Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

005019542

На правах рукописи

КОСТИН Александр Владимирович

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 АПр ¿0¡2

Москва-2012

005019542

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Бутузов доктор физико-математических наук, профессор A.B. Нестеров, доктор физико-математических наук, профессор И.В. Денисов Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится «24» мая 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, ауд. № СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета

МГУ.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук

Ю.В. Грац

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению ряда сингулярно возмущенных систем ОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Актуальность темы

Математические модели многих процессов в физике, химии, биологии, социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами. Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачу можно не всегда. Примером служат сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителя при старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малого параметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким к решению более простого вырожденного уравнения. Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах его учеников и многих других ученых.

Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней. В последнее время активно исследуется более сложный случай - когда корни вырожденного уравнения пересекаются. Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций.

Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корней вырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденной задачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Доказательство предельного перехода в большинстве работ, посвященных таким задачам, проводится с помощью метода дифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих нижнего и

верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью решения вырожденной задачи, проводилась сложная и громоздкая процедура сглаживания с помощью функции специального вида. Как оказалось, более эффективным методом является метод регуляризации вырожденного уравнения, разработанный В.Ф. Кутузовым [1, 2]. Верхнее и нижнее решение, построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простыми и симметричными относительно формальной асимптотики (для большинства рассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет получить более точную асимптотику решений. Суть метода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения на гладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящего от малого параметра определенным образом.

Цель работы

Главной целью диссертационной работы является развитие метода регуляризации вырожденного уравнения и метода дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новые классы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравнений эллиптического и параболического типов, частично диссипативные системы уравнений с разными степенями малого параметра при производных);

- для всех рассмотренных задач доказаны теоремы о предельном переходе и получены асимптотические оценки решений;

- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования разрешимости и построения асимптотик решений ряда модельных задач химической кинетики, в том числе частично диссипативных систем, моделирующих процессы реакции-диффузии в том случае, когда диффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторых видов сингулярно возмущенных систем ОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов, а также теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения для систем уравнений параболического типа.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, 2008 г.), на XVIII Международной научной конференции «Ломоносов - 2011» (Москва, 2011 г.), на V Международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2011 г.), а также обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева, H.H. Нефедов и В.Ф. Бутузов).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы (61 наименование). Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и отмечена научная новизна работы, а также кратко изложено содержание глав.

В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучались ранее другими авторами. Исследование данных задач преследовало две цели: построение более простых верхних и нижних решений с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, не менее точной, чем полученная ранее. Для задачи, рассмотренной в §1, асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать и асимптотическую устойчивость решения.

В §1 рассмотрена система уравнений

s2u" = g(u,v,x,s), v" = f(u,v,x,s), 0<х<1 (1)

с краевыми условиями

«'(0, s) =и'{ 1, е) = 0, v(0,s) = v\ v(l, s) = v1, (2)

где s - малый параметр, 0 < е «1, v° и v' - заданные числа.

Существенную роль в задаче (1), (2) играет характер зависимости правой части быстрого уравнения (функции g) от малого параметра s. Случай, когда функция g содержит слагаемое порядка s, имеющее определенный знак на линии пересечения корней вырожденного уравнения, и когда g не зависит от е, являются существенно разными, причем последний случай более сложен. Так, например, в работе [3], посвященной задаче (1), (2) в случае, когда функция g не зависит от е, построение нижнего и верхнего решений

проводилось путем разбиения отрезка 0 < х <, 1 на 5 отрезков, построения на каждом из них соответствующей части нижнего и верхнего решений и гладкого сшивания затем этих частей на границах соседних отрезков. Метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет упростить данную процедуру.

Итак, рассмотрим задачу (1), (2) в более сложном случае, когда функция g не зависит от е. Для упрощения записи будем считать, что функция /, как и функция g, не зависит от е, поскольку регулярная зависимость / от £ не имеет принципиального значения (в отличие от функции g).

Условие А,. /еС2(ё), где <3 = /„х£, П = 1,х[0,1], /. и /„ -

некоторые интервалы изменения переменных и и V.

Условие Аг. Функция g(u, V, х) имеет вид

g(u, v, х) = л(и, v, х)(и - <р, (v, х))(и - <рг (v, х)), где ЛеС2(С), еС2(£>), срг еС2(0), Л(к,у,х)>0 в области С, а значения функций <р! и <р2 лежат в интервале /. при (v,х) е О.

Условие Л2 означает, что вырожденное уравнение

£(М,У,Х)=0 (3)

имеет два корня относительно и: и = сру (у, х) и и = <рг (у, х).

Условие А,. В области £> существует гладкая кривая Г, описываемая уравнением

у = у0(х), 0<х<1, такая, что для 0 < х < 1 выполнены соотношения

<Р, (П х) > (рг (у, х) при у < у0 (х),

<Р, (ч0(х),х) = <р2 (у0(х),х), <?! (V, х) < <р2 (V, х) при у > у0 (х).

Условие Аг означает, что корни м = (у, х) и и = <р1 (у, х) вырожденного уравнения (3) пересекаются по некоторой кривой, проекцией которой на плоскость (у,х) является кривая Г, лежащая в области О.

Используя корни и <рг, построим решение вырожденной задачи, получающейся из задачи (1), (2) при е = 0. При этом построении важную роль играют соотношения между граничными значениями V0, V1 функции V и граничными значениями функции у0 (х). Остановимся на случае

У°<уо(0),У'>Уо(1). Рассмотрим две краевые задачи, в которых х0 играет роль параметра:

V" = /(?,С,х),у,х), 0 <х <ха, у(0) = у°, у(х0) = у0(х„), (4)

v"=/(!Яг(v,x),v,x), х0 <х<1, у(х0) = у0(х0), у(1) = у'. (5)

Условие А4. Существует х0 е (0,1), такое, что краевые задачи (4) и (5)

имеют решения у = у, (х) и у = у2 (х), удовлетворяющие соотношениям

У,(х)<у0(х) при 0<х<хо, У2 (х) > У0 (х) при х0 <х<1, у,'(х0) = у3'(х0).

Введем функцию у(х), составленную из решений V, (х) и v1 (х):

[у,(х), 0£х£хс,

К (х), х0 <х<1.

Несложно видеть, что у(х) является классическим (у(х) еС2[0,1]) решением краевой задачи

У* = /(Р(%Х),У,Х), 0<х<1, У(0) = У°, у(1) = У1 , (6)

где <р(у, х) - составной корень вырожденного уравнения (3): (<р,(у,х) при у<у0(х), 0<х<1,

<р(у, х) = <

№(V,*) при у>у0(х), 0<х<1. Введем функцию

й(х) = ф(х),х).

Отметим, что в отличие от у(х) функция й(х) имеет, вообще говоря, в точке х0 разрывы (скачки) первой и второй производных.

Пару функций й(х), у(х) назовем составным решением вырожденной задачи.

Условие А5.

Ж: 1,,,,

Здесь х0 - число из условия А4.

Условие А6. Существует число р >0, такое, что выполнены неравенства \ф,(х)\<Р при 0<х<1,

где знаком Л обозначена функция, взятая на составном решении, / = тах(х0,1-*0).

Основным результатом являются следующие две теоремы. Теорема 1. Если выполнены условия А,-А6, то для достаточно малых е существует решение и,(х,е), уДх.е) задачи (1), (2), имеющее асимптотическое представление

и,(х,е) = й(х) + 0(е1п), v,{x,s)=v(x) + 0^.eln), О^хгП. (7)

Отметим, что из (7) следуют предельные равенства

Нтн,(х,я)=й(х), НткО,г) = £(*), 0<х<1,

т. е. при е-*0 имеет место предельный переход от решения задачи (1), (2) к составному решению вырожденной задачи.

Теорема 2. При условиях А,- А6 для достаточно малых е стационарное решение и, (х,е), у,(х,е) параболической задачи

-и, +е2н„ =£(м,у,х), -V, +у„ =/(и,у,х,е), 0 <х <1, (>0,

является асимптотически устойчивым.

Доказательство Теоремы 1 осуществляется методом дифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих верхнего и нижнего решений.

Как уже было отмечено, компонента й(х) составного решения вырожденной задачи не является гладкой в точке ха. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью й(х), в ранних работах применялась процедура сглаживания й{х). Позднее было установлено [1, 2], что более эффективным методом, позволяющим получить более точную асимптотику решения, является своеобразная регуляризация вырожденного уравнения (3) и связанная с ней модификация вырожденной задачи.

1) Регуляризация вырожденного уравнения. Вместо вырожденного уравнения (3) рассматривается уравнение

(и-^(х\х)){и-(р2(у,х))-гге*п =0, (8)

где г - положительное число, выбор которого уточняется по ходу доказательства теоремы.

Уравнение (8) имеет два гладких корня относительно и, больший из которых назовем цг(у,х>в)

(//(v, x, £) = ^ {(у, х) + (рг(у,х)+ [(.?, (v, х) - срг (v, .г))2 +4 г2е"']"2}.

Функция ц/(у,х,€) отличается от функции (р(у, х) на величину порядка 0(е2п) в 8-окрестности кривой Г, и 0{е"п) - вне ¿'-окрестности.

Таким образом, замена вырожденного уравнения (3) уравнением (8) является регуляризацией вырожденного уравнения в том смысле, что вместо негладкого составного корня <р(у,х) получается близкий к нему при малых е гладкий корень х, £■).

2) Модификация вырожденной задачи. Рассмотрим краевую задачу

v" = f(y(v,x,£),v,x),0<x<l, v(0,s)=v\ у(1,г) = у'. (9)

Она получается из задачи (6), если составной корень <р(у,х) заменить на гладкий корень ц/{у,х,е) регуляризованного уравнения.

При достаточно малых в существует решение V = у(х, е) задачи (9), имеющее асимптотическое представление

v (х, с) = v(x) + w(x, s), где w(x,s) = 0(eln) равномерно на отрезке 0 < х < 1.

3) Построение нижнего и верхнего решений. С помощью функций i//(v, х,е) и v(x,e) для задачи (1), (2) построены простые и симметричные верхнее и нижнее решения, позволяющие записать решение ut(x,s), v, (х, s) задачи (1), (2) в виде

ия(х,е) = у/(?(х,е),x,s) + 0(s213), v,(л;,s) = v(х,e) + 0(s2'3), 0<х<1, откуда с учетом ранее указанных оценок для функций t//(v, х, е) и v(x, е) для решения и,(х,е), vt(x,e) задачи (1), (2) получаем асимптотическое представление (7).

Доказательство Теоремы 2 проводится аналогичным образом, путем построения подходящих верхнего и нижнего барьеров для соответствующей параболической задачи.

В §2 и §3 Главы 1 доказаны теоремы о предельном переходе для начальной задачи

s*ut+g(u,v,x,e)= 0, e"vx +f(u,v,x,e) = 0, хе(0,Т], (10)

м(0,£) = м°, v(0,ff)=v°, (11)

и краевой задачи:

s2ua-g(u,v,x,e)= 0, £"v„ -f(n,v,x,e) = 0, хе(ОД), (12)

и'(0, е) = и '(1, е) = 0, v'(0, s) = v'(l, s) = 0 (13)

при различных значениях параметра р.

В отличие от задачи, описанной выше, в данных задачах вводилось требование существования устойчивого изолированного корня и = ç(v, х) вырожденного уравнения g(u,v,x,0) = 0 и существование двух пересекающихся корней v,(x) и Уг(х) другого вырожденного уравнения /(ç>(v,x),v,x,0) =0.

Еще одной отличительной особенностью данных задач является условие,

Qf

состоящее в том, что производная — имеет определенный знак на линии

ôs

пересечения корней вырожденного уравнения. (Здесь важна зависимость от малого параметра именно для функции /, а не g, т. к. вырожденное уравнение для / имеет два пересекающихся корня). Используя данное условие, регуляризация вырожденного уравнения проводится не за счет искусственного добавления членов, зависящих от s определенным образом, как это было сделано в выше описанной задаче, а за счет слагаемых порядка s, входящих в /•

Кроме того, за счет указанной зависимости f от s в некоторой окрестности точки пересечения корней вырожденного уравнения разность между точным и предельным решениями имеет порядок 0(е"2), в отличие от порядка Ois2'1), характерного для задачи (1), (2).

При некоторых дополнительных условиях с помощью метода дифференциальных неравенств было доказано существование решений задач (10), (11) и (12), (13), имеющих асимптотические представления, полученные ранее в работе [4]:

м(д:> + P0w(s) + П0ы(г-) + для х е[0,х0 -S),

и(х, е) = û(x) + 0(е"2 ) для хе [х0 -S,x0 + S],

û(x) + O(s) для хе (х0 + S, Т],

v(x,e) =

v(x) + P0v(s) + O(e2-") для xe[0,xa-S),

v(x) + O(s ) для xe[x0- S,xa + S],

v(x) + 0(s) для xe(x0+S,T]

для задачи (10), (11) и

и(х) + 0(е"') для хе[0,<У]и[1-<ЗД

û(x) + 0(s"2) дм х e[x0-S,x0+S],

û(x) + O(e) для xe{S,xa-â)u(x0 + S,l-S),

v(x) + 0(epn) для хе[0,^]и[1-<Щ

• v(x) + 0(еш ) для x e [x0 - S,x0 + S],

v(x) + O(s) для x e (ô, x0 - S) u (x0 + S, 1 - S)

u(x, e) =

v(x,s) =

для задачи (12), (13). Здесь й(х), у(х) - составное решение вырожденной задачи, П0и(г), Р„м($) и Р0у(5) - пограничные функции нулевого порядка.

В Главе 2 исследована система эллиптических уравнений

£2Au = g(u,v,x,£), Ду = /(и.у.х.г), х = (х„х,)еЛ, (14)

с краевыми условиями

|£(£*) = 0,у(£*)=у0(£),£еГ, (15)

дп

где £> - ограниченная область на плоскости с достаточно гладкой границей Г, е - малый параметр, вырожденное уравнение £(и,у,х,0) = О имеет два пересекающихся корня. Задача рассматривалась в случае, когда функция g содержит слагаемое порядка е, имеющее определенный знак на линии пересечения корней вырожденного уравнения.

В результате с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и дальнейшей модификации вырожденной задачи были построены верхнее и нижнее решения задачи (14), (15), методом дифференциальных неравенств доказана теорема существования решения, имеющего асимптотическое представление

и,(х,Е) = й(х) + 0{Е1П), у,(х,е) = \>(х) + 0(еш), хе£>.

Также была доказана теорема об асимптотической устойчивости решения соответствующей параболической задачи

-и, +Eгku=g(u,V,X,E), -у,+Ду = /(и,у,х,е), х ££>, I >0,

дп

В Главе 2 также исследованы два вида систем параболического типа При разных значениях параметра р рассмотрена начально-краевая задача ^г (и, - ) + х, Г, е) = 0, е' (у, - у„) + /{и, V, х, I, е) = 0, х е (0,1), / е (О, Г], и, (0, *, в) = ил (1, е) = 0, у, (0, г) = V, (1,1, е) = 0, и(х,0, е) = и"(х), у(х,0, е) = у0 (х),

в которой вырожденная система состоит из двух конечных уравнений, причем уравнение g(u,v,x,t,0) = 0 имеет два пересекающихся корня. С помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены верхнее и нижнее решения, доказано существование решения данной задачи и получена его асимптотика.

В другой начально-краевой задаче

-!*„) +g(u,v,x,t,e) = Q, V, -гтХ, +/(и,V,х,/,гг) = 0, хе(0,1), / е(0,Т], и ДО, /, е) = их (1, {, е) = 0, V, (О, I, е) = V, (1, Л е) = 0, и(х,0, г) = и" (х), г(х,0, е) = V0 (х) вырожденная система состоит из конечного уравнения и ОДУ первого порядка, причем уравнение g(u,v,x,t,0) = 0 имеет пересекающиеся корни. Для этой системы также доказано существование решения и получена его асимптотика.

В Главе 3 рассмотрено несколько видов частично диссипативных систем реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Частично диссипативные системы часто используются для моделирования процессов реакции-диффузии в различных областях (химическая кинетика, биология, астрофизика), где эффектом диффузии одного вида можно пренебречь. Примером задачи с частично диссипативной системой является начально-краевая задача для системы быстрого и медленного уравнений Ег(и, -u:a) + g{u,v,x,t,e) = 0, V, + /(и,у,х,1,г) =0, хе(ОД), I е(0,Г], и(х&е) = и°{х), у(ХДе) = у°(х), и,(0,/,г)=к,(1,/,г-) = 0, в случае пересечения корней вырожденного уравнения g(u,v,x>tfi) = 0, для которой доказана теорема о существовании решения и его асимптотике.

Аналогичные теоремы доказаны для начально-краевой задачи для частично диссипативной системы двух быстрых уравнений eг(ul-uJ + g(u,v,x,t,Б) = 0, £"V, + /О,V,X,*,£) = 0, х 6(0,1) л 6(0,Т], и(х,0,е)^и\х), у(х,0,£-) = у°(х), И>(0,/,£) = М,(1,/,£-) = 0

в двух случаях: при пересечении корней вырожденного уравнения g(u,v,x,t,0) = 0 и при пересечении корней другого вырожденного уравнения ДМ,У,Х,*, 0)=0.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации:

- доказаны теоремы о предельном переходе для ряда сингулярно возмущенных систем ОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов, а также различных частично диссипативных систем уравнений с разными степенями малого параметра при производных в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются;

- получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач;

- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новый класс задач, определены условия его применимости;

для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения;

- установлен асимптотический порядок разности между точным и предельным решениями в окрестности точки (линии) пересечения корней вырожденного уравнения в зависимости от наличия или отсутствия членов порядка е в правой части уравнения.

Цитированная литература

1. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 3. С. 433-444.

2. Бутузов В.Ф. Существование и асимптотическая устойчивость стационарного решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения II Диф. уравнения. 2006. Т. 42. № 2. С. 221-232.

3. Бутузов В.Ф., Громова Е.А. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №8, С. 1165-1179.

4. Бутузов В.Ф., Терентъев М.А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, №11. С. 1686-1699.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ. Ч. 2 - М.: РГСУ, 2008. С. 8-14.

2. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О сингулярно возмущенной системе двух уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 7. С. 915-931.

3. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О предельном переходе в сингулярно возмущенной эллиптической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Научная конференция «Ломоносовские чтения -2008». Секция физика. Сборник тезисов докладов. С. 153-155.

4. Костин A.B. О сингулярно возмущенной параболической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // XVIII Международная научная конференция «Ломоносов - 2011». Секция физика. Сборник тезисов. Т. 1.С. 119-121.

5. Костин A.B. О предельном переходе в сингулярно возмущенной частично диссипативной системе в случае пересечения корней вырожденного

уравнения // V Международная конференция «Матем. идеи П.Л. Чебышева и их прилож. к совр. пробл. естествознания». Тезисы докладов. Обниск: ОГГУАЭ, 2011.С. 77.

6. Костин A.B. О сингулярно возмущенной частично диссипативной системе реакции-диффузии в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ. М.: РГСУ, 2011. С. 57-67.

7. Бутузов В.Ф., Костин A.B. Сингулярно возмущенные частично диссипативные системы реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения И Чебышевский сборник: Науч.-теорет. журн,- Т. XII. Вып. 3 (39). Тула: Изд-во Тул.гос.пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2011. -132 с. С. 22-44.

Подписано в печать: 11.04.2012 Объем: 1 усл. п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 102 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Страстной бульвар, д. 6, стр. 1 (495) 978-43-34; www.reglet.ru

61 12-1/829

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

КОСТИН Александр Владимирович

УДК 517.956.226

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

01.01.03 - математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор В.Ф. БУТУЗОВ

Москва, 2011

Содержание

Введение....................................................................................................................................................................................................4

Краткое содержание работы................................................................................................................................................6

Глава 1. Сингулярно возмущенные системы ОДУ в случае пересечения корней

вырожденного уравнения......................................................................................................................................................7

§1. Краевая задача для системы быстрого и медленного ОДУ второго порядка в

случае, когда правая часть не зависит от малого параметра......................................................................7

1. Постановка задачи и основные результаты........................................................................................7

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.1), (1.2)................................................11

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи...............................................................................................................................................22

4. Пример................................................................................................................................................................................27

§2. Начальная задача для системы двух быстрых ОДУ первого порядка в случае,

когда правая часть зависит от малого параметра................................................................................................29

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................29

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.88), (1.89)..........................................33

3. Завершение доказательства теоремы 1.3..............................................................................................37

4. Пример................................................................................................................................................................................38

§3. Краевая задача для системы двух быстрых ОДУ второго порядка в случае,

когда правая часть зависит от малого параметра................................................................................................40

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................40

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.117), (1.118)....................................40

Глава 2. Сингулярно возмущенные системы уравнений эллиптического и

параболического типов в случае пересечения корней вырожденного уравнения.. 46

§1. Система быстрого и медленного уравнений эллиптического типа....................................46

1. Постановка задачи и основные результаты........................................................................................46

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.1), (2.2)................................................49

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи............................................................................................................................................................................................................57

§2. Система двух параболических уравнений, вырождающаяся в систему

конечного уравнения и ОДУ первого порядка......................................................................................................60

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................60

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.69), (2.70)..........................................64

3. Пример........................................................................................................................71

§3. Система двух быстрых параболических уравнений, вырождающаяся в систему

двух конечных уравнений..........................................................................................................................................................72

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................72

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.124), (2.126)....................................77

3. Пример................................................................................................................................................................................85

Глава 3. Сингулярно возмущенные частично днссипативные системы реакции-

диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения..........................................87

§1. Частично диссипативная система быстрого и медленного уравнений..........................87

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................87

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.4), (3.5)................................................87

§2. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай

пересекающихся корней в диффузионном уравнении)....................................................................................91

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................91

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.20), (3.21)..........................................92

§3. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай

пересекающихся корней в бездиффузионном уравнении)..........................................................................95

1. Постановка задачи и основной результат............................................................................................95

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.44), (3.45)............................................99

3. Пример................................................................................................................................................................................103

Заключение..........................................................................................................................................................................................105

Список литературы....................................................................................................................................................................106

Введение

Математические модели многих процессов в физике, химии, биологии, социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами. Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачу можно не всегда. Примером служат сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителя при старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малого параметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким к решению более простого вырожденного уравнения. Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова [1]-[3] и получило дальнейшее развитие в работах его учеников [4]-[6] и многих других ученых [7]-[22].

Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней. В последнее время активно исследуется более сложный случай - когда корни вырожденного уравнения пересекаются (см. [23]-[45]). Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Например, в работе [26] описана система параболических уравнений, моделирующая бимолекулярную реакцию с быстрой бимолекулярной скоростью реакции г(и,у)/е2 и медленными мономолекулярными скоростями реакции (и) и g2 (у)

ди д2и , . . - г(м,у)

- -- (В.1)

8у Э2у - г{и,у)

где и и V - искомые концентрации веществ А и В, известные функции 1а{х) и

описывают источники этих веществ, £ - малый параметр.

В стационарном случае система (В.1) записывается как

д2и дх2

£2^ГГ = -£/ <Х О) - & (")) + Ки, V),

(В.2)

тт = -£2(1ь (*) - #2 о)) + г(и>у) • дх

После замены переменных и = и, V = и - V система (В.2) сводится к системе

д2и

£2 — = -г2 {1а (х) - я, (и)) + г (и,и - V) , дх

d2v

= + (и).

ox

которую можно записать в виде

2 d2u . .

S —г = g(u,V,X,£),

ах

(В.З)

d2v

—T = f(u,v,x,e).

ах

Как выяснилось, пересечение корней w = <^(v,x) и u = <p2(v,x) соответствующего вырожденного уравнения

g(u,v,x, 0) = 0

позволяет объяснить явление скачка скорости химической реакции, наблюдаемое на опыте.

Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корней вырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденной задачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Доказательство предельного перехода в большинстве работ, посвященных таким задачам, проводится с помощью метода дифференциальных неравенств (см. [46]-[55]), т. е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью решения вырожденной задачи, в работах [23]-[35] проводилась сложная и громоздкая процедура сглаживания с помощью функции специального вида. Как оказалось, более эффективным методом является метод регуляризации вырожденного уравнения, разработанный В.Ф. Бутузовым и представленный в работах [36]-[45]. Верхнее и нижнее решение, построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простыми и симметричными относительно формальной асимптотики (для большинства рассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет получить более точную асимптотику решений, чем в работах [27] и [32]. Суть метода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения на гладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящего от малого параметра определенным образом. Ключевым требованием применимости данного метода является условие, при котором функция g из первого уравнения системы (В.З) представима в виде

g(u, v, х, s) = g(u, v, х,0) - sgt (и, v, х, е), причем функция gx(u,v,x,s) является либо строго положительной на линии пересечения корней уравнения g(u,v,x,0) = 0, либо всюду тождественно равна нулю.

Целью настоящей работы является развитие метода регуляризации вырожденного уравнения и метода дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новые классы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравнений эллиптического и параболического типов, частично диссипативные системы уравнений с разными степенями малого параметра при производных);

- получены точные асимптотические оценки решений рассмотренных задач;

- для систем уравнений параболического типа впервые доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из трех глав.

В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучались ранее другими авторами с использованием процедуры сглаживания. Рассмотрение данных задач преследовало две цели: построение более простых верхних и нижних решений с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, не менее точной, чем полученная ранее. Для некоторых задач асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать и асимптотическую устойчивость решения.

В Главе 2 сформулированы и доказаны теоремы существования и асимптотического представления решений сингулярно возмущенных систем эллиптического и параболического типов в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

В Главе 3 рассмотрены несколько видов частично диссипативных систем реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Частично диссипативные системы часто используются для моделирования процессов реакции-диффузии в различных областях (химическая кинетика, биология, астрофизика), в том случае, когда диффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь (см. [27], [56]-[60]).

Глава 1. Сингулярно возмущенные системы ОДУ в случае пересечения

корней вырожденного уравнения §1. Краевая задача для системы быстрого и медленного ОДУ второго порядка в случае, когда правая часть не зависит от малого параметра 1. Постановка задачи и основные результаты 1.1. Введение. Рассмотрим систему уравнений

е2и" = g(u,v,x,s), у" = /(и,у,х,£), 0<х<1 (1.1)

с краевыми условиями

и'(0,£) = и'(1,£) = 0, у(0,£) = у°, У(1,*) = У\ (1.2)

где б - малый параметр, 0 < £ « 1, V0 и V1 - заданные числа.

Для функции и поставлены краевые условия II рода. Это не принципиально, можно рассматривать краевые условия I рода - в этом случае уже в нулевом приближении возникает пограничный слой в окрестностях граничных точек х = 0 и х = 1, который описывается стандартным способом (см., например, [5]) и не оказывает влияния на те свойства решения, которые обусловлены спецификой рассматриваемой задачи. Специфика же состоит в рассмотрении того случая, когда вырожденное уравнение

g(u,v,x, 0) = 0, (1.3)

получающееся из первого уравнения (1.1) при £ = О, имеет два корня относительно и , и эти корни пересекаются по некоторой кривой. Как выяснилось, существенную роль в таких задачах играет характер зависимости правой части быстрого уравнения (в системе (1.1)- функция g) от малого параметра £. Случай, когда функция g содержит слагаемое порядка £, имеющее определенный знак на линии пересечения корней вырожденного уравнения, и когда g не зависит от £, являются существенно разными, причем последний случай более сложен. Задача (1.1), (1.2) в первом случае исследована в [25], а во втором случае (когда g не зависит от £) - в [32]. В каждой из этих работ доказано при определенных условиях существование решения краевой задачи (1.1), (1.2), которое при £ -» 0 стремится к решению вырожденной задачи, получающейся из (1.1), (1.2) при £ = 0 , причем решение вырожденной задачи строится с использованием составного негладкого корня вырожденного уравнения (1.3). Этот негладкий корень составляется из двух устойчивых ветвей пересекающихся корней уравнения (1.3) (см. ниже (1.14)). Доказательства в [25] и [32] проводятся с помощью метода дифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений для задачи (1.1) и (1.2). В более сложном случае, когда функция g не зависит от £, построение

нижнего и верхнего решений в работе [32] проводилось путем разбиения отрезка 0 < х < 1 на 5 отрезков, построения на каждом из них соответствующей части нижнего и верхнего решений и гладкого сшивания затем этих частей на границах соседних отрезков.

1.2. Постановка задач и формулировка теорем. Рассмотрим задачу (1.1), (1.2), как и в [32], в том случае, когда функция g не зависит от е: g = g(u,v,x). В п. 2 будут построены новые, отличные от используемых в [32], нижнее и верхнее решения задачи (1.1), (1.2). Их преимущество состоит в том, что они дают возможность получить более точную асимптотику решения us(x,e), vs(x,s) задачи (1.1), (1.2) по сравнению с [32]. В

свою очередь более точная асимптотика позволяет доказать асимптотическую устойчивость этого решения, как стационарного решения соответствующей системы параболических уравнений

-и, + s2uxx = g(u,v,x), -v, + vxx = f(u,v,x,s), 0 < х < 1, t > 0 (1.4)

с краевыми условиями

ux{0,t,s) = ux{\,t,s) = 0, v(0,t,e) = v°, v(\,t,e) = v1. (1.5)

Точные формулировки теорем о существовании решения и его асимптотической устойчивости приведены в конце этого пункта.

Остановимся на условиях, накладываемых на функции g, / и граничные значения

v°, v1 фунции v. Для упрощения записи будем считать, что функция /, как и функция g, не зависит от f (/ = f(u,v,x)), поскольку регулярная зависимость / от е не имеет принципиального значения (в отличие от функции g ).

Условие А,. g е С2 (G), f е С2 (G), где G = lu х D , D = /„ х [0,1], 1и и /„ - некоторые интервалы изменения переменных и и v.

Будем считать, что вырожденное уравнение

g(u,v,x) = 0 (1.6)

имеет два корня относительно и в области G : u = (px{v,x) и и = <р2(у,х). Тогда функцию g можно представить в виде

g(u,v,x) = h(u,v, х)(и -<p{(v, х)){и ~(p2(v,x)). (1.7)

Условие ^.Функция g(u,v,x) имеет вид (1.7), где heC2(G), (рх eC2(D), <p2eC2(D),

h(u, v, х) > 0 в области G , а значения функций (рх и (р2 лежат в интервале /и при (v, х) е D.

Условие А3. В области D существует гладкая кривая Г, описываемая уравнением

v = v0 (я:), О < х < 1, такая, что для 0 < х < 1 выполнены соотношения

<рх (v, х) > (р2 (v, х) при v < v0 (х), (1,8а)

^,(v0(x),x) = ^2(v0(x),x), (1.86)

(px{v,x)<(p2{v,x) npnv>v0(x). (1.8в)

Условие Аъ означает, что корни u = q>x(y,x) и и = ср2(у,х) вырожденного уравнения (1.6) пересекаются по некоторой кривой, проекцией которой на плоскость (v,x) является кривая Г, лежащая в области D.

Используя корни q>x и ф2, построим решение вырожденной задачи, получающейся из (1.1), (1.2) при £- = 0. При этом построении важную роль играют соотношения между граничными значениями v°, v1 функции v (см. (1.2)) и граничными значениями v0(0), v0(l) функции v0(x). Остановимся на случае, когда

v°<v0(0), v'>v0(l). (1.9)

(О других возможных случаях будет сказано в замечании 1.1 ниже).

Рассмотрим две краевые задачи, в которых х0 играет роль параметра:

v" = /(^(v,x),v,x), 0<x<x0, v(0) = v°, v(x0) = v0(x0), (1.10)

v" = /(^2(v,x),v,x), x0 <X<1, v(x0) = v0(x0), v(l) = v'. (1.11)

Пусть выполнено

Условие Л4. Существует х0 е (0,1), такое, что краевые задачи (1.10) и (1.11) имеют решения v = v, (х) и v = v2 (х), удовлетворяющие соотношениям

v, (х) < v0 (х) при 0 < x < х0 , v2 (х) > v0 (х) при х0 < x < 1 , v,' (х0 ) = v'2 (х0 ) . (1-12)

Введем функцию v(x), составленную из решений v,(x) и v2(x) краевых задач (1.10) и (1.11):

,(х) К(х), 0 < х < х0, [v2 (х), х0 < X < 1.

Так как v, (х0) = v2 (х0) = v0 (х0) (см. (1.10) и (1Л1)) и v[ (х0) = v2 (х0) в силу условия А4, то v(x) является классическим (v(x) е С2[0,1]) решением краевой задачи

v" = f(<p(v,x),v,x), 0<х<1, v(0) = v°, v(l) = v', (1.13)

где <p(v,x) - составной корень вырожденного уравнения (1.6):

ф(?,х) =

<Р\ (V, х) при V < у0 (х), 0 < X < 1, (рг (у,