Теория разбиений плоскости на равные треугольники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

С, О*

гл';. V-

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 514.174.5

ЧЕПАНОВ Сергей Александрович

ТЕОРИЯ РАЗБИЕНИЙ ПЛОСКОСТИ НА РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ oi.oi.o4 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Математическом Институте РАН им. В.А.Стекло

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор С.С.Рышков Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Р.В.Галиулин - кандидат физико-математических наук, доцент М.Д.Ковалев Ведущая организация - Ивановский Гос. Университет

Защита состоится " В " ^Лб^С^ро? 1993 г. в ^ " часов на заседании специализированного совета Д 002.38.02 при Математическом Институте РАН им. В.А.Стеклова по адресу: Москва, ул. Вавилова 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математическогс Института РАН им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

М.П.Минеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ *

Актуальность темы. Разбиения евклидовой плоскости DE* на попарно равные многоугольники (так называемые мояоэдральные разбиения) интересуют математиков yace давно. Задачи, которые возникают в теории моноэдральных разбиений, можно разделить на две большие группы.

К первой группе относятся задачи связанные с определением ввда заполняющего плоскость многоугольника. Огромный материал посвященный таким многоугольникам собран в книге 111. Там же можно найти и многочисленные ссылки.

Ко второй группе относятся задачи связанные с описанием моноэдральных разбиений плоскости. В задачах такого типа наиболее изученным является случай правильных моноэдральных разбиений, описанию которых посвящено множество работ. Упомянем, например, работу 12j и книгу т.

Однако, описание нормальных (ребро в ребро) моноэдральных разбиений до сих пор остается совершенно не исследованной задачей. Даже о таком простом, на первый взгляд, случае как описание нормальвых разбиений И? на равные треугольники ничего, кроме тривиальных примеров, не было известно. Трудность здесь заключается в том, что методы которые используются при описании правильных разбиений совершенно не годятся при описании общих нормальных разбиений.

Таким образом, создание методов пригодных для описания общих нормальных разбиений Е2 следует считать актуальной задачей. Кроме того, исследование квазикристаллов которому посвящен один из основных результатов диссертации, а также

приложения 1 и 2 к диссертации, является одной из самых актуальных тем в современной теории разбиений и современной кристаллографии.

Цель работы. Цель® работы является описание нормальных разбиений евклидовой плоскости на попарно равные треугольники, отыскание приемов которые могли бы быть использованы при описании любых нормальных разбиений (Е2, а также исследование вопроса Н.П.Долбилина об одном возможном ослаблении определения квазикристаллов данного Р.В.Галиулиным.

Методы работы. В работе используются методы комбинаторной геометрии, теории чисел, а также предложенные диссертантом методы описания разбиений плоскости по определяющему набору типов звезд и скелетам из порождающих векторов разбиений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Эти результаты таковы:

1. Дано полное описание нормальных разбиений евклидовой плоскости на попарно равные треугольники.

2. Предложено два метода (определяющий набор типов звезд и скелеты из порождающих векторов разбиений) которые, по-видимому, могут быть использованы и при описании некоторых других общих нормальных разбиений плоскости.

3. В качестве следствия, даа положительный, для множества точек являющихся вершинами разбиения Е2 на попарно равные треугольники, ответ на упомянутый вопрос Н.П.Долбилина. (Приложение 1 к диссертации).

4. Дано описание разбиений Пенроуза на толстые и тонкие ромбы при помощи скелетов из порождающих векторов. Тем самым

доказено, что данный метод может быть использован не только при описании моноэдральных разбиений плоскости. (Приложение 2 к диссертации).

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории нормальных разбиений пространств постоянной кривизны на попарно равные многогранники. В частности, метод скелетов разбиений, предложенный диссертантом, может быть использован для описания широкого класса разбиений, в том числе и квазикристаляических.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Четвертом всесоюзном семинаре по дискретной математике (Москва, 1993), на геометрических семинарах в МИРАН. МГУ, в Институте Кристаллографии РАН и в Ивановском Гос. Университете.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 5 публикациях автора.

Объем работы. Диссертация содержит 84 страницы машинописного текста. Она состоит из введения, 6 глав, 2 приложений (18 страниц машинописного текста), списка литературы из 19 наимениваний, 21 рисунка и 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даются основные определения и соглашения, а также формулируются определение квазикристаллов предложенное Р.В.Галиулиным и вопрос Н.П.Долбилива об ослаблении этого определения. Отметим, что именно изучение вопроса Н.П.Долби-лина привело диссертанта к рассмотрению нормальных разбиений

Е2 на попарно равные треугольники.

В главе 1 излагаются основные результаты диссертации (теорема а и теорема в), которые затем доказываются в главах 2-6.

Теорема А. Каждое нормальное разОиенме евклидовой плоскости на попарно равные треугольники принадлежит одному из семи классов разбиений:

слоистых, однозначных, условно однозначных, полуоднозначных. условно полуоднозначных, скелетных и особых.

Дадим определения введенных классов разбиений.

.00

Разбиение мы называем слоистым, если Е2- и„ в., где в

I - СО ^ I

есть полоса получающаяся при помощи параллельного переноса параллелограмма составленного из двух треугольников.

Разбиение мы называем однозначным, если в этом разбиении существует звезда полностью его определяющая.

Разбиение мы называем условно однозначным, если в этом разбиении существует конечное число звезд полностью его определяющих.

Разбиение мы называем полуоднозначным, если в этом разбиении существует хотя бы одна звезда полностью определяющая разбиение в некоторой полуплоскости и только в ней.

Разбиение мы называем условно полуоднозначным, если в этом разбиении существует один или два конечных набора звезд, каждый из которых полностью определяет разбиение в некоторой полуплоскости и только в ней.

К скелетным разбиениям мы относим все разбиения на пря-

моугольные разносторонние треугольники, а к особым - разбиения на треугольники с углами а=/?=1/4; у-1/2 И а~р~ 1/6; у=2/3. (Здесь и далее величины углов даются в долях п.)

В теореме в дан алгоритм позволяющий определить для любого треугольника все классы разбиений плоскости на равные ему треугольники и далее сами эти разбиения, с точностью до указанной в каждом случае неопределенности.

В главах 2 и 3 дается описание разбиений на попарно равные разносторонние рациональные треугольники {а,гиг е ©).

В главе 4 дается описание разбиений на попарно равные равнобедренные рациональные треугольники.

В главе 5 дается описание разбиений на попарно равные смешанные треугольники (а,р € ф, >- е 0 ).

В главе 6 дается описание разбиений на попарно равные иррациональные треугольники (а,р,г е о ).

При описании разбиений плоскости на попарно равные треугольники использовались следующие два метода.

Суть первого метода (определяющий набор типов звезд) заключается в том, что сначала для фиксированных углов треугольника а,р,г вычисляются типы звезд1' которые могут встретиться в разбиении, затем определяется в каком сочетании вычисленные типы звезд могут встретиться в разбиении и, наконец, по определенным наборам типов звезд описывается геометрия самих разбиений. При помощи этого метода удается описать все

'типом звезды мы называем тройку неотрицательных чисел целых которая является решением уравнения у-2.

разбиения плоскости на равные треугольники за исключением скелетных и особых разбиений.

Суть второго метода {скелеты порождающих векторов разбиений) заключается в том, что описание самих разбиений сводится к описанию множества (скелета) особых векторов одинаковой длины (порождающих векторов). Причем эти векторы выбираются таким образом, что само разбиений по ним восстанавливается либо однозначно либо с точностью до эквивалентности. Кроме того, определяются необходимые и достаточные условия того, что некоторое множество векторов на плоскости является скелетом некоторого разбиения плоскости на равные треугольники. При помощи второго метода удается описать все скелетные разбиения плоскости.

В приложении 1 к диссертации, как следствие теории разбиений плоскости на равные треугольники, дан положительный, для множества точек являющихся вершинами разбиения Е2 на попарно равные треугольники, ответ на вопрос Н.П.Долбилина об ослаблении нижеследующего определения.

Определение. Точечная система z называется квазикристаллом, если векторный спектр системы ъ дискретен. (Р.В.Галиулин

13] .)

Н.П.Долбилин поставил следующий вопрос: "Можно ли в определении Р.В.Галиулина заменить векторный спектр на спектр расстояний?" Другими словами, всегда ли из дискретности спектра расстояний системы г вытекает дискретность векторного спектра системы е?

В приложении 2 к диссертации дается описание квазикрис-

таллических разбиений Пенроуза на толстые и тонкие ромбы при помощи скелетов из порождающих векторов. Порождающие векторы определяются таким образом, что по их совокупности (скелету) само разбиение восстанавливается однозначно. Затем, обращается внимание на то, что если рассматривать скелеты разбиений Пенроуза как новые самостоятельные разбиения, то к ним также применим метод скелетов из порождающих векторов и процесс этот может быть продолжен неограниченно. Причем на "¿"-том шаге, скелеты получающихся разбиений будут представлять собой наборы векторных контуров трех типов а1, в*- и с1, которые могут быть склеены между собой несколькими, не зависящеми от и, способами. Более того, контуры а1, в1 и с1 гомотетичны контурам а1-1, в1-1 и с1-1 соответственно с одинаковым коэффициентом гомотетии не зависящем от Описанный процес мы называем векторной дефляцией. Аналогичным образом вводится и понятие векторной инфляции.

Также в приложении 2 доказывается теорема о том, что векторная дефляция (инфляция) и уже хорошо изученная (см., например, 14)) классическая дефляции (инфляции) эквивалентны.

В заключение автору хотелось бы выразить искреннюю признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору С.С.Рышкову за многочисленные полезные замечания и внимание к работе. Также автору хотелось бы выразить свою благодарность кандидату физико-математических наук Н.П.Долбилину, поставившему вопрос об эквивалентности векторной и классической дефляции (инфляции).

-8-ЛИТЕРАТУРА

1. Grunbaun Branko, Shephard G.S. Tilings and Patterns. -H.H.Freeman and Соирапу, New York, 1987, 700 p.

2. Делоне Б.Н. Теория планигонов. Изв. АН СССР, сер. МЭТеМ. 23 (1959), С. 365-386.

3. Галиулин Р.В. Лекции по геометрическим основам кристаллографии. Челябинск, 1989.

4. Danzer L. Quasiperiodicity: Local and Global Aspects. (Prep, of Bielefeld Univer., SFB-Nr. 91/003; ZiF-Nr. 91/6).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Классификация разбиений плоскости на равные треугольники //Успехи Мат. Наук, 1993, No 3, С. 209-211.

2. о разбиениях плоскости на равные треугольники //Мат. Ин-т РАН - М., 1993. - 96 С. - Деп. 01.04.93, No 808-В93.

3. Скелетные разбиения плоскости на равные треугольники //Мат. Замзтки, 1993, т. 54, вып. 5.

4. Новый подход к описанию разбиений Пенроуза на толстые и тонкие ромбы //Международная конференция "Современные проблема теории чисел". Тула. 1993. С. 96.

s. Скелетные разбиения Пенроуза //Мат. Сборник (в печати)