Нелинейные задачи термоупругости двухсвязных пластин и цилиндров с переменным коэффициентом теплообмена тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Саратовский государственный технический университет

Р Г Б од

На правах рукописи

БОРОВСКИХ УЛЬЯНЛ ВАЛЕНТИНОВНА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДВУХСВЯЗНЫХ ПЛАСТИН и цшаэдров С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭМ'ЩИЕНТШ ТЕПЛООБМЕНА

01.02.04.- мехаяика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 1994

Работа выполнена на кафедре "Теория механизмов и машин" Саратовского государственного технического университета.

\

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Шляхов С.М. Официальные оппоненты'- доктор технических наук,

■ профессор Чеботаревский Ю.В.(СГТУ)

кандидат физико-математических наук доцент Маслов Н.М. (СГУ)

Ведущая организация - Самарский государственный

технический университет

Защита состоится 24 ноября 1994 г. в {¿Гч. на заседании регионального специализированного совета К 063. 58. 02. по присугкде-пил ученой степени кандидата технических наук в Саратовском государственном техническом университете по адресу:

410054, г.Саратов, ул.Политехническая, 77, СГТУ, ауд.201.

С диссертацией ко.т.но ознаномиться в ¡¡аучной библиотеке Саратовского-государственного технического, университета.

Автореферат разослан 'Л" &ЫЛйрЛ- 1994 года.

Ученый секретарь регионального специализированного совета, д.т.]!. .профессор

Кузнецов В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

' Актуальность проблемы. Ускорение научно-технического прогресса выдвигает перед всеми отраслями промышленности задачи создания новых машин,приборов, двигателей .аппаратов,разработок ноеых технологических процессов.Технические задачи становятся все более сложными,и все чаще для их -решения приходится использовать наиболее совершенный аппарат математики,физики и т.д. Формируются новые подходы к решению поставленных задзч.Поведение конструкции под внешним воздействием может быть описано соответствующей математической моделью. Надежность современной техники в значительной степени определяется работоспособностью как отдельных деталей,так и конструкции в целом. Все это приводит к необходимости совершенствовать расчетные модели, принимать во внимание такие факторы, как влияние температуры на термомеханические свойства материала, нелинейность упругих свойств.Поэтому разработка новых эффективных методов , позволяЬпщх исследовать напряженно-деформирован -ное состояние (НДС) элементов конструкции, находящихся под воздействием температурных полей является актуальной задачей как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Целая настоящей'работы является дальнейшее развитие известных методов решения нелинейных задач теплопроводности и усовершенствование новых методов для решения задач теории упругости и термоупругости для однородных областей с использованием вариационных принципов и рассмотрение на их основе следующих задач*, расчет температурных полей и полей напряжений в пластинках и цилиндрах при заданном переменном коэффициенте теплообмена. При этом исследуется влияние на НДС различных тепловых граничных условий, термочувствительное™ материала, физической нелинейности, законов его деформирования, наличие распределенных источников тепла с различной МОПЩССТЬЮ.

Пдучпзя шггзкл работы заключается в следующем: -разработан вариационно-разностный метод реаенин нелинейных задач теплопроводности для тел, нагреваемых распределенными источниками тепла, на основе концепции локального потенциала;

-получены решения ряда новых нелинейных задач теплопроводности нелипсзризуешх шиегральшми преобразованиями для тел с переменным коэффициентом теплообмена;

-представлено дальнейшее развитие метода возмущения (вариант метода линеаризации), ка основании которого получена новые реыешш задач термоупругости для двухсвязных пластин и цилиндров; -исследовано влияния термачувствительности материала,зависимости мощности внутренних источников от температуры,физической нелинейности законов деформирования на НДС пластин и цилиндров, начодякрк-ся в стационарном поле температур.

Еэстох:гр::ссть результатов и ьиаадод диссертации обеспечивается строгостью постановки задачи, корректностью, матемаикеских преобразований при" выводе уравнений, правильным ЕыОором математических моделей а анализом качественной картины результатов путем сравнения с известными решениями аналогичных задач в линейной постановке.

Прагашосхга цшагаахь. Полученные результаты могут быть попользована для репенпя плоских нелинейных задач теории упругости я термоупругости в расчетной практике КБ предприятий, НИИ соответствующего профиля. Ыогут быт,ь использованы при расчетах как однородных, так и составных элементов конструкции, находящихся под воздействием высоких температур,и когда становится необходимым учитывать температурную зависимость теплофкзических, механических свойств материала и среды.

Внедрешэ результатов. Результаты теоретически исследования, полученные автором .использованы на кафедре "Теория механизмов и цзгдш" СГТУ при разработке библиотеки прикладных программ для

расчета температурных полей и напряжении в элементах,конструкций, о целью применения их в учебном процессе вузов при подготовке специалистов энергетич^с^; к механически специальностей.

Аппооацня раооты. отдельные результата ,положенные в диссертации, докллдьшаяись нз научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета 1991-1994 гг., ..на конференции "Молодежь и .нзучно-технический прогресс",Саратов, 1991 г.Полностью работа доложена на заседании кафедр "Теория механизмов и мавпи " и " Сопротивление материалов" в СГТУ.

Пуйжисцни. По результатам исследований опубликовано четыре работы,список которых приводится в конце автореферата.

ССьси р"5оти. Диссертационная работа состоит из введения,трех глаз, заключения и приложения. Содержит 135 страниц машинописного текста, 48 рисунков, 19 таблиц и Оиблиигрйфическзш список, еклэ-Ч52й?й 132 наименования.

СОДЕРЯАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рз.крыта актуальность проблемы, исследуемой в ра, боте,Приведен достаточно.полный обзор работ по теме, сформулированы основные положения диссертации, которые выносятся на защиту, изложено краткое содержание работы по главам. Больпой вклад в развитие термоупругости внесли советские и зарубежные ученые, о чем свидетельствуют многочисленные публикации, среди которых отметим работы Б.Боли и Дл.Уэйнера, Б.Г.Галеркина, Д.В.Грилицко-го, А. Д. Коваленко, Ю. М. Коляно, В. М. Майаеля, Э. Мелана, Н. И. Йусхелизга-ли,В.Новацкого,Г.Паркуса,Я.С.Подстригача,А.И.Уздалева и др. В решение задач теплопроводности большой вклад внесли ученые: Н.М. Беляев,В.С.Зару0ин,Л.А.КоздоСа, А.В.Лыков,А.А,Рядно и ряд авто-роз, ксорнэ рассмотрели вопрос как в линейной, так и в нелинейной

постановке,а такяе методы решения этих задач.Среди зарубежных авторов это П.Шейдер,Г.Каралоу,Д.Егер.Метод локального потенциала рассмотрен б работах П.Гленсдорфа ,И.Пригожина,Р.Шехтера.Вопросы нелинейной теории упругости рассматривали Дж.Адкинс, А.Грин,А.С.Космодамиансюп^Г.Каудерер,А.И.Лурье к др.

Существует множество методов линеаризации исходных нелинейных уравнений:метод упругих решений,метод касательных модулей,метод переменных параметров упругости, метод последовательных нагруже-тш и т.д.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию методов решения нелинейных задач теплопроводности, использующих вариационно-разностный принцип,а именно концепцию локального потенциала.

В первой главе рассматривается общая постановка нелинейных задач терыоупругости для пластин и щшиндров, нелинейных задач теплопроводности,осшзвашак яа функционале,который называется локальны« потенциалом. Задачи теояопрогодкод^и рассмотрены для пластин .находящихся в условиях конвективного теплообмена, причем коэффициент теплообмен еавкоат от температуры. Рассмотрены, задачи с различными внешними тепловыми граничными уоловиям. Теплс^иэи-чесгаг. механические характеристики материала и среды вавксят от температуры.

Исходное дифференциальное уравие кие'"стационарной теплопроводности для пластинки при заданном конвективном теплообмене черег< основания имеет вид:

div (А(Т) grad Т) - а^Ст - Гс) - О, , (1)

где .Тс-темпорзг ^а окруй2®щ"-'1 среды. Аппроксимацию козффг чента теплопроводности и коэффициента теплообмена принимаем линейными зависимостями

\ " Ао(1 + г!}, а »« 0(1 -с ^Tj).

Ha контурах пластинки могут быть эадаш различны«? грАннчкы;

условия: постоянная температура, теплоизоляция.Решение уравнения (1) с граничными условиями дает полную математичеасую формулировку краевой задачи, решение которой эквивалентно поиску экстремума функционала

2Я$ Х(Т°)

сЗТ

с!г

2

+ $ 22Е2 (Т - Тс) с!Т О

гс1г.

(2)

В подынтегральное выражение (2) входит два типа температур: Т-варьируемзя температура и Т° неварьируемаа температура,предполагаемая известной функцией координат.Такое разделение должно сохраняться до полного завершения процесса вариации,после чего данные температуры приравниваются.Вопрос сходимости был исследован в работе П. Гленсдорфа. Т -является искомой температурой. Функционал (2) положим в основу формирования- вариационно-разностной схемы решения поставленной задачи,Сама схема формируется следующим образом:рассматриваемая область разбивается на кольцевые равные пс ширине элементы .В пределах каждого элемента функции температур задаются линейными сплайнами

0 0

Т • ац + а12Г Т° - ац + а12Г . (3)

Подставляя (3) в (2) и проводя суммирование по всем элементам области разбиения,подучим приближенное значение функционала н

1=1

где И-число элементов.

Из условия экстремума функционала и приравнивая I и Т°, получим нелинейную систему алгебраических уравнений относительно узловых температур Т;

АТ12 + ВТ! + С = 0 (4)

где А,В,С-известные коэффициенты.Система(А) решается итерационным методой Зейделя до сходимости с заданной степенью точности. Приведено решение нелинейной задачи теплопроводности при переменном коэффициенте теплообмена. Выполненные примеры расчета показали хорошую .сходимость метода и итерационной процедуры для достижения приемлемой точности.Число разбиения принималось равным 20. При разбиении области на большее число элементов узловые значения температур уточнялись незначительно, а затраты машинного времени значительно возрастали.

В первой главе такие развит вариант метода возмущения (метод линеаризации ),использованный дри . решении физически нелинейных задач термоупругости для нелинейно-деформируемых пластин и цилиндров, которые в'ненагретом состоянии являются однородными.

К описаний физической нелинейности материала подходим с позиций теории малых упруго-пластических деформаций. Связь между напряжениями и деформациями задается соотношениями

2 • ' '

6о » зг(ео - Ф) бг - бо = - Ф(ег ~ ео) » (5)

3

где бо, со " средние напряжение и деформация.

Е т

К - - ; Ф » £ а(Т)с1Т ; а(Т) « <зд(1 + тТ) ;

(1 - 2ц) • 0 *

Е(Т) Ео(1 " ВТ2) .

Функция ф не зависит от вида напряженного состояния и определяется 'диаграммой деформирования материала.Представим функцию в виде стьпенного ряда

= fi^lZi + Азе!3 + Аэ £15 +........ (б)

Коэффициенты,входящие в полином (6), определяются из аппрак-

симзцип диаграммы деформирования материала бi~£i, пересчитанной кэ диаграммы растяжения -' сжатия 6-е.

В данном методе возмущения вводится параметр возмущения е. Линеаризация по параметру е заключается в разложении всех исходных соотношений : уравнений равновесия,граничных условий, уравнений совместности деформаций и т.д. в ряды по этому параметру '

Ф - L <^е0т , m-l

(7)

6ii

» L 6jjmeom m-l

Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра и таким образом получил для ш приближения зависимости

.ш

п £ к-1

(зп-k+i)

Фк-lSjз

+ 6цг

ео

-

%

(m > 1)

(8)

где eij - компоненты девиатсрз деформаций.

Соотношения (8) представляют собой уравнения линейной теории упругости для тел с -зчалыпдш деформациями,которые определяются из предыдущее приближений.Такгал образом, исходная нелинейная задача термоупругостр сводится к последовательной серии линейных задач. Решение "тшейных задач осуществляется о пшещыо !.<КЭ. В каждом яэ приближений отыскиваются перемещения,для средних точек элемента сообщающие минимум потенциальной энергии деформации

1 < (m) (Ml (ml (m) (wl (ml Jfm) - - И /бц [Ец " Фц 3 + 622 Cß22 " ®22 3 +

2 F ^

(w) fr.V>

+ 612 t2ei2

fn)

Ф12 J

ciF

(9)

где 0 - тепловая деформация,играгацая роль начальных деформаций. Для численной реализации метода рассматриваемая область, как и в задаче теплопроводности,разбивается на концентрические, равные по ширине, кольцевые элементы.В пределах каждого, элемента функции перемещений представлены линейными сплайнами U » 0(1 + <*2Г ,

где с<2 - коэффициенты,зависящие от узловых перемещений. В каждом из приближений ищется вектор перемещений Ш>, удовлетво-ряюси заданным граничным условиям из системы уравнений

<KMU>=iM}, (10)

здесь Ш - глобальная матрица жесткости, Ш -вектор свободных членов.Решение системы (10) ищется методом LDLT факторизации. Существенно заметить,что в предлагаемой методике решения задачи матрица жесткости вычисляется один раз и в последующих приближениях остается неизменной,а меняется лишь правая' часть уравнений, ,что позволяет существенно сократить время счета.

Рассмс.рены случаи для плоского напряженного и плоского деформированного- состояний.Данным методом подучено решение для кольцевой пластинки с заданным конвективным теплообменом и при наличии теплоизоляции контура. Пластинка находилась в стационарном поле температур.Материал 1Х18Н9Т.НЗ рис.1 приведены распределения температурных полей ,где обозначено: цифрой l-решение задачи теплопроводности с постоянными свойствами,цифрой 2-решение ' с переменными характеристиками материала.Установлено,что учет зависимости тегцофизнческих свойств материала от температуры снижает уровень температур на 14.8 %.

На рис.2 представлены соответственно распределения радиальных и окружных напряжений, действующих по радиусу пластинки. Здесь введен обозначения: цифрой 1-решение задачи с постоянными характеристиками материала,2-решение задачи с переменными свойствами.

2.1 2.4 2.8 3.2 3.6 3.9 R/Rl

Рис.*!

гис„ ?

- к -

<Оь (МРа)

--4

—-з -—-2

2.1 2.4 2.8 3.2 З.б " 3.9 Рис. ? (окончание)

<аг (КРа )

Рис. 3

.........4

—3 .....2

Было отмечено существенное влияние нелинейности материала на распределение температурных напряжений. Так, было отмечено изменение окружных напряжений на 9.2 X.

Вторая глава посвящена решению задач термоупругости для полы;', цилиндров .выполненных из нелинейно-упругого материала,которые находятся в стационарном поле температур.Через боковую поверхность осуществляется конвективный теплообмен. Коэффициент теплоиС-*

N

мена зависит от температуры.Теплофизические и мехзничеасие свойства материала зависят от температуры. Материал в ненагретом состоянии однороден и изотропен. Поле температур определяется из решения задачи теплопроводности, подученного методом локального потенциала, т.е. вычисляются узловые значения температур,определяющие минимум функционала для первой краевой задачи

Неизвестную контурную температуру ищем методом последовательных приближений. Нелинейная задача термоупругости линеаризуется с помощью метода возмущения.Полученные ли* шыр соотношения решаются МКЭ. В данной главе получены решения физически нелинейных стационарных задач термоупругости для цилиндров с различными условиями закрепления торцеа цилиндра (защемленными и свободными). В случае решения задачи для свободного нелинейно-деформируемого цилиндра предлагается следущая методика:пренебрегая краевым эффектом для длинного цилиндра , предполагаем,что осегая деформация по длине цилиндра не меняется.Для определения г г в каждом из приближений используем условие равенства нулю осевой нагрузки на цилиндр Ыт=0, где

гс!г .

(и)

- -

м

Ы(;п) « к£б^(т) (г1+18 -'п2) . (12)

1-1

Для разрешения (11) относительно е2т выполним два расчета. В первом расчете ■ решаем задачу с защемленными- торцами, т.е. е2=0. Определив напряжения, вычислим осевую силу первого расчета,отличную от нуля, N1 * 0. Во втором расчете задаемся произвольным значением осевой деформации,отличной от нуля,е2 « определим осевую силу второго расчета, отличную от нуля, N2 * 0. Учитывая лгаейность решения, определим из пропорциональной зависимости действительное значение е20ет .

• Сет)

е2о - щ(тЧ1п) / ~ Н2Ст)) •

По найденным действительным значениям осёвой деформации вычисляются действительные значения напряжений для любого приближения. Окончательные напряжения в цилиндре определяются суммированием их по приближениям для средних точек элементов. В данной главе были подучены решения для защемленного и свободного цилиндров, находящихся в стационарном поле температур.С боковой поверхности осуществляется конвективный теплообмен.Коэффициент теплообмена зависит от температуры. Термомеханические характеристики материала зависят от температуры.На рис.3 приведены эпюры осевых напряжений для жестко защемленного цилиндра. Здесь введены обозначения : 1,3- решения линейной"и нелинейной задач с постоянными свойствами материала и соответственно 2,4- репения с переменными свойствам;; материала.Как показали полученные результаты, учет температурной зависимости свойств материала и учет физической нелинейности приводят к существенному изменению картины полей напряжений.Поправка в уровень напряжений при учете физической нелинейности составляет 44.5%, а при учете зависимости свойств материала £8 ".Так?-? решена задача для полого кольцевого цилкндрз. Отмечена ^нрота?

сходимость метода по приближениям. Для достижения приемлемой точности для зацепленного цилиндра оказалось достаточным 6 приближений (т-11),а для свободного цилиндра трех приближений. Проведено исследование влияния термочувствительности материала на НДС кольцевого цилиндра. Было установлено, что каждый из отдельно вэятых коэффициентов (коэффициент теплопроводности, теплообмена) вносят существенные поправки в распределение полей гемператур,качественно различного характера,и эти поправки составляют соответственно для коэффициента теплопроводности 232,и соответственно для коэффициента теплообмена 5 И.Было проведено исследование на влияние температурной зависимости коэффициентов теплопроводности, теплообмена, модуля упругости и коэффициента линейного расширения материала на распределение температурных напряжений. Так, было получено, что наибольшие изменения в напряжениях происходят при учете зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, поправка в уровень напряжений составляет 41.8 X.

Третья глава посвящена решению задач термоупругости для пластин и цилиндров при наличии внутренних распределенных источников тепла. Мощность .источников VI зависит от температуры. В результате действия источников происходит выделение джслева тепла, которое может быть описано линейным законом. •

И « У0(1 +рТ) .

В таких задачах теплопроводности искомым является • распределение температуры в рассматриваемом теле по заданной мощности ис- ' точника. Источник принимается равномерно распределенным по объему и зависящим от температуры.Дифференциальное уравнение,описывающее распространение тепла в твердом теле, будет иметь вид

1 с1 / ат л

- — Х(Т)г — - *2(Т - Тс) » -УНТ) . (13)

г с!г «¿г '

( \ й! 2 Т

МТ°) — - I и(т)..с!т:. ■ гс1г (14)

ёг 0

1 /

Решение задачи теплопроводности ищется вариационным методом, основанным на концепции локального потенциала.Отыскивается стационарное состояние функционала подходящим выбором температур

К2 Л = 2Я I

Функционал (14) называется локальным потенциалом.Вариационно разностная схема решения задачи изложена во второй главе.

Физически нелинейная задача термоупругости раскрывается с позиции' теории малых упруго-пластических деформаций.С помощью линеаризации метода возмущения исходная нелинейная задача термоупругости сводится к серил линейных задач для тел с начальными деформациями. В данной главе получены решения задачи термоупругости для пластины постоянной толщины. Пластина находится з стационарном поле температур.Теплофизпческие и механические свойства материала зависят от температуру.Через основания пластинки происходит конвективный теплообмен .Коэффициент теплообмена зависит от температура.! лучены решения для кольцевой пластинки, находящейся в стационарном поле--температур. Мощность источника зависит от темпера-туры.-Чэрег основания-пласт,:лг«и-осуществляется конвективный тепло-сбмен;для пластинки при заданной внешней изоляции контура; для кольцевого цилиндра при постоянных температурах кз контурах , наличии внутреннего распределенного тепла, а также при наличии конвективного теплообмен-3 с боковс;. поверхност,' . Для цилиндра со свободными то; ,ами получены следующие решения: на внутренней и внесшей поверхностях поддерживается постоянная температура и действует распределенный источник тепла,мощность которого зависит от температуры. Задается внешняя изоляция контура;осуществляется конвективный теплообмен с боковой поверхности при де&твукзж ¡'.•л-

Т°С

R/Rl

Рно.4

ei г <r-Pa)

0.0110.013 0.015 0.017 0.019 0.0210.023 0.025 0.027 0.02?

a-'ßl

Рио.5

- 1Р -

6 «е- смРа?

6Г г <№а)

0.0110.0130.0150.0170.0130.0210.0230.0250.0270.029

1?/И

Рис.? (окончание)

точнике тепла.На рис.4 представлено решение задачи теплопроводности для свободного цилиндра,находящегося под действием внутреннего распределенного источника тепла. Здесь обозначено:цифрой 1-решение с постоянными свойствами,2-реиенпе с переменными характеристиками материала.На рис.5 представлено'решение задачи термоупругости для свободного цилиндра.Здесь обозначено:цифрой 1,3-решения линейной и нелинейной задач о постоянными свойствами материала и цифрами 2,4-решения соответственно с переменная! свойствами материала.Полученные результаты позволяют сделать вывод о необходимости учета зависимости свойств материала от температуры и физической нелинейности материала. Поправка в максимальный уровень напряжений составила 45.3 ¡5 из которых 42.1 X приходятся на нелинейность материала . В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВШОДЫ Ш ДИССЕРТАЦИЯ

1.В работе представлено дальнейшее развитие вариационного метода, основанного на концепции локального потенциала:

-получен функционал локального потенциала для задач теплопроводности с перемемгым коэффициентом теплообмена о боковой поверхности пласткц;

-пол :ен "функционал локального' потенциала для задач теплопроводности с модностью источников гепла,эависяпфх от температуры.

2. Развит метод возмущения для физически нелинейных задач термоупругости для случаев плоского напряженного и деформированного состояний; получены рекуррентные форгг/лн физических уравнений задачи.

3.Получено решение ряда новых нелинейных задач теплопроводности и термоупругости для двухсвязных облас?ей в виде пластин и цилиндр при учете термочувотвктельиости материалов и зависимости

теплофизических свойств от температуры.

4.Проведен анализ влияния теплофизических,механических свойств материала ,а также условий тепловыделения и теплообмена на НДС исследуемых областей.Выявлено,что влияние отдельных факторов на НДС может быть качественно, различным,но в совместном действии го учет вносит существенное уточнение в ращение задачи термоупругости. В рассматриваемых примерах показано, что коэффициент теплопроводности, теплообмена, модуль Юнга увеличивают напряжения соответственно на 22.27.,0.5%,21.Х,а коэффициент линейного расширения понижает уровень напряжений на 46.1 X.Совместное действие этих факторов' приводит к изменению уровня напряжении до 30%.

.Отмечено,что разработанная методика может быть распространена на трехмерные задачи теории термоупругости и на задачи термоупругости неоднородных сред(составных пластин и цилиндров).

.Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Боровских У.В. Исследование влияния различных зависимостей коэффк^кнта теплсюбмена на распределение температур в кольцевой пластине//Материаш конф. "Молодежь и , научно-технич. прогресс." -Саратов,-1991 •.".С. 8.

2.Боровских У.В., Морозова Т.П.. Задача термоупругости для кр'/гового кольца при наличии теплообмена с окружающей средой с учетом зависимости свойств материала от температуры.-М.,1991.-8с. -Деп.в ВИНИТИ 05,04.9; Н 1476 591.

3.Боровска. У.В., Шляхов С.М. Нелинейная задача термоупругости для кольцевой пластины с переменным коэффициентом теплообмена/ /Современные проблемы теплофизики,механики и терш/.бхани-ки в электронном приборостроении:Материалы регионального < вещания,-Саратов, 1991.-С. 58-62.

4.Боровских У.В. Нелинейная задача термоупругости для круго-еой пластинки с переменны»! теплообменом через основания и теплоизоляцией контура//Прочность конструкций в экстремальных условиях Я !еквуз. науч, сб. - Саратов, 1992. - С. 7-1- 79.

БОРОВСКИХ УЛЬЯНА ВАЛЕНТИНОВНА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕШОУПРУГОСТИ ДВУХСВЯЗНЫХ ПЛАСТИН И ЦИЛИНДРОВ С ПЕРЕШШШ КОЭШЩИЕНТСЫ ТЕПЛООБМЕНА

Автореферат

Ответственный за выпуск доц. Глазунова И.С. Корректор 0.А.Панина

Подписано в печать 21.10. ЭН Формат 60X84 1-16

Бум. обсрт. Усл. —веч. л. 1,0. ' Уч. — изд. л. 1.0

Тираж 100 за Заказ 236. Ычпланш

Саратовский государственный технический университет 410016 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Ротапринт СГТУ, 410016 г. Сараю», ул. Политехническая. 77