Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны

Долбилин, Николай Петрович

Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Долбилин, Николай Петрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны»

Автореферат диссертации на тему "Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны"

1 8 Ш 7Пг

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Математический институт им. В.А.Стеклова

На правах рукописи УДК 514.174

Долбилин Николай Петрович

ПРАВИЛЬНЫЕ И АПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в

Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.П.Барановский доктор физико-математических наук, профессор А.В.Зарелуа, доктор физико-математических наук, профессор В.С.Макаров,

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет

в . часов на заседании Диссертационного Совета Д.002.38.02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу:

117966 Москва ГСП-1, ул. Губкина, дом 8, МИАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН

Автореферат разослан " 2000 года

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д.002.38.02, доктор физико-математических наук

Защита состоится

И.Г.Лысёнок

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

В диссертации рассматриваются два типа геометрических структур в полных односвязных пространствах постоянной кривизны (евклидовом, гиперболическом или сферическом). Это - разбиения пространств на многогранники и точечные (г, Я)-системы, или, как иначе их называют, множества Делоне. В силу важности приложений нас прежде всего будут интересовать разбиения с достаточно богатой симметрией: правильные и мультиправильные (кристаллографические) множества точек и разбиения пространства. Эта область геометрии имеет древнюю историю. Проекция правильного многогранника из его центра на вписанную сферу является особым случаем правильного разбиения двумерной сферы. Список из пяти правильных многогранников представляет собой решение первой классификационной задачи в теории правильных разбиений.

Мощный толчок развитию теории правильных разбиений и смежных вопросов дала высказанная в первой половине XIX столетия гипотеза о правильности внутреннего строения кристаллов. В работах О. Браве, Г. Фробениуса, К. Жордана, Е.С. Федорова, Г.Ф Вороного, А. Шенфлиса, Г. Минковского и других была развита теория правильных разбиений пространства, конечных групп движений и кристаллографических групп. Федоров и Шенфлис нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства. Вороной разработал метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, в частности, построил алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного. Г.Минковский создал новое направление в математике - геометрию чисел, которая имеет многочисленные приложения в теории кристаллических решеток.

Актуальность исследований в теории правильных разбиений и точечных систем стала несомненной после открытия явления дифракции

рентгеновских лучей на кристаллах (М. Лауэ, 1912). Это открытие окончательно подтвердило, что внутреннее строение кристаллов имеет периодическую структуру.

Большой вклад в изучение правильных разбиений и (г, R)-множеств (преимущественно в евклидовом пространстве) был сделан Б.Н. Делоне, Б.А. Венковым, А.Д. Александровым, С.С. Рышковым, B.C. Макаровым (в основном в пространстве Лобачевского), Е.П. Барановским, М.И. Штогриным, Р.В. Галиулиным и др.

Б.Н. Делоне создал элементарный "метод пустого шара" который оказался полезным для изучения (г, Я)-множеств и связанных с ними разбиений Вороного и Делоне. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, этод метод породил целое направление в вычислительной геометрии (триангуляции Делоне). Тысячи работ посвящены изучению триангуляций и множеств Делоне и их многочисленным приложениям в математике, физике, химии, картографии, компьютерной графике и т.д..

В 1961 г. Делоне получил оценку сверху для числа (d — 1)-мерных граней у выпуклого d-мерного стереоэдра - многогранника правильного разбиения. Отсюда была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также на метод пустого шара, Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова построили общую теорию правильных разбиений Дирихле-Вороного евклидова пространства. Значительный прогресс в проблеме классификации правильных разбиений Дирихле-Вороного пространства для данной кристаллографической группы был достигнут за счет создания методов, соответствующих конкретным кристаллографическим группам. Чтобы найти все типы разбиений трехмерного пространства на стереоэдры Вороного для второй триклинной группы Штогрин создал метод мулътирешет-ки. Для исследования строения параллелоэдров Рышков и Барановский

создали метод С-типов, с помощью которого они нашли все 5-мерные параллелоэдры Дирихле-Вороного общего типа. Область возможного применения этих методов шире, однако их реализация упирается в трудности вычислительного характера.

Мощный вычислительный метод в теории разбиений пространства был разработан А.Дрессом и его учениками. Он позволяет эффективно находить комбинаторные типы т-эдральных нормальных разбиений трехмерного пространства на многогранники, при условии, что число граней многограников, а также число многогранников, сходящихся в вершинах и ребрах, ограничены некоторой константой. Однако этот метод не дает способа определять, какие из этих комбинаторных типов реализуются как кристаллографические разбиения пространства на выпуклые многогранники.

Новый шаг в теории правильных разбиений и точечных систем был сделан 25 лет назад. По так называемой локальной теореме (Делоне, Галиулин, Долбилин и Штогрин) правильность дискретной системы выводится из попарной конгруэнтности ее локальных фрагментов некоторого радиуса вокруг каждой точки системы, а в случае разбиений -из попарной конгруэнтности корон некоторого радиуса вокруг каждого многогранника. В частности, локальная теорема подтверждает ин-туитиное представление о локальных причинах правильного строения кристаллов1: "Если атомы в веществе движутся не слишком активно, они сцепляются и располагаются в конфигурации с наименьшей энергией. Если атомы где-то разместились так, что их расположения отвечают самой низкой энергии, то в другом месте атомы создадут такое же расположение. Поэтому в твердом веществе расположение атомов повторяется ... снова и снова и, конечно, во всех трех измерениях."

Однако в открытых четверть века назад мозаиках Пенроуза, как и

1Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике , "Мир", Москва (1966) том 7, с. 5.

в кристалле, каждый сколь угодно большой конечный фрагмент разбиения повторяется бесконечное число раз. Тем не менее мозаики Пен-роуза не периодические, так что 'дальний порядок' и периодичность -не синонимы. В этом контексте локальная теорема приобретает особый интерес потому, что она дает четкий ответ на то, при каких локальных условиях разбиение (или множество точек) является правильным и, следовательно, по теореме Шенфлиса-Бибербаха периодическим.

В связи с этим является важной следующая задача: описать автономно от разбиения те локальные условия, которые нужно наложить на некоторую конечную совокупность многогранников (корону), которые бы гарантировали продолжение короны до правильного разбиения.

Решению этой задачи посвящена глава II. Доказываемая в ней теорема о продолжении непосредственно связана с проблемой существования разбиения пространства на многогранники, конгруэнтные данному. В этой проблеме, одной из центральных в теории разбиений, можно выделить три задачи.

(A) Дан многогранник Р, описать условия, при которых он допускает какое-либо разбиение пространства, то есть условия, при которых существует разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.

(B) Описать условия на многогранник, при которых он допускает нормальное правильное разбиение пространства.

Наиболее общая задача (А) не решена.

Нами полностью решена задача (В) (об этом ниже).

Более частная задача (С) имеет богатую историю, восходящую к исследованиям Пуанкаре по теории фуксовых групп (дискретных групп собственных движений плоскости Лобачевского). Во многих работах исследовались разные классы многогранников на предмет того, явля-

ются ли они фундаментальными областями дискретных групп движений. Наиболее важными частными случаями решения этой задачи есть многогранники Коксетера, которые являются фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями, а также теорема Венкова о фундаментальных областях для дискретных групп параллельных переносов в евклидовом пространстве. Венков доказал, что евклидов многогранник, для которого выполняются три условия: (1) он имеет центр симметрии; (2) все (¿ — 1)-мерные грани также имеют центры симметрий; (3) проекция вдоль каждой — 2)-мерной грани на 2-мерную дополнительную плоскость является либо параллелограммом, либо центрально-симметричным шестиугольником; является па-раллелоэдром. Общая теория фундаментальных многогранников для дискретных групп развивалась во многих работах (А.Д.Александров, Г.Абельс, Б.Маскит и др.). Теорема о фундаментальных многогранниках в общем виде вместе с идеей доказательства приведена в обзорной работе Э.Б.Винберга и О.В.Шварцмана Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Соврем, пробл. матем. Фундаментальные направления, 29, Геометрия 2, (1988).

Теорема о продолжении утверждает, что многогранник разбивает пространство правильным образом тогда и только тогда, когда его можно окружить короной, состоящей из многогранников, конгруэнтных данному, удовлетворяющей некоторым двум условиям. Теорема о продолжении сводит задачу перечисления всех возможных правильных разбиений пространства, допускаемых данным многогранником, к перечислению всех возможных таких корон. Радиус корон, удовлетворяющих условиям теоремы о продолжении, а также их количество мо-

жет быть ограничено в зависимости от данного многогранника. Задача проверки существования корон, рассматриваемых в теореме о продолжении, вообще говоря, сложная, но для некоторых многогранников, в частности, для коксетеровских многогранников и параллелоэдров, решается очень просто.

Очевидно, что фундаментальный многогранник для дискретной группы разбивает пространство правильным образом. Обратное, вообще говоря, неверно. Имеются правильные разбиения, которые не фундаментальны. Правильным, но не фундаментальным разбиением на сфере Б2 является проекция правильного икосаэдра из его центра на вписанную сферу. Это разбиение не фундаментально потому, что всякая подгруппа группы икосаэдра, транзитивно действующая на его гранях, содержит нетривиальный стабилизатор грани. Заметим также, что это единственное разбиение на сфере, которое можно составить из правильного треугольника, являющегося проекцией грани икосаэдра на сферу. Поэтому данный сферический треугольник не является фундаментальной областью ни для какой дискретной группы, действующей на сфере.

Вопрос существуют ли в евклидовом пространстве многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых можно -заполнить пространство правильным образом, чрезвычайно близок ко второму вопросу, поставленному Гильбертом в XVIII проблеме: существуют ли, кроме того, такие многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений и с помощью которых все же можно заполнить все пространство без пробелов соответствующим укладыванием конгруэнтных экземпляров этих многогранников.

В 1927 г. К. Рейнхард нашел 3-мерный евклидов многогранник, допускающий разбиение пространства, но не являющийся фундаментальной областью ни для какой дискретной группы. Поставим другой, очень близкий к вопросу Гильберта, вопрос: существует ли многогранник, до-

пускающий разбиение пространства, но ни одно из этих разбиений не является мультиправильным (кристаллографическим).

Сравнительно недавно был обнаружен трехмерный евклидов выпуклый многогранник (бипризма Шмитта-Конвея-Данцера), который не допускает ни одного мультиправильного и даже периодического разбиения пространства конгруэнтными ему экземплярами (с точностью до движения I рода). В то же время бипризма вместе со.своей зеркальной копией допускает правильное разбиение пространства. При помощи несложной модификации бипризмы можно получить невыпуклый многогранник, который также разбивает пространство, но любое разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному, является некристаллографическим.

Рассмотрим акристаллографический многогранник,, то есть такой многогранник, который допускает разбиение пространства, но каждое такое разбиение не кристаллографическое. Как следует из доказанной в главе V диссертации теоремы о несчетности семейств, не содержащих кристаллографических разбиений, множество всех попарно различных разбиений пространства, допускаемых акристаллографическим многогранником, должно быть несчетным.

Дано конечное множество (так называемое протомножество) V типов многогранников (возможно некоторым образом декорированных), а также 'локальное правило', определяющее порядок примыкания многогранников друг к другу. Множество всех разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные многогранникам из протомножества, подчиняющихся заданному локальному правилу образуют семейство. Семейство разбиений евклидова пространства называется апериодическим, если в нем нет ни одного разбиения с трансляционной симметрией. Понятие апериодического семейства появилось в 1960-е г.г. в работах Вэнга (Н.\Уап§) и Бергера (К.Ве^ег) о неразрешимости "проблемы разбиений" .

Семейство мозаик Р.Пенроуза (1974) является апериодическим семейством разбиений на плоскости из многоугольников двух видов. Существует ли евклидов многоугольник, который допускает лишь непериодические разбиения - неизвестно.

В главе V доказывается теорема о том, что любое непустое семейство, не содержащее кристаллографических разбиений, содержит несчетное число разбиений. Ранее этот факт был известен лишь для апериодических семейств разбиений, которые получались методом проекций и сечений Дебрюйна или в результате процесса инфляции-дефляции.

В диссертации эта гипотеза доказывается для п = 1. Тем самым показано, что если функция Лтх{р) меньше, чем (о?, г, К)р, то X является кристаллом, а функция АОс(р) равна некоторой константе тп для всех р > ро- Для п > 1 задача остается нерешенной.

Цель работы.

Создание локальных и глобальных методов исследования периодических и апериодических разбиений и точечных систем в пространствах

постоянной кривизны с целью решения актульных проблем, стоящих в этой области.

Разыскание условий, при которых для данного выпуклого многогранника существует правильное разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.

Создание метода перечисления всех правильных разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные данному.

Исследование свойств апериодических семейств с конечным протом-ножеством и локальным правилом.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации новы и принадлежат автору.

- Доказана принципиальная теорема о продолжении.

- Доказана локальная теорема для мультиправильных разбиений пространства постоянной кривизны.

- Установлен критерий кристалла (мультиправильной системы точек ) в терминах перечисляющей функции.

- Доказан глобальный критерий мультиправильной системы точек.

- Доказана теорема о несчетности апериодического семейства разбиений пространства с конечным протомножеством и заданным локальным правилом.

МЕТОДЫ. В работе применяются методы дискретной геометрии, топологии, теории дискретных групп, в частности: метод Александрова в теории разбиений односвязных пространств на многогранники;

метод Делоне (метод пустого шара) в теории дискретных точечных систем;

локальный метод в теории правильных систем (Делоне, Галиулин, Дол-билин, Штогрин);

Создан метод перечисления всех нормальных правильных разбиений

для данного многогранника.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит те-оретичекий характер. Методы и результаты работы могут быть применены при дальнейших исследованиях кристаллографических и акрис-таллографических разбиений и точечных систем. Методы и результаты работы могут быть использованы геометрами-специалистами по теории разбиений пространства, а также кристаллографами при изучении кристаллических и квазикристаллических структур. Теорема о продолжении может оказаться практически полезной в актуальной и сложной проблеме предсказания новых неорганических структур.

Результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов по геометрии и геометрической кристаллографии в МГУ и некоторых других университетах.

апробация работы. Результаты диссертации докладывались на федоровской научной сессии в Горном ин-те, Ленинград, 1975; на IX всесоюзной конференции в Кишиневе, 1987; Международном Математическом конгрессе в Варшаве, 1983; семинарах отдела геометрии и топологии МИАН; семинаре академика Д.В. Аносова в МГУ; семинарах профессора С.С. Рышкова в МГУ; семинаре профессора C.B. Конягина в МГУ;

международных конференциях в Будапеште, 1989, 1994, 1996, 1999; международных конференциях в Обервольфахе, 1991, 1998, 2000; международной конференции в Токио, 2000;

математических коллоквиумах университетов Штуттгарта, 1989, и Дортмунда, 1993;

на семинарах профессора Л. Фейеш Тота в Математическом институте Венгерской Академии наук, Будапешт, 1977, 1984. 1986; семинарах профессора А. Дресса в университете Билефельда, 1989,1991, 1995,1996;

семинаре профессора Г. Коксетера в университете Торонто, 1995; семинаре профессора Г. Эдельсбруннера в университете Урбана, США, 1995;

семинаре Геометрического Центра (университет штата Миннесота), США, 1995;

семинаре профессоров Д. Ларманаи П. МакМюлленав Лондонском университетском Колледже, 1999;

семинаре по комбинаторике профессоров Д. Томассена и Т. Гавера в Кэмбриджском университете, 1999,

семинаре профессора Д. Уэлша в Оксфордском университете, 1999; конференции Геометрического института, Нортхэмптон, Массачусетс, США, 1993;

в Институте перспективных исследований НАТО "Математика дальнего порядка", проходившем в Филдсовском институте математических исследований, Канада, 1995.

Объем и структура диссертации. Общий объем диссертации составляет 143 страницы. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на 21 параграф, списка литературы из 96 наименований, 26 рисунков.

публикации. Основные результаты диссертации своевременно опубликованы в 7 работах, перечисленных в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I излагаются необходимые сведения о правильных и мульти-правильных разбиениях пространства на многогранники. В § 3 излагается локальная теорема о необходимых и достаточных условиях, при которых разбиение является правильным. В § 4 доказывается обобщение этой теоремы для мультиправильных (т-эдральных) разбиений, то есть таких, которые состоят из конечного числа т орбит многогранни-

ков.

Теорема. Разбиение Т - тп-эдралъно (тп > 0 - целое) тогда и только тогда, когда существует такое целое к > 0, что для перечисляющей функции имеем Ыт(к — 1) = Мт{к) = т; для каждого многогранника Р из Т выполняется £\._1(Р) = Б^Р), где - группа симметрий короны радиуса г с центром в многограннике Р.

Более того, для любого Р £Т имеем 5ь(Р) С 5ут(Т).

Этот результат для мультиправильных разбиений аналогичен результату для точечных систем, полученному Долбилиным и Штогриным в 1987 году. В последнем параграфе главы I рассматриваются разбиения на плоскости с точки зрения обобщенной локальной теоремы. На примере разбиений К. Берёцки гиперболической плоскости видно, что оба условия теоремы 1.4 существенны (§5). Более того, разбиения Берёцки - это пример того, как моноэдральное разбиение на гиперболической плоскости может иметь конгруэнтные первые короны но не быть кристаллографическим. Здесь же приводится теорема о том, что на евклидовой плоскости такое невозможно. Разбиение евклидовой плоскости на конгруэнтные многоугольники с попарно конгруэнтными полными коронами радиуса 1 является правильным.

Глава II посвящена принципиальной для теории правильных разбиений пространства теореме о продолжении. Она начинается с параграфа, посвященного описанию задачи. Формулировке теоремы в § 3 предшествует определение абстрактной — 2)-короны С£(Р) и ее реализации в пространстве Х^ (§ 2).

Пусть дано конечное множество М выпуклых замкнутых ограниченных ¿-мерных многогранников (которые либо все евклидовы, либо гиперболические, либо сферические).

Посредством отождествления у многогранников из М их некоторых попарно конгруэнтных (¿— 1)-мерных граней строится клеточный комп-

леке К. Предполагается, что отождествление (с/ — 1)-мерных граней удовлетворяет условиям:

(А) грань Ё"1-1 одного многогранника Р отождествляется не более, чем с одной, конгруэнтной ей гранью Р'л~1 другого многогранника при помощи фиксированной изометрии (вообще изометрий может быть несколько, если грань л имеет нетривиальную группу симметрий); (С) для любых двух многогранников Р' и Р" £ М найдется последовательность многогранников Ра(= Р'),р1,... ,Рт{~ Р") из М, в которой любые два последовательных многогранника 1 и Р;, г = 1,..., т, имеют общую (с£ — 1)-мерную грань (условие сильной связности); (К) данные инцидентности в гранях коразмерности 1 индуцируют инцидентности в гранях всех низших размерностей: г-мерная грань Рг многогранника Р' £ М (0 < г < — 1) является гранью другого многогранника Р" £ М тогда и только тогда, когда в М существует цепочка многогранников, в которой каждые два соседних многогранника смежны по общей (й — 1)-мерной грани, содержащей грань Рг.

На комплексе К вводится расстояние между многогранниками. Расстоянием ¿гзГ(Р', Р") между ¿-мерными многогранниками Р' и Р" в комплексе К назовем длину I кратчайшей цепочки из ¿-мерных многогранников из К

Ро '■= Р1,Ри...,Р-иР1:=Р",

в которой любые два последовательные многогранника Р{~г и Д имеют общую грань размерности не ниже 3.-2.

Комплекс (если такой существует) называется абстрактной (й-2)-короной радиуса к вокруг многогранника Р (к- положительное целое число) и обозначается через С1(Р), если выполняется следующее: (АК1) Р б С-к(Р);

(АК2) расстояние <5) < к для всех <3 € причем в С£(Р)

существуют многогранники ф с (ИвЬ*(Р,С})=к]

(АКЗ) если для <2 6 С1(Р) расстояние ¿гзг*(Р, ф) < А; —1, то для каждой (й — 2)-мерной грани ¿-мерного многогранника в (Р) имеются ¿-мерные многогранники Q¿ 6 С£(Р), г =0,1,2,... которые образуют циклически замкнутую последовательность фо> • • • > 0пР вокруг (в. — 2)-мерной грани то есть такую, что = = <3, причем

Qi-l и имеют общую (¿ — 1)-мерную грань Р1/-1, которая при любом г € {1, ... ,пР} содержит грань

Пусть Xй - ¿-мерное пространство, в котором рассматриваются многогранники из С1(Р). Рассмотрим полиэдр |С£(Р)| и предположим, что существует отображение / : |(7£(Р)| —Х1*, для которого выполняется: (Р1) ограничение /|<з на каждом ¿-многограннике ф € С£(Р) есть изо-метрия;

(Р2) если многогранники (? и ф' £ С1(Р) имеют общую (с1 — 2)-мерную грань, то их /-образы и не перекрываются (то есть не имеют общих внутренних точек).

Образ /(С1(Р)) абстрактной короны при отображении / с условиями (Е1) и (Р2), назовем обобщенной (¿ — 2)-короной радиуса к вокруг многогранника Р := /(Р) и обозначим через СЦР). Инциндентности граней всех размерностей в короне С*к (Р) индуцируются из абстрактной короны С1{Р).

Будем говорить, что многогранник Р допускает обобщенную (¿—2)-корону С1(Р) радиуса к, если существуют абстрактная (<£ — 2)-корона, состоящая из многогранников, конгруэнтных многограннику Р, и отображение /, удовлетворяющие условиям (Р1) и (Р2). Впредь рассматриваются только те обобщенные (с? — 2)-короны, которые состоят из попарно конгруэнтных многогранников.

Пусть Р' € С*к (Р), окрестностью многогранника Р' радиуса г в обобщенной короне С*к{Р) назовем подкомплекс £/;(Р')|с;(Р)> состоящий из многогранников С} £ С£(Р) с ¿гв4*(Р',ф) < г.

Пусть многогранник Р' имеет с Р общую (¿—1)-мерную грань. Обо-

значим через д такое движение, что Рд = Р'. Образ обобщенной короны С1(Р)д согласован с обобщенной короной С*к{Р), если окрестность ик{Р')\с-к(Р) принадлежит также и Ск{Р)д.

Обозначим через 5,*(Р) группу движений пространства, которые переводят в себя одноврельенно и корону С*(Р) и ее центральный многогранник Р.

Теорема о продолжении. Пусть выпуклый многогранник Р С X* допускает обобщенную корону Ск(Р) некоторого радиуса к, для которой выполняется следующее: (О ^(Р) = бцр), и

(И) для многогранника Р„, смежного с Р по (в, — 1)-грани Р„ С Р, V — 1,... ,п, имеется изометрия ди такая, что Рди = Р%), а также образ С1(Р)д„ согласован с С£(Р). Тогда

(1) корона С1(Р) есть вложенный комплекс и допускает продолжение до правильного разбиения Т;

(2) правильное разбиение Т однозначно определяется короной Ск(Р);

(3) (полная) группа симметрии Бут{Т) разбиения Т содержит группу (д„, г> — 1,... ,п), порожденную изометриями ди, и группу 31[Р):

5ут(Г) Э (д„) и 5ут(Г) Э БЦР).

(4) группа {д„, и = 1,... ,п) действует на множестве многогранников из Т транзитивно;

(5) конечная группа 5£(Р) есть стабилизатор многогранника Р в группе симметрий Зут(Т).

Доказательство теоремы о продолжении опирается на теорему Александрова о разбиениях односвязных пространств на многогранники.

В заключительных параграфах главы II рассматриваются приложения теоремы о продолжении. В частности, показывается, что из кок-

сетеровского многогранника легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении, откуда немедленно следует, что коксетеровский многогранник явялется фундаментальной областью. Теорема Венкова также легко следует из теоремы о продолжении потому, что из многогранника с тремя перечисленными выше условиями Венкова можно построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении. Однако, как многогранник Коксетера, так и параллелоэдр могут допускать и другие короны, которые также удовлетворяют условиям теоремы о продолжении. Этим коронам соответствуют другие правильные разбиения на коксетеровские многогранники и параллело-эдры.

Рассматриваются также многогранники, у которых двугранные углы между (d— 1)-мерными гранями F; и Fj равны 2тг/тв^-, причем, если в многограннике для некоторого угла тп^ нечетно, то многогранник симметричен относительно биссекторной гиперплоскости, проходящей через (d— 2)-мерную грань этого угла (квазикоксетеровский многогранник). Из этого многогранника также легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую условиям теоремы о продолжении. Поэтому квазикоксетеровский многогранник допускает правильное разбиение. Дискретная группа, порожденная отражениями относительно плоскостей граней многогранника, действует транзитивно на получившемся правильном разбиении. Но, если хотя бы для одного угла значение ту нечетно, то стабилизатор многогранника в этой группе нетривиален. Он является группой, порожденной отражениями в упомянутых биссекторных плоскостях. Отметим, что правильный сферический треугольник с углами 2/57Г из упоминавшегося ранее нефундаментального разбиения на 2-сфере является квазикоксетеровским.

В Главе III изучаются (г, Д)-множества конечного типа с точки зрения поведения их перечисляющих функций. Пусть X - (г, Д)-множество

в Е1* и х £ X - произвольная точка. Множество отрезков {[х,х']|х'еХ,||х-х'||<р}

назовем р-звездой с центром в точке х.

Если для любого р > 0 число классов конгруэнтных р-звезд в (г, Я)-множестве X конечное, то говорят, что X есть множество конечного типа. Перечисляющая функция Ых{р) для множества X, по определению, равна числу классов конгруэнтных /э-звезд. Доказана

Теорема. Дано (г, К)-множество X в Е^. Пусть для некоторого радиуса р число к = Их{р) конгруэнтных классов р-звезд удовлетворяет неравенству

вд < ^,

где

С = 2(^ + 1^(^ + 2) .

Тогда X есть кристалл (мультиправильная система точек), который состоит из к орбит относительно группы симметрии множества X. Более того, множество X с данными р-звездами единственно, то есть, если р-звезды множества Делоне У изометричны р-звездам из X, то множества У и X глобально изометричны друг другу.

В Главе IV доказывается глобальный критерий кристалла. В § 1 дается определение закрывающего множества. Назовем множество У в Е^ закрывающим множеством, если найдется точка у £ У, которая содержится внутри выпуклой оболочки остальных точек У\{у}. Пусть I СЕ' - дискретное множество и г € Е^, обозначим через Б^Х множество всех отрезков, соединяющих точку ъ с точками из X ( глобальная звезда множества X с центром в х).

Теорема (глобальный критерий). Пусть X - дискретное множество в Е^. Предположим, что У С Б11 есть такое закрывающее множество, что глобальные звезды ¿>£у(Х) для всех у £ У попарно конгруэнтны. Тогда множество X - есть кристалл.

Следующее утверждение является частным случаем этой теоремы: Пусть конечное множество У состоит из <¿+1 вершины невырожденного й-симплекса и еще одной точки, находящейся внутри симплекса. Если для некоторого дискретного множества X все 2 глобальные звезды {54у(Х)| у СЕ У} попарно конгруэнтны, то X - кристалл.

В § 1 рассматривается ряд примеров, показывающих, что условия в этом критерии минимальны. В § 2 рассматривается важное для доказательства глобального критерия понятие />-точки. В § 3 главы IV приводится доказательство глобального критерия.

В заключительной главе V доказывается теорема о несчетности акристаллографических семейств. Непустое семейство Т(Р, Л) разбиений, порожденное конечным протомножеством V многогранников и локальным правилом Л, называется акристаллографическим, если в нем нет кристаллографических разбиений. В § 2 рассматривается ряд примеров семейств разбиений с различными протомножествами и локальными правилами. В § 3 доказывается

Теорема. Если непустое семейство Т(Р, Л) не более чем счетно, то в нем есть хотя бы одно кристаллографическое разбиение. Эквивалентная формулировка этой теоремы есть Теорема о несчетности акристаллографического семейства. Если для данного конечного протомножества'Р и локального правила Л семейство 7~( V, Л) непусто и не содержит кристаллографических разбиений пространства, то оно несчетно.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долбилин Н.П., О трехмерных и четырехмерных простых формах. Проблемы кристаллологии, Сб., поев. 80-летию акад.Н.В.Белова, МГУ, (1971) 315-324.

2. Долбилин Н.П., Локальные свойства дискретных правильных систем. ДАН СССР, сер. матем., 17, (1976) 1333-1337.

Долбилин Н.П., Симметрия кристалла. М.: Знание, (1978), 65 с. 1. Dolbilin N.P., The countability of a tiling family and the periodicity of a tiling. Disc. Comput. Geom., volume dedicated to 80 years of L. Fejes Toth, L3 (1995), 405-414.

5. Dolbilin N.P., Lagarias J. and Senechal M., Multiregular point sets. Disc. 3omput. Geom., 20:477-498 (1998).

3. Dolbilin N.P., Which clusters can form a crystaU In volume: Voronoi's mpact on modern science, book 2, Kyiv, (1998) 96-104. Г. Dolbilin N.P., The Extension Theorem. Discrete Mathematics, volume ledicated to 70 years of L. Danzer, 221, N 1-3, (2000) 43-60.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Долбилин, Николай Петрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Разбиения, локальные теоремы

§ 1. Разбиение пространства, группа симметрий разбиения.

§ 2. Короны в разбиениях; перечисляющая функция.

§ 3. Локальная теорема для разбиений.

§ 4. Обобщенная локальная теорема

§ 5. О разбиениях евклидовой и гиперболической плоскостей.

ГЛАВА II. Теорема о продолжении.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Обобщенные (d — 2)-короны.

§ 3. Формулировка теоремы о продолжении.

§ 4. Доказательство теоремы.

§ 5. Приложения теоремы о продолжении.

§ 6. Кристаллографические кластеры.

ГЛАВА III. Перечисляющая функция для (г, Л)-множеств

§ 1. (г, Я)-множества, кристалл.

§ 2. Перечисляющая функция и характер множества.

§ 3. Локальная теорема для кристалла.

§ 4. Перечисляющая функция для кристалла.

ГЛАВА IV. Глобальный критерий кристалла.

§ 1. Формулировка критерия.

§ 2. Понятие р-точки.

§ 3. Доказательство глобального критерия.

Введение диссертация по математике, на тему "Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны"

В диссертации рассматриваются два типа геометрических структур в полных односвязных пространствах постоянной гауссовой кривизны (в евклидовом, сферическом или пространстве Лобачевского). Это - разбиения пространств на многогранники и (г, R)-множества или, как иначе их называют, множества Делоне. В силу важности приложений нас прежде всего будут интересовать разбиения с достаточно богатой симметрией: правильные и мультиправильные (кристаллографические) множества точек и разбиения пространства. Эта область геометрии имеет древнюю историю. Проекция правильного многогранника из его центра на вписанную сферу является особым случаем правильного разбиения двумерной сферы. Список из пяти правильных многогранников представляет собой результат решения, пожалуй, первой классификационной задачи в теории правильных разбиений.

Мощный толчок развитию теории правильных разбиений и смежных вопросов дала высказанная в первой половине XIX столетия гипотеза о правильности внутреннего строения кристаллов. В работах О. Браве, Г. Фробениуса, К. Жордана, Е.С. Федорова, Г.Ф Вороного, А. Шенфлиса, Г. Минковского и других была развита теория правильных разбиений пространства, конечных групп движений и кристаллографических групп. Федоров [88] и Шенфлис [93] нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства. Всего, с точностью до сопряженности в группе аффинных преобразований, трехмерных кристаллографических групп - 219. Помимо этого Шенфлис доказал, что всякая кристаллографическая группа движений в трехмерном евклидовом пространстве содержит подгруппу параллельных переносов конечного индекса. Вороной [15] разработал метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, в частности построил алгоритм для нахождения типов параллелоэдров Дирихле-Вороного. Минковс-кий создал новое направление - геометрию чисел, которая имеет многочисленные приложения в теории кристаллических решеток [70].

В 1900 г. Д. Гильберт [18] в XVIII проблеме, состоящей из двух вопросов, поставил задачу обобщить для пространства любой размерности теорему Шенфлиса. Л.Бибербах ([8],[9]) доказал существование в любой «¿-мерной кристаллографической группе трансляционной подгруппы конечного индекса (1911 г.).

Актуальность исследований в теории правильных разбиений и (г, Д)-множеств стала несомненной после открытия явления дифракции рентгеновских лучей на кристаллах (М. Лауэ, 1912). Это открытие окончательно подтвердило, что внутреннее строение кристаллов имеет периодическую структуру.

Большой вклад в изучение правильных разбиений и точечных (г, Л)-множеств (преимущественно в евклидовом пространстве) был сделан Б.Н. Делоне, Б.А.Венковым, А.Д.Александровым, С.С.Рышковым, В.С.Макаровым (в основном в пространстве Лобачевского), Е.П.Барановским, М.И.Штогриным, Р.В.Галиулиным и др. ([1], [32], [81], [65], [94], [16]).

Б.Н.Делоне ([27], [29]) создал элементарный "метод пустого шара" который оказался полезным для изучения (г, К)-множеств и связанных с ними разбиений Вороного и Делоне. В последнее время, в связи с развитием вычислительной техники, этод метод породил целое направление в вычислительной геометрии (триангуляции Делоне). Тысячи работ посвящены изучению триангуляций и множеств Делоне и их многочисленным приложениям в математике, физике, химии, компьютерной графике и т.д.

В 1961 г. Делоне нашел оценку сверху для числа граней у выпуклого стереоэдра - многогранника правильного разбиения [31]. Отсюда была выведена конечность числа комбинаторно неэквивалентных типов нормальных правильных разбиений пространства на выпуклые многогранники. Опираясь на этот результат, а также на метод пустого шара, Б.Н.Делоне и Н.Н.Сандакова [32] построили общую теорию правильных разбиений Вороного евклидова пространства. Значительный прогресс в проблеме классификации правильных разбиений Вороного пространства для данной кристаллографической группы был достигнут за счет создания методов, соответствующих конкретным кристаллографическим группам. Чтобы найти все типы разбиений трехмерного пространства на стереоэдры Вороного для второй триклинной группы М.И.Штогрин создал метод мулъ-тирешетки. Для исследования параллелоэдров Дирихле-Вороного С.С.Рышков и Е.П.Барановский создали метод С-типов, с помощью которого они нашли все 5-мерные параллелоэдры Вороного общего типа. Область возможного применения этих методов шире, однако реализация их становится невозможной без привлечения компьютеров.

Мощный вычислительный метод в теории разбиений пространства был разработан А.Дрессом ([52], и его учениками [53]). Каждое кристаллографическое разбиение пространства на многогранники описывается при помощи некоторого конечного графа - так называемого символа Делэни. Разработанный метод с помощью этого символа позволяет эффективно описывать комбинаторные типы т-эдральных нормальных разбиений трехмерного пространства при условии, что число граней многограников, а также число многогранников, сходящихся в вершинах и ребрах разбиения ограничены константой. Однако этот метод не дает способа определять, какие из этих комбинаторных типов реализуются как кристаллографические разбиения пространства на выпуклые многогранники.

Новый шаг в теории правильных разбиений и точечных систем был сделан 25 лет назад. Благодаря так называемой локальной теореме (Делоне, Галиулин, Долбилин и Штогрин), правильность дискретной системы выводится из попарной конгруэнтности ее локальных фрагментов некоторого радиуса вокруг каждой точки системы, а в случае разбиений - из попарной конгруэнтности корон некоторого радиуса вокруг каждого многогранника. В частности, эта теорема подтверждает интуитиное представление о локальных причинах правильного строения кристаллов1: "Если атомы в веществе движутся не слишком активно, они сцепляются и располагаются в конфигурации с наименьшей энергией. Если атомы где-то разместились так, что их расположения отвечают самой низкой энергии, то в другом месте атомы создадут такое же расположение. Поэтому в твердом веществе расположение атомов повторяется . снова и снова и, конечно, во всех трех измерениях."

Однако в открытых четверть века назад мозаиках Пенроуза, как и в кристалле, каждый сколь угодно большой конечный фрагмент разбиения повторяется бесконечное число раз. Тем не менее мозаики Пенроуза не периодические, так что 'дальний порядок' и периодичность - не синонимы. В этом контексте локальная теорема приобретает особый интерес потому, что она дает четкий ответ на то, при каких локальных условиях разбиение (или множество точек) является правильным и, следовательно, по теореме Шенфлиса-Бибербаха периодическим.

Решению этой задачи посвящена глава II. Доказываемая в ней те

1Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике , "Мир", Москва (1966) том 7, с. 5. орема о продолжении непосредственно связана с проблемой существования разбиения пространства на многогранники, конгруэнтные данному. В этой проблеме, одной из центральных в теории разбиений, можно выделить три задачи.

A) Дан многогранник Р, описать условия, при которых он допускает какое-либо разбиение пространства, то есть условия, при которых существует разбиение пространства на многогранники, конгруэнтные данному.

B) Описать условия на многогранник, при которых он допускает правильное разбиение пространства.

C) При каких условиях многогранник является фундаментальной областью некоторой дискретной группы движений?

Наиболее общая задача (А) не решена.

Нами полностью решена задача (В) (об этом ниже).

Более частная задача (С) имеет богатую историю, восходящую к исследованиям Пуанкаре по теории фуксовых групп (дискретных групп собственных движений на плоскости Лобачевского). Во многих работах исследовались разные классы многогранников на предмет того, являются ли они фундаментальными областями дискретных групп движений. Наиболее важными частными случаями решения этой задачи есть многогранники Коксетера, которые являются фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями [20], а также теорема Б.А.Венкова о фундаментальных областях для дискретных групп параллельных переносов в евклидовом пространстве. Венков доказал, что евклидов многогранник, для которого выполняются три условия - (1) он имеет центр симметрии; (2) все (й— 1)-мерные грани также имеют центры симметрий; (3) проекция вдоль каждой (с? — 2)-мерной грани на дополнительную 2-плоскость является либо параллелограммом, либо центрально-симметричным шестиугольником; - является параллелоэдром. Общая теория фундаментальных многогранников для дискретных групп развивалась во многих работах (А.Д.Александров [1], Г.Абельс [86], Б.Маскит [69] и др.). Итогом этих усилий является общая теорема об условиях, при которых многогранник является фундаментальной областью дискретной группы (см. например, [14]). Предполагается, что на множестве [в, — 1)-граней ¿-мерного многогранника Р определена инволютивная подстановка, при которой для каждой грани Р определено движение др (преобразование смежности) , переводящее грань Р в соответствующую грань Р' и многогранник Р - в многогранник, лежащий по другую сторону от гиперплоскости грани Р'. Требуется также, что для каждой (с? — 2)-мерной грани многогранника Р существует последовательность преобразований смежности §1, ,., которой соответствует цепь многогранников Р» = • • • ®»Р, г — 0,. к, "обходящих" (с? — 2)-мерную грань. Если при этом з^-^вк =1с1, то группа, порожденная преобразованиями смежности, дискретна, и многогранник Р является ее фундаментальной областью. Реализация этого метода при (1 > 3, вообще говоря, наталкивается на серьезные комбинаторные и геометрические трудности.

Вернемся к задаче (В) о существовании правильного разбиения с данным многогранником независимо от того, является он фундаментальной областью для какой-либо подгруппы полной группы этого разбиения или нет. Теорема о продолжении утверждает, что данный многогранник разбивает пространство правильным образом тогда и только тогда, когда его можно окружить короной, состоящей из многогранников, конгруэнтных ему, удовлетворяющей двум условиям. Одно из них - совпадение группы симметрий короны с группой короны радиуса на единицу меньшего. Другое - существование у короны сдвигов, при которых образы короны согласованы с самой короной.

Теорема о продолжении сводит задачу перечисления всех нормальных правильных разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные данному, к перечислению всех корон с этими условиями. Радиус корон, которые необходимо проверить для перечисления всех правильных разбиений с данным многогранником, а также количество корон каждого радиуса, могут быть ограничены в зависимости от данного многогранника.

Задача проверки существования корон, рассматриваемых в теореме о продолжении, вообще говоря, сложная, но для некоторых многогранников решается просто. В частности, из коксетеровского многогранника при помощи отражений в плоскостях его (о? — 1)-мерных граней легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении. Поэтому кок-сетеровский многогранник с канонической короной допускает единственное правильное разбиение пространства. Стабилизатор многогранника в группе симметрий разбиения совпадает с группой сим-метрий многогранника. Из теоремы о продолжении вытекает также, что дискретная группа, порожденная отражениями в плоскостях его (¿— 1)-мерных граней, действует тразитивно на многогранниках разбиения, а коксетеровский многогранник является для нее фундаментальной областью. Вообще говоря, коксетеровский многогранник может допускать и другие, неканонические короны, удовлетворяющие условиям теоремы о продолжении. В этом случае многогранник допускает другие правильные разбиения. Группы симметрий этих разбиений не содержат группу, порожденную отражениями в плоскостях (с? — 1)-граней коксетеровского многогранника.

Теорема Венкова также легко следует из теоремы о продолжении потому, что из многогранника с тремя перечисленными выше условиями Венкова можно построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую обоим условиям теоремы о продолжении. Однако, как и многогранник Коксетера, параллелоэдр может допускать и другие короны, которые также удовлетворяют условиям теоремы о продолжении.

В §5 главы II также рассматриваются многогранники, у которых двугранные углы между смежными (в, — 1)-мерными гранями ^ и Fj равны 27г/т^, причем, если в многограннике для некоторого угла т^ нечетно, то многогранник симметричен относительно биссекторной гиперплоскости, проходящей через (с? — 2)-мерную грань этого угла (квазикоксетеровский многогранник). Если для всех двугранных углов гпц четны, то мы имеем дело с коксетеровским многогранником. Из всякого квазикоксетеровского многогранника также легко построить "каноническую" корону радиуса 1, удовлетворяющую условиям теоремы о продолжении. Поэтому квазикоксетеровский многогранник допускает правильное разбиение. Стабилизатор многогранника разбиения в группе симметрий этого разбиения совпадает с группой симметрий многогранника. Дискретная группа, порожденная отражениями относительно плоскостей граней многогранника, действует транзитивно на получившемся правильном разбиении. Но если хотя бы для одного двугранного угла значение Шу нечетно, то стабилизатор многогранника в этой группе нетривиален. Он является группой, порожденной отражениями в упомянутых биссекторных плоскостях.

Доказательство теоремы о продолжении опирается на теорему Александрова о разбиении односвязного пространства.

Фундаментальный для некоторой дискретной группы многогранник разбивает пространство правильным образом. Обратное, вообще говоря, неверно. Имеются правильные разбиения, которые не фундаментальны. Правильным, но не фундаментальным разбиением на сфере Э2 является проекция правильного икосаэдра из его центра на вписанную сферу. Это разбиение сферы не фундаментально потому, что всякая подгруппа группы икосаэдра, транзитивно действующая на его гранях, содержит нетривиальный стабилизатор грани. Это единственное разбиение на сфере, которое можно составить из этого правильного треугольника (проекции треугольной грани икосаэдра на сферу). Поэтому данный треугольник не является фундаментальной областью ни для какой дискретной группы, действующей на 2-сфере. Заметим, что этот треугольник является квазикоксете-ровским.

Вопрос, существуют ли в евклидовом пространстве многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых можно заполнить пространство правильным образом, чрезвычайно близок ко второму вопросу, поставленному Гильбертом в XVIII проблеме: существуют ли, кроме того, такие многогранники, которые не являются фундаментальными областями группы движений, но с помощью которых все же можно заполнить все пространство без пробелов соответствующим укладыванием конгруэнтных экземпляров этих многогранников.

В 1927 г. К. Рейнхард [79] нашел 3-мерный евклидов многогранник, допускающий разбиение пространства, но не являющийся фундаментальной областью ни для какой дискретной группы. Аналогичный пример евклидова многоугольника привел X. Хееш [90]. Поставим другой, очень близкий к вопросу Гильберта, вопрос: существует ли многогранник, допускающий разбиение пространства, но ни одно из этих разбиений не является мультиправильным (кристаллографическим) .

Сравнительно недавно был обнаружен трехмерный евклидов выпуклый многогранник (бипризма Шмитта-Конвея-Данцера), для которого существуют разбиения пространства на одинаково ориентированные экземпляры [23]. Любое из этих разбиений является непериодическим, то есть группа симметрий не содержит параллельных переносов. В то же время бипризма вместе со своей зеркальной копией допускает даже правильное разбиение пространства. Однако при помощи несложной модификации бипризмы, можно получить невыпуклый многогранник, который тоже разбивает пространство (§2 главы V). Любое разбиение пространства на модифицированные бипризмы может содержать лишь одинаково ориентированные многогранники. Вследствие этого модифицированная бипризма разбивает пространство лишь некристаллографическим образом.

Рассмотрим акристаллографический многогранник, то есть такой многогранник, который допускает разбиение пространство, но каждое такое разбиение - некристаллографическое. Как следует из доказанной в диссертации теоремы о несчетности семейств, не содержащих кристаллографических разбиений, множество всех попарно различных разбиений пространства, допускаемых акристаллогра-фическим многогранником, должно быть несчетным.

Даны конечное множество (так называемое протомножество) V многогранников а также 'локальное правило', определяющее порядок примыкания многогранников друг к другу. Множество всех разбиений пространства на многогранники, конгруэнтные многогранникам из протомножества, подчиняющихся заданному локальному правилу образуют семейство. Непустое семейство разбиений пространства называется акристаллографическим, если любое разбиение в семействе не является кристаллографическим. Аналогично, непустое семейство разбиений евклидова пространства называется апериодическим, если в нем нет разбиений с трансляционной симметрией. По теореме Шенфлиса-Бибербаха апериодическое семейство является акристаллографическим.

Понятие апериодического семейства появилось в 1960-е г.г. в работах Вэнга (H.Wang) и Бергера (R.Berger) о неразрешимости "проблемы разбиений". Семейство мозаик Р.Пенроуза (1974) является апериодическим семейством разбиений на плоскости из многоугольников двух видов. Существует ли евклидов многоугольник, который допускает лишь непериодические разбиения - неизвестно. Повиди-мому, ближе всех подошел к этой задаче Р. Пенроуз [74], который нашел апериодическое семейство разбиений евклидовой плоскости, обозначенное им как 1 -\-е + £2-семейство. Протомножество Пенроуза состоит из трех многоугольников, два из которых могут быть выбраны по сравнению с третьим сколь угодно маленькими по площади.

Теорема о несчетности акристаллографических семейств естественным образом обобщает известные до этого отдельные факты о несчетности, например, семейства узоров Пенроуза, а также тех апериодических семейств разбиений, которые получаются методом сечения и проекции (cut and projection).

В связи с открытием в природе непериодических структур, обладающих 'дальним порядком', появились новые подходы к изучению таких структур. Одним из новых инструментов изучения дискретных множеств X в (¿-мерном евклидовом пространстве является перечисляющая функция Nx{p), которая, по определению, равна числу попарно неконгруэнтных окрестностей радиуса р, встречающихся в X. Вообще говоря, у дискретного множества число попарно неконгруэнтных окрестностей бесконечно. Множества, для которых эта функция определена для любого р > 0, называются множествами конечного типа. Во многих работах (М.Бааке, Д.Лагариас, Р.Муди, П.Плэзантс и др.) изучается зависимость между характером множества X конечного типа, и поведением его перечисляющей функции Nx{p)- Пусть множество X есть кристалл ( то есть дискретное множество в ¿-мерном евклидовом пространстве, состоящее из конечного числа кристаллографических орбит). Кристалл, очевидно, является примером множества конечного типа, а перечисляющая функция для него равна некоторой константе для всех р > ро. Для точечных множеств X, определенным образом ассоциированных с квазипериодическими мозаиками Пенроуза на плоскости, функция Nx(p) ведет как 0(р2). Одна из гипотез (П.Плэзантс), относящихся к перечисляющей функции, утверждает, что для каждого целого n, 1 < п < d, существует такая константа cn(d,r,R), что если для (г, Л)-множества X функция Nx(p) < cn(d,r,R)pn для всех р > ро? то множество X обладает по крайней мере (d — п + 1)-мерной трансляционной группой симметрий.

В главе III диссертации эта гипотеза доказана для п = 1. Тем самым показано, что если функция Nx{p) меньше, чем ci(d,r,R)p, то X является кристаллом, а функция Nx(p) остается равной некоторой константе т для всех р > ро> Для п > 1 задача остается нерешенной. Полученная оценка для перечисляющей функции Nx{p) неулучшае-ма с точностью до коэффициента. В § 2 главы III дается пример (г, R)-множества X С Е2 конечного типа, не являющегося кристаллом, с перечисляющей функцией Nx(p) — О(р).

Наряду с исследованиями правильных систем локального характера была обнаружена несколько неожиданная теорема (глобальный критерий кристалла). Пусть X С ~Ed - дискретное множество и у G Ed. Рассмотрим глобальную звезду StyX с центром в у - множество всех отрезков, соединяющих точку у со всеми точками х G X. В главе IV доказывается, что если для дискретного множества X в (¿-мерном евклидовом пространстве его глобальные звезды с центрами в некотором множестве Y все попарно конгруэнтны, то X -кристалл, где от множества Y центров глобальных звезд требуется, чтобы одна из его точек находилась внутри выпуклой оболочки, натянутой на остальные точки. То, что это условие является необходимым для всякого кристалла, очевидно. Достаточно взять в качестве множества Y одну из кристаллографических орбит, входящих в данный кристалл.

Следующее утверждение является частным случаем этой теоре