Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений с вырождением на частях границ рассматриваемых областей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ФЕДОРОВ ШАЛ НИКОЛАЕВИЧ

КРАЕБЬЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАЕШШИ С ВЬРОВДЕНИЕН НА ЧАСТЯХ ГРАНИЦ РАССМАТРИВАЕМЫХ ОБЛАСТЕЙ

специальность-:.. Д1-Л1.02..^.диф^ренциальнье уравнения

■Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата дазико-матеаатнчесхих наук

САМАРА 1995

Работа выполнена на кафедре "Высшей математики-Самарской государственной архитектурно-строительном академии.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Н.Я.Николаев

инициальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Самарская государственная экономическая

академия

¡а заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присухденив 'ченои степени кандидата физико-математических наук, в Самарском осударственном педагогическом университете по адресу: 443090, •. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26,

С диссертацией могно ознакомиться в библиотеке Самарского •осударственного педагогического университета по адресу-. 443043, Самара, ул. М.Горького, 65/67. Автореферат разослан " 2.2 •• СймЯмЩ 1995 г.

профессор К.Б.Сабитов

кандидат физико-математических наук,

доцент Х.А.Чиханов

Защита диссертации состоится

2к' 1995 г. в /4

'ченьм секретарь диссертационного :овета, кандидат физико-математических 1аук, доцент

В.А.Носов

ОЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важнейших разделов современной теории ¡ифференциальных уравнении с частными производными является иссле-ювание краевых -задач для уравнений смешанного типа. Значение этой •еории определяется многочисленными приложениями в современной мзике и технике.

Фундаментальными работами являются работы С.А.Чаплыгина, ¡».Трикохи, М.Чибрарио, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля. Из современных исследований по краевым ¡задачам отметим работы А.В.Бицадзе, ^.М.Нахушева, М.М.Смирнова, В.Н.Врагова, В.И.Жэгалова, В.Ф.Волко-1авова, К.Б.Сабитова и многих других математиков.

Для уравнений гиперболического типа были поставлены новые фаевые задачи профессором В.Ф.Волкодавовым. Особенностью постановок задач является то. что для некоторых краевых задач искомое решение задается на характеристической части границы области, а цлч других как на характеристической, так и на нехарактеристичес-коп линии со специальными условиями сопряжения. Ниже эти условия будут приведены. Подобные задачи исследовались также Н.Я.Николаев им. Е.И.Томиной, В.З.Вагаповым, И.М.Сергиевской и другими авторами.

В работе рассматриваются новые краевые задачи для уравнений

и u)s u.<4+signy uyy—2-sign у (u^- uy>= 0 , (L)

О а < 1 ,

5 i м Í з u *sl^nyu + ^u = O , P>1, (SI

XX - y y XX ^

на ограниченных и неограниченных множествах.

Цг;ль работы. Обоснование существования и единственности решения некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Методы исследовании. Единственность решения краевых задач для уравнений смешанного типа доказываются на основе принципов локального экстремума для гиперболических и эллиптических уравнений, леммы Хопфа. При доказательстве существования решения краевых задач использовались метод Римана, метод Римана-Адамара, теория интегральных уравнений Вольтерра первого рода, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода й теория полного сингулярного уравнения.

Научная новизна. Доказаны принципы локального экстремума для уравнения Пулькина (Б). Для уравнения < 1_0» обоснованы существование и единственность решения задач е, N. Е~м+, »Те*. Г~ы+ со специальный« условиями сопряхения. Нихе будут приведены постановки этих задач. Доказаны единственность решения двух смешанных краевых задач для уравнения и.» и существование решения задачи 2. Дальнейшее развитие получили д-задачи для уравнения Пулькина в неограниченных трапецевидных областях.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты является новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.

На защиту выносятся;

1. Доказательство существования и единственности решения пяти новых краевых задач для уравнения ч-0>.

2. Доказательство единственности решения двух задач 1 и 2 для уравнения смешанного типа и.).

3. Доказательство существования решения задачи 2 для уравнения (г.).

4. Доказательство существования и единственности решений задач д®. д^ для уравнения (э > в области гиперболичности с заданием краевого условия с весом на бесконечно-удаленной характеристике.

5. Доказательство существования и единственности решения задачи V.

AüpoödUHH работы. Результаты диссертации докладывались на:

-Международной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" ( г. Ташкент, 1993г),

-Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск,1994г.),

- Пятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара,1995г.j,

-Областном семинаре по дифференциальным уравнениям при Самарском государственном педагогическом университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Волкодавова (Самара,1994-1995г.),

-Семинаре по дифференциальным уравнениям при Стерлитамакском государственным педагогическим институте под руководством доктора физико-математических наук, профессора К.Б.Сабитова (Стерлитамак,-1995г . ). ."'■■•.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано' восемь работ.

Обьем и структура диссертации. Работа изложена на 79 страницах машинописного текста и сосоит из- введения, двух глав и библиографического списка, содержаще!'о 115 наименований.

С!'ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Р/ введении приведен обзор литературы по' теме диссертации, налагается краткое содержание р-аботы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.

Первый параграф первой главы состоит из' шести пунктов. В пункте 1 параграфа i приводятся постановки пяти новых краевых задач (Е,

„ - i - ■* „ ~ + —4-

я, Е N . N Е ,.Г N ) для уравнения i ) на множестве Gh = Ghv Gh, "де с! = {tc.nM о s п ю, g~~ ei? ) | о ---e^r) <h },

П Л

О h <. +<ю .

ЗАДАЧА Е. Найти функцию ut?,?)), удовлетворяющую условиям : u( непрерывна в каждой из областей g^ hg",

ulf.nle t'lG); Lq(u)=Ö Hd MHOXeCTBe G; u ( f. 5 ) = T + (f ), ? <s[ 0, h}, (1.1.1)

u (f r -f ) = r~(f ), £ «t~h, 0], (1.1.2)

lim u~(£,t)> = a lim u+(?,r]), П « t 0, h], (1.1.3) f-. -0 f.» + 0

? П

llm' är J u~( t' »J<it = b Ilm ^-J (t-iJ-^u (t,rj)dt,

-0 ^ +0 ^ .

-n ?

(1.1.4)

где u t f, п ' -решение уравнения <Lq> в области G~, u+( e,n ) - в — области G* , 0 < X < 1 , a,b 6 к, ab * 0 , т) e( 0, h) .

ЗАДАЧА H. Найти функцию u(f,n>, удовлетворяющую условиям : u(?,rj) непрерывна в каждой из областей g* и g~, u(f ,i))e C^G); Lq(u)=0 На МНОЖеСТВв G;

Um ( П - ? )a(u -u ) = v+( ( ), e e ( 0, h ), (1.1.5)

lim (u + u ' ) = f ), f e <-h, 0 ), (1.1.6 )

г/ < £ -»+0 5 n

а также условиям <1.1.з>, пл.4). ЗАДАЧА е~н+ . Найти функцию u(f,rj), удовлетворяющую условиям-. u(?,r)) непрерывна в кахдой из областей g* и g~, и(?,о)« c*<g); Lq(u)^0 на множестве G, а также условиям (1.1.2), d.i.5),

( 1 .1 .3 ), (1.1.4) .

ЗАДАЧА Н~Е*. Найти функцию и(Е,г)>, удовлетворяющую условиям: ui(,r)i непрерывна в кахдой из областей G* и g~, ui(,n)e сЧсь LQ(u)d) на множестве g, а также условиям (l.i.l), ti.i.6),

(1.1 .3 ), (1.1.4) .

ЗАДАЧА ГУ. Найти функцию и(?,>)). удовлетворяющую условиям: u(f ,17) непрерывна в каждой из областей g^ и g~, u<?,r))e c^g); Lqiu)=0 на мнихестве g, а также условиям ti.i.5), (1.1.3),

(1.1.4)

Uli,Г)) = у~<?! , [ -h,0 1. (1.1.7)

Ь пунктах 2-6 параграфа 1 дается обоснование существования и единственности решения выше поставленных задач.

Во втором параграфе главы 1 рассматривается вопрос сушест-зования и единственности решения новых краевых задач (задачи 1 и задачи 2 > в областях специального вида для уравнения (ь >. На мнохестве о о0 и о" и о*. где верхняя полуплоскость,

-со < X <+са, су- есть ОбЛЭСТЬ с границей У=-Х, 0<х<1/2, у—О, э<х<1, х-у=1, 1/2< к < 1;о7 есть область с границей у=-х, з<х<1/2, х-о, -1<у<о, х-у^г, о<х<1/2 поставим следующие задачи.

ЗАДАЧА 1. Наити функцию и(х,у), удовлетворявшую следующим условиям :

1. и(х,у? есть непрерывная функция в кавдой из областей о0, о*, Щ, и(х.у) е с2<а), ии)^0 на множестве о;

2. Ilm u(x, у» ~ 0,р = Ух" + у" ,

р . +со

Г Vх1'

01 ~ { V-x>, х>1, U10, у) -т"(у), -1 <у < О.

г. условиям сопряжения на линии у = о:

lim u(x, у! ~ а(х) lim u(x, у), хе 10,1 J, у-. -О у-> +0

(1.7.1)

(1.7.2)

(1.7.3)

(1.7.4)

lim l-y) u ix, у! ~ ß у . -О у

и на линии у=-х

(х)11m у u (х, у), хе (0,1), (1.7.5)

У » +Ü у

Uta u~ i х, у; -а lim u (х,у), х е [ О, h/2 1, (1.7.6) х+у.-0 х+у-»+0

У"" _ У+х _ _ 1

Um ] — f(x+y-t) V(t,x-y!dt + ~ Jlx+y-t) Xu (t.x-y)dt J -

у * 0

y-X y-x

r X~y - A~y - 1

-b lim f(t-x-y) Xu+(t,x-y)dt+ f(t-x-y) Xu+(t,x-y)dt ,

w, .+n L^' J J

■ rVd

x-»j--»+0

" j

xt( 0, h/2 !, ab*0, a,b e 1K.0 < X < 1.

x+y

Я .7.7)

ЗАДАЧА 2. Наити решение и(х,у) уравнения ш на мнохестве о

непрерывное в каждой на областей й^, п^, nj. удовлетворявшее

условиям (1.7.1), (1.7.2), (1.7.3), (1.7.5), (1.7.6), (1.7.7) И

lira и(х, у) = al х ) Xim u (х, у), х е (0,1), (1.7.8) у-» -О у- +0

В задаче 2 используется специальное условие -склеивания":сопряжение функции с ее производной, условие Коэна и Рубинова.

Доказательство единственности решений поставленных задач для уравнения смешанного типа id основывается на экстремальных свойствах решения уравнений эллиптического типа (лемма Хопфа), утверждения лемм локального экстремума, доказанных в пунктах 9 и 10, единственности решения задачи Дирихле в области эллиптичности и единственности решения задачи Е в области гиперболичности.

Существование решения задачи 2 сведено к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма со слабой особенностью в ядре:

1

Гц(х) + jr0it> К( к, t) dt = e0(x). (1.12.4)

о

Решение таких уравнений существует. Однозначная разрешимость интегрального уравнения следует из единственности решения задачи 2.

Глава 2 состоит также из двух параграфов. В пункте 1 даны постановки задач л®, д® как в координатах х,у так и в характеристических координатах ç, rj. Сформулируем постановки задач д®, л* в характеристических координатах.

В координатах ï^x+y, »гх-у гиперболическое уравнение Пулькнна ts) преобразуется в уравнение

q

S„(u)= u, + ( u +u 1-0, (S,.)

Q 'П Ç+>) Ç Г) о

где q~

Уравнение is0> рассмотрим в областях d+, d~, p+, p~. d+- область с границей ç=o, n^a, n^ç, г>>а; u" с границей ç=a, п^о, n^ç. î>a-, i>+~{ (• ,Ц> |a<< <ï)<+co}; (£ ,!) ) |a<n<ç <+<»}.

Задача л". Наити решение уравнения tsy) на множестве и- d+uu~, удовлетворяющее краевым условиям :

—у—

lim ulf ,r) ! . равномерно ПО f<E(0, + co); (2.1.7)

Г)»4"®

Ilm u(f , rj )f i) >. равномерно по Г)е(0, + <х>»; 12.1.8) {-»+00

и условию сопряхения

lim lu -u >-0( f )lim (U_-U ), fela ,+oo). (2.1.9)

j)-f-»+0 c 17 f-n^+0 f "

Задача д^. Наити решение уравнения isQ) на множестве р=р+ир~, удовлетворяющее краевым условиям (2.1.7) и

u(f ,a)=ii""tf ), f el а,+00 ), (2.1.10)

и условиям сопряжения

lim u If.r;) = f lim u if,r)'. f«(a,+oo), (2.1.11)

lim (u -u ) = lim (u,-u ), fe(a,+oo). (2.1.12)

jj-f »+o 5 п е-г7-,+о 4 71

В пункте 2-4 главы 2 даются решения вспомогательных задач Коши-Гурса cg^\ cg??, сс™ соответственно в областях d+, о", р~. b пункте 5-7 параграфа 1 второй главы приведено доказательство существования и единственности решении задач д®, а??. Каждая задача состоит в отыскании решения уравнения IS,,) со специальными-условиями "склеивания" по нормали к линии раздела областей. Разрешимость задачи д^' сведена к вопросу разрешимости интегрального уравнения Водьтерра первого рода с гипергеометрической функцией в ядре

f »ttlF^-q.^-.l;1*" Jdt = G(f ), (2.5.3 i

f " t

решение которого известно. В пункте ь приведены принципы локального экстремума для уравнения is0) в областях Gj, с.,, , н„. На основании принципов локального экстремума в областях нг, н0 установлена единственность решения задачи д® для уравнения (S2).

В параграфе 2 второй главы поставлена задача v для уравнения смешанного типа ts) на множестве D' и+и D~,rfle {(х,у>| х>о, у>о, хг+ у2=1), и" множество точек (х,у) с границей х-у-а.

|< х <а, у=о, а<х, х+у=о, х>а/2. На основе принципов локального экстремума и известно» леммы о знаке lim xqjXL_ в области

эллиптичности обосновано единственность решения задачи v.

С помощью известного решения задачи Е в области эллиптичности области, полученного решения задачи Коши-Гурса в области гиперболичности вопрос существования решения задачи редуцирован к

вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения 1 . 1

г J dt +JV it)K(x,t)dt = g(x). 12.11.5)

а а

При исследовании регулярного ядра и свободного члена интегрального уравнения существенно использовался аппарат специальных функций.

В заключение автор вырахает глубокую признательность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Н.Я.Николаеву за внимание к работе и постоянную поддерхку, а такхе руководителю областного семинара " Дифференциальные уравнения" доктору физико-математических наук, профессору В.Ф.Волкодавову за ценные рекомендации в процессе работы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Федоров И.Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа// Меха. науч. конф. "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа".23-25 ноября 1993г. - Ташкент, 1993г.- Сл70.

2. Федоров И.Н. Задача n~e' для одного частного случая уравнения Эйлера - Дарбу// Тезисы докл. мехд. конф. по математическому моделированию.15-19 сентября 1994г.- Якутск, 1994г.- С.61.

3. Федоров И.Н. Задачи е, n для одного частного случая уравнения Эйлера-Дарбу// 1нтегральн1 перетворення та ix застосування до краиових задач. 36iphik наукових працъЛнститут математики HAH Укра1НИ.1994. Вип. 7.- С.212-214.

4. Федоров И.Н. Некоторые задачи для одного частного случая уравнения Эйлера-Дарбу// Тезисы докл. iv науч. мехвуз. конф.

-и-

"Математическое моделирование и краевые задачи".25-27 мая 1994.-Самара. 1994.-С.2U-21.

5. 4-е до ров 'Л. Н. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа в неограниченной области// Тезисы докл. v науч. межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи".24-25 мая 1995г. - Самара, 1995.-с.90.

6. Федоров И.Н. Задача д^ для уравнения isQ) // Математическое моделирование. РАН,Институт матем. моделир. РАН. 1995 г. Т.7.№5,- С.97.

7. Федоров И.Н. Принципы локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа// 1нтегральн1 перетворення та ix застосування до крайових задач. Зб1рн±к наукових праць.хнститут математики HAH Украши.1995. Вип. 8.- С.204-207.

з. Федоров И.Н. Задача Vj для одного уравнения смешанного типа // Тезисы докл. международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения".27-30 июня 1995г.- Самара, 1995. -С.83.