Волновые уравнеия и стохастика тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



у у -//5е/^

ныи университет

На правах рукописи УДК 517.946

РАТАНОВ Никита Евгеньевич

Волновые уравнения и стохастика

01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск-1998

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 6

1 АСИМПТОТИКА СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ 34

1. Пространственные и пространственно-временные статистические решения...................... 35

2. Статистические решения волнового уравнения. Формулировки результатов..................... 39

3. Оценки моментных функций второго порядка ...... 48

4. Сходимость корреляционных функций. Доказательство теоремы 2.3.......................... 49

5. Доказательство слабой компактности семейства мер 53

6. Доказательство теоремы 2.1. Сходимость характеристических функционалов.................... 57

7. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами . ............................. 69

2 АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ 75

1. Волновые уравнения с переменными коэффициентами. Формулы для решений ..................... . 76

2. Волновые уравнения со случайными начальными данными и переменными коэффициентами ...................80

3. Волновые уравнения со случайными коэффициентами . 93

3 ТЕЛЕГРАФНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ОТРАЖЕНИЕМ И

ПОГЛОЩЕНИЕМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 100

1. Описание результатов.........................101

2. Вывод обратного уравнения Колмогорова ...........103

3. Вывод прямого уравнения Колмогорова..................107

4. Телеграфные процессы с барьерами ...............110

4.1. Отражающие барьеры..............................110

4.2. Поглощающие барьеры..............................112

5. Решения телеграфного уравнения..........................114

6. Диффузионное приближение.....................118

7. Некоторые обобщения........................................124

ДОПОЛНЕНИЕ 1. Стабилизация статистических решений

некоторых параболических уравнений 128

1. Формулировка результатов...........................128

2. Доказательство теоремы 1.1........................136

3. Доказательство теоремы 1.2 .....................139

ДОПОЛНЕНИЕ 2. Асимптотика решений волновых уравнений со случайными постоянными коэффициентами 147

1. Формулировки основных результатов ..............147

2. Асимптотическое поведение преобразований Фурье: доказательство теорем 1.1 и 1.2 ............... 153

3. Асимптотика решений с осциллирующими начальными данными: доказательство теорем 1.3 и 1.4...... . . 157

4. Асимптотика решений с периодическими начальными условиями: доказательство теоремы 1.5............ 161

5. Пределы корреляционных функций ............ 165

ДОПОЛНЕНИЕ 3. Ветвящиеся телеграфные процессы, уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и распространение волн 168

1. Ветвящиеся телеграфные процессы ................168

2. Связь с уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова 171

3. Связь с волновыми уравнениями в средах с памятью . . 172

4. Бегущая волна ............................173

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

175

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации, главным образом, изучаются различные динамические системы со случайными параметрами. Такими случайными параметрами могут быть как начальные данные (глава 1), или коэффициенты уравнений, описывающих эти системы (глава 2), так и собственно динамика (глава 3). Объединяет эти задачи их явное и непосредственное отношение к волновым процессам. Первая и вторая главы, а также дополнения 1 и 2, посвящены изучению асимптотического поведения распределений решений волновых уравнений со случайными параметрами, когда время стремится к бесконечности. Последняя глава последовательно развивает идею М.Каца о связи случайных блужданий на прямой с телеграфным уравнением. Выведены прямое и обратное уравнения А.Н.Колмогорова для такого рода случайных блужданий в неоднородной (и неизотропной) среде, а также краевые задачи, решения которых соответствуют распеределениям процессов с отражением и поглощением.

Сама постановка этих задач имеет давнюю и богатую историю и выглядит вполне естественно как с математической, как и с физической точек зрения. Не претендуя на полноту изложения, опишем некоторые возможности применения стохастических методов к изучению свойств решений дифференциальных уравнений и к различным задачам математической физики.

Тесная связь между случайными процессами и уравнениями с частными производными давно известна. Скажем, диффузионные процессы описываются с помощью задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа: обратного и прямого уравнений А.Н.Колмогорова. С другой стороны, например, решения краевых задач для эллиптических уравнений естественно интер-

претируются с помощью диффузионных процессов. Это обстоятельство позволяет получить некоторые тонкие результаты теории эллиптических краевых задач (см., например, [18], [7]). Аналогичная связь некоторых видов случайных блужданий на прямой и гиперболических уравнений, впервые обнаруженная М.Кацем [22], также активно изучается многими математиками и физиками. Эти проблемы находятся в центре внимания и в настоящей диссертации (глава 3).

Параллельно существующая и тесно связанная с описанными выше проблемами теория стохастических дифференциальных уравнений предполагает, что коэффициенты уравнения и/или начальные (краевые) условия являются случайными. С одной стороны это теория диффузионных процессов и теория интегрирования Ито, с другой - теория статистических решений дифференциальных уравнений с частными производными . Сюда же можно отнести активно развивающуюся теорию стохастических уравнений с частными производными. В значительной степени интерес к этой области обусловлен потребностями теории устойчивости стохастических систем, основы которой заложены в широко известной статье А.Я.Каца и Н.Н.Красовского [21], а также в работах Р.З.Хасьминского ( см. [56]). Следует отметить, что стохастические дифференциальные уравнения являются мощным инструментом изучения не только динамических систем, поведение которых определяется случайными параметрами, но и самих случайных процессов.

В первых двух главах диссертации изучаются эволюционные уравнения и их стохастические решения. Впервые такие постановки задач применялись Э.Хопфом [72] и Ч.Фояшем [63] для описания моделей турбулентности. Впоследствии этот подход был распространен и на другие задачц гидродинамики М.И.Вишиком, А.В.Фурсиковым, А.И.Комечем [8]^и другими математиками. Следует отметить также близкие по со-

держанию многочисленные работы школы Р.Л.Добрушина (см., например, [13]-[14], [44]-[45], [53], [61], [67]-[70], [105] и другие), посвященные математическому обоснованию статистической механики.

В первой главе диссертации изучаются так называемые статистические (или стохастические) решения волнового уравнения с (локально) переменными коэффициентами. Говоря другими словами, мы рассматриваем задачу Коши вида

-¡¡¡¡и(х, £) = £-а^(х)-£-и(х, £) - а0(х)и(х, ¿),

ж € ПГ, Ь > 0, (1)

. и |<=0= и°(х), щ |<=0= ^(х), X е ИГ

со случайными функциями ио = (и0, и1) в качестве начальных данных. Всюду в дальнейшем предполагается, что коэффициенты уравнения (1) - достаточно гладкие функции и удовлетворяют условию эллиптичности:

у^епг. (2)

Кроме того, ао(х) > 0.

Эта постановка задачи связана с одним из направлений в обосновании статистической физики, намеченным Р.Л.Добрушиным (см. [13], [14]). Она была предложена впервые А.И.Комечем в 1979 году в качестве темы моей кандидатской диссертации. Следует отметить, что такая постановка задачи для уравнений с частными производными в сочетании с условиями перемешивания ранее в литературе не рассматривалась. Различные результаты в этом направлении изложены в работах [35] [43], [46], [80] [82], [90] [101]. Изучение задачи (1) со случайными начальными данными, удовлетворяющими условиям перемешивания, составляло основное содержание кандидатской диссертации автора [39], защищенной в 1984 году. Впоследствии аналогичные задачи для уравнения Клейна-Гордона изучались в работах А.И.Комеча и Е.А.Копыловой (см. [24], [79]). Существует обширная литература по

статистическим решениям уравнения Бюргерса и их асимптотике при £ оо (см., например, [27] и цитированную там литературу).

Первая глава настоящей диссертации восполняет некоторые пробелы [39] и распространяет результаты [39] с пространственных на пространственно-временные статистические решения.

Для удобства ссылок сформулируем основные понятия и результаты в этой области.

Пусть на пространстве % начальных данных ио = и1) задана (вероятностная) мера ¡л = /л(А), определяющая вероятность, с которой 110 = (ии1) принадлежит (борелевскому) множеству А С Предположим, что решение и = и(х, £) задачи (1) при всех ио € И существует и принадлежит некоторому пространству V. Различают пространственные и пространственно-временнь1е статистические решения. Пространственно-временным статистическим решением называется вероятностная мера Р, сосредоточенная на множестве решений •)} С V задачи (1), сужение которой на {£ — 0} совпадает с исходной мерой [1. Последнее условие следует понимать так, что меры Р и /л связаны соотношением Р{и(-, ¿) : «(•, 0) € А} — /л(А). Сужение пространственно-временного решения Р на гиперплоскость определяемую произвольным фиксированным определяет пространственное статистическое решение /х* = •).

Статистические решения можно интерпретировать и в терминах образов мер при отображениях. Пусть оператор V сопоставляет начальным данным ио = (и0, и1) решение и — и(х, ¿),и 6 V задачи (1). Пусть т{и, — и(-, £) - оператор сужения функции и(х, 6 И1п, £ > 0 на гиперплоскость с фиксированным

Тогда

Р(А) = У*М(А)=ц(У-1(А)), щ(В) = ЬУ)^(В) = Р{и : Ъи € В].

Как уже отмечалось выше, статистические решения дифференциальных уравнений с частными производными (поначалу только пространственные) были впервые введены в обиход в работах Э.Хопфа [72] для описания турбулентных потоков в гидродинамике. Им было выведено уравнение вариационных производных, которому удовлетворяет характеристический функционал семейства мер t > 0. Задача Коши для этого уравнения была впервые решена Ч.Фояшем [63] и Ж.Проди. Изучению этих проблем было посвящено немало работ других авторов. Фундаментальный обзор и анализ этой проблематики был предпринят в монографии М.И.Вишика и А.В.Фурсикова "Математические задачи статистической гидромеханики" [8]. Акцент в этих работах естественно ставился на проблеме существования и единственности статистического решения, что особенно актуально в отсутствие теорем единственности индивидуальных решений.

Другим мощным источником идей в этой области, стимулировавшим данную работу, оказалась теория предельного поведения сумм слабо зависимых случайных величин. Эта теория обобщает классическую центральную предельную теорему на последовательности зависимых случайных величин, зависимость между которыми ослабевает с увеличением расстояния между ними. Исторически первый результат в этом направлении опубликован С.Н.Бернштейном [1] в 1944 году. В современном ее виде эта теория опирается на работы И.А.Ибрагимова и Ю.В.Линника (см. [15], [16]), а также М.Розенблатта [104]. В дальнейшем эта теория была широко обобщена на интегралы (или, говоря более общим образом, на аддитивные функционалы) от случайных процессов (В.А.Волконский и Ю.А.Розанов [9], Я.Г.Синай [50] и др.) и случайных полей (A.B.Булинский, И.Г.Журбенко [3]-[4], Н.Н.Леоненко и А.В.Иванов [26], М.И.Ядренко [58] и др.).

В работах А.В.Булинского и И.Г.Журбенко рассматривались ад-

дитивные случайные функции, в частности, интегралы от случайного поля, взятые по параллелепипедам, размеры которых стремятся к бесконечности. В работах Н.Н.Леоненко и М.И.Ядренко (см., например, монографии [26] и [58]) кроме того, изучается и асимптотика сферических средних, когда радиус сферы стремится к бесконечности.

Изучение асимптотики статистических решений волнового и других гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными было предпринято впервые в работах автора [35]—[41], [90], составивших основу кандидатской диссертации [39]. Приведем здесь для удобства ссылок главные результаты [39]. Сначала точно сформулируем условия ослабления зависимости, упомянутые выше.

В работе предполагается выполнение условий сильного или равномерно сильного перемешивания (см. [35]). Подобного рода условия впервые использовались И.А.Ибрагимовым [16], М.Розенблаттом [104] и некоторыми другими авторами для доказательства предельных теорем для последовательностей зависимых случайных величин. Обозначим для любого множества X С Ип через Мх наименьшую <т-алгебру борелевских подмножеств И, "порожденную" значениями и(гс) , х Е X С тп.

Определение. Будем говорить, что мера ц. на пространстве (Н, В) удовлетворяет условию сильного перемешивания (М.Розенблат-та - ср. [104]), если

а(Н) = вир^А П 5) - ц(А)(1(В)\ ¿0, к оо. (3)

Здесь верхняя грань берется по всем А £ Л4х, В 6 Л4у и всем выпуклым областям X, У € Ш™ с сИв^Х, У) > И > 0.

Будем говорить, что мера ¡л на пространстве ('Н, В) удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (И.А.Ибрагимова

- ср. [16]), если

1р(Ь) = вир- -' у 4- 0, /г —оо. (4)

Здесь, как и выше, точная верхняя грань берется по всем А е Б € Л4у и всем выпуклым областям X, У £ И" с У) > к > 0. Такие

меры ¡л существуют: например, гауссовское распределение с финитной корреляционной функцией. Другие примеры приведены в [39].

Кроме того, предполагается, что мера /г обладает нулевым средним и конечной средней плотностью энергии:

1ни(х)^и)= 0, (5)

ё0= [(\и°(х){2 + \ ^и°(х)\2 + \и1(х)\2)^и) <оо, хеШп. (6)

В случае выполнения условия сильного перемешивания (3), более слабого, чем (4), накладываются дополнительные ограничения на моменты исходной меры д. Именно, требуется, чтобы вместо условия (6), означающего конечность вторых моментов, выполнялось условие:

при некотором 6 > 0 ё(5) = 1н{\и°{х)\2+5 + | у + < оо, гс 6 ИГ. (7)

От коэффициентов перемешивания а(Н) и (р{К) требуется достаточно быстрое убывание при К —> со. Мы предполагаем выполнение одного из следующих условий:

¡о°° ЛВ"У/2(Л)сГЛ < оо, (8)

I™ Лп-2ат,'п(зЫ)(Л)<*Л < оо. (9)

В диссертации [39] изучается, в частности, асимптотика статистического решения уравнения

г) = * € к.", г > о. (10)

Здесь и ниже размерность пространства п > 3 нечетна. Для случая четного п похожие на приведенные ниже результаты также справедливы. Однако следует отметить, что в случае четной размерности предельные распределения оказываются сосредоточенными на константах.

матрицу случайной функции и0 € И = Н¿с ф 1/2,ье- Пусть £Уо(£), t £ Ж - семейство операторов на Н, сопоставляющих начальной функции ио € % решение задачи (10) и его производную по £ в момент времени Р.

Пусть у) - корреляционная матрица случайной функции £/о(£)ио-

Здесь £ — £{г) - фундаментальное решение оператора Лапласа в Ж™, * означает свертку двух функций. В [39] доказаны теоремы об асимптотической нормальности (пространственных) статистических решений уравнений (10) и (1).

Основной результат состоит в доказательстве слабой сходимости статистических решений уравнений (10) и (1) к нормальному распределению. Схема доказательства - следующая. Сначала устанавливается факт стабилизации корреляционных функционалов. Затем проверяется утверждение о слабой компактности на соответствующем пространстве семейства мер, образующего статистическое решение. При этом обычно используются различного рода энергетические неравенства и утверждения о компактности вложения функциональных пространств. Наконец, доказывается сходимость характеристи ческих функционалов решения к характеристическому функционалу нормального распределения.

Обозначим через у) — Чо{х — у) = (яо{х — у)) корреляционную

(п)

Положим

(12)

Стабилизация корреляционных функционалов при t оо составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 1. Если распределение ц начальных данных ио = (и0, и1) Е "Н задачи Коши для уравнения (10) удовлетворяет условиям (4)~(6), (8) (или (3), (5), (7) и (9)), то

у), 01(х)в2{у)) у), в1(х)в2(у)}, Ь оо (13)

^ъ #2 € С^°(Ш,П), ¿,¿=0,1.

Следующая теорема утверждает, что статистические решения /4°^ уравнения (10) - асимптотически нормальны.

Теорема 2. Пусть /4°^ -распределение случайной функции ио(Ь)ио. Если выполнены условия предыдущей теоремы, то

/40) Мое, £ -> ОО (14)

слабо на = Я^ТЧ®") ф Я^(П1П) Уе > 0. При этом ^ - гауссова однородная мера, с корреляционной функцией заданной в (12).

Утверждение (и доказательство) теоремы 2 основано на следующем наблюдении. Ретттение за.дачи Коттти для уравнения (10) да,ется, как известно, формулой Кирхгофа в виде интеграла по сфере Бц радиуса Я = со£, деленного на АжсУ, ~ Ввиду асимптотической независи-

мости ио(ж) и и0(у) при \х — у| оо получается таким образом, что ретттение ?/(.г, £) при I —>■ оо имеет, грубо говоря, вид

1 £

где 7]1,..., гудг - слабо зависимые (при N ~ Ь —> оо) величины.

Аналогичные результаты имеют место и для локальных возмущений уравнения (10). Выражаясь точнее, предположим, что коэффициенты уравнения (1) а^(х) = при |ж| > йо-

Кроме этого, предполагается выполнение так называемого условия неловушечности (см. условие Д на с.234 в [5]), заключающегося в уходе на бесконечность при £ —> оо бихарак�