Нелокальный анализ гладких вариационных задач с параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

¿Г

На правах рукописи

Костина Татьяна Ивановна

Нелокальный анализ гладких вариационных задач с

параметрами

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

ВОРОНЕЖ - 2011

4859510

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

доктор физико-математических наук, доцент Боровских Алексей Владиславович

Ведущая организация: Российский государственный педагогический университет им А.И. Герцена

*

Защита состоится 6 декабря 2011г. в 15 часов 10 минут па заседании диссертационного совета Д 212.038.22 ^Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2011г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор ф.-м. наук, профессор Т Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Несмотря на то, что за последние 30 - 40 лет произошло существенное развитие в области нелокального анализа нелинейных колебательно волновых процессов 2, 3, задача разработки новых и эффективных методов нелокального исследования динамических процессов остается но-прежнему актуальной 4, 5.

Бурное развитие в исследованиях нелинейных волновых процессов можно проследить по многочисленной серии теоретических и экспериментальных работ 70-х и 80-х годов прошедшего столетия. Наибольший прогресс был достигнут в рамках интегрируемых задач и задач близких к интегрируемым е.

В настоящее время, в связи с увеличением производительности компьютерной техники и совершенствованием программного обеспечения, появились новые возможности в анализе зарождения и развития динамических процессов, описываемых неинтегрируемыми уравнениями.

В данной диссертационной работе представлен результат разработки подхода к решению проблемы нелокального бифуркационного анализа некоторого класса вариационных задач, включающего в себя, например, многие эталонные задачи "солитонной математики" и их естественные обобщения.

Основные модельные примеры в данной работе — уравнение Белецкого

cßq dq

(1 -f ecosf)—г — 2esiniv-—h us'mq — 4esiniv = 0, (1)

dv* du

описывающее колебания спутника на эллиптической орбите 7, где е —

13аславский Г.М., Сагдсев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. - М. : Наука, 1988. - 368 с.

'Рабинович М.Н., Трубецкой Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М. : Наука, 1984. -432 с.

3Иифсльд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. - Пер. с англ. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2006. - 480 с.

"•Афанасьев А.П., Дшба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах. - М.: JIKII. 2007. - 240 с.

5Боровских A.B. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды. Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2007, Т.24. - С 3-43.

6Борнсов A.B. Современные методы теории интегрируемых систем. - Москва-Ижевск, 2003. -296- 296 с.

'Уравнение (1) выведено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г. (см. Белецкий В.В. Движение искуственного спутника вокруг центра масс. - М. : Наука 1965. - 416 с. )

эксцентриситет орбиты, /л — параметр, характеризующий распределение массы спутника, q — угол между фокальным радиусом и осью симметрии спутника, V — угловая (полярная) координата центра масс спутника, и уравнения упругого равновесия круглой пластины, равномерно сжатой по краю (вдоль нормалей), в модели Кармана 8, 9:

A2w + \Aw- [ги,ф] = + = 0. (2)

Здесь Д — оператор Лапласа, [w, ф] = тххфуу + и)ууфхх — 2юхуфху, w — функция прогиба, ф — функция напряжения, Л — параметр нагрузки. Уравнение (2) дополняется краевыми условиями, отвечающими характеру закрепления края пластины. В диссертации рассмотрен случай жесткого закрепления:

ф = фх = фу = ю = юх = юу = Ojan, (3)

где П — область определения функций w, ф, заданная в виде единичного круга и интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины:

П = {(х,у) 6 К2 : х2 + у2 < 1}.

В диссертационной работе применена исследовательская схема, основанная на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта10,11. Использована трактовка краевых задач в виде операторного уравнения

f{x) = Ь, X еХ, beY, (4)

в котором / — гладкое фредгольмово отображение банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи можно осуществлять переходом (редукцией) к конечномерному уравнению

0(0= ß, t€M,ßeN, (5)

8Вольмир А..С. Гибкие пластины и оболочки. - М. : Гостсхиздат. 1950. - 419 с.

9Ворович И.И. Математические проблемы пелипейнои теории пологих оболочек. - М. : Наука. 1989.- 376 с.

10Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах. Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.

11Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, C.JI. Царев. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов. Современная математика, Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. - 140с.

в котором = V'~1(/(v(0)i M и N — гладкие конечномерные многообразия, <р п ip — гладкие вложения конечномерных многообразий M н N в X н Y соответственно.

Если для отображения / найдется такой (гладкий) функционал V, что / = grad¡[V или, что эквивалентно, dV

g¿(x)h = (f{x),h)H, Vxeu., heE

((•) ')н — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Н), то отображение / называется потенциальным (предполагается, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в H и Е плотно в Н). Функционал V называется при этом потенциалом отображения /, а уравнение (4) называется потенциальным.

Описанию и применениям некоторых используемых схем перехода от (4) к (5) (вариантов схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (5) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (4) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящен ряд работ H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, М.М. Вайнберга, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, М.А. Красносельского, Б.В.Логинова, Ю.И. Сапронова, H.A. Сидорова, В.А. Трепогипа, K.D. Elworthy, J.E. Marsden, S. Smale, A.J. Tromba и др. Вариационные модификации описаны в работах H.A. Бобылева, М.А. Красносельского, Б.В.Логинова, Ю.И. Сапронова, J.E. Marsden и др. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических была использована в работах C.B. Болотина, С.С. Conlcy, Е. Zehnder, а затем схема Морса-Ботта была включена Ю.И. Сапроновым в более общую абстрактную редуцирующую схему (наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта).

Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В. Шарко, C.B. Болотин и др.) и теории ветвления решений операторных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, Ю.И. Сапронов, В.А.Треногий и др.).

Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта нредшество-

вал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче. А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым и Э. Шмидтом.

Цель работы и задачи исследования. Центральная конструктивная идея данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (4) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (5) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств.

Центральная задача диссертации — осуществление нелокального бифуркационного анализа рассмотренных в диссертации (модельных) краевых задач.

Основными составляющими центральной задачи являются: 1) задача описания геометрической структуры дискриминантпого множества 2) задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 3) приближенное построение ветвей решений. Эти составляющие задачи решаются посредством вычисления и изучения ключевого уравнения.

В диссертации предложено решение этой задачи в случаях уравнений колебаний маятника, уравнения Белецкого и уравнения Кармана. При решении использован вариационный характер модельных уравнений (потенциальность левой части каждого из них).

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления нелокально определенных ключевых функций для уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого (периодическая задача) и уравнения Кармана для круглой пластины, равномерно сжатой по краю.

2. Разработан и обоснован алгоритм приближенного графического изображения сечений каустики и решений рассмотренных модельных уравнений (при конечных приращениях параметров).

3. Осуществлен нелокальный анализ периодических краевых задач уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого и граннчиой задачи для уравнения Кармана в случае круглой пластины при условии, что (основной) параметр в каждой из рассмотренных задач не превосходит третьего критического значения.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в нелокальном бифуркационном анализе нелинейных периодических и граничных задач классической и упругой механики. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях разнообразных неинтегрируемых уравнений, связанных с вариационным подходом.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008, 2010 гг.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-лстию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов и проф. Б.М. Да-рннский) и на семинаре ВГУ но математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных публикаций [6], [10] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [11] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 124 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной в средах Maple и Matlab.

Содержание работы

Во введении раскрывается актуальность темы, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первой главе изложены основы анализа вариационных краевых задач теории нелинейных колебаний и теории упругости методами функционального анализа и теории фредгольмовых уравнений. Дано краткое описание основ теории фредгольмовых уравнений и сделан краткий обзор близких результатов других авторов. Описаны требования, обеспечивающие глобальную редуцирусмость функционалов действия по схеме Ляпунова-Шмидта, представлена общая формула глобально заданной ключевой функции, служащая основой для создания алгоритмов вычисления обобщенных ритцевских аппроксимаций функционалов действия (приближений к ключевым функциям).

Ключевая функция Ляпунова - Шмидта

ИЧО:= , inf V{x), e = x:(x,ej}=(] Vj

"отвечает" за поведение функционала V, если выполнено условие положительности (монотонности)

(^(x)h,hj> 0 V{x,h)eEx(E\0), h±ejt j = l,...,n.

Ритцсвской аппроксимацией функционала V, заданного па банаховом пространстве Е, называется функция

Здесь {ei,e2,...,e„} — некоторый линейно независимый набор функций из Е (базис аппроксимации).

Экстремалям £ = (£i,...,£„) функции W соответствуют точки х = ег, называемые ритцсвскими аппроксимациями экстремален V.

г=1

Точность рнтцсвских аппроксимаций повышается, вообще говоря, лишь за счет увеличения количества базисных функций. Если, обобщая, рассмотреть "нелинейные" аппроксимации вида

где Ф — гладкое отображение из N := span(eb..., еп) в F П N1 (NL

— ортогональное дополнение к N в Я), то во многих прикладных задачах можно достигнуть любой аппроксимативной точности при априори зафиксированном наборе базисных функций и, следовательно, априори ограниченном количестве степеней свободы аппроксимирующей системы.

Последняя формула показывает, что схему Ляпунова - Шмидта можно рассматривать как разновидность нелинейной ритцсвской аппроксимации.

Во второй главе описан алгоритм приближенного решения краевых и периодических задач. Дано обоснование возможности применения используемых в алгоритме математических конструкций. Описаны полученные ранее результаты исследований АЛО. Борзакова 12 по проблеме нелокального анализа граничных задач и приведены некоторые

12Борзаков А.Ю., Лемешко A.A., Сапронов Ю.И. Нелинейные ритцсвские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремален// Вестник ВГУ. Сер. физ., матом. Воронеж: ВГУ. - 2003, вып. 2.

- С. 100-112. Бор

закон A.JO. Применение методов конечномерной редукции к глобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуффннга/ А.Ю. Борзаков // Сборник трудов математического факультета ВГУ. 2005. Вып.9. С. Э-22.

их обобщения. В частности, опнсапы условия, гарантирующие трансверсальность приближаемой нелокально определенной ключевой функции своим особенностям (трансверсальность к особенностям гарантирует топологическую стабилизируемость приближенных графических изображений сечений каустики).

В диссертации использована теоретическая платформа алгоритма в виде условия (Ь), состоящего из следующих четырех требований:

1) Е = ^ (конфигурационное пространство и пространство значений градиента совпадают);

2) для градиента имеет место представление /(х,6) = 1 + с(х,5), где с — вполне непрерывное отображение из Е х Д в Е (условие представимости градиента в форме Л ере - Шаудера);

3) существует такая последовательность конечномерных подпространств

{Еп+т} = Еп+о = N с Еп+1 С Е„+2 С ... С Еп+т С ... ,

что последовательность ортопроекторов Рт : Н —> Еп+т сильно сходится к единице на пространстве Е\

4) ограничение У\Е является коэрцитивной функцией.

В этой же главе введено эквивариантное условие (Ь) (для случая круговой симметрии)

Очевидно, что отображение / = I + Ре^-*! также из класса Лере - Шаудера. Следовательно, уравнение = 0, определяющее Ф(£),

можно решать (приближенно) на основе галеркинскнх аппроксимаций

у + 5) — О, V £ Лг1 П Еп+т, (6)

с^М) :=Рп+т (5еМ)).

Уравнение (6) можно приближенно решать, используя разнообразные вычислительные процедуры, разработанные для конечномерного случая (переход к галеркпнекой аппроксимации этим и оправдан).

В ряде случаев имеется возможность использования прямого приближенного вычисления отображения Ф методом кратчайшего градиентного спуска. Соответствующий алгоритм (его существенная часть) заключен

в следующих соотношениях:

а0 = и := ^ei + Ы2 + • • • + £„е„,

а2 = а0 + í0V0, Vo := grad V(a0)

(fo выбирается с целью минимизации па прямой а = а0 + ¿Vo значения функционала V или нормы градиента V := grad V(a)),

a-k+i =ак + tkVk, Va := grad V(ak)

(tk выбирается с целью минимизации на прямой а = üfc + íVfc значения V или нормы градиента).

В соотношении = а* + можно выбирать и другие направления сдвига (градиенты, построенные в любой другой метрике).

В случае гладкой зависимости функционала от параметра принадлежащего компактной области, можно добиться равномерной Сг - сходимости по параметру к семейству минимумов (за счет "удачного" выбора направления сдвига и длины шага), зависящих от к и Соответствующие оценки для норм невязок градиента и снижений значений функционала переносятся на параметрический случай.

Хотя градиентный метод дает гладкую равномерную сходимость приближений к ключевой функции, но эта сходимость может осуществляться слишком медленно. Как известно, метод Ньютона сходится более быстро, но требует большего объема вычислений. Гладкую равномерную сходимость ньютоновских итераций для уравнений с параметром установил A.A. Лемсшко 13.

В третьей главе дана апробация развитой во второй главе теории в случае п = 2. В частности, дано применение предложенных алгоритмов, адаптированных к задаче об исследовании геометрического строения каустики и к задаче об описании раскладов бифурцирующих экстремалей.

13Лсмсшко A.A. О равномерной сходимости с производными галеркниских приближении к решениям уравнении с параметрами// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. - С. 94-103. О равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами// Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ, Воронеж: ВГУ, 2003. - С.74-83.

Основным результатом главы является визуализация нелокального рассмотрения бифуркационных эффектов — получение изображений линий уровней ключевых функций, сечений каустик и Ы£раскладов критических точек ключевой функции, наглядно представленных линиями уровней ключевых функций.

Приведены теоремы, дающие обоснованно возможности применения условия (Ь) в рассмотренных (модельных) краевых задачах (теоремы 4 - 10). Рассмотрено также обобщенное уравнение Белецкого, обладающее обобщенной круговой симметрией.

В третьей главе описан алгоритм, позволяющий осуществлять следующие вычислительные процедуры:

1) построение нелинейной добавки Ф(£) (на основе вспомогательной экстремальной задачи);

2) построение приближения к ключевой функции А,д);

3) построение приближенных графических изображений каустики (множества Е, состоящего из тех значений q, при которых существуют вырожденные экстремали);

4) построение приближенных графических изображений ключевой функции;

5) построение приближенных графических изображений отдельных экстремалей (решений исходной краевой задачи).

В этой же главе приведены избранные результаты вычислений, включая результат полиномиальной аппроксимации ключевой функции, приближенные графические изображения линий уровней ключевых функций и решений исходных краевых задач.

Рис. 1 График редуцированной (по симметрии) ключевой функция, соответствующей уравнению колебаний маятника

Рис.2 Фрагменты линий уровня редуцированной (по симметрии) ключевой функции возмущенного (неоднородного) уравнения колебаний маятника

0.6

0.8'-'-1-1-1-1-1-1-1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 3 Образ координатных линий отображения градиента редуцированной ключевой функции \¥, соответствующей уравнению колебаний маятника

Рис. 4 Фрагменты линий уровня редуцированной (по симметрии) ключевой функции уравнения Белецкого

Рис.5 Образ координатных линий отображений градиента ключевой функции IV уравнения Белецкого

Рис. 6. Пример линий уровня возмущенной ключевой функции (при наличии возмущения) уравнения Кармана.

Рис. 7. Примеры полученных изображений прогибов пластины.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Костина Т.П. Бифуркационный анализ периодических решений уравнения Белецкого/ Т.И Костина// Воронежская зимняя математическая

школа С.Г.Крсйна - 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. -С. 81.

[2] Костина Т.И Бифуркации периодических решений уравнения Белецкого/ Т.И Костина// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Гсрцсновские чтения - 2008. Материалы научной конференции, 14-19 апреля 2008. СПб, 2008. С. 7475.

[3] Костина Т.И. Анализ ветвления периодических решений уравнения Белецкого посредством вариационного метода Ляпунова-Шмидта/ Т.И Костина// Математические модели и операторные уравнения. Том 5, часть 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 98-103.

[4] Костина Т.И. Нелокальный бифуркационный анализ циклов в вариационных задачах нелинейной динамики/ Т.И Костина// Современные методы теории функций н смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы/ Воронежский государственный университет [ и др.] - Воронеж: Издательско-иолиграфпчес-кий центр Воронежского государственного университета, 2009. - С. 91-92.

[5] Костина Т.И. Нелокальный бифуркационный анализ периодических решений некоторых вариационных уравнений/ Т.И Костина // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герцеповскис чтения - 2009. Материалы научной конференции, 13-18 апреля 2009. - СПб., 2009. - С. 75-76.

[6] Костина Т.И. К нелокальному бифуркационному анализу вариационных краевых задач/ Т.И Костина, Ю.И. Сапронов, А.Ю. Борзаков// Математические модели и операторные уравнения. Сборник научных статей под редакцией В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Том 6 - Воронеж: ВорГУ, 2009. - С. 8-23.

[7] Костина Т.И. Нелокальный бифуркационный анализ циклов в вариационных динамических системах/ Т.И Костина// Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовшпего.- М.: Издательство "Университетская книга", 2009. - С. 163.

[8] Костина Т.И. Нелокальный анализ ветвления периодических решений

в вариационных задачах / Т.И Костина// Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2010. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ,

2010. - С. 85-86.

[9] Костина Т.И. Построение ключевой функции для уравнения круглой упругой пластины/ Т.И Костнна// Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весенней математической школы "Поит-рягниские чтения - ХХ1Г/ Воронежский государственный университет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН. - Воронеж : Издательско-нолиграфпчеекпй центр Воронежского государственного университета,

2011. - С. 95.

[10] Костина Т.И. Вычисление н применение ключевой функции в задаче о нелокальных прогибах круглой упругой пластины/ Т.И Костина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные управления. Том 7 -Воронеж: ВорГУ, 2011. - С. 79-88.

[И] Костина Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений/ Т.И Костнна// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. №1. 2011 - С. 181-186.

Работа [И] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

Подписано в печать 25.10.11. Формат 60*84 V,с,. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 4324

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-нолиграфического центра Воронежского государственною университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Конечномерная редукция вариационных задач (в рамках операторных фредгольмовых уравнений)

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях.

1.2 Выпуклые функционалы и приближения Галеркина-Ритца

1.3 Задача бифуркационного анализа решений фредгольмовых уравнений с параметрами.

1.4 Общая схема конечномерных редукций вариационных уравнений

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная).

1.6 Приближенное вычисление ключевой функции.

1.7 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация.

1.8 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.9 Редукция Морса-Ботта.

1.10 Топологическое сравнение редуцирующих схем.

1.11 Образы особых точек гладких отображений и огибающие кривые.

1.12 С—инвариантные функционалы.

1.12.1 Банаховы С—многообразия.

1.12.2 Критические орбиты.

1.12.3 Ослабление условия гладкости действия группы Ли

1.13 Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и параметрические функционалы с обобщенной круговой симметрией

1.14 Переход к усеченной по симметрии ключевой функции

2 Алгоритмизация нелокального анализа функционала действия

2.1 Условие (УФ).

2.2 Функционал в окрестности вырожденной критической точки

2.3 Трансверсальность особенностям.

2.4 Построение приближенной ключевой функции методом Га-лёркина.

2.5 Метод Галёркина для функционалов с обобщенной круговой симметрией.

2.6 Уравнение без параметра.

2.7 Уравнение с параметром.

2.8 Метод Галёркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта

2.9 Схема вычислительного алгоритма.

3 Нелокальный анализ модельных краевых задач

3.1 Натуральные механические системы.

3.2 Алгоритм полиномиального приближения к ключевой функции для маятника. Теоретическое описание.

3.2.1 Исходные данные.

3.2.2 Усечение исходных данных по круговой симметрии

3.2.3 Аппроксимация Лагранжа-Эрмита для косинуса и синуса.

3.2.4 Операторные уравнения.

3.2.5 Итерации.

3.3 Компьютерный алгоритм полиномиального приближения к ключевой функции для маятника.

3.3.1 Аппроксимация cos, sin.

3.3.2 Галеркинские коэффициенты для итераций.

3.3.3 Пример полиномиальной аппроксимации ключевой функции.

3.3.4 Полученные графические изображения.

3.4 Конечномерная редукция на примере уравнения Белецкого

3.4.1 Описание алгоритма (теоретическая форма)

3.4.2 Описание алгоритма (программная форма).

3.4.3 Графические изображения

3.5 Уравнение Кармана.

3.5.1 Функционал энергии круглой упругой пластины и его усечения

3.5.2 Построение приближений к ключевой функции от двух переменных.

3.6 Пример итерационного алгоритма полиномиального приближения к ключевой функции для уравнения К'армана

3.6.1 Исходные данные.

3.6.2 Операторное уравнение.

3.6.3 Итерации.

3.6.4 Функции Бесселя.

Несмотря на то, что за последние 30 - 40 лет произошло существенное развитие в области нелокального анализа как стационарных состояний, так и нелинейных колебательно-волновых процессов [25], [50], [31], задача разработки новых и эффективных методов нелокального исследования волновых и колебательных явлений остается по-прежнему актуальной [1], [11], [31].

Особенно бурное развитие в исследованиях нелинейных волновых процессов можно увидеть по многочисленной серии теоретических и экспериментальных работ 70-х и 80-х годов прошедшего столетия. Наибольший прогресс был достигнут в рамках так называемой солитонной математики. Однако, областью применения этих методов являются лишь интегрируемые и близкие к интегрируемым задачи [10].

В настоящее время, в связи с постоянным увеличением производительности компьютерной техники и совершенствованием программного обеспечения, появились новые возможности в анализе зарождения и развития нелинейных процессов, описываемых неинтегрируемыми уравнениями. В данной работе рассмотрен подход к нелокальному изучению класса бифуркационных задач вариационного исчисления, включающего в себя многие эталонные задачи "солитонной математики" и их естественные обобщения.

Основные модельные примеры в данной работе — уравнение Белецкого d dq

1 + ecosz/)—г — 2esinz/-—Ь /¿sinq — Aesmv = 0, (0.1) dvl dv описывающее колебания спутника на эллиптической орбите где е — эксцентриситет орбиты, /х — параметр, характеризующий распределение массы спутника, q — угол между фокальным радиусом и осью симметрии спутника, v — угловая (полярная) координата центра масс спутника, и уравнения упругого равновесия круглой пластины, равномерно сжатой

1Уравнение (0.1) выведено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г.[4]. по краю (вдоль нормалей), в модели Кармана [16], [17], [26]:

A2w + XAw - [w, ф] = А2ф + hw, w] - О, (0.2) Z в которых Д — оператор Лапласа, [ш,ф] = и)ххфуу + юууфхх — 2гихуфху, w — функция прогиба, ф — функция напряжения, Л — параметр нагрузки. Уравнение (0.2) дополняется краевыми условиями, отвечающими характеру закрепления края пластины. В диссертации рассмотрим случай жесткого закрепления:

Ф = фх = Фу = w = wx = wy = 0|flíi. (0.3)

Здесь Г2 — область определения функций w, ф, заданная в виде единичного круга и интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины:

В диссертационной работе применена исследовательская схема, основанная на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта.

Использована трактовка краевых задач в виде операторного уравнения f(x) = Ъ, х е X, be У, (0.4) в котором / — гладкое фредгольмово отображение банахова пространства Е в банахово пространство F. Решение такой задачи можно осуществлять переходом (редукцией) к конечномерному уравнению [12]

0«) = /3, £ем, N, (0.5) в котором = ф~1(/{<р(0); М и N — гладкие конечномерные многообразия, (риф — гладкие вложения многообразий М и N в X и Y соответственно.

Если для отображения / найдется такой (гладкий) функционал V, что / = gradnV или, что эквивалентно, x)h=(f(x),h)H, Ухеы., h £ Е

•)# — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Я), то отображение / называется потенциальным (предполагается, что Е непрерывно вложено в F, F непрерывно вложено в H и Е плотно в H). Функционал V называется при этом потенциалом отображения /, а уравнение (0.4) называется потенциальным.

Описанию некоторых используемых схем перехода от (0.4) к (0.5), (вариантов локальной схемы Ляпунова-Шмидта) при условии, что уравнение (0.5) наследует топологические и аналитические свойства уравнения (0.4) (кратности и топологические индексы решений, типы бифуркационных диаграмм и т.д.), посвящены работы [12], [14], [29], [30], [34], [41], [51], [53], [56], [58], [68], [69], [71], [72].

Вариационные модификации описаны в [6], [34], [51], [56], [58], [71]. Глобальная редуцирующая схема Морса-Ботта из вариационной теории геодезических [47] была использована в работах [7], [67], а затем схема Морса-Ботта была включена, наряду с нелокальной вариационной версией Ляпунова-Шмидта, в более общую абстрактную редуцирующую схему (см. [51])).

Ряд аспектов теории бифуркаций экстремалей развивался при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса, симплектиче-ской геометрия (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [60, 61], Болотин C.B. [7], С.С. Conley, Е. Zehnder [67] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин [58] и др.).

Исторически схемам Ляпунова-Шмидта и Морса-Ботта предшествовал локальный метод Пуанкаре понижения размерности в конечномерной экстремальной задаче [73]. А. Пуанкаре предполагал, что его метод может быть применен и к системам с бесконечным числом степеней свободы. Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены A.M. Ляпуновым [42] и Э. Шмидтом [75].

Фредгольмовы отображения ввел в современную математику Р. Кач-чиополи (см. [12], [45], [65]—[66] и библиографию в этих источниках). Появлению теории фредгольмовых отображений способствовала нелинейная проблема Дирихле. На основе этой теории удалось исследовать многие нелинейные краевые задачи, моделирующие разнообразные физиче-. ские процессы. Наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций.

Центральная конструктивная идея данной диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — нелокальное сведение (редукция) задачи об изучении решений уравнения (0.4) к аналогичной задаче для конечномерного уравнения (0.5) с последующим качественно-численным анализом конечномерного уравнения на основе современных вычислительных средств. Центральная задача — осуществление нелокального бифуркационного анализа модельных краевых задач.

При реализации любой версии конечномерной редукции возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информации о строении ключевого отображения #(£) и его возмущений. Важную роль при этом играют идеи и методы теории особенностей гладких отображений [2].

Основными составляющими центральной задачи являются: 1) задача описания геометрической структуры дискриминантного множества Е, 2) задача описания раскладов решений, соответствующих ячейкам регулярности (компонентам связности дополнения к Е), 3) приближенное построение ветвей решений. К этим составляющим добавляется вопрос вычисления и изучения ключевого уравнения.

В диссертации предложено решение этой задачи в случаях уравнений колебаний маятника, уравнения Белецкого и уравнения Кармана. При решении использован вариационный характер модельных уравнений, что означает потенциальность левой части каждого из них.

В математических конструкциях диссертации использованы методы функционального анализа, теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач, теории приближений, вариационного исчисления и современного анализа гладких функций многих переменных.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработаны и обоснованы алгоритмы приближенного вычисления нелокально определенных ключевых функций для уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого (периодическая задача) и уравнения Кармана для круглой пластины, равномерно сжатой по краю.

2. Разработан и обоснован алгоритм приближенного графического изображения сечений каустики и решений рассмотренных модельных уравнений (в нелокальной постановке).

3. Осуществлен нелокальный анализ периодических краевых задач уравнения колебаний маятника, уравнения Белецкого и граничной задачи для уравнения Кармана в случае круглой пластины при условии, что (основной) параметр в каждой из рассмотренных задач не превосходит третьего критического значения.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование методу фредгольмовых уравнений в нелокальном бифуркационном анализе нелинейных периодических и граничных задач классической и упругой механики. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях разнообразных неинтегрируе-мых уравнений, связанных с вариационным подходом.

Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008, 2010 гг.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2008, 2009 гг.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего (2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики

ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов и проф. Б.М. Даринский) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, включающих программные коды, реализации алгоритмов и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 124 стр.

1. Афанасьев А.П. Устойчивость по Пуассону в динамических и непре-рывных периодических системах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба //- М.: ЛКИ. 2007. 240 с.

2. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И.Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: МЦНМО. 2004.- 672 с.

3. Бахвалов И.В. Численные методы. Издание восьмое / И.В.Бахвалов,Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков //- Физматлит. Невский диалект. Москва Санкт-Петербург - 2000.

4. Белецкий В.В. Движение искуственного спутника вокруг центра массВ.В. Белецкий // М. : Наука 1965. - 416 с.

5. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Белман // М. : Мир1965. С. 245.

6. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / H.A.Бобылев, C.B. Емельянов, С.К. Коровин // М. : Магистр, 1998. -658 с.

7. Болотин C.B. Периодические решения системы с гироскопическимисилами / C.B. Болотин // Прикл. матем. и механ. 1987.Т.51, вып.4.- С.686-687.

8. Борзаков А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю. Борзаков, A.A. Лемешко,Ю.И. Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ.- 2003, вып. 2. С. 100-112.

9. Борзаков А.Ю. Редукции в нелокальном анализе вариационных краевых задач и уравнение колебаний маятника/ А.Ю. Борзаков //Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Воронеж: ВГУ.- 2005, Вып.1. С. 34-44.

10. Борисов A.B. Современные методы теории интегрируемых систем/ A.B. Борисов, И.С.Мамаев // Москва-Ижевск, 2003. - 296 с.

11. Боровских A.B. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды /A.B. Боровских // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2007, Т.24. С 3-43.

12. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. С. 3-54.

13. Брус Дж. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей./ Дж. Брус , П. Джиблин // Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 262 с.

14. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин // М. : Наука. 1969. - 528 с.

15. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / A.C. Вольмир // М.Гостехиздат. 1956.- 419 с.

16. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И. Ворович // М. : Наука. 1989. - 376 с.

17. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф.П. Васильев // М. : Наука, 1981. - 400 с.

18. Гнездилов A.B. Нелокальные конечномерные редукции в теории изгиба тонких упругих пластин / A.B. Гнездилов, Ю.И. Сапронов // Понтрягинские чтения V. Тезисы докладов. - Воронеж: Изд. ВГУ, 1994. - С.37 .

19. Гнездилов A.B. Осесимметрическая конечномерная редукция для круглой упругой пластины / A.B. Гнездилов, Ю.И. Сапронов // Материалы конференции по функциональному анализу и математической физике, посвященной 80-летию С.Г.Крейна- Воронеж, 1997.- С. 32-36.

20. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004) -С. 3-134.

21. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Ф.Зайцев // Л.: ЛГПИ, 1989. - 80 с.

22. Зайцев В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Точные решения / В.Ф.Зайцев, А.Д.Полянин // М.: Физматлит, 1995. - 560 с.

23. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: От маятника до тубулентности и хаоса / Г.М.Заславский, Р.З. Сагдеев // М. : Наука, 1988. - 368 с.

24. Зачепа В.Р. О ветвлении решений уравнения Кармана / В.Р. Зачепа //В кн. Уравнения на многообразиях. Воронеж : Изд. ВГУ, 1982. - С. 111-115.

25. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронежский госуниверситет. Воронеж 2002.

26. Звягин В.Г. Свойства степени Jlepe Шаудера вполне непрерывных векторных полей/ В.Г.Звягин // Методическая разработка для студентов 3-5 курсов математического факультета д/о и слушателей ФПК. Издательство ВГУ. Воронеж, 1996.

27. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж.Иллс // Успехи ма-тем. наук. 1969. Т.24, №3. - С. 157-210.

28. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры/ Дж.Иллс // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, №6. - С. 213-240.

29. Инфельд Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс // пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 480 с.

30. Иосида Функциональный анализ/ Иосида// пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1968.

31. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клинген-берг // М. : Мир. 1982. 416 с.

32. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, №3. - С. 530-533.

33. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, Я.Б. Ру-тицкий, В.Я. Стеценко // М. : Наука, 1969. - 456 с.

34. Красносельский M.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / MA. Красносельский // М.: Гостехиз-дат, 1956. - 390 с.

35. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / П.П. Забрейко // М. : Наука. 1975. 512 с.

36. Красноселький М.А. Итерационный процесс с минимальными невязками /М.А. Красноселький, С.Г. Крейн // Матем. сб-к. 1952. т.31 (73), в.2. С. 315-334.

37. Лемешко A.A. О равномерной сходимости с производными галер-кинских приближений к решениям уравнений с параметрами / A.A. Лемешко // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С. 94-103.

38. Лемешко A.A. Об равномерной сходимости ньютоновских приближений к решениям уравнений с параметрами/ A.A. Лемешко // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ, Воронеж: ВГУ, 2003. С.74-83.

39. Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б.В. Логинов // Ташкент, Фан, 1985. - 184 с.

40. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l /A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

41. Ляв А. Математическия теория упругости. М.- Л.: НКТН СССР.1935. 674 с.

42. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике./С.Г. Михлин // М. : Наука, 1970. 512 с.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда // М. : ИЛ. 1957. - 256с.

44. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред / Дж. Оден // М.: Мир. 1976. 464 с.

45. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников // -М. : Наука, 1971. 568 с.

46. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М. : Мир, 1980. 608 с.

47. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. / А. Пуанкаре // М. : Наука, 1972. 1000 с.

48. Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков // М. : Наука, 1984. 432 с.

49. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, №1.- С. 101-132.

50. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах /Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94-103.

51. Сапронов Ю.И. Регулярные возмущения фредгольмова отображения и теорема о нечетном поле /Ю.И. Сапронов // Труды матем. фак-та ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1973, вып. 10. - С. 82-88.

52. Сапронов Ю.И. Существование и сравнение конечномерных редукций для гладких функционалов /Ю.И. Сапронов // В кн.: Глобальный и стохастический анализ. Воронеж: ВГУ, 1995. - С. 69-90.

53. Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, C.JT. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, №5. - С. 745-754.

54. Сидоров H.A. Ветвление решений нелинейных уравнений с потенциальными системами разветвления / H.A. Сидоров //В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд. Иркутского университета, 1980. - Вып.7. - С. 136-155.

55. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2./ В.И. Смирнов //- М. : Наука, 1974. 656 с.

56. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, H.A. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т. 309, № 2. - С. 286-289.

57. Трофимов В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко // М. : Факториал, 1995. 448 с.

58. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А.Т. Фоменко // М. : МГУ, 1988,- 416с.

59. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А.Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989.- Т. 44, вып. 1. С. 145-173.

60. Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж : Изд. ВГУ, 1998. -№ 3 (новая серия). - С. 73-76.

61. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 132-136.

62. Царев С.Л. О глобальной распрямляемости гладких функций с единственной критической точкой / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Изд. ВГУ, 1996. - № 1 (новая серия). -С. 92-96.

63. Cacciopolli R. Un principio diinversioni per le corrispondenze funzionali e sue applicazioni able equazione a derivate parzidle / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei. 1932. V.16. - P. 390-395, P. 484-489.

64. Cacciopolli R. Sulle corrispondenze funzionali inverse diramate: teoria generale e applicazioni ad alcune equazioni non-lineari e al problema di Plateau / R. Cacciopolli // Rend. Acc. Lincei 1936. V.24. - P. 258-263, P. 416-421.

65. Conley C.C. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd / C.C. Conley, E. Zehnder // Invent. Math. 1983. V.73.- P.33-49.

66. El worthy K.D. Degree theory on Banach manifolds / K.D. El worthy, A.J. Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math. 18, A.M.S. 1970. - P. 86-94.

67. Elworthy K.D. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds / K.D. Elworthy, A.J. Tromba // Proc. Sympos. Pure. Math.- 15, A.M.S. 1970. P. 49-94.

68. Levchenko O.N. Morse Bott reduction for a symmetric Kirchhoff rood / O.N. Levchenko, Yu.I. Sapronov // Methods and Applications of Global Analysis. Voronezh University Press. 1993. P. 95-100.

69. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. V.84, № 6. - P. 1125-1148

70. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunow-Schmidt procedure / J.E. Marsden // Lect. Notes in Math. 1979. V.755. - P.77-82.

71. Poénaru V. Singularités C°° en Présence de Symétrie / V. Poénaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. - P. 61-89.

72. Smale S. An infinite dimensional version of Sard's theorem / S. Smale // Amer. J. Math. 1965. v.87. P. 861-866.

73. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. V.65. -P. 370-399.

74. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations / A. Zemlyanukhin // Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. № 3. P. 67-69.

75. Костина Т.И. Бифуркационный анализ периодических решений уравнения Белецкого / Т. И Костина // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 81.

76. Костина Т.П. Анализ ветвления периодических решений уравнения Белецкого посредством вариационного метода Ляпунова-Шмидта / Т.И Костина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, часть 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 98-103.

77. Костина Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. №1. 2011 С. 181-186.