Метод декомпозиции области для эллиптической краевой задачи с внутренним вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАЮПОВ Шамиль Ильдусович

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ВНУТРЕННИМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

2 2 0!

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2009

003480287

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Казанский государственный университет' им. В.И. Ульянова-Ленина"

Научный руководитель; Доктор физико-математических

наук, доцент

Тимербаев Марат Равилевич

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Копысов Сергей Петрович

Доктор физико-математических

наук, профессор

Лапин Александр Васильевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится 19 ноября 2009г. в 17 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в Казанском государственном университете по адресу:

420008, г.Казань, ул. Кремлевская 18, корп.2, ауд. 218. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «</•?» октября 2009г.

Ученый секретарь <г~>

о си,

диссертационного совета О.А. Задворнов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Метод конечных элементов (N'1X9) является эффективным методом решения краевых задач математической физики. Теория метода хорошо развита для задач, входные данные которых регулярны, т.е. когда коэффициенты уравнения, правая часть и граница области достаточно гладкие. Известны оценки в нормах пространств Соболева решений таких задач, которые позволяют строить оптимальные схемы МКЭ.

Практический интерес также представляют краевые задачи с особенностями во входных данных. Для таких задач стандартный МКЭ, не учитывающий сингулярного поведения решения в окрестности особых точек, является неэффективным, что подтверждается теоретическим анализом и результатами расчетов. Поэтому актуальной проблемой является построение оптимальных методов решения таких задач.

Важным классом задач с особенностями являются краевые задачи для дифференциальных уравнений с вырождающимися коэффициентами. Решения таких задач имеют неограниченный градиент вблизи точек вырождения, что существенно затрудняет их численное решение. Одной из первых работ, посвященных построению сеточных методов для вырождающихся на границе краевых задач была работа Ю.А.Гусмана и Л.А.Оганесяна (1965 г.), в которой для уравнения с оператором типа Трикоми в прямоугольной области рассматривалась разностная схема первого порядка точности. Д.Марини и П.Пиетра исследовали смешанный метод конечных элементов для задачи с сингулярными коэффициентами в прямоугольнике. Большое число работ было посвящено численному решению двухточечной краевой задачи с вырождением па границе. Так П.Сьярле, Ф.Наттерер и Р.Варга использовали ¿-сплайны в методе Ритца-Галеркина; Р.Шрейбер представил приближение Галеркина в виде произведения кусочно-полиномиальной функции на специальный вес. М.Р. Тимербаевым были построены оптимальные схемы численного решения краевых задач для уравнений в частных производных с вырождением на границе.

Более сложной проблемой является численное решение эллиптической краевой задачи с коэффициентами вырождающимися внутри области.

Целью работы является построение оптимальных схем МКЭ для крае-

вых задач с вырождением внутри области.

Методы исследования. Для исследования вырождающихся краевых задач применяется аппарат функционального анализа, теория дифференциальных уравнений, теоремы вложения пространств Соболева с весом, теория метода конечных элементов.

Научная новизна работы. Все результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. Предложены проекционно-сеточные схемы для решения краевой задачи с внутренним вырождением на основе метода декомпозиции области и с помощью мультипликативного выделения особенности. Построен оператор продолжения граничных значений в область, с помощью которого вырождающаяся задача с неоднородными краевыми условиями сводится к однородным. Исследована схема с численным интегрированием для двухточечной вырождающейся задачи.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Построение оператора продолжения граничных значений в область, с помощью которого задача с неоднородными краевыми условиями сводится к однородным.

2. Доказательство оценок решений двухточечных краевых задач с вырождением на границе и внутри области в нормах весовых пространств Соболева.

3. Доказательство оценок точности схем МКЭ с мультипликативным выделением особенности для двухточечной краевой задачи с вырождением. Исследование влияния численного интегрирования на погрешность таких схем.

4. Доказательство сходимости метода декомпозиции области для краевой задачи с внутренним вырождением.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при разработке эффективных методов решения краевых эллиптических задач с вырождением на границе и внутри области.

Достоверность научных результатов. Все результаты диссертации строго математически доказаны. Результаты численных экспериментов согласуются с теоретическими выводами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на шестом и седьмом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 1-4 октября 2005г., 21-24 сентября 2007г.), на шестой

Всероссийской молодежной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (Казань, 26 июня - 1 июля 2006г.), на четвертой-шестой Всероссийских конференциях с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 29-31 мая 2007г., 29-31 мая 2008 г., 1-4 июня 2009г.), на всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18-20 июня 2007г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 30 марта - 2 апреля 2009г.), на шестнадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 25-31 мая 2009г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета, на научном семинаре в Институте прикладной механики УрО РАН (Ижевск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11], из которых одна — в журнале, входящем в перечень ВАК РФ. Результаты во всех работах принадлежат авторам в равной степени.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 93 наименования. Общий объем составляет 116 страниц, включая 2 рисунка и 3 таблицы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 09-01-00814, 09-01-97015).

Содержание работы

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Во введении диссертации формулируется цель исследования, приводится обзор работ по схожей тематике и обоснование актуальности проблемы.

Первая глава посвящена исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений с вырождением. Особенностью таких задач является то, что в окрестности точки вырождения решение имеет неограниченную производную. По этой причине для их решения неэффективно использовать стандартный метод конечных элементов.

В первом параграфе главы приводятся вспомогательные результаты. Формулируется теорема вложения пространств Соболева с весом. Для про-

извольного вещественного (i определяется интегральный оператор Харди

х

К„и{х) = a?'1 J y-"u(y)dy-

о

Доказывается теорема о его непрерывности.

Для гильбертова пространства X и интервала Т = (0,1) через L,2n{T-,X) будем обозначать пространство функций и : Т —> X с конечной нормой

1Нк,(Г;Х) = (J t2Mxdt)1/2-т

В обозначениях норм 7 = 0 и X — R1 будем опускать. Пространство Щ(Т-, X) — множество функций, для которых в L2il(T; X) существует обобщенная X-значная производная порядка s. В качестве нормы будем использовать

1М1я.(Г*) = IMIW) + W,.

где Д С П — компакт ненулевой меры, отделенный от нуля.

Второй параграф посвящен исследованию задачи Дирихле для уравнения с вырождением на границе

-D{x"a(x)Du(x)) + xab(x)u(x) = f(x), iefi = (0,l), (1)

и(0)=д, u(l) = 0. (2)

Символом D- обозначается обобщенная производная. Относительно коэффициентов будем предполагать, что а(х) > с > 0, Ь{х) > 0, а < 1.

Определение 1 Вещественная функция <р(х), определенная на Q, называется функцией продолжения для класса правых частей Щ(П) задачи (1), (2), если А<р принадлежит пространству и выполнены граничные

условия уз(0) = 1, (¿>(1) = 0.

Приведем один из способов построения функции продолжения,, предполагая, что производные порядка s + 1 коэффициентов а(х) и Ь{х) ограничены. Фиксируем 5 6 (0,1). На отрезке [0, <5] будем искать ip(x) как решение задачи Коши

2s+2

А<р s -D{xaTa{x)Dip{x)) + хаТь(х)<р(х) = ]Г c,xi+a, х € (0, S), (3)

i=s+l

V>(0) = 1, xaDip{x)\x^ = Q. (4)

Здесь Ta{x) = £ aix{ = £ 2^Шх\Ть(х) = £ btf = £ - разложение

¿=0 1=0 1=0 ¡=0 Тейлора порядка s функций a(x) и 6(2). Коэффициенты Cj подбираются таким образом, чтобы решение задачи (3), (4) было представимо в виде суммы

s+2

<РкХк. В силу громоздкости соотношений, которым удовлетворяют коэф-

к=О

фициенты tpk и cj, мы здесь их не приводим. Имеет место

Теорема 1 Пусть а(х) и Ь(х) имеют ограниченные производные порядка s + 1, 7 < 1/2 и ф{х) — функция продолжения для класса правых частей Н*(П) задачи (1), (2). Тогда если а — s - 3/2 < 7 < 1/2, то для любой правой части / 6 H*(Q) решение задачи (1), (2) существует, единственно и представимо в виде и(х) = g<p(x) + a:1-orû(a;), где û е П и

^ с(И/1!я- + 1st)-

В параграфе 1.3 рассматривается уравнение (1) с граничными условиями

xaa{x)Du{x)\x=o = p, u(l) = 0. (5)

Справедлива

Теорема 2 Пусть max(-l/2,a/2 - 1) - s < 7 < 1/2, -1 < а < 2, а ф 1, / G Щ{П), а е W4+1(n), xb 6 W£(fi). Тогда решение задачи (1), (5) представимо в виде и{х) = рф(х) + щу{х) + х2'ай(х), где û 6 f/T(f2) = {v € H°tl(fy>v(l) = 0}, и справедлива оценка |)ы||у7 < с(||/||я» + \р\)- Здесь

[ d(x), 6< х<1. Замечание 1 При а = 1 полагаем ф{х) = In а; и теорема остается справедливой при условии х\пх €

Параграф 1.4 посвящен получению оценок погрешности интерполяции в весовых пространствах Соболева. Основной результат этого параграфа содержит

Теорема 3 Если а < 1/2 и m + /3 — а >0, то для любой функции и 6 #™+1(П) справедливы оценки

\\Ds(u-nku)\\L2a(ei] < c^r'^'l^M^) (*= U,...,n),

П^Н^, < c2he\\Dm^u\\L2A^

где s = 0,1 и в = min(m + 1 — s, т + 1 + ¡3 — а — s), — оператор интерполяции на конечном элементе е^, Щ — оператор кусочно-полиномиальной интерполяции в области П.

Параграф 1.5 посвящен построению схем МКЭ для задач Дирихле и Неймана. Для задачи Дирихле предложена схема на основе мультипликативного выделения особенности. В качестве аппроксимирующего пространства мы используем кусочно-полиномиальные функции степени т с весом х1~а. В следующей теореме содержится оценка погрешности в энергетической норме этой схемы.

Теорема 4 Пусть а/2 - тп < у < 1/2, о, 6 6 Тогда для f €

справедливы оценки погрешности ||и —и/,||я1 < с/гв(||/||Ят-1 +

|s|), где

9 = min(m, 77i + 7 — а/2).

Для задачи Неймана используется схема МКЭ с мультипликативным и аддитивным выделением особенности. Здесь в качестве аппроксимирующего пространства применяются кусочно-полиномиальные функции с весом х2~а и функция продолжения <р(х). Для оценки погрешности справедлива

Теорема 5 Пусть / € шах(1/2, а/2) - т < 7 < 1/2, -1 < а <

2, а ф 1, а € W™(Q), xb 6 Тогда имеет место следующая оценка

погрешности:\\П(щ — и)\\12_а/3 < che(\\f\\Hm-i + \р\), где в — min(m, m + 7 —

а/2).

Параграфы 1.6 и 1.7 посвящены построению и исследованию сходимости схемы с численным интегрированием для однородной задачи Дирихле с вырождением на границе. Введем дополнительные обозначения. Пусть Д С П — произвольный интервал. Для приближенного вычисления интегралов вида

/ x@v(x)dx будем использовать квадратурную формулу с весом х^ — д

точную на полиномах заданной степени. Назовем схемой с численным интегрированием схему МКЭ, в которой интегралы заменяются квадратурными формулами. Имеет место

Теорема 6 Пусть для каждого конечного элемента е квадратурные формулы Qe,2-a: Qe точны ш полиномах степени 2т — 2, квадратура Qe,i-a точна на полипомах степени 2т — 1, коэффициенты этих квадратур положительные. Тогда справедлива следующая оценка точности схемы с численным интегрированием:

I" - u''bi„/a(n) ^ ^(||/|!о(п> + тах{||а||С".(П), ||Ь||о(П)})-

В параграфе 1.8 для Q = (—1,1) дается определение пространства Щ(£1). Положим fij = (—1,0), 0.2 = (0,1). Пространство Щ(0.) состоит из таких функций и(х), для которых и|ц 6 Hp(£li) и при Р > —1/2 выполняется условие и(0—) = u(0+).

Параграф 1.9 посвящен исследованию задачи с внутренним вырождением:

-D{\x\aa{x)Du{x)) + \x\ab{x)u(x) = }(х), хеП, (6)

«(-1) = и(1) = 0. (7)

Основными результатами здесь являются теорема гладкости решения задачи.

Теорема 7 Пусть /|п, 6 ЩШ, а - s - 3/2 < 7 < 1/2 , а € И^+1(Г>), xb 6 Тогда решение задачи (6), (7) представимо в виде и(х) =

ctp(x) + sgn(z)|:r|1~au(:r) и щ € Я'+2(Пг) П Я^Й), г = 1,2. Здесь сужение 1/5(2;) на является функцией продолжения класса

Для оценки скорости сходимости МКЭ на основе мультипликативного и аддитивного выделения особенности имеет место

Теорема 8 Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда справедлива оценка погрешности в энергетической норме ||u — Uh\\a < +11/11лГ1(Па))» в = min(m>m + 7 - а/2).

Глава 2 посвящена вырождающимся уравнениям в частных производных. В первом параграфе рассматривается уравнение

<8>

где = (0,1) х (0,1), Г = {0} х (0,1). На Г рассматриваются отдельно граничное условие Дирихле (для а < 1)

u = g (9)

и Неймана (для а > — 1)

ди

Приводятся теоремы гладкости для решений этих задач.

Положим Т = (0,1), X = ¿з(0,1), Хх = Я2(0,1)П Я'(0,1). Для г 6 Т через и(4) обозначим функцию «(¿, ■) £ Хг: и :

Т -» Хь Ли(*) = Аналогично /(¿) = /(¿, •) — элемент пространства X. Формулой а(£)и = а^, •)«(£) при каждом t определим оператор а(€) действующий в X. Оператор Ь{Ь) : Х\ —> X определим формулой (Ъ{1)и){хг\ = -¡^(аг^яг) ^(¿^г))- Уравнение (8) и граничные условия (9), (10) в новых обозначениях перепишутся

следующим образом:

Аи = -£>(гаа(*)£Чг)) + гаь(г)и(г) = /(г), и(1) = о, (п)

«(0) = д, (12)

(13)

Введем в рассмотрение промежуточные пространства. Пусть 5 : Х\ —> X —

неограниченный самосопряженный положительный оператор, удовлетворяющий условию Н^Ях! = Ц^иЦх для всех, и из Х1. С помощью спектрального разложения можно определить степени оператора 5. Через Х$ обозначим область определения Бв. В обозначениях теории интерполяции функций Хд = [Х,Х]\в. За норму в Хе примем норму графика 5е ||и||х» = + Ц^иЦх.

Параграф 2.2 посвящен построению функций продолжения граничных значений с Г в П. Для условий Дирихле функция продолжение выбирается как решение задачи на интервале в гильбертовом пространстве

Ахи = -£>(ГШ) + еы{£) = 0 для 4 6 Т{ = (0,5), (14)

и(0)=р, = (15)

гладко продолженное на отрезок [5,1] с соблюдение граничного условия в < = 1. Здесь оператор Ь задается формулой Ьи = — Для условий Неймана функция продолжения — есть решение задачи

АМЬ) = 0 * 6 Т, (16)

-Г£Ч=о=Р,Ч1) = 0. (17)

В параграфе 2.3 исследуется уравнение в частных производных, вырождающееся внутри области. В прямоугольной области ft = (—1,1) х (0,1) рассмотрим следующее уравнение:

с граничным условием

u|en = 0. (19)

Так же как в прараграфе 2.2 перепишем эту задачу как задачу в гильбертовом пространстве на интервале Т = (—1,1).

Lu = -£»(|í|aa(í)Du(í)) + \t\ab(t)u(t) = f(t) t 6 T, (20)

«(—1) = u(l) = 0. (21)

Эта задача, в свою очередь, эквивалентна задаче об отыскании щ и и2, удовлетворяющих следующим соотношениям:

' Ь1Щ = -Z>(|í|üa(í)DUl(í)) + \t\ab{t)Ul{t) = f(t), t е Ti = (-1,0),

«i(0) = «2(0)> |í|aa(í)Z?«1(í)|í=o_o = taa{t)Du2{t) |t=0+0, L2u2 s —D(taa(t)Du2(t)) + tab{t)u2{t) = f{t), teT2 = (0,1).

Полагая м|п( = Щ получим решение исходной задачи. Данное представление будет использовано нами при формулировке метода декомпозиции области. Обозначим через í/7(Tj) пространство функций, для которых норма

IHk = IP2(!írMlU2,7-l№;X) + (PdirMllwr,;*) + IMk^p-Л)

является конечной. Справедлива

Теорема 9 Пусть / € 12,7(Т; X), а - 3/2 < 7 < min(l/2, а +1/2). Тогда для решения задачи (20), (21) справедливо представление u(t) = u°(t)+ipg(t), «°|п< = u¡ 6 ВД), (figltii — <fif,gi Vi^g ~ функция продолжения граничных условий Дирихле, g = u(0).

Введем дополнительные обозначения. Пусть — решение однородного уравнения с ненулевым граничным условием в нуле:

= 0 на Ti, u?(0) = Л, u°|STi/{0} = 0, 11

а и* — решение задачи с однородными условиями Дирихле

Ди* = / на Th иЦат( = 0.

Для и® будем использовать обозначение Н{\, а и* положим равным Gif. Заметим что Wi = uf + и* является решением задачи

LiWi = / на Ti, Wi(0) = Л, Wilar/fo} = 0.

Очевидно, что Wi = щ тогда и только тогда, когда

jt|aa(i)£>ïi;i(i)|t=o-o — Wi2(i)|t=o+o- Последнее равенство, записанное в

виде

5Л = х, 1 (23)

где* s -D^Gxfm-D^G-ifm, Sr, = Da{Hxri){0)+Da{H2ri){Q), известно как уравнение Стеклова-Пуанкаре. Здесь Dau(t) = \t\aa(t)Du(t). Оператор S называется оператором Стеклова-Пуанкаре.

Параграф 2.4 посвящен построению схем метода конечных элементов для задачи (22). Пусть % — семейство регулярных триангуляций области П = (—1,1)х (0,1) на прямоугольные конечные элементы e,h — maxdiam(e), diam(e) — диаметр конечного элемента. Будем предполагать, что для любого е е % пересечение ГП е — либо пусто, либо является вершиной или стороной конечного элемента е. При этом допущении триангуляция % индуцирует две триангуляции 71,/, и Тг.л в fii и П2 соответственно. Для m > 1, г = 0,2 через S™h обозначим множество £ C(Ô«) : Vh\e € Qm(e),e € где Qm(e) — пространство полиномов степени не выше m по каждой переменной, здесь и далее полагаем SgJ, = S™, %,h =

Введем дополнительные обозначения. Положим VPh — : vh = щ € S™h, = 0} — множество кусочно-полиномиальных функций с

весом l^il1"01, УД = {ил : vh е = 0}, Лл — множество сужений

функций 5™ на Г.

Метод конечных элементов для задачи (22) состоит в отыскании таких

и U2,л, что

Uhh = Иц + <pf„ </, G ^ : fliK>fc,vU) = fi{vhh) 6

= и2,/> на Г (24)

= + К

. «2Л е У2Л : - /2(г,2,л) - a2(^,v2A) Vt*,fc е V»h

Здесь gh = и1)Л|г, ph = х^а^х)9^®]?, 43%, — функции продолжения граничных значений Дирихле и Неймана соответственно,

, \ /, ,„ , ,3« 9» , , n ди dv . ai(u,v) = j\xl\ а1(Х)—— + Ы a2(x)^-—dx.

Í2¡

f,(v) = J f(x)v(x)dx.

Qi

Далее опишем конечноэлементную аппроксимацию уравнения Стеклова-Пуанкаре (23). Пусть для r¡h £ A¿ HirhVh = + гДе uh ~ решение задачи

ai(uh>vi,h) = ~ai(<P%>vi,h) VviA e VPh.

То есть Hi^h — аппроксимация решения однородной задачи (уравнения с нулевой правой частью), равное r¡h на Г и нулю на 0O¿/Г. G¿,h/ определим как решение задачи

Guf € V& : ai{Gi¡hf^h) = /¿K/0 Vt^ € V°h.

В итоге получаем конечноэлементную аппроксимацию уравнения (23)

Sh\ = Xh на Г.

Здесь Xh = -DaGithf + DaG2,hf, ShVh = Shhr]h + S2thVh, й.л^л = -DaH^hr¡h, S2,hVh = DaH2<hVh-

В главе 3 исследуется метод декомпозиции области. Получены оценки скорости сходимости. В первом параграфе главы дается формулировка метода. Рассмотрим алгоритм Дирихле-Нейман. Пусть и\, и2 — заданные начальные приближения и А0 = м? (0), и\, и\ — значения последовательности на

шаге итерации с номером к. Значения на к +1 шаге получаются как решения следующих задач:

' = / на

ы*+!(0) = А*

(25)

Ь2и\+1 = / на Т2 ик2+1(-1) = О

=ти$+1(0) + (1-т)Хк.

Используя операторы Стеклова-Пуанкаре запишем итерационный процесс в каноническом виде:

(26) (27)

А*+1 - А*

(28)

Аналогично для дискретных операторов Стеклова-Пуанкаре

= + (29)

Далее сформулируем метод Нейман-Нейман. Пусть и® — заданное начальное приближение, А0 = щ(0). Тогда на к + 1 шаге итерации находится как решение задачи

' = / на Т

и*+»(0) = А* (30)

<+х\тт = 0. Далее для вычисления А*+1 находим решения задач

= 0 на %

Фг |да/{0} = 0 (31)

0) = Д^+1(0) - Ваи%+1 (0)

и полагаем А*+1 = А* — г^^О) — <Т2^г(0)).

В каноническом виде итерационный процесс записывается следующим образом:

А*+1 - А* г

И в конечномерном случае \Ш -

= (а15Г1 + а2521)(х-5 А

^(а^ + ^Хх-^А*). 14

(32)

В параграфе 3.2 исследуются свойства операторов Стеклова-Пуаикаре и их дискретных аналогов. Здесь и далее будем использовать обозначение Л = [Х1,Х1/2]в, в — ^-¡¡г. Устанавливаются следующие утверждения.

Теорема 10 Операторы Бх и являются симметричными, непрерывными и положительно определенными на А и имеет место двусторонняя оценка с независимьши постоянными /сх и к2

К^мгйх < (£2»м)х < К^м^х Уг? е Л,

которая означает,, что операторы 5х и Б2 являются спектрально эквивалентными.

Теорема 11 Операторы Бх^ и являются самосопряженными, непрерывными и положительно определенными равномерно по к в Л/, и имеет место двусторонняя оценка с независящими от к постоянными кх и к2

В третьем параграфе главы приводятся доказательства сходимости методов декомпозиции.

Пусть Н — гильбертово пространство. Операторы С} 1, <3г являются линейными операторами, действующими из Я в сопряженное Я', <2 = + (¿2, й 6 Я', (■, •) — двойственное произведение. Рассмотрим уравнение

ЯХ = в. (34)

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 12 Пусть операторы €¿1 и С^2 удовлетворяют следующим условиям:

1. Существуют положительные константы а2 и 02, для которых

{02Ч,И)<Р2\Н\нЫ\в Я,

(Я2П,г])>а2Ы2н

2. Оператор ограничен с константой Д > 0, т.е.

< Ш\иЫ\н Чт], цен.

15

3. Существует положительная константа к, для которой (Я*П, Я^Оч) + (Оп, г,) > ^ 6 Н. Тогда для любого Л° 6 Н и г, удовлетворяющего условию 0 < т < ттах, где

ка\

тах Ш+РгГ

последовательность

\k+1 = \k+TQ21(G-QXk)

сходится к решению уравнения (34) и справедлива оценка скорости сходимости

UM-4k<Qr\\\k-42Ql,

где = ¡((Q2V,V) + ((¡24, v)), <?r = 1+ - r£.

Теорема 13 Пусть Qi и Q2 являются непрерывными и положительно определенными, т. е. существуют положительные константы а,: и Д, г = 1,2, для которых выполняются неравенства ; 1. (QiV,»)<PM\xMx Vrç./xeX; "s. (QiV,v)>aiM2x VveX-

Будем также предполагать, что при любом выборе положительных параметров ai и 02 оператор Af = (aiQ^1 + CT2Q21)_1 удовлетворяет условию 3. (Mr),N~lQr¡) + (Qr¡, r¡) > k*M\\ V/! € X.

Тогда существует такое то > 0, что для всех т Е (0, то) и для любого Л° € X последовательность

A*+1 = А* + tN~1(G - QXk) сходится в H к решению уравнения (34) и справедлива оценка

иш-ху<кТ\\хк~ху,

где КТ = 1 + г2 (a + g) (Д + &)2 - ЫЦг = \((ЯП, ч) + (Яг,, „))

Непосредственным следствием теорем 10, 11,12 и 13 является сходимость итерационных процессов (28), (29), (32) и (33). Причем итерационные процессы (29) и (33), как видно из оценок в теоремах 12 и 13, сходятся со скоростью, независящей от шага сетки h.

В параграфе 3.4 приводятся результаты численных экспериментов.

Основные результаты диссертации:

1. Построен оператор продолжения граничных значений в область, позволяющий свести задачу с неоднородными краевыми условиями к однородным.

2. Получены оценки решений двухточечных краевых задач с вырождением на границе и внутри области в нормах весовых пространств Соболева.

3. Получены оценки точности схем МКЭ с мультипликативным выделением особенности для двухточечной краевой задачи с вырождением. Исследовано влияние численного интегрирования на погрешность таких схем.

4. Доказана сходимость метода декомпозиции области для краевой задачи с внутренним вырождением.

Автор искренне благодарен доктору физико-математических наук, доценту М.Р. Тимербаеву за предложенную тему и руководство работой.

Список публикаций по теме диссертации

1. Тимербаев М.Р., Таюпов III.И. Метод декомпозиции области для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы шестого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань. - 2005г. - С.214-216.

2. Тимербаев М.Р., Таюпов Ш.И. О методе декомпозиции области для эллиптической задачи с вырождающимися внутри области коэффициентами // В сб. трудов 4-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи Самара, 29-31 мая 2007. - С.180-183.

3. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. О методе конечных элементов высокого порядка точности для двухточечной неоднородной краевой задачи с вырождением // Материалы седьмого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, - 2007. - С.280-283.

4. Таюпов Ш.И. О методе конечных элементов для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы седьмого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, - 2007. - С.276-279.

5. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. О схеме МКЭ для двухточечной вырождающейся краевой задачи с неоднородными граничными условиями Дирихле // В материалах XVI международной конференции но вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 25-31 мая 2009г. - С.680-681.

6. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Ученые записки Казанского государственного университета. - 2006. N 4. - С.63-75.

7. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для системы эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами на интервале // Изв. Вузов. Математика. - 2009. - N 7. - С.22-34.

8. Таюпов Ш.И. Схемы МКЭ с численным интегрированием для вырождающейся задачи // В сб. трудов 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи ", Самара, 29-31 мая 2008 г. - С.167-169.

9. Таюпов Ш.И. Схема МКЭ для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // В сб. трудов 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 1-4 июня 2009 г. - С.213-216.

10. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ для двухточечной краевой задачи с вырождением // Труды международной конференции "Современные проблемы математики и механики", Москва, 30-31 марта 2009 г. - С.ЗЗЗ.

И. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для двухточечной неоднородной граничной задачи Дирихле для эллиптической системы уравнений с вырождением //В тез. докл. Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, Новосибирск, 18-20 июня 2007г. - С.82.

Подписано в печать 09.10.2009г. Заказ М-76/09. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 110 экз. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Отпечатано с готового оригинал-макета в Издательском центре Казанского государственного университета 420008 г.Казань, ул. Кремлевская, 35.

Обозначения

Введение

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка с вырождением

1 Вспомогательные результаты.

2 Гладкость решения задачи Дирихле.

3 Гладкость решения задачи Неймана.

4 Оценки погрешности интерполяции в весовых нормах Соболева

5 Схемы МКЭ для вырождающихся задач

6 Схемы с численным интегрированием для задачи с вырождением

7 Оценки погрешности схемы с численным интегрированием

8 Пространства Щ(—1,1).

9 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов

2 Вырождающиеся уравнения 2-го порядка в частных производных

1 Неоднородные краевые задачи с вырождением на границе

2 Функция продолжения.

3 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов

4 Метод конечных элементов для задачи с внутренним вырождением

3 Метод декомпозиции области

1 Алгоритмы метода декомпозиции области.

2 Свойства операторов Стеклова-Пуанкаре.

3 Сходимость метода декомпозиции области

4 Результаты численных экспериментов.

Метод конечных элементов (МКЭ) является эффективным методом решения краевых задач для уравнений математической физики. Теория метода хорошо развита для задач с регулярными входными данными, т.е. с достаточно гладкими правой частью, коэффициентами и границей области. Для таких задач известны априорные оценки решений в нормах пространств Соболева, которые позволяют строить оптимальные конечно-элементные схемы. В настоящее время опубликовано большое число статей и монографий по теории МКЭ. Отметим лишь некоторые из них, оказавшие значительное влияние на развитие метода, его применение в промышленных расчетах, в технике и научных исследованиях: это монографии Ж.Обэна [36], Г.Стренга и Дж.Фикса [41], Ф.Сьярле [43], В.Г.Корнеева [18], Л.Сегерлинда [39], Г.И.Марчука и В.А.Агошкова [27], Э.Митчела и Р.Уэйта [29], Д.Норри и Ж. де Фриза [35], О.Зенкевича [14], О.Зенкевича и К.Моргана [15] и других. Большое количество работ посвящено многосеточным методам, которые позволяют находить решение возникающей в МКЭ системы из N неизвестных за 0(N) арифметических операций. Эти успехи также нашли отражение в многочисленных монографиях, например, В.Хакбуша [79], К.Джонсона [83], В.В.Шайдурова [64], Ф.Брези и М.Фортина [71], К.Bathe [67], В.Бангерта и Р.Раннахера [66], Д.В.Хаттона [81] и многих других.

Практический интерес представляют краевые задачи с особенностями во входных данных, для которых, как показывают теоретический анализ и результаты численных экспериментов, применение стандартных методов, не учитывающих сингулярного поведения решения в окрестности особых точек, является неэффективным. Поэтому актуальной задачей является построение методов решения таких задач. Данная работа посвящена численному решению уравнений с вырождающимся дифференциальным эллиптическим оператором. Подобные задачи встречаются при решении многих важных вопросов математической физики. Значительную роль такие уравнения играют для газовой динамики. Классическим примером вырождающегося уравнения является уравнение с оператором Трикоми (см., напр. [62]), описывающее течение газа на околозвуковых скоростях.

Систематическое изучение вырождающихся уравнений было начато в статьях М.В.Келдыша [17], М.И. Вишика [5]-[8], С.Г.Михлина [30], [31] и продолжено работами М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [10], М.И. Вишика и В.В.Грушина [9], В.П.Глушко [11], О.А.Олейник [37], С.М.Никольским и его учениками [34], [33], [21]-[25], [3].

Одной из первых работ, посвященных сеточным методам решения вырождающихся краевых задач, была статья Ю.А.Гусмана и Л.А.Оганесяна [12], в которой рассматривалась конечно-разностная схема первого порядка точности для уравнения с оператором типа Трикоми, вырождающегося на части границы Г = [0, а] х {0} прямоугольной области Q = (0,а) х (0,6). На Г рассматривались однородные краевые условия двух типов — Дирихле и Неймана. Заметим, что поведение решения в окрестности точек вырождения существенным образом зависит от типа граничного условия. А именно, в задаче с условием Дирихле решение имеет неограниченный градиент, в то время, как задача Неймана на один порядок более гладкое и для него можно использовать стандартные разностные схемы или схемы МКЭ с кусочно-линейными конечными элементами. Вариационно-разностная схема, предложенная в работе [12] использует специальную замену переменных, с помощью которой достигается оптимальная скорость сходимости на правых частях класса L,2(£l). Недостатком этой схемы является то, что она существенно использует прямоугольность области и диагональность матрицы коэффициентов дифференциального оператора.

Такое же уравнение рассмаривалось в работе В.В.Катрахова и А.А.Кат-раховой [16], где на линии вырождения Г рассматривались отдельно два граничных условия — однородное условие Дирихле для степени вырождения коэффициентов а < 0 и однородное условие Неймана при 0 < а < 2. Для аппроксимации этой краевой задачи строилась сетка, сгущающаяся по нормали к Г, и на каждом прямоугольнике решение приближалось функциями вида со + с\х + С2у1~а + с^хух7а.

P.Moing [88] для уравнения д2и д ( ди\ „. . . хщ - )+и=fix) ва =(0'1) х (0с однородным граничным условием Неймана на Г получил оценки скорости сходимости схем МКЭ с треугольными конечными элементами в энергетической и /^-нормах.

М.Хатри [80] для уравнения в единичном квадрате 0 = (0,1) х (0,1)

--к (^ё) - kik (х2я{х)£)=/(ж)'и=°на ш vг' с однородным условием Неймана на Г = [0,1] х {0}, исследовал схемы МКЭ с прямоугольными и треугольными конечными элементами и доказал оценку погрешности 0(h) в энергетической норме.

В плоской области Q = {х 6 R2 : 0 < Х\ < д(хъ), Х2 € (1, b)} Д.Марини и П.Пиетра [85] исследовали смешанный метод конечных элементов для задачи с сингулярными коэффициентами

1 / —div— v и — —> и — 0 па <9Q, х\ х\ и получили почти оптимальные оценки точности метода.

Большое количество работ посвящено исследованию проекционно-сеточ-ных схем для двухточечной краевой задачи с вырождением:

-D(xaa(x)Du{x)) + aQ{x)u{x) = f{x) в (0,1), г/(0) = и(1) = О,

P.Jamet [82] показал, что конечно-разностный метод для этой задачи на равномерной сетке имеет погрешность 0{h}~a) в норме Loo- Используя L-сплайны в методе Ритца-Галеркина, П.Сьярле, Ф.Наттерер и Р.Варга [74] получили сходимость 0(h2~a) в норме Ь^. В статьях Г.Реддина [90], Г.Реддина и Л.Шумакера [91] анализировались методы коллокации. Метод, основанный на разложении решения в окрестности нуля по степеням хп~а исследовались Б.Густаффсоном [78]. В работе Р.Шрейбера [93] рассматривался метод Галеркина с кусочно-полиномиальными базисными функциями с весом х~а.

В статье М.Р.Тимербаева [55] для двумерной задачи в области — (0,1) х (0,1) ik {x>i{x)S) ~ i (<а2(ж)£)+ Чх)и{х)=т>и|зп=0 рассматривался МКЭ с мультипликативным выделеним особенности, в котором использовались кусочно-полиномиальные базисные функции, умноженные на сингулярную весовую функцию, определяемую степенью вырождения коэффициентов уравнения. Было доказано, что предложенный метод является оптимальным. В работах [59], [40] данный подход был применен для аппроксимации двухточечной задачи четвертого порядка.

Отметим, что в указанных работах рассматривались уравнения, вырождающиеся на границе, с однородными краевыми условиями. В диссертации исследуются дифференциальные уравнения с коэффициентами, вырождающимися степенным образом внутри области. А именно, мы будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка на интервале (—1,1)

-D(\x\aa{x)Du{x)) + \x\ab(x)u{x) = f(x) и уравнение в частных производных в двумерной области Q = (—1,1) х (0,1)

-i - £ (W*<«>£) =

Сложность этой задачи состоит в том, что, в отличие от вырождения на границе, значение решения в точках вырождения неизвестно и непосредственно применить эффективный метод мультипликативного выделения особенности в этой задаче нельзя. Поэтому нами был использован метод декомпозиции области, позволивший свести задачу с внутренним вырождением к двум задачам с вырождением на границе с неоднородными краевыми условиями, исследованию которых посвящена значительная часть диссертации. Отметим, что ранее задачи с неоднородными условиями в точках вырождения не рассматривались. В диссертации строится специальный оператор продолжения, с помощью которого неоднородные краевые условиями сводятся к однородным. В отличие от задач с гладкими коэффициентами, построение оператора продолжения для задачи с вырождением не является тривиальной задачей и применение для этой цели таких же операторов, как и в регулярной задаче, может ухудшить дифференциальные свойства правой части.

Метод декомпозиции области (другое название — метод разделения области [1] или метод композиции [20]) применяется с 1958г. (см.,напр., [2], [92]). Идея этого метода заключается в следующем: область, в которой рассматривается дифференциальное уравнение разбивается на подобласти, задается начальное приближение. Далее уравнение решается одним из сеточных методов в каждой подобласти со специальными условиями на общих границах (интерфейсах), которые включают в себя значения решения на предыдущей итерации. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Различные варианты условий "склейки" на интерфейсах приводят к различным алгоритмам метода декомпозиции. Так в работах Л.Д.Марини и А.Квартерони [86], [87], P.E.Bjostad и O.B.Widlund [68], Д.Фуноро, А.Квартерони и П.Занолли [76] рассматривался алгоритм Дирихле-Нейман. Метод Нейман-Нейман рассматривался в статьях В.И.Агошковаи В.И.Лебедева [1], J.F.Bourgat, R.Glo-winski, P.Tallec и M.Vidrascu [69], метод Робина — в работе П.Лионса [84]. Такое разбиение на задачи в подобластях позволяет естественным образом использовать распараллеливание процесса вычисления. Кроме того, поскольку число операций необходимых для нахождения решения, как правило, имеет нелинейную зависимость от шага сетки в выбранном методе, то такое разбиение на подзадачи может ускорить в несколько раз общее время решения.

Различные вопросы, связанные с теорией метода декомпозиции области такие, как независимость числа итераций от шага сетки h, от геометрических соотношений в L-, Т— и С—подобных областях и пр., рассматривались в статьях [72], [73], [70], [75] и [77]. Отметим также монографию А.Квартерони и А.Валли [89].

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Первая глава посвящена исследованию двухточечных граничных задач с вырождением на границе и внутри области. Получены теоремы гладкости решений этих задач, описаны схемы МКЭ с выводом оценок скорости сходимости приближенного решения к точному.

В параграфе 1.1 приводятся вспомогательные результаты: теорема вложения пространств Соболева с весом (теорема 1.1), вводится интегральный оператор Харди, доказывается его непрерывность (теорема 1.3).

В параграфе 1.2 рассматривается задача с неоднородными граничным условием Дирихле в точке вырождения. Доказывается теорема гладкости решения однородной задачи.

Теорема 1.5 Пусть a-s-3/2 < 7 < 1/2, а е W4+1(Q) и xb G W^Q). Тогда оператор А в левой части дифференциального уравнения (1.6) является изоморфизмом пространства П Щ{0) на При этом для решения задачи (1.6) выполняется граничное условие x2~aDu(x)\x==0 = 0.

Далее строится специальная функция продолжения, с помощью которой неоднородная задача сводится к однородной, и доказывается теорема гладкости для неоднородной задачи (теорема 1.7). Эти результаты используются в дальнейшем при получении оценок скорости сходимости приближенных методов.

В параграфе 1.3 для задачи с неоднородным условием Неймана в точке вырождения доказывается теорема гладкости 1.10. Ключевым результатом здесь является то, что решение задачи может быть записано в виде и(х) = рф(х) + и0(р(х) + х2~ай(х): где р = xaa(x)Du(x) |ж=о, ^о — ^(0), ф(х) и <р(х) — известные функции, а й(х) — гладкая функция. Этот результат будет использован при построении аппроксимирующего пространства в методе конечных элементов для этой задачи.

Параграф 1.4 посвящен получению оценок погрешности интерполяции в весовых пространствах Соболева. Основной результат этого параграфа содержит теорема:

Теорема 1.11 Если а <1/2 и т + 0 — а > 0, то для любой функции и Е #™+1(Г2) справедливы оценки

Ds{u-<Kku)\\L2Aek) < c^r^Ml^^ll^) (* = 1,2,.,п),

РЧи-П^)!!^ < c2he\\Dm+1u\\b2Any где s — 0,1 и 0 = min(т + 1 — s,m + l + ft — a — s).

В параграфе 1.5 приводятся схемы МКЭ для задач с граничными условиями Дирихле и Неймана. Для правой части / € и конечных элементов степени т доказывается следующая оценка скорости сходимости приближенного решения Uh к точному и в энергетической норме (теоремы 1.12 и 1.13): и - uh\\a < ch9, где 0 — min(m, m -Ь 7 — а/2).

В параграфах 1.6 и 1.7 на примере однородной задачи Дирихле строится схема с численным интегрированием, формулируются условия на точность квадратурных формул, при которых схема однозначно разрешима (теорема 1.14) и погрешности вычисления интегралов не влияют на порядок сходимости схемы (теорема 1.15).

В параграфе 1.8 вводятся пространства Соболева 1,1) с весовой функцией, имеющей особенность внутри области.

В параграфе 1.9 рассматривается однородная задача Дирихле с вырождением внутри области. Устанавливается гладкость решения (теорема 1.9). Здесь же строится схема МКЭ с аддитивным и мультипликативным выделением особенности и доказывается оценка погрешности схемы (теорема 1.17) в энергетической норме:

I\и - uh\\a < che.

Вторая глава диссертации посвящена вырождающимся уравнениям 2-го порядка в частных производных.

В параграфе 2.1 приводятся известные [60] теоремы гладкости решения неоднородных граничных задач Дирихле и Неймана с вырождением.

В параграфе 2.2 для неоднородных граничных задач строятся функции продолжения граничных значений в область.

В параграфе 2.3 рассматривается однородная задача Дирихле с внутренним вырождением в прямоугольной области Q — (—1,1) х (0,1): и\дп. = 0.

С помощью леммы 2.1 эта задача переписывается эквивалентным образом в виде задачи в подобластях Oi = (—1, 0) х (0,1) и Q2 = (0,1) х (0,1).

-i (w^fe) - к (^^ё)=>(*>• *е пь

15 щ(х) = u2(x), г€Г = П Ш2, м iQ^l. / \ adu2\

ФОМ ^к==о- = a{x)x1 — |Xl=o+, x°ai{x)S) - (а2(х)ё)=/(ж)-x 6

В параграфе 2.4 для этой задачи строится конечноэлементная аппроксимация.

Третья глава посвящена методу декомпозиции области для задачи с внутренним вырождением.

В параграфе 3.1 даны формулировки двух вариантов алгоритма метода декомпозиции — Дирихле-Нейман и Нейман-Нейман. Приводится формулировка этих алгоритмов в каноническом виде. Для одномерного уравнения доказывается сходимость методов.

В параграфе 3.2 доказываются некоторые важные свойства операторов Стеклова-Пуанкаре, действующих в пространстве следов А, и их дискретных аналогов. А именно устанавливается справедливость утверждений:

Теорема 3.3 Операторы Si и S2 являются симметричными, непрерывными и положительно определенными на А и имеет место двусторонняя оценка с независимыми постоянными к\ и к2

K^Sirj^x < (S2rj,rj)x < K2(SiT), rf)x V77 e A, которая означает, что операторы Si и S2 являются спектрально эквивалентными.

Теорема 3.4 Операторы Sith и S2jh являются самосопряженными, непрерывными и положительно определенными равномерно по h в Ад и имеет место двусторонняя оценка с независящими от h постоянными ki и h(Si,hr)h,Vh)x < (S2,hr}h,Vh)x < k2(SilhTih,m)x ^Vh G Ah.

В параграфе 3.3 на основе этих свойств устанавливается сходимость метода декомпозиции в двумерной области.

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Построен оператор продолжения граничных значений в область, позволяющий свести задачу с неоднородными краевыми условиями к однородным.

2. Получены оценки решений двухточечных краевых задач с вырождением на границе и внутри области в нормах весовых пространств Соболева.

3. Получены оценки точности схем МКЭ с мультипликативным выделением особенности для двухточечной краевой задачи с вырождением. Исследовано влияние численного интегрирования на погрешность таких схем.

4. Доказана сходимость метода декомпозиции области для краевой задачи с внутренним вырождением.

Результаты диссертации докладывались на шестом и седьмом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 1-4 октября 2005г., 21-24 сентября 2007г.), на шестой Всероссийской молодежной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (26 июня - 1 июля 2006г.), на четвертой-шестой Всероссийских конференциях с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 29-31 мая 2007г., 29-31 мая 2008 г., 1-4 июня 2009г.), на всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18-20 июня 2007г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 30 марта - 2 апреля 2009г.), на шестнадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 25-31 мая 2009г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44] — [54].

Автор искренне благодарен доктору физико-математических наук, доценту М.Р.Тимербаеву за предложенную тему и руководство работой.

1. Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре - Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы.- Т. 2 - М.: Наука, 1985, С.173-227.

2. Алексидзе М.А. О целесообразности применения альтернирующего метода Шварца на электронных цифровых машинах // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, С.231-234.

3. Байделдинов Б.Л. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравнений с вырождением. Метод билинейных форм // Тр. МИ АН. 1984. - Т. 170. - С.3-11.

4. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука. 1987. - 634 с.

5. Вишик М.И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. - Т.93, N1. - С.9-12.

6. Вишик М.И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. - Т.93, N2. - С.225-228.

7. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Успехи мат.наук. 1954. - Т. 9, N1. -С.138-143.

8. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. - Т.35., N5. - С. 187246.

9. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе // Матем.сб. 1969. - Т.80. - С.455-491.

10. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пграничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. - Т. 12, N5. - С.3-122.

11. Глушко В.П. Первая краевая задаа для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на многообразиях // ДАН СССР. 1962. - Т. 143, N3. - С.492-495.

12. Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т.5, N 2. - С.351-357.

13. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. Учебное пособие. Казань: Казанский гос. ун-т. - 2004. -239 с.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 1975. - 256 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

16. Катрахов В.В., Катрахова А.А. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических задач // ДАН СССР. 1984. -Т.279, N4. - С.799-802.

17. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. - Т.77, N2. -с.181-183.

18. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. JL: изд-во Ленинград, ун-та. - 1977. - 206 с.

19. Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. Стеклова. 1984. - т. 170, ч.Ю. - С.161-190.

20. Лебедев В.И. Методы композиции. М.: ОВМ АН СССР, 1986.

21. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // ДАН СССР. 1981. - Т.257, N1. -С.42-45.

22. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН СССР. 1981. - Т.257, N2. - С.278-282.

23. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. -1981. Т. 157. - С.90-118.

24. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // ДАН СССР. 1981. - Т.259, N1. -С.28-30.

25. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью / / Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1983. - Т. 161. - С. 157-183.

26. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир.-1971.-371 с.

27. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: наука. 1981. - 416с.

28. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989.- 608 с.

29. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. - 1981. - 315 с.

30. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям // Докл. АН СССР. 1953.- Т.91, N4. С.723-726.

31. Михлин С.Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1954. - Т.94, N2. - С.183-186.

32. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, изд.2-ое, перераб. 1977. - 456 с.

33. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр.Мат. ин-та им.B.А.Стеклова. 1979. - Т.150. - С.212-238.

34. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // ДАН СССР. 1964. - Т.159, N3. - С.512-515.

35. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. - 1981. - 237 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических задач. М.: Мир. - 1977. - 383 с.

37. Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений // ДАН СССР. 1965. - Т. 163, N3.C.557-580.

38. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева. Казань: изд-во КГУ, 2002. 120 с.

39. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. -1979. - 267 с.

40. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. - 1977. - 349 с.

41. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

42. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

43. Тимербаев М.Р., Таюпов Ш.И. Метод декомпозиции области для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы шестого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань. 2005г. - С.214-216.

44. Таюпов Ш.И. О методе конечных элементов для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы седьмого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 2007. - С.276-279.

45. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Ученые записки Казанского государственного университета. 2006. N 4. - С.63-75.

46. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для системы эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами на интервале // Изв. Вузов. Математика. -2009. N 7. - С.22-34.

47. Таюпов Ш.И. Схемы МКЭ с численным интегрированием для вырождающейся задачи. // В сб. трудов 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи ", Самара, 29-31 мая 2008 г. С.167-169.

48. Таюпов Ш.И. Схема МКЭ для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // В сб. трудов 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 1-4 июня 2009 г. С.213-216.

49. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ для двухточечной краевой задачи с вырождением. // Труды международной конференции 11 Современные проблемы математики и механики", Москва, 30-31 марта 2009 г. С.ЗЗЗ.

50. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифф. уравнения. 2000. - Т.36, - N 7. - С.1086-1093

51. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизатроп-ным вырождением на части границы // Изв. вузов. Математика. -2003. N 1. - С.60-73.

52. Тимербаев М.Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-функций // В сб. "Исследования по прикладной математике и информатике", вып.23, изд-во Казанск.матем.общ-ва, 2001. С.118-121.

53. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения анизатропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения // Изв. вузов. Математика. 2005. - N 7. - С.63-76.

54. Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ для 2-точечной граничной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // Исслед. по прикл. мат. и инф. 2004. - Вып.25. - С.78-85.

55. Тимербаев М.Р. Оптимальные проекционно-сеточные методы для краевых эллиптических задач с особенностями на границе. Дис. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 2007. - 247 с.

56. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир. - 1980. - 664 с.

57. Трикоми Ф. О линейных уравениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

58. Харди Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ. - 1948. -456 с.

59. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. - 1989. - 289 с.

60. Adams R.A. Sobolev spaces. New York, San Francisco, London: Academic press, 1975. - 270 c.

61. Bangerth W., Rannacher R., Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations. Birkhauser. - 2003. - 125 p.

62. Bathe K. Finite Element Procedures. Prentice Hall. - 1996. - 1050 p.

63. Bjostad P.E., Widlund O.B. Iterative methods for the solution of elliptic problems on regions partitioned into substructures // SI AM J. Numer. Anal. 1986. - V.23. - P.1097-1120.

64. Bourgat, J.-F., Glowinski, R., Le Tallec, P. and Vidrascu, M. Variational formulation and algorithm for trace operator in domain decomposition calculations. In Domain Decompositions Methods, T.F. Chan et al. eds., SIAM, Philadelphia, 1989. pp. 3-16.

65. Bramble J.H., Pasciak J.E., Schatz A.H. The construction of preconditioners for elliptic problems by substructures // Math. Сотр., 1986. N 46. - P.361-369.

66. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Element Methods. Springer. -1991. - 362 p.

67. Chan T.F. Analysis of domain decomposition preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1987. - V24. - P.382-390.

68. Chan T.F., Hou T.Y., Lions P.L. Geometry related convergence results for domain decomposition algorithms// SIAM J. Numer. Anal. 1991. - V.28. - P.378-391.

69. Ciarlet P.G., Natterer F., Varga R.S. Numerical methods of higher-order accuracy for singular two-pint boundary value problem // Numer.Math. -1982. V.39. - P.341-350

70. Dryja M. A capacitance matrix method for Dirichlet problem on polygon regions // Numer. Math. 1982. - V.39. - P.51-64

71. Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P. An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition methods // SIAM J. Numer. Anal. -1988. V.25. - P.1213-1236.

72. Golub G.H., Mayers D. The use preconditioning over irregular regions //in Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI, R. Glowinski and J.L.Lions, eds., North-Holland, Amsterdam, 1098, P1987.

73. Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problem // Numer.Math. 1973. - v.21. - P.328-349.

74. Hachbush W. Multi-grid Methods and Applications. Springer. - 1985.

75. Hatri M. Estimation d'erroe optimale par la methode des elements finis pour un probleme aux limities degenere // Comptus rendus de I'Acad. bulgare Sc. 1984. - v.37, N5. - P.573-576.

76. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Method Analysis. McGraw-Hill. -2004. - 505 p.

77. Jamet P. On the convergence of finite-difference approximation to one-dimensianal singular boundary value problem // Numer.Math. 1970. -v.14. - P.355-378.

78. Johnson C. Numerical solutions for partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press. - 1987. - 282 p.

79. Lions P.-L. On the Schwarz alternating method II: a variant for non-overlapping subdomains //In Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differencial Equations, T.F. Chan et al. eds. SIAM, Philadelphia, P.202-231.

80. Marini D., Pietra P. Mixed finite element approximation of degenerate elliptic problem // Numer. Math. 1995. - V.71 - P.225-236.

81. Marini L.D. and Quarteroni A. A relaxation procedure for domain decomposition methods using finite elements // Numer.Math. 1989. -V.55. - P.575-598.

82. Moing P. Resolution par une methode d'elements finis du probleme de Dirichle pour un operateur elliptique degenere // C.R.Acad. Sci. Paris, ser.I. 1981. - v.292, N3. - p.217-220.

83. Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon press, 1999. - 363 c.

84. Reddien G.W. Projection methods and singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1973. - v.21. - P. 193-205.

85. Reddien G.W., Schumaker L.L. On a collacation method for singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1976. - v.25. - P.427-432.

86. Saltzer Ch. An abridged block method for the solution of the Dirichlet problem for the Laplace difference equation // J. Math, and Phys. 1953. V. 32, P. 63-67.

87. Schreiber R. Finite element methods of high-order accuracy for singular two-point boundary value problems with nonsmooth solutions / / SI AM J.Numer. Anal. 1980. - V.17. - P.547-56G