Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений

Комаров, Михаил Владиславович

Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Комаров, Михаил Владиславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_имени М.В. ЛОМОНОСОВА_

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ.

На правах рукописи УДК 517.957

005054ми

Комаров Михаил Владиславович

ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ И ИХ АСИМПТОТИКА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

Москва - 2012

005054540

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор В.А.Ильин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Л.Гольдман,

Защита диссертации состоится "28" ноября 2012 г. в 15:30 на заседании Диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

доктор физико-математических наук, доцент М.О.Корпусов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Автореферат разослан и2Я' 0ША5\Ж 2012

г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория нелинейных уравнений, описывающих различные физические эффекты, является весьма важной и актуальной. Наиболее интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства существования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением некоторого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.

В 2000 г. И.А.Шимарёвым совместно с его учениками П.И.Наумкиным и Е.И.Кайкиной была рассмотрена периодическая задача в одномерном по пространственной переменной случае для модельного уравнения с нелиней-ностями 2-го и 3-го порядков. Данное уравнение содержит в себе многие известные уравнения математической физики, например, уравнения Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Уизема, Курамото-Сивашинского. И.А.Шишмарёвым и его учениками была разработана методика, позволяющая единым образом исследовать асимптотическое поведение периодических решений (в опреде-

1E.I.Kaikina, P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Periodic problem for a model nonlinear evolution equation// Advances in differential equations. - 2002. - Vol.7, N 5. - P.581-616.

'P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. / Amer. Math. Soc., Vol.133. - Providence, RI 1994.

ленном смысле) подобных уравнений.

Другим известным классом нелинейных уравнений, интерес к которому впервые возник в 1937 году, является уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП). Данное уравнение возникает при описании нелинейных процессов типа «реакция-диффузия», имеющих различную природу: распространение доминантного гена по заселенной территории3, изотермическое распространение пламени4, химическая кинетика5.

В 1999 г. И.А.Шишмаревым была исследована6 задача Коши для уравнения КПП в многомерном по пространственной переменной случае. Была получена асимптотика при больших временах классического решения данного уравнения.

Помимо задачи Коши, для уравнения КПП естественно также исследовать периодическую задачу. Она появляется в случае, когда среда, в которой рассматривается процесс, обладает периодической структурой. Примером такой постановки является задача распространения нервных импульсов по клеточной ткани7,8.

Еще одним важным нелинейным уравнением, имеющим разнообразные приложения, является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга. Ему посвя-

3Колмогоров A.H., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной

с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ,

Механика и математика. - 1937. - Т.1, Вып.6. - С.1-26.

4Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Ыахвиладзе Г.М. Математическая теория горения

и взрыва. - M.: Наука, 1980.

5N.Kopell, L.N.Howard Plane wave solutions to reaction-diffusion équations// Stud. Appl. Math. - 1973. -

Vol.52, N 4. - P.291-328.

вШишмарев И.A. О временной асимптотике решений обобщенного уравнения Колыогорова-Петров-

ского-Пискунова// Докл. РАН. - 1999. - Т.365, №4. - С.461-464.

7A.L.Hodgkin, A.F.Huxley A quantitative description of membrane current and its application to conduction

and excitation in nerve// J. Physiol. - 1952. - Vol.117. - P.500-544.

"G.A.Carpenter Periodic solutions of nerve impulse équations// J. Math. Anal. Appl. - 1977. - Vol.58, N 1.

- P.152-173.

щено значительное количество работ, изучающих сверхпроводимость9, динамику жидкости10, химическую кинетику11.

В 1995 году И.А.Шишмарёвым и М.Цуцуми была исследована12 задача Коши для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае и получена асимптотика решения.

Помимо задачи Коши для данного уравнения так же, как и для уравнения КПП, можно рассматривать периодическую задачу.

Целью работы является, во-первых, обобщение результатов, полученных И.А.Шишмарёвым и его учениками для модельной периодической задачи с нелинейностями 2-го и 3-го порядков в одномерном по пространственной переменной случае, на тг-мерный случай. Во-вторых, построение асимптотики решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в n-мерном по пространственной переменной случае.

Научная новизна. В диссертации впервые получена асимптотика решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае. Также впервые получена асимптотика решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае.

'Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости// Жур. эксп. и теор. физ. - 1950. - Т.20, Вып.12. - С.1064-1082.

10A.C.Newell, J.A.Whitehead Finite bandwidth, finite amplitude convection// J. Fluid Mecli. - 1969. - Vol.38, Part 2. - P.279-303.

"Y.Kuramoto, T.Yamada Turbulent state in chemical reactions// Prog. Theor. Phys. - 1976. - Vol.56, N 2. - P.679-681.

12Шишыарев И. А., Цуцуми M. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга// Мат. сборник. - 1995. - Т.190, №4. - С.95-114.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать при моделировании колебательных процессов в средах с периодической структурой.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на научном семинаре «Нелинейные дифференциальные уравнения» кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ МЭИ и на конференции «Ломоносовские чтения», секция вычислительной математики и кибернетики (апрель 2002 г., ноябрь 2011 г., апрель 2012 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в трех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 26 наименований. Общий объем диссертации составляет 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, кратко излагается постановка задач и формулируются полученные результаты.

В главе 1 рассматриваются условия существования и различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае.

В §1.1 ставится следующая периодическая задача

Щ+М(и) + £и = 0, ¿>0, ¡г€П, и(0,х) = ф(х), хеП.

Здесь х = (xi,..., хп), П = [0,2тг]™, решение u(t,x) и начальные данные ф(х) предполагаются 27г-периодическими по пространственным переменным комплексными функциями. Линейная часть £ и нелинейность J\f задаются в виде псевдодифференциальных операторов с коэффициентами Lp, Лрл, BPtqtT, называемыми символами операторов

си = j2el(p'x)LPup> р

N(u) ~ el{p'x) I Ар,яир-яич + Bp,q,rUp-quq+rTb p \ я ч-г

Здесь up — т^г f e-i(p,x'u(i, x) dx — коэффициенты Фурье, (p, x) — скалярное n

произведение векторов p их, равное p\X\ +.. .+pnxn. Знак означает сум-

мирование по всем векторам р с целочисленными координатами (pi,... , рп), черта обозначает комплексное сопряжение. Параметр х будет символизировать максимальную степень нелинейности, фактически присутствующей в задаче. Если Вт<г = 0, то х = 2, в противном случае я = 3. Линейный оператор С удовлетворяет условиям диссипации

ReLp Z ReL0 +fl\p\v, /х^О, ¡/^0,p€Z"\{0}, (2)

Если v > 0, то будем говорить, что в задаче (1) присутствует сильная диссипация, а если v = 0, то сильная диссипация отсутствует.

Коэффициенты {Лм} и {Bp,g,r}, задающие нелинейный оператор являются непрерывными функциями времени i, для которых справедлива равномерная по t е [0, +оо) оценка

Величина (р) = у/1 + |р|2 обозначает так называемую японскую скобку. Буквой С обозначены различные положительные постоянные.

В дальнейшем h3 обозначает дискретный аналог пространства Соболева с нормой Шх)\\1 = Е{р)2Ш-

Под решением периодической задачи (1) понимается решение интегрального уравнения

u(t, х) = G(i)</> -J G(t - т) N(u){t, x) dr, о

где G(t) -оператор Грина, определяемый равенством G{t)ip — ^ е^'^'^фр.

В §1.2 сгруппированы часто используемые в доказательствах числовые неравенства.

§1.3 начинается с пункта 1.3.1, в котором собраны утверждения, используемые для доказательства локального по времени существования решения в случае отсутствия сильной диссипации. Центральное место среди них занимает следующая лемма.

Лемма 5 (Оценка сверток в пространстве ка)Пусть s > п/2 4- Тогда для всех значений параметра а ^ 0 и всех (р(х),ф(х),х(х) 6 ha+a справедливы оценки

1. £(P>2i+2*-2C \<рр-Я\\ФЯ\) <

Р \ 9 /

Р \ Q,г J

с (миигмь+мытиыъ + MimiMU) ■

Доказательство оценки для кубической свертки в этой лемме основано на использовании оценки для квадратичной свертки. Это означает возможность

применения индукции по степени нелинейности для обобщения результата на случай нелинейности более высокого порядка.

На основании принципа сжимающих отображений в № и леммы 5 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1 (Локальное по времени существование решения в случае отсутствия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с и = 0, (1 ^ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с сг = 0.

3) Начальные данные ф 6 й5, я > п/2 +

Тогда существует единственное решение и(Ь,х) задачи (1), принадлежащее классу С([0, Т}\где Т = Г(||0||л., КеЬ0) > 0. В доказательстве теоремы приводится оценка снизу времени существования решения. Это существенно используется в методе продолжения решения при доказательстве существования решения в целом по времени.

Случай сильной диссипации, когда линейный оператор £ удовлетворяет условию (2) с v > 0, рассматривается в пункте 1.3.2. Вводятся функциональные пространства Хт, Ут с нормами

Здесь Ер(г) = е^+^М"1', Л < ВвЬ0, 0 < щ < тш(1, и), 0 < щ < ц. Наличие функции £р(£) в вышеприведенных нормах позволяет доказать сглаживание

Т> 0.

решения задачи (1) при любом 4 > 0, а также экспоненциальное убывание нормы ||и(£, •)||/1» решения.

Для пространства X? в лемме 8 доказывается теорема вложения

Хт С С([0, Т]; Л") П С((0, Т]; Уг > е.

Определим индекс 5о пространства Ь," по правилу

с (г 71 , /• и~ <Л л

50 = тах К-сг,- +С, " > 0.

Принципиальное значение для доказательства теорем существования в случае сильной диссипации имеют следующие две леммы. Лемма 10 (Оценка квадратичной свертки в пространстве Ут) Пусть х = 2, а € [0, V), и > 0, з > 5о- Тогда для всех <р,ф & Хт и всех е € [0, £о] справедлива оценка

£<р>25+2я~2С Х> - Л)^-,! М ^ ^

Лемма 11 (Оценка кубической свертки в пространстве Ут) Пусть ус — 3, а € [0,1/), V > 0, в > 5о- Тогда для всех <р,ф,х € Хт и всех е € [0,£о] справедлива оценка

£(р)25+2„-2с ( Гш _ д)с(? + ¿И ^

Р \0 /

хт11х11хг-

На основании принципа сжимающих отображений в Хт и лемм 10, 11 доказывается следующее утверждение.

Теорема 2 (Локальное по времени существование решения в случае наличия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с V > О, /I > 0.

2) Нелинейный оператор // удовлетворяет (3) с а € [0, и).

3) Начальные данные ф € к*, б > 5о.

Тогда существует единственное решение и(Ь,х) задачи (1), принадлежащее классу С([0, Т]; ПС1((0,Т]; /гг) VI > в, т. е. сглаживающееся при любом 4 > 0; при этом Т = Т(||0||ь>, КеЬо, ¡у,^) > 0.

В доказательстве теоремы 2 также приводится оценка снизу времени существования решения, что необходимо для метода продолжения решения на всю полуось.

В §1.4, пункте 1.4.1 методами продолжения решения доказаны теоремы существования решения в целом по времени в случае малых начальных данных и теорема об асимптотике.

Теорема 3 (Существование решения в целом по времени в случае малых начальных данных и отсутствия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор £ удовлетворяет (2) с ИеЬа > 0, V — 0, /х > 0.

2) Нелинейный оператор // удовлетворяет (3) с а = 0.

3) Начальные данные ф € к3, в > 5о, \\Ф\\к> < £ф, £ф — достаточно мало. Тогда существует единственное решение и(Ь,х) задачи (1), принадлежащее классу С([0, +оо); к3).

Теорема 4 (Существование решения в целом по времени в случае малых начальных данных и сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с 11еЬо > 0, V > 0, р, > 0.

2) Нелинейный оператор Л/" удовлетворяет (3) cae [0, и).

3) Начальные данные ф б h", s > Sq, ||<^||/i» ^ £ф, Вф — достаточно мало. Тогда существует единственное решение u{t, х) задачи (1), принадлежащее классу C([0,+oo)\ha) ПС^О, +оо);Л') Vi > s, т. е. сглаживающееся при любом t > О.

Теорема 5 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с ReLo > 0, v > 0, ц > О.

2) Нелинейный оператор Л/" удовлетворяет (3) с а = 0 в случае и = 0 и a S [О, v) в случае v > О.

3) Начальные данные ф £ h", s> Sq, ||<£||л» ^ £ф — достаточно мало. Тогда для единственного решения u(t,x) периодической задачи (1), принадлежащего в случае v = О классу С([0, +оо); hs), а в случае и > О — классу С([0, +оо); hs) П С1((0, +оо); hl) V/ > s, справедливо следующее асимптотическое представление при t —* оо, равномерное по х G П

где II — некоторая комплексная постоянная, 6 либо произвольное малое положительное число (в случае (1 > ИеЬо и одновременно и > О или в случае ц = КеЬо), либо равно нулю (в остальных случаях).

В пункте 1.4.2 параграфа 1.4 определяется условие симметрии нелинейности

где / — псевдодифференциальный оператор, символ которого удовлетворяет неравенствам С\(р)г ^ \1Р\ < С2{р)г для некоторых С2 ^ С\ > 0 и г. Величина г в таком случае называется порядком оператора. Данное условие

(4)

используется в методе энергетических неравенств для снятия любых ограничений на малость начальных данных. Этот подход позволяет доказать следующие два утверждения.

Теорема 6 (Существование решения в целом по времени и сглаживание в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с КеЬ0 > 0, причем /л > 0 в случае и = 0 или ц > 0 в случае V > 0.

2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с а = 0 в случае V = 0 или с а € [0,1/) в случае и > 0 и условию симметрии нелинейности (4) с оператором ] порядка г > 50.

3) Начальные данные ф € кТ в случае и = 0 или ф 6 к", где з > 5о> с случае и > 0.

Тогда существует единственное решение и(Ь,х) задачи (1), которое в случае и — 0 принадлежит классу С([0, +оо); Кг), а в случае V > 0 — классу С([0, +ос); ЛЛ)ПС1((0, +оо); Ь,1) VI > э, то. е. сглаживается при любом í > 0. Теорема 7 (Асимптотика решения в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для единственного решения и(£, х) периодической задачи (1) из класса, указанного в теореме 6, справедливо асимптотическое представление при £ —> оо, указанное в теореме 5.

В §1.5 получена осциллирующая асимптотика решения. Для этого задача (1) записывается в терминах коэффициентов Фурье и в полученной системе подробно исследуется асимптотическое поведение нулевой гармоники решения. В параграфе доказаны два утверждения.

Теорема 8 (Существование решения в целом по времени в случае осциллирующей нелинейности и малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с Ие^о = 0, и = О, ц > 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) са — 0 и условиям Л0,о = О, А),о,о = где 0(4) — вещественная, непрерывная функция.

3) Начальные данные ф е в > 50) \\ф\\и' ^ е, е — достаточно мало. Тогда существует единственное решение и(1,х) задачи (1), принадлежащее классу С([0, оо); №).

Теорема 9 (Осциллирующая асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (2) с Ие^о = 0, и = 0, (1 > 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (3) с а = 0 и условиям Л0,о = 0, До,о,о = ¿0(0» где 6(1) —вещественная, непрерывная функция, такая, что

|0(4)| < Сео < 70 < Ц.

3) Начальные данные ф е Л", в > 5о, ||0||л» < £ — достаточно мало. Тогда для единственного решения и(1,х) задачи (1), принадлежащего

классу С([0, оо); /гя), справедливо следующее асимптотическое представление при 4 —> оо, равномерное по х бП

и&х) = иехр ^ 0(т)<£т^ + О (е"й) ,

где и, Ф — некоторые вещественные постоянные, 6 — произвольное число из интервала (О,гшп{2(уи — 70),/х})-

В главе 2 получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в случае малых начальных данных.

В §2.1 ставится следующая периодическая задача

щ + Р(и) + Ки = 0, Ь > 0, х 6 П,

и(0,х)=ф(х), х € П.

Здесь u(t,x) - действительная, 2тг-периодическая по пространтсвенным переменным функция, х = (xi,...,xn), n > 1, О — n-мерный куб с длиной ребра 27г, P(it) — полиномиальная нелинейность порядка m ^ 2 с постоянными коэффициентами

771 1=2

К и — линейный псевдодифференциальный оператор порядка а, задаваемый в терминах рядов Фурье

К и = —Kpup(t)e^'*\ up(t) = f u(t, х)еdx. [ П) ' п

В §2.2 доказываются вспомогательные утверждения. В §2.3 доказано следующее утверждение. Теорема 10 (Локальное по времени существование решения) Пусть выполнены следующие условия:

1) R еКр > -Ь0, Ь0 > 0, ре Z";

2) начальное возмущение ф{х) £ hp, р > п/2 + а.

Тогда существует единственное решение u(t,x) задачи (5), принадлежащее классу С([0,Т]; hp) П С1((0, Г]; hp~a), причем Т = Т(\\ф(х)\\р).

В §2.4 доказано следующее утверждение. Теорема 11 (Существование решения в целом по времени) Пусть выполнены следующие условия: 1) RеКр > Ъ > 0, ре Ъп;

ll^pllp ^ Е> £ > 0 достаточно мало, р > п/2 + а. Тогда существует единственное решение u(t,x) задачи (5), принадлежащее классу С([0, +оо); hp) П ^((О, +оо); hp~a).

В замечаниях к приведенной теореме показано, что оба условия являются

необходимыми: в случае невыполнения одного из них решение может разрушится за конечное время.

В §2.5 доказано следующее утверждение. Теорема 12 (Экспоненциальная асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Символ Кр удовлетворяет условиям:

ReK0 = К0 > О

Го, р = О

RеКр + ре Z", }<„ = {

I Л* > О, Р ф о

2) Начальные данные \фр\ < £i(l + |p|)_A для всехр € Z", £i > 0 достаточно мало, А > п + а.

Тогда при t оо равномерно по х € О, справедлива асимптотика для решения u(t,x) задачи (5):

u(t, х) = Be'™ + О (е-^-"4), и = mm(K0, м) > О,

где

В = lim eKot

t-» оо

^JuMdx п

В главе 3 получена асимптотика классического решения периодической задачи для комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга в случае малых начальных данных.

В §3.1 ставится следующая периодическая задача

{щ + А|и|2и + аи-(а + г'/3)Ди = О, Ь > 0, х е П, ^

и(0,х) = ф(х), хеП.

Здесь х = (хь ..., х„), п ^ 1, П - п-мерный куб с длиной ребра 2ж, а, а, ¡5 -действительные числа, Л - комплексное число. Решение и(Ь, х) - комплексно-

значная функция, 27г-периодическая по пространственным переменным, Д -оператор Лапласа.

В §3.2 доказываются вспомогательные утверждения и априорные оценки.

В §3.3 доказаны следующие утверждения. Теорема 13 (Существование и единственность решения) Пусть выполнены следующие условия: а > 0, а > 0, а коэффициенты Фурье начального возмущения ф(х) удовлетворяют условию \фр\ < е(1 + Ц > п, р 6 Ъп, где е - достаточно мало. Тогда для любого р € (п/2;/х — п/2) существует единственное решение и(Ь, х) периодической задачи (6), принадлежащее классу С°([0; оо), №) П С1((0; оо), Л8) Уй > р.

Теорема 14 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда при < —> оо равномерно по х ЕП справедлива асимптотика

и(«, х) = Ве~аЬ + о (е-а<Г"), Уг/ > О,

где В = Нт еа<

юо

Вид асимптотики в периодическом случае существенным образом отличается от случая задачи Коши во всем пространстве отсутствием дополнительного степенного убывания по зависящего от размерности пространства х-ов.

В заключении анализируется влияние тех или иных условий на линейную часть нелинейность Л/* и начальные данные ф с точки зрения существования глобального решения модельной периодической задачи (1). Введем понятия «сильных» и «слабых» требований для указанных характеристик задачи:

«Сильное» требование «Слабое» требование

£ Сильная диссипация (и > 0 в (2)) Отсутствие этого

Я Симметрия нелинейности (4) Отсутствие этого

Ф Малость ||0||/1« Отсутствие этого

Выясним влияние приведенных условий на решение задачи (1), сравнив формулировки теорем 1 и 2 о локальном по времени существовании решения, а также теорем 3, 4 и 6 о существовании решения в целом по времени.

Существование решения в целом по времени обеспечивается наличием хотя бы одного из двух «сильных» требований: либо для нелинейного оператора ЛЛ либо для начальных данных ф. В случае же, когда нелинейность и начальные данные удовлетворяют одновременно «слабым» требованиям, в работе доказано существование решения задачи (1) локально по времени (с каждым из двух условий — «слабым» или «сильным» — для линейного оператора £). В связи с этим возникает вопрос: может ли в последнем случае решение задачи (1) существовать в целом по времени? Приведем пример задачи, в которой такое локальное по времени решение не может быть продолжено на всю полуось [0, +оо).

Пусть для линейного оператора £ выполнено условие диссипации (2) с V > 0 (т. е. выполнено «сильное» или «слабое» условие), Ьо = ¿о > 0; нелинейный оператор Л/" удовлетворяет условиям Аря = — 1, Вт<г = 0; начальные данные ф 6 /г8, где я > п/2 + и, причем ф(х) — вещественная функция

и ф0 = т^ъ / ф(х) йх — велико. Тогда выполнены условия теоремы 10 суще-п

ствования локального по времени решения х) периодической задачи (5) для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, принадлежащего классу С([0,Т]; /г3) ПС7Х((0, Т]; й5-"). Однако в силу замечания 2 к теореме 11 о существовании решения в целом по времени, сформулированные

выше требования обеспечивают разрушение решения за конечное время.

В приведенном примере начальные данные ф не малы в смысле нормы \\ф\\к>, а значит удовлетворяют «слабому» требованию. Нелинейность А/" также удовлетворяет «слабому» требованию, поскольку в случае выполнения условия симметрии нелинейности (4) была бы справедлива теорема 6 о существовании решения в целом по времени, а это не так.

Таким образом, можно сделать вывод, что в рамках задачи (1) наличие «глобального» во времени решения существенно связано с особенностями нелинейного оператора Л/" и начальных данных ф, в то время как свойства линейного оператора £ в значительной степени определяют класс гладкости решения в терминах индекса пространства Н3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае.

2. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в многомерном по пространственной переменной случае. Показано, что условия теоремы существования решения в целом по времени являются не только достаточными, но и необходимыми.

3. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае.

В заключение автор выражает огромную благодарность члену-корреспонденту Российской академии наук, доктору физико-математических наук,

профессору И.А.Шишмарёву за постановку задач и замечания, высказанные в ходе проведения исследований.

Автор глубоко благодарен академику Российской академии наук, доктору физико-математических наук, профессору В.А.Ильину за постоянную поддержку в работе.

Автор благодарен профессору Г.А.Калябину, доценту Г.Д.Ким и доценту В.В.Тихомирову за ценные советы по теме диссертации и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Комаров М.В. Периодическая задача для обобщенного уравнения Кол-могорова-Петровского-Пискунова// Дифференциальные уравнения. - 2001. -Т.37, №1. - С.66-72.

2. Комаров М.В., Шишмарев И.А. Периодическая задача для уравнения Ландау-Гинзбурга// Математические заметки. - 2002. - Т.72, №2. - С.227-235.

3. Комаров М.В. Периодическая задача для эволюционного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями// Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т.47, №12. - С.1705-1723.

Напечатано о готового оригинал-макета

Подписано в печать 16.10.2012 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 389.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8-495-939-3890. Тел./факс 8-495-939-3891.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Комаров, Михаил Владиславович

Введение

1 Периодическая задача для уравнения, содержащего квадратичную и кубическую нелинейности

1.1 Постановка задачи, обозначения.

1.2 Числовые неравенства.

1.3 Локальное по времени существование решения

1.3.1 Случай отсутствия сильной диссипации

1.3.2 Случай сильной диссипации. Сглаживание решения

1.4 Существование решения в целом по времени и асимптотика

1.4.1 Случай малых начальных данных.

1.4.2 Случай немалых начальных данных.

1.5 Осциллирующая асимптотика.

2 Периодическая задача для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова

2.1 Постановка задачи, обозначения.

2.2 Предварительные оценки.

2.3 Локальное по времени существование решения

2.4 Существование решения в целом по времени.

2.5 Асимптотика решения периодической задачи в случае малых начальных данных.

3 Периодическая задача для комплексного уравнения

Ландау-Гинзбурга

3.1 Постановка задачи, обозначения.

3.2 Предварительные оценки

3.3 Существование решения в целом по времени и асимптотика

Введение диссертация по математике, на тему "Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений"

Теория нелинейных уравнений, описывающих различные физические эффекты, является весьма важной и актуальной. Наиболее интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства существования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением некоторого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.

Интерес к периодическим задачам возникает по нескольким причинам. Такого рода задачи можно рассматривать, например, в случае, когда среда обладает периодической структурой: кристаллы, клеточная ткань, композитные материалы. Асимптотика решений подобных задач имеет особенности, отличающие ее от асимптотики решений задачи Коши (см., например, [1-3]). Периодические по пространству решения могут быть использованы для описания поведения при больших временах нестабильных волн, которые предшествуют состоянию турбулентности (см. [4]).

Периодические задачи для известных нелинейных уравнений исследовались в большом числе работ. Так, например, в работе [5] рассматривается

27г-псриодическая задача для уравнения Бюргерса

Щ - иих - Хи - ихх = О, X е [-7Г, 7г], Л < 1, (1) с немалыми начальными данными из Ь2. Показано, что решение задачи существует в целом по времени, единственно и сглаживается при любом £ > 0. Также найдена асимптотика решения в равномерной по отрезку [—7Г, 7г] метрике.

В работе [6] исследуются 1-периодические вещественные решения для уравнения Кортевега-де Фриза щ 4- иих + аи + еиххх = 0, х е [0,1], (т > 0, е > 0, (2) и уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса щ + иих - 5ихх + еиххх = 0, х е [0,1], 6 > 0, £ > 0. (3)

Показано, что если параметры 6 или а больше некоторых критических значений, связанных с нормой начальных данных, то диссипация превалирует над нелинейностью и дисперсией, решение периодической задачи существует в целом по времени и равномерно ограничено. В статье [7] рассматривается 1-псриодическая задача для уравнения (3) с добавленным в левой части возмущением ихххх. В случае, когда начальные данные принадлежат пространству И3, авторы оценивают поведение решения при больших временах, используя метод приближений но Галсркину. Авторы статьи [8] применяют методы спектральной теории в доказательстве сглаживающих свойств решений 1-периодической задачи для уравнения (2). В случае малых начальных данных показано экспоненциальное убывание при больших временах решения к среднему по периоду в И,2 значению начальных данных.

В работе [9] используется метод спектральной теории для анализа 2-к-периодических вещественных решений задали для обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского /(«) + 9ои + аихх + (Зиххх + ^ихххх — 0, до, а, 7 > 0. (4)

Показано, что при определенных требованиях на нелинейность /(и) существует единственное классическое решение указанной задачи и приводится оценка скорости убывания Ь2-нормы данного решения.

В 2000 г. И.А.Шимарёвым совместно с его учениками П.И.Наумкиным и Е.И.Кайкиной была разработана (см. [1]) методика, позволяющая единым образом исследовать асимптотическое поведение решений (в определенном смысле) периодических задач для уравнений вида (1)-(4) с нелинейностью 2-го и 3-го порядков. Согласно этой методике рассматривается 27г-периодическая задача для модельного нелинейного эволюционного уравнения

Щ+М{и) + £и = 0, * > 0, х е П,

5) и(0,х) = ф(х), жбО.

Здесь = [0, 27г], решение и начальные данные ф(х) предполагаются 27г-периодическими по переменной х комплексными функциями. Линейная часть С и нелинейность Л/* задаются в виде псевдодифференциальиых операторов с коэффициентами Ьр, Лт, называемыми символами операторов

Си = ^~2^рхЬрир, V

АГ (и) = ^ егрх I Ар>чир-дич + гВр^гПр^Щ+гЩ р V я я

Здесь ир = (1/27г) § е~грхи{1, х) йх — коэффициенты Фурье, ^ означает п р суммирование по всем р € й, черта обозначает комплексное сопряжение.

Нетрудно убедиться, что для уравнения Бюргерса (1) символы операторов удовлетворяют равенствам Ьр = —Л + р2, Арл = —гр/2, Вр^г = 0; для уравнения Кортевега-де Фриза (2) — равенствам Ьр = а — яер3, Арл = 1р/2, = 0; для уравнения Кортевсга-де Фриза-Бюргерса (3) —равенствам Ьр = 5р2 — {ер3, = 1р/2, ВРЛ Т = 0; для уравнения Курамото-Сивашииского (4) с нелинейностью /(«,) = алш^ + Ьи2их — равенствам Ьр = д0 - ар2 - + 7р4, = {ар/2, = гбр/3.

В работе И.А.Шишмарёва и учеников [1] предполагается, что линейный оператор £ удовлетворяет условиям диссипации

Ые£р ^ ИеЬо +/х|РГ, /О 0, и ^ 0, (6) где ре 2 \ {0}, а нелинейный оператор Л/* — условиям а^О, ( > 0, (7) где р,д,г £ (р) = \/1 + |р|2. Пусть величина 5" определена формулой 1 . (»-о в которой х = 2, если в операторе Л/" отсутствует кубическая нелинейность, и х = 3 — если присутствует. Обозначим символами /// дискретный аналог пространства Соболева с нормой И^О^ИЛ» = ^1{р)2з\'Фр\2р

И.А.Шишмарёвым и учениками были получены (см. [1]) следующие результаты.

Теорема 1* (Существование в целом по времени и асимптотика в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет условиям диссипации (6) с ВвЬ0 > О, г/ > 0.

2) Нелинейный оператор ]\[ удовлетворяет оценкам (7) с а Е [0, и].

3) Начальные данные ф Е в > 5, ^ £, £ — достаточно мало.

Тогда существует единственное решение и(Ь,х) Е С°([0,+оо);Л®) периодической задачи (5). В случае и > 0 решение также принадлежит пространству С1 ((0,+оо); т.е. сглаживается при любом £ > 0. Кроме того, справедливо следующее асимптотическое представление решения при £ —»■ оо; равномерное по х 6 [0, 27т]

Требование малости начальных данных в теореме 1* может быть опущено, если нелинейный оператор Л/" задачи (5) удовлетворяет дополнительному условию симметрии нелинейности где J — псевдодифференциальный оператор, символ Jp которого удовлетворяет неравенству 1< С(р)г для некоторого г.

Теорема 2* (Существование в целом по времени и асимптотика в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) С удовлетворяет (6) с 11е£о >0, и ^ 0.

2) М удовлетворяет (7) с а Е [0, и] и условию (8) с г > 5.

3) ф Е Н3, е случае V > 0 и ф Е Нг в случае и — 0. Тогда справедлив результат теоремы 1 *.

Наличие дополнительных требований к нелинейности ЛУ позволяет получить другой тип асимптотики решения периодической задачи (5). и(і, х) = І/е-1** + О (е~хі) , и Е С, х > КеЬ, о •

Теорема 3* (Осциллирующая асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) С удовлетворяет (6) с КеЬо = 0, и = 0.

2) Л/* удовлетворяет (7) с а = 0 и условиям Ло,о = 0, -Во,о,о = вир^ С, где 0(£) — вещественная, непрерывная функция. ¿>о

3) фе /г5, й > Б, \\ф\\ня ^ £ ~ достаточно мало.

Тогда существует единственное решение и(1,х) Е С°([0, +оо); /г5) периодической задачи (5). Кроме того, существуют единственные вещественные числа и, Ф, такие что справедливо следующее асимптотическое представление решения при £ —»• оо; равномерное по х 6 [0, 2тт] и{г,х) = иехр -Щ2 + 0(е"*<), х>0.

Другим известным классом нелинейных уравнений, интерес к которому впервые возник в 1937 году, является уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова [10] тп щ + ^2а1и1 + Ки = 0, хешп,п^1, (9)

1=2 в котором - вещественнозначная функция, ., ат — постоянные коэффициенты, К и — линейный оператор порядка а, который в случае задачи Коши удобно записывать в виде обратного преобразования Фурье

К" а в случае периодической задачи — в терминах рядов Фурье

Здесь и{Ь,р) и ир(Ь) —прямое преобразование Фурье и коэффициенты Фурье соответственно.

Уравнение (9) возникает при описании нелинейных процессов типа «реакция-диффузия», имеющих различную природу: распространение доминантного гена по заселенной территории [10], изотермическое распространение пламени [11, с. 226], химическая кинетика [12].

В 1999 г. И.А.Шишмаревым была исследована (см. [13]) задача Коши для уравнения (9) в многомерном по пространственной переменной случае. Была получена асимптотика при больших временах классического решения данного уравнения.

Помимо задачи Коши, для уравнения (9) естественно также исследовать периодическую задачу. Она появляется в случае, когда среда, в которой рассматривается процесс, обладает периодической структурой. Примером такой постановки является задача распространения нервных импульсов по клеточной ткани [14,15].

Еще одним важным нелинейным уравнением, привлекающим к себе внимание с 1950 г., является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга [16] щ + \\и\2и + аи - О + г/3)Ди = 0, х € Мп. (10)

Здесь а, а, /3 — вещественные числа, Л — комплексное, решение и(Ь,х) — комплекснозначная функция, Д —оператор Лапласа.

Уравнению Ландау-Гинзбурга посвящено значительное количество работ, изучающих сверхпроводимость [16], динамику жидкости [17], химическую кинетику [18].

В 1995 году И.А.Шишмарёвым и М.Цуцуми была исследована (см. [2]) задача Коши для уравнения (10) в многомерном по пространственной переменной случае и получена асимптотика решения.

Помимо задачи Коши для уравнения (10) так же, как и для уравнения (9), можно рассматривать периодическую задачу. Так, например, в работе [4] исследуются вопросы существования решения периодической задачи для комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга.

М = (г + С0)АХХ + (Со/СОЛ + (г - Со/С^А^А с гладкими начальными данными. Для случаев Со = 0 и Со, С1 > 0 доказано существование классических решений в целом по времени, в то время как в случае Со < 0 и одновременно С\ > 0 показано, что решение может разрушится (разрушение типа «взрыв») за конечное время при любых, сколь угодно малых начальных данных.

В статье [20] рассматриваются вопросы существования периодических на (¿-мерном торе решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга дхА = ЯА + (1 + ги)АА - (1 + щ)\А\2аА, х еТй, Я > 0, а е N.

Доказывается существование в целом по времени слабых решений, а также локальное по времени существование и сглаживание единственного классического решения задачи для достаточно малых (в смысле нормы пространства Ь°°) начальных данных. При этом не исключается возможность разрушения решения данной диссипативной модели за конечное время.

Целью данной работы является, во-первых, обобщение результатов, полученных И.А.Шишмарёвым и его учениками для периодической задачи (5) в одномерном по пространственной переменной случае, на п-мерный случай. Во-вторых, исследование изменения асимптотики решения уравнений (9), (10) при переходе от задачи Коши к периодической задаче в п-мерном по пространственной переменной случае.

Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в данной работе. Для этого внесем необходимые изменения в ранее приведенные формулы. В формуле (5) и всюду далее будем полагать П = [0, 2тх\п. В определении операторов £ и J\f (см. с. 5) заменим егрх на ег(р'х\ где (р, х) — скалярное произведение векторов р и х. Знак будет означать суммирор вание по всем векторам р с целочисленными координатами (pi,. ,рп)- В условиях (6) и (7) будем полагать p,q,r £

В главе 1 рассматриваются условия существования и различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах решения периодической задачи для модельного нелинейного уравнения (5) в многомерном по пространственной переменной случае.

В §1.1 приводятся постановка задачи, основные определения и обозначения.

В §1.2 сгруппированы часто используемые в доказательствах числовые неравенства.

Лемма 5 (Оценка сверток в пространстве hs)Пусть s > n/2 + C- Тогда для всех значений параметра а ^ 0 и всех (p(x),ip(x), х{х) £ hs+CT справедливы оценки v \ q /

Р \ q,Г ) с (ы\итш\1+ы\ш\илх\\1 + м\1Шыь+°).

Доказательство оценки для кубической свертки в этой лемме основано на использовании оценки для квадратичной свертки. Это означает возможность применения индукции по степени нелинейности для обобщения результата на случай нелинейности более высокого порядка.

На основании принципа сжимающих отображений в № и леммы 5 доказывается следующее утверждение.

1) Линейный оператор £ удовлетворяет (6) с и = 0, ¡1 ^ 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (7) с а — 0.

3) Начальные данные 0 е /г5, в > п/2 +

Тогда существует единственное решение гг(й, х) периодической задачи (5), принадлежащее классу С([0,Т}\/гя); где Т = 1{еЬо) > 0. В доказательстве теоремы приводится оценка снизу времени существования решения. Это существенно используется в методе продолжения решения при доказательстве существования решения в целом по времени.

Случай сильной диссипации, когда линейный оператор £ удовлетворяет условию (6) с V > 0, рассматривается в пункте 1.3.2. Вводятся функциональные пространства Ху, Ут с нормами

Т > 0.

Здесь Ep(t) = ext+^H, A < ReL0, О < щ < mm(l,i/), О < fii < ц. Наличие функции Ep(t) в вышеприведенных нормах позволяет доказать сглаживание решения задачи (5) при любом t > 0, а также экспоненциальное убывание нормы ||u(t, ^Ц^ решения.

Для пространства Xт в лемме 8 доказывается теорема вложения

Хт С С([0, T]; hs) П С((0,71]; h1), VI > s.

Определим индекс So пространства hs по правилу с def (г п . л ^-¿Л ^ п

Sо = max К-сг, J ' и ^ ' где х = 2 в случае наличия только квадратичной нелинейности в задаче (5) (Вр^г = 0 в определении Ai (и)) их=3в противном случае.

Принципиальное значение для доказательства теорем существования в случае сильной диссипации имеют следующие две леммы. Лемма 10 (Оценка квадратичной свертки в пространстве Yт) Пусть х = 2, а G [0, и), у > 0, s > So. Тогда для всех £ Хт и всех е G [0, £о] справедлива оценка Т V

2s+2<T-2C [ Ep(t) - q)Hq)Ç\<Pp-4\Ш dt < р \о ч ) ст^М2ХтШ\2хг

Лемма 11 (Оценка кубической свертки в пространстве Yp) Пусть х = 3, с7 G [0,1/), v > 0, s > Sq. Тогда для всех £ Xp и всех е G [0, £о] справедлива оценка

Г£I \ 2

СТ^М\т\ЩЫ\хГхт

На основании принципа сжимающих отображений в X? и лемм 10, 11 доказывается следующее утверждение.

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с у > 0, /х > 0.

2) Нелинейный оператор ЛГ удовлетворяет (7) с сг € [0, у).

3) Начальные данные ф £ /г\ я > ¿о

Тогда существует единственное решение х) периодической задачи (5), принадлежащее классу С([0, Т1]; /г.5) П С1((0, Т]\/г/), V/ > б, т. е. сглаживающееся при любом t > 0; при этом Т = Т(\\ф\\^, Яе!^, у, (л) > 0. В доказательстве теоремы 2 также приводится оценка снизу времени существования решения, что необходимо для метода продолжения решения на всю полуось.

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с > 0, у = 0, ц ^ 0.

2) Нелинейный оператор // удовлетворяет (7) с сг = 0.

3) Начальные датше ф 6 б > 5о, ||0||/г8 ^ £ф, Еф — достаточно мало.

Тогда существует единственное решение и(£, х) периодической задачи (5), принадлежащее классу С([0, +оо);

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с > 0; ^ > О, ^ > 0.

2) Нелинейный оператор N удовлетворяет (7) с а е [0, и).

3) Начальные данные ф € й > 5о, ||0||лз ^ £Ф> £ф — достаточно мало.

Тогда существует единственное решение х) периодической задачи (5), принадлежащее классу С([0, +оо); Л,4-) П С1((0,+оо);/?/), V/ > в, т. е. сглаживающееся при любом £ > 0.

Теорема 5 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выпол?1ены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с КеЬ0 > 0, г/ ^ 0, ц > 0.

2) Нелинейный оператор Л/" удовлетворяет (7) с а = 0 в случае и = 0 и а Е [0, и) в случае и > 0.

3) Начальные данные ф € /г/9, в > 5о, ^ £ф, £ф — достаточно мало.

Тогда для единственного решения и(Ь,х) периодической задачи (5), принадлежащего в случае и = 0 классу С([0, +оо); /гв), а в случае и > 0 — классу С([0, +оо); /г6') П С1((0, +оо); К1)) \/1 > в, справедливо следующее асимптотическое представление при £ —» оо, равномерное по х € П где 17 — некоторая комплексная постоянная, 5 либо произвольное малое положительное число (в случае ¡1 > КеЬо и одновременно и > 0 или в случае ц = ИеЬо), либо равно нулю (в остальных случаях).

В пункте 1.4.2 параграфа 1.4 условие симметрии нелинейности (8) используется в методе энергетических неравенств для снятия любых ограничений на малость начальных данных. Этот подход позволяет доказать следующие два утверждения.

Теорема 6 (Существование решения в целом по времени и сглаживание в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены, следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с 11е£о > 0, причем (1^0 в случае и = 0 или д > 0 в случае и > 0.

2) Нелинейный оператор Л/* удовлетворяет (7) с а = 0 в случае V = О или с а Е [0, и) в случае у > 0 и условию симметрии нелинейности (8) с оператором 7 порядка г > во.

3) Начальные данные ф Е ¡гг в случае у — О или ф £ №, где в > ¿о, 6 случае и > 0.

Тогда существует единственное решение х) периодической задачи (5), которое в случае и — 0 принадлеэюит классу С([0, +оо); к7'), а в случае и > 0 — классу С([0, +оо); /г*) П (^((О, +оо); И1), \/1 > в, т. е. сглаживается при любом t > 0.

Теорема 7 (Асимптотика решения в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для единственного решения и(Ь,х) периодической задачи (5) из класса, указанного в теореме 6, справедливо асимптотическое представление при t —>• оо; указанное в теореме 5.

В §1.5 получена осциллирующая асимптотика решения. Для этого задача (5) записывается в терминах коэффициентов Фурье и в полученной системе подробно исследуется асимптотическое поведение нулевой гармоники решения. В параграфе доказаны два утверждения. Теорема 8 (Существование решения в целом по времени в случае осциллирующей нелинейности и малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с Ке£о — 0, и = О, ц> 0.

2) Нелинейный оператор Л/" удовлетворяет (7) с а = 0 и условиям А),о = О, А),о,о = где 9{Ь) — вещественная, непрерывная функция.

3) Начальные данные ф € в > 5о, И^Ил» ^ £> Е ~ достаточно мало. Тогда существует единственное решение х) периодической задачи (5), принадлежащее классу С([0, оо);/?/5).

1) Линейный оператор С удовлетворяет (6) с ИеЬо = 0, и = О, [1 > 0.

2) Нелинейный оператор Д/" удовлетворяет (7) с а = 0 и условиям у4.о,о = 0, -Во,о,о — №(1), где #(£) — вещественная, непрерывная функция, такая, что |0(£)| ^ Се210*, 0 < 7о < ¡л.

3) Начальные данные ф Е Н3, я > 5о, \\ф\\ия ^ £ достаточно мало. Тогда для единственного решения и{Ь,х) задачи (5), принадлежащего классу С([0, оо); №), справедливо следующее асимптотическое представление при £ —» оо; равномерное по х Е О и{Ь,х) = иехр - - ЦЩ2 19{т)йт^ + 0(е~Л), где 17, Ф — некоторые вещественные постоянные, 6 — произвольное число из интервала (0, гшп{2(/л — 7о), /¿}).

В главе 2 получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискуиова (9) в случае малых начальных данных.

В §2.1 приводится постановка задачи и используемые обозначения.

2) начальное возмущение ф(х) £ р > п/2 + а.

Тогда на промежутке времени £ 6 Ф = [О, Т] существует единственное классическое решение и{1,х) задачи (9), причем время Т существования решения зависит от нормы ||0(ж)||р.

В §2.4 доказано следующее утверждение. Теорема 11 (Существование решения в целом по времени) Пусть выполнены следующие условия:

2) ^ £ > 0 достаточно мало, р > п/2 + а.

Тогда при всех £ ^ 0 существует единственное классическое решение и^,х) задачи (9).

В замечании к приведенной теореме показано, что оба условия теоремы являются необходимыми: в случае невыполнения одного из них решение может разрушится за конечное время.

В §2.5 доказано следующее утверждение. Теорема 12 (Экспоненциальная асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия: 1) Символ Кр удовлетворяет условиям:

1) КеКр ^ -Ь0, 60 ^ 0, ре Ъп]

1)КеКр ^ Ь > О, р е % п .

КеКо ЕЕ К0 > О о, р = о

V > о, Р ф о

2) Начальные данные \фр\ ^ £i(l + Н)-л для всех р £ Ъп, Е\ > 0 достаточно мало, Л > п + а.

Тогда при t оо равномерно по х £ ÇI справедлива асимптотика для решения u(t, х) задачи (9): u(t, х) = Be~Kot + О , и = min(Ä"0, ß) > О, где

В = lim eKot t—»oo

В главе 3 получена асимптотика классического решения периодической задачи для уравнения Ландау-Гинзбурга (10) в случае малых начальных данных.

В §3.1 приводится постановка задачи о используемые обозначения. В §3.2 доказываются вспомогательные утверждения и априорные оценки.

В §3.3 доказаны следующие утверждения. Теорема 13 (Существование и единственность решения) Пусть выполнены, следующие условия: а > 0, а > 0; а коэффициенты Фурье начального возмущения ф(х) удовлетворяют условию \фр\ ^ е(1 + \р\)~^, ¡jl > n, р £ I/1, где е - достаточно мало. Тогда для любого р £ (п/2;/л — п/2) существует единственное решение u(t,x) периодической задачи (10), принадлежащее классу С°([0; oo), hp) П С!((0; oo), h1), V7 > р. Теорема 14 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда при t —> оо равномерно по х £ Q справедлива асимптотика u(t, х) = Be~at + о (е~аН~и) , Vi/ > 0,

-——т— [ u(t, х) dx

2тг)« J к 7 п где В = Нт еаЬ

Ь—юо п

Вид асимптотики в периодическом случае существенным образом отличается от случая задачи Коши во всем пространстве отсутствием дополнительного степенного убывания по ¿, зависящего от размерности пространства ж-ов (см. [2]).

В заключении анализируется влияние тех или иных условий на линейную часть, нелинейность и начальные данные с точки зрения существования глобального решения модельной периодической задачи с квадратичной и кубической нелинейностями.

Результаты, изложенные в работе, докладывались на научном семинаре «Нелинейные дифференциальные уравнения» кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ МЭИ, на конференции «Ломоносовские чтения», секция вычислительной математики и кибернетики (апрель 2002 г., ноябрь 2011 г., апрель 2012 г.), и были опубликованы в работах [24-26].

В заключение автор выражает огромную благодарность члену-корреспонденту Российской академии наук, доктору физико-математических наза постановку задач и замечания, выскаук, профессору И.А.Шишмарёву занные в ходе проведения исследований.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

Роль линейного, нелинейного операторов и начальных данных в теоремах существования

В рамках фиксированного класса решений периодическая задача (1.1) характеризуется линейным оператором нелинейным оператором // и начальными данными ф. Введем понятия «сильных» и «слабых» требований для указанных характеристик задачи:

Сильное» требование «Слабое» требование с Сильная диссипация (и > 0 в (1.2)) Отсутствие этого n Симметрия нелинейности (1.59) Отсутствие этого

Ф Малость || Отсутствие этого

Выясним влияние приведенных условий на решение задачи (1.1), сравнив формулировки теорем 1 и 2 о локальном по времени существовании решения, а также теорем 3, 4 и 6 о существовании решения в целом по времени.

Существование решения в целом по времени обеспечивается наличием хотя бы одного из двух «сильных» требований: либо для нелинейного оператора Л/", либо для начальных данных ф. В случае же, когда нелинейность и начальные данные удовлетворяют одновременно «слабым» требованиям, в работе доказано существование решения задачи (1.1) локально по времени (с каждым из двух условий — «слабым» или «сильным» — для линейного оператора £). В связи с этим возникает вопрос: может ли в последнем случае решение задачи (1.1) существовать в целом по времени? Приведем пример задачи, в которой такое локальное по времени решение не может быть продолжено на всю полуось [0, +оо).

Пусть для линейного оператора С выполнено условие диссипации (1.2) с и ^ 0 (т. е. выполнено «сильное» или «слабое» условие), = Ьо > 0; нелинейный оператор Л/" удовлетворяет условиям АРд = — 1, Вр^г = 0; начальные данные ф 6 где й > п/2+и, причем ф(х) — вещественная функция и 00 — / Ф(х) ^X — велико. Тогда выполнены условия теоремы 10 п существования локального по времени решения х) периодической задачи (2.1) для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, принадлежащего классу С([0,Т];/г^ П С!((0, Т];/г6'-1'). Однако в силу замечания 2 к теореме 11 о существовании решения в целом по времени, сформулированные выше требования обеспечивают разрушение решения за конечное время.

В приведенном примере начальные данные ф не малы в смысле нормы \\ф\\ка, а значит удовлетворяют «слабому» требованию. Нелинейность N также удовлетворяет «слабому» требованию, поскольку в случае выполнения условия симметрии нелинейности (1.59) была бы справедлива теорема 6 о существовании решения в целом по времени, а это не так.

Таким образом, можно сделать вывод, что в рамках задачи (1.1) наличие «глобального» во времени решения существенно связано с особенностями нелинейного оператора А/ и начальных данных ф, в то время как свойства линейного оператора С в значительной степени определяют класс гладкости решения в терминах индекса пространства /гЛ

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Комаров, Михаил Владиславович, Москва

1. E.1.Kaikina, P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Periodic problem for a modelnonlinear evolution equation// Advances in differential equations. -2002. Vol.7, N 5. - P.581-616.

2. Шишмарев И.А., Цуцуми M. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга// Мат. сборник. 1995. - Т. 190, №4. - С.95-114.

3. P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Nonlinear nonlocal equations in the theoryof waves. / Amer. Math. Soc., Vol.133. Providence, RI 1994. - 289 p.

4. Y.Yang Global spatially periodic solutions to the Ginzburg-Landau equation// Proc. R. Soc. Edinb., Sect A. 1988. - Vol.110, Part 3-4. - P.263-273.

5. P.I.Naumkin, C.J.Rojas-Milla Asymptotics of solutions to the periodicproblem for a Burgers type equation// J. Evol. Equations. 2011. -Vol.11, N 1. - P.107-119.

6. J.L.Bona, V.A.Dougalis, O.A.Karakashian, W.R.McKinney The effect ofdissipation on solutions of the generalized Kort,eweg-de Vries equation// J. Comput. Appl. Math. 1996. - Vol.74, N 1-2. - P.127-154.

7. D.Lu, L.Tian, Z.Liu Wavelet basis analysis in perturbed periodic KdVequation// Appl. Math. Mech., Engl. Ed. 1998. - Vol.19, N 11. - P.1053

8. D.L.Russell, B.-Y.Zhang Smoothing and decay properties of solutions ofthe Korteweg-de Vries equation on a periodic domain with point dissipation// J. Math. Anal. Appl. 1995. - Vol.190, N 2. - P.449-488.

9. B.Guo, X.M.Xiang The large time convergence of spectral method for generalized Kuramoto-Sivashinsky equations// J. Comput. Math. 1997. -Vol.15, N 1. - P.l-13.

10. Колмогоров A.H., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ, Механика и математика. 1937. - Т.1, Вып.6. - С.1-26.

11. Зельдович Я.В., Варенблатт Г.И., Либрович В.В., Махвиладзе Г.М.

12. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. -478 е., ил.

13. N.Kopell, L.N.Howard Plane wave solutions to reaction-diffusion equations// Stud. Appl. Math. 1973. - Vol.52, N 4. - P.291-328.

14. Шишмарев И. А. О временной асимптотике решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова// Докл. РАН. 1999. -Т.365, №4. - С.461-464.

15. A.L.Hodgkin, A.F.Huxley A quantitative description of membrane currentand its application to conduction and excitation in nerve// J. Physiol. 1952. - Vol.117. - P.500-544.

16. G.A.Carpenter Periodic solutions of nerve impulse equations// J. Math.

17. Anal. Appl. 1977. - Vol.58, N 1. - P.152-173.

18. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости// Жур.эксп. и теор. физ. 1950. - Т.20, Вып.12. - С.1064-1082.

19. А.С.Newell, J.A.Whitehead Finite bandwidth, finite amplitude convection// J. Fluid Mech. 1969. - Vol.38, Part 2. - P.279-303.

20. Y.Kuramoto, T.Yamada Turbulent state in chemical reactions// Prog.

21. Theor. Phys. 1976. - Vol.56, N 2. - P.679-681.

22. Жижиашвили Л.В. О сопряженных функциях и тригонометрическихрядах// Мат. заметки. 1967. - Т.2, №6. - С.695-702.

23. C.R.Doering, J.D.Gibbon, C.D.Levermore Weak and strong solutions ofthe complex Ginzburg-Landau equation// Physica D. 1994. - Vol.71, N 3. - P.285-318.

24. Бари H.K. Тригонометрические ряды. M.: Гос. изд. ФМЛ, 1961.936 с.

25. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5. М.: Гос. изд. ФМЛ,1959. 657 с.

26. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд.1. ИЛ, 1948. 456 с.

27. Комаров М.В. Периодическая задача для обобщенного уравнения

28. Колмогорова-Петровского-Пискунова// Дифференциальные уравнения. 2001. - Т.37, №1. - С.66-72.

29. Комаров М.В., Шишмарев И.А. Периодическая задача для уравнения

30. Ландау-Гинзбурга// Математические заметки. 2002. - Т.72, №2. -С.227-235.

31. Комаров М.В. Периодическая задача для эволюционного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями// Дифференциальные уравнения. 2011. - Т.47, №12. - С.1705-1723.