Нелинейное пространственное развитие возмущений в пограничном слое и критические амплитуды волн Толлмина-Шлихтинга тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Анализ результатов экспериментальных и теоретических исследований по устойчивости течения в пограничном

Глава I. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В

ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ

1.1. Формулировка основных предположений при

- f постановке задачи о пространственном / развитии возмущений

1.2. Постановка задачи первого приближения.

1.3. Постановка задачи второго приближения.

1.4. Задача третьего приближения и влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие вносимых возмущений.

1.5. Нелинейная пространственная эволюция амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ

ЗАДАЧИ О ПРОСТРАНСТВЕННОМ РАЗВИТИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.

2.1. Краткий обзор методов решения задачи первого приближения

2.2. Использование метода дифференциальной прогонки при решении задачи первого приближения и сопряженной с ней задачи

2.3. Методы численного решения задачи второго приближения

2.4. Численное вычисление несобственных интегралов при решении задачи третьего приближения.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАЗВИТИИ ВОЛН ТОЛЛМИНА - ШЛИХТИНГА

3.1. Выбор значений параметров, характеризующих численное решение задачи.

3.2. Численный анализ вторичных течений в пограничном слое.94'

3.3. Численное изучение влияния нелинейных взаимодействий на пространственное развитие амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга.

3.4. Определение критических амплитуд возмущений.III

3.5. О роли двумерных и трехмерных возмущений при развитии турбулентности

3.6. Пространственное развитие возмущений в пограничном слое на плоской пластине.

Проблема возникновения турбулентности в пограничном слое является одной из центральных нерешенных проблем механики жидкости. Большой интерес к ее решению обусловливается, во-первых, необходимостью решения практических задач. Это могут быть задачи управления пограничным слоем с целью снижения сопротивления летательных и плавательных аппаратов, задачи теплотехники и химической технологии, связанные с методикой расчета и конструирования промышленных устройств и аппаратов. Важность определения положения области перехода, ее протяженности и зависимости от внешних факторов связана с изменением при переходе различных средних характеристик течения, таких как коэффициенты трения, теплообмена и других. Во-вторых, изучение процесса возникновения турбулентности необходимо для понимания процессов, имеющих место в развитых турбулентных течениях, что является составной частью более общей фундаментальной проблемы построения модели турбулентности. Рассматривая возникновение турбулентности как последовательность различных этапов эволюции и трансформации возмущений, можно констатировать, что в настоящее время хорошо изученным является этап их линейного развития. Однако, несмотря на большое количество как теоретических, так и экспериментальных работ, картина перехода на нелинейных этапах развития возмущений остается еще недостаточно исследованной. Особую важность при изучении нелинейных этапов приобретает трехмерность течения в пограничном слое, что нашло подтверждение в многочисленных экспериментальных работах. В свете вышеизложенного представляется актуальным построение теоретической модели, позволяющей исследовать развитие возмущений на нелинейном этапе, выяснить роль трехмерных возмущений в процессе перехода и получить оценки по интенсивности возмущений для начала этапа нелинейного развития.

Анализ результатов экспериментальных и теоретических исследований по устойчивости течения жидкости в пограничном слое

Изучение картины движения реальной жидкости указало на существование двух режимов течения. При первом - ламинарном - течение происходит упорядоченным образом, в виде движущихся друг относительно друга слоев. При втором - турбулентном - течение упорядочено только в среднем по времени, в потоке присутствуют беспорядочные пульсации скорости, вызывающие перемешивание жидкости. Явление образования турбулентности впервые систематически исследовал 0. Рейнольде в конце прошлого столетия, использовав для исследования течение в прямоугольном канале и вводя в поток окрашенную струйку жидкости.

Значительно позже [64] было установлено, что течение в пограничном слое также может быть либо ламинарным, либо турбулентным. В основе теоретических исследований, имевших целью объяснить явление перехода, лежало предположение, высказанное 0. Рейнольдсом [93] , что ламинарное течение, представляя собой решение гидродинамических уравнений и являясь всегда возможным, при определенных условиях, а именно после достижения числом Рейнольдса критического значения, становится неустойчивым. Возмущения, присутствующие в потоке, усиливаются и являются причиной разрушения ламинарного режима течения и перехода его к турбулентному. Позже Тейлором [Ю4] была предложена другая гипотеза, согласно которой причиной турбулизации пограничного слоя является явление его локальных отрывов, которые вызываются пульсациями внешнего потока.

Противоречивость этих гипотез, применительно к течению в пограничном слое, была объяснена результатами экспериментальных исследований Шубауэра ,и Скремстеда [98,99] . Проводя исследования в аэродинамической трубе с очень малой начальной турбулентностью, они подтвердили концепции неустойчивости, область применения которой оказалась ограниченной малыми степенями турбулентности набегающего потока. Ими впервые были обнаружены собственные колебания пограничного слоя, установлена их определяющая роль в процессе перехода к турбулентности. В том случае, когда начальная турбулентность превосходит по амплитуде собственные колебания скорости в пограничном слое, обнаружить последние становится трудно, поскольку их появление практически совпадает с переходом течения в турбулентное состояние. Указанные эксперименты позволили представить процесс перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный при малой интенсивности внешних возмущений в форме последовательных этапов: этапа образования волн Толлмина - Шяихтинга, этапа их усиления по законам линейной теории и этапа нелинейного развития, приводящего к разрушению ламинарного режима течения. Каждому из этапов соответствует характерная область в пространстве по мере возрастания расстояния от передней кромки. Увеличение степени турбулентности набегающего потока приводит к сокращению первых двух этапов. Как отмечалось, протяженность этапа нелинейного развития возмущений относительно мала. Интенсивность возмущений на этом этапе нарастает достаточно быстро и заканчивается он турбулентным течением. Это позволяет говорить, что действительный переход к турбулентному течению происходит на этапе нелинейного развития, а характер происходящих на нем процессов в значительной степени определяется свойствами исходного течения, внешних возмущений и процессами, происходящими на первых двух этапах. Данная классификация этапов перехода соответствует работе Качанова Ю. С., Козлова В. В. и Левченко В. Я. [23] . В работах других авторов предлагается несколько отличная классификация. Так, например, в монографии Козлова Л. Ф. [25] выделяются этап возникновения нестационарных местных отрывов пограничного слоя и локализованных пятен турбулентности, этап перемещения и роста этих турбулентных пятен. Более подробная детализация этапов перехода приводится у Жигулева В. Н. [17] . В этой работе после потери устойчивости ламинарным течением выделяются области роста двумерной волны возмущений, нелинейного критического слоя, пространственной волны неустойчивости, где происходит рост трехмерных возмущений, область вторичнои неустойчивости, область пятен Эмон-са, после чего наступает зона развитой турбулентности. Детальному изучению роли вторичной неустойчивости при возникновении турбулентности посвящена работа Жигулева и др. [1б] .

Различия в классификации этапов перехода отражают собственные взгляды разных авторов, относятся, как правило, к этапам нелинейного развития возмущений и являются следствием разнообразия процессов, наблюдаемых в различных конкретных экспериментальных ситуациях. Целям раскрытия механизмов, соответствующих различным этапам, служат многочисленные теоретические и экспериментальные исследования по возникновению турбулентности в пограничном слое.

При экспериментальных исследованиях в этом плане заметно повышается роль изучения развития контролируемых возмущений по сравнению с изучением естественного перехода. В таких работах в поток искусственно вносятся возмущения частного вида, которые характеризуются конечным числом параметров. Это позволяет конкретизировать наблюдаемые процессы, уменьшить влияние случайных факторов на результаты измерений. Одним из широко применяемых способов введения возмущений является метод вибрирующей ленты. Суть его заключается в том, что в пограничном слое помещается тонкая металлическая лента. Созданием постоянного магнитного поля и пропусканием по ленте переменного электрического тока от генератора синусоидальных колебаний вызываются колебания ленты. Изменением силы тока можно варьировать величиной амплитуды, а перестраивая генератор - изменять частоту этих колебаний. Таким образом удается создать двумерные собственные колебания пограничного слоя заданной частоты и амплитуды и изучить их эволюцию. Пространственную периодичность в поперечном направлении можно создать размещением на пластине тонких полосок целлофана на равных расстояниях друг от друга, как в экспериментах Клебанова [82] , использованием специально расположенных во внешнем течении профилей, как это перечной регулярностью. Параметрами, определяющими такие возмущения, будут амплитуда и частота колебаний ленты и характеристики вносимой трехмерности. При регистрации исследуемых возмущений наибольшее распространение получило использование термоанемометра. Датчик, у которого нить расположена параллельно передней кромке пластины, позволяет измерить как среднюю, так и пульсационную составляющие продольной компоненты скорости. Другие компоненты скорости можно получить, используя датчик со скрещенными нитями [84]. В отличие от термоанемометрических измерений Вортман [б] , а позже Козлов Л. Ф. и Бабенко В. В. [24] исследовали устойчивость пограничного слоя в водном канале с использованием теллур-метода, позволяющего визуализировать и регистрировать мгновенные профили" скорости. Последнее время все большее распространение получает применение лазерных доплеровских измерителей скорости [l4,I9] , что позволяет усовершенствовать методику проведения экспериментов, уменьшить искажения исследуемого течения. С подробным анализом экспериментальных результатов, относящихся к различным этапам возникновения турбулентности, можно ознакомиться по недавно вышедбыло сделано в исследованиях Комоды поверхностей с по шей монографии Качанова Ю. С. и др. [23] . Там же приводится сравнение имеющихся экспериментальных и теоретических данных.

Математическая формулировка задач о"б устойчивости течения жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям связана с работами Орра [90] и Зоммерфельда [lOO] . Ими было получено основное уравнение для амплитуд гармонических возмущений, решение которого натолкнулось на ряд математических трудностей. К таковым относятся наличие малого параметра у старшей производной, так как о обычно приходится рассматривать числа Рейнольдса порядка 10 и выше, а также необходимость решать краевую задачу на собственные значения для уравнения высокого порядка. Первые важные результаты в теории гидродинамической устойчивости были получены асимптотическими методами в работах Гейзенберга [77] , Толмина [Юб] , Щпихтинга [97] , Линя [33,85] . Достаточно широкое применение в задачах гидродинамической устойчивости нашли вариационные методы, использование которых обосновал Петров Г. И. [4l] , указав различные методы построения базисных функций. Развитие вычислительной техники привело к все более широкому применению численных методов. Их подробное описание с анализом достоинств и недостатков можно найти в работе Шкадова [52] и в монографии Гольдштика и Штерна

13] . Экспериментальные исследования Шубауэра и Скрэмстеда, подтвердив первые теоретические результаты, стимулировали расширение исследований по линейной теории гидродинамической устойчивости. Изучению спектра уравнения Орра-Зоммерфельда посвящены работы [35,66,79,80,86] . Возрос интерес к исследованию влияния роста пограничного слоя вниз по течению [61,62,74,96,109] , слабой непараллельности основного течения, вызванного отличием пластины от плоской [32]. Достаточно полный обзор по линейной теории устойчивости можно найти в монографиях Бетчова и Криминале [з] , Линя [зз] , Монина и Яглома [40] , Шлихтинга [бб] . Подробные результаты численного анализа устойчивости пограничных слоев приводятся в работе Левченко и др. [3l] .

Численное решение полных уравнений Навье-Стокса, полученное Фейселом [72] , а также расчеты, основанные на разложении решения в ряд по полиномам Чебышева с коэффициентами, зависящими от времени, проведенные Мурдоком [88] , показали хорошее согласование при малых амплитудах возмущений с результатами, полученными при использовании уравнения Орра-Зоммерфельда. Пространственный рост периодических по времени возмущений численным решением уравнений Навье-Стокса был получен в работе Де Санто и Келлера [71] . При этом на нижней по потоку границе расчетной области ставились мягкие граничные условия - условия периодичности по продольной координате, что позволило исследовать поведение возмущений, близких к волновым в прямоугольной области течения. Полученные результаты при достаточно малых возмущениях также указывали на согласование с результатами решений уравнения Орра-Зоммерфельда.

Однако большинство указанных работ относилось к бесконечно малым возмущениям и рассматривали течение в пограничном слое как двумерное. Последнее при рассмотрении линейной задачи является оправданным в силу преобразования Сквайра [iOl] , позволяющего задачу об устойчивости течения к трехмерным возмущениям свести к двумерной задаче, с несколько отличным числом Рейнольдса. Полученные в этих работах результаты позволяли определить область усиления малых возмущений и параметры наиболее сильно растущих из них. Однако, как только эти возмущения достаточно усиливались, то начинали проявляться нелинейные эффекты, теоретическому изучению которых в последнее время придается все большее значение.

Для теоретического изучения нелинейных эффектов возможны два подхода. Первый связан с энергетическим анализом возмущений и позволяет не конкретизировать вид возмущений. Такой анализ дает возможность получить достаточные условия устойчивости, что приводит к заниженным значениям критического числа Рейнольдса. К тому же при таком анализе невозможно проследить эволюцию возмущений, что необходимо для изучения механизма перехода и для детального сравнения с экспериментальными результатами. Другой подход связан с изучением развития возмущений конкретного вида и построением приближенных частных решений гидродинамических уравнений. Полученные при таком подходе результаты не могут претендовать на общность. Но они открывают возможность более тщательного изучения процессов взаимодействия возмущений и раскрытия многообразия процессов, имеющих место при переходе, что является несомненным преимуществом. На выбор вида возмущений решающее значение должны оказывать априорные данные экспериментальных исследований. Это позволит говорить о соответствии выбранной теоретической модели условиям конкретных экспериментов. Наибольшее распространение получило изучение возмущений, близких к волновым. Проявляясь в форме собственных колебаний для очень малых возмущений, волновой характер сохраняется и экспериментально прослеживается в первых фазах этапа нелинейного развития. Являясь логическим продолжением линейной теории гидродинамической устойчивости, изучение развития волновых возмущений составляет предмет изучения слабонелинейной теории. Обзор результатов нелинейной теории устойчивости приведен в [3,52,69] . Связь нелинейных эффектов с процессом перехода исследовалась качественно Л. Д. Ландау [28,29] , который из общефизических соображений выдвинул концепцию перехода ламинарного течения в турбулентное, заключающуюся в том, что после потери устойчивости исходное течение переходит к новому устойчивому режиму, который в последствии опять становится неустойчивым. Им было предложено феноменологическое уравнение для амплитуд возмущений, качественный анализ которого указал на возможные различия в поведении решения в зависимости от знаков его коэффициентов. Позже В. В. Струминским [47-49] , при использовании идей метода усреднения [4] , из гидродинамических уравнений были получены уравнения, удовлетворяющие гипотезе Ландау. Близкими к данному направлению являются работы Стюарта [юз] и Ватсона [iio] . В этих работах исследовалось развитие во времени амплитуд возмущений для двумерного плоско-параллельного течения. Модификация процедуры Стюарта-Ватсона для трехмерного случая была предложена Рейнольдсом и Поттером [94]. В работах [94,103,110] этим методом исследовались течения Пуазейля и Куэтта. Исследование пограничного слоя с использованием метода Рейнольдса и Поттера проводилось Герценштейном и Штемлером [ю] . В частности, ими было установлено, что учет непараллельности основного течения оказывает слабое влияние на нелинейную поправку к коэффициенту усиления возмущений. К недостаткам методов Стюарта-Ватсона и Рей-нольдса-Поттера следует отнести их пригодность только в окрестности кривой нейтральной устойчивости, что значительно сокращает область применимости этих методов.

Использование вычислительных машин при рассмотрении задач нелинейной гидродинамической устойчивости привело к необходимости создания подходящих методов решения. Особое значение при этом уделяется разработке достаточно общих подходов. Большие возможности в этом направлении открывает совместное использование численных и прямых методов, часто комбинируемое с методом разложения решения в ряд Фурье [53,54]. Один из важных вопросов, возникающих при использовании прямых методов, связан с выбором базисной системы функций. Его удачное решение позволяет понизить порядок исследуемой системы уравнений. Другой вопрос связан с точностью получаемых решений. В настоящее время строгих результатов, относящихся к этому вопросу, мало, В ряде случаев приходится рассматривать получаемые решения как асимптотические, при стремлении отклонения от линейного решения к нулю. А критерием пригодности полученных решений является их сопоставление с экспериментальными данными. Следует отметить, что, как правило, система уравнений, получаемая использованием прямых методов, описывает изменение во времени коэффициентов в разложении решения по базисной системе функций. Являясь удобным при решении задач о движении жидкости в ограниченном объеме, рассмотрение временной эволюции не совсем точно отражает результаты экспериментальных исследований пограничного слоя, где возмущения развиваются по пространству. Возможность рассмотрения пространственной эволюции дает замена требования строгой периодичности в направлении набегающего потока требованием периодичности во времени. Однако при этом задача заметно усложняется, в силу того, что производные по пространственным переменным входят в уравнения движения более сложным образом и более высокого порядка, чем по времени.

Изучение Корнером, Барри и Россом пространственной эволюции двумерных возмущений в пограничном слое [б5], позволило получить коэффициенты усиления возмущений в зависимости от их интенсивности. Из приведенных результатов следует, что в докритической области нелинейные взаимодействия способствуют стабилизации течения, а в закритической - дестабилизации, что соответствует результатам Струминского [47-49]. В этой работе рассматриваемые возмущения считались периодичными во времени с заданной основной частотой колебаний 6J , а при расчете коэффициентов усиления учитывались возмущения первой и второй гармоник по времени и искажение среднего профиля скорости за счет возникающих напряжений Рейнольдса. При расчете искаженного профиля средней скорости предполагалась справедливость приближения пограничного слоя и вводилось упрощающее предположение об автомодельности задачи по пространственным переменным, аналогичной задаче Блазиуса. Представленные в работе численные результаты свидетельствуют о том, что в двумерной постановке задачи учет нелинейных взаимодействий оказывает слабое влияние на характеристики усиления возмущений, незначительно изменяя комплексное волновое число.

Большинство из перечисленных работ по нелинейной устойчивости течения в пограничном слое рассматривали движение как двумерное. Экспериментальные результаты указывали на возрастающую трехмерность в области нелинейного развития возмущений. Это стимулировало большое число работ, учитывающих изменение поля возмущений в направлении по размаху пластины. Исследование нелинейного взаимодействия двумерных и трехмерных волн, определенных по линейной теории, выполненное Линем и Бинни [34,6о], позволило объяснить наличие продольных противоположно вращающихся вихрей в экспериментах [82,83]. Рассматривалось взаимодействие двумерной волны ici(x-Cii)

LLi - * коплл. сопр. с трехмерной

Ы(Х-С2{) 7 и2 = а2[<ъ2(у)е. 4- компл. сопр J cospi

При расчетах использовалось упрощающее предположение о равенстве волновых чисел и фазовых скоростей возмущений в направлении основного течения. К недостаткам этих работ следует отнести грубую аппроксимацию формы профиля скорости основного течения, что несомненно повлияло на точность полученных решений. Более тщательные расчеты вторичных течений, образуемых в пограничном слое при взаимодействии волн указанных типов, проводились Выонгом и Зайцевым И, Желтухиным и Тереховой [1б], Антаром и Коллинзом [59]. Рассматривалось образование стационарных вторичных течений, представляющих искажение формы профиля скорости основного течения. К тому же в последней из указанных работ рассматривалось образование при нелинейном взаимодействии возмущений второй гармоники по времени. Детальный анализ данных численного расчета и экспериментальных данных [82], приведенный в [.6,7], показывает, что при соответствующем подборе амплитуд двумерных и трехмерных возмущений можно получить хорошее совпадение результатов. Сравнение проводилось как по среднеквадратичным значениям пульсаций скорости, так и по вторичным течениям, образованным нелинейным взаимодействием возмущений. Однако в упомянутых работах отмечалось, что при численных расчетах приходилось вносить поправку в скорость роста трехмерных возмущений, определяемую из требования согласования расчетов с опытами. Наличие этой поправки отражало влияние.нелинейных взаимодействий на пространственное развитие возмущений. Требуемые для согласования результатов величины амплитуд указывали, что трехмерная компонента возмущений, вопреки линейной теории, нарастает очень быстро. Объяснить предпочтительный рост трехмерных возмущений указанные теоретические модели не смогли. Но несомненно важным результатом явилось то, что в области нелинейного развития пространственное распределение возмущений достаточно хорошо согласуется с распределением, даваемым собственными функциями линейной задачи и их нелинейным взаимодействием.

С целью изучения развития трехмерности течения в пограничном слое, Масеевым [38] был проведен анализ устойчивости двумерного нестационарного течения к трехмерным возмущениям. В качестве основного течения использовалось течение Блазиуса с наложенной на него двумерной волной Толлмина-Шлихтинга. При решении использовался метод Галеркина. В работе была показана возможность усиления трехмерных возмущений за счет двумерных и получены минимальные значения интенсивности двумерных возмущений, при которых трехмерные не убывали.

Другой моделью для рассмотрения возникновения трехмерности и дальнейшего развития как двумерных, так и трехмерных возмущений служит модель резонансных взаимодействий, в которой предполагается, что среди нелинейных членов уравнений содержатся слагаемые, имеющие частоты и волновые числа, близкие к соответствующим параметрам решений линейных уравнений. В теории гидродинамической устойчивости резонансные взаимодействия впервые, по-видимому, были учтены в работах Раэтца [91,92]. Дальнейшее развитие эти идеи нашли в работах Крейка [67,68,107,108]. Им рассматривался резонанс одной двумерной волны с заданной частотой и двух наклонных, с частотой, равной половине частоты двумерной. Вопрос о реализации такого механизма остается открытым в виду того, что в экспериментах Клебанова и др. [82] необходимые для резонанса субгармоники обнаружены не бьши, хотя таковые присутствовали в экспериментах Качанова и др. [21,22]. Однако Крейк указал на существование триады, у которой двумерная волна имеет удвоенную по отношению к основной частоту, а наклонные имеют частоту основных колебаний. Вторая гармоника, наблюдаемая Клебановым и др., достигала интенсивности порядка 20 % от основной, что могло производить значительное усиление трехмерных волн.

Общее уравнение для амплитуд нескольких взаимодействующих квазигармонических волн были выведены Зельманом [l8] . Они были получены с использованием идей метода усреднения, являются справедливыми для больших, но конечных интервалов времени и учитывают как эффекты самовоздействия, так и взаимодействия различных типов волн. Как частные случаи из него следуют уравнения Стюартсона и Стюарта [l02] и Крейка. К сожалению, в работе Зельмана не приводятся примеры численного решения, позволяющие сопоставить их с имеющимися экспериментальными данными. Примыкающей к данному направлению является модель Найфэ и Бозатли [88] четырехволнового взаимодействия. Используя метод разных масштабов, они рассмотрели неполный резонанс из-за рассогласования волновых чисел двух плоских волн с частотами си и 2 U) и двух наклонных. Учитывалось влияние роста пограничного слоя вдоль пластины. В качестве взаимодействующих волн рассматривались решения линейной задачи, что указывает на применимость этой модели в том случае, когда вторая гармоника сближается со свободной модой линейной задачи. Адекватного описания происходящих процессов данной моделью можно ожидать в случае искусственного возбуждения колебаний основной и удвоенной частоты. В то же время - это один из возможных механизмов нелинейного взаимодействия при рассмотрении возмущений, обладающих достаточно широким и заполненным частотным спектром, в котором одновременно присутствуют возмущения определенных и им удвоенных частот.

Исследование различных моделей резонансных взаимодействий давало преимущественный рост трехмерных составляющих возмущений и указывало на важность учета резонансного механизма в моделях нелинейного развития возмущений.

Выше уже отмечалась важность априорных данных экспериментальных исследований при построении теоретических моделей механизмов перехода. Среди большого количества экспериментальных работ, выполненных после классического исследования Шубауэра и Скрэмстеда [98,99] , следует отметить статью Клебанова и др. [82] , где весьма детально исследована структура перехода, образование трехмерности течения. Данные этой работы часто используются различными авторами при анализе результатов теоретических исследований. Все это послужило причиной выбора результатов исследований Клебанова и др. в качестве базовых при построении модели процесса нелинейного развития возмущений. Наблюдаемый волновой характер возмущений и хорошая аппроксимация структуры течения поперек пограничного слоя собственными функциями линейной задачи [б,7,69] на этапе нелинейного развития, вплоть до начала турбулентного режима, позволяет рассматривать происходящий процесс в рамках слабонелинейной теории и обратить основное внимание на нелинейное развитие волн Толлмина-Шлихтинга. Амплитуды указанных волн могут характеризовать интенсивность возмущений. Наблюдаемое усиление трехмерности возмущений позволяет сделать заключение о возможности реализации резонансного механизма. Искусственное возбуждение возмущений только одной основной частоты оставляет открытым вопрос о механизме образования возмущений второй гармоники по времени, необходимой для резонанса. Одну из возможностей дает рассмотрение нелинейного взаимодействия искусственно вносимых возмущений. Косвенным оправданием такого механизма служит хорошее совпадение рассчитанных вторичных стационарных течений с наблюдаемыми в экспериментах. Следует учесть, что указанные стационарные искажения основного течения также несомненно окажут влияние на характер развития возмущений. Описанные механизмы представляется возможным исследовать в модели, учитывающей взаимодействия двумерной и трехмерной волн с порождаемыми ими вторичными течениями. При этом необходимо рассмотреть взаимодействия третьего порядка, в отличие от квадратичных взаимодействий Крейка и Найфе.

В виду малой продолжительности этапа нелинейного развития, в задаче о переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный важным вопросом является определение критической амплитуды возмущений [58]. Если амплитуда достигает своего критического значения, то скорость нарастания энергии возмущений вниз по течению существенно отличается от предсказываемой линейной теорией гидравлической устойчивости. Таким образом критическая амплитуда становится важной характеристикой при определении начала этапа нелинейного развития возмущений и местоположения области перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения.

В излагаемой работе исследуется слабонелинейная модель пространственного развития возмущений в пограничном слое на плоской пластине, которые предполагаются периодическими во времени и по направлению, параллельному передней кромке пластины. Основное невозмущенное течение рассматривается в локальнопараллельном приближении. В аппроксимации возмущений компонент скорости выделяются члены, построенные с помощью собственных функций линейной теории и представляющие возмущения типа двумерной и трехмерной волны Толлмина-Шлихтинга. Характер изменения амплитуд указанных волн с ростом продольной координаты считается зависящим от величин самих амплитуд. Предлагается алгоритм расчета этой зависимости, учитывающий нелинейные взаимодействия до третьего порядка малости по волновым амплитудам. Численно исследуется влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие волн Толлмина-Шлихтинга в широком диапазоне волновых амплитуд и чисел Рейнольдса. Отмечается заметно более сильное влияние нелинейных взаимодействий на характер развития амплитуды трехмерной волны по сравнению с двумерной. С использованием результатов численных расчетов были получены уравнения типа уравнения Ландау, описывающие пространственную эволюцию амплитуд двумерной и трехмерной волн Толлмина-Шлихтинга, учитывающие эффекты самовоздействия и взаимодействия. Отмечается влияние фазового согласования волн на их нелинейное пространственное развитие. Результаты численного решения амплитудных уравнений позволили сделать оценки критической амплитуды возмущений в зависимости от местного числа Рейнольдса, определить в рамках рассмотренной модели роль двумерных и трехмерных возмущений на начальных участках нелинейного развития. Параллельно в работе представлены результаты численного исследования вторичных течений, образуемых при нелинейном взаимодействии двумерной и трехмерной волн Толлмина-Шлихтинга [57] . В результате их анализа отмечались сильно развитые трехмерные стационарные формы течения, что указывало на необходимость их учета в модели нелинейного развития возмущений. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными Клебанова и др. [82] продемонстрировало хорошее качественное соответствие, подтвердило применимость данной модели для описания нелинейного развития возмущений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построение частных решений задачи о нелинейном пространственном развитии возмущений в пограничном слое на плоской пластине позволяет более детально изучить многообразие процессов, имеющих место при переходе ламинарного течения в турбулентное. Указанной цели посвящена данная работа. В процессе ее выполнения были получены следующие основные результаты:

1. Дана новая постановка задачи о пространственном развитии волн Толлмина-Шлихтинга, учитывающая нелинейные взаимодействия до третьего порядка малости по параметру, характеризующему интенсивность возмущений. Возмущения рассматривались в форме, близкой к экспериментально наблюдаемой и позволяющей учесть трехмерную структуру течения.

2. Получена система уравнений, описывающая нелинейную эволюцию амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга, учитывающая эффекты самовоздействия и взаимодействия. На основе анализа гидродинамических уравнений была раскрыта структура нелинейной зависимости в системе амплитудных уравнений, которая была приведена к виду, являющемуся модификацией уравнения Ландау на случай взаимодействия пространственно развивающихся двумерных и трехмерных периодичных во времени возмущений. Коэффициенты этих уравнений зависят только от числа Рейнольдса и внешних параметров задачи и определяются численно.

3. Предложены методы решения задач последовательных приближений, возникающих при определении коэффициентов амплитудных уравнений. Составлена и отлажена программа численной реализации изложенных методов на ЭВМ.

4. На основе анализа численных решений задач второго приближения были отмечены сильно развитые стационарные формы вторичных течений на этапе нелинейного развития возмущений, что указывает на необходимость их учета в моделях перехода к турбулентному режиму течения.

5. При численном решении амплитудных уравнений был рассмотрен широкий диапазон начальных значений. Это позволило исследовать влияние интенсивности возмущений на нелинейные взаимодействия рассматриваемых волн и пространственную эволюцию их амплитуд, определить роль двумерных и трехмерных возмущений на нелинейном этапе развития, сделать оценки критической амплитуды возмущений в зависимости от местного числа Рейнольдса, определить местоположение начала области перехода.

6. Сравнение результатов численного решения амплитудных уравнений с экспериментальными и теоретическими данными других авторов показало удовлетворительное согласование по местоположению начала этапа нелинейного развития возмущений и по величинам критических амплитуд.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки). -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961, т. 1. № 3, с. 542-545.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. Ч. I. М. : Наука, 1975, 631 с.

3. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М. : Мир, 1971. - 350 с.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. : Наука, 1974. - 503 с.

5. Вортман Ф.К. Исследования неустойчивых колебаний пограничного слоя в водном канале теллур-методом. В кн.: Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи. - M.-JI. : Госэнергоиздат, I960, с. 385 - 394.

6. Выонг К.К. К вопросу о трехмерных возмущениях в пограничном слое. Дис. канд. физ. мат. наук. - М. : 1972. - 121 с.

7. Выонг К.К., Зайцев А.А. К вопросу о развитии трехмерных возмущений в пограничном слое. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1974, № I, с. 29-37.

8. Герценштейн С.Я. Об устойчивости нестационарного прямолинейного плоскопараллельного потока идеальной жидкости. Изв.

9. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1969, № 2, с. 5 10.

10. Герценштейн С.Я. О сходимости метода Релея. Докл. АН СССР, 1969, т. 187, № 5, с. 1012 - 1015.

11. Герценштейн С.Я/, Штемлер Ю.М. О возмущениях конечной амплитуды в пограничном слое. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1976, № I, с. 150 - 152.

12. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для системобыкновенных дифференциальных уравнений. Усп. мат. наук, 1961, т. 16, № 3, с. 171 - 174.

13. Гольдштик М.А., Сапожников В.А. Устойчивость ламинарного потока в присутствии массовых сил. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1968, № 5, с. 42 - 46.

14. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск : Наука, 1977. - 366 с.

15. Дубинищев Ю.Н., Ринкевичюс Б.С. Методы лазерной доплеров-ской анемометрии. М. : Наука, 1982. - 304 с.

16. Желтухин Н.А., Терехова Н.М. Вторичные течения в неустойчивом пограничном слое. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1981, № 4, с. 45 - 52.

17. Жигулев В.Н., Киркинский А.Н., Сидоренко Н.В., Тумин A.M. О механизме вторичной неустойчивости и его роли в процессе возникновения турбулентности. В кн.: Аэромеханика. М. : Наука, 1976, с. 118 - 140.

18. Жигулев В.Н. Современное состояние проблемы устойчивости ламинарных течений. В кн.: Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980, с. 109 - 133.

19. Зельман М.Б. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельных потоках. Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук, 1974,13, вып. 3, с. 16-21.

20. Иванов В.П. Экспериментальные исследования пограничного слоя при возникновении турбулентности с помощью лазерного анемометра. Автореф. канд. дисс. Киев, Ин-т гидромеханики АН УССР, 1981. - 22 с.

21. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1976. 576 с.

22. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Нелинейное развитие волны в пограничном слое. Изв. АН СССР. Механика жидкости и- 143 газа, 1977, № 3, с. 49 58.

23. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Развитие нелинейной волны в пограничном слое. В кн.: Аэрофизические исследования. Вып. 6, Новосибирск : 1976, с. 93 - 94.

24. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск : Наука, 1982.151 с.

25. Козлов Л.Ф., Бабенко В.В. Экспериментальные исследования пограничного слоя. Киев : Наукова думка, 1978. - 184 с.

26. Козлов Л.Ф. Теоретические исследования пограничного слоя. Киев : Наукова думка, 1982. 296 с.

27. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.2. М. : Физматгиз, 1963. 728 с.

28. Лаврентьев М.Л., Шабат В.В. Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1973. - 736 с.

29. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. Докл. АН СССР, 1944, т. 44, № 8, с. 339 - 342.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М. : Гостехиздат, 1953. - 788 с.

31. Ланс Дж. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: ИЛ, 1962. - 208 с.

32. Левченко В.Я., Володин А.Г., Талонов С.А. Характеристики устойчивости пограничных слоев. Новосибирск : Наука, 1975.-313с.

33. Левченко В.Я. 0 влиянии непараллельности течения на устойчивость пограничного слоя. В кн.: Аэромеханика. М. : Наука, 1976, с. 147 - 152.

34. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М. : ИЛ, 1958. - 194 с.

35. Линь Ц.Ц., Бинни Дж. 0 неустойчивости течения с градиентом скорости. В кн.: Гидродинамическая неустойчивость. М. : Мир, 1964, с. 9 - 36.

36. Лихачев О.А. Спектр малых возмущений течения в пограничном слое на пластине. Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1975, № 4, с. 112 - 115.

37. Лутовинов В.М. О варианте метода прогонки в задачах устойчивости пограничного слоя. Уч. зап. Центр, аэрогидродинамич. ин-та, 1970, т. I, № 2, с. 121 - 123.

38. Лутовинов В.М. 0 методе локализации собственных значений в одной задаче линейной теории гидродинамической устойчивости. -Уч. зап. Центр, аэрогидродинамич. ин-та, 1971, № 2, с. 76 80.

39. Масеев Л.М. 0 возникновении трехмерных возмущений в пограничном слое. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1968, № 6, с. 42 - 45.

40. Медведев В.А. 0 применении метода Бубнова-Галеркина в теории гидродинамической устойчивости. Прикл. матем. и механ., 1964, т. 28, № 4, с. 780 - 782.

41. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. М. : Наука, Ч. I, 1965. - 639 е.; Ч. 2, 1967. - 720 с.

42. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости. Прикл. матем. и механ., 1940, т. 4, № 3, с. 3 - 12.

43. Сапожников В.А. Решение задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки.

44. В кн.: Труды Всесоюзн. семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск : 1969, с. 212 219.

45. Сапожников В.А. Численное решение задачи гидродинамической устойчивости. В кн.: Труды секции по численным методам в газовой динамике 2-го Междунар. коллоквиума по газодинамике взрыва и регистрирующих систем, т. 3, М., 1971, с. 179 192.

46. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. - 438 с.

47. Сопруненко И.П. Устойчивость струйных течений. Изв. АН СССР. Серия Механика, 1965, № 4, с. 31 - 35.

48. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовца М. Стиган И.М., М. : Наука, 1979, с. 647 719.

49. Струминский В.В. К нелинейной теории аэродинамической устойчивости. Докл. АН СССР, 1963, т. 151, № 5, с. 1046 - 1049.

50. Струминский В.В. К нелинейной теории развития возмущений. Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 3, с. 547 - 550.

51. Струминский В.В. О законах развития и стабилизации аэродинамических возмущений.- Докл. АН СССР, 1965, т. 164, № I, с. 66-69.

52. Фукс В.А., Левин В.И. Функции комплексного переменного и их приложения. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит.,1951.- 308 с.

53. Харин В.Т. О вычислении собственных значений методом Буб-нова-Галеркина и применение его в теории гидродинамической устойчивости.- Прикл. матем. и механ.,1965, т. 29, № 6,с. IIII-III5.

54. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости.- Научн. тр. Ин-та механ. МГУ, 1973, № 25.

55. Шкадов В.Я. Некоторые вопросы теории гидродинамической устойчивости.- В кн.: Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука, 1976, с. 5 32.

56. Шкадов В.Я. Численные исследования устойчивости гидродинамических течений и нелинейного развития возмущений.- Числ. методы мех. сплошной среды, Новосибирск, 1961, т. 12, № 4, с. 148 155.

57. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности.- М.: ИЛ, 1962.203 с.

58. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- М.: Наука,1969.-744 с.57» Юрокин А.И. Изучение вторичных течений в пограничном слое. М., 1983. - 14 с. - Рукопись представлена Московск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 28 нояб. 1983, № 6297-83 Деп.

59. Юрокин А.И. О пространственном развитии возмущений в пограничном слое и их критических амплитудах. М. : 1983. -55 с. - рукопись представлена Моск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ28 нояб. 1983, № 6296-83 Деп.

60. Antar E.N., Collins F.G. Numerical calculation of finite amplitude effects in unstable laminar boundary layer. Phys. Fluids, 1975, v.I8, No.3, p.289-297.

61. Benney D.J. Finite amplitude effects in an unstable laminar boundary layers. Hays.Fluids, 1964, v.7, No.3, p.319-326.

62. Bouthier M. Stabilite liniaire des ecoulements presque paralleles. I part. J.mec., 1972, v.II, No.4, p.599-621.

63. Bouthier M. Stabilite liniaire des ecoulements presque paralleles. II part, ba couche limite de Blasius. J.mec.,1973, v.12, No.I, p.75-95.

64. Brown W.B. A stabilite criterion for three-dimensional laminar boundary layers. In: Boundary layer and flow control. v.2. London: 1961, p.913-923.

65. Burgers J.M. The motion of a fluid in the boundary layer along a plane smooth surface. Proc.of the First Internet. Congress for Appl.Mech. 113, Delft. 1924.

66. Corner D., Barry M.D.J,, Eoss M.A. Non-linear stability theory of the flat plate boundary layer. Aeronaut Res.Counc, Curr.Pap., 1973(1974), No.1296, 2Ip.

67. Corner D., Houston D.J., Eoss M.A.S. Higher eigenstates in boundary-layer stability theory. J.Fluid Mech., 1976, v.77, No.I, p.81-103.

68. Craik A.D.D, Nonlinear resonant instability in boundarylayers. J.Fluid Meek., 1971, v.50, No.2, p.393-413.

69. Craik A.D.D. Second order resonance and subcritical instability. Eroc.Koy.Soc. London A, 1975, v.343, No.1634,p.351-362.

70. Craik A.D.D. Nonlinear evolution and Ъгеак-down in unstable boundary layers. J.Fluid Mech., 1980, v.99, No.2,p.247-265.

71. Deardorff J.W. On the stability of viscous plane Couette flow. J.Fluid Mech., 1963, v.15, No.4, p.623-631.

72. De Santo D.F., Keller Н.Б. Numerical studies of transition from laminar to turbulent flow over a flat plate. J, Soc. for Industr. and Appl.Math., 1962, v.10, No.4, p.569-595.

73. Fas el H. Investigation of the stability of boundary layer by a finite difference model of Navier-Stokes equations. J,Fluid Mech., 1976, v.78, No.2, p.355-383.

74. Gaster M.A. On the generation of spatially growth waves in a boundary layer. J.Fluid Mech., 1965, v.22, No.3,p.433-441.

75. Gaster M.A. On the effect of boundary layer growth on flow stability. J.Fluid Mech., 1974, v.66, No.3, p.465-480.

76. Gersting J.M., Jankowski D.F. Numerical methods for Orr-Sommerfeld problems. Int.J.Num.Meth.Eng., 1972, v.4, No.2, p.195-206.

77. Hains F.D. Stability of plane Couette-Poiseuille flows with uniform crossflow. Phys.Fluids, 197I, v.14, No.18,p.1620-1623.

78. Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Fluss-ing keitsstromen. Arm.Phys., 1924, Ed.74, No.7, S.577-627.

79. Herbert IT. Nonlinear Stability of Parallel Flows by High-Order Amplitude Expantions. AIAA J., 1980, v.18, No.3,p.243-248.

80. Jordinson E. The flat plate boundary layer. Part I. Numerical integration of the Grr-Sommerfeld equation. J.Fluid Mech., 1970, v.43, No.4, p.801-811.

81. Jordinson R. Spectrum of Eigenvalues of the Orr-Sommer-feld equation for Blasius flow. Phys.Fluids, 1971» v.14, No.II, p.2535-2537»

82. Kaplan R.E. The stability of laminar incompressible boundary layers in the presence of complaint boundaries. -Massachusetts Inst.Technol.Aeroelastic and Structure Res.Lab., 1964, p.I-116.

83. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent L.M. The three-dimensional nature of boundary-layer instability. J.Fluid Mech., 1962, v.I2, No.I, p.1-34.

84. Komoda H« Nonlinear development of disturbance in a laminar boundary layer. Phys.Fluids, 1967, v.10, No.9, pt.2, p.87-94.

85. Kovasnay L.S., Komoda H., Vasudeva B.R. Detailed flow field in transition. Proc.Heat Transfer and Fluid Mech.Inst., 1962, p.1-26.

86. Lin C.C. On the stability of two-dimensional parallel flows. Quart.Appl.Math., 1945, v.3, p.II7-I42, 218-234, 277-301.

87. Mack L.M. A numerical study of the temporal eigenvalue spectrum of the Blasius boundary layer. J.Fluid Mech., 1976, v.73, No.3, p.497-520.

88. Mott J.F., Joseph D.D. Stability of parallel flow between concentric cylinder. Phys.Fluids, 1968, v.II, No.10, p.2065-2073.

89. Murdock J.W. A Numerical Study of nonlinear effect onboundary-layer stability. AIM J., 1977, v.15, No.8, p.II67-117 3.

90. Nayfeh A.H., Bozatli A.M. Nonlinear wave interaction in boundary layers. 1979. AIAA I2th Fluid and Plasma Dyn.Conf. Williamsburg, Virginia, paper 79-1496.

91. Orr W. McF. The stability or instability of the steady motion of a liquid. Врос.Eoy.Irish.Acad.A, 1906-1907, v.27, p.9-27, 69-138.

92. Raetz G.S. A new theory of the couse of transition in fluid flows. Norair Rept.NOR-59-383, 1959.

93. Raetz G.S. Current status of resonance theory of transition. Norair Rept.N0R-64-III, 1964.

94. Reynolds 0. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and determination of the criterion. Phil.Trans. Roy.Soc. I86A, 123-164 (1895).

95. Reynolds W.C., Potter M.C. Finite-amplitude instability of parallel shear flows. J.Fluid Mech., 1967, v.27, No.3,1. P.465-492.

96. Ross M.A.S., Corner D.F. Eigenvalue and eigenvector solution of a wave system in a non-linear dissipative medium. -Rroc.Roy.Soc.Edinburgh, 1971-72, v.70.

97. Saric W.S., Nayfeh A.H. Nonpareil el stability of boundary-layer flows. Phys.Fluids, 1975, v.18, No.8, p.945-950.

98. Schlichting H. tJber die Enstehung der Turbulentz bei der Piattenstromung. Gesellschaft der wissensechaften Gottin-gen, Mathematisch-Naturwissenschafttliche Klasse, Nachrichten, 1932, S.160-198.

99. Schubauer G.B., Skramstad H.K. Laminar boundary-layer oscillations and transition on a flat plate. NACA Tech.Rept., 1943, No.909.

100. Schubauer G.B., Skramstad H.K. Laminar boundary-layer oscillation and stability of laminar flow. J.Aeronaut Sci,, 1947, v.I4, No.2, p.69-78.

101. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur Hydrodinamischen Erkla-rung der turbulenten Fliissigkeitsbewegung. Proc. 4-th Intern, congress math., Home, 1908, p.II6-I24.

102. Squire H.B. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls. Broc.Koy. Soc. London A, 1933, v.142, p.621-628.

103. Stewartson K., Stuart J.T. A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow. J.Fluid Mech., 1971, v.48, No.3, p.529-545.

104. Stuart J.T. On the nonlinear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part I. The basic behaviour in plane Poiseuille flow. J.Fluid Mech., I960,v.9, No.3, p.353-370.

105. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence. Effect of turbulence on boundary layer. Proc.Roy.Soc., 1936, No.151, p.307-317.

106. Thomas L.H. The stability of plane Poisseuille flow. Phys.Rev., 1953, v.93, No.4, p.780-783.

107. Tollmien W. tJber die Entstehung der Turbulenz. Nachr. Ges.Wiss•Gottingen, Math.-Phys., 1929, S.21-44.

108. Usher J.R., Craik A.D.D. Nonlinear wave interaction in shear flows. Part I. A variational formulation. J.Fluid Mech., 1974, v.66, No.2, p.209-222.

109. Usher J.E., Craik A.D.D,, Hendriks F. Nonlinear wave interaction in shear flow. Part 2. Third-order theory. J.Fluid Mech., 1975, v.70, No.3, p.437-461.

110. Van Stijn Th.L., Van de Vooren A,I. On the stability of almost parallel boundary layer flows. Computers and Fluids, 1982, v. 10, lTo.4, p.223-241.