Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Г Г и од

на правах рукописи

г< Г"г: ■срл'"}

Жук Владимир Иосифович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской Академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И.И.Липатов, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Марков доктор физико-математических наук, член-корр. РАЕН С.И.Чернышенко,

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики Сибирского отделения Российской Академии наук

Защита состоится " 1& " илокз»._ 1998 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д002.32.01 при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967, Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра РАН

Автореферат разослан "06 " ,ллсх£1_ 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

1 ¿-г-

В.Е.Яницкий

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Вопрос о механизмах преобразования внешних возмущений в собственные колебания пограничного слоя (волны Толлмина:Шлихтинга), формулируемый как задача восприимчивости, является составной частью важнейшей нерешенной проблемы ламинарно-турбулентного перехода. Несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые прямым численным моделированием нелинейных стадий перехода на основе уравнений Навье-Стокса, далеко не все данные экспериментов нашли свое теоретическое обоснование. Решение начально-краевых задач, поставленных для названных уравнений, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса.

Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода, а именно в привлечении концепции свободного взаимодействия для установления асимптотической структуры поля скоростей. Данный метод, позволяющий в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса перейти от уравнений Навье-Стокса к более простым уравнениям взаимодействующего пограничного слоя с неизвестным заранее градиентом давления, оказался исключительно плодотворным при построении асимптотической теории отрывных течений и, по существу, положил начало целому направлению в теоретической гидродинамике.

Область возмущенного движения жидкости в режиме свободного взаимодействия обладает трехслойной структурой. Оказалось, что аналогичная структура присуща распространяющимся в пограничном слое волновым возмущениям, откуда следует заключение о возможности применения многоярусных асимптотических конструкций в теории гидродинамической устойчивости.

Следует отметить, что асимптотический анализ не только позволяет установить пространственно-временные масштабы функций течения и по-сроить решения начально-краевых задач, но, прежде всего, дает ключ к выяснению основных физических механизмов, управляющих развитием возмущений в пограничном слое.

Обратим также внимание на то, что вхождение малого параметра в систему уравнений Навье-Стокса (и вытекающая отсюда асимптотическая трактовка ее решений) связано не только с тем, что критическое число Рейнольдса, превышение которого ведет к появлению неустойчивых мод, обычно велико, но и с тем, что такой объект, как пограничный слой, сам существует только в пределе больших чисел Рейнольдса (последнее обстоятельство нередко игнорируется в теоретических исследованиях).

Реализуемая в предлагаемой работе идея использования асимптотических многоярусных моделей при исследовании слабо и сильнонелинейных стадий развития возмущений подводит рациональный базис под хорошо известный из экспериметов факт мощной генерации волн неустойчивости на локальных неоднородностях, а также появление высокоинтенсивных всплесков-шипов. Кардинальных упрощений при построении нелинейных пульсационных полей позволяет добиться не только то обстоятельство, что уравнения каждого асимптотического приближения число Рейольдса не содержат, но и возможность сведения задачи для больших амплитуд к решению одного уравнения относительно функции, зависящей только от времени и одной пространственной переменной.

Цель работы. Применяемая в настоящей работе нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Данный подход имеет целью дополнить существующие представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах некоторых степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данные оценки определяют вид асимптотических последовательностей, в которые раскладываются решения в упомянутых подобластях, что прршодит к формулировке соответствующих краевых задач. Некоторые построенные в работе решения этих краевых задач описывают класс возмущений с трехпалубной структурой поля течения. Вместе с тем, концепция свобод-

ного взаимодействия при иных пространственно-временных и амплитудных параметрах нелинейных возмущений допускает реализацию четырех-палубной асимптотической схемы движения жидкости и газа. Если необходимо учесть влияние критического слоя на процесс нарастания амплитуд пульсаций, то флуктуационные поля характеризуются пятью расположенными друг над другом подобластями, причем критический слой отделен от пристеночного слоя невязкой областью. Построение асимптотических разложений, описывающих указанные классы возмущений с многоярусной структурой волнового движения составляет основную цель настоящего исследования.

Научная новизна работы. В данной диссертации:

1. Предложен новый вариант нелинейной асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком, в котором область возмущенного течения обладает четырехслойной структурой, а построение поля скоростей сводится сводится к решению уравнения Бюргерса либо уравнения Бенджамина-Оно относительно функции смещения линий тока.

2. Установлено, что дисперсионное соотношение линейной задачи о внутренних волнах в пограничном слое с самоиндуцированным давлением при сверхзвуковых скоростях внешнего потока обладает бесконечным спектром. В частности, для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая имеет бесконечное количество ветвей, соответствующих сносимым вниз по потоку возмущениям (распространяющаяся вверх по потоку волна может отвечать лишь первой моде из указанного спектра).

3. Показано, что уравнения Прандтля с самоиндуцированным давлением применима к анализу задач гидродинамической устойчивости. Для несжимаемой жидкости данный подход приводит к результатам, следующим из уравнения Орра-Зоммерфельда при условии, что критический слой прилегает к обтекаемой поверхности. Внутренние волны в свободно взаимодействующем пограничном слое представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена асимптотическая четырехпалубная теория отражения скачка уплотнения сравнительно большой амплитуды от пограничного слоя. Асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса, описывающее течение с замкнутой срывной областью, распадается на стационарную часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку.

5. Приведены асимптотические решения уравнения Орра-Зоммерфельда в двух приближениях по малому параметру, являющемуся отношением толщины пограничного слоя к длине волны Толлмина-Шлихтинга. Трехслойная асимптотическая структура решения отвечает окрестности нижней ветви нейтральной кривой, пятислойная структура решения с критическим слоем, отделенным от пристеночного невязкой областью, описывает окрестность верхней ветви нейтральной кривой. Результаты вычисления инкрементов нарастания собственных колебаний являются новыми, в то время как выражения для асимптотик двух ветвей нейтральной кривой, замыкающей неустойчивую область, совпадают с полученными другими методами и опубликованными в литературе.

6. Новым результатом исследования гармонических колебаний погруженного в пограничный слой осциллятора является определение амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга и скорости ее пространственного роста для окрестности верхней ветви нейтральной кривой.

Т. Разработана асимптотическая четырехъярусная теория взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком. Выведено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции, задающей толщину вытеснения. Из условия существования решения в вязком пристеночном подслое, подчиняющемся системе уравнений Прандтля с заданным из решения невязкой задачи градиентом давления, получено нелинейное дисперсионное соотношение между амплитудой, длиной волны и фазовой скоростью периодического решения упомянутого интегродифференциального уравнения.

8. Представлены численные решения нелинейных эволюционных уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, которыми при определенных предположениях описывается развитие возмущений в пограничных слоях. Установлены характерные формы волновых движений, приведена физическая картина процесса рождения и взаимодействия солитонов.

9. Установлено асимптотическое поведение нейтральных кривых устойчивости пограничного слоя сжимаемого газа при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока. Приведены выражения для инкрементов нарастания неустойчивых собственных колебаний в окрестности нейтральной кривой. Показано, что максимум инкремента нарастания может находиться не только вблизи нижней, но и вблизи верхней ветви нейтральной кривой. Система уравнений для собственных функций с параметрами из окрестности верхней ветви нейтральной кривой уже не является следствием линеаризованных уравнений трехслойной теории свободного взаимодействия, поскольку возмущение в виде волны Толлмина-Шлихтинга обладает пяти-слойной асимптотической структурой.

10. Асимптотический анализ, преследующий цель более подробного изучения влияния сжимаемости и теплопроводящих свойств обтекаемой поверхности, показал, что свойства устойчивости пограничного слоя качественно меняются даже при числах Маха и отклонениях температуры стенки от температуры торможения, стремящихся к нулю с увеличением числа Рейнольдса. В частности, имеет место неединственность решения уравнения, определяющего верхнее нейтральное значение волнового числа, а верхняя ветвь нейтральной кривой распадается на три ветви.

11. Вычислены амплитуды волн Толлмина-Шлихтинга, генерируемых в процессе взаимодействвия монохроматических акустических волн с трехмерными локальными неоднородностями на дне пограничного слоя. Параметры возбуждаемых собственных колебаний и геометрические свойства неоднородностей связываются дисперсионными соотношениями, являющимися универсальными характеристиками пограничного слоя. Трехмер-чая природа рассеивания акустических волн приводит к тому, что генерация неустойчивых колебаний осуществляется даже для сверхзвукового шешнего потока.

Теоретическая и практическая ценность. Построенные в работе асимптотические разложения могут служить основой для последующего математического описания линейных и нелинейных возмущений в пограничном слое. Развитые подходы указывают на возможность использования введенных в работе эволюционных уравнений к объяснению природы нелинейных стадий ламинарно-турбулентного перехода. В подтверждение сказанного отметим обнаруженную в независимых экспериментальных работах солитонную природу возникающих в процессе перехода когерентных структур.

Асимптотический анализ взаимодействующего пограничного слоя с четырехъярусной структурой поля скоростей устанавливает новые области применимости уравнений Бюргерса и Бенджамина-Оно. Что касается предложенного в трансзвуковой теории свободного взаимодействия нелинейного интегро-дифференциального уравнения (из которого уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно следуют как предельные случаи), то оно, по-видимому, не встречалось ранее в научной литературе.

Самостоятельное значение имеют также установленные в работе управляющие безразмерные параметры, оценки величин гидродинамических переменных и внешних возмущающих факторов, при которых реализуются те или иные физические механизмы изучаемых явлений. Упомянутые параметры подобия и оценки не только играют существенную роль в численных и экспериментальных исследованиях при получении и интерпретации результатов, но могут служить наводящими соображениями для постановок новых задач современной теории пограничного слоя.

Рассмотренные в диссертации задачи дают примеры применения и развития асимптотических методов к исследованию тонкой структуры поля потока при больших числах Рейнольдса и, очевидно, могут иметь дальнейшие приложения в различных областях механики жидкости и газа. Сама природа асимптотического подхода, связанная с рассмотрением предельных значений параметров течения, открывает возможность добиться кардинальных упрощений в анализе именно таких режимов, которые представляют наибольшую трудность при использовании иных (например, численных) методов и обнаружить совершенно неочевидные заранее физические эффекты.

Степень достоверности результатов. Достоверность результатов, представленных в диссертации, основана на сравнении с аналитическими, расчетными и экспериментальными данными других авторов (в особенности для предельных значении параметров), на тестировании используемых методов на решениях известных задач. Там, где это возможно, полученные аналитическими методами результаты воспроизводились численными решениями. Во всех случаях тщательно проверялась внутренняя непротиворечивость асимптотической структуры решений и возможность сращивания разложений в различных подобластях. Большое внимание уделялось рассмотрению предельных ситуаций, сводящих задачи к ранее известным с опубликованными в литературе решениями; наоборот, иногда удавалось получить те или иные приведенные в диссертации результаты как частные случаи исследованных в других работах проблем.

Личное участие автора в получении научных результатов. Главы И, IV, VI, VII, а также $3.4 главы III и $$8.1, 8.4, 8.5 главы VIII содержат результаты, полученные автором лично. Глава I, $$3.1—3.3 главы III, $$8.2,8.3 главы VIII написаны на основе совместных работ с О.С.Рыжовым, который принимал участие в постановках задач и анализе результатов. Глава V написана на основе совместных работ с С.П.Поповым, принимавшим участие в постановках задач и проводившим численные расчеты по методикам и вычислительным алгоритмам, отличным от используемых автором диссертации.

Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, выводов и списка литературы. Объем работы составляет 258 страниц текста, в том числе 46 фигур. Список литературы содержит 288 наименований.

Автор защищает:

1. Создание четырехпалубной асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком.

2. Построение многоярусной асимптотической модели отрывного течения при' отражении от пограничного слоя ударной волны, амплитуда которой превышает величину, рассматриваемую в трехпалубной теории.

3. Возможность описания при определенных условиях эволюции нелинейных возмущений в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса, Бенджамина-Оно, Кортевега-де Вриза, а также (в случае трансзвуковых внешних скоростей) интегро-дифференциального уравнения для функции смещения линий тока.

4. Нахождение асимптотик нейтральных кривых и вычисление инкрементов нарастания в их окрестностях для линейной задачи устойчивости пограничных слоев при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока.

Апробация работы. Результаты исследований в разное время докладывались автором на VIII (Казань, 1978 г.), IX (Иркутск 1980 г.), XI (Фрунзе, 1985 г.) Всесоюзных школах-семинарах по аналитическим методам в газовой динамике (САМГАД), V (Алма-Ата, 1981 г.), VI (Ташкент, 1986 г.) Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, Всесоюзных совещаниях по механике сплошных сред (Киев, 1989 г., Одесса, 1981 г.), II симпозиуме Международного союза по теоретической и прикладной механике (IUTAM) по ламинарно-турбулентному переходу (Новосибирск, 1984 г.), Советско-японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988 г.), Международом семинаре по аналитическим методам в аэродинамике (Польша, 1993 г.), XL Юбилейной научной конференции МФТИ (1987 г.), семинарах под руководством В.В.Румянцева (Вычислительный центр РАН), под руководством В.Я.Нейланда и В.В.Сычева (ЦАГИ), под руководством Г.Г.Черного (Институт механики МГУ).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дастся обзор многочисленных приложений асимптотических методов к решению задач современной теории пограничного слоя, которая, по-существу, является обобщением классической теории Прандтля. Изложение не ограничивается нелинейной теорией возмущений для описания картины ламинарного отрыва, где успехи теории пограничного слоя с самоиндуцируемым давлением наиболее значительны. Асимптотическая трехпалубная схема возмущенного поля скоростей оказалась в равной мере применимой к исследованиям задач теории гидродинамической устойчивости, хотя в силу бесконечно малых амплитуд возмущений соображения, лежащие в основе асимптотического разделения области течения на несколько подслоев, оказываются несколько иными. Помимо предположения о больших числах Рейнольдса 11е —> ос, концепция самоиндуцированного давления вводит в рассмотрение такие возмущения, у которых характерная длина волны превышает по порядку величины толщину пограничного слоя. Малый параметр е, по которому ведется разложение, можно интерпретировать как отношение поперечного масштаба течения к продольному. По-существу, все опубликованные к настоящему моменту работы по теории свободного взаимодействия как линейном, так и в нелинейном случаях, используют именно эту величину в качестве параметра разложения.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации по главам. В $1.1 первой главы обращается внимание на то обстоятельство, что механизм взаимодействия возмущений с внешним потоком посредством самоиндуцированного давления имеет место и для пространственно-временных масштабов возмущений, отличных от введенных в трехпалубной теории свободного взаимодействия. Примером такого рода служит распространение концепции самоиндуцированного давления на случай сравнительно больших амплитуд а, превышающих величину порядка е = Не""1/8 из упомянутой теории. Асимптотическая структура течения в этом случае становится четырехпалубной, а нелинейное движение описывается одномерным эволюционным уравнением относительно одной неизвестной функции А{Ь, х), задающей толщину вытеснения. Отличительной чертой указанного режима взаимодействия является разделение вязкой и невязкой

задачи, поскольку движение в пристеночном подслое, подчиняющееся системе уравнений Прандтля с заданным из решения невязкой задачи градиентом давления, не влияет в первом приближении на вышележащие области течения, а существование решения в нем служит в качестве внутреннего критерия самосогласованности всей четырехпалубной схемы. При а = е нижние две палубы сливаются в одну; в этом смысле трехъярусная модель свободного взаимодействия представляет собой частный случай рассматриваемой асимптотической схемы. Материал $1.1 написан по результатам работ [10],[18],[22]—[24].

В $1.2, используется линейный подход к изучению нестационарных возмущений, распространяющихся в свободно взаимодействующем сверхзвуковом пограничном слое, образуя трехъярусную структуру. Основное внимание сконцентрировано на свойствах дисперсионного соотношения

¿м(о

йг

ии

I к:1{2)й2

с

= . С = (1)

в плоскости комплексного переменного (, которое, как видно из (1), является некоторой комбинацией частоты ш и волнового числа к (здесь А1(2) — функция Эйри). Рассматривается асимптотическое поведение решения, когда модуль этой комбинации стремится к бесконечности, а ее аргумент близок к ±7г. Главный вывод асимптотического анализа состоит в том, что для фиксированного волнового числа существует целый спектр собственных значений частоты. Аналогичный вывод справедлив для заданной частоты, когда искомым является волновое число. Соответствующие собственные функции интерпретируются как внутренние волны, порождаемые совместным действием самоиндуцированного давления и вязких касательных напряжений. Установлено, что для сносимых вниз по потоку возмущений возрастание фазовой скорости связано либо с уменьшением волнового числа, либо с переходом с одной ветви дисперсионной кривой на другую. Таким образом, любой установленный на пластинке осциллятор будет генерировать бесконечную систему волн, распространяющихся вниз по потоку. Длина каждой волны зависит только от частоты колебаний осциллятора. Совокупность результатов $1.2 содержится в работах [1].[2],[4],[9].

Как оценки масштабов для функций течения, так и трехслойная структура области свободного взаимодействия в окрестности точки отрыва носят универсальный характер, хотя возмущающий фактор может иметь самую различную природу и далее находиться ниже по потоку от данной области, если его амплитуда достаточно велика. В последнем случае область свободного взаимодействия, соприкасаясь с невозмущенным пограничным слоем вверх по потоку, является частью глобальной картины течения.

Из изложенных в $1.3 результатов следует, что характерные масштабы длин и амплитуд возмущений указанного типа можно получить из совершенно иных соображений, если обратить внимание на следующее обстоятельство. Тот факт, что в качестве одного из краевых условий для уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением ставится требование затухания возмущений вверху по потоку, означает неединственность продолжения невозмущенного пограничного слоя за некоторое произвольно выбранное сечение. Отсюда можно заключить, что уравнения Прандтля с самоиндуцированным давлением в ряде случаев применимы к исследованию потери устойчивости пограничного слоя. Заметим, что в классической теории Прандтля неустойчивые решения отсутствуют, как отсутствуют вообще все решения с колебательными свойствами.

В $1.3 для пограничного слоя несжимаемой жидкости устанавливается, что собственные решения линеаризованных уравнений теории свободного взаимодействия представляют собой длинноволновую асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга с параметрами, лежащими в окрестности нижней ветви нейтральной кривой. Таким образом, теория свободного взаимодействия описывает свойства устойчивости (по отношению, вообще говоря, к нелинейным возмущениям) в пределе больших чисел Рейнольдса, причем одно из важных преимуществ использования асимптотических уравнений (а не полных уравнений Навье-Стокса) состоит в том, что число Рейнольдса в формулировках соответствующих краевых задач не фигурирует. Наоборот, результаты классической теории устойчивости могут служить в качестве наводящих соображений для вывода масштабов возмущений, индуцирующих собственный градиент давления.

В самом деле, из линейной теории устойчивости несжимаемого пограничного слоя известна асимптотика длин волн, частот и фазовых скоростей колебаний в терминах числа Рейнольдса, принимающего большие зна-

чения. Для таких волн с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой реализуется трехслойная схема возмущенного поля скоростей с некоторой вполне определенной толщиной вязкого пристеночного подслоя. С ростом амплитуды волны пристеночный подслой становится нелинейным. Максимальная величина возмущения продольной компоненты скорости, при которой не нарушается трехслойная структура, связана с порядком невозмущенной скорости в пристеночном подслое. Как показано в [16], вытекающие отсюда оценки в точности совпадают с характерными масштабами в теории свободного взаимодействия. Приведенные порядки величин справедливы и для сжимаемого пограничного слоя. В сверхзвуковом случае неустойчивыми оказываются косые волны, направление распространения которых по отношению к направлению набегающего потока составляет угол, пресыщающий угол Маха [8].

Связь теории свободного взаимодействия с устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя в случае нелинейных возмущений обсуждается в [9]. Сформулированный в $1.3 вывод о том, в пределе больших чисел Рейнольдса исследование волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое сводится к изучению его свободного взаимодействия с внешним потенциальным потоком, основывается на работах [6]—[8],[14].

Во второй главе построено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса с замкнутой срывной областью, которое распадается на стационарную часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку, а именно

2 _ _!

Х0 — £<> 5 Со — \!

2

А —

X ~4~" -Со |1 +

2 '

1 / л 1,

-с0{х + с0Ц +-\а

2 4 ксЦ

х>0, (2) х < О, (3)

(х + хоу

+ р о

2 сЬ2[|с0(х + с0г)]

х > О, ж < О,

(4)

(5)

Структура возмущенного поля течения дает содержательный пример, когда известные ранее решения локальных задач с эффектом взаимодействия непрерывно переходят друг в друга, являясь составными элементами полного решения. В $2.1 для сверхзвуковой скорости внешнего

Р

потока вводятся пространственно-временные масштабы области взаимодействия, порождаемой падением извне на пограничный слой скачка давления либо изломом контура тела:

ре{х)=р0в{х). (6)

Здесь 6{х) — единичная функция Хевисайда, а полное давление складывается из внешнего и самонндуцированногож:

дА 17\

Система уравнений для вязкого пристеночного подслоя

+ и + у - + + о- (8)

<9£ дх дг/£ дх ду| ' дх дуе '

уе = 0 : и* = ье = 0 ; уе -> оо : ы, Л ; |я) -»• оо : щ -»■ 0 . (9)

в $2.2 проинтегрирована численно с внешним краевым условием, полученным из решения уравнения Бюргерса с неоднородной правой частью

дА лдА д2А ,

эГ + ^а?-*^' (10)

которое описывает течение в вышележащих подобластях. Окрестность точки присоединения исследуется в $2.3; содержащая точку отделения нулевой линии тока от тела асимптотическая область вверху по потоку от фронта волны рассматривается в $2.4. Изложенная во второй главе асимптотическая теория разработана в статьях [22],[18],[21],[24],[26].

В третьей главе строятся решения уравнения Орра-Зоммерфельда в пределе больших чисел Рейнольдса с критическим слоем, прилегающим к стенке, и отделенным от нее невязкой областью. Процедура сращивания асимптотических разложений в возмущенной области над пограничным слоем, в основной толще пограничного слоя и в критическом слое обсуждается в $3.1. Выводятся дисперсионные соотношения, описывающие окрестности нижней ($3.2) и верхней ($3.3) ветвей нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя в двух приближениях по малому параметру, который представляет собой отношение толщины погранич-

ного слоя к длине волны возмущений. Показано, что данные окрестности перекрывают друг друга и, таким образом, полученные дисперсионные соотношения описывают всю заключенную между двумя ветвями нейтральной кривой неустойчивую область. Изложенный в $$3*1, 3*2, 3*3 асимптотический анализ основывается на работах [6],[12]—[14]. Написанный по результатам работы [ 17] $3.4 третьей главы затрагивает вопрос о вычислении амплитуды волны Толлмина-Шлихтинга, возбуждаемой в пограничном слое установленным на поверхности гармоническим осциллятором. Являясь одной из задач восприимчивости, рассмотренная в $3.4 реакция пограничного слоя на высокочастотные колебания вибратора включает диапазон частот из окрестности верхней ветви нейтральной кривой, где трехпалубная структура уже не имеет места.

Развитие нестационарных нелинейных возмущений в ламинарном пограничном слое на пластине при трансзвуковом внешнем течении исследуется в четвертой главе диссертации. Вводимые порядки амплитуд возмущений превышают величину, предполагаемую в нелинейной трехпалубной теории свободного взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком. Концепция самоиндуцированного давления для таких амплитуд, как показано в $$4.1,4.2, определяет нормировку зависимых и независимых переменных, причем структура течения становится четы-рехпалубной. Вязкий пристеночный подслой при условии отсутствия особенности в решении задачи (8),(9) не влияет в главном приближении на параметры течения в вышележащих подобластях, где справедлива замкнутая система невязких уравнений

Ы дх дх'

ох дуи дх у '

Описание двумерного поля скоростей сводится к решению нелинейного

интегро-дифференциального уравнения для зависящей от времени и одной пространственной координаты функции:

ЭА ЭА 1 д2 п дА(г,£)

где К00 — трансзвуковой параметр, а сектор интегрирования 5 устанавливается неравенствами

т<«, г). (15)

Для К а, -> +оо уравнение (14) переходит в уравнение Бюргерса дА дА _ 1 д2А

т+ п^дх*' 1 Ь)

В другом предельном случае —> —оо уравнение (14) преобразуется к уравнению Бенджамина-Оно

дА дА 1 #

д1 дх д? £-х' у 4

Интегро-дифференциальное уравнение (14) является следствием взаимодействия невязкой пристеночной подобласти с внешним потенциальным течением через играющую пассивную роль основную толщу пограничного слоя. Некоторые солитонные решения данного уравнения указаны в $4.3. Из требования существования периодического решения в вязком пристеночном подслое, для которого в качестве внешнего краевого условия берется периодическое решение

П+<72

А = с +

(с-Коо)

1/2

1 — а2

- 2Г

Е 1 + а2- 2асо$[к{х - ¿)] ^

интегро-дифференциального уравнения (14), в $4.4 находится связь между амплитудой, волновым числом и фазовой скоростью возмущений:

к = с(с- Коо)2/3(1 - 10<г2 +...). (19)

Развитая теория осуществляет непрерывный переход от до- к сверхзвуковому обтеканию, поскольку упомянутое управляющее уравнение содержит как предельные случаи уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно, которыми, в соответствии с результатами в первой главы, описывается эволюция возмущений вне трансзвукового диапазона. В $4.5 четвертой главы обсуждаются различные точки зрения на определение масштабов возмущений в трансзвуковой теории свободного взаимодействия. Материал четвертой главы опубликован в работах [ 27],[ 28 ].

Примеры возмущенных движений в локальных областях пограничных слоев, описываемых нелинейными эволюционными уравнениями, составляют содержание пятой главы. В плоской струе несжимаемой жидкости, ограниченной снизу твердой стенкой, функция смещения линий тока находится из уравнения Кортевега-де Вриза. Вывод этого уравнения на основе асимптотического анализа возникающей многослойной структуры течения предложен в $5.1. Нарастание амплитуды пульсаций в пограничном слое с одновременным уменьшением их характерного пространственного масштаба приводит к разделению нелинейной подобласти на пристеночный вязкий (играющий пассивную роль) и промежуточный невязкий подслои. На это обстоятельство указывается в $5.2 , где с помощью специального предельного перехода в рамках уравнений трехпалубной теории демонстрируется иной подход к обоснованию применимости уравнения Бенджамина-Оно (отличающийся от способа его вывода в $1.1 первой главы). В $5.3 показано, что стационарное локальное возмущение поверхности приводит к возбуждению идущего вверх по потоку цуга солитонов. Приведенное в $5.4 решение линеаризованного уравнения Бенджамина-Оно с осциллирующим во времени неоднородным членом состоит из формирующегося при запуске осциллятора волнового пакета, головная часть которого непрерывно сопрягается с невозмущенной областью, а хвостовая часть переходит в область доминирования волны Толлмина-Шлихтинга (точнее, ее высокочастотного предела). Детальная структура решений нелинейных уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, в том числе и для зависящих от времени неоднородных членов в их правых частях, обсуждается в $$5.5 ,5.6. Как правило, возмущенная область состоит из цепочки солитонов и осцилляторной волны, между которыми возникает интервал со слабой зависимостью решения от времени (стоячая волна). Приведенные в пятой главе результаты содержатся в работах [21]—[24].

Методом сращиваемых асимптотических разложений в шестой главе строится решение уравнений устойчивости, описывающее волну Толлмнна-Шлихтинга в пограничном слое сжимаемого газа с пятислойной структурой возмущенного поля скоростей. Находится предельное поведение при больших числах Рейнольдса верхней ветви нейтральной кривой, а в ее окрестности вычисляется инкремент нарастания возмущений. Нормировка волновых чисел и частот, в которой масштабы являются функциями некоторых степеней числа Рейнольдса, указывается в $6.1. Поскольку искомое асимптотическое решение существенно зависит от параметров невозмущенного пограничного слоя, в $6.2 с помощью преобразования Дородницына вычисляются первые четыре коэффициента ряда Тейлора в окрестности стенки невозмущенных профилей скорости и плотности. Процесс сращивания асимптотических последовательностей для различных подобластей детально обсуждается в $$6.3 ,6.4. Роль критического слоя, решение в котором выписывается в $6.5 , состоит в устранении неоднозначности продолжения невязкого решения в промежуточную подобласть между ним и пристеночным подслоем. Асимптотика невязкого решения служит предельным условием на верхнем крае пристеночного подслоя. Удовлетворяя этому условию, приходим к дисперсионному соотношению, которое для случая дозвуковых скоростей внешнего потока приведено в $6.6 :

сР = Ке-1/12/(Л",М00) , <н = -В&-1/дН(К, М«,) . (20)

Что касается выведенного в $6.7 дисперсионного соотношения для случая трансзвукового обтекания

сг - Ке"1'13 а , а = Ее"2/13 д(з, <2ТО) , = Ие1/13 (М2Ю - 1) , (21)

то рассмотренное в $6.8 предельное поведение его решений дает объяснение неограниченному росту инкремента усиления колебаний с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой с увеличением волнового числа. Как показано в $6.8, такой рост не только не противоречит тому, что при увеличении волнового числа должен осуществляться переход к устойчивым колебаниям, но и является необходимым условием перекрытия областей пригодности решений дисперсионных уравнений для нижней и верхней ветвей нейтральной кривой. Входящие в (20),(21) функции / , д

п параметр в зависят от числа Маха М,», волнового числа К, а также от упомянутых выше коэффициетов ряда Тейлора. Изложенный в шестой главе круг вопросов опубликован в работе [25].

В седьмой главе обращается внимание на тот факт, что сжимаемость газа качественно изменяет поведение верхней ветви нейтральной кривой. В случае'рассмотренной в $7.1 теплоизолированной поверхности инкремент нарастания как функция волнового числа может содержать максимум, расположенный вблизи верхней ветви нейтральной кривой, причем величина этого максимума даже по порядку превосходит значения, соответствующие окрестности нижней ветви. В $7.2 , показано, что при учете сжимаемости и нетеплоизолированности поверхности, даже если последние малы (бесконечно малы для стремящегося к бесконечности числа Рейнольдса), верхняя нейтральная кривая распадается на три ветви. Как отмечается $7.3, на плоскости, где по осям отложены число Рейнольдса и волновое число, возникают новые подобласти устойчивых и неустойчивых колебаний, не имеющие своих аналогов в пределе несжимаемой жидкости. Представленные в седьмой главе результаты получены в работах [29]—[31].

В восьмой главе диссертации асимптотическая слабонелинейная теория свободного взаимодействия применяется к моделированию процесса преобразования акустических волн на локальных неоднородностях, геометрические размеры которых порядка длины волны собственных колебаний пограничного слоя. Окрестность неоднородности у = ¡ЗЁ(х, г) описывается при Моо < 1 системой уравнений и краевых условий

ди ди ди) _ д ^ о

дх ду дг ' дх '

ди ди ди ди др д2и

дЬ дх ду дг дх ду2 '

дт дги дю ди) др д2ги

дЬ дх ду дг дг ду2

Р=~

(1 -м^2 7 ? д^^/де ... ^

2ТГ _иоо[{х-02 + {1_М2о){2_Г])2у у -* со : и -> у + А(г,х,г) + аиа , ш 0 ; (23)

х -оо :«-»?/ + аий 0 ; у = /ЗР(х, г) : и = V — ю =0 ,

где аис,, ®Ра — акустичесие составляющие скорости и давления. Форму-

лнровкн краевых задач для первых трех членов разложения по двум малым парамерам, а именно по амплитуде звуковой волны о и высоте неоднородности обтекаемой поверхности /3, приведены в $8.1. Общая теория трехмерных линейных возмущений в плоскопараллельном пограничном слое и свойства дисперсионных соотношений излагается в $$8.2 ,8.3 в предположении о реализации трехпалубной структуры поля скоростей. В $8.4 рассмотрен случай неровности в виде прямолинейной полосы, ориентированной под некоторым углом к набегающему потоку, а в $8.5 — случай неровности в виде волнистости в боковом направлении. Построены нейтральные кривые и вычислен инкремент нарастания генерируемых звуком волн Толлмина-Шлихтинга. Совокупность приведенных в восьмой главе результатов содержится в работах [8],[ 15],[20].

ВЫВОДЫ

1. Реализована идея асимптотического подхода к описанию распространения возмущений в пограничном слое, причем малыми параметрами асимптотических разложений служат отрицательные степени числа Рейнольдса. Оценки амплитуд и пространственно-временных масштабов изучаемых флуктуаций вводятся в терминах упомянутых параметров, причем предположение о больших числах Рейнольдса является естественным как необходимое условие существования исходного пограничного слоя, устойчивость и восприимчивость которого исследуется.

2. Возмущенное поле скоростей в линейной фазе осцилляционного движения обладает трехслойной или пятислойной структурой, если частотно-волновые характеристики пульсаций принадлежат двум ветвям нейтральной кривой либо их окрестностям. Сращивание асимптотических разложений для функции течения в различных подслоях имеет результатом дисперсионное соотношение, из которого следуют как асимптотики нейтральных кривых, так и инкременты роста волн Толлмина-Шлихтинга (точнее, их предельной формы для стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса). Дисперсионные соотношения выведены для задачи устойчивости пограничного слоя несжимаемой жидкости, а также сжимаемого газа, включая трансзвуковой диапазон скоростей внешнего потока. Проанализировано влияние чисел Маха и теплопроводящих свойств поверхности на форму нейтральной кривой.

3. Генерация волн Толлмина-Шлихтинга звуком (составляя частный случай общей проблемы восприимчивости пограничного слоя), является принципиально нелинейным эффектом. В качестве одного из приложений трехпалубной асимптотической теории рассмотрен процесс рассеивания звука на трехмерных локальных неровностях, индуцирующих область свободного взаимодействия. Разложения искомого решения по высоте неровности и амплитуде акустической волны (слабонелинейная теория) в третьем приближении описывает механизм возбуждения волны Толлмина-Шлихтинга.

4. Трехпалубная теория свободного взаимодействия может быть интерпретирована как теория нелинейного критического слоя, нижняя граница которого соприкасается с обтекаемой поверхностью, а оценка его толщины совпадает с аналогичной оценкой вязкого пристеночного подслоя; оба упомянутых подслоя, тем самым, становятся неразличимыми. Увеличение амплитуды возмущений, однако, приводит к тому, что толщина нелинейной области может превысить толщину вязкого подслоя. При определенных порядковых соотношениях, связывающих амплитуду, масштаб длины возмущенной области, характерное время и число Рейнольдса, свободно взаимодействующий погрничный слой приобретает четырехслойную структуру. Развитие возмущений указанного класса описывается уравнением Бюргерса и уравнением Бенджамина-Оно (в зависимости от того, превышает ли число Маха внешнего потока единицу или остается меньше ее).

5. В случае трансзвукового внешнего течения предложена четырехсложная асимптотическая теория, в которой построение возмущенного поля скоростей сводится к решению интегро-дифференциального уравнения относительно зависящей от одной простанственной координаты функции. Упомянутое управляющее уравнение содержит как предельные случаи уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно, осуществляя непрерывный переход к режимам обтекания вне трансзвукового диапазона.

6. В четырехярусной асимптотической теории вязкий пристеночный подслой играет пассивную роль. Движение в нем подчиняется уравнениям Прандтля с градиентом давления, найденным в результате решения интегро-дифференциального уравнения (либо указанным выше нелинейным эволюционным уравнениям). На примере периодического решения в нелинейной области пограничного слоя, расположенной непосредственно над вязким пристеночным подслоем, условие существования в последнем регулярного решения устанавливает связь между параметрами периодической волны.

7. Падение на пограничный слой слабой ударной волны, интенсивность которой, тем не менее, превышает по порядку величины оценки для амплитуд возмущении в трехслойной теории, приводит к реализации асимптотической структуры, в которой выделяется четырехсложная подобласть, описываемая уравнением Бюргерса, а также дополнительные подобласти в окрестностях точек отрыва и присоединения нулевой линии тока к поверхности тела. Решенне распадается на стационарную часть внизу по потоку и непрерывно переходящую в нее нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку.

8. Стационарные локальных неоднородности на обтекаемой поверхности, индуцирующие четырехярусную область свободного взаимодействия и приводящие при ее математическом описании к появлению неоднородного члена в правой части уравнения Бенджамнна-Оно, служат источником периодически зарождающихся солитонов. Процесс генерации солитонов имеет место и в окрестности деформированного участка стенки, ограничивающей распространяющуюся вдоль нее плоскую струю, если геометрические ха-рактерпстикм деформации таковы, что возмущенная область течения описывается уравнением Кортевега-де Врпза.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Жук В. И., Рыжов О. С. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240. N 5. С. 1042-1045.

2. Жук В. И., Рыжов О. С. О решениях дисперсионного уравнения из теории свободного взаимодействия пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. N 5. С. 1085-1088.

3. Жук В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с самонндуцирован-ным давлением на движущейся поверхности // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. N. 2. С. 314-318.

4. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. Internai waves in the boundary layer with the self-induced pressure // J. Mécanique. 1980. V. 19. N. 2. P. 561-580.

5. Жук В. И., Рыжов О. С. Об образовании рециркуляционных зон в пограничном слое на движущейся поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. N 5. С. 3-10.

6. Жук В. И., Рыжов О. С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. N 6. С. 1326-1329.

7. Жук В. И., Рыжов О. С. О свободном взаимодействии пристеночных слоев с ядром течения Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. N. 1. С. 55-59.

8. Жук В. И., Рыжов О. С. Об устойчивости свободно взаимодействующего пограничного слоя // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. С. 552-563.

9. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. Stability and Separation of freely interacting boundary layers // Lecture Notes in Physics. 1981. N. 141. P. 360-366.

10. sK}-k В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263. N. 1. С. 56-59.

11. Жук В. И. О локальных рециркуляционных зонах в сверхзвуковом пограничном слое на движущейся поверхности // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. N. 5. С. 1255-1260.

12. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. N. 6. С. 1328-1332.

13. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N. 4. С. 3-11.

14. Zhuk V. I. On long-wave asymptotic solutions of the Orr-Sommerfeld equation for boundary layer // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium 1984. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1985. P. 723-728.

15. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. On the stability of a compressible boundary layer against three- dimensional disturbances with self-induced pressure gradient // Current Problems in Computational Fluid Dynamics/Eds Be-lotserkovskii О. M., Shidlovski V. P. Moscow: MIR Publishers. 1986. P. 286-307.

16. Жук В. И., Рыжов О. С. Об отрыве сверхзвукового пограничного слоя // Проблемы прикладной математики и информатики. М.: "Наука". 1987. С. 90-103.

17. Жук В. И. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близких к верхней ветви нейтральной кривой // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 3. С. 417-424.

18. Жук В. И., Попов С. П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. N. 4. С. 822-824.

19. Жук В. И. О течении в области свободного взаимодействия около проницаемого участка стенки // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. N. 6. С. 941-945.

20. Жук В. И. О возбуждении волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля с трехмерной неровностью на обтекаемой поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 2. С. 45-51.

21. Жук В. И., Попов С. П. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограничном слое // ПМТФ. 1989. N. 3. С. 101-108.

22. Popov S. P., Zhuk V. I. Investigation of nonlinear waves in boundary layers based on Burgers and Benjamin-Ono equations // Soviet Union -Japan Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk, 1988. / Proceedings. 3. Ed. P. I. Chushkin, V. P. Korobeinikov. Moscow, 1989. P. 142-148.

23. Жук В. И., Попов С. П. О решениях неоднородного уравнения Бенджамина-Оно // ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29. N. 12. С. 1852-1862.

24. Жук В. И., Попов С. П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса, Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза // Математическое моделирование. 1989. Т. 2. N. 7. С. 96-109.

25. Жук В. И. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока // ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31. N. 11. С. 1716-1730.

26. Жук В. И. .Асимптотическая модель замкнутой срывной зоны в сверхзвуковом потоке // Известия РАН. МЖГ. 1992. N 2. С. 76-84.

27. Zhuk V. I. Soliton disturbances in a transonic boundary layer // International Workshop on Advances in Analitical Methods in Aerodynamics. Program and Abstracts. Poland. 1993. P. 31-32.

28. ЖукВ. И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 68-78.

29. Жук В. И. Бифуркация верхней ветви нейтральной кривой для пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. N. 1. С. 130-147.

30. Жук В. И. Бифуркация верхней ветви нейтральной кривой и неединственность области неустойчивости пограничного слоя // Доклады РАН. 1994. Т. 335. N. 6. С. 725-728.

31. Жук В. И. О форме нейтральной кривой, замыкающей область неустойчивости пограничного слоя // Доклады РАН. 1995. Т. 344. N. 5. С. 615-618.

В.И. Жук

Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя

Редактирование и корректура автора

Подписано в печать 15.04.98 Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 1,6. Усл.-печ.я. 1,6 Ткраж 100 экз. Заказ 32. Цена договорная

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ РАН 117333, Москва, ул. Вавилова, 40

¡I n

- -¿-L.

/ < в> >..,.■ / у .. ' I

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

на правах рукописи УДК 533.6.12

Жук Владимир Иосифович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПОГРАНИЧНОГО слоя

Специальность: 01. 02. 05 — механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.........................................................................................................................6

Глава I. Многоярусная асимптотическая структура свободно взаимодействующего пограничного слоя

$ 1.1. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое

с самоиндуцированным давлением..................................................................47

$ 1.2. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным

давлением..........................................................................................................55

$ 1.3. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного

слоя в несжимаемой жидкости.........................................................................66

Глава II. Асимптотическая четырехпалубная модель замкнутой срывной зоны в сверхзвуковом потоке

$ 2.1. Оценка толщин характерных подобластей течения.........................................70

$ 2.2. Редукция задачи к совместному решению уравнения

Бюргерса и системы уравнний Прандтля........................................................72

$ 2.3. Асимптотическая картина течения при х сю .

Переход к трехпалубной структуре поля скоростей........................................84

$ 2.4. Асимптотическая картина течения при х -4- —оо...........................................87

Глава III. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой

$ 3.1. Асимптотические разложения в основной части

пограничного слоя и в критическом слое........................................................89

$ 3.2. Асимптотика нижней ветви нейтральной

кривой при 11е —>■ оо..........................................................................................93

$ 3.3. Асимптотика верхней ветви нейтральной

кривой при Ее —^ оо.........................................................................................97

$ 3.4. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близких к верхней ветви

нейтральной кривой.........................................................................................102

Глава IV. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке

$ 4.1. Асимптотическая структура основной части пограничного

слоя для трансзвукового диапазона скоростей..............................................113

$ 4.2. Внешняя область свободного взаимодействия................................................117

$ 4.3. Солитоны в трансзвуковом пограничном слое...............................................121

$4.4. Роль вязкого поде доя в случае периодических

по пространству нелинейных волн.................................................................123

$ 4.5. Переход к числам Маха, отличающимся от единицы

на конечную величину......................................................................................126

Глава V. Решения уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега--де Вриза, описывающие нелинейное развитие возмущений в пограничных слоях и процессы рождения солитонов

$5.1. Многослойная асимптотическая картина течения в струе несжимаемой жидкости, ограниченной снизу

плоским экраном...............................................................................................128

$5.2. Пример течения, описываемого уравнением Бенджамина-Оно

с неоднородной правой частью.........................................................................132

$ 5.3. Генерация солитонов на стационарной

неоднородности поверхности............................................................................136

$ 5.4. Задача о вибраторе. Линейное приближение.................................................140

$ 5.5. Нелинейная реакция на гармонические

колебания поверхности..................................................................................145

$ 5.6. Дальнейшие примеры решений уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, иллюстрирующие характерные формы передачи возмущений вверх и вниз по потоку.............................................147

Глава VI. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при до- и трансзвуковых скоростях внешненго потока

$ 6.1. Исходные предположения.............................................................................154

$ 6.2. О поведении функций течения в пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине

в сжимаемом потоке.....................................................................................157

$ 6.3. Решение уравнений для возмущений в основной

толще пограничного слоя.............................................................................159

$ 6.4. Решение в вязком пристеночном подслое....................................................165

$ 6.5. Решение в критическом слое........................................................................169

$ 6.6. Дисперсионное соотношение в случае дозвуковых

скоростей набегающего потока....................................................................175

$ 6.7. Дисперсионное соотношение в случае трансзвуковых

скоростей набегающего потока....................................................................177

$ 6.8. Перекрытие окрестностей верхней и нижней

ветвей нейтральной кривой..........................................................................180

Глава VII. О форме нейтральной кривой, замыкающей область неустойчивости пограничного слоя

$7.1. Дисперсионное соотношение в случае теплоизолированной поверхности при малых числах Маха..................................

184

$7.2. Бифуркация нейтрального решения в случае малых отклонений температуры

от температуры торможения......................................................................187

$ 7.3. О зарождении дополнительных ветвей нейтральной

кривой внутри классической петли неустойчивости.................................193

Глава VIII. О возбуждении волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля с трехмерной неровностью на обтекаемой поверхности

$ 8.1. Слабонелинейная теория генерации волн

Толлмина-Шлихтинга звуком....................................................................199

$ 8.2. Пространственные собственные колебания пограничного слоя с трехъярусной структурой

возмущенного поля скоростей....................................................................203

$ 8.3. Неустойчивость пограничного слоя по отношению

к трехмерным возмущениям......................................................................210

$ 8.4. Трансформация звука в косые волны Толлмина-Шлихтинга на препятствии в виде

наклонной полосы........................................................................................222

$ 8.5. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля

с риблетами..................................................................................................226

ВЫВОДЫ.........................................................................................................................230

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................232

ВВЕДЕНИЕ

Результатом систематических исследований ламинарных течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса явилось построение в конце шестидесятых годов рациональной асимптотической теории, описывающей тонкую структуру решений уравнений Навье-Стокса в областях, где продольные градиенты газодинамических функций не малы и, следовательно, нарушаются условия применимости классических уравнений пограничного слоя Прандтля [1]. Наиболее известным примером течения этого типа служит так называемая область свободного взаимодействия, возникающая в окрестности точки отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности. Термин "свободное взаимодействие" предложен в экспериментальной работе [2] и отражает тот факт, что градиент давления в пограничном слое индуцируется локальным вытесняющим действием на невязкую часть потока самого же пограничного слоя. Другими словами, задачи о вязкой подобласти течения и внешнем невязком потоке не могут быть разделены (как это имеет место в классической теории Прандтля) и должны решаться совместно. Асимптотическая теория стационарного отрыва включает в себя построение решения уравнений Навье-Стокса около точки отделения нулевой линии тока от тела в виде трех асимптотических рядов для слоев течения с разными масштабами толщины, в связи с чем ее иногда называют трехслойной или трехпалубной (the triple-deck structure). В дальнейшем оказалось, что к данному типу принадлежит ряд других течений, рассматриваемых, в зависимости граничных условий, самостоятельно или как важные фрагменты решения нелокальных краевых задач.

Ведущая свое начало от пионерских работ [3],[4] по отрыву от гладкой поверхности сверхзвукового пограничного слоя, а также работ [5],[6] о течении несжимаемой жидкости около задней кромки пластины, нелинейная трехслойная теория свободного взаимодействия в своих многочисленных приложениях позволила глубже понять природу тех особенностей [7], которые, как правило, возникают в рамках основанного на уравнениях Прандтля с предписанным градиентом давления классического подхода, свидетельствуя о необходимости его пересмотра.

Теория отрыва от гладкой поверхности пограничного слоя несжимаемой жидкости развита в [ 8 ], в соответствии с которой в точке отрыва реализуется условие Бриллюэна-Вилля [9], причем возвратное течение появляется в области свободного взаимодействия. Возникающая нетривиальная краевая задача для окрестности точки отрыва решена численно в [ 10],[ 11 ].

Трудность отмеченных здесь задач об отрыве от гладкой поверхности обусловлена тем, что размеры области свободного взаимодействия никак не связаны с вносимыми через граничные условия масштабами длины, а являются функциями только числа Рейнольдса. Аналогичное замечание относится также и к теории отрыва на подвижной поверхности [12]. В то же время широкий класс течений в окрестности различного рода препятствий, лежащих на дне пограничного слоя, соответствует режиму свободного взаимодействия при определенных сочетаниях параметров препятствий (их поперечных и продольных размеров) и числа Рейнольдса [ 13 ],[ 14].

Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [15]—[18]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [19] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с двухслойной структурой [20]—[23].

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [ 24 ], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям

основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [25], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, который взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [26], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам даления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [27]—[31]. В частности, исследованный механизм передачи возмущений вверх по потоку предсказывает, что несимметричная деформация стенок порождает нелинейное свободное взаимодействие выше по потоку на расстояниях, масштаб которых существенно превышает толщину канала.

Уравнения трехмерного пограничного слоя рассмотрены в [ 28 ],[ 29 ] при описании вязкой пристеночной подобласти течения в круглой трубе с несимметрично возмущенной формой стенки. Что касается внешних течений, то обобщение трехпалубной теории свободного взаимодействия на случай обтекания вязким потоком с двумерным невозмущенным пограничным слоем трехмерного препятствия содержится [32], где соответствующая краевая задача для несжимаемой жидкости решена в линеаризованном варианте. Предположение о слабых возмущениях использовалось также в [33] для иной геометрии трехмерного течения. Связывающее неизвестное давление и функцию смещения линий тока условие взаимодействия в виде двойного интеграла Коши-Гильберта приобретает сравнительно простой вид в спектральном пространстве, поэтому вычислительная процедура, основанная на применении псевдоспектрального подхода, оказалась эффективной при исследования нелинейного режима обтекания трехмерной неровности [34].

Нестационарная форма трехпалубной теории свободного взаимодействия предусматривает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [35],[36]; зависимость от времени включена в уравнения

пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [25]. Однако начало исследований, в которых присутствие времени в уравнениях трехпалубной схемы трактуется не как модификация некоторой известной теоретической концепции, а как адекватный способ описания нового класса течений со свободным взаимодействием, положено в работах [37]—[39]. Построенное в [38] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны подтвердило предположение о существовании нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных.

Общие свойства выведенного в [ 38 ] дисперсионного соотношения исследованы в [40]—[42]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [43]—[45], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой; таким образом, как отмечается в [38], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра).

Найденное в [ 46 ] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [38]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [3],[4]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [ 47 ] как специфическая форма потери устойчивости.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [ 48 ]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную, систему внутренних волн. Показано, что возмущения параметров газа затухают по экспоненциальному закону как вверх, так и вниз по потоку от источника.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [49] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следова�