более достоверные сведения о напряженно-деформированном состоянии конструкции позволяют также выявить резервы их работоспособности и найти пути снижения их материалоемкости. Поэтому разработка новых эффективных методов, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) элементов конструкций, находящихся под воздействием температурных полей, является актуальной задачей, как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Важность данной проблемы подтверждается обзором по термомеханике, приведенном в работах [43-47]. Первым этапом в решении задачи термоупругости является определение температурных полей. В этой области исследован большой класс задач в линейной и нелинейной постановках для пластин и цилиндров, для односвязных и двухсвязных областей. М. Био [7], Б. Боли и Дж. Уэйнер [8], Г. Карслоу и Д. Егер [35], A.B. Лыков [54], П. Шнейдер [90] в своих работах получили решение линейной задачи теплопроводности, A.A. Коздоба [40,41], B.C. Зарубин [26] и авторы ряда статей [48,75] рассмотрели задачи теплопроводности и методы их решения в нелинейной постановке. В основном это численные методы, основанные на конечно-разностной или вариационно-разностной схеме.

При этом исходная нелинейная задача предварительно линеаризуется с помощью интегральных подстановок, метода возмущения и др.

Вторым этапом в решении задачи термоупругости является непосредственное определение напряжений. Исследование данного вопроса при упругом поведении материалов в условиях стационарного и нестационарного воздействий было опубликовано в работах Б.Г. Галеркина [12], Д.В. Грилицкого [17], В.М. Майзеля [55], Н.Н. Лебедева [51], Я.С. Подетригача и Ю.М. Коляно [65] и др. Задачи термоупругости, учитывающие анизотропию материала для одно-связных и двухсвязных областей представлены в работах А.С. Космодамианского и С.А. Колоерова [48], А.И. Уздалева [73] и др. В данных работах получены решения при постоянных термоупругих характеристиках материала и однородных граничных условиях. Задачи со смешанными тепловыми граничными условиями, в решении которых используется метод интегральных преобразований, опубликованы в работах Л.С. Подетригача и Ю.М. Коляно [65], А.Д. Ханжова [77] и др. По данному вопросу в настоящее время имеется ограниченное число публикаций.

Задачам термоупругости с учетом зависимости физико-механических характеристик материала от температуры посвящены работы [33, 34, 42, 85, 86]. В решении задачи термоупругости часто пренебрегают влиянием температуры на термомеханические свойства материала. Учет этого влияния в задаче теплопроводности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, а в теории упругости к уравнениям с переменными коэффициентами, что в свою очередь не позволяет получить точных аналитических решений задач термомеханики. И здесь встает вопрос о применении численных или численно-аналитических методов. Последние в сочетании с методами интегральных преобразований использованы в работе [9]. Численные методы, такие как метод динамического программирования [2], МКЭ [13, 59, 61, 70] ,вариационно-разностные методы [20] нашли широкое применение в решении задач теплопроводности. В работах П. Бенерджи и Р. Ба-терфилда [5, 71] развит метод граничных элементов (МГЭ). К достоинству вышеназванных методов можно отнести высокую их надежность и возможность полу-

чать решения задач с высокой степенью точности. Важное преимущество МКЭ заключается в универсальности, т.е. при одной и той же дискретно-элементной модели можно решать как задачи теплопроводности, так и термоупругости. К недостатку данного метода следует отнести необходимость решения большого числа алгебраических уравнений и высокой загруженности памяти машины.

В последнее время встает вопрос о необходимости в некоторых случаях решать задачу термоупругости в нелинейной постановке. Данный вопрос в общем случае был рассмотрен в работах А. Грина и Д. Адкинса [18], И.И. Гольденблата [15], A.C. Космодамианского и С.М. Клойзнера [49], В.В. Новожилова [63], А.М. Лурье [53], и др. В приведенных выше работах для решения нелинейной задачи используются метод возмущения или метод малого параметра. Здесь отметим работы [3, 85]. Г. Каудерер [36] предложил раскрыть физическую нелинейность упругого материала при помощи метода малого параметра. Эти представления в дальнейшем получили развитие в работе И.А. Цурпала [78].

Другой подход, описывающий физически нелинейную задачу, основан на теореме Л.Н. Качанова о равнозначности поведения нелинейно упругого тела и тела при упруго-пластическом деформировании в период активного нагружения при такой же зависимости между напряжениями и деформациями [37]. Это позволило в нелинейной теории упругости использовать математический аппарат теории малых упруго-пластических деформаций, предложенный A.A. Ильюшиным [31, 32]. В его работах развита деформационная теория пластичности и на ее основе предложен метод упругих решений [68] для нелинейных задач. В работах И.А. Биргера метод A.A. Ильюшина преобразован в метод переменных параметров упругости [56].

Следует отметить, что цилиндр как расчетная схема при нелинейном его деформировании во всех упомянутых публикациях рассматривался в состоянии осе-симметричного нагружения и постоянного по длине нагрева. Поле температур, переменное по длине рассматривалось практически лишь в линейной постановке задачи термоупругости [51,58,69].

В нелинейной постановке задача термоупругости неравномерно нагретого по длине цилиндра рассматривалась в работе [1], где для решения были использованы метод упругих решений Ильюшина и метод переменных параметров упругости Биргера. Двухслойные же цилиндры с переменным по длине нагревом и с ограничением на перемещения торцев не рассматривались и в литературе не отражены. Упомянутые методы А. А. Ильюшина и И.А. Биргера являются полностью численными, т.е. требуют больших затрат машинной памяти, связанных с преобразованием матриц и расчетом упругих параметров. Этого неудобства не имеют численно-аналитические методы, призванные в начале линеаризовать исходную задачу, довести ее до расчетных формул, и затем выполнять мало затратные временные расчеты на ЭВМ. Одним из таких методов является метод возмущения [85], развитие которого представляется в настоящей работе. Учитьюая высокую теплонапряженность современных энергетических установок и повышенную требовательность к оценке их НДС, все рассмотренные ниже задачи выполнены в уточненной нелинейной постановке.

В настоящей работе исследуется термонапряженное состояние осесиммет-ричных полых цилиндров, находящихся в переменном по длине стационарном поле температур. При решении задач теплопроводности и термоупругости учитывается теплофизическая и механическая зависимость свойств материала и среды от температуры и физическая нелинейность материала.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие известных методов решения нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для двухсвязных областей с использованием вариационных принципов и разработки на их основе инженерных методов решения новых задач с использованием конечно-элементной и суперэлементной интерпретации.

На защиту выносится:

1. Дальнейшее развитие метода возмущения физически нелинейных задач термоупругости для цилиндров с переменным по длине нагревом.

2. Разработка схемы метода суперэлементов дога указанных задач и получение новых решений для однослойных и двухслойных цилиндров с идеальным контактом слоев.

3. Разработка метода решения нелинейной задачи термоупругости для однослойных и двухслойных цилиндров с ограничением перемещений горцев.

4. Разработка и развитие вариационно-разностной схемы на основе МКЭ решения нелинейных задач теплопроводности со смешанными граничными условиями нагрева и решение на ее основе ряда новых задач.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений.

В главе первой даны постановки нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для цилиндров с переменным по длине нагревом. Теплофизические свойства материала цилиндров и среды зависят от температуры. В разделе 1.1 изложена методика решения задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа. В разделе 1.2 приведены примеры расчета. Рассматривались цилиндры с двумя видами теплового режима:

1) на торцевых; внутренней и внешней поверхностях температура меняется по линейному закону;

2) на торцевых и внутренней поверхностях температура меняется по линейному закону, на внешней поверхности - смешанные граничные условия -имеется участок теплоизоляции.

В разделе 1.3 рассмотрена общая теория решения нелинейных задач теплопроводности, нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Для решения таких задач предлагается метод последовательных приближений.

В разделе 1.4 приведены решения для цилиндров со смешанными граничными условиями и с конвективным теплообменом со средой по закону Ньютона

на внешней поверхности. На торцевых и внутренней поверхностях поддерживает ся заданная температура.

В разделе 1.5 главы дана общая постановка физически нелинейной задач] термоупругости для коротких цилиндров. Сформулированы граничные условии закрепления торцев. Разработан алгоритм решения на основе МКЭ.

Во второй главе разработана схема метода суперэлементов для решения за дачи термоупругости свободных цилиндров средней длины. Использование МКс для данных конструкций приводит или к неточному решению (при малом разбие нии) или к перегрузке машинной памяти. В связи с этим используется разбиение цилиндра на более крупные элементы («суперэлементы»), для каждого из кото рых в отдельности решается осесимметричная задача термоупругости. В раздел«

2.1 изложена общая постановка задачи термоупругости для цилиндра с перемен ным по длине нагревом. В разделе 2.2 приведено решение частных задач термо упругости для однослойного цилиндра. На внешней поверхности цилиндра реал» зуются смешанные граничные условия: теплоизоляция и конвективный теплооб мен с внешней средой по закону Ньютона Свойства материала и среды принима ются зависящими от температуры. В разделе 2.3 рассматривается общая поста новка и решение задачи теплопроводности для двухслойного цилиндра с пере менным по длине нагревом. В разделе 2.4 дана общая постановка и представлен* решение задачи термоупругости для двухслойного цилиндра с идеальным контак том слоев.

В третьей главе выполнена разработка методов решения нелинейных зада' термоупругости для однослойных и двухслойных цилиндров с ограничением ш осевое перемещение торцев и представлена методика по определению опорно! реакции связи и усилия взаимодействия слоев. В разделе 3.1 изложена общая по становка задач термоупругости для однослойного цилиндра с ограничением пе ремещений торцев. В разделе 3.2 приведен пример расчета для однослойного ци линдра с переменным по длине нагревом. В разделе 3.3 представлена общая пс

становка и решение задачи термоупругости для двухслойного цилиндра с ограничением на осевое перемещение торцев.

В заключении приведены общие выводы о диссертации.

Результаты численных расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Расчеты выполнены на IBM PC по программам, составленным на алгоритмических языках Фортран, Бейсик и Паскаль.

Результаты работы докладывались:

- на научных семинарах кафедр «Сопротивление материалов» и «Механика деформируемого твердого тела и прикладная информатика» (СГТУ, 19961998гг.);

- на Седьмой научной Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997г.);

- на VII-ой Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (Киев, 1998г.).

Основное содержание работы опубликовано в статьях [10, 87, 88, 89].

I. Вариационная постановка задач теплопроводности и термоупругости для цилиндра с переменным по длине нагревом

В первой главе рассматриваются вариационные схемы решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризумых и нелинеаризуемых преобразованием Кирхгофа. Приведены примеры расчета полей температур при заданной температуре на границе, также приводятся поля температур при конвентивном теплообмене со средой по закону Ньютона. Изложена общая постановка решения осе-симметричной физически-нелинейной задачи термоупрутости для коротких цилиндров.

Рассмотрим полый цилиндр радиусов Д (1=1,2), длины Ь (рис. 1.1). На поверхностях цилиндра реализуются граничные условия 1-го рода. Материал цилиндра термочувствителен.

Поле температур в цилиндре стационарно, удовлетворяет уравнению теплопроводности [54]

где Щ) = /¡„(1+рГ\ \ -коэффициент теплопроводности, р температурный коэффициент, и следующим граничным условиям Т-Т^г) при г = 0 = 1,2), 0<г<Ь,

1.1. Вариационная схема решения нелинейных задач теплопроводности, линеаризуемых преобразованием Кирхгофа

(1.1)

Г=Г3(г) при 2 = 0, Т = Т4(г) при г=Ь, Д^г^^

В цилиндрических координата�