Нелинейные резонансные колебания газа в трубах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

рг6 оа

На правах рукописи

- 1 МАР 2(ы

Галиуллина Эльвира Раифовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ТРУБАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань, 2000

Работа выполнялась на кафедре молекулярной физики Казанского государственного университета и лаборатории механики сплошной среды Института механики и машиностроения Казанского центра РАН

Научный руководитель: -доктор физико-математических наук Зарипов Р.Г.

Научный консультант: -кандидат технических наук,

доцент Ларионов В.М.

Официальные оппоненты: -доктор технических наук,

профессор Козлов А.П.

-кандидат физико-математических наук, доцент Филатов Е.И.

Ведущая организация: Нижегородский филиал Института машиноведения РАН им. А.А.Благонравова

Защита диссертации состоится "1Р 2000г. в УЛасов на заседании диссертационного совета Д 063.43.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева ло4щресу^420Ш_л^ЕСазань.ул_К^МарксаЛ0_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева

■ Автореферат разослан « ЛС 2ооог.

/ 7

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., с.н.с.

' ^ /А.Г.Каримова /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В реальных устройствах, таких как системы трубопроводов компрессоров, камерах сгорания жидко- и твердотопливных ракетных двигателей, парогенераторах, тепловых контурах АЭС, могут возникать сильные нелинейные колебания. Они увеличивают местные коэффициенты теплоотдачи, механические и тепловые напряжения, что может приводить к разрушению элементов конструкций.

С другой стороны, нелинейные колебания могут существенно интенсифицировать горение, повышать теплонапряженность топочных камер (как это происходит в камерах вибрационного горения), улучшать тепло- и массообмен, снижать гидравлическое сопротивление. В настоящее время генераторы интенсивных нелинейных колебаний нашли широкое применение для очистки поверхностей нагрева котлоагрегатов, используются для нанесения покрытий, а также при распылении жидкости в промышленной экологии.

Колебания в вышеупомянутых сложных системах обычно генерируются сочетанием более простых источников возбуждения, как поршень, периодический тепло- или массоподвод, набегающая в трубу струя. Кроме того, может возникать обратная связь между колебаниями параметров газа и тепломассоподводом, и, таким образом, колебания могут становиться самовозбуждающимися.

Изучение нелинейных колебаний и процессов, происходящих под воздействием таких сложных колебаний, представляет значительные математические трудности. Поэтому актуальным является разработка методики исследований резонансных нелинейных колебаний, возникающих в более простых системах, в частности, в трубе, на одном конце которой находится гармонически колеблющийся поршен, а другой закрыт или сообщается с окружающей средой. Также представляют прикладной интерес колебания газа, которые генерируются гармонически колеблющимся поршнем и неравномерным температурным полем .

Цель работы

исследование продольных нелинейных колебаний в открытой трубе, моделирование нелинейности открытого конца; исследование резонансных колебаний в закрытой трубе, учет потерь при таких колебаниях;

расчет акустотермических эффектов при наличии неравномерного температурного поля. ;

Научная новизна:

• разработана методика расчета распределений скорости и давления в открытой трубе с учетом генерации высших гармоник, возникающих из-за нелинейностей среды вблизи поршня, внутри трубы и на открытом конце, которая не требует привлечения эмпирических параметров;

• ' исследовано влияние диссипативных потерь на амплитуду колебаний

скорости газа в закрытой трубе и определены условия, при которых основными механизмами потерь являются нелинейность и турбулентность потока;

• разработана методика расчета амплитуды колебаний давления при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе при слабой диссипации;

• экспериментально исследован переход от непрерывных колебаний к ударным волнам вблизи линейного резонанса, проведено сравнение развитой теории и эксперимента;

• изучено влияние неравномерного температурного поля на величину теплового потока при акустотермическом эффекте, сопровождающем резонансные нелинейные колебания газа в закрытой трубе;

• исследовано влияние осевого бесконечного градиента температуры на . амплитуду колебаний газа в трубе в резонансном режиме.

Теоретическая и практическая значимость. Развитые методы расчета позволяют составить представление о сложных газодинамических процессах, происходящих при возбуждении нелинейных резонансных колебаний в трубах. Полученные теоретические результаты могут служить основой для расчетов процессов в различных энергетических устройствах, в которых наблюдается вибрационное горение (ЖРД, парогенераторы и т.п.). Пульсирующая высокоскоростная струя может быть использована и используется при создании струйных насосов, например, в установках очистки газопылевых выбросов, в установке для сушки дисперсных материалов. Результаты исследования акустотсрмических эффектов при резо-— нансных колебаниях газа в трубе могут стать основой для разработки инженерных методов расчета перспективных холодильных систем,- реализующих волновые методы получения холода.

Обоснованность и достоверность. Предложенные в диссертационной работе методики расчета и вытекающие из них результаты основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики жидкости и газа, а также физически естественных допущениях. Обоснованность и достоверность подтверждаются также сравнением полученных результатов с экспериментальными данными ранее выполненных работ других авторов и результатами настоящего эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на 5, 7, 8 Научно-технических семинарах «Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика» (Казань, 1993, 1995,1997гг.), I Международной (X Зимней) школе по Механике сплошной среды (Пермь, 1995г.), II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996г.), конференции «Акустика неоднородных сред-4» (Новосибирск, 1996г.), Международной конференции «Математические модели и численные методы МСС» (Новосибирск, 1996г.), IV Всероссийской, V Международной конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 1996, 1999гг.), Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении» (Казань, 1997г.), Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1999г.), на Итоговых научных конференциях Казанского университета, Института механики и машиностроения КНЦ РАН (1995-1998гг.), на научных семинарах кафедры молекулярной физики Казанского университета (1993-1999гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Общий объем диссертации 137 стр., в том числе 23 рисунка, расположенных по тексту, и список литературы на 8 стр., включающий 126 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель исследования, а также дается краткое содержание основных научных результатов.

Глава 1 имеет обзорный характер. Дается обзор и анализ имеющихся теоретических и экспериментальных исследований колебаний газа в открытой трубе. Показано, что большинстве работ отсутствуют теоретиче-;кие распределения скорости и давления по длине трубы, необходимые зля расчетов различных процессов, происходящих в колеблющихся пото-<ах в трубах. Результаты тех работ, где подобные распределения получеты, не распространяются на высшие гармоники, вклад которых может 5ыть существенным при большой амплитуде колебаний. Нелинейное гра-тичное условие на открытом конце трубы, примененное для решения зада-ш в этих работах, содержит эмпирические параметры, что делает разви-

ваемую авторами теорию неполной. Предложенные варианты нелинейноп граничного, условия без эмпирических параметров также неудовлетвори тельны, так как либо не описывают генерацию высших гармоник струйными потерями, либо не учитывают эффекты ускорения потока вблизи открытого конца, которые могут существенно влиять на амплитуду устанавливающихся колебаний. •

, Далее приводится обзор литературы по нелинейным колебаниям газ; в забытых трубах. Показано, что необходам учет потерь, т.к. диссипацш энергии приводит к уменьшению амплитуд колебаний, к исчезновении разрывов и образованию ударного фронта Имеющиеся в литературе данные об амплитуде колебаний являются неполными, так как обычно учитываются не все виды диссипативных потерь. Экспериментальные исследования относятся, в основном, к области разрывов, тогда как область перехода от слабо нелинейных колебаний к ударным волнам никогда не исследовалась.

Проводится анализ состояния проблемы акустотермических эффектов, возникающих при нелинейных резонансных колебаниях газа в трубах, Выражение для теплового потока в случае, когда стенка трубы считается изотермической, известно. Однако, обнаружено, что наличие в трубе температурного градиента приводит к появлению дополнительного члена в выражении для теплового потока. Вклад этого члена может стать существенным при акустотермических эффектах, когда под влиянием осевого температурного градиента возможно возникновение автоколебаний. Данных по амплитуде автоколебаний не обнаружено.

В заключение формулируются задачи диссертационной работы.

Во второй главе приводится математическая модель колебаний газа для системы, представляющей собой длинную трубу (Я/Ь « 1, где Я - радиус, Ь - длина трубы), на одном конце которой гармонически колеблется поршень, другой конец может быть закрыт или сообщаться с окружающей средой. Колебания в такой системе описываются уравнениями гидродинамики: уравнениями движения, неразрывности, энергии и состояния газа:

Р!

др дг 'др

ди ди ди | др ид

— + и-+У- =--—+ --

3/ дх дг I дх г дг

= 0

др др + и — + V — + р

5? дх дг

19/ \ ди

--(гу) + —

г дг дх

8и дг

= 0

Р-с,

дТ дТ дТ

--н и--1- V——

д( дх дг

др др А, д

— + и — +--

Ы дх г дг

'гИг)"

дг ) \дг)

Р = РД/-

б

где р - плотность газа; V - вектор скорости; ? - время; м, V - осевая и радиальная компоненты скорости; р - давление газа; х, г - осевая и радиальная координаты; Т - температура; ц - коэффициент динамической вязкости; X - коэффициент теплопроводности; Я^ - газовая постоянная.

Задаются временные и граничные условия. Временные - условие периодичности, граничные условия - условия симметрии на оси трубы, условия прилипания на стенке, непроницаемости стенки, отсутствия колебаний температуры на стенке; граничные условия вблизи поршня и на закрытом конце трубы (в случае закрытой трубы).

Для более полного описания вводятся безразмерные параметры, которые для нашей задачи принимают следующие значения:

е=—«1, Н=лЯ» 1, М=<« 1,

аЬ V V V рс0

где Я- так называемый частотный параметр, М - число Маха для

поршня, т.е. для газа вблизи поршня, е - нелинейный параметр, описывающий нелинейность внутри грубы, Бк - число Струхаля, V - амплитуда колебаний скорости на открытом конце, с0 - скорость звука в невозмущенном газе, V - коэффициент кинематической вязкости. Условие е «1 означает, что нелинейность среды внутри трубы принимается малой по сравнению с нелинейностью среды вблизи открытого конца, которая характеризуется условием ¿7-7 < 1. Н » 1 означает, что толщина пограничного слоя мала по сравнению с радиусом грубы, тогда справедливы приближения пограничного слоя. Условие М « 1 указывает на то, что амплитуда смещения поршня мала по сравнению с длиной трубы.

Далее обосновывается применение метода возмущений для получения аналитических решений системы уравнений (1). Искомые величины представляются в виде разложений по степеням малого параметра £.

В третьей главе исследуются нелинейные резонансные колебания газа в открытой трубе, возбуждаемые колебаниями поршня, находящегося на закрытом конце трубы.

Устанавливается связь между давлением и скоростью на открытом конце. За основу принимается модель Вийнгаардена, предполагающая струйное истечение и сферическое втекание в сток, расположенный в выходном сечении. Истечение происходит через сечение трубы площадью кЯ2, а втекание через полусферу площадью 2лЯ2. Согласно закону сохранения массы количество выброшенного газа должно компенсироваться втеканием равного количества газа через полусферу. Поэтому длительность истечения больше длительности всасывания, т.е. скорость на открытом конце содержит постоянную составляющую, которую можно определить.

Граничное условие для гармонической составляющей получено в виде

(2)

где р! = А /Росо > Щ=и\/со ' безразмерные колебания скорости и давления на основной частоте а, V - амплитуда колебаний скорости на открытом конце, т.- коэффициент пропорциональности, учитывающий геометрию открытого конца, который получается, если выражения для колебаний скорости при всасывании и при струйном выбросе подставить в уравнение баланса массы. Полученное значение совпадает с экспериментами до Зго знака. Таким образом, граничное условие не содержит эмпирических параметров и хорошо согласуется с экспериментом.

С помощью выведенного граничного условия на открытом конце находится решение задачи при колебаниях вблизи линейного резонанса, когда поршень движется по гармоническому закону ип ~ -ю/ соэсйГ. Для безразмерной амплитуды колебаний газа в открытой трубе ц было получено следующее уравнение:

++ + ¡3%Ьр' + тГ1^У]2 = (3)

где под Ь нужно подразумевать эффективную длину трубы, которая содержит добавку ЬЯ, учитывающую излучение с открытого конца, известную под названием поправки Рэлея на открытый конец Ь= 0.6133.

При точном резонансе можно получить решение в явном виде

г, = (2тУ ¡(¿01Р')2 + 4тМр ]"'2 - к01 р'} (4)

На рис.1 изображены расчетные и экспериментальные зависимости =г1(Мр). Наблюдаемое расслоение данных обусловлено влиянием параметра Н: чем короче труба, тем выше резонансная частота и Н ,^ледова-^ тельно, меньше Р', ответственное за пристеночное поглощение.

На рис.2 показана зависимость = р1р/р0с0йр от безразмерной

частоты 2кЬ/к, где рХр- амплитуда колебаний давления вблизи поршня, йр- амплитуда колебаний скорости поршня. Л',(х) характеризует усилительные свойства трубы как резонатора. То обстоятельство, что результаты согласуются ( в пределах 3%) позволяет утверждать, что схема расчета т и его численное значение от частоты колебаний поршня не зависит. Амплитуду колебаний при точном резонансе можно предсказать с большой точностью.

0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

Л

о

7 Мрх 103

2 4 6

Рис.1. Зависимость безразмерной амплитуды колебаний Г, от Мр

+- (Wijngaarden, 1968), ▲ -(Wijngaarden, 1974), 4 (Mortell,1973), X^*-(Stuhltrager,1986), L=0.8863m, X-L=/.2864M, • -L=1.7065M;— теория

PiJ(P<P&¿

17 16 15 14 13 12

»4,

a /

о-

Cf

I

cf /

0.92 0.94 0.96 0.98 2Шп

Рис.2. Зависимость коэффициента усиления от безразмерной частоты О - (Stuhltrager,1986); — теория

Вследствие нелинейности системы (нелинейного условия на поршне "1-2/ = ®/0 sin ©í - (/„ /р0с02 Хф, ¡dt\\ + cos со/), сложного гармонического состава колебаний на открытом конце и внутритрубной нелинейности) при колебаниях возникают нелинейные эффекты. Это приводит к тому, что в системе возникают гармоники высших порядков: 2 о или 3 со. Когда частота колебаний поршня совпадает с одной из них, возникают т.н. нелинейные резонансы. '

В настоящей работе рассматриваются резонансы при 2 со и 3 ю.

Была выведена система двух осредненных по сечению трубы уравнений для колебаний скорости и давления, решение которой ищется методом возмущений. Рассматривается второе приближение. Граничное условие на открытом конце строится по методике описанной выше, где учитывается зторая гармоника и импеданс акустического излучения

= 2¿y(L,í)í72(i,í)-^ (5)

-де Y = У/р0с0 - мнимая часть импеданса излучения, которая дает поправку 5элея на открытый конец, рг - />2/р»со, иг=иг(са- безразмерные ампди--уды колебаний давления и скорости , rt - безразмерная амплитуда коле-¡аний первого приближения, к - коэффициент, аналогичный коэффициен-у т, также рассчитываемый аналитически. :

>ыли получены выражения для модулей амплитуды колебаний давления и жорости \щ(у}. .

Из полученных выражений легко получаете» «линейное» решение, оответствующее случаю, когда внутритрубная нелинейность считается >авной нулю, а колебания удвоенной частоты возбуждаются граничными 'словиями.

ó

\

Результаты расчета Е{х) = \р2(у\/г2 при граничном условии (5) хорошо согласуются с экспериментальными результатами (Stuhltrager Е., Tho-mann Н. Oscillations of a gas in an open-ended tube near resonance//ZAMP. 1986. V.37 №3, p.l 55-175) (рис.3).

E(x)

0.2 ..

0.4

Рис. 3. Распределение е(х ) = (у\/па длине трубы. Сплошная линия - теория, точки -эксперимент (БиЛИз^ег, 1986. Ь=1,7065м)

Рис.4. Распределение величины Л^НлМ/РЛЧ. по длине трубы. Сплошные линии: 1 - нелинейная теория, 2 -линейная теория с учетом нелинейности среды вблизи поршня, 3 - линейная теория без учета нелинейности среды вблизи поршня.

Штриховая линия - теория Честера

Распределения величины N2 = |p2G')1/PocoMn по длине трубы, где ип- амплитуда колебаний скорости поршня (рис.4), показывают, что обе нелинейные теории (настоящая и теория Честера: Chester W. Resonant oscillations of a gas in an open-ended tube//Proc. Roy. Soc. London. 1981. 377 A. P. 449-467) отличаются от линейной весьма существенно как качественно, так и количественно: ампли- а (т) туда по нелинейным теориям в ~два~раза~превышает~амплитуду по линейной теории. Минимальное значение амплитуды оа отлично от нуля, если учитывать нелинейность вблизи 02 поршня. Отклонение амплитуды от нуля в точке минимума обусловлено, с одной стороны, потерями энергии на присте- рис.5 распределение G(x) = \ut(yllr;1 ПО длине тру-ночное поглощение, излуче- бь1 Сплошные пинин; \ _ нелинейная теория, 2 -ние, а С другой — нелинейно- линейная теория с учетом нелинейности среды вбли-СТЬЮ Вблизи ПОрШНЯ. зи поршня. Штриховая линия - линейная теория без

учета нелинейности среды вблизи поршня.

>го хорошо известное в акустике явление: наличие потерь приводит к по-шлению колебаний, например, в узле стоячей волны; Тогда становится' по-иггаой причина расхождения данной теории и теории Честера1-вблизи горшня. Оно обусловлено в частности тем, что в теории Честера амплитуда колебаний скорости с частотой 2 со на поршне предполагается равной 1улю. ■

На рис. 5 приводятся теоретические распределения = Щу^/г,1, соторые показывают, что учет нелинейности вблизи поршня сказывается, •лавным образом, на концах трубы. Обнаруживаете^ существенное влия-ше внутритрубной нелинейности как на распределение давления,,так и на

:олебание скорости на частоте 2 св. , , -,.,

. \ ' ' ' 1 1

Далее рассматривается нелинейный резонанс н^ частоте 3©. В отлитие от второй, третья гармоника является резонансной. Но если записать :истему третьего приближения, учитывающую нелинейное взаимодейст-ше первых двух приближений, то правые части содержат произведения \гг, имеющие третий порядок малости, тогда как в разложении давления 1а открытом конце присутствует член второго порядка г,? созЗю?, а значит, ; решении должен присутствовать член второго порядка. .Тогда решаем однородную задачу второго порядка. В граничном условии на поршне ко-:ебаний на частоте 3 со нет. Граничное, условие на открытом конце имеет ид: ^ -. • ■•• : ... '■■• ■

■£¡(£,0=¿Р(£.,()%(£,^-ЬгрсозЗТ'- ; • (6)

"де * относится к амплитуде первой гармоники на частоте, соответствующей резонансу третьей гармоники, первый член описывает акустическое злучение с открытого конца, Ь - коэффициент, учитывающий геометрию акрытого конца. Отсюда сразу получается решение. Наиболее наглядно шзические свойства полученного решения можно представить,' если воспользоваться отношением Л^Дх) = |/>'3)(х)[/р0с0 и|1, где модуль ам-яитуды колебаний давления , ип- амплитуда скорости порпшя. Из срав-ения'распределения М3(х) с экспериментальными результатами Штульт-егера и Томана й с нелинейной теорией Честера (рис.6) видно, что Э1сспе-иментальные точки располагаются вблизи теоретической кривой, за включением, возможно, окрестности поршня/Теория'Честера дает .завы-:енные в 1.5 раза по сравнению с опытом значения (х), Можно, следо-ательно, утверждать, что предложенная модель граниадого условия в со-етании с методом возмущений пригодна для описания нелинейных коле-аний в трубе с открытым концом и дает лучшие результаты, чем теория

Честера, причем граничное условие может быть поставлено не на выходе трубы, а вне ее на расстоянии большем радиуса, Более того, построенная модель опровергает утверждение Штультре-гера и Томана о том, что наличие отрыва потока делает невозможной постановку точного граничного условия на открытом конце.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I

Рис.6.Распределениел'!(х) = (*)|/р»с»и» подлинетРУ"

бы. Сплошные линии: 1 - нелинейная теория, 2 -теория Честера. Точки - эксперимент (БшИк^ег, 1986. 1Х).88бЗм)

В четвертой главе исследуются нелинейные колебания газа в закрытой трубе при наличии диссипатнвных потерь. Получены формулы для колебаний скорости с учетом нелинейных потерь и потерь в турбулентном пограничном слое.

Анализ резонансной кривой (рис.7) позволил выделить области, различающиеся механизмом диссипации. В областях справа от А' и слева от А колебания подчиняются законам линейной акустики. Области АС и C'A' - области 'так называемой слабой нелиней-

V 010

0,05

ности, где законы линеинои акустики действуют до тех пор, пока колебания ламинарные. Точки В и В' - точки перехода к турбулентности. И, наконец,

1

kL

г зя ч-

Рис.7. Резонансная кривая. Точки - (МегкН, ТЬотапп, 1975) полоса СС' - это область частот, включающая резонанс, где наблюдаются разрывные колебания. Наибольший интерес представляет область разрывных колебаний, где доминируют нелинейные и турбулентные потери.

Амплитуду скорости в области разрывов в ламинарном режиме можно найти, если записать энергетический баланс: энергия, вводимая поршнем в трубу за период колебаний, расходуется на пристеночные потери и диссипацию в ударной волне.

Зависимость безразмерной амплитуды колебаний давления от относительной амплитуды смещения поршня в ламинарном режиме колебаний (рис.8), полученная с учетом пристеночных ламинарных и нелинейных потерь показывает хорошее согласие с экспериментом (все точки, за исключением одной, расположены на расчетной линии).

j>

Ра 0,12

0,0В

ЦО'г

Ь'К

4*

V цг ■BJ

05

W

1? 2,о ит о

.8

w

го i/L-w'

Рис.9. Зависимость относительной амплитуды колебаний давления 6р/р0 от //£ в турбулентном режиме;« -(Гуляев, 1963), +-(Мегк11, 1975), х- (ЬеНаи, 1939), О -(БпШеугШ, 1974)4-(Галиев, 1970)

Рис.8. Зависимость относительной амплитуды колебаний давления &р/р0 от

1/L в ламинарном режиме о-(Lettau.1939), • -(TemJcin, 1968), х-(Saenger, Hudson, 1960), +-(Cruikshank, 1972)

В турбулентном режиме в случае колеблющихся потоков на скорость регулярных колебаний U, V накладываются турбулентные пульсации w',v'. При высокочастотной турбулентности (Н>20, это большинство экспериментов) известно выражение для турбулентного трения. Скорость диссипации энергии за счет турбулентности (¿„) определяется аналогично величине пристеночных ламинарных потерь. Подстановкой полученного выражения в уравнение энергетического баланса, было получено выражение для вычисления амплитуды колебаний в турбулентном режиме.

Сравнение зависимостей безразмерной амплитуды колебаний давления 8р/ра от относительной амплитуды смещения поршня (рис.9) с экспериментальными данными разных авторов показало хорошее согласие. Обнаружено, что в турбулентных потоках потери в турбулентном пограничном слое оказывают доминирующее влияние на амплитуду колебаний по сравнению с нелинейными потерями. Это видно из сравнения кривой с зависимостью, полученной с учетом только нелинейных потерь. Наиболее существенный вклад (до 60%) пристеночная турбулентность вносит при сравнительно небольших IjL. С ростом ljL ее влияние уменьшается.

Далее исследуется вопрос о резонансных колебаниях газа в закрытой трубе при слабой диссипации в области разрывов. Для решения задачи используется уравнение энергетического баланса и уравнение Честера, кото-

рое определяет форму колебаний газа вблизи резонансных частот для не' вязкой жидкости. При этом считаем, что амплитуда волны явдяется неизвестной. Рассмотрим два случая: когда поглощение не искажает, форму ударной волны, нр влияет, на ее амплитуду, и когда поглощение, влияет на форму волны, изменяя ев! фазу.

В первом случае было получено выражение, описывающее безразмерную амплитуду колебаний давления вблизи резонанса.

В случае, когда поглощение, влияет на форму волны, фаза появления скачка сместится. Записывается уравнение энергетического баланса, где в выражение для нелинейных потерь входит неизвестная амплитуда, которая находится методом итераций. .

В эксперименте продольные колебания столба газа в закрытой .трубе создавались плоским поршнем, который был связан с рабочим столом вибратора электродинамического стенда ВЭДС-400.

- и/иц»1.

6p/paovl/L

Рис. 10. Резонансные колебания давления „„(Lehmann, 1934),e-(Cruikshank, 1972), во времени у закрытого конца трубы при e_ (Temkin, 1968), х-(наетоящий экспери-

возрасгании амплитуды смещения поршня_♦ мент)_

■ " в линейном резонансе

Использование стенда обеспечивало плавное изменение частоты и амплитуды возбуждения газа. Стеклянная труба одним концом герметически соединялась с цилиндром, в котором колебался поршень, другим концом - с насадкой ддя установки пьезоэлектрического датчика давления. Общая длина, трубы, состоящей из.трех частей, составляла 870.5мм. Внутренний диаметр был равен 39,3мм. Показания пьезодатчиха снимались осциллографом С1-54. Частота возбуждения изменялась от .60 до 210 Гц и контролировалась частотомером . , 43-24.Резонансная частота равнялась ои/2я = 195.9Гц. , "

Осциллограммы с резонансными колебаниями давления во времени при возрастании амплитуды смещения поршня (рис.10) свидетельствуют, что при малой амплитуде возбуждения газ колеблется почти по гармони-

ческому закону, а форма волны давления имеет симметричный непрерывный вид.

С увеличением амплитуды колебаний поршня появляются изломы, кривая деформируется. В дальнейшем развивается сильно нелинейная волна близкая к ударной.

На рис.11 приводится сравнение теории с экспериментом , а также с экспериментальными данными других авторов. Наблюдается хорошее соответствие.

Известно, что при колебаниях возникают различные нелинейные эффекты. Акустотермический эффект представляет собой неравномерный разогрев стёнок трубы, сопровождающий нелинейные колебания газа в трубах. Происходит охлаждение стенок трубы в области максимальной скорости, где большая диссипация, и нагрев на закрытых концах. Наличие осевого градиента температуры в трубе также может стать дополнительным источником акустических колебаний, т.е. между колебаниями параметров газа и теплоподводом устанавливается обратная связь. В настоящем разделе диссертации предлагается расчет теплового потока в случае, когда имеется неравномерное распределение температуры вдоль трубы. Пусть в трубе установилось температурное поле, градиент которого dT/dx отличен от нуля. Тогда в трубе установится стоячая волна, которая описывается уравнением Porra:

R:

к-1 ,.

+-/

N

Р +

со dx

N со2 1-g dx

(7)

где /(O = 2^ñlJ/ñU0(*Ü. /'(Ti.)=/k^), B = d\ogTjdx, r|„ = R(í(ú/v)'"!1 , с- местная скорость звука, N - коэффициент, учитывающий инерционные свойства материала (в основном, N = 1), а - число Прандтля, Тт - средняя за период температура, со - частота колебаний.

Можно показать, что при высокочастотных колебаниях (которые обычно реализуются на практике) если величина градиента, входящего в волновое уравнение Ротта, ограничена условием 9с0/со«1 (с0- скорость звука в невозмущенном газе), то влиянием неоднородности температурного поля на колебания давления в трубе можно пренебречь. Тогда тепловой поток можно рассчитывать аналогично случаю, когда стенка трубы считается изотермической, учитывая влияние температурного поля только на колебания температуры.

В результате было получено выражение для температуры, выведена формула для расчета теплового потока. Получено выражение для амплитуды колебаний.

Сравнение распределения осредненного теплового потока по длине трубы с экспериментами Меркли и Томана для до-резонансной частоты (рис.12) показывают, что в отсутствие градиента теоретическая кривая совпадает с экспериментом. Наличие градиента обуславливает увеличение максимума теплового потока на поршне и минимума на середине, трубы

ПО абсолютному, значению. Рис.12 Распределение осредненного теплового Кроме того, наблюдается сдвиг потока по длине трубы

минимума к пассивному концу —-теория: 1-х = = 0.1 ;3 - % = 0.3; трубы. Это происходит из-за (МегкИ, 1975); кЬ=2.88

увеличения доли члена, обусловленного наличием градиента температуры, в выражении для теплового потока. Далее рассматривается обратная задача, когда акустические колебания в трубе генерируются тепловым источником и одновременно колебаниями поршня.

Колебательная система представляет собой закрытую трубу с поршнем, в некотором сечении которой температура изменяется скачком. Волновое уравнение Ротга приводится к системе, которая решается при граничных условиях на границе двух сред, в которых давление и скорость изменяются непрерывно.

Когда скачок температуры расположен на концах трубы, т.е. труба заполнена однородной средой, имеем известное выражение для амплитуды колебаний.

В случае, когда скачок температуры расположен в произвольном сечении трубы, для .амплитуды колебаний были получены два выражения: для холодной части трубы, и для горячей.

Зависимость безразмерной частоты кЬ от положения скачка температуры (рис.13) показывает, что поглощение . способствует уменьшению резонансной частоты. Это уменьшение максимально в горячем газе.

Рис. 13. Зависимость безразмерной частоты кЬ от положения скачка .

температуры £ - с поглощением, — без поглощения "N = 4, Я, =31.29, #, = 13.86

Из зависимостей относительных амплитуд г, от положения скачка рис.14) можно видеть, что наличие скачка способствует как увеличению,

Рис.14. Зависимость относительных Рис.15. Распределение давления по длине амплитуд от положения скачка трубы

температуры _- теория, 1-5 = 0.3, 2 - £ = 0.7, N = 4

--1 - / = 1, 7] = ПУК, 2-/ = 2, Тх = 47^ — - однородная среда, Т = ТХ

— - равномерное заполнение, 3-Г = Г„ 4 - Г = Г,

ьш полем с Г = Г,. Амплитуда колебаний в горячей части трубы г2 также тличается от соответствующей амплитуды при равномерном поле с " = Т2: она растет по мере роста координаты скачка, приближаясь к значе-иго, соответствующему равномерному температурному полю с Т = ТХ.

Вид распределения давления по длине трубы (рис. 15) свидетельствует том, что неравномерность распределения температуры нарушает сим-етричность распределения давления относительно узла давления.

ВЫВОДЫ

(Теоретически рассчитано нелинейное граничное условие на открытом конце трубы, не содержащее эмпирических параметров. Показано, что вводившийся ранее рядом авторов эмпирический параметр в граничном условии зависит от геометрии открытого конца трубы и формы колебаний скорости и получены формулы, описывающие эти зависимости Полученное граничное условие позволяет учитывать генерацию высших гармоник на открытом конце.

Разработана методика исследований нелинейных колебаний газа в трубе с открытым концом с учетом генерации высших гармоник, возникающих из-за нелинейностей среды вблизи поршня, внутри трубы и на открытом конце. Полученные амплитуды колебаний для трех гармоник совпадают с известными экспериментами.

Л7

3) Изучены механизмы диссипации при нелинейных колебаниях газа в крытой трубе и на резонансной кривой выделены соответствующие ласти. Рассчитаны амплитуды колебаний скорости в каждой из облает которые уточняют известные выражения.

4) Найдены значения амплитуды колебаний скорости в закрытой труб учетом ламинарных пристеночных, нелинейных и турбулентных пот« Выявлены условия, при которых основным механизмом потерь явля] ся нелинейность и турбулентность потока. Показано, что при перех потока к турбулентности, основным механизмом диссипации являю потери в турбулентном пограничном слое.

5) Исследованы резонансные колебания газа в закрытой трубе в сильно линейной области при слабой диссипации. Полученные выражения ; колебаний давления на поршне с учетом влияния нелинейных и прис ночных потерь на амплитуду и форму колебаний хорошо описыва экспериментальные данные

6) Рассчитан тепловой поток, генерируемый колебаниями газа в закрыт трубе в случае неизотермической стенки, когда имеющийся в трубе г диент температуры не оказывает влияния на форму колебаний. Полу но выражение для распределения теплового потока по длине трубы, р считаны потоки для трех значений градиента. Показано, что нали1 градиента температуры способствует усилению акустотермического : фекта. В случае, когда значение градиента температуры равно нух теоретические значения полностью совпадают с экспериментальны данными для изотермической стенки.

7) Решена задача о резонансных колебаниях газа в закрытой трубе при 1 личии осевого градиента температуры. Получены зависимости амгопг ды колебаний скорости от положения скачка температуры для холод! го и горячего участков трубы. Построено распределение амплитуды 1 лебаний давления для различных положений скачка температуры. Об) ружено, что наличие в трубе осевого градиента температуры может п{ водить как к увеличению, так и к уменьшению амплитуды колебаний сравнению с однородным полем, причем амплитуда в холодной час всегда выше, чем в горячей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

■ 1. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. Акустотермическ эффекты при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе// Тези 'докладов на 5 Научно-техническом семинаре "Внутрикамерные щ цессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностик Казань- 1993, с.51-53

2. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. Влияние поглощения на нелинейные колебания газа в закрытой трубе//Инженерно-физический журнал, 1995. Т.68, N3, с. 408-415

3. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. Граничное условие при резонансных колебаниях газа в полуоткрытой трубе//Тезисы докладов на 7 Научно-техническом семинаре "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика", Казань - 1995, с. 75-77

4. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. О формировании пульсирующей струи при резонансных колебаниях газа в тру-бе//Тезисы докладов на 8 Научно-техническом семинаре "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика", Казань - 1996, с. 36-37

5. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Ларионов В.М. Резонансные колебания газа в закрытой трубе при наличии осевого градиента температу-ры//Тезисы докладов на 8 Научно-техническом семинаре "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика, диагностика", Казань - 1996, с. 38

6. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Генерация колебаний удвоенной частоты при резонансных колебаниях газа в трубе с открытым кон-цом//Тезисы докладов на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань - 1996, с. 80

7. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Нелинейные эффекты при резонансных колебаниях газа в трубе с открытым концом//Тезисы докладов на IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород - 1996, с. 38

8. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И., Галиуллина Э.Р. Нелинейные резонансные колебания в трубе с открытым концом//Акустический журнал.

■ 1996. Т.42, N6. С.769-772

9. R.G. Galiullin, E.I Permyakov, E.R Galiullina. Nonlinear résonant gas oscillations in an open ended tube// Россия. МАИК/Interperiodica Publishing. Acoust. Physics. v. 42, №6, 1996. p. 677-680

10. Галиуллин P.Г., Галиуллина Э.Р. Резонансные колебания газа в трубе при наличии осевого градиента температуры//Динамика сплошных сред. Новосибирск: Суран. Вып. 112. Акустика неоднородных сред. 1997, с. 108-112

11. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Ларионов В.М. Резонансные колебания газа в трубе при наличии осевого градиента температуры//Изв. Вузов. Авиационная техника. 1997. №4. С.50-53

12. Галиуллин Р.Г., Зарипов Р.Г., Галиуллина Э.Р. Резонансные колебания газа в закрытой трубе при слабой диссипации//Труды I Международной конференции «Модели механики сплошной среды, вычислитель-

ные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении». Казань. 1997. Т.1. с.49-52

13. Зарипов Р.Г., Давыдов Р.И., Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Исследование нелинейных продольных колебаний газа в трубе //Тезисы докладов на «V Международной конференции Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород - 1999, с. 102-103

14. Галиуллин Р.Г., Тимохина Л.А., Галиуллина Э.Р. Модель турбулентности для колеблющихся потоков в гладких трубах//Труды Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академи-

■ ка РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань. Изд-во «Абак». 1999. С.91-94

15. Галиуллин Р.Г., Зарипов Р.Г., Галиуллина Э.Р., Давыдов Р.И. Резонансные колебания газа в закрытой трубе в области перехода к ударным волнам// Инженерно-физический журнал. 2000. Т.73, N2, с. 1-6 (в печати).

Введение.

1. Обзор литературы.

1.1. Нелинейные колебания газа в открытой трубе.

1.2 . Нелинейные колебания газа в закрытой трубе.

1.3 . Акустотермический эффект при резонансных колебаниях газа.

1.4 . Цель исследований.

2. Основные уравнения и параметры. Метод решения.

2.1 . Уравнения движения газа в цилиндрической трубе. Начальные и граничные условия.

2.2 . Параметры, характеризующие колебания газа.

2.3. Метод возмущений.

3. Нелинейные колебания газа в трубе, открытой с одного конца.

3.1 . Граничное условие на открытом конце.

3.2 . Колебания в трубе вблизи линейного резонанса.

3.3 . Колебания вблизи нелинейных резонансов.

4. Нелинейные колебания газа и теплообмен в закрытой трубе.

4.1 . Учет диссипативных потерь.

4.2 . Резонансные колебания газа в закрытой трубе при слабой диссипации.

4.3 . Акустотермический эффект в трубе с неизотермической стенкой.

4.4 . Колебания газа при наличии осевого градиента температуры при резонансных частотах возбуждения.

5. Выводы.

Актуальность темы. В различных газотехнических агрегатах часто возникают сильные нелинейные колебания. Обычно возникновение таких колебаний нежелательно, поскольку колебания нарушают расчетный режим агрегата и даже могут привести к выходу его из строя.

Так, одной из важных задач в компрессоростроении является борьба с колебаниями межступенчатых коммуникаций аппаратов. Причиной являются возмущающие силы, вызванные большой амплитудой колебаний газа в коммуникациях. Колебания газа, воздействуя на компрессор, могут изменить его производительность и вызвать перерасход энергии.

Нелинейные колебания легко возникают в ЖРД. Колебания увеличивают местные коэффициенты теплоотдачи, механические и тепловые напряжения, что может приводить к разрушению элементов конструкций. Подобные явления могут возникать также в газотурбинных установках, мощных парогенераторах, в тепловых контурах АЭС и т.д.

С другой стороны, нелинейные колебания могут существенно интенсифицировать горение, повышать теплонапряженность топочных камер, улучшать тепло- и массообмен, снижать гидравлическое сопротивление. В настоящее время генераторы интенсивных нелинейных колебаний нашли широкое применение для очистки поверхностей нагрева котлоагрегатов, используются для нанесения покрытий, а также при распылении жидкости в промышленной экологии.

Одно из перспективных направлений развития техники - это разработка волновых газовых холодильных машин, в которых реализуются резонансные режимы колебаний газа. Достижение низких температур при помощи таких установок открыло бы принципиально новые возможности при решении многих актуальных задач физики, электроники, энергетики, систем связи, вычислительной техники, биологии, медицины и др.

В сложных системах, таких как трубопроводы или камеры внутреннего сгорания, колебания генерируются сочетанием более простых источников возбуждения, как поршень, периодический тепло- или массоподвод, набегающая в трубу струя. Кроме того, может возникать обратная связь между колебаниями параметров газа и тепломассоподводом, и, таким образом, колебания могут становиться самовозбуждающимися. Теория нелинейных колебаний и процессов, происходящих под воздействием таких сложных колебаний, в настоящее время развита недостаточно. Поэтому актуальным является разработка методики исследований резонансных колебаний, возникающих в более простых установках, в частности, в трубе, на одном конце которой находится гармонически колеблющийся поршень, а другой закрыт или сообщается с окружающей средой. Также представляет практический интерес режим колебаний газа при наличии неравномерного температурного поля .

Цель работы. Целью настоящей работы являлось исследование продольных нелинейных колебаний в открытой трубе, моделирование нелинейности открытого конца, исследование резонансных колебаний в закрытой трубе, учет потерь при таких колебаниях, расчет акустотермического эффекта при наличии неравномерного температурного поля, изучение резонансных нелинейных колебаний газа в закрытой трубе с осевым градиентом температуры.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Общий объем диссертации - 137стр., в том числе 23 рисунка, расположенных по тексту, и список литературы на 8 стр., включающий 126 наименований.

выводы

1) Теоретически рассчитано нелинейное граничное условие на открытом конце трубы, не содержащее эмпирических параметров. Показано, что вводившийся ранее рядом авторов эмпирический параметр в граничном условии зависит от геометрии открытого конца трубы и формы колебаний скорости. Получены формулы, описывающие эти зависимости. Граничное условие позволяет учитывать генерацию высших гармоник на открытом конце трубы.

2) Разработана методика исследований нелинейных колебаний газа в трубе с открытым концом с учетом генерации высших гармоник, возникающих из-за нелинейностей среды вблизи поршня, внутри трубы и на открытом конце. Полученные амплитуды колебаний для трех гармоник совпадают с известными экспериментами.

3) Изучены механизмы диссипации при нелинейных колебаниях газа в закрытой трубе и на резонансной кривой выделены соответствующие области. Получены выражения для определения амплитуды колебаний скорости в каждой из областей, которые уточняют известные выражения.

4) Найдены значения амплитуд колебаний скорости в закрытой трубе с учетом ламинарных пристеночных, нелинейных и турбулентных потерь. Выявлены условия, при которых основными причинами потерь являются нелинейность и турбулентность потока. Показано, что при переходе потока в турбулентный режим, основным механизмом диссипации являются потери в турбулентном пограничном слое.

5) Исследованы резонансные колебания газа в закрытой трубе в сильно нелинейной области при слабой диссипации. Полученные выражения для колебаний давления на поршне с учетом влияния нелинейных и пристеночных потерь на амплитуду и форму колебаний хорошо описывают экспериментальные данные.

6) Рассчитан тепловой поток, генерируемый колебаниями газа в закрытой трубе в случае неизотермической стенки, когда имеющийся в трубе градиент температуры не оказывает влияния на форму колебаний. Получено выражение для распределения теплового потока по длине трубы, рассчитаны потоки для грех значений градиента. Показано, что наличие градиента температуры способствует усилению акустотермического эффекта. В случае, когда значение градиента температуры равно нулю, теоретические значения полностью совпадают с экспериментальными данными для изотермической стенки.

7) Решена задача о резонансных колебаниях газа в закрытой трубе при наличии осевого градиента температуры. Получены зависимости амплитуды колебаний скорости от положения скачка температуры для холодного и горячего участков трубы. Построено распределение амплитуды колебаний давления для различных положений скачка температуры. Обнаружено, что наличие в трубе осевого градиента температуры может приводить как к увеличению, так и к уменьшению амплитуды колебаний по сравнению с однородным полем, причем амплитуда в холодной части всегда выше, чем в горячей.

1. Галиуллин Р.Г., Репин В.Б., Халитов Н.Х. Течение вязкой жидкости и теплообмен тел в звуковом поле. Казань: изд-во Казанск. ун-та. 1978. 128с.

2. Рэлей Дж. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. - Т.2

3. Chester W. The acoustical impedance of a semi-infinite tube fitted with a conical flance//ZAMP. 1983. V.34, №3, p.412-417

4. Hudson G.E. Thrust on a piston driven half-open tube//JASA. 1955. V.27. №3, p.406-416

5. Ingard U., Ising H. Acoustic non-linearity of an orifice//JASA. 1967. V.42. №1, p.6-17

6. Hersch A.S., Rogers T. Fluid mechanical model of the acoustic impedance of small orifices//AIAA Pap. 1975. №495, p. 1-10

7. Лебедева И. В. Экспериментальное исследование акустического течения в окрестности отверстия//Акустический журнал. 1980. Т.26. №4. С.599-602

8. Van Wijngaarden L. On oscillations near and at resonance in open pipes//J. Engng. Math. 1968. V.2. №3, p.225-240

9. Van Wijngaarden L., Van Wormgoor L.W. Investigations on resonant acoustic waves in open pipes//Finite-Amplitude Wave Eff. Fluid proc. Symp. 1974. Copenhagen 1973. Guildford. P.5-80

10. Disselhorst J.H.M., van Wijngaarden L. Flow in the exit of open pipes during acoustic resonance//! Fluid Mech.- 1980. V.99. №2, p.293-319

11. Jimenez B.J. Non-linear gas oscillations in pipes. Part 1. Theory.//J. Fluid Mech. 1973. V.59.№l,p.23-46

12. Sturtevant B.B. Non-linear gas oscillations in pipes. Part 2: Experiment//J. Fluid Mech. 1974. V.63. №1, p.97-120

13. Seymour B.R., Mortell M.P. Resonant acoustic oscillations with damping: small rate theory//J. Fluid Mech. 1973. V.58. №2, p.353-373

14. Keller J. Resonant oscillations in open tubes//ZAMP. 1977. V.28. №2, p.419-431

15. Keller J. Further considerations of resonant oscillations in open tubes//ZAMP. 1982. V.33. №2, p.590-610

16. Ting L., Keller J.J. Radiation from the open end of a cylindrical and conical pipe and scattering from the end of a rod of slab//JASA. 1977. V.61, p. 1438-1444

17. Chester W. Resonant oscillations of a gas in a open-ended tube//Proc. Roy. Soc. London. 1981. 377 A. P.449-467

18. Stuhltrager E., Thomann H. Oscillations of a gas in an open-ende tube near reso-nance//ZAMP. 1986. V.37 №3, p. 155-175

19. Chester W. Resonant oscillations in closed tube//J. Fluid Mech. 1964. V.18. №1, p.44-64

20. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Халимов Г.Г. Теория термических автоколебаний. Казань: изд-во Казанск. ун-та, 1982. 156 с.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

22. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Халимов Г.Г. Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе//Акустический журнал. 1982. Т.28. №5, с. 617-621

23. Галиуллин Р.Г., Коркишко JI.B. Стоячие волны конечной амплитуды в экспоненциальном канале//Акустический журнал. 1985. Т.31. №4, с. 520-522

24. Галиуллин Р.Г., Халимов Г.Г. Исследование нелинейных колебаний газа в открытых трубах//Инженерно-физический журнал. 1979. Т.37. №6, с. 10431050

25. Медников Е.П., Новицкий В.Г. Экспериментальное исследование мощного звукового ветра//Акустической журнал. 1975. Т.21. №2, с.245-249

26. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Пермяков Е.И. Колебания газа большой амплитуды в трубе с открытым концом// Акустический журнал. 1987. Т.ЗЗ. №3, с.433-437

27. Галиуллин Р.Г., Мурзаханова А.З., Ревва И.П. Влияние поглощения на нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе//Акустический журнал. 1990. Т.36. №6, с. 973-977

28. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И. Нелинейные субгармонические колебания в трубах с открытым концом//Акустический журнал. 1988. Т.34. №4, с. 73373529.3арипов Р.Г. Нелинейные колебания газа в открытой трубе//Акустический журнал. 1977. Т.23. №3, с. 378-383

29. Халимов Г.Г., Галиуллин Р.Г., Ревва И.П. Колебания газа большой амплитуды в открытой трубе//Научные исследования в области математики и физики. Ташкент: изд-во ТашГПИ, 1979, с.3-12

30. ЗЗ.Зарипов Р.Г., Репин В.Б. Нелинейные колебания газа в открытой трубе при возбуждении высших резонансов//Труды XI Всесоюзной акуст. конф./Акуст. инст-т АН СССР. 1991. С.23-26

31. Васильев JI.C., Зарипов Р.Г, Магсумова А.Т., Сальянов O.P. Экспериментальное исследование внешнего волнового поля у открытого конца тру-бы//Инженерно-физический журнал. 1991. Т.61. №8, с. 714-716

32. Васильев JI.C., Новиков Ю.Н., Магсумова А.Т., Сальянов O.P. Исследование интенсивных колебаний газа в трубе, открытой с одного конца//Известия СО РАН. Сибирский физико-технический журнал. 1992. №4, с.84-86

33. Merkli P., Thomann H. Thermoacoustic effects in a resonance tube//J. Fluid Mech. 1975. V.70. №1, p.161-175

34. Каган JT.С., Ройзман Д.Х., Шербаум В.М. Турбулентное периодическое течение жидкости в круглых трубах//Гидравлика и гидротехника. 1982. Т. 35. №3, с. 8-14

35. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. 287 с.

36. Sturtevant В., Keller J.J. Subharmomc nonlinear acoustic resonances in open tubes/ Part II/ Experimental investigation of the open-end boundary condi-tion//ZAMP. 1978. V.29. №3, p.473-485

37. Keller J.J. Subharmonic non-linear acoustic resonances in open tubes//Part I. Theory. ZAMP. V.28. №3, p.419-431

38. Ни A.JI. Нелинейные резонансные колебания газа в трубе под воздействием периодически изменяющегося давления/ЛТрикладная математика и механика. 1983. Т. 47. №4, с. 607-618

39. Зарипов P.Г. Исследования нелинейных колебаний газа в трубе с соплом при наличии среднего течения//Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1980. №3, с.44-48

40. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И. Течение и теплообмен в нестационарной струе, генерируемой колебаниями газа большой амплитуды//Инженерно-физический журнал. 1990. Т.58. №5, с.747-752

41. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И. Нелинейные колебания газа в трубе с открытым концом в случае турбулизации течения//Труды XI Всесоюзной акуст. конф. /Акуст. инст-т АН СССР. 1991, с. 35-38

42. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. - 496 с.

43. Saenger R.A., Hudson G.E. Periodic shock waves in resonating gas col-umn//JASA. 1960. V.32. № 8, p.961-971

44. Гуляев А.И., Кузнецов B.H. Колебания газа с большой амплитудой в закрытой трубе. Инженерный журнал. 1963. Т. 3. Вып. 2, с. 236-245

45. Coppens А.В., Sanders J.V. Finite-amplitude standing waves in rigid-walled tubes//JASA. 1968. V. 43. № 3, p. 516-529

46. Temkin S. Nonlinear gas oscillations in a resonant tube//Phys. Fluids. 1968. V. 11. № 5, p. 960-963

47. Temkin S. Selective damping of resonant acoustic waves in tubes//! Sound and Vibr. 1974. V.36. №3, p. 389-398

48. Cruikshank D.B. Experimental investigation of finite-amplitude acoustic oscillations m closed tubes//JASA. 1972. V. 52. №3, p. 1024-1034

49. Betchov R. Non-linear oscillations of the column of a gas//J. Phys. Fluids. 1958. V. 6, № 6, p. 205-212

50. Горьков А.П. Нелинейные акустические колебания столба газа в закрытой трубе//Инженерный журнал. 1963. Т. 3. Вып. 2, с. 246-250

51. Островский JI.A. О разрывных колебаниях в акустическом резонато-ре//Акустический журнал. 1974. Т. 20. № 1, с. 140-142

52. Галиев Ш.У., Ильгамов М.А., Садыков Г.В. О периодических ударных волнах в газе//Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 2, с. 57-66

53. Галиев Ш.У., Шихранов Н.Н. Исследование возбуждаемых в диссипативной среде периодических ударных волн методом малого параметра/ЛГруды семинара по теории оболочек/Казанск. физ.-техн. инст-т. 1971. № 2, с. 214-239

54. Галиев Ш.У., Шихранов Н.Н. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругой сплошной среды//Исследования по теории пластин и оболочек./ Казанск. ун-т. 1972. № 9, с. 402-418

55. Галиев Ш.У., Шихранов Н.Н. Продольные нелинейные колебания газа, возбуждаемого в закрытой трубе со скачком сечения/ЛГруды VIII Всесоюзной акуст. конф. /Акуст. инст-т АН СССР. 1973, с. 31-32

56. Шихранов Н.Н. Вынужденные нелинейные колебания газа в замкнутой трубе со скачком сечения//Труды семинара по теории оболочек/Казанск. физ.-техн. инст-т. 1974. № 4, с.237-251

57. Merkli P., Thomann H. Transition to turbulence in oscillationg pipe flow//J. Fluid Mech. 1975. V. 68, № 3, p.567-576

58. Mortell M.P., Seymour B.R. A finite-rate theory of quadratic resonance in a closed tube//J. Fluid Mech. 1981. V.l 12, p. 411-431

59. Althaus R., Thomann H. Oscillations of a gas in a closed tube near the fundamental frequency//J. Fluid Mech. 1987. V. 183. № 2, p. 147-181

60. Mortell M.P. Resonant thermall-acoustic oscillations// Int. J. Engng Sci. 1971. V. 9. №1, p.175-192

61. Mortell M.P. Resonant oscillation: a regular perturbation approach//! Math. Phys. 1971. V. 12. №7, p.1069-1075

62. Mortell M.P., Seymour B.R. The evolution of a self-sustamed oscillation in a non-linear continuous system//J. Appl. Mech. 1973. V. 40. № 1, p. 101-104

63. Mortell M.P., Seymour B.R. Non-linear forced oscillations in a closed tube: continuous solution of a functional equation//Proc. Roy. Soc. London. 1979. V. 367A, p. 253-270

64. Seymour B.R., Mortell M.P. A finite-rate theory of resonance in a closed tube: discontinuous solution of a functional equation//! Fluid Mech. 1980. V. 99. № 2, p.365-382

65. Keller J. Subharmonic non-linear acoustic resonances in closed tubes//ZAMP. 1975. V. 26. №4, p. 395-405

66. Keller J. Third order resonances in closed tubes//ZAMP. 1976. V. 27. № 3, p. 303-323

67. Keller J. Resonant oscillations in closed tubes: the solution of Chester's equation//!. Fluid Mech. 1976. V. 77. № 2, p. 279-304

68. Keller J. Non-linear acoustic resonances in shock tube with varying cross-sectional area//ZAMP. 1977. V. 28. №1, p. 107-122

69. Галиев Ш.У. Нелинейные одномерные колебания вязкого теплопроводяще-го газа в сферическом или цилиндрическом слое//Казанск. физ.-техн. инст-т. 1971. №2, с. 240-253

70. Галиев Ш.У. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругого те-ла//Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4, с. 80-87

71. S0. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И. Резонансные колебания газа в закрытой трубе в случае турбулизации течения//Акуст. журнал. 1993. Т. 39. № 5, с. 946949

72. В1. Hartmann Y. On a new method for the generation of sound waves//Phys. Rev. 1922. V. 20. № 5, p.719-731

73. Sprenger H. Uber thermische effekte in Resonanzrohren//Mitt. Inst. Aerodynamik Eidgenossische Tech. Hochschule. Zurich. 1954, p. 18-22

74. S3. Елисеев Ю.Б., Черкез А .Я. Об эффекте повышения температуры торможения при обтекании газом глубоких полостей//Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 3, с. 8-18

75. Елисеев Ю.Б., Черкез А.Я. Экспериментальное исследование аномального аэродинамического нагрева тел с глубокой полостью//Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 1, с. 113-119

76. Przirembel С.E.G., Fletcher L.S. Aerothermodynamic characteristics of a resonance tube driven by a subsonic jet//AIAA. 1978. V. 16. № 2, p. 184-185

77. Przirembel C.E.G. Aerothermodynamic aspects of an axisymmetric resonance tube//AIAA. 1980. V. 18. № 9, p. 1141-1143

78. Галиуллин P.Г., Ревва И.П., Халимов Г.Г. Термоакустический эффект в полуоткрытой трубе//Инженерно-физический журнал. 1982. Т. 43. № 4, с. 615623

79. Bergh Н., Tijdemann Н. Theoretical and experimental results for the dynamics response of pressure measuring systems. 1975. Rep. NLR-TR F 238

80. Rott N. Thermally driven acoustic oscillations//Part 2: Stability limit for he-liunV/ZAMP. 1973. V. 24, p. 54-72

81. Rott N. The heating effect connected with non-linear oscillations in a resonance tube//ZAMP. 1974. V. 25, p. 619-630

82. Rott N. The influence of heat condition on acoustic streammg//ZAMP. 1974. V. 25, p. 417-421

83. Rott N. Thermally driven acoustic oscillations//Part 3: Second-order heat flux//ZAMP. 1975. V. 26, p. 43-49

84. Rott N. Thermoacoustics//Advances Appl. Mech. 1980. V. 20, p. 135-175

85. Сысоев В.А., Горбачев С.П. Граница устойчивости термоиндуцированных колебаний в трубопроводе переменного сечения/УИнженерно-физический журнал. 1984. Т. 46. №1, с. 31-35

86. Горбачев С.П., Королев A.JI., Матюгценков В.К., Сысоев В.А. Экспериментальное исследование термоиндуцированных колебаний газообразного ге-лия//Инженерно-физический журнал. 1984. Т. 47. № 3, 453-457

87. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П., Конюхов А.А. Теория нелинейных колебаний в закрытой трубе с учетом термоакустических эффектов//Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45. № 2, с. 267-271

88. Галиуллин Р.Г., Ревва И.П. Акустотермические эффекты при колебаниях большой амплитуды в закрытой трубе//Инженерно-физический журнал. 1984. Т. 47. №1, с. 34-41

89. Thomann Н. Acoustic streaming and thermal effects in pipe flow with high vis-cousity//ZAMP. 1976. V. 27. №3, p. 709-715

90. Wheatley J., Hofler Т., Swift C.W., Migliori A. Experiments with intrinsically irreversible acoustic head engine//Phys. Rev. Tett. 1983. V. 50, p. 499-502

91. ЮО.Зарембо Jl.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. - 519с.

92. Гусев В.Е. Установление вынужденных колебаний в акустических резонаторах//Акустический журнал. 1984. Т.30.С.204-212

93. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. -310с.

94. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544с.

95. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. - 228с.105.0hmi М., Iguchi М. Occurence of turbulent bursts in an oscillatory pipe flow//Technology reports of the Osaka Univ. 1982. v.32, p. 113-120.

96. Lehmann K.D. Die Dampfungsverluste bei starken Schallschwingungen in Ro-hren//Ann. Phys. V.21, p. 101-109

97. Р.Г. Галиуллин, Э.Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков.Осциллирующее турбулентное течение в трубе в случае квазистационарной турбулентности// Казань. Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1996. Т.51, N2. С. 104-107

98. Р.Г. Галиуллин, Э.Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков. Резонансные колебания газа в трубе с одним открытым концом в режиме слаборазвитой турбу-лентности//Новосибирск. Прикл. мех. и техн. физика. 1998. Т.32, №3. С.92-99

99. R.G.Galiullin, E.R.Galiullina, E.I.Permyakov. Resonant oscillations of a gas in an open ended tube in weak turbulence regime/УНовосибирск. Kluwer Academic/Plenum Publishers. J. Appl. Mech. Techn. Phys. 1998. V.39. №3, p.404-410

100. Р.Г. Галиуллин, Э.Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков.Резонансные колебания газа в трубе с открытым концом со слаборазвитой турбулентностью/Минск. Инж.-физ. журн. 1998. Т.71, №2. С.311-316

101. Р.Г. Галиуллин, Э.Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков.Распространение звуковых волн в плоском канале в случае турбулизации среды//Москва. Акуст. журн. 1998. Т.44, №4. С.551-555

102. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Пермяков Е.И. Влияние поглощения на нелинейные колебания газа в закрытой трубе//Инженерно-физический журнал, 1995. Т.68, N3, с. 408-415

103. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Генерация колебаний удвоенной частоты при резонансных колебаниях газа в трубе с открытым концом/ЛГезисы докладов на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов. Казань 1996, с. 80

104. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Нелинейные эффекты при резонансных колебаниях газа в трубе с открытым концом/ЛГезисы докладов на IV конференции "Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород -1996, с. 38

105. Галиуллин Р.Г., Пермяков Е.И., Галиуллина Э.Р. Нелинейные резонансные колебания в трубе с открытым концом//Акустический журнал. 1996. Т.42, N6. С.769-772

106. R.G. Galiullin, E.I Permyakov, E.R Galiullina. Nonlinear résonant gas oscillations in an open ended tube// Россия. МАИК/Interperiodica Publishing. Acoust. Physics. v. 42, №6, 1996. p. 677-680

107. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Резонансные колебания газа в трубе при наличии осевого градиента температуры//Динамика сплошных сред. Новосибирск: Суран. Вып. 112. Акустика неоднородных сред. 1997, с. 108112

108. Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р., Ларионов В.М. Резонансные колебания газа в трубе при наличии осевого градиента температуры//Изв. Вузов. Авиационная техника. 1997. №4. С.50-53

109. Зарипов Р.Г., Давыдов Р.И., Галиуллин Р.Г., Галиуллина Э.Р. Исследование нелинейных продольных колебаний газа в трубе //Тезисы докладов на «V Международной конференции Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород 1999, с. 102-103

110. Галиуллин Р.Г., Зарипов Р.Г., Галиуллина Э.Р., Давыдов Р.И. Резонансные колебания газа в закрытой трубе в области перехода к ударным волнам// Инженерно-физический журнал. 2000. Т.73, N2, с. 27-32, '