Правильные разбиения пространств постоянной гауссовой кривизны и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Метод Делоне-Сандаковой

§1. Основные понятия, определения и задача.

§2. Теорема Делоне (основная теорема теории стереоэдров)

§3. Метод пустого шара.

§4. Разбиения Дирихле-Вороного.

§5. Об одной теореме Сандаковой.

§6. Приведенная область пространства параметров задачи

§7. Условие пустоты шара.

§8. Нахождение звезд ЬА и фазовых областей для них.

Глава II. Разыскание всех сортов Делоне разбиений Дирихле-Вороного для второй триклинной группы

§1. Метод белых граней.

§2. 102 типа расчерток трехмерных параллелоэдров.

§3. Пространство параметров бирешетки.

§4. Области типов расчерток.

§5. Молнии. Срабатывание молний.

§6. О схождениях стереоэдров в ребре.

§7. Разбиение области типа расчертки на области сортов Делоне разбиений {5}

§8. Условные стереоэдры.

§9. Нахождение полного набора условных стереоэдров для заданной области Д типа расчертки.

§10. Вывод всех общих разбиений {5} для группы Р1.

§11. Список стереоэдров 5 для группы Р1.

1. Общий список стереоэдров.

2. Дополнительные условия для распознавания стереоэдров.

Глава III.

Правильные разбиения пространств и их приложения

§1. О системах центров действия разбиений

Дирихле-Вороного.

§2. Ненормальные разбиения трехмерного евклидова пространства на выпуклые параллелоэдры и их симметрия.

§3. О конечности числа типов компактных стереоэдров

Дирихле-Вороного.

§4.0 континууме числа типов некомпактных стереоэдров

Дирихле-Вороного.

§5. Об областях приведения Вороного,

Венкова и Минковского.

§6. Неизгибаемость квадрильяжа кренделя.

§7. Примитивные полициклы: критерий.

Диссертация посвящена исследованию правильных разбиений (преимущественно разбиений Дирихле-Вороного) пространств постоянной гауссовой кривизны (преимущественно евклидова пространства), а также приложениям правильных разбиений в кристаллографии, физике, химии,теории изгибаемости полиэдральных поверхностей, вложенных в трехмерное евклидово пространство.

Любое правильное разбиение связано с некоторой федоровской группой, транзитивно действующей на стереоэдры этого разбиения, причем с одной и той же федоровской группой могут быть связаны многие различные разбиения. Эти различия могут сказываться не только в метрическом отношении, но и в отношении комбинаторного устройства разбиения.

В трехмерном евклидовом пространстве существует всего 219 абстрактно неизоморфных федоровских групп, найденных независимо друг от друга Е.С.Федоровым и А.Шенфлисом. Известно много различных разбиений, связанных с каждой отдельно взятой федоровской группой. Среди всех правильных разбиений наиболее изучены разбиения на параллелоэд-ры, связанные с федоровской группой, состоящей из одних параллельных переносов. Е.С.Федоров нашел все типы трехмерных параллелоэдров [1, 2], а именно: один общий - 14-гранник и четыре предельных - додекаэдр с четырьмя 6-угольными гранями, параллелограмматический додекаэдр, б-угольная призма и параллелепипед.

В 1961 г. появилась работа [3], в которой Б.Н.Делоне впервые доказал теорему конечности, а именно, что число комбинаторных типов правильных нормальных разбиений п-мерного евклидова пространства на выпуклые стереоэдры является конечным.

Ближе всего к доказательству этой принципиальной теоремы был в свое время Г.Минковский, который доказал, что число (п — 1)-мерных граней п-мерного параллелоэдра в нормальном разбиении на параллелоэдры не превосходит 2(2П — 1). Б.Н.Делоне обнаружил, что его методом, предложенным в работе [3], доказывается конечность числа различных граней самого многогранника разбиения как выпуклого многогранника не только для нормальных и ненормальных правильных разбиений, но даже для любого разбиения, выпуклые многогранники которого распадаются на конечное число «решеток» таких многогранников.

А.М.Заморзаев в работе [4] дал примеры правильных ненормальных разбиений трехмерного евклидова пространства бесконечно многих комбинаторных типов. Эти примеры сразу показывают, что теорема Делоне о конечности комбинаторных типов правильных разбиений для п > 3 справедлива, вообще говоря, только для нормальных разбиений на выпуклые многогранники и что поэтому, в противовес двухмерному случаю, эта теорема не носит чисто топологического характера.

Для химии, физики, кристаллографии особо важны разбиения Дирихле-Вороного. Эти разбиения нормальны и, следовательно, при любом п существует лишь конечное число различных комбинаторных типов правильных разбиений Дирихле-Вороного. Теорию правильных разбиений Дирихле-Вороного для первой триклинной группы построил Г.Ф.Вороной в работе [5]. Он также доказал, что любое примитивное (общее) нормальное разбиение для этой группы есть аффинный образ разбиения Дирихле-Вороного для некоторой такой группы. О.К.Житомирский [6] ослабил условия примитивности Вороного, однако для произвольного числа измерений п эта теорема без таких ограничений не доказана и не опровергнута. Она доказана в общем виде Б.Н.Делоне для п — 4. Кроме того, доказав, что любой четырехмерный параллелоэдр имеет хоть одну замкнутую реберную зону, Б.Н.Делоне нашел все типы четырехмерных параллелоэдров. Правда, один пропущенный в его таблице [7] четырехмерный параллелоэдр заново найден в настоящей работе.

В работе [8], исходя из метода пустого шара, предложенного Б.Н.Делоне в 1924 г. и оказавшегося очень полезным как для теории разбиений, так и для теории покрытий, и одной теоремы Н.Н.Сандаковой, построен алгорифм, дающий возможность написать для каждой заданной федоровской группы алгебраические неравенства, отделяющие друг от друга те области (в конечном числе) приведенной части пространства параметров задачи, для которых сохраняется один и тот же сорт соответствующего разбиения Дирихле-Вороного, причем если область известна, то и сорт разбиения может быть найден. Тем самым общая задача о разыскании всех сортов правильных разбиений Дирихле-Вороного (а тем самым и всех комбинаторно-топологических типов этих разбиений) п-мерного евклидова пространства сведена к следующей алгебраической задаче: существует ли хоть одна точка пространства параметров, удовлетворяющая той или иной системе алгебраических равенств и неравенств. Метод Зайденберга-Тарского (см., например, [9]) доказывает существование алгорифма, с помощью которого последняя задача может быть решена в конечном числе действий. Однако трудно представить себе реальное использование алгорифма Зайденберга-Тарского (даже с привлечением вычислительных машин) для многих систем из большого количества равенств и неравенств со многими переменными.

В силу этого Б. Н. Делоне поставил перед автором задачу хотя бы для одной из трудных трехмерных федоровских групп хоть каким-либо способом вручную решить задачу о правильных разбиениях Дирихле-Вороного до конца, т. е. получить полную таблицу всех сортов Делоне правильных разбиений Дирихле-Вороного для такой группы.

В работе [10, 28] при помощи метода, который можно назвать методом мультирешетки, в таком окончательном виде эта задача решена для второй триклинной группы - С = Р1, т. е. группы, состоящей из параллельных переносов какой-либо трехмерной решетки и отражений в точках решетки, подобной предыдущей и вдвое гуще ее. Эта группа самая трудная в смысле числа независимых параметров правильной системы точек {Ао\, ибо их девять - шесть метрических параметров группы й — Р1 и три координаты повторяемой точки А. Но зато эта группа простая в том смысле, что правильная система точек ей соответствующая, является бирешеткой, т. е. состоит только из двух метрически одинаковых и параллельно расположенных трехмерных решеток.

Результат исследований оказался довольно неожиданным. Даже одних общих разбиений Дирихле-Вороного различных сортов Делоне для группы Р1 оказалось 15 (для группы параллельных переносов общее разбиение одно: один примитивный трехмерный параллелоэдр). Специальных разбиений Дирихле-Вороного различных сортов Делоне для этой группы всего 165 (для группы параллельных переносов их четыре). Среди 15 общих, например, только два разбиения различных сортов Делоне обладают одним и тем же комбинаторно-топологическим устройством (следовательно, с точки зрения только комбинаторно-топологического устройства разбиения для группы Р1 существует всего лишь 14 общих разбиений). Оказалось, что пять из общих стереоэдров для группы РI представляют собой 20-гранники, пять других - 18-гранники, два - 16-гранникии, три - 14-гранники. Специальные стереоэдры для этой группы есть с любым числом граней от 5 до 19.

В главе I подробно излагается теорема Делоне 1961 г. - основная теорема теории стереоэдров - о конечности числа типов нормальных правильных разбиений п-мерного евклидова пространства И/1 на выпуклые стереоэдры, а также метод Делоне-Сандаковой нахождения типов стереоэдров Дирихле-Вороного, который в свою очередь основан на методе пустого шара, введенном Б.Н.Делоне в 1924 г. Попутно получено упрощение доказательства теоремы Шенфлиса о существовании в любой федоровской группе подгруппы параллельных переносов. Дано подробное описание всех многообразий Браве трехмерных решеток, в каждом из них указаны все подмногообразия Браве. Обнаружено, что разбиение конуса положительных квадратичных форм К на пирамиды, эквивалентные области приведения Минковского, не является нормальным (пирамиды смежны не по целым граням; независимо от автора этот же результат получил П.Таммела). Следует отметить следующий интересный результат (см. лемму в п. 3 §5 главы I):

Плоскость первых двух последовательных минимумов трехмерной решетки всегда лежит в слое параллелоэдров Дирихле-Вороного.

По сравнению с известной теоремой о непроницаемости слоя параллелоэдров, соответствующего замкнутой реберной зоне, мы имеем значительное усиление этой теоремы для слоя из тех параллелоэдров Дирихле-Вороного, центры которых расположены в плоскости первых двух последовательных минимумов трехмерной решетки.

В главе II создан метод, с помощью которого найдены все разбиения Дирихле-Вороного на фундаментальные области для второй триклинной группы Р1 в трехмерном евклидовом пространстве R3.

Орбита {Ас} точки А относительно федоровской группы G = Р1 представляет собою бирешетку, состоящую из двух метрически равных и параллельно расположенных друг относительно друга точечных решеток. Стереоэдр Дирихле-Вороного S точки А в бирешетке строится поэтапно. Сначала построится область Дирихле-Вороного точки А в своей точечной решетке. Это параллелоэдр Дирихле-Вороного D с центром в точке А. Затем строятся все параллелоэдры Дирихле-Вороного D' в другой точечной решетке рассматриваемой бирешетки. Параллелоэдр D пересекается с некоторыми параллелоэдрами D' разбиения {D1} по центрально-симметричным кускам (многогранникам). Разбиение параллелоэдра D на такие куски называется расчерткой. Центр А параллелоэдра D соединяется с центром А' параллелоэдра D', пересекающегося с параллелоэдром D по трехмерному многограннику, и проводится через средину отрезка АА' перпендикулярная ему плоскость, т.е. плоскость Вороного р. Половинки кусков расчертки, расположенные по ту же сторону от плоскостей Вороного р, что и точка А, составляют искомый стереоэдр S. Грани стереоэдра 5, которые являются частями граней параллелоэдра D, назовем черными гранями, а те грани, которые расположены в плоскостях р, назовем белыми гранями стереоэдра.

Как оказалось, сорт Делоне разбиения {S} однозначно определяется комбинаторным устройством реберной сетки стереоэдра и окраской его граней в черный и белый цвет.

Существует всего 180 сортов Делоне (172 комбинаторных типа) разбиений Дирихле-Вороного на фундаментальные области для второй триклинной группы Р1 в трехмерном евклидовом пространстве R3; среди которых 15 общих (14 комбинаторных типов) и 165 специальных (158 комбинаторных типов) разбиений.

В 1908 г. Г.Ф.Вороной нашел 3 типа примитивных параллелоэдров, в

1938 г. Б.Н.Делоне предъявил 48 типов непримитивных параллелоэдров, в 1968 г. автор диссертаци обнаружил 1 завершающий классификацию четырехмерный параллелоэдр (см. [10] и [28]).

§1 главы III посвящен исследованию различных систем центров действия произвольного фиксированного разбиения Дирихле-Вороного. В работе [32] создан метод нахождения всех вакантных положений центра действия внутри области Дирихле-Вороного. Этот метод применим ко всем разбиениям Дирихле-Вороного пространств постоянной гауссовой кривизны без всяких ограничений, правильность разбиения при этом не требуется. Реально найдены все вакантные положения центра действия каждого планигона Дирихле-Вороного в евклидовой плоскости.

Найболее простым является случай разбиения пространства на фундаментальные области относительно коксетеровской группы, когда и фундаментальные многогранники, и их центры действия (в качестве центра действия может быть взята любая внутренняя точка) размножаются одними и теми же движениями. В любом другом разбиении многогранники и их центры действия размножаются разными движениями. Однако,

Пусть некоторое разбиение пространства постоянной гауссовой кривизны на компактные многогранники является разбиением Дирихле-Вороного и пусть оно является правильным. Тогда оно обладает правильной системой центров действия.

Все вакантные положения центра действия планигона Дирихле-Вороного заполняют в нем некоторое выпуклое множество М (банк центров действия). Это множество можно представить в виде пересечения исходного планигона Dq со всеми его образами относительно некоторой группы вра- * щения Я, т.е. М — Пг^гАъ Ы £ Н, (см. [32, стопка планигонов]). Все планигоны из стопки могут быть получены и другим способом, исходя из складывания разбиения гармошкой (см. [32]), и, что самое важное, при этом способе центры действия планигонов будут снесены в одну и ту же точку X плоскости R2, где X £ Do- Обратными вращениями группы Н все планигоны стопки возвращаются в исходное положение Dq. А точка

X, не совпадающая с главным центром (такая точка X существует, если в разбиении все вершины четновалентны, см.[32, предложение 3]) действия Со, напротив, размножится. При этом все ее образы характеризуют положения образов центров действия всевозможных планигонов данного разбиения, снесенных вместе со своими центрами действия в положение Dq. Все образы центров действия теперь расположены на одной окружности с центром Со, группа Н действует на них транзитивно. Если при этом Н ~ G, где G один раз транзитивная группа симметрии разбиения, то Н один раз транзитивна на этих точках окружности. Т.е. все эти точки расположены в разных местах исходного планигона D0. Это означает, что центр действия каждого планигона расположен в своем месте.

Любая бирететка треугольников, углы которых линейно независимыми над нолем рациональных чисел Q, обладает апериодической системой центров действия.

Следующие три параграфа связаны с обобщением теоремы Делоне. В случае любой дискретной группы движений пространства постоянной гауссовой кривизны с компактной фундаментальной областью, являющейся коксетеровской группой или обладающей коксетеровской подгруппой конечного индекса, а также любой дискретной группы движений сферы или группы параллельных переносов евклидова пространства, теорема конечности справедлива даже без условия нормальности разбиения. Как показал А.Д.Александров, параллелоэдрами ненормального разбиения трехмерного евклидова пространства могут быть только гексагональная призма и параллелепипед. Однако не было известно, как они декорированы.

В §2 главы III (см. [85]) найдены все декорированные призмы и параллелепипеды, принимающие участие во всех ненормальных разбиениях трехмерного евклидова пространства на выпуклые параллелоэдры.

Существует всего 45 классов ненормальных разбиений трехмерного евклидова пространства R3 на выпуклые параллелоэдры.

Эта классификация является несколько более дробной, чем классификация по сортам Делоне. Последнее обстоятельство связано с тем, что для ненормального разбиения важно было указать не только то, какой комбинаторный тип разбиения, какова группа симметрии разбиения и как группа симметрии разбиения связана с типом разбиения, но и какие из граней декорированного параллелоэдра оказались расположенными в одной плоскости.

Имеется всего 8 комбинаторных типов разбиений трехмерного евклидова пространства К3 на выпуклые параллелоэдры. Из них 5 типов реализуются нормальными разбиениями на федоровские параллелоэдры. Оставшиеся 3 (из 8) комбинаторных типа разбиений трехмерного евклидова пространства В,3 на выпуклые параллелоэдры не могут быть представлены нормальными разбиениями. Их параллелоэдры являются декорированными параллелепипедами. Эти декорированные параллелоэдры в разбиении являются десятигранниками: 10 = Ю4, 10 = 46 + 64, 10 = 28 + 46 + 44. Ячейки разбиений, дуальных этим трем разбиениям, не являются выпуклыми. Все три эти разбиения имеют один и тот же тип смежности [69]. (Тип смежности однозначно определяется числом граней параллелоэдра в разбиении, декорированного в случае ненормального разбиения.)

В случае евклидова пространства условие нормальности излишне не для каждой группы, о чем свидетельствует пример А.М.Заморзаева [4]. Этот пример удобнее предъявить в другой модификации, задавая бесконечно много ненормальных разбиений для некоторой федоровской группы с фиксированными параметрами.

В §3 главы III (см. [33]) фактически для случая пространства Лобачевского доказана следующая теорема:

Для любой дискретной группы движений пространства постоянной гауссовой кривизны произвольной размерности, обладающей компактной фундаментальной областью, существует лишь конечное число комбинаторных типов правильных разбиений Дирихле-Вороного1.

Применительно к евклидову пространству эта теорема становится несколько уже теоремы Делоне, так как федоровская группа может обладать

1Мои неоднократные попытки заменить в этой теореме разбиение Дирихле-Вороного на произвольное нормальное разбиение были безуспешными до 1985 г., см. стр. 147. неучтенными здесь непрерывными параметрами.

В §4 главы III (см. [86]) обнаружен континуум2 типов правильных разбиений Дирихле-Вороного для дискретной группы Н(р) движений трехмерного евклидова пространства R3 с фундаментальной областью бесконечного объема. Автор диссертации использовал метод Н.П.Долбилина [71]. А точнее, созданный для двумерного тора на трехмерной сфере метод Н.П.Долбилина был дословно перенесен на бесконечный круговой цилиндр в трехмерном евклидовом пространстве. При описании типов правильных разбиений Дирихле-Вороного (а точнее, при описании дуальных им разбиений Делоне) используется также и так называемый алгорифм цепных дробей [70].

Группа движений Н(р) порождена двумя образующими - винтовым движением с данной осью ОХ и вращением конечного порядка р > 3 вокруг этой же оси ОХ.

Каждой величине примитивного угла вращения винтовой оси соответствует свой комбинаторный тип соответствующего правильного разбиения Дирихле-Вороного. Это и приводит к наличию континуума типов.

Для нашей орбиты гораздо легче исследовать устройство не разбиения Дирихле-Вороного, а дуального ему разбиения Делоне. Правда, многогранники Делоне разбивают не все пространство, а только выпуклую оболочку точек орбиты.

При построении многогранников Делоне строятся в первую очередь те из них, центры пустых шаров которых расположенны на оси цилиндра. Это исходный слой. Следующий слой многогранников Делоне примыкает к исходному и состоит из одних симплексов. По две грани каждого из этих симплексов уже имеются в качестве граней многогранников Делоне из исходного слоя. Если формально развернуть точечную орбиту из цилиндра на накрывающую плоскость, то указанные два треугольника дадут параллелограмм, а переход к двум другим треугольным граням симплекса представляет собою разделение параллелограмма на два тре

2Следует отметить, что континуум достигнут здесь за счет изменения параметров группы. угольника другой диагональю (флип); это эвристическое предположение Н.П.Долбилина удалось подтвердить аналитически. Так получим второй слой. Точно так же строится третий слой, опять состоящий из одних симплексов, и т.д. Это построение однозначно связано с алгорифмом цепных дробей (в цепную дробь следует разложить угловой коэффициент вертикальной оси, параллельной оси цилиндра).

Всем различным приведенным значениям угла поворота винтовой оси соответствуют различные комбинаторные типы разбиений Делоне выпуклой оболочки орбиты точки относительно группы Н(р), а также различные типы дуальных им разбиений Дирихле-Вороного.

Следующие три параграфа посвящены приложениям в кристаллографии, химии, теории изгибаемости полиэдральных поверхностей.

В §5 главы III (см. [27]) для трехмерных решеток найдена точная область приведения по Вороному. Она задана 16 системами равенств и неравенств между приведенными параметрами Зеллинга.

Задание точной области приведения является важным для кристаллографии, когда возникает вопрос об однозначности установки кристалла. Разные исследователи обычно могут рассматривать одну и ту же кристаллическую структуру в различных приведенных реперах. Порою они могут даже не подозревать, что структура одна и та же. Такое недоразумение может возникнуть в том случае, когда приведенный репер соответствует граничной точке области приведения. Выход из этой ситуации один: найти все приведенные реперы в исследуемой решетке, а среди них выбрать тот, который удовлетворяет одной из указанных выше 16 систем. Такой репер только один. В нем одинаковые структуры описываются одинаково.

Для получения точной области приведения взят следующий общий принцип. Берем полиэдр, склеенный из конечных многогранников, и какую-то группу линейных отображений его на себя. Требуется найти в полиэдре точную фундаментальную область группы. Для этой цели строим барицентрическое подразделение полиэдра. Выделяем полный набор попарно неэквивалентных относительно группы барицентрических симплексов всех измерений. Объединение внутренностей всех симплексов набора представляет собою точную фундаментальную область, в которой имеется ровно по одному представителю из каждой точечной орбиты. Этот принцип был применен к полиэдру Вороного.

В §6 главы III (см. [34]) удалось найти приложение одного из най-более простых правильных разбиений трехмерного евклидова пространства - разбиения на единичные кубы, смежные по целым граням - т.е. стандартной кубической решетки. Приложение найдено в области теории изгибаемости полиэдральных поверхностей, очень далекой, на первый взгляд, от теории правильных разбиений. Использование кубической решетки в этом вопросе оказалось очень полезным. Отклонение вложения поверхности кренделя в R3 от стандартной кубической решетки задается так называемым графом стыковки, который состоит из всех тех ребер поверхности, склеенной из единичных евклидовых квадратов, в которых двугранный угол между плоскостями смежных квадратов не равен ни ни 7г, т.е. этот угол не такой, как двугранный угол между плоскостями квадратов из двумерного остова кубической решетки. Для квадрильяжа кренделя доказана пустота графа стыковки. Это означает, что ¿^дриль-яж кренделя, вложенный в трехмерное евклидово пространство, на самом деле вложен в двумерный остов кубической решетки. Следовательно,

Квадрипьяжное вложение произвольного квадрильяжа кренделя в трехмерное евклидова пространство R3 является неизгибаемым.

В §7 главы III для приложения в химии используются правильные разбиения (г3) сферы S2, евклидовой плоскости R2, плоскости Лобачевского Н2 на правильные r-угольники с углами у- при вершинах. Это связано с интересом химиков к так называемым поли-г-циклам. Поли-г-цикл можно определить как клеточное разбиение диска, которое является прообразом при НбПр&рЫйном локально гомеоморфном клеточном отображении диска в правильное разбиение сферы S2, евклидовой плоскости R2 или плоскости Лобачевского Н2. В работе [35] найден критерий, которому должен удовлетворять некоторый планарный граф, чтобы существовала такая его реализация в плоскости, которая представляет собою поли-г-цикл.

Плоский граф G вместе со всеми его внутренними гранями назовем примитивным поли-г-циклом и обозначим его через П(С?), если выполнены следующие три условия: (1) граница внешней грани (7, совпадающая с границей П(Сг), есть простой цикл; (2) все внутренние грани ограничены простыми циклами одной и той же длины г; (3) пересечение любых двух внутренних граней есть либо одно ребро, либо пусто.

Имеет место следующий критерий:

Отличный от реберного остова тетраэдра, куба, додекаэдра планарный граф допускает на плоскости реализацию примитивного поли-г-цикла П(Сг), как всей конечной части плоской карты с условиями (1), (2), (3) тогда и только тогда, когда (а) каждое ребро принадлежит одному или двум простым циклам кратчайшей длины г; (6) те ребра графа (7, которые принадлежат одному г-циклу, составляют простой цикл; (с) пересечение любых двух г-циклов графа должно быть только одно ребро, либо пусто; {¿) число всех вместе взятых вершин и г-циклов графа превышает число ребер ровно на 1.

1. Е.С.Федоров. Начала учения о фигурах. С-Пб., 1885; М., 1953. 411с.

2. Е.С.Федоров. Симметрия правильных систем фигур. С-Пб., 1890.

3. Б. Н.Делоне. Доказательство основной теоремы теории стерео-эдров. ДАН СССР, 1961, 138, N 6, 1270-1272.

4. А.М.Заморзаев. О ненормальных правильных разбиениях эвклидова пространства. ДАН СССР, 1965, 161, N 1, 30-32.

5. Г.Ф.Вороной. Собрание сочинений, т. 2. Киев, 1952, стр. 23.9-268.

6. О.К.Житомирский. Verschärfung eines Satzes von Voronoi. Ж. Ленинградского матем. об-ва, 1931.

7. Б.Н.Делоне. О правильных разбиениях 4-мерного пространства. Изв. АН СССР, ОФМН, 1929, N 1, 79-110; 1929, N 2, 147-164.

8. Б.Н.Делоне, Н.Н.Сандакова. Теория стереоэдров. Труды МИАН, 1961, 64, 28-51.

9. A.Tarsky. The completness of elementary algebre and geometry. Paris, 1967.

10. М.И.Штогрин. О правильных разбиениях Дирихле для второй три-клинной группы. ДАН СССР, 1968, 183, N 4, 793-796.

11. Б.Н.Делоне. Теория планигонов. Изв. АН СССР, серия матем. 1959. 23, N 3. 365-386.

12. Б.Н.Делоне. Геометрия положительных квадратичных форм. УМН, 1937, вып. 3, 16-62; 1938, вып. 4, 102-164.

13. Б.Н.Делоне, Н.Н.Падуров, А.Д.Александров. Математические основы структурного анализа кристаллов. М.-Л., 1934. 328с.

14. A.Schoenflies. Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leipzig, 1891.

15. Z.Bieberbach. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. Math. Ann., 1911, TO, 297-336.

16. B.Delaunay. Sur la sphere vide. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1934, N 6, 793-800.

17. Б.Н.Делоне, С.С.Рышков, М.И.Штогрин. Об одной теореме Санда-ковой из теории положительных квадратичных форм. Матем. заметки, 1967. 1, вып. 3. 253-262.

18. H.Zassenhaus. Uber einen Algorithmus zur Bestimmunge der Raumgruppe Comm. math. Helv., 1948, 21, 117-141.

19. Б.Н.Делоне. К теории приведения. Кристаллография, 1960, 5, вып. 4, 501-507.

20. Б.А.Венков. О приведении положительных квадратичных форм. Изв. АН СССР. 1940. 4, N 1. С.37-52.

21. Р.В.Галиулин, С.С.Рышков. О некоторых основных понятиях геометрической кристаллографии. В сб. «Проблемы кристаллологии». Изд-во МГУ, 1971.

22. H.Minkowski. Diskontinuitätsbereich für arithm. Äquivalenz. J. Reine Angew. Math., 1905, 129, 220-274.

23. International tables for X-ray. Crystallography, Vol. 1. Birmingham, 1952.

24. E.Steinitz. Vorlesungen über die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente Topologie. Berlin, 1934.

25. П.Таммела. К теории приведения положительных квадратичных форм. ДАН СССР, 1973, 209, N 6, 1299-1302.

26. М.И.Штогрин. Тип Браве решетки и полная группа движений, совмещающих решетку с собой. Проблемы кристаллологии (Сборник, посвященный 80-летию ак. Н.В.Белова). 1971. С.299-314.

27. М.И.Штогрин. Об областях приведения Вороного, Венкова и Мин-ковского. ДАН. 1972. Т.207, N5. С.1070-1073.

28. М.И.Штогрин. Правильные разбиения Дирихле-Вороного для второй триклинной группы. Труды МИАН. 1973. Т.123. С.3-128.

29. М.И.Штогрин. О классификации четырехмерных решеток по Браве, Вороному и Делоне. ДАН СССР. 1974. Т.218, N3. С.528-531.

30. Б.Н.Делоне, М.И.Штогрин. Упрощение доказательства теоремы Шенфлиса. ДАН СССР. 1974. Т.219, N1. С95-98.

31. Б.Н.Делоне, М.И.Штогрин. Об одной демонстрационной модели, наглядно показывающей изменение симметрии решетки при изменении самой решетки. Проблемы современной кристаллографии. Сборник памяти А.В.Шубникова. Москва, 1975. С.27-42.

32. М.И.Штогрин. О центрах действия планигонов. Математические заметки. 1988. Т.44, вып.2. С.262-278.

33. М.И.Штогрин. О конечности числа типов стереоэдров Дирихле-Вороного. Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям. Изд. МГУ. Москва, 1989. С.115-116.

34. М.И.Штогрин. Неизгибаемость квадрильяжа кренделя. УМН. 1999. Т.54, N5. С.183-184.

35. М.И.Штогрин. Примитивные полициклы: критерий. УМН. 1999. Т.54, вып.6. С.177-178.

36. Э.Б.Винберг. О теореме Шёнфлиса-Бибербаха. ДАН СССР, 1975. Т.221, N 5. С.1013-1015.

37. Selling. Uber die binäre und ternäre quadratische Formen. J. reine und angew. Math. 1874. 77. 143.

38. L.Sohncke. Die regelmässigen ebenen Punktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung. J. reine und angew. Math. 77 (1874) 47-101.

39. G.Frobenius. Uber die Unzerlegbarung diskreten Bewegungsgrupppen. Sitz. König. Preus Acad. Wissenschaften. Berlin. 1911.

40. J.Kepler. Harmonice Mundi. Lincii. 1619.

41. A.B.Шубников. К вопросу о строении кристаллов. Изв. имп. Акад. наук. 1916. N 9. С.755-779.

42. F.Laves. Ebeneteilung und Koordinationszahl. Z. für Kristallogr. 1931. Bd. 78. S.208-241.

43. J.Horväth. Über die regulären Mosaiken der hyperbolischen Ebene. Ann. Univ. Sei. Budapest. See. Math. 7 (1964) 49-53.

44. H.Heesch. Reguläre Parketierungsproblem. Köln-Opladen 1968. 68s.

45. B.Grünbaum and G.C.Shephard. The eighty-one types of isohedral tilings in the plane. Math. Proc.Cambridge Philos. Soc. 1977. V.82. P.177-196.

46. Б.Н.Делоне, Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин. Комбинаторная и метрическая теория планигонов. Труды МИАН. 1978. Т.148. С.109-140.

47. В.Grünbaum and G.C.Shephard. Isohedral tilings of the plane by polygons. Comm. Math. Helvetici. 1978. V.53. P.542-571.

48. H.Poincaré. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Math. 1882. 1. 1-62.

49. F.Klein, R.Fricke. Vorlesungen über die Theorie der eliptischen Modulfunk Leipzig. 1890.

50. Г.В.Вульф. Симметрия и ее проявление в природе. М., 1908.

51. Г.Зейферт, В.Трельфалль. Топология. ГОНТИ. 1938. 400с.

52. А.В.Шубников. Симметрия. M.-JL: изд-во АН СССР, 1940.

53. J.J.Burkhardt. Die Bewegungsgruppen der Kristallographie.- Basel. 1947.

54. H.S.M.Coxeter. Regulär Polytopes. Methuen, London. 1947.

55. H.Weyl. Symmetry. Princeton. 1952.

56. L.Fejes Toth. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum. Berlin. 1953.

57. Б.Н.Делоне. К восемънадцатой проблеме Гильберта. В кн. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969.

58. В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 456с.

59. Г.С.М.Коксетер, У.О.Дж.Мозер. Порождающие элементы и определяющие соотношнния дискретных групп. М.: Наука, 1980. 240с.

60. Р.В.Галиулин. Системы Б.Н.Делоне. Кристаллография. 1980. Т.25, вып. 5. С.901-907.

61. Узоры симметрии. Под ред. М.Сенешаль и Дж.Флекса.М.: Мир,1980.

62. Д.Гильберт, С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. М.: Наука,1981. 344с.

63. Р.В.Галиулин. Кристаллографическая геометрия. М.: Наука, 1984. 136с.

64. В.Grünbaum and G.C.Shephard. Tilings and Patterns. New York. 1987.

65. L.Danzer. Local-Global Theorems for Delone-Graphs Periodic-Nonperiodic. Тезисы Международной федоровской конференции, посвященной 100-летию вывода федоровских групп. JL, 1991. С.47.

66. P.F.Ash, E.D.Bolker. Dirichlet Tasselations. Preprint. WheatonColledge, Norton, Massachusets. 1981.

67. P.F.Ash, E.D.Bolker. Recognising Dirichlet Tasselations. Geom. Dedic. 1985. V. 19, N 2. P.175-206.

68. Е.С.Федоров. Правильное деление плоскости и пространства. Серия "Классики науки". JL: Наука, 1979.

69. С.С.Рышков. С-типы n-мерных параллелоэдров. ДАН СССР. 1973. Т.212, N 1. С.46-49.

70. Б.Н.Делоне. Алгорифм разделенных параллелограммов. Известия АН СССР. Серия математичекая. 1947. 11. С.505-538.

71. Н.П.Долбилин. О правильных разбиениях Дирихле сферы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, 1972.72. 2. Харари Ф. Теория графов. М., Мир: 1973.

72. В.С.Макаров. О комбинаторике нормальных правильных разбиений. Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям. МГУ. Москва. 1989. С.100-102;

73. В.С.Макаров. О фундаментальном многограннике дискретной группы движений пространства Лобачевского, его комбинаторике и деформации. Труды МИР АН. 1992. Т.193. С.132-136.

74. В.С.Макаров. Об одном классе двумерных федоровских групп. Изв. АН СССР, сер. матем. 1967. Т.31, N 3. С.531-542.

75. E.Koch. Wirkungsbereichspolyeder und Wirkungsbereichsteilungen zu kubischen Gitterkomplexen mit weniger als drei Freiheitsgraden. InauguralDissertation, Marburg/Lahn, 1972.

76. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Комбинаторные вопросы двумерной модели Изинга. Труды МИАН. 1991. Т.196. С.51-65.

77. Р.В.Галиулин, М.'И.Штогрин. Применение математических методов для выделения сортов кристаллических структур. Математическиеметоды в геологии. Сборник НСО N7, МГУ. 1970. С.28-37.

78. Б.Н.Делоне, Р.В.Галиулин, Н.П.Долбилин, В.А.Залгаллер, М.И.Штог; О трех последовательных минимумах трехмерной решетки. ДАН СССР. 1973. Т.209, N1. С.25-28.

79. Б.Н.Делоне, Р.В.Галиулин, М.И.Штогрин. О типах Браве решеток. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. Москва, 1973. Т.2. С.119-254.

80. Б.Н.Делоне, Р.В.Галиулин, М.И.Штогрин. Теория Браве и ее обобщение на n-мерные решетки. В кн.: Огюст Бравэ. Избранные научные труды. Кристаллографические этюды. Серия "Классики науки". JI. Наука: 1974. С.309-415.

81. Б.Н.Делоне, Н.П.Долбилин, Р.В.Галиулин, М.й.Штогрин. Локальный критерий правильной системы точек. ДАН СССР. 1976. Т.227, N1. С.19-21

82. Б.Н.Делоне, Р.В.Галиулиным, М.И.Штогрин. Современная теория правильных разбиений евклидова пространства. В кн.: Е.С.Федоров. Правильное деление плоскости и пространства. Серия "Классики науки". Л.: Наука, 1979. С.235-260.

83. М.И.Штогрин. Ненормальные разбиения трехмерного евклидова пространства на выпуклые параллелоэдры и их симметрия. Всесоюзный симпозиум по теории симметрии и ее обобщениям. Тезисы доклада. Кишинев. 1980. С.129-130.

84. М.И.Штогрин. О континууме типов трехмерных некомпактных стереоэдров. Тезисы кратких сообщений на Международном конгрессе в Варшаве в 1983 г.: ICM, Warszawa, 1982. Short communications (Abstract), III, Section 4, Geometry. 1983. p.23.

85. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Кубические комплексы в правильных решетках. ДАН. 1986. Т.291, N2. С.277-279.

86. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Проблемы параметризаций циклов по модулю 2 в трехмерной кубической решетке. Изв. АН СССР, сер. матем. 1988. Т.52, N2. С.355-377.

87. Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин. Локальный критерий кристаллической структуры. IX Всесоюзная геометрическая конференция. 20-22 сентября 1988 г. Кишинев. Тезисы сообщений. 1988. С.99.

88. Н.П.Долбилин, М.И.Штогрин. G-типы изогональных разбиений. Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям. Изд. МГУ. 1989. С.97-99.

89. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Квадрильяжи и параметризации решетчатых циклов. Труды МИАН. М. Наука: 1991. Т.196. С.66-85.

90. М.А.Штанько, М.И.Штогрин. О вложении кубических многообразий и комплексов в кубические решетки. УМН. 1992. Т.47, N1. С.219-220.

91. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Кубические многообразия в решетках. Изв. РАН, сер. матем. 1994. Т.58, N2. С.93-107.

92. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Неизгибаемость зо-ноэдров. УМН. 1996. Т.51, вып.2. С.157-158.

93. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. О неизгибаемости полиэдральных сфер с четноугольными гранями. УМН. 1996. Т.51, вып.3. С.197-198.

94. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Неизгибаемость квад-рильяжа сферы. ДАН. 1997. Т.354, N4. С.443-445.

95. M.Deza and M.Shtogrin. Embedding of Skeletons of Voronoi and Delaunay Partitions into Cubic Lattices. Voronoi's impact on modern science. Book II. Kyiv, 1998. pp.80-84.

96. M.Deza and M.Shtogrin. Polycycles. Voronoi conference on analytic number theory and space tilings. Kyiv, September, 7-14, 1998. Abstracts. Kyiv, 1998, pp.19-23.

97. Н.П.Долбилин, М.А.Штанько, М.И.Штогрин. Неизгибаемость квад-рильяжа тора. УМН. 1999. Т.54, N4. С.167-168.

98. М.Деза, М.И.Штогрин. Примитивные полициклы и гелицены. УМН. 1999. Т.54, вып.6. С.159-160

99. Р.В.Галиулин, С.С.Рышков. О некоторых основных понятиях геометрической кристаллографии. Проблемы кристаллологии. Сб., поев. 80-летию академика Н.В.Белова. Изд. МГУ, 1971. С. 290-298.

100. Н.П.Долбилин. О трехмерных и четырехмерных простых формах. Проблемы кристаллологии. Сб., поев. 80-летию академика Н.В.Белова. Изд. МГУ, 1971. С. 315-324.

101. А.В.Шубников, В.А.Копцик. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972.