Распространение обобщенных связанных термоупругих волн в волноводе с проницаемой для тепла стенкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ш'

Ревинский Роман Александрович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ СВЯЗАННЫХ ТЕРМОУПРУГИХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ С ПРОНИЦАЕМОЙ ДЛЯ ТЕПЛА СТЕНКОЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 июн 2011

Чебоксары - 2011

4849907

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ковалев Владимир Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Кувыркин Георгий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Сильвестров Василий Васильевич

Ведущая организация: Тульский государственный университет

Защита состоится 30 июня 2011 г. в Ю00 час. на заседании диссертационного совета ДМ 212.300.02 при ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева" по адресу: 428000, Россия, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева".

Автореферат разослан " мая 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ 212.300.02, кандидат физ.-мат. наук

С.В. Тихонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процессов деформирования.

Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих в критических термомеханических условиях. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн, а так же влияние связанности задачи в механизме теплового динамического разрушения твердых тел. Моделирование процессов теплообмена и деформирования является одной из важных задач прикладной математики и механики.

В связи с развитием обобщенных моделей термоупругих сред, важным и актуальным является вопрос о передаче тепла на расстоянии, исследовании задач о распространении связанных термоупругих волн в волноводах, подверженных влиянию окружающей среды. В частности, исследования в области обобщенной теории термоупругостп Грина-Нахди (GNIII), сочетающей оба известных типа распространения тепла: термодиффузионный и волновой, а также изучение распространения термоупругих волн, согласно гиперболической теории термоупругости Грина-Нахди (GNII), являющейся предельным случаем обобщенной теории GNIII-термоупругости и прогнозирующей волновой тип распространения тепла (волна "второго звука"). Все сказанное выше отражает актуальность и значимость тематики, описываемой в работе.

Значительный вклад в развитие классических и современных моделей механики твердых тел сделали Р.В.Гольдштейн, Джеффрис, Н.Н.Лебедев, Д.Д. Ивлев, К. Каттанео, В. А. Ковалев, Г.Н. Кувыркин, Ж. А. Мажен, В.Н. Ку-куджанов, Дж.К.Максвелл, Л.Д.Ландау, А.В.Манжиров, А.А.Маркин, В.Новацкий, Ю.Н.Радаев, А.В. Лыков.

Целью работы являются:

1. Изучение слабых разрывов решений связанных уравнений классической (СТЕ), гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) термоупругости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн.

2. Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках гиперболической линейной теории термоупругости (GNII) в цилиндрическом волноводе.

3. Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках обобщенной линейной теории термоупругости (GNIII) в цилиндрическом волноводе.

4. Вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в случае окружных гармоник произвольного азимутального порядка (в рамках GNII и GNIII-термоупругости).

5. Проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках гиперболической и обобщенной теорий термоупругости.

6. Анализ частотного уравнения и визуальная локализация волновых чисел в случае обобщенной GNIII-термоупругости.

7. Отделение всех вариантов значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин на комплексной плоскости, устранение многозначности при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Анализ распространения плоских гармонических GNIII-термоупругих волн.

2. Аналитическое решение связанной системы уравнений движения и теплопроводности для цилиндрического волновода в рамках линейной гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) теорий термоупругости.

3. Частотное уравнение и формы гармонических GNII, и GNIII-термоупругих волн в свободном бесконечном цилиндрическом волноводе с тепло-проницаемой стенкой в случае волн произвольного азимутального порядка.

4. Численный анализ зависимости волнового числа от частоты в случаях GNII и GNIII-термоупругости и визуальная локализация волновых чисел согласно теории GNIII-термоупругосги.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. С помощью условий совместности Адамара-Томаса проведен анализ слабых разрывов в GNI,GNII,GNIII-термоупругих средах.

2. Получено биквадратное уравнение, из которого находятся волновые числа, и проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн. Определены условия нормальности плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн.

3. В работе получены решения связанных уравнений движения и теплопроводности и проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного длинного цилиндрического волновода с проницаемой для тепла стенкой для GNII- и GNIII-термоупругих сред.

4. В рамках модели гиперболической GNII-термоупругости получено частотное уравнение в задаче о распространении гармонических волн вдоль оси свободного цилиндрического волновода с теплопроницаемой стенкой. С использованием системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен

его численный анализ и анализ форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.

5. Получено частотное уравнение в задаче о распространении обобщенных связанных GNIII-термоупругих волн в бесконечном свободном цилиндрическом волноводе с проницаемой для тепла стенкой. Проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических воли произвольного азимутального порядка. Получены выражения, позволяющие рассматривать отдельно все 32 (25) варианта расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней при анализе частотного уравнения и устранить многозначность при вычислениях. Подробно описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения для волн разного азимутального порядка.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатам.

Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты, могут применяться для описания и исследования процессов связанных с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел. Такие условия приводят к разрушению материалов под действием температуры. Также, результаты могут быть использованы при моделировании термомеханических процессов и дают возможность проведения более полного анализа температурного и напряженно-деформированного состояний важных элементов конструкций, подверженных тепловому воздействию и, таким образом, получению информации об оценке их прочности.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:

1. Семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. Ю.Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2007, 2010 гг.;

2. Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физИко-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковце-ва, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января —2 февраля, 2008 г.;

3. Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1—5 апреля, 2008 г.;

4. 16-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24-27 февраля 2009 г.;

5. Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 23-27 ноября 2009 г.;

6. Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева, г. Чебокса-

ры, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 апреля, 2010 г.;

7. Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.;

8. "Неравновесные процессы в сплошных средах", Всероссийская конференция молодых ученых. Пермь, 26-27 ноября 2010 г.;

9. Семипар "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.А. Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 декабря, 2010 г.;

10. 17-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 28 февраля - 3 марта 2011 г.

11. Научный семинар "Механика и прикладная математика" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.П. Радченко, г. Самара, Самарский государственный технический университет, 2011 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, среди которых 3 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы —142 страницы, включая 28 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 124 наименований.

Личный вклад соискателя. Работы с соавторами выполнены па паритетных началах.

Диссертационная работа частично поддержана грантом РФФИ (проект 10-01-00184-а "Волновые задачи связанной гиперболической термоупру-гостп").

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по соответствующей проблематике и исследованиям. Обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы, а также изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 диссертационной работы приводится исследование распространения гармонических термоупругих волн в неограниченной среде для случаев GNI,II,III-TepMoynpyrax сред. Используя геометрические и кинематические условия совместности Адамара-Томаса проводится анализ слабых разрывов решений для связанных уравнений в GNI,II,III-TepMoynpyrax средах.

В разделе 1.1 отражен анализ слабых разрывов решений для связанных уравнений классической СТЕ-термоупругости. Показано, что термический сигнал в рассматриваемом случае распространяется с неограниченной скоростью. В случае обобщенной GNIII-термоупругости анализ слабых разрывов

решений приводит к таким же результатам.

Раздел 1.2 содержит исследование слабых разрывов решений для перемещений и температурного смещения в случае гиперболической термоупругости (GNII-термоупругость). Температурное смещение вводится для формулировки условий совместности.

В разделе 1.3 проводится подробное исследование плоских гармонических связанных термоупругих волн, которые описываются линейными уравнениями GNHI-термоупругости. Приведен подробный анализ биквадратного уравнения, го которого находятся волновые числа, соответствующие плоским гармоническим волнам. Также осуществляется поиск ветвей корней этого уравнения с целью отыскания тех волновых чисел и условий их существования, при которых выполняются условия положительной определенности вещественной и мнимой частей волнового числа.

В разделе 1.4 приводится исследование плоских гармонических связанных термоупругих волн. Исследуется связанная система уравнений движения и теплопроводности в случае классической теории термоупругости (CTE/GNI). Приводятся конечные соотношения для нахождения волновых чисел. Установлено, что любому набору определяющих постоянных соответствует ровно два значения волнового числа, вещественная и мнимая части которого одновременно неотрицательны.

Раздел 1.5 посвящен анализу распространения плоских гармонических термоупругих волн для случая линейной недиссипативной теории термоуиру-гости Грина-Нахди (гиперболическая GNII-термоупругость). Показано, что каждому набору определяющих постоянных связанной плоской GNII-термо-упругой волны соответствуют два значения волнового числа, являющихся вещественными.

В главе 2 исследуется распространение связанных GNII-термоупругих волн (волн „второго звука") в длинном цилиндрическом волноводе со свободной от нагрузок стенкой, через которую происходит конвективный теплообмен. С помощью связанных гиперболических уравнений движения и теплопроводности дается анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного цилиндрического волновода с теплопроницаемой стенкой. Проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических волн в случае окружных гармоник произвольного порядка. Численно определена зависимость волнового числа от частоты. Отмечено, что каждой заданной частоте отвечает счетное число волновых чисел.

В разделе 2.1 приводятся основные уравнения линейной связанной гиперболической термоупругости

где и—вектор перемещения среды из отсчетного состояния; р— плотеюсть

/uV2u + (А + /x)VV • ц - qV0 - рй = О,

(1)

V20 - ~в - • ii = О, Л Л

Л

среды; А, ц—упругие постоянные Ламе; V —набла Гамильтона; в — приращение температуры над отсчетной температурой; во — отсчетная температура; Л—характерная скорость теплопроводности (thermal conductivity rate); а = (1/3)(3A + 2ц)/3* — термомеханическая постоянная, где /3" — коэффициент объемного теплового расширения, к —теплоемкость (на единицу объема) при постоянной деформации.

В разделе 2.2 проводится разделение пространственных переменных в связанных гиперболических уравнениях для цилиндрической области. Для определения решений системы (1) используются разложение Гельмгольца и калибровочное условие. В результате получается система уравнений

ш2/эФ + ^ДФ = о,

(А + 2ц) ДФ - Q0 + ш2рФ = 0, ^

Д6 + w2y9 + ~т~ДФ = 0) А Л

где Ф —скалярный потенциал, Ф —векторный потенциал амплитуды перемещений, 6 — комплексная амплитуда температуры, и> — циклическая частота. Решение связанной системы (2) имеет вид (п — азимутальный порядок волны)

Фг(г, <р, г) - (Сз/n-ifer) + С,1п+1(Ч2г)) | ^ | е^,

Ф„(г, <р, z) = (C3/n-i(®r) - CJn+1(q2r)) j | (3)

о \

| ™ L±ib (4)

SinnyjJ 4 '

Pl-92

Ci\ ]ln(Pir) + C2\ аш2 2 14(Ргг)

где к — волновое число; q2 — к2 - р2 = к2 - 7? (j = 1,2), д2 = к2 -

С^ I

7 определяется из уравнения:

(А + 2ц) 74 - о;2 (р + j (А + 2/х) + 72 + ^ = 0. (5)

Решение (3), (4) содержит достаточное количество произвольных постоянных для удовлетворения граничным условиям на боковой поверхности волновода.

В разделе 2.3 определены выражения для напряжений, перемещений и температуры, а также сформулированы граничные условия и условие конвективного теплообмена через боковую поверхность волновода в случае гиперболической GNII-термоупругой волны, из которых в дальнейшем определяются указанные в разделе 2.2 произвольные постоянные.

Раздел 2.4 посвящен описанию частотного уравнения в случае окружных гармоник произвольного порядка. Приведены выражения для элементов частотного определителя в безразмерной форме для GNII-термоупругих волн произвольного азимутального порядка, распространяющихся вдоль оси свободного цилиндрического термоупругого волновода с теплопроницаемой стенкой.

В разделе 2.5 осуществляется анализ частотного уравнения и поиск волновых чисел GNII-термоупругих волн в волноводе с теплопроницаемой стенкой. В приводимой ниже таблице сгруппированы некоторые наиболее близкие к нулю безразмерные волновые числа к = kR термоупругой волны третьего азимутального порядка, найденные с помощью процедуры FindRoot при следующих значениях безразмерных определяющих постоянных: — у/А,д/(АЯ) = 0.1, h2 = сф = 100.0, /ц = a/R/(M»c,) = 0.01, hG = У/act)А. = 17, d/a = 1.9.

Таблица. Безразмерные волновые числа к = кЯ

к1 Волновые числа к — kR fc, Волновые числа k = kR

0.1 2.59191 - 1.31724» 0.1 - 2.0462 х 10~9» -0.19 + 9.59387 х ИГ9» 1.13896 + 3.25954» 0.2 0.2 + 3.66725 х 10_9i 0.38 + 2.16157 х 10~8г 1.13986 + 3.24725» 0.2 + 5.47598 х Ю-9»'

0.3 1.14132 + 3.22665» 0.3 - 3.43391 х Ю-10» 0.57 - 4.39542 х Ю"10» 0.3 - 3.60699 х 10~9 0.4 1.1433 + 3.19754» 0.4 +1.06986 х 10-9i 0.76 + 2.60917 х 10"8г 0.4 - 1.69658 х 10~9»

0.5 1.14575 + 3.15963» 0.5 + 8.2091 х Ю-10г 0.95 - 6.0357 х 10~9» -2.74302 х 10"11 + 5.2482» 0.6 1.1485 + 3.1125» 0.59 + 3.52 хНГ10» 1.1399 - 6.4236 х ИТ10» -1.3921 х Ю-10 + 5.2069»

1.0 1.0 + 3.7741 х 10-12г 1.1609 + 2.8194» 1.9 + 1.5633 х 10-8г -3.1963 х Ю-12 + 4.9622» 2.0 1.99 + 4.0114 х 10-14г 3.8092 х Ю-13 + 0.8456» 2.0 + 1.3057 х Ю-13» 3.827 х 10~13 + 0.8456»

На рис. 1 представлены функции Re D и Im D в зависимости от Re к и Imfc, в форме двумерных поверхностей при тех же значениях параметров задачи, что и в таблице, при заданном значении =0.1.

Рис. 2 Профиль формы волны радиального перемещения иг (п — 3) на поверхности волновода (а) и в плоскости г = 0 (б). Данные численного анализа при ho = 0.1, h2 = 100.0,

, D

hi = 0.01, ct/ci = 1.9, he = 17, —- = 0.1, к = 2.5919077080684385 - 1.3172418617486361г.

Ci

а б

Рис. 1 Функции Re D (а) и1шВ (б) в зависимости от Re к и Im к, представленные в форме двумерных поверхностей, при заданных значениях Л0 = 0.1, = 100.0, hi — 0.01, Ле = 17, d/ct = 1.9, Ц = 0.1.

В работе найдены выражения для перемещений и температуры для связанной гиперболической термоупругой волны и построены графики форм перемещений и температуры для азимутального числа равного трем. На рис. 2-4 изображены типичные профили форм перемещений на поверхности волновода и в центральном сечении цилиндра для одной из волн (п = 3) с комплексным волновым числом kR = 2.591907 — 1.317241г. Приняты следующие

значения безразмерных постоянных: = 0.1, — = 1.9, ho — 0.1, /12 = 100.0,

а <к

h.i — 0.01. Соответствующие формы для температуры приведены на рис. 5.

Рис. 3 Профиль формы волпы тангенциального перемещения и<р (п — 3) на поверхности волновода (а) и в плоскости z = 0 (б). Данные числепного анализа при ho = ОД, 1ц — 100.0,

uR

hi = 0.01, c,/ct = 1.9, h6 = 17, — = 0.1, к = 2.5919077080G843S5 - 1.3172418617486361».

Q

Рис. 4 Профиль формы волпы вертикального перемещения ц2 (га = 3) на поверхности волновода (а) и в плоскости z = 0 (б). Данные численного анализа при ho = 0.1, /12 = 100.0,

u>R

К = 0.01, c,/ct = 1.9, h^ — 17, — = 0.1, к = 2.5919077080684385 - 1.3172418617486361i.

500 ООО

•

0.2 0.4 ох. 0.8 1.0

"F

-1.0 x10s -!.5xl06 -2.0x10е

600000 400000 200000

Рис. 5 Профиль формы температурной волпы (п = 3) на поверхности волновода (а) и в плоскости z = 0 (б). Данные численного анализа при h0 = 0.1, = 100.0, hi = 0.01,

Ci/ct = 1-9, fc6 = 17, — = 0.1, к = 2.5919077080684385 - 1.3172418617486361г. с;

Выражения для перемещений и температуры для связанной гиперболической GNII-термоупругой волны имеют вид

Ci (Pi - 92) QUPir) +piln+i(pir)) +

+С2 {pi - 91) (^In{p2r) + p2In+l(p2r)j +~CrJn(q2r) =F (ik)(c3—In{q2r) + C3In+1(q2r)-

Г V QoT

+

—CaL

cos mp — sin rvp J

±

Сз—In{qir) + C3In+i(l2r) + C4/n+i(g2r) I -

-C5 (^/nfer) + <72^+1 -

-7 {Ci (Pi - 02) IniPir) + C2 (pi - g2) In(p2r)}

sm mp I e±ikze -ул cos mp J

Ur =

± (ifc) (Ci (p? - <?2) /n(Pir) + C2 (pi - g2) /„(p2r)} + +(C3 - Ci)q2I„{q2r)

cos mp I e±ikze-iut^ - sin rvp J

ps2u2 a

(CMfc2 -p?)/»(pir) + C2(fc2 -^)/„(йг))

COS rvp 1 AAkz.-иЛ

е е

— sm mp

Глава 3 посвящена изучению распространения обобщенных связанных термоупругих волн в длинном цилиндрическом волноводе. При этом предполагается, что стенка волновода свободна от нагрузок и является проницаемой для тепла. Проведен анализ частотного уравнения в случае волн произвольного азимутального порядка, определены формы гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе, численно определена зависимость волнового числа от частоты и осуществлена визуальная локализация корней частотного уравнения.

Раздел 3.1 содержит основные соотношения и уравнения GNIII-термо-упругости. Даются вводные замечания и приводится наиболее удобная форма линейной связанной системы уравнений движения и теплопроводности

где Л» — коэффициент теплопроводности (thermal conductivity).

Раздел 3.2 посвящен разделению пространственных переменных в уравнениях GNIII-термоупругости по схеме, предложенной в главе 2. Построено решение системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее пять произвольных постоянных, для бесконечного свободного кругового цилиндра с теплопроницаемой стенкой в форме гармонических волп, распространяющихся вдоль оси цилиндра. Решение содержит достаточное количество произвольных постоянных, чтобы удовлетворить граничным условиям на боковой поверхности волновода.

На основании определяющих соотношений для напряжений, деформаций и перемещений в цилиндрической системе координат, а также граничных условий и условия конвективного теплообмена через боковую поверхность волновода в разделе 3.3 определяются выражения для напряжений, перемещений и температуры.

Раздел 3.4 посвящен описанию частотного уравнения в случае окружных гармоник произвольного порядка. Приведены выражения для элементов частотного определителя в безразмерной форме.

В разделе 3.5 осуществляется поиск волновых чисел GNIII-термоупру-гих волн в волноводе с теплопроницаемой стенкой. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения D = 0, а также его численный анализ.

В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики нулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Линии уровня ReD(Rck, Im/c) = 0 и Im D(Re к, Im к) = О выстраиваются совместно на одном и том же рисунке с помощью стандартной процедуры CoxitourPlot системы Mathematica 6.0 с заданным значением PlotPoints = 450.

На рис. б приведены совместно построенные изображения нулевых линий уровня ReD(Rek,Imfc) = 0 и lmD(Rek,lmk) = 0 в окрестности волнового числа к — -0.011814 + 6.085313г. Рис. 6 (б) дает наиболее детальную картину. Точки, в которых пересекаются указанные линии уровня, и являются корнями частотного уравнения D — 0.

I

^Ди + (А + (j) VV • и - aVe - рй = О,

Л Л Л

(6)

Рис. й Пересечение линий уровня ReD(Re/c,ImA:) = 0 и ImD(ReA,ImA:) = 0, определяющее комплексное волновое число к = —0.011814 + 6.085313't (а) и их более детальное изображение (б), при заданных значениях k0 = 0.1, h2 = 100.0, Л4 = 0.01, he = 1.1, ct/ct = 1.9, fcfi =0.1.

На рис. 7 приводятся совместно построенные при п = 70 нулевые линии уровня величин ReD(Rek, Imk) = 0 и ImZ}(Re к, Irrifc) = 0.

Рис. 7. Нулевые линии уровня величии Re.D(Refe,Imfc) = 0 и ImD(Refc, Imfe) = 0 при заданных значениях /г0 = 0.1, h2 = 100.0, hi = 0.01, h6 = 2, cj/q = 1.9, k\\ = 0.1.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Рассматриваются связанные линейные уравнения движения и теплопроводности для трех случаев (GNI/CTE, GNII, GNIII) обобщенной термоупругости. Обобщенная GNIII модель характеризуется четырьмя безразмерными материальными постоянными, независящими от частоты и одной безразмерной частотой.

2. С помощью условий совместности Адамара-Томаса проведен анализ слабых разрывов перемещений и температуры при переходе через волновую поверхность для классической GNI/CTE и обобщенной GNIII-термоупругос-ти, а также слабых разрывов перемещений и температурного смещения для гиперболической GNII теории. Показано, что в случае связашюй GNI/CTE-термоупругости термический сигнал распространяется с бесконечно большой скоростью. Установлено, что для гиперболической теории GNII-термоупру-гости присутствуют ровно две скорости распространения слабых разрывов температурного смещения.

Проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн. Получены формулы для отыскания волновых чисел. Определены условия нормальности волновых чисел распространяющихся волн, т.е. условия, при которых волна является затухающей и распространяется в положительном направлении. Показано, что каждому набору определяющих постоянных связашюй плоской GNII-термоупругой волны соответствуют два значения волнового числа, являющихся вещественными.

3. Получено решение связанных уравнений гиперболической GNII-термо-упругости для цилиндрического волновода круглого поперечного сечения со свободной теплопроницаемой боковой стенкой. Решение содержит достаточное число произвольных постоянных, а именно пять, и удовлетворяет граничным условиям, в том числе условию конвективного теплообмена через боковую поверхность волновода.

Определены волновые числа GNII-термоупругих волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплопроницаемого волновода при различных безразмерных частотах. Установлено, что волновые числа связанной гиперболической термоупругой волны могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми. Найдены выражения для перемещений и температуры GNII-термоупругих волн с произвольным азимутальным порядком. Определены и построены формы перемещений и температуры, приведены соответствующие графические представления в случае азимутального числа п = 3.

4. Рассмотрена задача о распространении связанных обобщенных GNIII-термоупругих волн в свободном цилиндрическом волноводе круглого поперечного сечения, через боковую стенку которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Данная граничная задача содержит шесть безразмерных определяющих постоянных (пять из них являются материальными и одна безразмерной частотой).

Численно исследован эквивалентный аналог частотного уравнения D = О, где D — частотный определитель размерности 5x5, который равен левой части частного уравнения. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения, а также выполнен его численный анализ. В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики нулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Исследовались случаи, когда азимутальный порядок волны равен 1, 7 и 70 с использованием системы символьных вычислений Mathematica 6.0. В зависимости от безразмерной частоты, найдены близкие к нулю волновые числа GNIII-термоупругих волн в задаче о распространении термоупругих волн с наличием теплообмена через боковую поверхность волновода. Найдены выражения для форм перемещений и температуры обобщенных GNIII-термоупругих волн в случае произвольного азимутального порядка.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Радаев, Ю.Н. Локализация волновых чисел связанной термоупругой волны в цилиндрическом волноводе с теплопроницаемой стенкой / Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский, М.В. Таранова // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - №2(8). - Ч.З. - С. 588-595.

2. Ковалев, В.А. Прохождение обобщенной GNIII-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика. - Вып. 1. - С. 59-70.

3. Ковалев, В.А. Прохождение термоупругого гармонического сигнала через волновод с теплопроницаемой стенкой / В.А.Ковалев, Ю.Н.Радаев, Р.А. Ревинский // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер, Физ.-мэ/г. нзуки. ~ 2011. — №1(22). - С. 221-227.

В других научных изданиях:

4. Ревинский, Р.А. Эффективные методы суммирования спектральных разложений / Р.А Ревинский //' Труды Юбилейной школы-семинара "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, проф. Г.И. Быковцева, Самарский гос. университет, 29 января —2 февраля, 2008. - С. 66-68.

5. Ревинский, Р.А. Эффективные методы суммирования в динамических задачах термовязкоупругости / Р.А. Ревинский // XXXIV Гагаринские чтения. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Москва, 1-5 апреля 2008. - С. 105-106 .

6. Ковалев, В.А. Слабые разрывы перемещений и температуры в GN 1,11,111-термоупругих средах / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский [н др.] // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 23-27 ноября 2009. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 196-202.

7. Ковалев, В.А. Волновые числа плоских связанных GNIII-термоупругих волн / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // Международная методологическая школа-конференция "Математическая физика и нано технологии". Материалы п доклады. Сер. "Современные проблемы математической физики". Спец. вып. №1. - Самара, Изд-во "Самарский университет", 2010. -С. 35-44.

8. Ковалев, В.А. Прохождение термоупругого импульса через волновод с проницаемой для тепла стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // Всероссийская конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Тезисы докладов. Пермь, 26-27 ноября 2010. -С. 73.

9. Ковалев, В.А. Прохождение термоупругого импульса через волновод с проницаемой для тепла стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // Неравновесные процессы в сплошных средах. Материалы всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2010. - С. 107-110.

10- Ковалев, В.А. Прохождение связанной термоупругой гиперболической волны вдоль длинного цилиндрического волновода с теплопроиицаемой стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г. Тезисы докладов. Пермь-Екатеринбург, 2011. - С. 159.

11. Ковалев, В.А. Прохождение связанной термоупругой гиперболической волны вдоль длинного цилиндрического волновода с теплопроиицаемой стенкой / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Р.А. Ревинский // Труды XVII Зимней школы по механике сплошных сред (Электронный ресурс). Пермь-Екатеринбург, 2011. Электрон, оптич. диск. (CD)

Подписано в печать 23.05.2011 г. Формат 60x84/16. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 612 ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет" Отдел типографии и оперативной печати 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Введение

Глава 1. Плоские монохроматические волны и распространение слабых связанных разрывов перемещений и температуры в СГ^1,П,1П-термоупругих средах

1.1. Волновые поверхности слабого разрыва связанных полей перемещений и температуры в СМ/СТЕ-термоупругих средах

1.2. Волновые поверхности слабого разрыва связанных полей перемещений и температуры в С№1-термоупругих средах

1.3. Плоские гармонические связанные СШП-термоупругие волны

1.4. Плоские гармонические связанные СТЕ-термоупругие волны

1.5. Плоские гармонические связанные СШ1-термоупругие волны 51 Выводы по первой главе.

Глава 2. Прохождение гиперболической С]>Ш-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой

2.1. Основные соотношения и вводные замечания.

2.2. Разделение пространственных переменных в связанных уравнениях гиперболической 01ЧП-термоупругости.

2.3. Граничные условия на боковой поверхности волновода. СГШ-термоупругие перемещения, напряжения и температура

2.4. Частотное уравнение в случае окружных гармоник произвольного порядка.

2.5. Анализ частотного уравнения. Формы перемещений и температуры

Выводы по второй главе.

Глава 3. Прохождение обобщенной С1ЧП1-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой 88 3.1. Основные уравнения и вводные замечания.

3.2. Разделение пространственных переменных в связанных уравнениях СШП-термоупругости.

3.3. Граничные условия на боковой поверхности волновода. СШН-термоупругие перемещения, напряжения и температура

3.4. Частотное уравнение в случае окружных гармоник произвольного порядка.

3.5. Анализ частотного уравнения. Формы перемещений и температуры

Выводы по третьей главе.

Под термином „термоупругость" чаще всего в настоящее время понимают достаточно широкий круг явлений таких как теплопроводность, термические напряжения, связанные термоупругие деформации, затухание тепловых и упругих импульсов в твердых телах, а также тепловые волны „ второго звука" в деформируемых твердых телах. С теоретической точки зрения теорию термоупругости следует рассматривать как одну из важнейших составляющих термомеханики и теории поля.

Первые исследования температурных напряжений и деформаций в деформируемых твердых телах в линейном приближении восходят к работам Дж. Дюгамеля (J.M.C. Duhamel) [49, 50] и Ф.Нейману (F.Neumann) [94].

Классическая теория термоупругости (СТЕ, conventional thermoelasti-city) основывается на законе теплопроводности Фурье h = -A*V0, где h —вектор потока тепла (heat flux), Л* — коэффициент теплопроводности (thermal conductivity), температура, V —оператор Гамильтона, устанавливающем коллинеарность вектора потока тепла и пространственного антиградиента температуры, и предсказывает возможность распространения теплового сигнала с бесконечно большой скоростью, что на самом деле противоречит реальным физическим наблюдениям и, кроме того, нарушает принцип причинности. Известно, что соответствующее закону Фурье уравнение теплопроводности принадлежит параболическому аналитическому типу. Уравнения такого типа допускают бесконечные скорости распространения возмущений, а в том случае, когда решение имеет „волновой" характер, тепловые волны будут иметь затухающие амплитуды.

Парадокс распространения температурных возмущений с бесконечной скоростью впервые обсуждался Максвеллом (J.C.Maxwell) [80]. Позднее, Био (М.А. Biot) [31] впервые корректно построил теорию связанной термо-унругости, используя методы термодинамики необратимых процессов; связанные соотношения этой теории, классифицируемые в настоящее время как СТЕ, включают векторное уравнение движения, принадлежащее гиперболическому типу, и параболическое уравнение теплопроводности. Понятно, что теория Био в полной мере обладает указанным выше недостатком. „Полевые" уравнения СТЕ для связанных (сопряженных) перемещений и температуры в линейном приближении состоят из одного векторного и сопряженного ему скалярного связанных дифференциальных уравнений в частных производных: дДu + (А + /x)VV • и - aV6 - pü = 0, ( ,

А*Ав - кв - a<90V • й = 0.

В этих уравнениях и — вектор перемещения; Л, /I — упругие постоянные Ламе (для изотермической деформации); а — термомеханическая постоянная {а = 1/3(3A + 2fj)ß*)] ß* — коэффициент объемного теплового расширения; в — абсолютная температура, точнее, ее превышение (инкремент) над отсчетной (рефереициалыюй) температурой 0q\ 6q — отсчетная (равновесная) температура (при температуре, равной во, отсутствуют деформации и напряжения); ас — теплоемкость (иа единицу объема) при нулевой постоянной деформации; А = V • V —оператор Лапласа. Связанность уравнений СТЕ-теории обуславливается взаимным влиянием нагрева (охлаждения) и объемной деформации тела, проявляется через определяющую постоянную а и является следствием основных принципов термодинамики (см. [31]).

За последние несколько десятилетий было предложено достаточно много различных обобщений теории связанной термоунругости Био с целью устранить парадокс бесконечной скорости распространения тепла, и допустить возможность волнового характера распространения тепла в форме незатухающих волн. Последнее из указанных явлений называется „вторым звуком". Достаточно широкий обзор работ, по проблеме „второго звука", включая весьма интересный исторический аспект, дан в статьях Д. Жо-зефа (D.D.Joseph) и Л.Презиози (L. Preziozi) [66, 67].

Эксперименты, проведенные в разные годы различными исследователями, подтверждают вывод о том, что тепло при определенных условиях может распространяться как незатухающая волна. Первоначально (1946 г.) термические волны „второго звука" были экспериментально обнаружены в жидком гелии и позднее (1966 г.) — в твердом гелии. Феномен второго звука наблюдается при весьма низких температурах в кристаллах высокой чистоты. Например, в работе [81] указывается на обнаружение „второго звука" в кристалле NaF. „Второй звук" в NaF наблюдается при температуре около 15К [65]. В работах [107] и [98] также подтверждается существование волн второго звука в NaF; согласно [59] скорость волн „второго звука" составляет 1953.1 м/с. В публикации [93] приводятся результаты измерений волн „второго звука" в висмуте (Bi) при температуре около ЗК. Скорость волн „второго звука" в висмуте оказывается равной 78 ± 5 м/с.

Остановимся на нескольких наиболее часто встречающихся в прикладных задачах термомеханики обобщениях основных уравнений классической термоупругости (СТЕ). Одно из них было дано Лордом и Шульманом (Н. Lord, Y. Shulman) (LS-theory) [74]. Ими было получено гиперболическое уравнение распространения тепла, основанное на новом законе теплопроводности, заменившем классический закон теплопроводности Фурье. В законе LS-теплопроводности введена дополнительная определяющая постоянная — время релаксации rrei в соответствии с уравнением Каттанео [34] яь h + Trel"777 = —Л* (1.2)

Ot

Время релаксации представляет собой (всегда весьма малое) время запаздывания после возникновения температурного градиента, необходимое для того, чтобы в элементе тела сформировался установившийся поток тепла.

Независимо от Каттанео аналогичное уравнение было получено в работе [120].

Уравнение (1.2) часто выводится на основании уравнения „запаздывания" (the lag equation) h(x, t + rrei) = -A*V0(x,i), которое формулируется для заданного места в пространстве х и, как уже отмечалось, устанавливает, что поток тепла запаздывает по отношению к пространственному градиенту температуры. Прииимая во внимание, что dh h(x, t + Trei) = h(x, t) + rrei—(x, t) + . , где частное дифференцирование по времени выполняется при фиксированном положении х, и ограничиваясь лишь первыми двумя слагаемыми в приведенном разложении, приходим к уравнению (1.2).

Уравнения поля" ЬБ-теории для связанных перемещений и температуры в линейном приближении состоят из одного векторного (совпадающего с соответствующим уравнением СТЕ-теории) и сопряженного ему скалярного гиперболического связанных дифференциальных уравнений в частных производных: ¿¿Ди + (А + /I)VV - и - оЯв - рй = О, \ Л*Д0 - к(в + тге1<9) - ав0(Ъ ■ й + Tk.iV • и) = 0.

Тем самым, в ЬБ-теории как уравнение движения, так и уравнение транспорта тепла, принадлежат гиперболическому типу, что и обеспечивает конечную скорость распространения как тепловых, так упругих воли деформации.

Следуя связанной обобщенной теории термоупругости Лорда-Шульма-на, в [91] и [92] исследуется влияние связанности уравнений движения и теплопроводности в задачах о распространении плоских гармонических связанных термоупругих волн в неограниченной среде и распространение поверхностных волн Релея вдоль свободной поверхности полупространства.

В статье [45] применяется метод граничных элементов для анализа нестационарных динамических задач обобщенной термоупругости для полупространства методом преобразования Лапласа. Также, метод граничных элементов применяется в [62, 63] для решения связанных термоупругих задач в конечной области. В этих работах изучается влияние связанности уравнений на распространение волн деформаций и температуры.

В работе [29], применяя обобщенную теорию Лорда-Шульмана, исследуется динамическая термоупругая реакция диска, находящегося под влиянием осесимметричного теплового нагружения, а также изучается влияние времени релаксации и исследуется распространение температурных волн и волн напряжений.

В статье [88] рассматривается задача обобщенной термоупругости с одним параметром времени релаксации для бесконечного изотропного кругового цилиндра, термомеханические свойствами которого зависят от температуры. В этой же статье разработана конечно-разностная схема для решения задачи, сформулированной с помощью связанных уравнений нелинейной термоупругости.

В [53] исследуется пространственная модель обобщенной термоупругости с одним временем релаксации. Связанные безразмерные уравнения применяются для решения задачи для полупространства со свободной от напряжений поверхностью и подвергающегося воздействию теплового удара.

В статье [123] рассматривается термоупругая задача для изотропной неограниченной среды с цилиндрической полостью, на которую воздействует движущийся источника тепла, следуя линейной теории обобщенной термоупругости. Полученные в этой работе результаты, показывают как скорость движения источника тепла и время релаксации влияют на перемещения, температуру, напряжения и деформации.

В [75] приводится теорема взаимности для начально-краевых смешанных условий в рамках линеаризованной теории термоупругости Лорда-Шу-льмана.

Используя обобщенную модель термоупругости, предложенную Лордом и Шульмапом, в исследовании [76] представлен анализ распространения термоупругих волн в бесконечном круговом цилиндре. Двумерная задача для полупространства с полостями, следуя обобщенной теории Лорда-Шульмана рассматривается в [116], где также исследуется явление отражения волны сжатия и сдвига от свободной поверхности твердого тела.

В [28] исследуется двумерная задача для тонкой пластины, подверженной воздействию объемной силы, следуя теории обобщенной термоупругости с одним временем релаксации.

На основании теории обобщенной термоупругости Лорда-Шульмана, в [33] рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных, а также общие аспекты краевых и начально-краевых задач и представление решений в форме рядов и квадратур.

В [70] проводится исследование динамической реакции изотропного термоупругого полупространства с пустотами, на которое действуют нормальные, касательные сил и источник тепла. В работе получены распределения перемещений, напряжений и температуры, а их численные значения!

Воздействие сконцентрированных напряжений на бесконечный цилиндр, подверженный вращательно асимметричному мгновенному тепловому иа-гружению, применяя теорию Лорда-Шульмана, изучается в [48]. В работе обсуждается влияние связанной постановки задачи и времени релаксации на влияние сконцентрированных напряжений и сосредоточенных сил.

В [111] рассматривается задача обобщенной термоупругости с одним временем релаксации для бесконечной толстостенной трубы, внутренняя и внешняя поверхности которой являются свободными от напряжений и испытывают влияние окружающей температуры.

Вторым хорошо известным обобщением связанной теории термоупругости Био, допускающим „второй звук", является теория, предложенная Грином и Линдсей (A.E.Green, K.A.Lindsay) (GL-theory) [56]. Заметим, что Мюллер (I. Müller) [89] в обзоре по термодинамике термоупругих твердых тел, предложил неравенство для производства энтропии, с помощью которого он рассматривал ограничения на класс определяющих уравнений. Обобщение этого неравенства было предложено Грином (А.Е. Green) и Лоус (N. Laws) [55]. Грин и Линдсей получили явный вид определяющих уравнений в [56]. Эти уравнения были также независимо получены Сухуби (Е. Suhubi) [117]. GL-теория характеризуется тем, что вектор потока тепла в термоупругом теле h зависит от скорости изменения абсолютной температуры в и градиента температуры; закон GL-теплопроводности имеет форму h - -Ъв - Л* • V0, где b — антисимметричный вектор, Л*—тензор теплопроводности. Тензор второго ранга Л* в GL-теории симметричен: Л* = Aj. Заметим, что в случае центральной материальной симметрии выполняется равенство b = 0. Уравнение транспорта тепла оказывается гиперболическим. GL-теория в случае b = 0 допускает „второй звук", не нарушая при этом классического закона теплопроводности Фурье.

Определяющее уравнение GL-теории связанной термоупругости имеет вид сг = 2це + Atrs - о; + {в - 6>о)Х, (1.4) где сг — тензор напряжений, е — тензор малых деформаций, I — единичный тензор.

Замкнутая система дифференциальных уравнений GL-теории состоит из уравнения движения

Au + (Л + /i)VV -u-a(l + V0 - ри = 0 (1.5) и уравнения распространения тепла

А*Ав - oA)V • й - к + 0 = 0. (1.6)

Определяющие постоянные GL-теории т* и т*, имеющие смысл времен релаксации, подчиняются неравенствам т* > т* > 0, гарантирующим неотрицательность внутреннего производства энтропии при распространении волн деформаций и температуры. Если т* = т* = 0, то GL-теория сводится к СТЕ.

Замкнутая форма решений для термоупругих задач в обобщенной теории термоупругости получена Хетнарски (R.B. Hetnarski) и Игначак (J. Igna-czak) [60]. В [61] исследуется реакция полупространства на мгновенные лазерные импульсы следуя обобщенной теории термоупругости Грина-Лиид-ссй. Получено замкнутое решение связанной одномерной начально-краевой задачи.

В публикациях [115], [113] и [114] исследуется отражение термоупругих волн от свободной поверхности твердого полупространства, а так же на границе раздела двух полубесконечных сред в контексте обобщенной термоупругости Грина-Линдсей.

В статье [69] изучается распространение термоупругих волн напряжений в неограниченном теле со сферической полостью, следуя теориям, развитым в [56], [57].

Задача распространения термоупругих волн в бесконечной вытянутой тонкой пластине, на основе теории, развитой в [56] для кратковременной аппроксимации, используя преобразование Лапласа приводится в [32] и [108].

Следуя обобщенной теории термоупругости Грина-Линдсей в [52] исследуется распространение волн в бесконечном круговом цилиндре. В работе получено дисперсионное соотношение при постоянной температуре поверхности цилиндра. Задачи в рамках обобщенной термоупругости для бесконечного тела с круглой цилиндрической полостью и для бесконечного цилиндра обсуждаются в работе [54].

В [112] обсуждается двумерная задача обобщенной термоупругости для бесконечного длинного цилиндра, в то время как в работе [121] рассматривается задача о тепловом ударе для бесконечного тела с цилиндрической полостью, с помощью теории Грина-Линдсей. Задача о термоупругих взаимодействиях в бесконечной среде с цилиндрической полостью, зависящей от линейного закона нагревания и нагружения исследуется в [122].

В начале 90-х гг. XX в. Грином и Нахди (А.Е. Green, P.M. Naghdi) [57, 58] была развита теория обобщенной термоупругости (GN-theory). Предложенная теория сочетает в себе как свойства классической термоупругости СТЕ, выстроенной согласно закону теплопроводности Фурье, так и свойства недиссипативной термоупругости, предполагающей отсутствие производства энтропии и волновой характер распространения теплового сигнала. GN-теория была сформулирована в трех различных термодинамически корректных вариантах: GNI, GNII и GNIII. В линейном приближении первый вариант (GNI) приводит к закону теплопроводности Фурье и параболическому уравнению теплопроводности; второй (GNII) — предлагает считать распространение тепла как волновой недиссипативный процесс (dissipationless thermoelasticity), не сопровождающийся внутренним производством энтропии, и приводит к гиперболическому уравнению транспорта тепла; третий (GNIII) — наиболее общий из рассматриваемых — включает GNI и GNII в качестве предельных случаев. Именно по этой причине GN-теория в состоянии моделировать значительно более широкий круг явлений, связанных с переносом тепла, по сравнению с теорией Фурье.

Классическая связанная теория термоупругости (СТЕ) широко применяется в различных прикладных задачах термомеханики в тех ситуациях, когда речь идет о быстропротекающих переходных процессах или когда происходит интенсивный нагрев тела (например, с помощью импульсного лазерного излучения). В таких ситуациях температурное поле связано с упругим полем и связанная форма уравнений термоупругости должна выглядеть наиболее адекватной. Систематическое изложение динамической теории связанной (сопряженной) СТЕ-термоупругости дано в известной монографии [23].

Отличительной чертой теории GNII гиперболической термоупругости является то, что она полностью согласуется с основными принципами термодинамики (и в этом смысле она термодинамически корректна) и предсказывает нулевое внутреннее производство энтропии, т.е. отсутствие рассеяния энергии, при распространении термической волны "второго звука". Отсутствие диссипации энергии в GNII-термоупругом теле позволяет дать вариационную (а следовательно, и полевую) формулировку теории с целью дальнейшего поиска вариационных симметрий связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных термоупругости. Лаграи-жева и Гамильтонова полевые формы нелинейной теории термоупругости типа GNII рассматривались в работах [68], [78], [77], [79].

Анализ литературных источников показывает, что к настоящему времени опубликовано сравнительно немного работ, выполненных с привлечением связанных уравнений GNIII-теории. Например, распространение плоских гармонических связанных термоупругих волн в рамках GNIII-теории изучалось лишь сравнительно недавно в работах [97] и [9], и нельзя сказать, что эта проблема полностью разрешена в плане определения нормальных волновых чисел указанного типа волн. В статье [47] в рамках теории обобщенной термоупругости GNIII исследуется термоупругие волны в неограниченном однородном изотропном теле, вызванные линейным источником тепла. Полученные в указанной работе результаты показывают, что теория GNIII в целом прогнозирует диффузионный механизм распространения тепла и только в отдельных случаях допускает волновой механизм теплопроводности. В [6, 11] получено решение задачи о распространении связанной GNIII-термоупругой волны вдоль теплоизолированного цилиндрического волновода. В работе [10] исследуется частотное уравнение указанных волн в случае достаточно высоких азимутальных чисел.

Теория Грина-Нахди представляет огромный интерес для исследователей, поскольку она последовательно развивается методами рациональной механики. Принцип недиссипативной передачи тепла также заслуживает внимания вследствие возможности вариационной формулировки уравнений теории термоупругости. Гамильтонова формулировка теории упругости Грина-Нахди представлена в работах Мажена (G.A. Maugin) и Калпа-кидеса (V.A. Kalpakides) в работе [78]. В статьях [68, 79] найдены законы сохранения в случае недиссипативной термоупругости и сформулирован вариационный принцип для обратного закона "обратного движения" и исследуются соответствующие полевые уравнения Эйлера-Лагранжа.

Задача о тепловом ударе в рамках недиссипативной теории термоупругости рассматривается в [73]. В работах [37, 43] изучаются цилиндрические (сферические) волны, возникающие вследствие (i) силы, приложенной к границе цилиндрической (сферической) полости в неограниченном теле и (ii) линейного либо точечного источника тепла в неограниченном теле. Одномерная задача для недиссипативного полупространства исследуется в [85], а термоупругие деформации неограниченной среды со сферической полостью— [86].

В работе [118] исследуются волны деформаций и температуры в круговом кольце. В этой же работе на основе GNII и GNIII-термоупругой модель обсуждается распространение и отражение волн от границы.

В [42] исследуются свободные плоские гармонические волны в рамках недиссипативной теории термоупругости в неограниченном теле. В работе [110] изучается задача связанная термоупругая задача по недиссипативной схеме вследствие воздействия массовых сил и источников тепла. В [84] предпринята попытка решения связанной термоупругой задачи следуя недиссипативной схеме для неогранрхченной среды со сферической полостью, подвергающейся воздействию изменяющейся по гармоническому закону температуры. Там же получена замкнутая форма решения для распределения перемещений, температуры и напряжений.

В исследовании, приведенном в [95], обсуждается отражение плоских волн от упругого полупространства под действием гидростатического начального напряжения с помощью соотношений GNII-термоупругости.

Ряд новых результатов получены в [103]. Устойчивость решений в задачах GNIII-термоупругости изучается в работах [99, 100, 101].

Пространственное поведение в случае термоупругости без учета термической диссипации является предметом исследования в [35]. В статье Наппа (L. Nappa) [90] получены пространственные оценки разложения решения уравнений в линейной термоупругости на основе динамического принципа Сен-Венана.

Квазистатическая несвязанная термоупругая задача рассматривается в [96], используя суперпозицию двух теорий: классической теории термоупругости и теорию недиссииативной термоупругости. Термоупругие волны являются предметом исследования [119]. В этой работе исследуется распространение волн в однородной бесконечной изотропной пластине. Грин и На-хди изучали поведение одномерных термоупругих воли [57]. В качестве дополнения к теории Грина-Нахди укажем на исследования [35, 36, 38, 39, 40] и [64], которые также осуществлялись в рамках линейной недиссипативной теории термоупругости.

Используя энергетические методы, в [124] исследуется характер изменения во времени решений согласно теории обобщенной термоупругости (термоупругости типа GNIII) и получены результаты для плоскости и пространства. В [106] исследуются свойства решений линейных GNIII-термо-упругих задач.

Пури (P. Puri) и Джордан (P.M. Jordan) [97] изучали распространение плоских GNIII-термоупругих волн в неограниченной среде. В этой работе получено дисперсионное соотношение для плоских волн. Влияние определяющих параметров исследуется с помощью пакета символьных вычислений Mathematica.

Аналитическое решение задачи о тепловом ударе представлено в работе [72] в рамках GNIII-термоупругости.

Связанные термоупругие задачи исследуются в [82], [83] и [103]. Работа [82] посвящена решению задач для упругого полупространства на основе уравнений GNIII-термоупругости. В [83] исследуется поведение GNII-тер-моупругого тела со сферической полостью. В статье [103] рассматривается цилиндрическая полость.

В статье [104] рассматриваются две нелинейные теории термоупругости, предложенные Грином и Нахди. Показано, что теория GNII допускает "второй звук1', и в этом случае могут распространяться волны деформаций и температуры.

Баргманн (S. Bargmann) и Штейнмапн (Р. Steinmann) [30] исследовали термодинамическое соотношение между потоком энтропии и потоком тепла в рамках неклассической теории Грина и Нахди.

В этой работе, используя неравенство энтропии Мюллера-Лю, показано, что классическое равенство потока энтропии отношению потока и абсолютной температуры сохраняется для изотропных материалов. Здесь же сформулированы уравнения баланса для термоупругой среды в терминах материального описания.

В подавляющем большинстве работ, относящихся к GNII или GNIII-термоупругости, исследуются линейные соотношения. В статье [51] в рамках теории обобщенной термоупругости Грипа-Нахди исследуется термоупругое взаимодействие, вызванное постоянным линейным источником тепла в однородном изотропном неограниченном теле. Исследование показывает, что рассматриваемая теория прогнозирует бесконечную скорость распространения тепла в общем случае и включает "второй звук" в качестве частного случая.

В статье [71] рассматривается линейная теория однородных и изотропных тел для случаев GNII и GNIII-термоупругости. Представлены основные уравнения, характеризующие изгиб тонких термоупругих пластин, и доказывается существование решений в рамках теории GNIII-термоупругости в предположении о том, что плотность внутренней энергии определенно положительна. Доказано существование и единственность решений для обеих теорий в предположении ограничений на материальные константы. Показана асимптотическая устойчивость решения.

В статье [87] авторы, применяя метод интегральных преобразований (преобразование Лапласа), рассматривают термоупругую среду, в которой напряженное состояние зависит только от одной пространственной переменной и времени.

В статье [105] получены энергетические оценки для класса задач, в которых "начальные данные" связывают данные, соответствующие начальному и конечному моментам времени. Такие постановки задач известны из литературы и могут быть использованы, например, для получения оценок поведения решения в некорректно поставленных задачах. Устанавливается, что такого рода задачи не всегда обладают единственным решением. Ставят под сомнение физическую полезность указанных задач.

Работа [102] посвящена изучению с помощью модели Грина-Нахди распространения температурных волн в полупространстве в результате внезапного воздействия температуры на границу методом преобразования Лапласа. В [39] рассматривается решение уравнений поля для теории Грина-Нахди. В [109] исследуются возмущения, вызванные влиянием сосредоточенной нагрузки и источника тепла, действующими на границу полупространства.

Целью настоящей работы является изучение распространения обобщенных связанных GNIII-термоупругих волн вдоль цилиндрического волновода со свободной теплопроницаемой стенкой. Одной из задач исследования является определение влияния теплообмена через стенку цилиндрического волновода на величину волновых чисел распространяющихся в волноводе нормальных волн. В рассматриваемой линейной постановке принимается определяющий закон Дюгамеля—Неймана сг = 2/ле + (Àtre — a(Q — 9q)) I, (1.7) где сг — тензор напряжений, е — тензор малых деформаций, I — единичный тензор; мы по-прежнему используем следующие обозначения: А, /¿ — упругие постоянные Ламе; а — термомеханическая постоянная (а — 1/3(3A+ 2ц)Р*)-, Р* — коэффициент объемного теплового расширения (coefficient of thermal expansion); в — абсолютная температура; 9q — отсчетпая (равновесная) температура. (Отметим, что при температуре, равной отсутствуют деформации и напряжения.)

Линейная теория GNIII-термоупругости характеризуется тем, что вектор потока тепла h линейно зависит как от градиента температуры, так и от градиента температурного смещения h= -A*V0-AVtf, (1.8) где i9 (i9 — 0) — температурное смещение (thermal displacement), Л —характерная скорость теплопроводности (thermal conductivity rate), V — трехмерный оператор Гамильтона. Кроме того, полная система соотношений GNIII-теории включает уравнения движения div or — рй = 0, (1.9) где и —вектор перемещений, р— плотность; уравнение баланса энтропии s + V-j-a + e, (1-Ю) где s — плотность (на единицу объема) энтропии, j — вектор потока энтропии, с — внешнее производство энтропии, £ > 0 — внутреннее производство энтропии, или вз + V ■ (9j) + в(а + О; (I-11) и уравнение баланса энергии, которое мы примем в форме

- (ф + sfl) + tr (а • ё) - h • ™ = (1.12) где ф — плотность (на единицу объема) свободной энергии Гельмгольца. Здесь необходимо учесть, что вектор потока тепла и вектор потока энтропии связаны уравнением h = 6j, (1.13) а для внутреннего производства энтропии справедливо соотношение (1Л4)

В рамках линейной теории следут предполагать линейную зависимость между термодинамическим потоком и термодинамической силой

Vtf, равно как и квадратичную зависимость ф от градиента температурного смещения В результате определяющее уравнение для теплового потока будет иметь вид (1.8).

Заметим, что внутреннее производство энтропии в модели GNII-термоупругости исчезает £ = 0 в силу

•

3 ~

Классическая связанная термоупругость GNI/CTE основывается на допущении о независимости свободной энергии ф от температурного смещения $ и градиента Vi9, в силу чего внутреннее производство энтропии вычисляется как -3 ■ V6.

Приведем также соотношения Коши, связывающие тензор малых деформаций е и градиент вектора перемещения V <g> и:

2£ = V + (V ®и)т. (1.15)

Условие конвективного теплообмена с окружающей средой через поверхность с единичной нормалью п в линейном приближении имеет вид n-h = a(0-eGnv): (1.16) где и — коэффициент теплообмена, 9env — температура окружающей среды. В дальнейшем будем полагать, что температура окружающей среды совпадает с отсчетной 9eiw — Oq.

Для сокращения записи уравнений в дальнейшем через в будем обозначать превышение температуры над отсчетной (равновесной) температурой $0, т.е. символ в в последующем изложении следует понимать как разность е-во

Из приведенных выше прямых тензорных соотношений находятся физические компоненты тензора напряжений и деформаций в цилиндрических координатах л ^ &иг „ „ /1 dum г \ arr = \е + ~~ ач*р = Ае + 2¿¿ { + ■ - ) —ав, azz = \e + 2^-ae, vrip = /х - ^ + ^ ) , (1.17) rii¿2 диг\

7rz = ß\ —— + дг dz — Sfr диг 1 ди^ ur duz rr = ~~) £ipw — ^ I ; &ZZ = 5

Or r ocp r oz ip + 2s„ = ^ii + (1.18) r oip oz ör oz duv u<f ldur ur r r Oip

Заключая введение, приведем линейные связанные уравнения движения и теплопроводности GNIII-термоупругости [6, 7] в той форме, в которой они используются в настоящей работе: дДи + (А +/х)VV • u - aV<9 - pü = О, ААв + Л*Д0 - кв - ав0'V • ü = 0.

Здесь А — трехмерный оператор Лапласа, к — (specific heat of the unit volume) теплоемкость (на единицу объема) при отсутствии деформации.1

Разделим второе уравнение системы (1.19) на А и вц. В дальнейшем, постоянные А, А* и ас будут считаться отнесенными к отсчетной температуре во. Таким образом можно минимизировать число постоянных, необходимых для формулировки связанных уравнений GNIII-теории. В итоге приходим к системе уравнений iAu + (А + fj) W • u - aV9 - pü = О,

A • к- а (1-20)

А А А

Как уже упоминалось ранее, классическая связанная термоупругость (GNI/CTE) и гиперболическая термоупругость (GNII) являются предельными случаями GNIII-теории. Заметим, что система (1.20) исключительна

1 Поскольку рассматривается линейная теория, к не зависит от температуры для се значений в окрестности референциальной температуры. удобна при переходе к уравнениям гиперболической СМИ-теории: для этого необходимо положить Л* = 0. Ясно также, что переход Л —0 к классической термоупругости (вШ/СТЕ) в уравнениях (1.20) требует соблюдения ряда мер предосторожности.

Апробация работы.

- Семинар "Современные проблемы математики и механики" под РУК0~ водством доктора физико-математических наук, проф. Ю.Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2007, 2010 гг.;

- Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковцева, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января —2 февраля, 2008 г.;

- Международная молодежная ттаучная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1-5 апреля, 2008 г.;

- 16-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24-27 февраля 2009 г.;

- Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 23-27 ноября 2009.

- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Пвлева, г. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический униззерси-тет им. И.Я. Яковлева, 3 апреля, 2010 г.;

- Вторая международная конференция "Математическая физиках- и ее приложения", Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.;

- "Неравновесные процессы в сплошных средах", Всероссийская конференция молодых ученых. Пермь, 26-27 ноября 2010 г.;

- Семинар "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.А. Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 декабрь, 2010 г.;

- 17-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 28 февраля - 3 марта 2011 г.;

- Научный семинар "Механика и прикладная математика" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.П. Радчен-ко, г. Самара, Самарский государственный технический университет, 2011г.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 работ. Основные результаты отражены в [16, 19, 24], изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Целью диссертационной работы является анализ распространения гиперболических GNII-термоупругих и обобщенных GNIII-термоупругих волн, в длинном цилиндрическом волноводе со свободной боковой поверхностью, через которую происходит конвективный теплообмен и исследование влияния теплообмена боковой стенки цилиндра на величину волновых чисел распространяющихся в волноводе нормальных волн.

Эта цель предполагает решение следующих задач

- Изучение слабых разрывов решений связанных уравнений классической (СТЕ), гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) термоупругости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных термоупругих волн GNIII-термоупругости.

- Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках гиперболической линейной теории термоупругости (GNII) в цилиндрическом волноводе.

- Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках обобщенной линейной теории термоупругости (GNIII) в цилиндрическом волноводе.

- Вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в случае окружных гармоник сколь угодно высокого азимутального порядка (в рамках GNII и GNIII-термоупругости).

- Проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках гиперболической и обобщенной теорий термоупругости.

- Анализ частотного уравнения и визуальная локализация волновых чисел в случае обобщенной GNIII-термоупругости.

- Отделение всех вариантов значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин на комплексной плоскости, устранение многозначности при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней.

- Исследование случая распространения термоупругих воли в случае больших значений азимутальных чисел и анализ частотного уравнения.

Актуальность темы заключается в следующем.

При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования.

Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих подчас в критических термомеханических условиях. Моделирование процессов теплообмена и деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики и механики. Оно открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как теория теплопроводности и механика деформируемого твердого тела, значительно расширяет перспективы создания и практического использования новых технологий.

В последние годы внимание к проблемам термоупругих напряжений значительно возросло в связи с задачами, возникающими при разработке новых технологий и конструкций современной техники, а также при анализе процессов, происходящих при воздействиях концентрированных потоков энергии на материалы и элементы конструкций. Создаются условия скачкообразного изменения температуры на поверхности твердого тела или граничащей с ним среды (эффект теплового удара), что приводит к появлению в телах мощной волны термических напряжений, достаточной для образования трещин. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн, а так же влияние связанности задачи в механизме теплового динамического разрушения твердых тел.

Исследованию напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой составляет основу современных моделей термомеханики.

Актуальным является изучение взаимной зависимости напряженно-деформированного состояния от источников тепла, которые могут порождаться концентрированными потоками энергии используется тепловое действие плазменного потока, коротких лазерных импульсов или электронного луча. В связи с развитием обобщенных моделей термоупругих сред не менее важным и актуальным является вопрос о передаче тепла на расстоянии, исследовании задач о распространении связанных термоупругих волн в волноводах, подверженных влиянию окружающей среды.

Также важными являются исследования, связанные с развитием обобщенных теорий термоупругости. В частности, гиперболическая теория термоупругости Грина-Нахди (GNII), является предельным случаем обобщенной теории термоупругости Грина-Нахди (GNIII) и прогнозирует волновой тип распространения тепла (волна "второго звука"). В различных работах описываются эксперименты по выявлению "второго звука" в веществах таких, как фторид натрия, висмут, гелий, при определенных температурных условиях, приводятся экспериментальные данные о скорости распространения волн второго звука и указывается на волновой характер распространения тепла. Все сказанное выше отражает актуальность и значимость описываемой в работе тематики.

Научная новизна диссертационной работы заключена в следующем:

- С помощью условий совместности Адамара-Томаса изучены слабые разрывы в GNI,GNII,GNIII-TepMoynpyrnx средах.

- В работе получены решения связанных уравнений движения и теплопроводности и проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного длинного цилиндрического волновода с проницаемой для тепла стенкой для GNII- и GNIII-термоупругих сред.

- В рамках модели гиперболической GNII-термоупругости получено частотное уравнение в задаче о распространении гармонических волн вдоль оси свободного цилиндрического волновода с теплопроница-емой стенкой. С использованием системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен его численный анализ и анализ форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.

- Найдены выражения для перемещений и температуры для связанных GNII-термоупругих волн произвольного азимутального порядка.

- Получено биквадратное уравнение, из которого находятся волновые числа, и проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII термоупругих волн. Определены условия нормальности плоских гармонических связанных GNIII-тсрмоупругих волн. Проведено выделение четырех возможных однозначных ветвей при извлечении вложенных арифметических корней на комплексной плоскости.

- Получено частотное уравнение в задаче о распространении обобщенных связанных GNIII-iepMoynpyrHX волн в бесконечном цилиндрическом волноводе с проницаемой для тепла стенкой. С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.

- Найдены выражения для перемещений и температуры для обобщенных СШП-термоупругих волн произвольного азимутального порядка.

- Получены выражения, позволяющие рассматривать отдельно все 32 (25) варианта расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней при анализе частотного уравнения и устранить многозначность при вычислениях. Подробно описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения для волн разного азимутального порядка.

Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатами.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты, могут применяться для описания и исследования процессов связанных с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел. Такие условия приводят к разрушению материалов под действием температуры. Также, результаты могут быть использованы при моделировании термомеханических процессов и дают возможность проведения более полного анализа температурного и напряженно-деформированного состояний важных элементов конструкций, подверженных тепловому воздействию и, таким образом, получению информации об оценке их прочности.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 142 страницы, включая 28 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 124 наименований.

Выводы по третьей главе

1. Рассмотрена задача о распространении связанных обобщенных СШИ-термоупругих волн в свободном цилиндрическом волноводе круглого поперечного сечения, через боковую стенку которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Данная граничная задача содержит шесть безразмерных определяющих постоянных (пять из них являются материальными и одна безразмерной частотой).

2. Получено решение связанных линейных уравнений обобщенной ОШП-термоупругости для кругового цилиндра со свободной теплопроница-емой боковой стенкой. Решение содержит достаточное число произвольных постоянных, а именно пять, и позволяет удовлетворить всем граничным условиям, в том числе условию конвективного теплообмена с окружающей средой.

3. Исследуемое численно частотное уравнение выписать полностью не представляется возможным. Однако, удается анализировать эквивалентное ему уравнение И = 0, где В — частотный определитель размерности 5x5, который равен левой части частного уравнения. Исследовались случаи, когда азимутальный порядок волны равен 1, 7 и 70 с использованием системы символьных вычислений Ма^ета^са 6.0. В зависимости от безразмерной частоты, найдены близкие к нулю волновые числа СШП-термоупругих волн в задаче о распространении термоупругих волн с наличием теплообмена через-боковую поверхность волновода.

4. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения, а также выполнен его численный анализ. В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики нулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Точки пересечения указанных кривых являются корнями частотного уравнения £> = 0. Результаты анализа и определения корней частотного уравнения в случае азимутальных чисел п — 1 и п = 7 сопровождаются соответствующими графическими образами.

5. Отделены все варианты значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин, что позволило устранить многозначность при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней. Таким образом, становится возможным строить наиболее детальные графические образы (для каждой из ветвей). Для проверки полученных результатов, значения найденных волновых чисел подставлялись в частотное уравнение.

6. Разработан алгоритм, позволяющий осуществлять поиск волновых чисел без потери ветвей в извлекаемых корнях в ходе вычислений.

7. Найдены выражения для перемещений и температуры обобщенных С№Н-термоупругих волн в случае произвольного азимутального порядка. Определены формы перемещений и температуры, и приведены соответствующие графики для случаев термоупругой волны третьего и седьмого азимутального порядка.

Заключение

В соответствии с проведенными исследованиями получены следующие основные результаты:

1. Рассматриваются связанные линейные уравнения движения и теплопроводности для трех случаев (GNI/CTE, GNU, GNIII) обобщенной термоупругости. Обобщенная GNIII модель характеризуется четырьмя безразмерными материальными постоянными, независящими от частоты и одной безразмерной частотой.

2. С помощью условий совместности Адамара-Томаса проведен анализ слабых разрывов перемещений и температуры при переходе через волновую поверхность для классической GNI/CTE и обобщенной GNIII-термо-упругости, а также слабых разрывов перемещений и температурного смещения для гиперболической GNII теории. Показано, что в случае связанной GNI/CTE-термоупругости термический сигнал распространяется с бесконечно большой скоростью. Установлено, что для гиперболической теории GNII-термоупругости присутствуют ровно две скорости распространения слабых разрывов температурного смещения.

Проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII-термоупру-гих волн. Получены формулы для отыскания волновых чисел. Определены условия нормальности волновых чисел распространяющихся волн, т.е. условия, при которых волна является затухающей и распространяется в положительном направлении. Показано, что каждому набору определяющих постоянных связанной плоской GNII-термоупругой волны соответствуют два значения волнового числа, являющихся вещественными.

3. Получено решение связанных уравнений гиперболической GNII-термоупругости для цилиндрического волновода круглого поперечного сечения со свободной теплопроницаемой боковой стенкой. Решение содержит достаточное число произвольных постоянных, а именно пять, и удовлетворяет граничным условиям, в том числе условию конвективного теплообмена через боковую поверхность волновода.

Определены волновые числа СШ1-термоупругих волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплопроницаемого волновода при различных безразмерных частотах. Установлено, что волновые числа связанной гиперболической термоупругой волны могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми. Найдены выражения для перемещений и температуры СШ1-термоупругих волн с произвольным азимутальным порядком. Определены и построены формы перемещений и температуры и приведены соответствующие графические представления в случае азимутального числа п = 3.

4. Рассмотрена задача о распространении связанных обобщенных СШП-термоупругих волн в свободном цилиндрическом волноводе круглого поперечного сечения, через боковую стенку которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Данная граничная задача содержит шесть безразмерных определяющих постоянных (пять из них являются материальными и одна безразмерной частотой).

Численно исследован эквивалентный аналог частотного уравнения £> = О, где I) — частотный определитель размерности 5x5, который равен левой части частного уравнения. Описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения, а также выполнен его численный анализ. В ходе визуального определения корней частотного уравнения, строятся графики пулевых линий уровня вещественной и мнимой частей частотного определителя. Исследовались случаи, когда азимутальный порядок волны равен 1, 7 и 70 с использованием системы символьных вычислений МаЛета1лса 6.0. В зависимости от безразмерной частоты, найдены близкие к нулю волновые числа СШН-термоупругих волн в задаче о распространении термоупругих волн с наличием теплообмена через боковую поверхность волновода. Найдены выражения для форм перемещений и температуры обобщенных СШП-термоупругих волн в случае произвольного азимутального порядка.

1. Боли, Б., Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэй-нер. М.: Мир, 1964. - 518 с.

2. Бреховских, JI.M. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / J1.M. Бреховских, В.В. Гончаров. М.: Наука, 1982. - 336 с.

3. Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. -М.: Энергия, 1975. 209 с.

4. Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев: Изд-во Наукова думка, 1981. -284 с.

5. Дейвис, P.M. Волны напряжений в твердых телах / P.M. Дейвис. -М.: Изд-во иностр. литературы, 1961. 104 с.

6. Ковалев, В.А. Волновые задачи теории поля и термомеханика / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев. Саратов: Изд-во Сарат. уп-та, 2010. -328 с.

7. Ковалев, В.А. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. - 156 с.

8. Ковалев, В.А. Волновые числа плоских GNIII-термоупругих волн и неравенства, обеспечивающие их нормальность / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. - Т. 10. - Вып. 3. - С. 46-53.

9. Ковалев, В.А. Распространение связанных GNIII-термоупругих волн в длинном цилиндрическом волноводе / В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2010. - № 2(8). - С. 207-255.

10. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Ревинский P.A. Прохождение термоупругого гармонического сигнала через волновод с теплопроницаемой стенкой // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. - №1(18). - С. 221—227.

11. Коваленко, А.Д. Введение в термоупругость / А.Д. Коваленко. Киев: Изд-во Наукова думка, 1965. - 204 с.

12. Коваленко, А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. Киев: Изд-во Наукова думка, 1970. - 309 с.

13. Коваленко, А.Д. Термоуиругость / А.Д. Коваленко. Киев: Издательское объединение Вища школа, 1975. — 216 с.

14. Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. -М.: Мир, 1970. 256 с.

15. Ревинский, Р.А. Эффективные методы суммирования в динамических задачах термовязкоупругости / Р.А. Ревинский // XXXIV Гага-ринские чтения. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов. Москва, 1-5 апреля 2008. С. 105-106 .

16. Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. - 308 с.

17. Abdel-Halim, A.A. A thick plate problem under the action of a body force in generalized thermoelasticity / A. A. Abdel-Halim // Int. J. Thermophys, 2010. Vol. 31. - P. 2323-2336.

18. Bagri, A. Generalized coupled thermoelasticity of disks based on the Lord-Shulman model / A. Bagri, M.R. Eslami // Journal of Thermal Stresses, 2004. Vol. 27(8). - P. 691-704.

19. Bargmann, S. Classical results for a non-classical theory: remarks on thermodynamic relations in green-naghdi thermo-hyperelasticity / S. Bargmann, P. Steinmann // Continuum Mech. Thermodyn., 2007. -Vol. 19. P. 59-66.

20. Biot, M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1956. - Vol. 27(3). - P. 240-253.

21. Bhatta, N. A coupled thermoelastic problem of an infinitely extended thin plate containing a circular hole / N. Bhatta, S.K. Roychoudhury // Ind. J. Pure Appl. Math., 1983. Vol. 14(1). - P. 85-95.

22. Burchuladze, T. On three-dimensional dynamic problems of generalized thermoelasticity / T. Burchuladze, D. Burchuladze // Georgian Mathematical Journal, 1998. Vol. 5(1). - P. 25-48.

23. Cattaneo, C. Sur une forme de l'équation de la chaleur éliminant le paradoxe d'une propagation instantanée // C. Cattaneo / Journal of Comptes-Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Académie des Sciences. 1958. - Vol. 247. - P. - 431-433.

24. Chandrasekharaiah, D.S. A note on the uniqueness of solution in the linear theory of thermoelasticity without energy dissipation / D.S. Chandrasekharaiah // J. Elastic, 1996. 43. - P. 279-283.

25. Chandrasekharaiah, D.S. One-dimensional wave propagation in the linear theory of thermoelasticity without energy dissipation / D.S. Chandrasekharaiah // Journal of Thermal Stresses, 1996. 19. -P. 695-710.

26. Chandrasekharaiah, D.S. Axisymmetric thermoelastic interactions without energy dissipation in an unbounded body with cylindrical cavity / D.S. Chandrasekharaiah, K.S. Srinath // Journal of Elasticity, 1997. -46. P. 19-31.

27. Chandrasekharaiah, D.S. Thermoelastic Rayleigh waves without energy dissipation / D.S. Chandrasekharaiah // Mechanics Research Communications, 1997. 24(1). - P. 99-101.

28. Chandrasekharaiah, D.S. Complete solutions in the theory of thermoelasticity without energy dissipation /D.S. Chandrasekharaiah // Mechanics Research Communications, 1997. 24(6). - P. 625-630.

29. Chandrasekharaiah, D.S. Thermoelastic waves without energy dissipation in an unbounded body with a spherical cavity / D.S. Chandrasekharaiah,

30. K.S. Srinath // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2000. 23(8). - P. 555-562.

31. Chandrasekharaiah, D.S. Hyperbolic thermoelasticity: a review of recent literature / D.S. Chandrasekharaiah // Appl. Mech. Rev., 1998. 51. -P. 705-729.

32. Chandrasekharaiah, D.S. Thermoelastic plane waves without energy dissipation / D.S. Chandrasekharaiah // Mech. Res. Comm., 1996. -Vol. 23. P. 549-555.

33. Chandrasekharaiah, D.S. Thermoelastic interactions without energy dissipation due to a point heat source / D.S. Chandrasekharaiah, K.S. Srinath //J. Elast., 1998. Vol. 50. - P. 97-108.

34. Chen, P.J. Growth and decay of waves in solids / P.J. Chen. //In Handbuch der Physik (ed. C. Truesdell), 1973. Vol. VIa/3, 303-402 (Springer-Verlag, Berlin, 1973).

35. Chen, J. Boundary element method for dynamic poroelastic and thermoelastic analysis / J. Chen, G.F. Dargush // Int. J. Solids and Structures, 1995. Vol. 32(15). - P. 2257-2278.

36. Chen, H. Study of transient coupled thermoelastic problems with relaxation times / H. Chen, H. Lin // Transactions of the ASME, 1995. -Vol. 62. P. 208-215.

37. Dhaliwal, R.S. Thermoelastic waves in an infinite solid caused by a line heat source / R.S. Dhaliwal, S.R. Majumdar, J. Wang // Int. J. Math. & Math. Sci. 1997. - Vol. 20. - No. 2. - P. 323-334.

38. Duhamel, J. Second Mémoire sur les Phenomenes Thermo-Mecanique // J. Duhamel / J. de L'Ecole Polytech. 1837. Vol. 15.- P. 1-57.

39. Duhamel, J. Mémoire sur le Calcul des Actions Moléculaires Développées par les Changements de Température dans les Corps Solides // J. Duhamel / Memoirs par Divers Savants. A l'Acad. Roy. des Sci. de Tlnst. de France. 1838. - Vol. 5. - P. 440-498.

40. Dhaliwal, R.S. Thermoelastic Waves In An Infinite Solid Caused By A Line Heat Source / R.S. Dhaliwal, S.R. Majumdar, W. Jun // Internat. J. Math. & Math. Sci., 1997. Vol. 20. - No. 2. - P. 323-334.

41. Erbay, S. Longitudinal wave propagation in a generalized thermo-elastic cylinder / S. Erbay, E. Suhubi // J. Thermal. Stresses, 1986 . Vol. 9. -P. 279-295.

42. Ezzata, M.A. Three-dimensional thermal shock problem of generalized thermoelastic half-space / M.A. Ezzata, H.M. Youssef // Applied Mathematical Modelling, 2010. Vol. 34(11). - P. 3608-3622.

43. Furukawa, T. Generalized thermoelasticity for an infinite bode with cylindrical hole / T. Furukawa, N. Noda, F. Ashida // . Jsme Int. J., 1990. Vol. 31. - P. 26-35.

44. Green, A. On the entropy production inequality / A. Green, N. Laws // Arch. Rat. Anal., 1972. Vol. 54(1). - P. 47-53.

45. Green, A.E. Thermoelasticity / A.E. Green, K. Lindsay // J. Elasticity, 1972. Vol. 2. - P. 1-7.

46. Green, A.E. On undamped heat waves in an elastic solid / A.E. Green, P.M. Naghdi // J. Thermal Stresses, 1992. 15. - P. 253-264.

47. Green, A.E. Thermoelasticity without energy dissipation / A.E. Green, P.M. Naghdi // J. Elastic., 1993. 31. - P. 189-208.

48. Hardy, R.J. Velocity of second sound in NaF / R.J. Hardy, S.S. Jaswal // Phys. Rev. B. 1971. - Vol. 3(12). - P. 4385-4387.

49. Hetnarski, R.B. Generalized Thermoelasticity: closed form solutions / R.B. Iletnarski, J. Ignaczak //J. Thermal Stresses, 1993. Vol. 16. -R 473-498.

50. Hetnarski, R.B. Generalized Thermoelasticity: Response of semi-space to a short laser pulse / / R.B. Hetnarski, J. Ignaczak //J. Thermal Stresses, 1994. Vol. 17. - P. 377-396.

51. Hosseini, T.P. Boundary element analysis of coupled thermoelasticity with relaxation times in finite domain / T.P. Hosseini, M.R. Eslaini // AIAA Journal, 2000. Vol. 38(3). - P. 534-541.

52. Hosseini, T.P. Boundary element analysis of finite domains under thermal and mechanical shock with the Lord-Shulman theory / T.P. Hosseini, M.R. Eslami // Journal of Strain Analysis, 2003. Vol. 38(1). - P. 53-64.

53. Iesan, D. On the theory of thermoelasticity without energy dissipation / D. Iesan // J. Thermal Stresses, 1998. 21. - P. 295-307.

54. Jackson, H.E. Second sound in NaF / H.E. Jackson, C.T. Walker, T.F. McNelly // Phys. Rev. Letters. 1970. - Vol. 25(1). - P. 26-28.

55. Joseph, D.D. Heat waves / D.D. Joseph, L. Preziozi // Rev. Modern Physics. 1989. - V. 61. - No. 1. - P. 41-73;

56. Addendum to the paper „Heat waves" Rev. Modern Physics. 61. 41 (1989)] / D.D. Joseph, L. Preziozi // Rev. Modern Physics. 1990. -V. 62. - No. 2. - P. 375-391.

57. Kalpadikes, V.K. Canonical formulation and conservation laws of thermoelasticity without energy dissipation / V.K. Kalpadikes, G.A. Maugin // Reports on Mathematical Physics, 2004. 53(3). -P. 371-391.

58. Kar, A Thermoelastic interaction with energy dissipation in an unbounded body with a spherical hole / A. Kar, M. Kanoria // Int. J. Solids and Structures, 2007. Vol. 44. - P. 2961-2971.

59. Kumar, R. Response of generalized thermoelastic half-space with voids to mechanical and thermal sources / R. Kumar, L. Rani // Meccanica, 2004. Vol. 39(6). - R 563-584.

60. Leseduarte, M.C. Thermal stresses in type iii thermo-elastic plates / M.C. Leseduarte, R. Quintanilla // Journal Of Thermal Stresses, 2006. -29. R 485-503.

61. Li, H. Thermal shock problem in thermoelasticity without energy dissipation / H. Li, R.S. Dhaliwal // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 1996. 27(1). - P. 85-101.

62. Li, H. Thermal shock problem in thermoelasticity without energy dissipation / H. Li, R.S. Dhaliwal // Indian J. Pure Appl. Math., 1996. -Vol. 27(1). P. 85-101.

63. Lord, H.W. A generalized dynamic theory of thermoelasticity / H.W. Lord, Y. Shulman //J. Mech. Phys. Solids, 1967. Vol. 15. -P. 299-309.

64. Massalas, C.V. A reciprocal theorem in generalized thermoelasticity proposed by Lord and Shulman / C.V. Massalas // International Journal of Engineering Science, 1985. Vol. 23(6). - P. 685-690.

65. Massalasa, C.V. Propagation of thermoelastic waves in an infinite circular cylinder with thermal relaxation / C.V. Massalasa and G. Tsolakidisa // Journal of Sound and Vibration, 1987. Vol. 117(3). - P. 529-535.

66. Maugin, G.A. Towards an analytical mechanics of dissipative materials / G.A. Maugin // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 2000. V. 58, 2. Geom., Cont. and Micros., II. - P. 171-180.

67. Maugin, G.A. A Hamiltonian formulation for elasticity and thermoelasticity / G.A. Maugin, V.K. Kalpadikes // Journal of Physics A: Math. Gen., 2002. 35. - P. 10775-10788.

68. Maugin, G.A. The slow march towards an analytical mechanics of dissipative materials / G.A. Maugin, V.K. Kalpadikes // Technische Mechanik, 2002. 22(2). - P. 98-103.

69. Maxwell, J.C. On the dynamical theory of gases / J.C. Maxwell // Phil. Trans. Royal Soc. Lond. 1867. - Vol. 157. - P. 49-88.

70. McNelly, T.F. Heat pulses in NaF: Onset of second sound / T.F. McNelly et. al.] // Phys. Rev. 1970. - Vol. 24(3). - P. 100-102.

71. Misra, J.C. Study of thermoelastic wave propagation in a half-space using GN theory / J.C. Misra, N.C. Chattopadhyay, A. Chakravorty // Journal of Thermal Stresses, 2000. 23. - P. 327-351.

72. Mukhopadhyay, S. Thermoelastic interactions without energy dissipation in an unbounded medium with a spherical cavity due to a thermal shock at the boundary / S. Mukhopadhyay // Journal of Thermal Stresses, 2002. 25. - P. 877-887.

73. Mukhopadhyay, S. Thermoelastic interactions without energy dissipation in an unbounded body with a spherical cavity subjected to harmonically varying temperature / S. Mukhopadhyay // Mech. Res. Comm., 2004. — Vol. 31. P. 81-89.

74. Mukhopadhyay, S. One dimensional state space approach to thermoelastic interactions without energy dissipation / S. Mukhopadhyay // Indian J. Pure Appl. Math., 2006. Vol. 37(3). - P. 151-166.

75. Mukhopadhyay, S. A Study of generalized thermoelastic interactions in an unbounded medium with a spherical hole / S. Mukhopadhyay, R. Kumar // Comp. Math. Applic., 2008. Vol. 56(9). - P. 2329-2339.

76. Mukhopadhyay, S. State-space approach to thermoelastic interactions in generalized thermoelasticity type III / S. Mukhopadhyay, R. Kumar // Arch Appl Mech, 2008. Vol. 80(8). - P. 869-881.

77. Muller, I. The coldness, a universal function in thermo-elastic solids / I. Mullcr // Arch. Rat. Mech. Anal., 1971. Vol. 41. - P. 319-332.

78. Nappa, L. Spatial decay estimates for the evolution equations of linear thermoelasticity without energy dissipation / L. Nappa // Journal Thermal Stresses, 1998. Vol. 21. ^ P. 581-592.

79. Nayfeh, A.H. Propagation of thermoelastic distribution in non-Fourier solids / A.H. Nayfeh // AIAA Journal, 1977. Vol. 15. - P. 957-960.

80. Nayfeh, A.H. Thermoelastic waves in solids with thermal relaxation / A.H. Nayfeh, S. Nemat-Nasser // Acta Mechanica, 1971. Vol. 12. -P. 53-69.

81. Narayanamurti, V. Observation of second sound in Bismuth / V. Narayanamurti, R.C. Dynes // Phys. Rev. Letters. -1972. Vol. 28. -P. 1461-1464.

82. Vorlesungen über die Theorie der Elasticität der festen Körper und des Lichtäthers / F. Neumann. Breslau: Meyer, 1885.

83. Othman, M.I.A. Reflection of plane waves from an elastic solid halfspace under hydrostatic initial stress without energy dissipation / M.I.A. Othman, Y. Song // Internat J. Solids Structure, 2007. Vol. 44. -P. 5651-5664.

84. Povstenko, Y.Z. Fractional heat conduction equation and associated thermal stresses / Y.Z. Povstenko // Journal of Thermal Stresses, 2005. -Vol. 28. P. 83-102.

85. Puri, P. On the propagation of plane waves in type-Ill thermoelasticmedia / P. Puri, P.M. Jordan // Proc. Royal Soc. Lond. A. 2004. -Vol. 460. - P. 3203-3221.

86. Pohl, D.W. Observation of second sound in NaF by means of light scattering / D.W. Pohl, V. Irniger // Phys. Rev. Letters. 1976. -Vol. 36(9). - P. 480-483.

87. Quintanilla, R. Structural stability and continuous dependence of solutions of thermoelasticity of type III / R. Quintanilla // Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series, 2001. Vol. 1(4). - P. 463-470.

88. Quintanilla, R. Stability for thermoelasticity of type III / R. Quintanilla, R. Racke // Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, 2002. -Vol.3(3). P. 383-400.

89. Quintanilla, R. Explosive instabilities in heat transmission / R. Quintanilla, B. Straughan // Proceedings of the Royal Society of London, 2002. Vol. 458. - P. 2833-2837.

90. Quintanilla, R. Existence in thermoelasticity without energy dissipation / R. Quintanilla //J. Thermal Stresses, 2002. Vol. 25. - P. 195-202.

91. Quintanilla, R. Growth and uniqueness in thermoelasticity / R. Quintanilla, B. Straughan // Proc. R. Soc. Lond., 200. Vol. 456. -P. 1419-1429.

92. Quintanilla, R. A note on discontinuity waves in type III thermoelasticity / R. Quintanilla, B. Straughan // Proc. R. Soc. Lond. A, 2004. Vol. 460. - P. 1169-1175.

93. Quintanilla, R. Energy bounds for some non-standard problems in thermoelasticity / R. Quintanilla, B. Straughan // Proc. R. Soc., 2005. -Vol. 461. P. 1147-1162.

94. Reissig, M. Cauchy problems for linear thermoelastic systems of type III in one space variable / M. Reissig, Y.-G. Wang // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2005. Vol. 28. - P. 1359-1381.

95. Rogers, S.J. Transport of heat and approach to second sound in some isotopically pure Alkali-Halide crystals / S.J. Rogers // Phys. Rev. B. -1971. Vol. 3(4). - R 1440-1457.

96. Roychoudhury, S.K. Radially symmetric temperature-rate dependent thermoelastic wave propagation in an infinitely extended thin plate containing a circular hole / S.K. Roychoudhury, G. Chatterjee // Int. J. Engng. Sci., 1989. Vol. 27. - P. 251-257.

97. Sharma, J.N. Mechanical and thermal sources in a generalized thermoelastic half-space / J.N. Sharma, R.S. Chauhan // Journal of Thermal Stresses, 2001. Vol. 24. - P. 65-75.

98. Sharma, J.N. On the problems of body forces and heat sources in thermoelasticity without energy dissipation / J.N. Sharma, R.N. Chouhan // Indian J. Pure Appl. Math., 1999. Vol. 30. -P. 595-610.

99. Sherief, H.H. Anwar A problem in generalized thermoelasticity for an infinitely long annular cylinder / H.H. Sherief, N. Mohammed // Int. J. Engineering Sci., 1988. Vol. 26(3). - P. 301-306.

100. Sherief, H. A two dimensional generalized thermoelasticity problem for an infinitely long cylinder / H. Sherief, M. Anwar //J. Thermal Stresses, 1994. Vol. 17. - P. 213-227.

101. Sinha, S.B. Reflexion of thermoelastic waves at a solid half-space with two relaxation times / S.B. Sinha, K.A. Elsibai // J. Thermal Stresses, 1996. Vol. 19. - P. 763-777.

102. Sinha, S.B. Reflexion and refraction of thermoelastic waves at an interface of two semi-infinite media with two relaxation times / S.B. Sinha, K.A. Elsibai // J. Thermal Stresses, 1997. Vol. 20. - P. 129-146.

103. Sinha, A.N. Reflexion of thermoelastic waves at a solid half-space with thermal relaxation / A.N. Sinha, S.B. Sinha //J. Phys. Earth, 1974. -Vol. 22. P. 237-244.

104. Singha, B. Wave propagation in a generalized thermoelastic material with voids / B. Singha // Applied Mathematics and Computation, 2007. -Vol. 189(1). P. 698-709.

105. Suhubi, E. Thermoelastic Solids / E. Suhubi // In: A.C. Eringen (Ed.), Cont. Phys II. Academic Press, New York. Chapter 2. 1972.

106. Taheri, H. Thermoelastic analysis of an annulus using the Green-Naghdi model / H. Taheri, S.J. Fariborz, M.R. Eslami //J. Thermal Stress., 2005. Vol. 28. - P. 911-927.

107. Verma, K.L. Dispersion of thermoelastic waves in a plate with and without energy dissipation / K.L. Verma, N. Hasebe // International Journal of Thermophysics, 2001. Vol. 22(3). - P. 957-978.

108. Vernotte, P. Les paradoxes de la théorie continue de l'équation de la chaleur //P. Vernotte / Journal of Comptes-Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Académie des Sciences. 1958. - Vol. 246. - P. 3154-3155.

109. Youssef, H. Thermo-mechanical shock problem of generalized thermoelastic infinite body with a cylindrical cavity and material properties depends on the reference temperature / H. Youssef // J. Thermal Stresses, 2005. Vol. 28(5). - P. 521-532.

110. Youssef, H. Problem of generalized thermoelastic infinite medium with cylindrical cavity subjected to a ramp-type heating and loading / H. Youssef // J. Archive App. Mech., 2006. Vol. 75(8-9). - P. 553-565.

111. Youssef, H.M. Generalized thermoelastic infinite medium with cylindrical cavity subjected to moving heat source / H.M. Youssef // Mechanics Research Communications, 2009. Vol. 36(4). - P. 487-496.

112. Zhang, J. Decay of solutions of the system of thermoelasticity of type III / J. Zhang, E. Zuazua // Communications in Contemporary Mathematics, 2003. 5(1). - P. 1-59.