Основы квантовой механики в метрических теориях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г) '1 Г; 9, ■

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.ИДЕНИНА

На правах рукописи

ШШАА АХМЕД ШВД

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В МЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

(01.04.02 - теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Горбацевич А.К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.(Зтражев (г.Минск);

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Н.Н.Коетю-нович (г.Минск)

Ведущая организация: Институт физики АН Республики Беларусь .

Защита состоится 3 апреля 1992 года в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.09 по присуждению ученой степени кандидата наук в Белгосунивер-едтете имени В.И.Ленина (220050, проспект Ф.Скорины, 4, главный корпус, к.206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бел-госуниверсигета имени В.И.Ленина

Автореферат разослан " $ Я " марта 1992 г.

Ученый секретарь Совета

кандидат физ.-иат,. наук А.В.Ивашин

т.1.; I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

,;АкТ.\

альность теш. В рамках проблемы объединения кван-

' т'ойЖ'Аёории и общей теории относительности (ОТО), являющейся одной из наиболее актуальных проблем, стоящих перед современной теоретической физикой, наиболее активно обсуждаются два взаимосвязанных и дополняющих друг друга 1фуга вопросов.

Во-первых, это - вопросы, связанные с возможностью совмещения принципов, лежащих в основах квантовой теории и ОТО. Во-вторых, ото - вопросы, носящие более прикладной характер и посвященные использованию квантовомеханических систем для детектирования гравитационных полей. Очевидно, что влияние внешних гравитационных полей на квантовые системы в большинстве случаев будет весьма малым. Однако, как это следует из выражения для приливных сил, оно может достигать заметных значений в сильных гравитационных полях иди в случае макроскопических квантовых систем. Имея в виду эксперименты в земной лаборатории, предпочтение несомненно следует отдать изучении макроскопических квантовых эффектов, таких как, например, интерференция нейтронных пучков, прецессия спина, эффект Дтозефсона и др. При этом возникает потребность в квантовомеханическом описании эффектов такого рода, пригодном в случае использования нак общей теории относительности, так и других метрических теорий гравитации для задания гравитационных полей.

Целью диссертационной работы является построение инвариантной (не зависящей ни от выбора системы координат, ни от выбора 7Г -матриц) квантовой механики, позволяющей описывать квантовые эффекты в произвольных системах отсчета при учете внешнего гравитационного поля, задаваемого в рамках различных метрических теорий гравитации, и пригодной для непосредственного применения.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые на основе ППН-формализма получены явные выражения для оператора Гамильтона в произвольных системах отсчета в слабых гравитационных полях, описываемых в рамках различных метрических теорий гравитации. Работа содержит следующие оригинальные результаты, полученные автором впервые:

1. В работе показано, что в качестве оператора обоб- • щенного импульса может бить использован оператор, генерируемый 3-мерными полями Якоби. Исследованы свойства этого оператора и найдено его явное выражение в координатном представлении.

2. Получено явное выражение оператора Гамильтона в слабых гравитационных полях как в квазиинерциальной системе отсчета, так и- в движущейся призвольным образом системе отсчета одиночного наблюдателя.

3. Дано ковариантное определение оператора тока и установлена его связь с плотностью дираковского тока.

4. Дана оценка' влияния поля кручения на энергетические уровни свободного электрона в однородном магнитном поде.

Практическая значимость работы. В диссертации рассматриваются теоретические вопроси. Ее выводы и результаты могут найти применение при подготовке и проведении гравитационных квантовомеханических экспериментов, а также при их интерпретации.

Структура работы/Диссертация об-ьемом 123 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений, списка литературы, содержащего 97 наименований.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на научных семинарах кафедры теоретической физики и на Всесоюзном рабочем совещании "Гравитация и электромагнетизм" (Минск, 1991 г.).

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ ЮДОШИЯ

1. Подход к определению оператора обобщенного импульса, основанный на использовании 3-мерных полей Якоби.

2. Новариантный метод введения оператора тока и явный вид этого оператора в системе отсчета одиночного наблюдателя.

3. Построение квантовой механики в слабых гравитационных полях с учетом ППН-параметров в кваэиинерциадьной системе отсчета и в движущейся произвольны« образом системе отсчета одиночного наблюдателя.

4. Способ детектирования поля кручения, основанный на использовании электрона в однородном магнитном поле.

5. Квантовомеханическоэ описание свободного электрона в пространстве Гёделя.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой проблемы, показана научная новизна и практическая ценность работы. Сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава посвящена рассмотрению общих вопросов построения квантовой механики е искривленном пространстве-времени. В первом параграфе, носящей обзорный характер, приводится схема квантовомеханической интерпретации обще-ковариантного уравнения Дирака

. (1)

следуя которой в общем случае можно построить квантовую механику, инвариантным образом (не зависящим ни от Еыбора системы координат, ни от выбора Ц -матриц) описывающую электрон в произвольной системе отсчета, задание которой

осуществляется посредством конгруэнции мировых линий тел отсчета,

х1 = сс1Хзг"\ь) , (2)

где числа ЭС обозначают "номера" мировых линий тел отсчета, £ - непрерывный параметр, определенный вдоль • каждой мировой линии конгруэнции (латинские индексы I , J , ... принимают значения от I до 4, а греческие <х , р , ... ('* ), ( >® ), ... - от I до 3). Для описания системы отсчета используется модифицированный Ди-монадный формализм. Во втором параграфе решается проблема введения оператора обобщенного импульса <Р? в искривленном пространстве-времени, который определяется как генератор инфи-нитезимальных. переносов вдоль интегральных кривых некоторого векторного поля р , удовлетворяющего по определению следующим условиям:

= ° ' (3)

где ? = ——-вектор, касательный к конгруэнции (2), а >>(- - вектор единичной нормали к гиперповерхности {^соп* . Очевидно, что из условий (3) векторное поле у не может быть определено однозначно. В то же время от его выбора зависит физический смысл оператора . Б диссертации показано, что в качестве трех линейно независимых векторных полей ( * = 1,2,3)

удобно выбрать 3-мерные поля Якоби, ч'.е. поля удовлетворяющие уравнению девиации 3-мерных геодезических, лежащих в гиперповерхности * . Далее в работе дан вывод

этих уравнеьий и найдено его общее решение (§ 3) в небольшой окрестности некоторой временноподобной мировой линии, которая в случае системы отсчета одиночного наблюдателя совпадает с мировой линией наблюдателя, задающего данную систему отсчета. Изучены свойства операторов обобщенного

импульса, соответствующих 3-мерным полям Якоби, а также получены явные выражения для-этих операторов в координатном представлении. Эти результаты были использованы для построения квантовой механики в системе отсчета одиночного наблюдателя.

0 В заключительном параграфе первой главы (§4) на примере системы отсчета одиночного наблюдателя решается вопрос о введении оператора тока в искривленном пространстве-времени. При этом получено явное выражение этого оператора и показано, что его ояидаемое значение совпадает с пространственными компонентами 4-вектора плотности тока поля Дирака.

Во второй главе общие результаты, полученные в предыдущей главе, используются для построения квантовой механики в слабых гравитационных полях. Эта глава начинается изложением основ параметризованного постньютоновского формализма (11ПН-формализма), позволяющего единым образом описывать слабые гравитационные поля в рамках различных теорий гравитации. Исходным пунктом является ППН-метрика

где ЗГ и Р так называемые ППН-параметры, которые в случае общей теории относительности равны единице, Ф , и X - ньютоновский и постньютоновские потенциалы, определенные стандартным образом. Далее в диссертации строится квантовая механика в квазиинерциальной системе отсчета, задаваемой конгруэнцией Х*^ ОС1"'., х.*=с.ь " , а

(4)

также в движущейся произвольным образом системе отсчета одиночного наблюдателя. В частности показано, что в ква^п ннерциальной системе отсчета оператор Гамильтона имяет. следующий вид

- я, ш - -

+ 0«/сь) . (5)

где р - оператор обобщенного импульса, определенный в § 4, а матрицы ое"' , ^ , в1"' и операторы р и ЭС входящие в оператор Гамильтона (5), удовлетворяют условия

= «с* > ¿С = , (6)

р:,> . (7)

ге,• . <8)

С • *«,] - е<~пт„* * . (9)

I = . (10)

' (II)

(12) (13)

г- л

< г,] = . (14)

Здесь посредством /г^ н Т'Д- обозначены операторы

и т.д. в координатном представлении (поскольку в работе используется координатное представление, которому соответствуют неортонормированные базисные векторы, то операция Ф обладает рядом особенностеЛ); посредством же

, и Т-Д' обозначаются явные производные соответствующих операторов ( и Т»Д« в координатном представлении. Кроме того в работе показано, что в квазирелятивистском приближении электрон в слабом гравитационном поле (4) можно описывать двухкомпоненгннм уравнением типа уравнения Паули.

= . (15)

Здесь двухкомпонентная волновая функция ф удовлетворяет следующему условии нормировки •

5 ■ Р (¡> «/'ж = У , (16)

l-.wri

а для оператора "Н ф справедливо соотношение

+ <11*11 + {/>', У} г~х*р? е-Л

4- уу! с1 > 2 т '

1С1 I 3 ■> ¿.С1 * 4 /с > ■

(17)

В § 7 получено также явное выражение для оператора Гамильтона в .движущейся произвольным образом системе отсчета одиночного наблюдателя.

В третьей, заключительной главе диссертации приводятся конкретные примеры использования развитого в работе аппарата. Так в § 8 рассмотрена задача об использовании свободного эдектро! 1 в однородном магнитном поле в качестве детектора поля кручения. Для этого общие выражения, описывающие квантовую механику электрона в ис!фивленном пространстве-времени с кручением, специализируются для случая системы отсчета одиночного наблюдателя в плоском пространстве времени ( /? = 0 ) • Б этом случае оператор Гамильтона в координатном представлении, описывающий электрон в однородном магнитном поле и квазиоднородном поле кручения, имеет следующий вид:

Я = Я, 4- , (18)

где оператор

й. рк (19)

описывает электрон в однородном магнитном поле

= Т ехХ" X" . Вк =1*,'.в} ) . а оператор

% ¿-МЪ? Г) (20)

-. поправки, обусловленные полем кручения. Здесь

•• ¡/.цг^-г,!)..- -

тензор кручения,', 7 -£ 1*7*7" 7" . Как показано в работе, энергетические уровни электрона в однородном магнитном поле с и > о расщепляются на два подуровня, причем в первом порядке по теории возмущений

где ___

Qf _ Jet. Т Wf' /р1 pl

--Т~ I ^ * '

= ;т7н .

= /О« .

Здесь £Г„ - хорошо известные собственные значения невозмущенного оператора Гамильтона ( и » ОД,...), jPa -проекция импульса на ось а , SL = J-!B! . Интересно,

Л WC

что в нерелятивистском пределе, при выполнении соотношений Рг - о и ' I T,J С I 47„I величина расщёпления не зависит (I) от напряженности магнитного поля (от константы _П. ) :

<4 Е„ Тс„ . (22)

Данное обстоятельство, как представляется, может оказаться весьма существенным при попытке экспериментального обнаружения поля кручения.

В § 9 в качестве примера рассматривается электрон во Вселенной Гёделя, описываемой метрикой

dSt = a'/Vx' + , (23)

где Я - произвольная действительная постоянная. При этом показано, что свободный электрон в свободнопадающей систз-ме отсчета одиночного наблюдателя в нерелятивистском приближении, справедливом в случае, когда У <Х 1 cri ( ^с ■ комптоновская длина волны электрона), описывается оператором Гамильтона

^¿Л + ^ • (24)

»

Здесь рг - оператор проекции импульса на ось н , = ~ константа, совпадающая с угловой скоростью

вращения конгруэнций геодезических . (линии

времени), а-,л - операторы, задаваемые выражениями

и удовлетворяющие перестановочным соотношениям.

I

-1 *

(25)

(26)

Г °)

= ( о -4у - матрица Паули. Таким образом, собственные значения оператора {й?^ имеют следующий вид:

е '"(г?)

где квантовое число Рл принимает произвольные непрерывные значения, п = 0,1,..., а = * ^ •

В заключении дана сводка основных результатов, полученных в диссертации.

. В приложении А. Приведены основные формулы и соотношения, характеризующие обобщенные координаты Ферми.

В приложении В.I Получено явное выражение для.компонент произвольного квазиоднородного векторного поля в обобщенных координатах Ферми.

Основные результаты диссертации изложены в четырех работах:

1. Горбацевич А.К., Ахмед Фахед Шамаа. Оператор обобщенного импульса и 3-мерные поля Якоби в искривленном пространстве-времени// Гравитационная энергия и гравитационные волны. Дубна: Из-во ОИЯИ, 1992 (в печати).

2. Горбацевич А.К., Ахмед Фахец Шамаа. Квантовая механика в слабых гравитационных полях и ППН-формализы// Вес-ц1 АН БССР. Сер. фиэ.-мат. кавун. 1992 (в печати).

3. Горбацевич А.К., Ахмед Фахед Шамаа. О квантовомеха-ническом операторе тока в системе отсчета одиночного наблюдателя// Гравитационная энергия и гравитационные волны. Дубна: Из-во ОИШ, 1992 (в печати).

4. Горбацевич А.К., Ахмед Фахед Шамаа. О квантовомеха-ническом детектировании поля кручения// Весц1 АН БССР. Сер. физ.-мат. навук. 1992 (в печати).