Некоторые задачи теории пограничного слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

КРЕЧЕТНИКОВ РУСЛАН ВИТАЛЬЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена на кафедре аэродинамики факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Липатов Игорь Иванович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Жук Владимир Иосифович доктор физико-математических наук, профессор Башкин Вячеслав Антонович

Ведущая организация: Институт Гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева, СО АН России, Новосибирск

Защита состоится «¿2% 2003 г.

в/^ часов на заседании Диссертационного совета К212.156.06 в Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московская обл., Институтский пер., д. 9, Главный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МФТИ.

Авторефереат разослан 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К212.156.06:

кандидат физико-математических наук Марина Владимировна Березникова

Общая характеристика работы

Актуальность. Концепция и теория пограничного слоя (ПС), развитая Людвигом Прандтлем и представленная в исторической работе [14] в 1904 году, устранила основные недостатки теории невязких течений, достигшей к тому времени достаточного развития, чтобы быть используемой на практике. Имея значительный эффект на развитие аэродинамики, теория пограничного слоя Прандтля привела к созданию математического аппарата - метода сингулярных возмущений и метода сращиваемых асимптотических разложений. Позднее, фундаментальное свойство уравнений пограничного слоя, - образование сингулярности в точке обнуления трения [5], было понято и разрешено с помощью развития идеи взаимодействия пограничного слоя и внешнего течения Стюартсоном [15], Нейландом [12] и Месситером [11].

Несмотря на успех данной теории, уравнения пограничного слоя оставляют много нерешенных фундаментальных задач, как (а) точные решения различных краевых задач; (Ь) существование и устойчивость решений при большом уровне внешних возмущений; (с) корректная формулировка краевых нестационарных задач, что например связано с определением зон зависимости и влияния.

Можно существенно увеличить список проблем, но мы ограничили наше внимание только вышеперечисленными .

Цель работы. Данная диссертация посвящена изучению и решению вышесформулированных задач, а именно (а) нахождению и исследованию (полу) автомодельных решений трехмерных пристенных струйных течений, по классификации [2] относящихся к парадоксам скрытых инвариантов. Это соответствует ситуации, когда, казалось бы, в условиях физически "разумной

постановки" не хватает данных для определения всех параметров решения. Выход из положения заключается в указании нетривиальных скрытых инвариантов, полностью определяющих главные члены асимптотики решения.

(Ь) изучению нестационарного пограничного слоя при большой амплитуде Л возмущений во внешнем потоке, который был рассмотрен в ряде работ исследователей г

для возмущений типа стоячей волны [1, 3] или при наложенной стоячей волне на равномерный поток [4]. ^

Даже в случае |Л| < 1 при внешнем граничном условии типа стоячей волны было обнаружено [4] появление рециркуляционных зон на некотором расстоянии от носка пластины в течение периода колебаний. В пользу отрыва ПС говорит, например, энергетическое рассмотрение в работе [7], согласно которому в случае бегущей волны, распространяющейся в направлении основного движения, напряжение Рейнольдса способствует переходу энергии от основного течения к возмущенному. В то же время существует задача о нестационарном ПС на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания [б], постановка которой аналогична рассматриваемой в плане периодичности внешних граничных условий по продольной координате х. Решение этой задачи говорит о возможности затягивания отрыва потока в зависимости от амплитуды и частоты колебаний цилиндра. Целью нашего исследования было объединение свойств периодичности внешнего течения по продольной координате с волновым числом а и по ,

времени для определения влияния возмущений внешнего течения типа затухающих при х —► +оо бегущих волн и бегущих волн постоянной амплитуды на течение внутри ПС.

(с) рассмотрению процессов распространения возмущений в двумерных и трехмерных сверхзвуковых пограничных слоях в зависимости от температурного фактора, градиента давления и процессов вдува и отсоса. Целью являлся анализ характеристического условия [8, 9, 10] и его обобщение на случай параболизованных уравнений Навье-Стокса.

Научная новизна работы и практическая ценность.

(1) Широко распространено мнение о том, что получение автомодельных решений всегда связано с анализом размерностей, т.е. с подобием. Разумеется, если известна математическая формулировка задачи, то вместо анализа размерностей можно установлением инвариантности задачи относительно той или иной группы непрерывных преобразований сократить число аргументов функций. Как правило, дело обстоит иначе: существуют обширные классы задач, для которых хотя и имеет место автомодельная промежуточная асимптотика, но эту асимптотику нельзя получить из исходной постановки путем применения соображений размерностей. Форма автомодельных переменных определяется в этих случаях из решения нелинейных задач на собственные значения и, иногда, даже из некоторых дополнительных соображений.

В данной работе предлагается использовать теоретико-групповые методы для решения нелинейных задач на собственные значения, соответствующих парадоксам скрытых инвариантов.

(2) Предметом исследования являлось периодическое течение в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущения типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке. Решение определялось с помощью численного метода,

аналогичного [4]. Исследованы общие свойства данного типа течений и, в частности, идентефицирована область устойчивости в плоскости (а, Л), соответствующая нелинейному анализу устойчивости.

(3) Известно, что характеристиками уравнений пограничного слоя являются линии, перпендикулярные обтекаемой поверхности [19, 20]. Этот вид характеристик связан со старшими производными, описывающими процессы диффузии, которые характеризуются бесконечными скоростями распространения

возмущений в направлении, перпендикулярном к поверхности. Для того, чтобы описать процессы распространения возмущений в плоскостях, параллельных обтекаемой поверхности, необходимо анализировать субхарактеристики, т.е. характеристики системы уравнений пограничного слоя без старших производных, что позволило нам определить скорости возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях как функции температуры и скорости на стенке.

Роль эффектов распространения возмущений может быть важной в задачах восприимчивости и устойчивости, в традиционном анализе которых указанные эффекты обычно не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Полученные результаты показывают, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить не только течение в основной части пограничного слоя, но и в дозвуковом подслое, в котором собственно и распространяются возмущения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на 7 конференциях (см. список в конце) и различных семинарах, в том числе в Санкт-Петербургском государственном университете,

Вычислительном центре РАН и университете Колорадо. Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 журнальных статей (см. список в конце) и тезисы 7 конференций.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 82 страницах и состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 22 рисунка и 64 ссылки на литературные источники.

Содержание работы. Во "введении" приводится краткий исторический обзор развития теории пограничного слоя и некоторые современные проблемы, требующие решения в силу фундаментальной и практической ценности. В главе "современные проблемы теории пограничного слоя" формулируются задачи рассматриваемые в диссертационной работе, их обоснование и обзор литературы. Глава "конкретные приложения" посвящена решению сформулированных задач:

1. Скрытые инварианты в задачах о двумерных и трехмерных пристенных струях.

В рамках постановки уравнений пограничного слоя Прандтля, описывающей двумерные струи

ди ди д2и

ду ду2 ди ^ дь ^ дх ду

с граничными условиями

у = 0 : и = и = 0, у — оо : и = 0.

находится автомодельное решение в виде:

Параметер автомоделъности к определяется с помощью метода производящих функций и метода сохраняющихся токов, что дает значение к = 3/4. В результате закон сохранения имеет вид

Также исследуется невырожденная задача и поведение решения на бесконечности.

Аналогичная постановка в рамках трёхмерных уравнений Прандтля, описывающая трехмерные струи, приводит к замене переменных:

Ф1 = (77, С) , Ф2 = их1~кч> (г), С) , V = -к, С =

где к и I параметры автомодельности. Применение метода производящих функций и сохраняющихся токов, а также анализ в плоскости растекания дает допустимый спектр собственных значений:

Также проведен численный расчет профилей в плоскости симметрии (см. Рис. 1). Наконец рассматривается пример трехмерной струи, описывающейся в рамках двумерных уравнений, когда решение имеет вид:

Подобный предыдущим пунктам анализ был проведен в рамках трехмерных уравнений параболизованного Навье-Стокса, описывающих трехмерные струи. Групповой линейный анализ приводит к следующей замене переменных

Ф1 = их1'к/ (??1 О , Ф2 = ич> {11, С) • VI = Р^х~2кд (7/, С),

и = и(х, у, г), т = /(х, г)и(х, у, г).

и

Рис. 1: Профили продольной скорости и = /Г) в плоскости симметрии

где г] = у/хк, ( = г/хк и параметр автомодельности в результате найденного закона сохранения 1Х = О,

+оо +оо

I = ¿¿-ъ I ¿С I /, [(1 - + (1 - *)/ - ксь + <РС] <1ъ

-оо О

оказывается к = 2.

Также, в рамках эмпирической степенной модели, известной как закон Освальда-дэ-Ваелэ с экспонентой п > 1, показано, что в двумерном случае пристенные струи в реологических жидкостях не существует локальных законов сохранения. В трехмерном случае при автомодельном представлении решения в виде

<=(1+п) —1 ^(2п —1) — (п — 1)

и = х п-2 /и(г),0, У = Х —» /„(»7>С)>

Ю = Х «-2 /и,[Г},0,Р=Х "-2 /р (?7, С),

У г г

найдено, что закон сохранения Iг = 0. где

I = х

2 к+-

С + ОС

'■Ч-ос

dc

vfu ~ fufv +

dfu "-'dfu

dij дг)

drj.

что приводит к единственно возможной экспоненте к = ■^4- Очевидно, п —> 1 соответствует к —> 2, как уже было найдено в §3.1.3.

2. Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений типа бегущей волны

В данном параграфе рассматривается следующая задача (в физических переменных)

1

^j/t ^у^ху ^х^уу l^^yyy

(1)

у = 0: Фг = % = 0,

у = оо : Фу = Ue (1 + Ae_te cos Д), А = кх - ut.

Система координат выбрана так, что ее начало совпадает с передней кромкой полубесконечной пластины; ось х направлена вдоль нее, а ось у, соответственно, направлена перпендикулярно оси х. При записи системы использованы следующие обозначения : Ф - функция тока , р - давление, р - плотность, v - кинематическая вязкость, А - амплитуда, Ь - коэффициент затухания, к -волновое число, и - частота. Также, для удобства, вводятся переменные Блазиуса:

t = U>t, Г} = ул/Ue/vX, £ = л/шх/Ue, Ф = \/'vUеЖ<£>(£, Г], t).

Далее формулируется численный метод решения аналогичный [4] и основанный на предположении об установившемся периодическом решении

+оо

Основное внимание уделено правильному учету зон зависимости и влияния в силу присутствия возвратных течений.

На основании критериев Гольдштейна, основанного на вычислении вертикальной составляющей скорости е = у-и Вонга, согласно которому появление предельных линий тока в плоскости (х, I):

с!х

-=■ = [¡еАгЦр^,

соответствует отрыву ПС на основании аналогии трехмерного стационарного ПС двумерному нестационарному [21], исследуются предотрывные характеристики (см. Рис. 2) и сравниваются с асимптотическим результатом для малой амплитуды:

Л ~ а~2'\

Также, численное исследованы общие свойства течения для бегущих волн постоянной амплитуды и затухающих бегущих волн.

3. Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях

В рамках постановки для трехмерного пограничного слоя рассматривается обтекание плоской полубесконечной пластины с острой кромкой, расположенной под нулевым углом атаки к набегающему гиперзвуковому потоку вязкого теплопроводного газа в декартовой системе координат (ось X лежит в плоскости пластины и перпендикулярна передней кромке, ось Z также лежит в плоскости пластины и параллельна передней кромке, а ось У - перпендикулярна плоскости обтекания).

Математическая постановка задачи для сжимаемого газа при предельном переходе Мж —> оо. Яе^ —> оо имеет

0.2 0.3 0.4 0.5 0 6 0.7 0.8

Рис. 2: Область устойчивости

ВИД

7-1 др д рЬи = ———+

27 дх ду ^ _ 7 ~ 1 др ^ д 2-у дг ду

7 дt ду

ди дги

"Ту,

цдН с

_ —- + //-

а ду а

ду

1

(2)

ди дю\ ду ду)

др дри дру дрги дЬ дх ду дг с граничными условиями:

у = 0 : и = 0, у = 0,и> = О, Н = Нш] у = оо:и=1,гу = ъие, Н ■ Не.

(3)

Систему дополняют уравнение состояния р = рГ, выражение для полной энтальпии Н = -р + и2 + ги2,

и условие взаимодействия /(р) = (§£ + + |?)>

полученное из формулы касательного клина (касательной поверхности), справедливой как для сильного, так и для слабого и умеренного взаимодействий:

1 ррг - 1

/(Р) =

М„

72 + ^(РРг-1)

1/2"

Выводится характеристическое условие на поверхности г, £), связанной с искомым давлением г^):

оо оо

7-1 Г (Н-и2-ки2)2 л [,тт 2 2ч_, п -Ц— / 7---т—\-'т-т-г^йу- / {Н—и —ю )(1у = О,

о о

где а; - угол между осью X и направлением возмущений в плоскости XX, и а - модуль скорости распространения возмущений.

Аналогичный предыдущему пункту анализ проводится для модельной задачи обтекания полубесконечного прямоугольного двугранного угла, расположенного под нулевым углом атаки к набегающему потоку и описывающегося трехмерными параболизованными уравнениями Навье-Стокса. Соответственно, средняя скорость распространения возмущений в плоскости симметрии и ее окресности определяется из условия на субхарактеристической поверхности, по форме совпадающего со случаем двумерного пограничного слоя. Предлагается численный метод решения задач с рециркуляционными зонами и с его помощью расчитываются скорости распространения возмущений вверх и вниз по потоку в зависимости от температурного фактора и вертикальной компоненты скорости на стенке для двумерного пограничного слоя. В трехмерном случае рассчитана диаграмма направленности как функция температурного фактора и угла скольжения для крыла бесконечного размаха (см Рис. 3).

Рис. 3: Диаграмма направленности скоростей распространения возмущений

Заключение

(a) Найдены скрытые инварианты в задачах о пристенных струях в рамках двумерных и трехмерных уравнений Прандтля, а также трехмерных лараболизованных уравнений Навье-Стокса для ньютоновских и реологических жидкостей, что позволило определить вид автомодельных решений для данного класса задач;

(b) Исследованы общегидродинамические свойства и существование решений в параметрической плоскости (а, Л) для периодического течения в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущений типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке;

(c) Проведено исследование распространения возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях и найдена зависимость скорости распространения возмущений от температурного фактора и влияния вдува и отсоса.

Список литературы

[1] В. А. Алексин, А. М. Кудряков, Нестационарный двумерный пограничный слой, Институт проблем механики АН СССР. Препринт 452, Москва, 1990.

[2] М. А. Гольдштик, В. Н. Штерн, Н. И. Яворский, Вязкие течения с парадоксальными свойствами, Новосибирск: Наука, 1989.

[3] P. W. Duck, R. J. Bodonyi, Oscillatory flow over a semiinfinite flat plate at low Reynolds numbers, Computers & Fluids, 1988, vol.16, pp. 311-326.

[4] P. W. Duck, A numerical method for treating time-periodic boundary layers, J. Fluid Mech., 1989, vol 204, pp. 549-561.

[5] S. Goldstein, On laminar boundary-layer flow near a position of separation, 1948, Q. J. Mech. Appl. Mech. Math., vol. 1, pp. 43-69.

[6] M. А. Кравцова, А. И. Рубан, О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания, Ученые зап. ЦАГИ, 1985, т. 16, с. 6.

[7] С. С. Lin, Some physical aspects of the stability of parallel flows, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash., 1954, vol. 40, pp. 741-747.

[8] И. И. Липатов, О распространении возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях, Прикладная математика и механика, 1996, т. 60. вып. 3, с. 457-464.

[9] I. I. Lipatov, Disturbances propagation in supersonic boundary layers, IUTAM Symposium on Nonlinear In-

stability and Transition in Three-Dimensional Boundary Layers: Proc. D. Kluver Acad. Publ., pp. 369-378.

10] I. I. llpatov, Internal Shock Formation in the Laminar Boundary Layer due to Supercritical Subcritical Transition, AIAA paper, 1995, no. 95-2217.

11] a. f. messiter, Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate, 1970, SIAM J. Appl. Math., vol. 18, pp. 241-257.

12] В. Я. НЕЙЛАНД, К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, Изв. АН СССР МЖГ, 1969, т. 4, с. 53-57.

13] В. Я. Нейланд, Некоторые задачи асимптотической теории сверхзвуковых течений вязкого газа, Труды ЦАГИ, 1977, т. 1529, с. 1-125.

14] L. Prandtl, Uber Fiissigkeitsbeuiegung bei sehr kleiner Reibung, In: A. Krazer, Verh. Ill Intern. Math. Kongr., Heidelberg, Teubner, Leipzig, 1905, pp. 484-491.

15] K. Stewartson, On the flow near the trailing edge of a flat plate, Mathematika, 1969, vol. 16, pp. 106-121.

16] В. M. Тешуков, Длинные волны в завихренной баротропной жидкости, ПМТФ, 1994, т. 35, с. 17-26.

17] А. М. Vinogradov, Symmetries and conservation laws of partial differential equations: basic notions and results, Acta App. Math., 1989, vol. 15, pp. 3-21.

18] В. С. Владимиров, И. В. Волович, Законы сохранения для нелинейных уравнений, ДАН СССР, 1984, т. 279, pp. 843-847.

.9] К. С. Wang, On the Determination of the Zones of Influence and Dependence for Three-Dimensional

Boudary-Layer Equations, J. Fluid Mech, 1971, vol. 48, pp. 397-404.

[20] К. C. Wang, Aspects of Multitime Initial-Value Problem Originating From Boundary Layer Equations, Phys. Fluids, 1975, vol. 18, pp. 951-955.

[21] К. C. Wang, On the Current Controversy about Unsteady Separation. Numerical and physical aspects of aerodynamic flows, 1982, vol. 1.

Журнальные публикации по теме диссертации:

1. Р.В. Кречетников, И.В. Виноградов, Распространение возмущений в гиперзвуковых пограничных слоях, Проблемы нелинейной динамики, Москва, 1996, с. 15-28.

2. Р.В. Кречетников, И.И. Липатов, Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях, Динамика непрерывной среды, Институт гидродинамики им. Лаврентьева, т. 113, 1998, с. 93-98.

3. И.И. Липатов, Р.В. Кречетников, Распространение возмущений в трехмерных сверхзвуковых пограничных слоях, Прикладная механика и техническая физика, т. 40, 1999, с. 461-470.

4. Р.В. Кречетников, И.И. Липатов, Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений, Ученые записки ЦАГИ, 2000, т. 31, с. 27-40.

5. R.V. Krechetnikov, I.I. Lipatov, Hidden invariances in problems of 2D and 3D wall jets for Newtonian and non-Newtonian fluids, SIAM Journal of Applied Mathematics, vol. 62, 2002, pp. 1837-1855.

Конференционные доклады:

1. Р.В. Кречетников, И.В. Виноградов, Распространение возмущений в гиперзвуковых пограничных слоях, конференция ФАЛТ МФТИ, Жуковский, декабрь 1996.

2. Р.В. Кречетников, О влиянии внешних возмущений на ламинарный пограничный слой, конференция ФАЛТ МФТИ, Жуковский, декабрь 1996.

3. Р.В. Кречетников, Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений, International Symposium on Continuum Mechanics Models, Жуковский, 17-24 августа, 1997.

4. Р.В. Кречетников, И.И. Липатов, Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях, Математические проблемы механики сплошной среды, Новосибирск, 15-19 декабря, 1997.

5. Р.В. Кречетников, Скрытые инварианты в задачах о двумерных и трехмерных пристенных струях, конференция ЦАГИ "Современные проблемы аэрокосмической науки", май 1998.

6. R.V. Krechetnikov, I.I. Lipatov, Hidden invariances in problems of 2D and 3D wall jets for Newtonian and non-Newtonian fluids, XXIX Summer School Advanced Problems in Mechanics, June 21-20, 2001, St. Petersburg, Russia.

7. I.I. Lipatov, R.V. Krechetnikov, A.I. Lipatov, Disturbances propagation in supersonic boundary layers, 53 Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics, November 19-21, 2000, Washington DC.

Кречетников Руслан Витальевич

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Подписано в печать 11.09.2003. Формат 60x84^. Усл. печ. л. 1,1. изд. л. 1,1. Тираж 55 экз. Заказ N ср -35"

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

(45(7 Р145 13

1 ВВЕДЕНИЕ

2 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

2.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики

2.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя .И

2.3 Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях.

3 КОНКРЕТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1 Скрытые инварианты в задачах о двумерных и трехмерных пристенных струях.

3.1.1 Двумерная струя, описываемая в рамках уравнений пограничного слоя Прандтля.

3.1.2 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений пограничного слоя Прандтля.

3.1.3 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений параболизованного Навье-Стокса

3.1.4 Пристенные струи в реологических жидкостях.

3.2 Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений типа бегущей волны

3.2.1 Формулировка задачи.

3.2.2 Численный метод решения

3.2.3 Исследование предотрывных характеристик

3.2.4 Результаты численного расчета.

3.3 Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях.

3.3.1 Трехмерный пограничный слой.

3.3.2 Трехмерные течения, описываемые параболизованными уравнениями Навье-Стокса.

3.3.3 Численный анализ.

Концепция и теория пограничного слоя была развита Людвигом Прандтлем и представлена в исторической работе [46] в 1904 году. К тому времени теория невязких течений уже достигла достаточного развития, чтобы позволить расчет распределения давления на аеродинамическом профиле. Однако эта теория имела несколько существенных недостатков: отсутствие сопротивления и предсказание подъемной силы только при постулировании циркуляции, то есть не говоря ничего о ее происхождении. Эти проблемы были устранены теорией пограничного слоя Прандтля, согласно которой решение для невязкого внешнего течения и решение для пограничного слоя определяются независимо и сращиваются. Первое решение приводит к распределению давления и подъемной силе, в то время как решение в пограничном слое дает распределение трения.

Теория пограничного слоя Прандтля имела и имеет значительный эффект на развитие аерогидродинамики, а также привела к созданию математического аппарата - метода снгулярных возмущений и метода сращиваемых асимптотических разложений, связанных в частности с именами Каплун [27], Лагерстром [27], Ван Дайк [55].

Фундаментальным свойством теории пограничного слоя Прандтля является образование сингулярности в точке обнуления трения, что не позволяет продолжить решение за эту точку [16]. Однако независимое развитие идеи взаимодействия пограничного слоя и внешнего течения Стюартсоном [51], Нейландом [40] и Месситером [38] привело к созданию multi-deck теории, позволяющей продолжить решение за сингулярность Гольдштейна.

Несмотря на вышеупомянутый успех асимптотического подхода в теории пограничного слоя, математическое обоснование далеко от своего завершения. Например,

• Насколько оправдано рассмотрение пограничного слоя как ламинарной структуры, если приближение пограничного слоя справедливо при Re — оо?

• Что раньше возникает в пограничном слое: неустойчивость или сингулярность?

Ввиду того, что сегодня являются широко доступными компьютерные коды для расчета полных уравнений Навье-Стокса, естественным является вопрос о целесообразности дальнейшего развития теории пограничного слоя:

• Структура пограничного слоя есть не просто математическая концепция, но эффективное описание физической сути явления.

• Определяющая система уравнений, будучи значительно проще уравнений Навье-Стокса, не зависит от числа Рейнольдса, поэтому достаточен только один расчет.

Несмотря на успех данной теории, уравнения пограничного слоя оставляют много нерешенных фундаментальных задач, как

• точные решения различных краевых задач;

• существование и устойчивость решений при большом уровне внешних возмущений;

• корректная формулировка краевых нестационарных задач, что например связано с определением зон зависимости и влияния.

Можно существенно расширить круг проблем, но мы ограничили наше внимание только вышеперечисленными.

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики

Понятие законов сохранения, здесь используемое, ассоциируется с уравнениями, описывающими физическое явление, но не с самим явлением как таковым. По этой причине может случиться, что различные уравнения, описывающие ту же самую физическую ситуацию, имеют различные группы законов сохранения. Например, подходы Эйлера и Лагранжа к той же самой непрерывной среде могут приводить к различным множествам законов сохранения, поскольку переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа является нелокальным преобразованием. Также еще раз необходимо отметить, что результаты §3.1 были получены в рамках теории локальных законов сохранения. Однако, рассмотрение различных типов нелокальностей может, в принципе, породить новые сохраняющиеся токи согласно гипотезе [58, 59| о существовании полного набора нелокальных законов сохранения в достаточно малой окресности любой регулярной точки уравнений в частных производных. Мы можем дать следующее неформальное обоснование этого предложения. Рассмотрим эволюционную систему уравнений в частных производных Ш = L(x,U)U, xeCl

Если область 17 конечна и нелинейных оператор L(x, U) не содержит сингулярностей, то можно применить метод Галеркина, сходимость которого была исследована Келдышем [31] и позднее другими авторами, ос и = ^2u„(t)ip„(x),

71=1 что приводит к бесконечно-мерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений du . . чТ = F(u), и = {щ,и2,.) ■

Рассмотрим обрубание этой системы, так что и принадлежит некоторому множеству U в га-мерном Евклидовом пространстве. Показано [6], что существует окресность регулярной точки и, такая что обрубленная система имеет т ~ 1 функционально независимых первых интегралов, которые называются локальными первыми интегралами. Вспоминая, что в случае ортогонального базиса v?n(x),

U, <рп) ип(ч = 7

4>п, <Рп) мы можем заключить о нелокальности соответствующих законов сохранения для исходного вектора решения U. Сходимость метода Галеркина позволяет взять предел га —оо. В этом случае множество законов сохранения счетно. Но в случае (полу)бесконечной области О, можно ожидать "непрерывный" и "дискретный" спектр законов сохранения.

В дополнение, следует упомянуть другой открытый вопрос о соответствии множества решений, полученных путем определения скрытых инвариантов, множеству решений ассоциированной задачи на собственные значения.

4.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя

Предметом исследования являлось периодическое течение в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущения типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке. Решение определялось с помощью численного метода, аналогичного [22]. Исследованы общие свойства данного типа течений и, в частности, получен график устойчивости в плоскости

С точки зрения классической теории гидродинамической устойчивости, найденные решения представляют собой основные состояния системы, инфинитезимальная устойчивость которых должна быть дополнительно исследована в зависимости от числа Рейнольдса - бифуркационного параметра, отсутствующего в постановке пограничного слоя Прандтля. В этом плане необходимым является применение теории Флоке подобно [9, 10].

4.з Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях

Роль эффектов распространения возмущений может быть важной в задачах восприимчивости и устойчивости, в традиционном анализе которых указанные эффекты обычно не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Полученные результаты показывают, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить не только течение в основной части пограничного слоя, но и в дозвуковом подслое, в котором собственно и распространяются возмущения.

Проведенный анализ основан на раздельном анализе характеристик и субхарактеристик уравнений пограничного слоя и параболизованного Навье-Стокса. Анализ же истинных характеристик указанных уравнений крайне затруднен в силу существенной нелинейности последних, хотя в этом направлении делаются определенные попытки. Аналогичный анализ, в плане исследования распространения возмущений, проводится В.М. Тешуковым [53] в рамках приближения мелкой воды и т.д. Общими чертами обоих классов задач являются завихренность, наличие нелинейного конвективного оператора, приближение тонкого слоя и интегродифференциальный характер задач. Аналогом взаимодействия в случае длинных волн в баротропной жидкости является уравнение поперечного импульса ру = —р. Получаемое характеристическое условие имеет аналогичный комплекс в знаменателе под знаком интеграла (и — а)2, что подтверждает физическую аналогию рассматриваемых явлений.

1. н. И. акатнов, Распространение плоской ламинарной струи жидкости вдоль твердой стенки, Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, техническая гидромеханика), 5.- М.: Машгиз, 1953, с. 24-31.

2. В. А. Алексин, А. М. Кудряков, Нестационарный двумерный пограничный слой, Институт проблем механики АН СССР. Препринт 452, Москва, 1990.

3. S. С. Anco, G. Bluman, Derivation of conservation laws from nonlocal symmetries of differential equations, J. Math. Phys., 1996, v. 37, pp. 23612375.

4. В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Радионов, Применение теоретика-групповых методов в гидродинамике, Новосибирск: Наука, 1994.

5. D. Arnal, j. С. juillen, Etude experimental et theoreique de la transition de la cauche limit, Rech. Aerosp, 1977, v. 2, pp. 75-88.

6. V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, The MIT press, 1980.

7. G. I. barenblatt, Similarity, Self-Similarity, and Intermediate Asymp-totics, Consultant Bureau, New York, 1979.

8. W. blaschke, Topological Differential Geometry, University of Chicago Press, 1932.

9. L. Brevdo, T. J. bridges, Absolute and convective instabilities of spatially periodic flows, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 1996, v. 354, pp. 1027-1064.

10. L. brevdo, T. J. bridges, Absolute and convective instabilities of temporally oscillating flows, Z. angew. Math. Phys., 1997, v. 48, pp. 290-309.

11. S. Brown, K. Stewartson, A Non- Uniqueness Of the Hypersonic Boundary Layer, Q. J. Mech. Appl. Math., 1975, v. 28, pp. 75-90.

12. S. N. Brown, H. К. Cheng, C. J. Lee, Inviscid-viscous interaction on triple deck scales in a hypersonic flow with strong wall cooling, J. Fluid Mech. 1990, v. 220, pp. 309-337.

13. G. caviglia, Composite variational principles and the determination of the conservation laws, J. Math. Phys., 1988, v. 29, pp. 812-816.

14. M. B. Glauert, The wall jet, J. Fluid Mech., 1956, v. 1, pp. 625-643.

15. N. goldenfeld, 0. Martin, Y. Oono, Intermediate Asymptotics and Renormalization Group Theory, J. Sci. Comput., 1989, v. 4, pp. 355-372.

16. S. Goldstein, On laminar boundary-layer flow near a position of separation., Q. J. Mech. Appl. Mech. Math., 1948, v. 1, pp. 43-69.

17. M. А. Гольдштик, В. H. Штерн, Н. И. Яворский, Вязкие течения с парадоксальными свойствами, Новосибирск : Наука; 1989.

18. P. W. duck, A numerical method for treating time-periodic boundary layers, J.Fluid Mech., 1989, v. 204, pp. 549-561.

19. H. П. Еругин, Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, Минск: Наука и техника, 1979, с. 743.

20. F. J. Higuera, P. D. Weidman, Natural convection far downstream of a heat sourse on a solid wall, J. Fluid Mech., 1988, v. 361, pp. 25-39.

21. N. H. IBRAGIMOV, Transformation Groups Applied to Mathematical Physics, D. Reidel, Dordrecht, 1985.

22. Э. камке, Справочник no обыкновенным дифференциальным уравнениям, Москва: Наука, 1976.

23. S. kaplun, Low Reynolds number flow past a circular cylinder, J. Math. Mech., 1957, v. 6, pp. 595-603.

24. S. kaplun, P. A. lagerstrom, Asymptotic expansions of Navier-Stokes solutions for small Reynolds numbers, J. Math. Mech., 1957, v. 6, pp. 585593.

25. Ю. С. Качанов, В. В. Козлов, В. Я. Левченко, Возникновение волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое при воздействии внешних возмущений, Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, т. 5, с. 85-94.

26. Ю. С. Качанов, В. В. Козлов, В. Я. Левченко, В. П. Максимов, Преобразование внешних возмущений в волны ПС, В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т.9, Новосибирск, 1978, с. 49-59.

27. М. А. Кравцова, А. И. Рубан, О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания, Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16.

28. С. С. Lin, Some physical aspects of the stability of parallel flows, Proc. Nat. Acad. Sci., Wash., 1954, v. 40, pp. 741-747.

29. И. И. ЛИПАТОВ, О распространении возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях, Прикладная математика и механика, 1996, т. 60, с. 457 464.

30. I. I. LlPATOV, Disturbances propagation in supersonic boundary layers, IUTAM Symposium on Nonlinear Instability and Transition in Three-Dimensional Boundary Layers: Proc. Kluver Acad. Publ., pp. 369-378.

31. I. I. LlPATOV, Internal Shock Formation in the Laminar Boundary Layer due to Supercritical Subcritical Transition, AIAA paper, 1995, no. 95-2217.

32. A. F. MESSITER, Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate, 1970, SIAM J. Appl. Math., v. 18, pp. 241-257.

33. F. K. MOORE, On the separation of the unsteady laminar boundary layer// Boundary Layer Reseach, ed. H. Gortler.- Berlin: Springer-Verlag, 1958, pp. 296-311.

34. В. Я. НеЙЛАНД, К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, Изв. АН СССР МЖГ, 1969, т. 4, с. 53-57.

35. В. Я. НЕЙЛАНД, Некоторые задачи асимптотической теории сверхзвуковых течений вязкого газа, Труды ЦАГИ, 1977, т. 1529, с. 1125.

36. Е. Noether, Invariante Variationsprobleme, Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Got-tingen, Math.-Phys. Kl., 1918, pp. 235-257.

37. P. J. OLVER, Application of Lie Groups to Differential Equations, Springer, New York, 1986.

38. Л. В. ОВСЯННИКОВ, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Москва: Наука, 1978.

39. Т. J. PEDLEY, Two-dimensional boundary layers in a free stream which oscillates without reversing, J. Fluid Mech., 1972, v. 55, pp. 359-383.

40. L. Prandtl, Uber Fiissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, In: A. Kraz-er, Verh. Ill Intern. Math. Kongr., Heidelberg, Teubner, Leipzig, 1905, pp. 484-491.

41. H. L. rogler, E. Reshotko, Disturbances in a boundary layer introduced by a low intensity array of vortices, SIAM J.Appl.Mech, 1975, v.28, pp. 431— 462.

42. N. rott, Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point, Quart. Appl.Math., 1956, v. 13, pp. 444-451.

43. H. Schlichting, Laminare Strahlausbreitung, Z. Angew. Math. Phys., 1933, v. 13, p. 260.

44. K. Stewartson, Further solution of the Falkner-Skan equation, Proc. Cambridge Phil. Soc., 1954, v. 50, pp. 454-465.

45. K. Stewartson, On the flow near the trailing edge of a flat plate, Mathe-matika, 1969, v. 16, pp. 106-121.

46. С. K. W. Там, Excitation of instability waves in a two-dimensional schear layer by sound, Manuscript, 1981.

47. В. M. тешуков, Длинные волны в завихренной баротроппой жидкости, ПМТФ, 1994, т. 35, с. 17-26.

48. A. M. Vinogradov, Integrability and symmetries, Nauka, Moscow, 1987, pp. 279-290.

49. В. С. Владимиров, И. В. Волович, Законы сохранения для нелинейных уравнений, ДАН СССР, 1984, т. 279, pp. 843-847.

50. К. С. Wang, On the Determination of the Zones of Influence and Dependence for Three-Dimensional Boudary-Layer Equations, J. Fluid Mech, 1971, v. 48, pp. 397-404.

51. К. c. wang, Aspects of Multitime Initial-Value Problem Originating From Boundary Layer Equations, Phys. Fluids, 1975, v. 18, pp. 951-955.

52. К. c. wang, On the Current Controversy about Unsteady Separation. Numerical and physical aspects of aerodynamic flows, v. 1, 1982.

53. У. Д. ХеЙЗ, P. Ф. ПРОБСТИН, Теория гиперзвуковых течений газа, Москва: ИЛ., 1962.