Решение интегральных уравнений с неограниченными ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАК,™ АЛЬ-ФАРАБИ А'ШНДАГЫ МШЕКЕТТ1К УНИВЕРСИТЕТ!

Коджаз5» нуклиде

Урыаыбето! Бактыбек Атаулы

Kefláip айныган дифференцналдып твццеулард"! н, Кварцитит! ecervrept дайлы. '

01.01.02 - дг.ффер«мциалдык. тецдеулер

Фкзмка-матаыатика гьшиидарииыи кандидаты гылши дережесмне ¡здвну днссертациясынвд авторефераты

Алиаты -1992

№

ереванский государственный университет

на правах рукописи

гамаль ыохамад атия

УДК 517.968;519.63,64

решение интегральных уравнении с неограниченными ядрами

01.01.02. Дифференциальные уравнения 05.13.16. Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1992

Работе выполнена в Ереванской государственной университете.

Нвучный руководитель: член-корр. АН Армении, доктор физико-

математических наук, профессор

А.Б.НЕРСЕСЯН

Официальные оппоненты: член-корр.АН Армении, доктор физико-

математических наук, профессор

Г.Е.БАГДАСАРЯН доктор физико-математических наук, профессор

Н.Е.ТОБМАСЯН

Ведущая организация: Институт проблей информатики и автоматизации.

•Защита состоится 25 декабря 1992 г. в 15 часов на заседании специализированного Совета К 055.01.12 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ереванском государственном университете.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан 30 ноября 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета Т.Н.Арутюнян

-ЩГ

ЙК^.мОТ^А ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Одним из важнейших разделов теоретической и прикладной математики является теория интегральных уравнении. Она включает в себя как исследование интегральных операторов в соответствующих функциональных пространствах,так и разработку методов решения уравнения с этими операторами.

Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (задачи спектроскопии,кристаллографии, акустики, теория волн на поверхности жидкости), геофизику (задачи гравиметрии, сеисмики), материаловедение (теория вязкоупругости, ползучести) и многие другие научные и инженерше дисциплины*. Особое место

занимают интегральные уравнения теории потенциала, позволяющие в

• »

ряде случаев эффективно решать краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнении.

Быстрое расширение области применения интегральных уравнений стимулировало интенсивную разработку их теории и особенно приближенных методов решения.

Необходимо отметить, что методы аналитического решения уравнения, основанные на применении явного вида резольвенты, преобразованиях Лапласа, Фурье, Ыеллина, Бесселя и др.,на хорошо сходящихся рядах по элементарным и специальным функциям - имеют вполне естественное ограничение и, по существу, уже исчерпали себя.Такой подход в настоящее время неактуален и по той причине, что явный вид решения зачастую труднее реализуем на ЭВМ, чем алгоритм приближенного решения.

1 А.Ф.Верлань, В.С.Сизиков. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы.программы. Справочное пособие.Киев,"Наукова Думка"-86

Применительно к решению современных практических задач полезность приближенных методов определяется возможностью их машинной реализации, доведением до алгоритмов и стандартных программ,эффективно реализуемых на персональных компьютерах типа IBM PC/AT.

Основные методы численного решения интегральных уравнения относятся к случаю уравнении с гладкими ядрами.

В случае интегральных уравнении с сингулярными (неограниченными) ядрами применение известных методов (в частности, метода квадратур) наталкивается на серезные трудности2.

С другой стороны, многие задачи математической физики приводят именно к решению интегральных уравнении с тем или иным типом сингулярности.

Разработка эффективных методов решения интегральных уравнении с сингулярными ядрами для численной реализации на персональных компьютерах имеет большое значение при решении прикладных задач.

Цель работы. Основной целью работы является

*

а) Теоретическое изучение определенных классов интегральных операторов Вольтерра и Фредгольма второго рода с сингулярными ядрами, встречающихся в теории уравнении с дробными производными и при решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа,

б) Разработка и реализация на тестовых примерах эффективных алгоритмов решения соответствующих задач на компьютерах класса IBM PC/AT.

2 L.M.Delves, J.I.Mohamed. Computational Methods for Integral Equations. -Cambridge Univ. Press, 1985.

Научная новизна. Новизна результатов диссертации заключается в следующем

1)Изучены интегральные операторы типа Вольтерра и Фред-гольма с сингулярными ядрами определенных типов (в частности вида (1),(2), см.ниже)в пространствах Cn([a,b]), ißO и Lp (a,b)

(1<P<+co).

2)Выведены весовые квадратурные формулы, соответствующие ядрам изучаемых операторов.

3)Разработаны эффективные алгоритмы решения модельных интегральных уравнения и краевых задач для уравнения Лапласа в областях с изломанной границей.

4)Разработанные подхода реализованы при численном решении линеиных и нелинейных уравнении Вольтерра (в частности, для операторов типа дробных производных), а также при решении модельных краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

Практическая ценность работы заключается в возможности использовании разаработанных в ней алгоритмов при решении интегральных уравнении с сингулярными ядрами и связанных с ниш задач для дифференциальных уравнении.

Результаты работы и подходы, разработанные в ней, могут быть использованы как при решении интегральных уравнении с родственными типами сингулярностеи, краевых задач Дирихле и Неймана для широкого кла'сса областей, так и при решении новых задач для уравнении в частных производных методом потенциала. Методы гл.1 могут быть использованы при решении интегро-дифференциальных уравнении типа Вольтерра."

3 Н.Впшпег. Polinomlal Spline Collocation Methods for Vol-terra Int egrodlfierentlal Equations with Weakly Singular Kernels. IMA Journal of Numerical Analysis, 6,1986, 221-239

Методика исследования базируется на: а)сведении начальной задачи для дифференциального уравнения с дробными производными к уравнению Вольтерра второго рода с подвижной сингулярностью, б)сведении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в областях с изломанной границей к решению систем интегральных уравнении с неограниченными ядрами.

Методами функционального анализа изучаются модельные интегральные операторы (характерные,в частности, для случаев а) и б)) с точки зрения их ограниченности и компактности в классических пространствах.

При построении эффективных алгоритмов решения изучаемых задач применяются классические и специальные весовые квадратурные формулы на неравномерной сетке, а также методы регуляризации.

Оптимальное сочетание этих методов выявляется на основе результатов широкомасштабного численного эксперимента на модельных задачах.

Программы реализованы на языке Pascal, численные результаты получены на компьютере IBM РС/АТ-286.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре отдела дифференциальных и интегральных уравнении института математики АН Армении и на кафедре дифференциальных уравнений математического факультета ЕрГУ.

Структура и об'ей диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав. В ней приведены 22 рисунка с графиками илюстрирувдими результаты численного эксперимента. Список цитируемои литературы состоит из 28 наименовании. Общии об'ем работы - 91 стр.

- 7 -содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и дан обзор ее содержания.

Глава 1 посвящена уравнениям Вольтерра второго рода. Краткий обзор методов решения линейных и нелинейных уравнении Вольтерра приведен в Я. 1. В Я.2 сведены используемые в дальнейшем квадратурные формулы. Наряду с классическими формулами выведены специальные весовые формулы, учитывающие специфику ядер изучаемых интегральных операторов Изучаются квадратурные формулы как для ядер со степенной сингулярностью, так и для ядер следующих двух видов

к^х.ю = к0(х,г), о<х,г<1 (1)

г

= р^р К0(ХД), 0<ХД<1 (2)

где Кс - гладкая функция. Проблема заключается в том, что классические квадратурные формулы приводят к ошибке, практически не зависящей при малых х и I от густоты сети дискретизации.

Последные формулы используются далее, в гл.11.

В Я.3 обсуждаются методы, основанные на применении оптимального сочетания разных подходов к построению квадратурных формул. В частности,на примерах конкретных линейных и нелинейных уравнений показано, что в случае ядер К(хД) со степенной сингулярностью (при х=1;) эффективна следующая тактика (дискретизация-в точках 0=хо<х1<..<хы=1, N=2", .хй2).

1 .На первых N/4 шагах (при определении у(х|е),к=0,1,2,..,^ ) применяются весовые формулы, выведенные в Я .2.

2.Начиная с п= (^-1 )-го шага на отрезке Ск£Х£(^ - применяются классические квадратурные формулы, а на отрезке

(|-^)<x<1 - весовые. В случае ядра с сингулярностью переменного порядка

х

K(x.t) = (x-t)"zo", й(х) =

2(1+х) 0<х<1

показано, что оптимальной является сеть

хк=(к/Ы)Р, к=0,1,..р>0 (3)

при (3=0.6.

В Я.4 исследованы интегральные операторы, встречающиеся в теории дробного интегрирования (смЛ15,161). Наряду с начальной задачей для линейного дифференциального уравнения с производными в смысле Римана-Лиувилля изучены интегральные уравнения с операторами

X

ёаГ [

гаФ = ](х-1)а-1гак(хд)ф(г)йг (4)

О 0<х<1, 0<а<1

х

1 Г .

»ШФ = —ш(г/х)К(хд)ф(г)<1г (5)

X * о

0<х£1, Ш(0)=1 , Ш(1 )=0,

Оператор *а является аналогом частного случая оператора Х.Кобера* ([14,15]), а оператор - оператора М.М.Джрбашяна3. Выявлены следующие свойства этих операторов.

* Н.Ко^ег. On Fractional Integrals and Derivatives

Quast. J.Math, Oxford ser.II, 1940, 193-211

3 М.М.Джрбашян. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения. ДАН СССР, 1967, 177, N4, 767-770

ТЕОРЕМА I. Оператор *а, определенный форцулой (4), опраничен в Ср([0,1]) при Qsp<n. В частности

u slnax где |.|о норма в С([а,Ь]).

При К(0,0)*0 этот опрератор не является кошактныл в С([а,Ь]).

ТЕОРЕМА 2. Оператор определенный по фориуле (5), ограничен в СЦ0.1 ]) и

Ра/РЦ 5 ИЖ

V'

При К(0,0)*0 этот оператор не компактен.

Разработаны вычислительные схемы для решения уравнении

второго рода с операторами *а и и проведен численный

эксперимент.

Глава II посвящена методам решения линейных уравнении

Фредгольма второго рода с сингулярными ядрами. В §2-1 приведен

краткий обзор известных методов решения. 52.2 посвящен модельным

интегральным уравнениям с ядрами К (хД), 1=1,2, типа (1),(2).

Изучаются интегральные операторы 1

«ир а= |к (хД)ф(г)йг, 1=1,2, о<х<1 (6)

О '

Доказана

ТЕОРЕМА 3. При Ко(0,0)*0 операторы (1)-(3) неограничены в Ьр(0,1 )(0<р<+®). Оператор ^ ограничен в Ь0, а - в Ь±.

§2.3 посвящен методам численного решения уравнении (7) и (8) на основе подходов, условно названных регуляризационными.

Первый подход основан на представлении интегралов (7) и (8) соответственно в виде

г ки.юут \ к(х.г)ут-к(х.0)у(0) X -;-;- (И = X -----(Эй +

о о

г

+ К(х,0)у(0)атсгв— (7)

х

ш(х^)у(г) \ гск(хд)у(г)-к(х,х)у(х)]

си = -—--<и +

хг+гг J хг+хг

о

1+х2

+ К(х,х)у(х)1п—- (8)

хг

В основе второго подхода лежит возмущение ядер операторов ( и в окрестности точки (1;,х)=(0,0) таким образом, чтобы классические квадратурные формулы оставались эффективными. В частности, ядро уравнения (8) при малых г и х заменяется ядром

гк (хД)

Кр(хД) = —- (е-0).

е 1;г+хг+е

В §2.4 изучается комбинированные методы, основанные на оптимальном сочетании классических квадратурных формул Гаусса, весовых формул из §1.2, методов регуляризации, а также неравномерной сетки (3). На основе серии численных экспериментов выработаны рекомендации для решения уравнении второго рода с ядрамиобладающими сингулярностями видов (1) и (2).

В частности, для уравнении с ядрами К(хД) вида (1) наиболее эффективными оказались алгоритмы, основанные на комбинации квадратурных формул Гаусса с весовыми формулами в окрестности точки (хД)=(0,0) на отрезках неравномерной сетки

о

вида (3) при 2.

Для уравнения с ядрами вида (2) наиболее удачными оказались алгоритмы, целиком основанные на весовых квадратурных формулах на равномерной сетке (т.е. в (3) ß=1).

Глава III посвящена применению результатов гл.11 при решении краевых задач для уравнения Лапласа в области, граница которой содержит точки изломов.

В §3.1 приводятся постановки прикладных задач, сводящихся к решению внутренней задачи Дирихле или внешней задачи Неймана. Рассмотрены задача кручения сплошного цилиндрического стержня и задача теории магнитоупругости проводящих тел.

§3.2 посвящен численному решению тестовой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговом сегменте.сводящейся к решению интегрального уравнения.Численные расчеты проведены в случае полукруга, когда решается система

%

1 1 , МФ) = —ЗД)--к(Ф)<Ч> -

тс 2ic J

t

1 г 81пф

тс ■1(соБф-1;)г+а1пгф

u,(t)dt (9)

%

1 1 г 1-хсозф

иг(х) =-Г2(х)------ U (ф)йф (10)

г % 1с J(соэф —х) +sln ф 1

(COS(J) -X) +31Л ф

о

О^ф^-тс, -1 < х < 1

где 14(ф) и Гг(^)-заданные функции, а (ф) и и^(х) - искомые, плотности двойного слоя.

Показано, что ядро уравнения (9) в окрестности точек

(ф,г)=(0,1), (тс,-1) и ядро уравнения (10) в окрестности точек

(х,ф)=(0,1), (-1,%) соответственно имеют вид (1). Решена конкретная задача Дирихле и показана эффективность разработанных в гл.2 рекомендаций.

§3.3 посвящен постановке и решению модельных внешних задач Неймана для уравнения Лапласа в областях, дополнительной к прямоугольнику и к круговой линзе.При соответствующей параметризации последняя задача эта методом потенциала сводится к решению следующей системы (0«кх)

а а

, соза-соБф

•ш(ф) + и(ф)с1ф - соБа

г2

и(ф)йф

-а -а

= Г4«р) + Гг(Ф) (11)

%7(ф) + соза

а

СОБа-СОБф

- у(ф)Аф =

гг

-а

= Г±(ф) - Гг(ф) (12)

где Г4(ф) и 12(ф)-заданные функции, а и^ф) и и2(<р) - искомые плотности потенциала простого слоя. Оказывается, что обозначения

и(ф) = и4(ф) + иг(ф), У(ф) = и4(ф) - ^(ф)

расщепляют систему , на два независимых уравнения С12

С ядрами, имеющими в окрестостях точек (ф,ф)=(а,а), (-а,-а) вид (2). На примере конкретной задачи Неймана проведен численный эксперимент. Показано, в частности, что эффективны комби-рованные алгоритмы, построенные на основе квадратурных формул на отрезках следующей неравномерной сетки {хк> типа (3)

X, = 1

К 1(3

К 1(3

1--], Х_к= -Х)С, к=0,1,2,..,И; Р>1 (13)

Результаты численных экспериментов проиллюстрированные графиками (рис 24 и 25), свидетельствуют о том, что разработанные рекомендации могут быть эффективно реализованы для непосредственного решения краевых задач, поставленных в §3.1, для областей с кусочно-гладкой границей, изломанной под прямым углом.

. Предлагаемый подход, в принципе, применим и в случае кусочно-гладкой границы, изломанной под ненулевыми углами.