Нелинейные колебания газа в плоском канале и круглой трубе, открытых с одного торца тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Репина Анастасия Владимировна

005008457

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ, ОТКРЫТЫХ С ОДНОГО ТОРЦА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 д ЯНВ 2012

КАЗАНЬ-2011

005008457

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» и Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Зарипов Ринат Герфанович Официальные оппоненты: Ларионов Виктор Михайлович,

доктор технических наук, доцент, Казанский (Приволжский) федеральный университет, профессор Михеев Николай Иванович, доктор технических наук, профессор, Исследовательский центр проблем энергетики Учреждения Российской академии наук Казанский научный центр РАН, заведующий лабораторией гидродинамики и теплообмена Ведущая организация: Нижегородский филиал Учреждения

Российской академии наук Института машиноведения имени А.А. Благонравова РАН

Защита состоится 3 февраля 2012 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.080.11 при Казанском национальном исследовательском технологическом университете по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68 (корп. А, зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Казанского национального исследовательского технологического университета.

иверситета. в

Автореферат разослан " ■У» огыи

Ученый секретарь диссертационного совета

.¿¿г*"

Герасимов А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время одним из методов интенсификации процессов тепло- и массообмена является воздействие акустическим полем. Процессы горения, экстракции, сушки, кристаллизации, теплообмена и т.д. в акустическом поле проходят более интенсивно, чем при использовании традиционных средств технологии. Так, например, в устройствах, работающих в вибрационном режиме горения, увеличивается теплонапряженность топочного пространства, улучшается теплоотдача к стенкам камеры и, как следствие, повышается коэффициент полезного действия и удельная мощность всей установки.

Использование такого перспективного метода воздействия сдерживается отсутствием генераторов, позволяющих генерировать мощные звуковые поля. Одним из таких методов является резонансный принцип, заключающийся в том, что при колебаниях поршня в трубе при совпадении колебаний поршня с собственной частотой газового столба, заключенного в трубу, в последней возникают колебания газа с амплитудой скорости достигающей 150 м/с и более. При определенных условиях такая система генерирует периодические ударные волны. При генерации таких мощных колебаний проявляются различные нелинейные волновые явления внутри трубы и вблизи ее открытого торца, что позволяет использовать генераторы подобного вида в промышленных установках современных химических производств.

Развитие теории нелинейных колебаний, возникающих в таких сложных системах как трубопроводы или камеры сгорания, где колебания генерируются сочетанием различных источников возбуждения, представляет значительные трудности. Поэтому исследование основных нелинейных эффектов при резонансных колебаниях газа на простых моделях, в частности, в трубе с периодическим возбуждением среды колеблющимся поршнем является актуальным, что позволит в дальнейшем разработать методику инженерного расчета основных параметров таких систем.

Цель работы. Изучение возникновения нелинейных колебаний газа в плоском канале и круглой трубе, открытых с одного торца.

Поставленная цель достигалась решением следующих задач:

- исследование вынужденных нелинейных резонансных колебаний газа в плоском канале;

- исследование субгармонических колебаний газа в круглой трубе;

- расчет условия формирования периодических ударных волн внутри круглой трубы;

- расчет величины динамического напора пульсирующей струи.

Научная новизна. Получено аналитическое решение для резонансных

колебаний газа в плоском канале.

Получено нелинейное граничное условие на открытом торце с учетом полигармоничности колебаний скорости газа у выходного сечения трубы.

Разработана методика расчета амплитуды колебаний скорости и давления газа в открытой трубе с учетом реального закона движения поршня.

Получено условие формирования периодических ударных волн, образующихся при резонансных колебаниях газа в круглой трубе.

Разработан алгоритм расчета величины динамического напора, создаваемого пульсирующей струей, возникающей в области открытого торца трубы.

Обоснованность и достоверность результатов. Предложенные в диссертационной работе методики расчета и вытекающие из них выводы основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики жидкости и газа, а также физически естественных допущениях. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными других авторов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты дают более полное представление о сложных газодинамических процессах, происходящих при возбуждении продольных нелинейных колебаний газа в открытых каналах и трубах вблизи резонансных частот. Теоретические результаты использованы при разработке технологии очистки отходящих газов в производстве искусственной кожи.

Положения, выносимые на защиту:

- методика расчета резонансных колебаний газа в плоском канале открытом с одного торца;

- методика расчета нелинейных колебаний газа в открытой трубе вблизи субгармонических резонансов;

- формулировка нелинейных граничных условий на открытом торце с

учетом полигармоничности колебаний скорости газа у выходного сечения трубы;

- условия образования периодических ударных волн внутри круглой трубы при возбуждении колебаний газа большой амплитуды;

- алгоритм расчета динамического напора пульсирующей струи, истекающей из открытого торца трубы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на II Всероссийской научной конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007), VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008), XIV, XV, XVI, XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова (Ярополец, Москва, 2008-2011), VI Школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008), V Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики» (Казань, 2009), на итоговых научных конференциях Учреждения Российской академии наук ИММ КазНЦ РАН (2009, 2011), на расширенном заседании кафедры физики ФГБОУ ВПО «КНИТУ» и лаборатории механики сплошной среды Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения КазНЦ РАН (2011).

Публикации. Основные результаты исследований изложены в 5 статьях

и 8 тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 124 страницах и состоит из введения, 3 глав, выводов, списка цитируемой литературы из 198 наименований и приложения. Работа содержит 13 рисунков и I таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, формулируется цель исследования, а также дается краткое содержание основных научных результатов.

В первой главе приведен критический анализ современного состояния

исследований основных свойств нелинейных колебаний газа в каналах и трубах, как в теоретическом, так и в экспериментальном плане. Показано, что большинство теоретических работ не учитывает ангармоничность колебаний поршня, хотя подавляющее большинство экспериментальных исследований выполнено именно в таких условиях. Развитые ранее теоретические подходы не позволяют описывать возбуждение субгармонических резонансов в таких системах как труба, открытая с одного торца. Кроме того, до настоящего времени отсутствуют убедительные теоретические соотношения, позволяющие связать параметры конкретной экспериментальной установки с условиями формирования периодических ударных волн. При возбуждении резонансных колебаний газа в трубе в области открытого торца реализуются большие амплитуды пульсаций скорости (150 м/с и выше). Наличие таких амплитуд позволяет использовать технические устройства в виде генераторов для распыления жидких и пастообразных материалов. А поскольку дисперсность распыла определяется не только профилем волны, но и величиной динамического напора пульсирующей струи, истекающей из открытого торца резонатора, то возникает необходимость в разработке алгоритма расчета этой величины.

На основании анализа рассмотренных теоретических и экспериментальных исследований формулируется цель и задачи диссертационной работы.

Во второй главе представлено математическое описание колебаний газа в длинной трубе (R/L «1, где R - радиус, L - длина трубы), на одном торце которой расположен колеблющийся поршень, а другой торец открыт и сообщается с окружающей средой.

Рассматривается система уравнений, описывающая основные закономерности движения газа в плоском канале в декартовых координатах, включающая в себя уравнения движения, неразрывности, энергии и состояния

Р

(д\> dv Р Г

(

dv dv Bd (d2v ЗМ

dp ( d2v д v

Гя2

до др др — + м— + у—+р дгдхду

ди д\>^ йх <5}>

Рсг

ЭТ ВТ 8Т —+и—+у— 5/ дх ду

=О, Ф

О)

др . 81 дх

(д2Т д2Т дх2 ду2

+ ц

ди ду

р = рЛ/,

где р - плотность газа, и и V - компоненты вектора скорости, направленные вдоль и поперек канала, р - давление, Т - температура, ц - коэффициент динамической вязкости, X - коэффициент теплопроводности, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, - газовая постоянная, / - время.

После приведения уравнений (1) к безразмерному виду появляются четыре безразмерных комплекса

Ма = со//с0, Я = , 8Ь = ю К/У,г = У/&Ь, (2)

где М - число равное отношению амплитуды скорости перемещения поршня к скорости звука в невозмущенном газе, о - циклическая частота, I -амплитуда смещения поршня, с0 - скорость звука в невозмущенном газе, Я - частотный параметр, V - коэффициент кинематической вязкости, БЬ -число Струхаля, V - амплитуда колебаний скорости на открытом торце, е -параметр нелинейности.

Поскольку е «1, то при выводе волнового уравнения использовался метод возмущений, заключающийся в разложении искомых термодинамических величин и компонент скорости по степеням е. Такой подход позволил получить волновое уравнение в виде

^ + к2ра=0, сЬс

(3)

где ра - амплитуда пульсаций давления газа в плоском канале, к -комплексное волновое число, мнимая часть которого ответственна за поглощение звука.

При выводе соотношения (3) использовались следующие граничные условия - условие на оси канала для всех величин, условие прилипания для скорости и постоянства температуры на стенке.

В диссертации показано, что для плоского канала величина к равна

к = -

аЬ * (у_1)(1_0 V "(1+0 Л' %/2Рг 5„

со * -С-Аь бу л/2 "(1+0 и . Л 5,.

0,5

(4)

где у - показатель адиабаты, к - полуширина плоского канала, Рг - число Прандтля, 6„ =(2у/о)°'5 - толщина акустического пограничного слоя.

Дня исследований основных закономерностей движения газа в круглой трубе радиуса Я, использовалась полная система уравнений (1), переписанная в цилиндрических координатах и получено уравнение аналогичное соотношению (3), в котором к имеет вид

к =

.1,( 7-:,

0,5-1Щ

и,(г)

0.5

(5)

Здесь J0, J1 - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка, соответственно, от аргументов 2а = /3/2 Рг1'2 Н = г3!2Н.

Далее формулируются граничные условия для скорости движения поршня при условии, что поршень приводится в движение (как в подавляющем большинстве экспериментальных работ) с помощью кривошипно-шатунного механизма. В этой ситуации закон движения поршня описывается уравнением

и„=1 ю

это?+-

Р* 5Ш2<Й/

\0,5

(б)

2(1-р^т2©*)

где К - длина шатуна кривошипно-шатунного механизма.

Фурье-анализ реального закона движения поршня (6) показывает, что помимо основной гармоники на частоте о присутствуют только четные гармоники

ип =/Ц8тю/ + р*а28т2о)/ + Р*3а48т4ю/ + .,.). (7)

где а, - коэффициенты разложения.

Устанавливается связь между давлением и скоростью газа на открытом

торце трубы. За основу принимается модель Вийнгаардена [Van Wijngaarden L, 1968], предполагающая струйное истечение газа из открытого торца трубы и сферическое втекание газа в сток, расположенный в выходном сечении трубы. Истечение происходит через сечение трубы площадью жН2, а втекание через полусферу площадью 2яЯ2. Согласно закону сохранения массы количество выброшенного газа должно компенсироваться втеканием равного количества газа через полусферу. Поэтому длительность истечения больше длительности всасывания, т.е. скорость на открытом торце содержит постоянную составляющую, которая вычисляется в процессе решения конкретной задачи.

Граничное условие для гармонической составляющей на открытом торце круглой трубы получено в виде

где |z/ccl(l)| - модуль амплитуды колебаний скорости газа на открытом торце трубы, - константа, величина которой определяется в ходе решения конкретных задач.

В третьей главе приводятся результаты теоретического исследования основных свойств и закономерностей нелинейных резонансных колебаний газа в плоском канале и круглой трубе, открытых с одного торца.

В первом параграфе излагаются результаты, описывающие основные закономерности колебаний газа в плоском канале, открытом с одного торца, на другом торце которого расположен гармонически колеблющийся поршень.

Скорость газа в области открытого торца плоского канала в фазе выброса н+ (i) и в фазе всасывания г/* (/) изменяется следующим образом

ит (() = BV{m0 + sin юг) > 0, -ф < Ш < (л + ф),

н*(*) = К(от0+8тю*)<О,(л + ф)<ю* <(2л-ф). (9)

Исходя из условия нулевого расхода газа в среднем за период, получено трансцендентное уравнение

2В V[т0 (тс + 2ф) + 2cos <pJ + яГ [ш0 (я - 2ф) - 2cos ф] = О, (10)

которое позволяет вычислить численное значение коэффициента т0.

На рис. 1 представлена зависимость величины тй от частотного

0,150

10 H

параметра H. С ростом H m»

коэффициент mQ уменьшается, о,159-

приближаясь к постоянной величине, о,156-

равной 0,143. Для круглой трубы ее 0i53. предельное значение составляет 0,228. Следовательно, резонатор в виде

круглой трубы является более 0,147 " эффективным струйным насосом, чем

плоскии канал. рис j Зависимость коэффициента т0 от

После разложения соотношений (9) частотного параметра H в ряд Фурье, получено выражение для расчета величины стационарной составляющей поля скорости струи вне канала

и„ =V[B(0,5mQ+q0)+(0,5m0 -?0)®(z)], (11)

где Ф {z)-hjz, qQ - коэффициент разложения. При удалении от среза канала величина и„ возрастает за и /V

vT 1 стан

счет снижения вклада функции Ф(г) и достигает предельного значения uzJV«0,39 (рис.2). Направление движения струи - от среза канала наружу.

Для описания течений во внешней области использовалось уравнение Лагранжа-Коши. Считая, что на расстоянии от открытого торца z = \0h давление равно давлению окружающей среды р0 с точностью до третьей гармоники записано соотношение для разности давлений газа вне канала

Pce -Ро-(рй^72)К + Asin®' + Агcos2of + А3sin3(at + ...]2. (12) Здесь Ап - коэффициенты разложения.

Показано, что в области открытого торца существует разность давлений газа, не зависящая от времени, причем давление возле открытого торца

0,35 0,28 0,21 0,14 0,07-

IV

о

10

15

20 z/7i

Рис. 2. Зависимость безразмерной постоянной составляющей скорости и^У от безразмерного расстояния от среза канала г/»:1 ~Н= 1; 2 -Я= 2; 3 ~Н>20.

меньше давления окружающей среды,. С уменьшением параметра Н, т.е. с увеличением вклада вязкости в структуру течения, эта разность уменьшается и при И < 1 разрежение трансформируется в избыток давления.

Получено выражение для безразмерной амплитуды колебаний скорости газа и главного значения аргумента у в виде

г = (Л/„/5)(81п2аксЬ\ + со52ак5Ъ%)°'\ (13)

у = ат&ё сЛР^) - а, где г - безразмерная амплитуда пульсаций скорости газа на открытом торце плоского канала; ак = я/2-£0£(1 + р'); Р,. = ,тггЛ2+£0£р'; *0=ю/с0 -

волновое число; иг = у-^л/2(у-1)(1-/)/Рг°'5я];

р'=(1/72я)[1+(у-1)/7й:]; /у =а[(1+/)лА ][0+'>А I1;;

су = агсзт[&(1-/,)]; В - коэффициент, учитывающий эффект вытеснения, возникающий из-за наличия акустического пограничного слоя

В = 1-—й1 Н

010

Н

в

0,990,98 0,97 0,96 0,95

10

12 Я

Рис. 3. Зависимость коэффициента В от частотного параметра Я.

(14)

Численное значение этого коэффициента ограничено сверху (В < 1), максимальное значение он

принимает (5 = 1) при отсутствии вязкости и теплопроводности. Зависимость коэффициента В от частотного параметра Н представлена на рис. 3,

Для высокочастотного случая {Н »I) получено

асимптотическое соотношение

2? = 1-£/#. Для круглой трубы £ = 0,36, а для плоского канала - 0,18. Следовательно, в случае плоского канала величина В стремится к своему предельному значению (В = 1) в два раза быстрее, чем в случае круглой

трубы.

г

0,0280,024 0,020-

1,44 1,48 1,52 1,56 1,60

Рис. 4 Зависимости безразмерной амплитуды колебаний скорости Г от безразмерной частоты коЬ для различных значений частотного параметра Я: 1 -Я = 5,2 - Я = б,3-Я = 8,4-Я=10,5 -Я= 12.

Таким образом, с ростом частотного параметра Я коэффициент В увеличивается и приближается к значению, равному единице. Если Я >12, то с точностью до 1 % величина В не °>016 отличается от единицы. 0,012

На рис. 4 представлены о.оов зависимости безразмерной

амплитуды колебаний скорости газа на открытом торце г от безразмерной частоты к0Ь для I = 0,002 м при различных значениях Я. Увеличение значения Я происходит с увеличением полуширины канала. Резонансная амплитуда определяется на максимумах кривых. Как видно, с удалением от резонанса амплитуда г уменьшается для всех исследуемых зависимостей. С ростом Я максимумы резонансной амплитуды возрастают, при этом происходит увеличение резонансной частоты и приближение ее значения к предельной величине к0Ь~ я/2, которая реализуется при отсутствии вязкости и теплопроводности. Таким образом, из полученных расчетов установлено, что при увеличении толщины слоя Стокса происходит уменьшение амплитуды колебаний скорости газа со сдвигом резонансной частоты в сторону уменьшения.

Во втором параграфе исследуются нелинейные колебания газа в круглой трубе вблизи субгармонических резонансов с учетом реального закона движения поршня.

Получено выражение для безразмерной амплитуды колебаний скорости газа и главного значения аргумента у в виде

г„ ^"^/^(^хЛ +соз2хЛГ5, (15)

где Хл =7г/2-*0„1(1 + р'„), к0п =иш/с0 Рй =0/пВ] +к0пЬ$п, Вп =|г1(1-/я)|,

П = {[1 + (у-1)/;]/(1-/и)}0"5, Л = -^(1+0/ЯлРг0-3, О, - константа в

граничном условии для давления на открытом торце трубы.

На рис. 5 представлены результаты расчета для первого приближения и его сравнение с экспериментальными данными [Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин. Сб. тр. XI Всесоюз. акуст. конф., 1991]. При первом линейном резонансе рассчитанная и измеренная в эксперименте амплитуда пульсаций скорости газа находятся в хорошем согласии и, м/с друг с другом. Так, измеренная в кю-1 V

эксперименте скорость равна 112 м/с, расчет дает 110,87 м/с. Расхождение составляет 1,02%. Несколько худшее совпадение наблюдается для рассчитанной и экспериментальной резонансной частоты: в эксперименте зафиксирована частота для первого линейного резонанса 36 Гц, расчет с использованием классической

поправки Рэлея дает 38,75 Гц, превышение составляет 7,6 %.

Показано, что поправка Рэлея не является константой, а увеличивается с ростом амплитуды колебаний.

Первое приближение не описывает наличие субгармонических резонансов, которые зафиксированы в экспериментах.

Во втором приближении при расчете амплитуды колебаний скорости газа в области открытого торца трубы (п) необходимо предварительно рассчитать параметр р2 в формуле (15) по соотношению

Откуда следует, что в окончательном расчете амплитуды второй гармоники (г2) появляется вклад от первой гармоники через величину г

На рис.6 представлены результаты расчета амплитудно-частотной

806040 20

л..-'

0 10 20 30 40 50 60 /, Гц

Рис. 5. Зависимость амплитуды пульсаций скорости газа на открытом торце трубы от частоты для первого линейного резонанса: сплошная линия - теория, точки -экспериментальные данные [Зарипов, Репин, 1991].

характеристики с учетом второго приближения и приведено сравнение с экспериментальными данными [Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин. Сб. тр. XI Всесоюз. акуст. конф., 1991]. Расчеты показали, что в области первого линейного резонанса вклад от второй гармоники является малой величиной. Так, без учета второй гармоники расчетная амплитуда колебаний скорости газа составила величину 110,87 м/с, а с учетом второй гармоники эта величина возросла и стала равной 112,44 м/с. Такой незначительный вклад второй гармоники в области первого линейного резонанса объясняется тем, что для второй гармоники не реализуются условия резонанса. Тем не менее, учет второй гармоники уменьшил расхождение между теоретическим и экспериментальным значением скорости газа до величины 0,39 % для первого линейного резонанса.

Учет второй гармоники позволил объяснить наличие нелинейных резонансов. Эксперимент [Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин. Сб. тр. XI Всесоюз. акуст. конф., 1991] показывает, что первый нелинейный резонанс реализуется при частоте, равной 18,15 Гц, тогда как расчет дает 18,5 Гц. Амплитуда пульсаций скорости газа в эксперименте достигала 20,7 м/с, в то время как расчет дает 28,17 м/с. Таким образом, рассчитываемая величина амплитуды пульсаций скорости дает завышение на 36 % по сравнению с экспериментально измеренной.

Для второго нелинейного резонанса, который в эксперименте фиксируется при частоте, равной 55,7 Гц, расчет дает 55,5 Гц. Измеренная в эксперименте амплитуда пульсаций скорости газа равна 86 м/с, а расчет дает 84,74 м/с, следовательно, в этом случае расчет занижает величину скорости газа на 1,5 % по сравнению с экспериментально измеренной.

Можно заключить, что учет второй гармоники, порождаемой ангармоничностью движения поршня, позволяет качественно и количественно объяснить экспериментально наблюдаемые закономерности,

Рис. 6.Амплитудно-частотная характеристика для круглой трубы, открытой с одного торца, с учетом второго приближения: сплошная линия - теория, точки - экспериментальные данные [Зарипов, Репин, 1991].

полученные другими авторами.

При точном резонансе выражение для определения безразмерной амплитуды колебаний скорости газа (15) упростится и для первого линейного резонанса примет вид:

-10,5

г, =

(¿fllZpi) +0,9412-Мп

-кж

-. (16)

0,4706

Для случая идеального газа и без учета поправки Рэлея первый линейный резонанс наступает при г =1, где г =(2/к)ка1Ь0 - безразмерная частота.

Учитывая вязкость и теплопроводность газа, а также концевую поправку Рэлея, расчет резонансной частоты необходимо проводить по формуле

z =-

(17)

(1+стдд0)(]+р;)' Таким образом, учет вязкости и теплопроводности газа, влияние которых отражается в параметре р',, приводит к снижению резонансной частоты.

При реализации первого нелинейного резонанса %2-0, а. =тс/4, и вычисление амплитуды пульсаций скорости ита сводится к

решению следующих уравнении

г4шЛ i

(18)

Bl У(1 + (о,2353-гД2 + (со/с0)^р;)2

р;

(19)

[(А02£Р2)2-И,1156-(М2Д)Р2]°,3-^Р;

0,5578-P(Md/V1)

Расчет частоты, при которой реализуется первый нелинейный резонанс, производится по следующей формуле

m =_ИЕ&--(20)

Для высокочастотного случая р'2 = р,Д/2 частота первого нелинейного резонанса не является кратной частоте первого линейного резонанса и смещена в область более высоких частот.

Для второго нелинейного резонанса %2 - 0, а х, = я/4, поэтому

вычисление вклада г, в суммарную амплитуду производится также по формуле (18), а величина вклада в амплитуду от второй гармоники вычисляется по формуле (19).

Вычисление частоты, при которой реализуется второй нелинейный резонанс, производится по следующей формуле

о

Злс„

2нрез

(21)

формирования

В третьем параграфе анализируется условие периодических ударных волн внутри круглой трубы.

При достижении определенной амплитуды колебаний скорости газа в профиле волны образуется разрыв и формируются периодические ударные волны.

В трубе открытой с одного торца, помимо вязкой диссипации, существует дополнительный источник потерь механической энергии волны, связанный с обменом волновой энергией системы с окружающей средой. В такой ситуации возникновение ударных волн также возможно, но требует более высоких значений пульсаций скорости газа, чем для случая закрытой трубы. В данной ситуации основным источником потерь является излучение с открытого торца, а вязкой диссипацией можно пренебречь.

Момент образования ударной волны характеризуется следующими равенствами

Ь'Л"

ди

т.

-X

ди2

1

Л

т)

ди д2/{У)

ди2

(22)

= 0

Величина (У* соответствует значению скорости в профиле волны, при котором формируется разрыв.

Рассмотрен случай, когда поршень колеблется по гармоническому закону и/ио= втю/ и, следовательно, / = атсэ) п (и/1/0 )/<э, тогда система (22) сводится к уравнению

и

2г

(23)

Из (23) следует, что V* всегда принимает отрицательные значения. Это свидетельствует о том, что формирование разрыва всегда начинается в зоне разрежения на переднем фронте волны.

Получено выражение для вычисления значения координаты образования разрыва

2ш ^

(24)

где г - 2£М0, е = (у + 1)/2, у - показатель адиабаты.

Для малых значений ампл1ггуды колебаний газа (2 «1) из (24) вытекает известная из нелинейной акустики формула

х

(25)

шеА/0

Поскольку для формирования разрыва волна должна пройти определенное расстояние от источника, то легче всего это явление реализуется в наиболее удаленной от поршня точке, то есть на срезе открытого торца трубы (У = Учитывая, что открытая с одного торца

труба длиной I является четверть волновым резонатором с набором собственных частот газового столба &п =ж0 (2п-\)/2Ь, из соотношений (24), (25) следуют равенства

я(2и-1) =

(з-л/ГГг?)2

\ _____I__(26)

М -1--(27)

0 я(у+1)(2и-1)

При первом резонансе {// = 1) расчет по формуле (26) предсказывает

величину (Гкор = 115,2 м/с) довольно близкую к измеренной в эксперименте (Ужсп = 120 м/с) [Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин. Сб. тр. XI Всесоюз. акуст. конф.,1991]. Расчет по приближенной формуле (27) (Г^р = 183 м/с) завышает эту величину почти в 1,5 раза. Для второго резонанса (« = 2) обе

формулы дают заниженную величину по сравнению с экспериментом, хотя расхождение между двумя вычислениями не превышает 20 %. Вычисления для третьего резонанса (п - 3) дают расхождения не более 10%. Следовательно, по мере уменьшения амплитуды колебаний расхождение между результатами вычислений критических амплитуд пульсаций скорости, при которых в профиле волны формируется разрыв, уменьшается. Текущее значение скорости в волне (£/*)> при котором в профиле волны

формируется разрыв также увеличивается по абсолютной величине при уменьшении номера резонанса. Выражение (23) показывает, что эта величина всегда меньше амплитудного значения скорости газа в волне (и* <UÜ). Равенство выполняется только если М0 = 0,83, т.е. когда еМ0 = 1. При выполнении упомянутого условия из уравнения (24) следует,

что х - 0. Это означает, что разрыв в данной ситуации формируется непосредственно на поршне.

В четвертом параграфе приводится алгоритм расчета величины динамического напора создаваемого пульсирующей струей, истекающей из открытого торца трубы.

Экспериментально установлено, что в области открытого торца трубы, наряду с волновыми явлениями присутствует пульсирующая струя газа, которая может быть использована для распыления жидких и пастообразных материалов [В.Б. Репин, Ю.Н. Новиков, А.П. Дементьев. Нестац. задачи механики. Труды семинара. Казанск. физ-техн. ин-т, 1989. - № 22].

Величина динамического напора, создаваемого стационарно истекающей из открытого торца трубы струей, рассчитывается по известной формуле

= рУг/2, (28>

где р - плотность газа, V - скорость его истечения.

Для нестационарного течения за Дрдш необходимо принимать

осредненную за период величину.

Задав закон изменения скорости газа от времени на открытом торце трубы в следующем виде

у _ ÍVB sin (Oí, 0 á at S к ^

|0, n<(s>tü2ii

где Уп - амплитуда пульсаций скорости, г - время, и подставив его в (28), выполнив процедуру осреднения за период колебаний, получим

Артеор=рКп2/3. <3°)

Эмпирическая зависимость имеет вид [В.Б. Репин, Ю.Н. Новиков, А.П. Дементьев. Нестац. задачи механики. Труды семинара. Казанск. физ-техн. ин-т, 1989. - №> 22]

Артр=РКг/ 7, (31)

т.е. измеренный динамический напор оказался в 8/7 раза (на 12,5 %) выше

теоретической оценки.

Дополнительный вклад в реальный динамический напор обусловлен наличием во внешней области стационарной составляющей скорости газа, возникающей из-за несимметричности фазы всасывания и выброса. Поэтому при расчете динамического напора вместо соотношения (29) необходимо воспользоваться

у\К К+ип©/), -ф£сог<(я+(р) (32)

"[о, (я + ф)<со? <(2я-<р)

С учетом этого условия, получено уравнение для вычисления динамического напора пульсирующей струи

АРтеор =Р

2 _ то + 4т0/71 + 0,5 (33)

4(1 + /и0)2

где Утзх =Уп(]+т0) - максимальное значение полной мгновенной скорости

газа на открытом торце трубы.

Для круглой трубы величина т0 =0,2172, тогда 2=0,1396 или

2 = 1/7,194. Полученное численное значение коэффициента пропорциональности отличается от экспериментально измеренного на 2,8 %, что сравнимо с ошибкой измерений.

Из рис.7 следует, что как эмпирическое соотношение (31), так и теоретическая формула (33) удовлетворительно описывают экспериментальные данные вплоть до величины амплитуды пульсаций скорости газа, равной 120-125 м/с. При дальнейшем увеличении амплитуды

наблюдается систематическое отклонение измеренного

динамического напора от рассчитанного по формулам (31) и (33). Это отклонение связано с началом формирования ударных волн (разрывов) в профиле волны, условие образования которых согласуется с теоретическими расчетами, изложенными в параграфе 3, поскольку профиль скорости в волне в этом случае отличается от синусоидального.

Таким образом, наличие разрывов в профиле волны приводит к уменьшению динамического напора струи, истекающей из трубы. Изложенный метод может служить надежным индикатором образования ударных волн в трубах с открытым торцом.

ВЫВОДЫ

1. Получено аналитическое решение, описывающее колебания газа в плоском канале с открытым торцом без ограничения на частоту колебаний. Выявлено, что стационарная составляющая скорости газа, возникающая в области открытого торца из-за несимметричности фаз всасывания и выброса, возрастает по мере удаления от среза канала и достигает своего предельного значения, величина которого уменьшается по мере увеличения толщины слоя Стокса. Показано, что в области открытого торца существует стационарная составляющая давления газа, которая при высокочастотных колебаниях всегда меньше давления окружающей среды, а при низкочастотных колебаниях разрежение трансформируется в избыток давления.

2. При увеличении частоты колебаний газа амплитуда пульсаций

Рис. 7. Зависимость динамического напора пульсирующей струи от амплитуды пульсаций скорости газа. Сплошная линия - расчет по формуле (30), штриховая линия - расчет по формуле (33), точки - экспериментальные данные

[Репин, Новиков, Дементьев, 1989].

давления на срезе плоского канала для нечетных гармоник снижается, а для четных возрастает, достигая предельных величин, не зависящих от частоты колебаний. С увеличением вклада эффектов вязкости и теплопроводности амплитуда колебаний газа в плоском канале при резонансе снижается при одновременном смещении резонансной частоты в область низких частот.

3. Получено аналитическое решение, описывающее колебания газа в круглой трубе с открытым торцом. Показано, что частоты для первого и второго нелинейного резонансов не являются кратными частоте первого линейного резонанса и смещены в область высоких частот. При учете реального закона движения поршня в уравнениях помимо четырех известных безразмерных комплексов появляется пятый комплекс, представляющий собой отношение амплитуды смещения поршня к длине шатуна кривошипно-шатунного механизма. Решения адекватно описывают амплитуду колебаний газа и частоты в области линейных и нелинейных резонансов и находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными других авторов.

4. Приводятся условия формирования периодических ударных волн, возникающих в круглой трубе, в области резонансов. Показано, что при увеличении номера линейного резонанса амплитуда пульсаций скорости газа, при которой формируются ударные волны, уменьшается. Выявлены условия, при которых ударные волны формируются непосредственно на поршне.

5. Разработан алгоритм расчета величины динамического напора пульсирующей струи, возникающей в области открытого торца круглой трубы. Показано, что наилучшее согласование с экспериментальными результатами наблюдается только в том случае, если в расчетах учитывается наличие стационарной составляющей скорости газа, возникающей из-за несимметричности фаз всасывания газа в круглую трубу и выброса его в окружающее пространство. Выявлено, что наличие в профиле волны разрывов приводит к снижению динамического напора пульсирующей струи, а также форма открытого торца трубы (круглая или плоская) не влияет на ее величину.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Репина A.B. Нелинейные резонансные колебания газа в плоском канале с открытым торцом / A.B. Репина, Р.Г. Галиуллин // Изв вузов. Авиационная техника. -2008. -№ 1. -С. 33-36

2. Репина A.B. Критерий образования периодических ударных волн / A.B. Репина, В.Б. Репин, Р.Г. Зарипов //Вестник Казан, технол. ун-та. -2010. -№ 10. -С. 513-516

3. Репина A.B. Динамический напор пульсирующей струи, образующейся вблизи открытого торца резонатора / A.B. Репина, В.Б. Репин, Р.Г. Зарипов//Вестник Казан. технол. ун-та. -2011. -№ 3. -С. 161-164

4. Репина A.B. К вопросу о расчете динамического напора пульсирующей струи / A.B. Репина, В.Б. Репин, Р.Г. Зарипов, Е.И. Мекешкина-Абдуллина // Вестник Казан, технол. ун-та. -2011. 11. -С. 196-198

5. Репина A.B. Субгармонические резонансы в распределенной системе как следствие негармонического колебания поршня, генерирующего эта явления / A.B. Репина, В.Б. Репин, Р.Г. Зарипов // Вестник Казан, технол. унта.-2011.18.-С. 236-244

Тезисы докладов научных конференций

6. Репина A.B. Нелинейные резонансные колебания газа в плоском канале с открытым концом / A.B. Репина, Р.Г. Галиуллин // Тез. докл. II Всерос. науч. конф. «Волновая динамика машин и конструкций». -Нижний Новгород, 2007. -С. 80

7. Репина A.B. Формирование периодических ударных волн в трубе, открытой с одного торца / Р.Г. Зарипов, A.B. Репина, В.Б. Репин // Труды VIII Всерос. науч. конф, «Нелинейные колебания механических систем». -Нижний Новгород, 2008. -С. 346-349

8. Репина A.B. Нелинейные колебания газа в открытой трубе при полигармоническом возбуждении / Р.Г. Зарипов, A.B. Репина // Материалы XTV Международного симпозиума «Динамические и технологические

проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А.Г. Горшкова. -Москва, 2008.-Т. 1.-С. 95

9. Репина A.B. Субгармонические резонансы при вынужденных продольных колебаниях газа в открытой трубе / A.B. Репина // Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». -Казань, 2008. -С. 130

10. Репина A.B. Условие возникновения периодических ударных волн в открытой трубе / В.Б. Репин, Р.Г. Зарипов, A.B. Репина // Материалы V Всерос. научно-тех. конф.- Казань, 2009. -С. 259

11. Репина A.B. Динамический напор пульсирующей струи при нелинейных колебаниях газа в открытой трубе / В.Б. Репин, A.B. Репина, Р.Г. Зарипов // Материалы докладов XV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А.Г. Горшкова. -Москва, 2009. -Т. 1. -С. 130

12. Репина A.B. Субгармонические резонансы при колебаниях газа в открытой трубе вблизи второй и третьей собственных частот / Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин, A.B. Репина // Материалы докладов XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А.Г. Горшкова. -Москва, 2010. -Т. 1. -С. 76

13. Репина A.B. Генерация ударных волн периодически колеблющимся поршнем в открытой трубе / Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин, A.B. Репина // Материалы докладов XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им А.Г. Горшкова. -Москва, 2011. -Т. 1. -С. 76-78

Отпечатано в ООО «Печатный двор», г. Казань, ул. Журналистов, 2А, оф.022

Тел: 295-30-36, 541-76-41, 541-76-51. Лицензия ПДМ7-0215 от 01.11.2001 г. Выдана Поволжским межрегиональным территориальным управлением МПТР РФ. Подписано в печать 26.12.2011 г. Печл.1,4 Заказ № К-7100. Тираж 100 экз. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать -ризография.

61 12-5/1414

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ, ОТКРЫТЫХ С ОДНОГО ТОРЦА

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи 534.213; 532.517.4

РЕПИНА АНАСТАСИЯ ВЛАДИМИРОВНА

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Зарипов Р.Г.

Казань 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 7

1.1 Обзор теоретических и экспериментальных работ 7

1.2 Цель работы и постановка задач 34

ГЛАВА 2. ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗА БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ, ВОЗБУЖДАЕМОГО ПЕРИОДИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОРШНЕМ 35

2.1 Основные уравнения волнового движения газа 35

2.2 Граничные условия на поршне 43

2.3 Граничные условия на открытом торце 46

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА ВБЛИЗИ РЕЗОНАНСОВ 52

3.1 Нелинейные колебания газа в плоском канале с открытым торцом

в окрестности резонанса 52

3.2 Нелинейные колебания газа в круглой трубе вблизи субгармонических резонансов 64

3.3 Условие формирования периодических ударных волн 89

3.4 Динамический напор пульсирующей струи, истекающей из открытого торца трубы 93

ВЫВОДЫ 101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 103

ПРИЛОЖЕНИЕ

123

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время одним из методов интенсификации процессов тепло- и массообмен является воздействие акустическим полем. Процессы горения, экстракции, сушки, кристаллизации, теплообмена и т.д. в акустическом поле проходят более интенсивно, нежели при использовании традиционных средств технологии. Так, например, в устройствах, работающих в вибрационном режиме горения, увеличивается теплонапряженность топочного пространства, улучшается теплоотдача к стенкам камеры и, как следствие, повышается коэффициент полезного действия и удельная мощность всей установки.

Использование столь перспективного метода воздействия сдерживается отсутствием генераторов, позволяющих генерировать мощные звуковые поля. Один из таких методов заключается в том, что при колебаниях поршня в открытой трубе при совпадении частоты колебаний с собственной частотой газового столба, на торце трубы возникают колебания газа с амплитудой скорости достигающей 150 м/с и более. При определенных условиях такая система генерирует периодические ударные волны. При генерации столь мощных колебаний проявляются различные нелинейные волновые явления внутри трубы и вблизи ее открытого торца, что позволяет использовать генераторы подобного вида в промышленных установках большой единичной мощности современных химических производств.

Развитие теории нелинейных колебаний, возникающих в таких сложных системах как трубопроводы или камеры сгорания, где колебания генерируются сочетанием различных источников возбуждения, представляет значительные трудности. Поэтому исследование основных нелинейных эффектов при резонансных колебаниях газа на простых моделях, в частности, в трубе с периодическим возбуждением среды колеблющимся поршнем, является актуальным, что позволит в дальнейшем разработать методику инженерного расчета основных параметров таких систем.

Цель работы:

- исследование вынужденных нелинейных резонансных колебаний газа в плоском канале;

- исследование субгармонических колебаний газа в круглой трубе;

- расчет условия формирования периодических ударных волн внутри круглой трубы;

- расчет величины динамического напора пульсирующей струи. Научная новизна:

- получено аналитическое решение для резонансных колебаний газа в плоском канале;

- получено нелинейное граничное условие на открытом торце с учетом полигармоничности колебаний скорости газа у выходного сечения трубы;

- разработана методика расчета амплитуды колебаний скорости и давления газа для субгармонических резонансов с учетом реального закона движения поршня;

- получено условие формирования периодических ударных волн, образующихся при резонансных колебаниях газа в круглой трубе;

- разработан алгоритм расчета величины динамического напора, создаваемого пульсирующей струей, возникающей в области открытого торца трубы.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты дают более полное представление о сложных газодинамических процессах, происходящих при возбуждении продольных нелинейных колебаний газа в открытых каналах и трубах вблизи резонансных частот. Теоретические результаты использованы в ФКП «ГосНИИХП» при разработке технологии очистки отходящих газов в производстве искусственной кожи. Результаты работы использованы в ФГБОУВПО «КНИТУ» на кафедре ОХЗ в учебной практике при чтении курса лекций «Оборудование химических заводов».

Содержание работы. Содержание диссертации дается в трех главах. В первой главе приведен обзор и анализ литературы, отражающий современное

состояние изучаемого вопроса, и постановка цели и задач исследования. Во второй главе представлен вывод основных уравнений, описывающих волновые движения газа в плоском канале и круглой трубе, и формулируются граничные условия. Третья глава посвящена исследованию резонансных колебаний газа в открытых каналах и трубах. Аналитически рассчитывается граничное условие на открытом торце в зависимости от геометрии трубы и учитывается наличие высших гармоник в законе движения поршня. Анализируется условие формирования периодических ударных волн внутри круглой трубы. Также приводится алгоритм расчета величины динамического напора создаваемого пульсирующей струей, истекающей из открытого торца трубы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на: II Всероссийской научной конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Н.Новгород, 2007 г.), VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 2008 г.), XIV, XV, XVI, XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А.Г. Горшкова (Ярополец-Москва, 2008 г., 2009 г., 2010 г., 2011 г.), VI Школе-семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008 г.), V Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики» (Казань, 2009 г.), а также на итоговых научных конференциях Учреждения Российской академии наук ИММ КазНЦ РАН за 2009 г., 2011 г. и на расширенном заседании кафедры физики ФГБОУ ВПО «КНИТУ» и лаборатории механики сплошной среды Учреждения Российской академии наук Института механики и машиностроения КазНЦ РАН (2011г.). Все перечисленные результаты

получены впервые.

Публикации. По теме диссертации имеется 13 публикаций [183, 184, 186— 189, 191-196, 198], из них 5 статей опубликованы в периодических изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 124 страницах и состоит из введения, 3 глав, выводов, приложения и списка цитируемой литературы из 198 наименований. Работа иллюстрирована 13 рисунками и содержит 1 таблицу.

Обоснованность и достоверность. Предложенные в диссертационной работе методики расчета и вытекающие из них выводы основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики жидкости и газа, а также физически естественных допущениях. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными других авторов.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

1. Методика расчета резонансных колебаний газа в плоском канале открытом с одного торца.

2. Методика расчета нелинейных колебаний газа в открытой трубе вблизи субгармонических резонансов.

3. Формулировка нелинейных граничных условий на открытом торце с учетом полигармоничности колебаний скорости газа у выходного сечения трубы.

4. Условия образования периодических ударных волн внутри круглой трубы при возбуждении колебаний газа большой амплитуды.

5. Алгоритм расчета динамического напора пульсирующей струи, истекающей из открытого торца трубы.

Работа выполнена по плановой теме Учреждения Российской Академии наук Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН «Динамика неоднородных и многофазных сред» № 01200955817 гос. регистрации и при финансовой поддержке РФФИ грант № 10-01-00098.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1.1. Обзор теоретических и экспериментальных работ

Сначала кратко остановимся на обзоре работ, посвященных нелинейным колебаниям газа в закрытой трубе при возбуждении плоским поршнем.

Исследованию нелинейных колебаний газа в закрытой трубе посвящено достаточно много, как экспериментальных [1-16], так и теоретических работ [9, 11-14, 17-38]. Колебания газа в трубе возбуждались либо электромагнитным вибратором, либо поршнем, совершающим возвратно-поступательное движение вдоль трубы. При приближении к собственной частоте газового столба [39]

й)п=—^, п = 1,2,3,..., (1.1.1)

где п - номер резонанса, с0 - скорость звука в невозмущенном газе, Ь - длина трубы, в трубе начинают проявляться нелинейные эффекты. Синусоидальная форма колебаний давления газа начинает деформироваться, возникают изломы, а затем и разрывы. Увеличивается амплитуда колебаний. И, наконец, при точном резонансе, возникают сильные разрывные колебания, которые перемещаются вдоль трубы, отражаясь от ее торцов. Такие колебания называют периодическими ударными волнами.

Экспериментальные исследования разрывных колебаний [2, 3] показали, что слабые периодические ударные волны имеют интенсивность, меняющуюся вдоль трубы (она слабее в середине трубы и максимальна у обоих ее торцов). Волны распространяются со скоростью звука и не взаимодействуют друг с другом. Установлено [3], что в ударных волнах пристеночные потери играют большую роль, чем потери при сжатии газа в ударных волнах при турбулизации потока. При этом обнаружено, что с увеличением длины трубы роль пристеночных потерь возрастает. Кроме того, подтверждено существование стационарного вихревого движения газа, теоретически рассмотренного еще в

работе [40]. При колебаниях на основной частоте сох в каждой половине трубы располагается по одному вихрю, при возбуждении второй гармоники число вихрей удваивается, т.е. наблюдается по два вихря в каждой половине трубы. При этом ударные волны не препятствуют развитию вихрей. Фронт волны, как показало фотографирование при помощи теневого метода, имеет слегка выпуклую поверхность в направлении его движения.

Наиболее эффективный подход для получения выражений, описывающих ударные волны, разработан в работе [21]. Сначала проводится интегрирование уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах в области линейных резонансов. В результате задача сводится к решению некоторого интегро-дифференциального уравнения, записанного для сечения трубы у поршня. Решение находится с периодом, равным периоду колебаний поршня и представляется в виде непрерывной функции со средним нулевым значением и разрывом, который характеризует фронт ударной волны. Таким образом,

определяется профиль ударной волны с точностью до величин порядка по

Функция (1.1.2) непрерывна в интервале А < сот¡2 < А + ж, а величина А

определяется из условия Д = агс8юДй, (~\<Рт<\). Параметр ¡Зт

характеризует близость частоты колебаний к резонансной частоте. На концах интервалов функция может терпеть разрыв или излом. В последующих интервалах величиной ж функция находится периодическим продолжением.

Более точные решения для периодических ударных волн были получены в работах [9, 22-25] воспользовавшись методом, предложенным в [21]. Представленные теоретические решения находятся в хорошем соответствии с экспериментальными данными для относительно слабых периодических ударных волн с амплитудами до 4 Н/см вблизи линейных резонансов [5, 7-9]. Описание профиля интенсивной ударной волны (при амплитудах 4 Н/см и

формуле

жс0ът(соЬ/со)

(1.1.2)

ж

2 '

(к + 1)соЬ>1£

выше) получено в работах [1, 32]. Чтобы найти удовлетворительные результаты, было привлечено последующее приближение, и интегрирование уравнений газовой динамики проводилось с точностью до величин порядка 0(е).

Анализ теории, рассмотренной в работе [21] и ее модификации выполнялись различными авторами [29-31, 33, 36, 37, 41, 42].

Сильные нелинейные колебания газа, генерируемые с использованием конусного переходника, соединяющего поршневую систему с трубой меньшего диаметра, исследовались как экспериментально, так и теоретически в работе [1]. Было выявлено, что наличие конусного переходника вызывает увеличение давления в зоне уплотнения и уменьшение в зоне разрежения. При этом появились различия в форме волны: профиль волны вблизи конусного переходника отличается от профиля волны у закрытого торца. Кроме того, эксперимент показал, что вязкость слабо влияет на амплитуду ударных волн.

Экспериментальные исследования [4-7] дополняют физическую картину периодических ударных волн в закрытой трубе, с амплитудами примерно 1 Н/см2.

Помимо периодических ударных волн при резонансных колебаниях газа в закрытых трубах возникают тепловые эффекты. Авторами отмечено [2], что в области частот близких к резонансным наблюдался рост осредненного за период значения давления р0 и что этот рост обусловлен увеличением средней за период колебаний температуры газа в трубе. В экспериментах, представленных в работе [3], также был обнаружен неравномерный разогрев стенок по длине трубы. Подробные измерения тепловых потоков по длине трубы [11] показали, что в дорезонансной и послерезонансной области возможен не только нагрев, но и охлаждение. При этом при приближении к резонансу происходит возрастание положительных тепловых потоков (нагрев) и абсолютных значений отрицательных тепловых потоков (охлаждение). В околорезонансной области, где происходит образование ударных волн, тепловой поток становится положительным по всей длине трубы. Рассматривая движение и теплообмен вязкой, теплопроводной жидкости в трубе, авторы [11]

рассмотрели уравнение энергии для второго приближения и рассчитали величину теплового потока. Аналитическое выражение для теплового потока в предположении о тонкости акустического пограничного слоя было получено также в работах [26, 27]. Представленные результаты совпадают с экспериментальными данными [11].

В работе [16] исследовалось влияние термоакустической ячейки (стека) на распространение в трубе бегущей волны. В результате эксперимента получено, что скорость частицы бегущей волны через стек усиливается или ослабляется пропорционально отношению температур концов стека. Волна, прошедшая через стек в закрытой трубе имеет большую степень изменения, чем в открытой трубе. То есть термоакустический эффект обеспечивает умеренные изменения отраженных от стека и преобразованных амплитуд волны.

В [43-45] исследован случай, когда труба наполнена газом, разогретым неравномерно, т.е. в трубе имеется осевой градиент температуры. Наличие градиента температуры обуславливает появление дополнительных членов в первом приближении для температуры и в тепловом потоке. В случае возникновения под воздействием градиента температур автоколебаний этот вклад может стать существенным. Более детальный анализ термоакустических эффектов проведен в [46-48].

Задача, когда акустические колебания в трубе генерируются тепловым источником и одновременно колебаниями поршня рассматривается в работах [34, 35, 38]. В случае, когда колебательная система представляет собой закрытую трубу с поршнем, в некотором сечении которой температура изменяется скачком, волновое уравнение из [46] приводится к системе, которая решается при граничных условиях на границе двух сред, в которых давление и скорость изменяются непрерывно. Когда скачок температуры расположен в произвольном сечении трубы, для амплитуды колебаний были получены два выражения: для холодной части трубы, и для горячей. Результаты показывают, что наличие скачка способствует как увеличению, так и уменьшению безразмерной амплитуды колебаний, по сравнению с однородным

температурным полем. Кроме того, амплитуда колебаний в горячей части трубы, также отличается от соответствующей амплитуды при равномерном поле: она растет по мере роста координаты скачка, приближаясь к значению, соответствующему равномерному температурному полю с меньшей температурой.

Возникновение периодических ударных волн при частоте возбуждения, равной половине собственной частоты впервые исследовалось в работах [9, 49]. Эксперименты показали, что в отличие от линейного резонанса между сильными разрывами в каждом перио�