Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

КОРПУСОВ Максим Олегович

МЕТОД ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК В ЗАДАЧАХ О РАЗРУШЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005 год

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им М. В. Ломоносова.

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 3 ноября 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корр. РАН Похожаев Станислав Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Кондратьев Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Малинецкий Георгий Геннадьевич

Автореферат разослан

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

4 i Ц X Я ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена математическому исследованию вопросов разрушения решений сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, начально-краевые задачи для которых описывают экспериментально наблюдаемое явление пробоя в полупроводниковых средах и ряд других нелинейных физических эффектов. При этом рассматривается случай нелинейных или сильно нелинейных операторов эллиптического типа при производной по времени. Кроме того, работа посвящена получению необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений пяти четко очерченных классов абстрактных задач Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах.

Актуальность темы

Исследованию уравнений псевдопараболического типа посвящено большое число работ. Здесь следует отметить работы российских математиков Баренблатта Г. И., Желто-ва Ю. П., Кочиной И. Н., Демиденко Г.В., Успенского C.B., Свиридюка Г.А., Кожанова А.И., Гладкова А.Л., Ляшко С.И., Наумкина П. И., Шишмарева И. А. Из зарубежных авторов следует отметить следующих математиков: Showalter R.E., Ting T. W , Levine H. A , Гаевского X., Грегера К., Захариаса К., Rosenau P., Park M. A., Mei M., Karch G., DiBenedetto E., Bona J. L. В работах этих математиков были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости, устойчивости, асимптотики при больших временах, существование уединеных волн и их устойчивости для линейных и нелинейных уравнений псевдопараболического типа.

Вопросами локальной обобщенной разрешимости для эволюционных уравнений с двойной нелинейностью, к которым относятся и рассматривемые в диссертации уравнения псевдопараболического типа, занимались следующие математики: Лионе Ж.-Л., Дубинский Ю. А., Иванов А. В., Лаптев Г. И., Кузнецов А. В. Отметим, что в диссертации рассматривается класс уравнений с двойной нелинейностью, отличный от того, который рассматривали указанные математики.

Исследованию вопросов разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа посвящено мало работ. Этими вопросами занимались Levine H. А., Кожанов А. И., Liu Yacheng, Wan Weiming, Lu Shujuan, Fan En Gui, Zhang Jian, Zhi Jian, Chen Guowang, Tian Ying Hui, Shang Yadong, Guo Boling. В работах этих математиков были получены достаточные условия разрушений нелинейных уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной по времени.

Отметим также, что для доказательства разрушения решений задач для нелинейных уравнений псевдопараболического типа может быть применена нароботанная за многие годы техника доказательства разрушения решений развитая для параболических задач. В этой связи отметим работы А. А. Самарского, В. А. Галактионова. С. П. Курдюмова, А П. Михайлова, С. И. Похожаева, В. А.

О. А. Олейник.

Cflmflferr А 09

Тем самым неизученным остался широкий спектр модельных уравнений псевдопараболического типа с нелинейными операторами эллиптического типа при производной по времени. Актуальность исследования данных уравнений обусловлена как чисто ма-темагическим интересом исследования качественных свойств решений новых классов нелинейных уравнений в частных производных, так и интересными приложениями в теории нестационарных процессов в полупроводниковых средах. Актуальным является вывод сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа как математических моделей физики полупроводников при учете самых разнообразных физических нелинейных факторов. Кроме того, актуально получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений рассматриваемых в абстрактной постановке задач Копти для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Наконец, актуальным является получение двусторонних оценок па время разрушения решений, а также оптимальных двусторонних оценок на скорость разрушения решений.

Цели работы.

1. Вывод новых сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа и соответствующих начально-краевых задач в ограниченных областях.

2 Разработка для поставленных задач методов исследования локальной разрешимости в том или ином смысле, а также разработка общего для всех рассматриваемых классов задач метода доказательства разрушения решепий.

3 Получение двусторонних оценок на время разрушения решений, получение необходимых и достаточных условий, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение.

Все полученные результаты являются новыми.

1. В работе впервые были получены трехмерные обобщения хорошо известных одномерных уравнений Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса и Розенау-Бюрнерса. Кроме того, были получены новые уравнения физики полупроводников.

2. В работе дано теоретическое описание некоторых существенно нелинейных нестационарных процессов, наблюдаемых в экспериментах. Прежде всего явление пробоя в полупроводниках.

3. Рассмотрен один существенный класс начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, имеющих в абстрактной постановке вид задачи Коши для дифференциального уравнения с нелинейными операторными коэффициентами. Для данного класса найдены необходимые и достаточные условия разрушения решений, те полностью решен вопрос о разрушении решений рассматриваемого класса начально-краевых задач.

4. Для другого класса начально-краевых задач получены оптимальные оценки снизу и сверху на скорость разрушения решений.

5. Для других классов, учитывающих самые разнообразные физические факторы получены достаточные условия разрушения решений, близкие к необходимым.

6. Получены двусторонние оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались

1. на семинаре ВМиК по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством И. А. Шшпмарева;

2. на семипаре МИАН по дифференциальным уравнениям под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, С. И. Похожаева;

3. на семинаре мех.-мат. факультета МГУ по качественным свойствам нелинейных уравнений под руководством Н. X. Розова, В. М. Миллионщикова и В. А. Кондратьева;

4. на семинаре мех.-мат. факультета МГУ по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством В. А. Кондратьева и Б. В. Радкевича;

5. на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова;

6. на семинаре по электродинамике сплошных сред на физ. фак.-те МГУ под руководством А. Г. Свешникова;

7. на семинаре ИПМ РАН под руководством Г. Г. Малинецкого;

8. на научной конференции "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002"на физ. фак.-те МГУ;

9. на конференции "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."москва 2003. МАИ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в [20] работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения, дополнения и списка литературы, включающего 195 наименований, и изложена на 218 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор работ, относящихся к исследованию уравнений псевдопараболического типа и описания основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена математическому моделированию нестационарных процессов в полупроводниках в рамках системы уравнений квазистационарного поля и материальных уравнений:

div D = -Ажеп, rot Е = 0, D = Е + 4тгР, (1)

§ = divJ + Q. (2)

Затем рассматриваются различные феноменологические соотношения, связывающие векторы Р и Е, векторы J и Е. Также приведены различные соотношения описыва-

дш ш

~дГ > т

ющие зависимость сИу Р от потенциала электрического поля <р в произвольной поверхностно односвязной области Г) с К3 с достаточно гладкой границей. Кроме того, в ряде моделей учитывается сильная пространственая дисперсия, которая на феноменологическом уровне вводится как линейная связь между поляризацией среды Р и вектором напряженности электрического поля Е, например, так Р = — ДЕ. Наконец, предложены явные выражения для величины источников тока свободных зарядов С} = (}(ф). Отметим, что рассмотрен случай отрицательности дифференциальной провдимости среды, которая является важным свойством среды, приводящим к возникновению экспериментально наблюдаемого пробоя в полупроводниках.

Также в нерпой главе получены модельные уравнения, описывающие спиновые волны в полупроводниках, в рамках модели квазистационарного поля и уравнения Ландау-Лифшица в отсутствии внешнего магнитного поля:

сКуВ = 0, гоШ = 0, В = Н + 4тгМ, (3)

— 7 [Н, М] + В., (4)

где М - вектор намагниченности, К - вектор стоков или источников магнитных доменов В поверхностно односвязной области П можно ввести потенциал V магнитного поля Н: Н = —V*/'- В квазистациопарном приближении:

М = т + Ш1, |т| «С |ЯЯ|,

уравнение (4) редуцируется к следующему уравнению

^=7[Н,йЛ] + 11. (5)

Далее рассматриваются разные феноменологические соотношения, связывающие вектор квазистационарной намагниченности Ш1 с магнитным полем Н. Кроме того, указаны явные выражения для вектора В.. В частности, рассмотрено наличие источников магнитных доменов в полупроводниках.

На основании системы уравнений (1), (2) в первой главе получены новые модельные нелинейные уравнения псевдопараболического типа, как волновые так и диссипатив-ные. Мы предъявим лишь волновые в предположении, что внешнее однородное постоянное электрическое поле направлено вдоль оси Ох\ некоторой трехмерной декартовой системы координат:

^ (Д? + - У^^+^+^+Ьу+аАп ?¥>) + Х\<р\"2Ч> = 0, (6)

^ (-ДV + Ар + сИ^И"1-2^)) + + + Д<? - <Иу(|У¥>|'»-2У¥>) = 0. (7) Уравнения (6) и (7) являются сильно нелинейными трехмерными обобщениями широко известных уравнений Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса и Розенау-Бюргерса, имеющих соответственно вид

ди ди ди д2и _ . .

д_ dt

( д*и \ du

gfu n

Причем мы учитываем кубические в широком смысле источники.

Из системы уравнений (3) (5) нами получено, по всей видимости новое, уравнение спиновых воли, имеющее вид

^ (-Дгф + Аф + - сМУ(|У«/>|2У</0 + Д0+

+а! (^Ё) +а1 (^Ш + [М] = 0 (10)

1дх1 \дх2дх3) дхг \дх3дхх) дх3 \dx1dx2) ' АеН1, 01+1^2+Рз = 0, |/91| + |Дг| + |А| > 0. Следует отметить существенно трехмерный характер волнового уравнения (10). Причем базовым является следующее существенно трехмерное уравнение спиновых волн

^ + (И)

(Н 1 дхх \дх2 дх3) дх2 \дх3 дх1) дх3\дххдх2/

В первой главе получены и многие другие нелинейные уравнения псевдопараболического типа. В частности, получено следующее сильно нелинейное нелокальное уравнение псевдопараболического типа:

(Aip + div(|VHP_2V¥>) - M"v>) +

а + J dx\Vtp\7

Aip = 0.

(12)

Отметим, что при д > —1/2, р = 2, 91 = 0, а = 0 из уравнения (12) вытекает следующее уравнение

У dz|VH2

.п

А<р = 0.

(13)

В первой главе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения (13) при условии <Plал = 0, <р(х, 0) = <ро(х) 6 Hg(f2). В предположении сильной обобщенной разрешимости данной задачи в классе уо 6 С(1,([0, Т); Hj(fi)) доказан интересный эффект релаксации решения за конечное время. Именно, справедлива следующая двусторонняя оценка

Ci(T0 - tyM <|| |ß + II v |g< c2(T0 - t)VM.

Т.е. за конечное время начальное возмущение потенциала электрического поля в ограниченном заземленном полупроводнике релаксирует до нулевого. Заметим, что данный эффект характерен для полупроводниковых сред с вольт-амперной характеристикой (ВАХ) N - типа. Именно, наличие падающей ветви ВАХ приводит к данному эффекту.

В первой главе рассмотрены также две модельные начально-краевые задачи для различных нелинейных уравнений псевдопараболического типа о возникновении пробоя в полупроводниковых средах при учете либо источников тока свободных зарядов либо отрицательности дифференциальной проводимости среды. Строго получены необходимые и достаточные условия разрушения решения первой задачи и достаточные условия,

близкие к необходимым, разрушения решения второй задачи Кроме того, дана математическая постановка задач о возникновении и распространении электрических доменов, как результат отрицательности дифференциальной проводимости среды и наличия внешнего электрического поля.

Во второй главе рассматриваются следующий две абстрактные задачи Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах:

Для данных задач выписаны условия на операторные коэффициенты. Пусть банаховы пространства V,, У0, бесконечномерны, сепарабельны и рефлексивны с соответствующими сопряженными банаховыми пространствами V*, Уц, относительно скобок двойственности <•,•}„ (•, -)о, (•, -)о> (-,-)ь = 1,ЛГ. Обозначим через II ' Ил .7 = О, /V нормы банаховых пространств V,, а через || • ||* - нормы банаховых пространств V*. Нормы банаховых пространств W1, г = 0,1 обозначим через | • |„ а нормы банаховых пространств через | ■ Пусть Н - гильбертово пространство отождествленное со своим сопряженным. Далее мы предположим, что выполнено следующее условие:

Условия (V).

1. Банаховы пространства V,, г — О, N, непрерывно вложены в Н;

2. Для сильно сопряженного к банахову относительно нормы

(14)

¿Аои + В (и) = Ш(и), «(0) = щ.

<Й'

(15)

N

II

■ н-Е «■ и-

рефлексивному пространству

N

>=0

справедливо явное выражение

N

3. Справедливы следующие цепочки непрерывных вложений

V С V, С Н С V* С V*, ¿ = 0,ЛГ,

УС^СНС^СУ, 3 = 0,1.

4. Пространство V бесконечномерное и сспарабельное.

Замечание 1. Из условия V 1. вытекает, что пересечение

▼•гК

•=о

наделенное нормой

II • 11= £ И-II.

1=0

можно сделать банаховым пространством. В последующих пунктах условия V под V понимается именно это банахово пространство.

Обозначим через {•, •) - скобки двойственности между банаховыми пространствами V и V*.

Пусть операторы А,, Ао, Р, В определены на пространствах V,, У<>, со

значениями в сопряженных пространствах:

А,: V, —> V*, Ао:У„->У;, В : г =

Причем области значений операторов А^ совпадают с соответствующими банаховыми пространствами V*, j = О, N.

Введем некоторые условия на операторные коэффициенты уравнений (14) и (15). Условия (А).

1. Пусть операторы : У} —> V*, j = 1, N являются монотонными, полунепрерывными операторами;

2. Операторы А, имеют симметричную производную Фреше для любого фиксированного и е V,-:

неотрицательно определенную и, кроме того, производная Фреше является полунепрерывной в каждом V, в том смысле, что какою! бы ни были и, V, Ь,2 € Б С У^, } = 1, N и А е И1 функция (А^м+Л„(и + непрерывна

как функция из Н1 в К1 относительно А;

3. Справедливы неравенства снизу и сверху

II А» ц;< м, II и II?-1, (А»,и), > т, II и V, > 2, з = ш М, > 0 и т, > О,

3*. {к}{и),и)1}^р' образуют полунормы в Банаховых пространствах V,.

4. Операторы к3 положительно однородные порядка 1:

А,(зг?) = я"'_1А,(и), 8>0.

Условия (Ао).

1. Для линейного оператора Ао справедливо неравенство снизу (А0и — A^JV,и-у)а > т0 || и — V ||о, для любых и, V € У0, то > 0 - постоянная;

2. Оператор Ао симметричен;

3. Оператор Ао : У0 -у УЗ удовлетворяет условию: || Аи ||5< Мо || и ||0, М0 > 0 - постоянная.

Условия (Р).

1. Оператор Р(и) : Wo —» WJ является ограниченно Липшиц непрерывным:

| - |;< »(К) | и - V |0, К = тах(| и |0, | V |0); где /л(Я) возрастающая и непрерывная функция;

2. Оператор №(и) дифференцируем по Фреше и имеет симметричную производную при любом фиксированном и € Wo:

*„(•) е £(Wo;W;);

3. Для любых 3 > 0 и V е Wo, = в1+«Ж(г>), д > 0;

4. Справедливо неравенство сверху

|ВД|;<вм<+\в>о;

Условия (В).

1. Пусть оператор В : —У W* является монотонным и полунепрерывным;

2. Справедливы неравенства снизу и сверху

|В(и) |;<С |и|?+1, (В(и),и)г>с|и|Г2, 9 > О,

С > 0 и с > 0, причем

2*. (В(и),и)}/(?+2} - полунорма на ХУг.

3. Оператор В положительно однородный порядка </ +1:

В(ви) = в9+1В(и), > 0;

4. Оператор В имеет симметричную производную Фреще при любом фиксированном и е Wl

»;,(■) ^-►гоить*;).

Причем решения задачи (14) понимаются либо в сильном обобщенном либо в слабом обобщенном смыслах. Дадим определение слабого обобщенного решения задачи (14):

Определение 1. Слабым обобщенным решением абстрактной задачи Коши (1.1) назовем решение, удовлетворяющее условиям т

/ Ф®

о

(й = о, V го е у, у ф е и2(о, т), (16)

«(о) = щ е v.

Решение задачи (] 6) ищется в классе

«(f)6L~(0,T;V), ^eL2(0,T;V0),

А» 6 L°°(0,T; V*), j = 0JV, = A,(«) € L2(0,T;V)

1=0

и, кроме того,

A(u) = f;AJ(u)eCW([0,T];V)) 1=0

т.е. A(u) является сильно абсолютно непрерывной и слабо дифференцируемой на сегменте [0,Т].

Для решения задачи (14), понимаемом в слабом обобщенном смысле справедлив следующий результат

Теорема 1. О необходимом и достаточном условии разрушения решения задачи (14). Пусть выполнены условия А, А0, F. Предположим, что V Wo, т. е. оператор вложения вполне непрерывен. Пусть, кроме того, V0 С W0. Предположим, что либо 2 < р < q + 2 либо p>q + 2 ив последнем случае \}. С Wo, где

р = maxp,, j* G 1, N, р,'=р. зёрг

Пусть выполнено неравенство

(¥(щ),щ)0 > 0.

Тогда для любого щ € V, найдется такое максимальное Т0 = Т,^ > 0, что для любого задача Коши (1.1) имеет единственное слабое обобщенное решение класса

u{t) € L°°(0, T;V), ^(i) e L2(0,T; V0),

N

A(tt) = А» e Н^О, T; V) П Ci,([0, TJ; V), V T 6 (0, T0).

]=0

Причем справедливы следующие двусторонние оценки для положительно определенной в силу условий (А)о 2 и (А) 3 функции, имеющей смысл кинетической энергии,

N

Ф (t) = i(Ao«, и)о + £ ~r~~(A,(u), «)„

2----- — V,

и свойства времени существования решения Т0 в трех случаях относительно возможных значений величины

9 + 2 _

а = _ , ргтахр,, Р .7=1,*

1. если а = 1, то То = +оо и

Ф0 ехр{Ео<} < Щ < Ф0 ехр{С2г}, 11

2 если а € (0,1), то То = +оо и

Фо [1 + (1 - ^ЕоФГ1*]1"1^ < Ф(<) < Фо [1 + (1 - а)С2ФГЧ]1/(1"а), 3. если а > 1, то

НтэирФ^) = +оо, Тх < То < Т2,

ПТо

где

/ л \(«+2)/Р

С2 = ВСд/2 (^ргу] , Р=тахр„

Фо.^Аоио.Мо + Е^АДио),^, Ео.^^,

* 5=1 "} О

Т - 1 ф° 2 а-1(Г(«о),«о)о'

т1 = (д/г)- ^-'72!-1, В г всГ22(?+2>/2,

С) - константа наилучшего вложения V Wo, В - константа из условия (Р) 4-

Доказательство данной теоремы основано на применении метода Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности. Доказательство разрушения основано на некоторых энергетических оценках для функции

Ф(4) = |(Аоп,«)о + £ ^(А3(и),и)3, (17)

которые приводят к рассмотрению следующего хорошо известного обыкновенного дифференциального неравенства второго порядка:

ф"ф -а (ф')* > 0, а н р - тах р^ > 2. (18)

Во второй главе приведен результат о неединственности решения одной начально-краевой задачи в случае отсутствия линейного оператора Ао в уравнении (14). Далее рассматривается вопрос о сильном обобщенном решении задачи (14). Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи (1.1) назовем решение класса и € С'1'([О, Т]; V), удовлетворяющее условиям

N

((Аои)', 1»)о + £((А»)', V), = (*(«), V)!,, V о е V, и(0) = ко € V, з=1

где произволная по времени понимается в классическом смысле. Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. О необходимом и достаточном условии разрушения решения задачи (14). Пусть выполнены условия А, Ао, К. Предположим, что Уо С У3, } = 1, Ж, У0 С \У0 Кроме того, предположим, что либо 2 < р < q + 2 либо р > <у + 2 ив последнем случае V,. С Wo, где

р = тахрл р3. -р.

леи?

Пусть производные Фреше операторов Аj : V, —> V*

т.е. являются непрерывными и ограниченными, и пусть, кроме того, они являются монотонными в том смысле, что

(А'^и(и)щ - AjiU(u)u2, "1 - «2>j ^ О, V U, Mi, U2 6 V,, j = MV.

Пусть, кроме того, выполнено неравенство

(F(«o),uo)o > О-

Тогда для любого щ G Vo, найдется такое максимальное То = Тио > 0, что задача Коши (1.1) имеет точно одно решение класса

«(<) 6 C(1'([0,To);Vo).

Причем справедливы следующие результаты 1. если а € (0,1), тогда То = +оо м

+ (1 - «)Е„г]:/(, а) < Ф(4) < [Ф1в-° + (1 - e)Ai] 1/(1"о);

S. если а = 1, тогда То = +оо и

Ф0 exp{Eot} < Ф(<) < Ф0 exp{At};

3. если а > 1, тогда величина То 6 [Ti,T2]

limsup || u ||o= +oo,

ftTo

где

1 N -1 Ф(0 = i{Aou, u)0 + Y. Фо = Ф(0),

1 i=i p>

А = Eo = (Г(Ц°^Ц°)0, В = МС1«+22<«+2'/2

T, г -Ф0",/2В"1, Tjs^-io-l)-1!?1, а = 9 P

Доказательство данной теоремы основано на сведении задачи (14) к абстрактному интегральному уравнению с последующим применением метода сжимающих отображений и некоторых спектральных представлений для ограниченных операторов. Доказательство разрушения основано, как и в случае теоремы 1, на некоторых энергетических оценках для функции (17), приводящих к дифференциальному неравенству (18).

Далее рассматривается -задача (15), понимаемая в слабом обобщенном смысле Причем дополнительно требуется выполнение следующей цепочки непрерывных вложений

V?! с у0 с \у0 с н с с V; с лу;.

Дадим следующее определение

Определение 3. Слабым обобщенным решением задачи (15) назовем решение и{(), удовлетворяющее условиям т

J <Йф(Ь) [(Аои\ш)о + (В(и), •ш)1 - (Г(и),ги)0] =0, V ю € W1, V ф{1) е Ь2(0,Т). (19) о

В классе

иеГ^Т^!), и еЬ2(0,Т;Уо), АоиеЬ^О.^^ПИЧО.Т;^),

(Ао«,«)о 6 Н'(0,Т), и почти Есюду на интервале (0, Т) имеет место равенство

^(Аом,и)о = 2(Аои',и)о,

Справедлив следующий результат

Теорема 3. Пусть выполнены условия (А)0, (В), (Р) и, кроме того, щ € Wl и XV! <-► Wo, т. е. оператор вложения вполне непрерывен. Пусть, кроме того, начальная функция удовлетворяет условию

(Р(ио),«о)о-(вЫ.«о)1 >0.

Тогда найдется такое максимальное Т0 > 0, что существует единственное решение задачи (15) класса

иеь°°(0,Т^!), ^е1Ь2(0,Т;Уо), УТ е (0,То),

Аои € Ь°°(0, Т; у;) П н1(0, Т; ^), (Аои^^енЧо.Т), и почти всюду на интервале (0, Т) имеет место равенство

-^(Аои,и)о = 2(Аои',и)о.

Причем

Ит8ир(Ааи, и)о = +оо,

ПТо

и справедливы двусторонние оценки скорости разрушения

< (Аои,и)1"[То - г]1" < [«с*]"1'*. V I е [0,То), 14

и времени разрушения

(дсГЧАоио.Ио)^2 < Т0 < (цог)'1 {кощ,щ)1Ф

где

сг =

_ [(Г(ио),мо)0-С(ц»),мо)г1

- (АоисиоГ2'72 ' * '

|(F(t»),»)ol < ВИГ2, М„ < C^Aov^l'2.

Доказательство теоремы основано на применении метода Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности. Доказательство разрутспия проводится по схеме теорем 1.-2. А получение оптимальных двусторонних оценок основано на определенной симметрии уравнения (15).

Затем доказывается результат о разрушении сильного обобщенного решения задачи (15) в том случае, когда В = 0.

В конце главы приведены примеры начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнения псевдопараболического типа, имеющих физическое содержание. Данные примеры являются модельными и описывают квазистационарные процессы при учете либо отрицательной дифференциальной проводимости среды либо источники тока свободных зарядов. При этом учитывается нелинейная связь диэлектрической проницаемости среды от напряженности электрического поля. Именно, следующие задачи, в которых Н = Ь2(П):

«|ап = 0, u(z,0) = uo(x).

где О С R^ - ограниченная область с гладкой границей класса С'2^', S 6 (0,1]. Пример 2.

«|вп = 0, и(х,0) = щ(х).

где П С К^ - ограниченная область с гладкой границей класса С'2^', 6 € (0,1]. Пример 3.

где О С RN - ограниченная область с гладкой границей класса C(2,i), 5 е (0,1].

Пример 1.

~ (Ди + div(|Vu|p_sVu) - М?,и) + |и|*и = 0,

Q

i- (Ли - |и|*и) + |и|«и = 0, at

u|en = 0, и(х,0) = uo(z).

Пример 4-

Q

— (Ди - и) + div(|Vuj'Vti) -f- |u|fu = О, at

и|эп = 0, u(x,Q) = Uq(x).

где SI С RN ~ ограниченная область с гладкой границей класса <C'2,i\ 6 6 (0,1]. Пример 5.

~ (А\ - Ди) + div(|Vu|«Vu) = О,

ъ\дп = = о, и(х, 0) = ио(х),

где i2 С R^ - ограниченная область с гладкой границей дО класса С^4'гК 6 6 (0,1]. Пример 6.

^ (А2и - Ди - div(|V«]pi~2Vti)) + div(|Vu|?Vu) = 0, Pl > 2, q > 0, ди

и\аа = falm = 0, и(х,0) = ио(х),

где П с R" - ограниченная область с гладкой границей dQ класса С'4'15', J е (0,1].

Все указанные примеры имеют физический смысл и их вывод содержится в первой главе диссертации.

В третьей главе рассматриваются две абстрактные задачи Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами:

jt ^Aou + Aj(u)j + Lu = F(u), u(0) = щ (20)

^AoU + $>>)^+D(P(u)) = F(u), u(0) = u0. (21)

Эти задачи являются абстрактной постановкой начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений при учете либо линейной диссипации и источников в случае (20) либо учете конвективной нелинейности и источников в случае (21).

В дополнении к условиям, сформулированным во второй главе вводятся следующие: Условия (L).

1. Для линейного оператора L справедливо неравенство снизу (Lu — Lv,u ~ > di j и — v для любых u, v 6 Wi, d\ > 0 - постоянная;

2. Оператор L симметричен;

3. Оператор L : W! —» WJ удовлетворяет условию: | Lu (J< Di | и |ь Di > 0 - постоянная;

Условия (DP).

1. Оператор В : Wз —> \У4 С УЗ является линейным, ограниченным и В(0) = 0;

2. Оператор Р(и) : У0 С W2 —> Wз является ограниченно Липшиц-непрерывным

|Р(и,) - РЫк < - «2|2,

где ц2(П) - непрерывная возрастающая функция;

3. Справедливо неравенство сверху:

|Р(«)|з < В2|«|<'+2)/2;

4. Для любого и 6 Уо имеет место равенство

<0(Р(и)),и)0 = 0.

Затем рассматривается задача (20), понимаемая в слабом обобщенном смысле Определение 4. Слабым обобщенным решением абстрактной задачи Коши (1.1) назовем решение, удовлетворяющее условиям т

У I <й

о I- 3=°

ФМ 7 £<А», - (ВД. Но + (Ьи, и,),

л = о, V гиеV, у^еь2(о,т),

(3.1)

«(0) = «о 6 V. Решение задачи (3.1) ищется в классе

и(*)€Ь°°(0,Т;У), ^еЬ2(0,Т;У0),

Ьи 6 Ь°°(0, Т;\УП, Р(и) 6 Ь°°(0,Т; \Г0),

к,(и) 6 Ь»(0,Т;у;), ^ = 0, ЛГ, ^А(и) = - £ А» 6 Ь2(0,т, V)

>=0

и, кроме того,

АЫ = ЕА,(и)бС<,1)([0,Т];У'),

3=0

т.е. А(м) является сильно абсолютно непрерывной и слабо дифференцируемой на срг-менте [0, Т].

Справедлива следующая теорема

Теорема 4. Пусть выполнены условия А, Ао, Р, Ь. Предположим, что V <-► Wo, V Wl, т. е. оператор вложения вполне непрерывен. Потребуем, кроме того, что У о С \УХ и Уо С Wo. Кроме того, предположим, что либо 2 < р < д + 2 либо р > д + 2 « в последнем случае У,- С Wo, где

р= тахря з' еТ^М, Ру =р.

Тогда для любого щ 6 V, найдется такое максимальное То = Тио > 0, что задача Коши (20) имеет единственное решение класса

!»(*) € Ь°°(0,Т; V), !«(<) 6 Ь2(0,Т; У0), V Т е (0,То),

N

А(и) = е Н1(0,Т; V) ПСе>([0,Т); V'),

¡=о

Причем справедливы следующие оценки для положительно определенной в силу условий (А)о 2 и (А) 3 функции, имеющей смысл кинетической энергии,

1 " V -1

Ф(«) ^ -(Аои,и)о + £^— (А,(и),«>„

* 5=1 Р}

и следующие свойства времени существования решения То в трех случаях относительно возможных значений величины

9 + 2 _

а = _ , ргтахр,, Р

1. если а = 1, то То = +оо и

ф(0 < Ф0ехр{С2«},

2. если а £ (0,1), то То = +оо и

Ф(0<«о [1 + (1-а)С2ФГ4]1/(1-а),

3. если а > 1 и выполнены следующие неравенства

(Р(ио), ио)0 > (1ло, «о)! + * 2-4>о, Щщ), щ)0 > (Ьи0, «0)1 , 3 т * р /

то найдется такое Т0 > 0, что

Ит Ф(4) = +оо, Тх < Т0 < Т2,

«1То

где

Ъ = ~Фо'/2В-1, Т2 = Ф^'Ао"1, С2 = ВС?+22<\ Мо<Сг(Аг^)]./р'", Фо = Ф(0), о, = АI = (аа-1)2Ф0-2а' [(?(«о),«о)о - (Ьщ^-^г-гЪФ^,

= 2(1 + 2>[ в йлг/чае д + 2>р= тахр,, В = ВС'+22(<г+2)/2, q + 2 — р 5=1, N

С1 - константа наилучшего вложения V Wo, В - константа из условия (Р) 4-

Доказательство этой теоремы с небольшими изменениями проводится также как и

доказательство теоремы 1. Причем доказательство разрушения основано на некоторых

энергетических оценках для функции

1 * -1

Ф(*) г -{А««, и)о + £ <А», и)„ £ Р>

приводящих к следующему обыкновенному дифференциальному неравенству:

ф"ф - а (ф')2 + РФ2 > 0, (22)

где а > 1, 0 > 0.

Затем рассматривается вопрос о сильной обобщенной разрешимости задачи (20). Дадим определение сильного обобщенного решения:

Определение 5. Сильным обобщенным решением задачи (1 1) назовем решение класса С^'([0,Т];Уо), удовлетворяющее условиям

N

((Аои/.^о + Е^М/.^ + СЬи,^! = №),«)<>•, V иеУо, и(0) = иобУо, 3=1

где производная по времени понимается в классическом смысле. Справедлива следующая теорема

Теорема 5. Пусть выполнены условия А, Ао,¥. Предположим, чтоУ0 СУ,, ] = 1, N, У0 С ДУо, Уо С Wl Кроме того, предположим, что либо 2 < р < д + 2 либо р > д + 2 и в последнем случае V,. С Wo, где

р = щахр}, ]' € Т^, рг = р.

Пусть производные Фреше операторов А} : V, —► V*

А;1и(-)еВС(У,;£(У„У;))

т.е являются ограниченными и сильно непрерывными операторами и пусть, кроме того, они являются монотонными в том смысле, что

(А^и(и)щ - А']и(и)и2,щ - и2), >0, V и,«1,«2 е У,, ] = ТТМ.

Тогда для любого щ 6 Уо, найдется такое максимальное То = Тис > 0, что задача Коши (20) имеет точно одно решение класса

и(«)€С(1'([0)То);Уо).

Причем справедливы следующие оценки 1. если а € (0,1), тогда Т0 = +оо и

Щ< ^¿-а + (1-а)А<]1/(1"о);

8. если а = 1, тогда Т0 = +оо и

Ф(1) < Ф0 ехр{Аг};

3. если а > 1 и выполнены условия

(Р(ио),«о)0 > (Ьи0,Ио), + 2-фо, (Г(«о),Ио)0 > (1м0,щ)1

О "Г & Р

то найдется такое Т0 € [Т 1, .12 ] ? ЧТПО

1ш Ф(<) = +00,

*ТТо

где

2 % п

О / = \ («+2)/р

Т, = Т2 = Ф'-^Ао1, В = ВСГ22(?+2)/2, А = С^2М Ыу

Ар = - 1)2Фо2"1 [(Р(«о),ио)0 - (Ьио,««),]2 - («1 - М"**, д + 2 + р 2{д + 2)2

= 2р ' т = ^ =

Доказательство теоремы основано на сведении задачи (20) к абстрактному интегральному уравнению с последующим применением метода сжимающих отображений. Доказательство разрушения проводится также как и в случае теоремы 4.

Затем рассматривается задача (21). Прежде всего рассматривается вопрос о разрешимости в слабом обобщенном смысле. Дадим определение

Определение 6. Слабым обобщенным решением абстрактной задачи Коши (21) назовем решение, удовлетворяющее условиям т

/м | Ч - (*(«).«Оо + <0(Р)М,ш)о

{ I

ЦО) = щ е V. Решение задачи (21) ищется в классе

и(<) € Ь°°(0,Т; V), ^6Ь2(0,Т;У„),

<Й = 0, V ш€У, ЧфеЬ2(0,Т),

(23)

о(Р)(«) е ь°°(0, Т;м^), Г(и) е ьто(0,т; мд, А» € Ь°°(0,Т; V*), 3 = Ш |А(«) = | ]£ А» е Ь2(0,Т;У*)

,=о

и, кроме того,

АН = ¿А>(«) £ С2)([0,Т];У*),

7=0

т.е А(и) является сильно абсолютно непрерывной и слабо дифференцируемой на сегменте [О, Т].

Справедлива следующая теорема:

Теорема 6. Пусть выполнены условия А, Ао, Р, БР. Предположим, что V ■-> \У0, т. е. оператор вложения вполне непрерывен. Потребуем, кроме того, что У0 С Wo С

Кроме того, предположим, что либо 2 < р < q + 2 либо р > q + 2 и в последнем случае V,- С Wo, где

р = тахр,, / е Т^У, рг = р.

¿61,АГ

Пусть кроме того, (Р(и), и)0 > 0 для всех и 6 Wo, и ф 0- Тогда для любого щ € V, найдется такое максимальное То = Т«,, > 0, что задача Коши (21) имеет единственное решение класса

«(*) 6 Ь°°(0, Т; V), tu.it) € Ь2(0, Т;У0), V Т € (О, Т0).

А(и) € ИЧОД;^) ЛС^ЧМ^').

Причем справедливы следующие оценки для положительно определенной в силу условий (А)0 2 и (А) 3 функции, имеющей смысл кинетической энергии,

Н*) = |(Ао«,«>о + £ ^{А», „>, 1 з=1 Р)

в трех случаях относительно возможных значений величины

9 + 2

а = _ , р= р= тах р., р 1

1. если а = 1, то То = +оо и

Ф(<) < Ф0ехр{С2<},

2. если а 6 (0,1), то То = +оо и

•(*)<«о[1 + (1-а)С2ФГ1«]1/(1-в>,

3. если а > 1 и если выполнено следующее условие

N —\2

^{Аоио."о)о + £ ^^-{^(щ), щ), < тогда найдется такое Т0 € [Т1,Т2], что справедливо соотношение

где

ШпФ(<) = +оо,

гГГо

Тг =-Фо,/2В-1, Т2 = —Ы^- —С2 = ВС?.+22°,

q 1 \ ах-191/ 3

Но < Сг(Аг«,г;)^-,

7 = ^ + в случае , + 2>рнтахр„ В = ВС?+22('+2)/2. 2(? + 2 — р)

Ci - константа наилучшего вложения V Wo, В - константа из условия (F) 4-

Теорема 6 доказывается по той же схеме, что и теорема 1. Разрушение доказывается на основе следующего дифференциального неравенства

ф"ф - аДФ')2 + 7ФФ' > 0, t € [О, Т0), t*i > 1, 7 > 0. (24)

Далее расматривается вопрос о разрушении сильного обобщенного решения задачи (21). Дадим определение

Определение 7. Сильным обобщенным решением задачи (21) назовем решение класса (Я'([0,Т]; V0), удовлетворяющее условиям

N

<(Aot»)', v)0 + £((А,(н))', v), + (D(P(u)), v)a = (F(u), *)„, V»eV„, u(0) = u0 € V0, 3=1

где производная по времени понимается в классическом смысле. Справедлива следующая теорема

Теорема 7. Пусть выполнены условия А, А0, F, DP. Предположим, что С Vj, j = 1,N, V0 С Wo С W2 Кроме того, предположим, что либо 2 < р < q + 2 либо р > q + 2 и в последнем случае V,- С Wo, где

р ¡= тахр7, j' € MV, pr = p. jelJf

Пусть производные Фреше операторов Aj : V, -» V*

A;u(.)eBC(vj;£(v„v;))

т.е. являются сильно непрерывными и органиченными и, кроме того, монотонными в том смысле, что

(Aj,a(u)«i - A^u(«)U2,Ui - иг)} > 0, V и, uh U2 6 V}, j = TjV.

Пусть, кроме того, (F(w),и)0 > 0 для всех и е Wo-

Тогда для любого щ € V0, найдется такое максимальное То ~ TUo > 0, что задача Коши (21) имеет точно одно решение класса

u{t) е C(1)([0,To);Vo).

Причем справедливы следующие оценки

1. если а 6 (0,1), тогда То = +оо и

*(*)< [Ф^а + (1-а)А<]1/<1_а);

2. если а = 1, тогда Т0 = +оо и

Ф(<) < Фо exp{At};

3. если а > 1 и если выполнено условие

N 2

тогда найдется такое То € [Хг, Та], что справедливо соотношение

lim Ф(г) = +оо, Пт0

где

. (1+2)/р

1 1 / \ V

Фа) = ^(Аои,«>„+£ "Ь- А2СГМ(^тт)

Фо = Ф(0), ,В3МСГ2№

(</ + 2)2 „ «

Т - о7~То—=л в случое 9 + 2 > р = шах р}, 2(д + 2 — р) 7=1,лг

Сх - константа наилучшего вложения V \У0, В - константа из условия (Р)

Доказательство основано на сведении задачи (21) к абстрактному интегральному уравнению с последующим применением метода сжимающих отображений. Доказательство разрушения проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 6.

В конце главы приведены примеры начально-краевых задач для сильно нелинейных диссипативных или волновых уравнений псевдопараболического типа. В данных примерах учитываются те же физические факторы, что и в случае примеров 1 - 6, но в дополнение учитывается либо линейная диссипация либо конвективная, в широком смысле, нелинейность. Во всех примерах Н = Ь2(П). Пример 7.

+ Ediv (|Vu|"'-2Vu) j - и + H<« =

0.

Q

(Дм + div([Vw|"~2Vtt) - |u|"u) - и + Н»и = О,

«|вп = 0, u(i,0) = щ(х).

где Q С RN - ограниченная область с гладкой границей класса S £ (0,1].

Пример 8.

dt '

«|эп = 0, и(х, 0) = uo(a:).

где Я С R" - ограниченная область с гладкой границей класса С(2Л, 6 € (0,1]. Пример 9.

я

^ (—Д2и + Дм + div(|V«r2Vu)) + Ди - divflVu^Vu) = О,

ди

u|en = ^|en = 0, u(0,z) = щ(х).

где С1 с Н^ - ограниченная область с гладкой границей дС1 класса С'4-'', 6 € (0,1]. Пример 10.

^ (Ли + («у(|УиГ2Уи)) - (-Д)1/2и +

и = О,

«|еп = 0, и(0,а;) = «о(а;).

где П С И" - ограниченная область с гладкой границей XI класса 6 е (0,1].

Пример 11.

^ (Ди - (м)1'1 _2и) + Ли + |и|Ч = О,

«|вп = 0, и(х, 0) = 110(1)

где И С Я" - ограниченная область с гладкой границей класса С'2''', <5 € (0,1]. Пример 12.

Ё. т

(Лм + + и~ + и3 = 0.

и|ап=0, и(х,0) = щ(х).

где П С К" - ограниченная область с гладкой границей класса 6 £ (0,1].

Пример 13.

-I (-Д2и + Ди + сИ|УиГ2Уи)) + ир- - йу(|Уи|2Уи) = 0, <я дх\

ди

= ^ = и(0,х) = щ(х).

где П С Л* - ограниченная область с гладкой границей Ш класса С'4^', 6 е (0,1]. Пример Ц-

ах

т

д (ди ди\ . д (ди ди\ д (ди ди\ п . ди.

и(х, 0) = щ(х),

где + 02 + Рз = 0, + + Щ > 0, Я С К" - ограниченная область с гладкой границей Ш класса С'4^', <5 е (0,1]. Пример 15.

| (Дм - М*1-2«) + +1и\*»и = 0,

и|вя = 0, и{х, 0) = щ(х)

где П С - ограниченная область с гладкой границей дй класса С'2,4', 5 6 (0,1]. Все примеры имеют физический смысл и их вывод содержится в первой главе.

— (~Д2и + Ди) - <Ну(|Уи|2Уи)+

В четвертой главе рассматривается следующая абстрактная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в банаховых пространствах:

^ |А0и + Aj(«)j + LM + DP(u) = F(u), u(0) = щ. (25)

Данная задача является абстрактной постановкой начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений при одновременном учете линейной диссипации, конвективной нелинейности и нелинейных источников.

Сначала рассматривается задача (25) в слабом обобщенном смысле. Дадим следующее определение

Определение 8. Слабым обобщенным решением абстрактной задачи Коши (1.1) назовем решение, удовлетворяющее условиям

} \А N

/ М ЬЕ^М'®)» ~ (F(u)Iu»)e + (D(P)(tt)ItB)e + (LB,io)i Л = 0, (26)

{ L 3=0

V w е V, V ф € L2(0,T), u(0) = щ € V. Справедлива следующая теорема:

Теорема 8. Пусть выполнены условия А, Ао, F, L, DP. Предположим, что V «-» W0 аУч Wj, т. е. оператор вложения вполне непрерывен. Потребуем, кроме того, чтобы V0 С Wi и Vo С Wo Q W2. Кроме того, предположим, что найдется такое j* 6 1, ЛГ, что V,. С W0 при условии

P = Pj->q + 2.

Тогда для любого щ 6 V, найдется такое максимальное То = Ти„ > 0, что задача Коши (25) имеет единственное решение класса

u(t) е L°°(0,Т; V), Jtu(t) € L2(0, Т; V0), V Т € (0, Т0).

А(и) É Hl(0,T; V) nCg»([0,TI; V).

Причем справедливы следующие оценки для положительно определенной в силу условий (А)о 2 и (А) 3 функции, имеющей смысл кинетической энергии,

1 N -1

Ф(*) = ¿<AoU,u)0 + ££?-(А,(«),«>„

L j=i ft

и свойства времени существования решения То в трех случаях относительно возможных значений величины

а = _ , р=тяхр,, V )=Uf

1. если а = 1, то Т0 = +оо и

Ф(<) < Ф0ехр{С2«},

2. если а 6 (0,1), то То = +оо и

ФЮ<М1+(1-в)С2«г,«]1/(1~в>,

5. если а > 1 и выполнены следующие неравенства

Ф'(0) > ——^——Ф(0), Ф'(О) > ./—^гФ(О) с«1 — 1 у ах — 1

то найдется такое То > 0, что

Нш Ф(*) = +оо, Тх < Т0 < Т2, №

где

Т! = ^Ф0"'/2В"\ т2 = Ф'-°'А-1, с2 =

Фо = ф(0), ф' (0) = (Р(«о), «о)о - (Ьио, и0)!,

р + 9 + 2 . (9 + 2)(9+1) 4(д +1)2 „ _

. /? = „ , 9 д . 7 = У о в' 9 + 2 > р = юахр,, 5 + 2 — р д + 2-р

А2 = (в1 - 1)2Ф0"2а' [(Ф (О))2 - —Ц-Ф2(0)1 , В = В2(«+2)/2С?+2,

Сх - константа наилучшего вложения V <-+ Wo, В - константа из условия (Р) 4-

Доказательство основано на применении метода Галеркина в сочетании с методами компактности и монотонности. Доказательство разрушения основано на примененнии некоторых энергетических оценок и основано на следующем обыкновенном дифференциальном неравенстве:

ФФ" - а (ф'У + /?ФФ' + 7Ф2 > 0.

Далее рассматривается вопрос о разрешимости в сильном обобщенно смысле. Дадим следующее определение:

Определение 9. Сильным обобщенным решением задачи (11) называется решение класса С^'([0. Т]; Уо), удовлетворяющее условиям

Я

<(Ао«)', у)о + £((А,(«))', ь), + (ОР(и), „)„ + (Ьи, ^ = (Е(и), и)0, V « € V«, «€ [0,Т], 3=1

м(0) = ио е У0,

где производная по времени понимается в классическом смысле.

Справедлив следующий результат:

Теорема 9. Пусть выполнены условия А, Ао, Р, Ь, ИР Предположим, что Уо С V,, з = Т7М, Уо С Wo С XV2, У0 С и пусть найдется такое з" € 1, N, что V,- С при условии

Р = Рг > Ч + 2. Пусть производные Фреше операторов . V, —► V*

являются монотонными в том смысле, что

- «1 - «г); > о, V и,ииЩ £ V,, у = 1,N.

и, кроме того,

А^(.)еВС(Уо;£(Ув;У5)),

т.е. являются непрерывными и огрниченными.

Тогда для любого щ € Уо, найдется такое максимальное То — Тио > 0, что задача Коши (25) имеет точно одно решение класса

и(«)е<Я([о,То);У0).

Причем справедливы следующие результаты для разных значений а = (д + 2)/р, р =

тахр,: 7=Х,п

если а 6 (0,1), то То = +оо, и тогда

ФМ<[ФГ° + (1-«)А*]1/(1"а);

2. если а = 1, то Т0 = +оо, и тогда

Ф(«) < Ф0ехр{АО;

3. если а > 1 и выполнены следующие условия

Ф (0) > Ф'(0) > &),

тогда найдется такое Т0 € [Т^Тг], что справедливо соотношение

НтвирФ(<) = +00,

Що

где

1 к -1

Ф(9 = ^{Ао«,и)о + -(А,(в),«>„ Ф0 = Ф(0),

Т! = ^Фо'^В-1, Т2 = Фо-вА-1, В = ВС?+22<»+2>'2 27

А = С]1-2М2(<+2№, Но < Су (А}.у, у)1/."1', Фо г Ф(0), ф'(0) г (¥(щ), ио)о - (Ьщ, щ)г,

Р + Я + 2 „ (? + 2)(? + 1) % + 1)2 „ _

"1 = —^—. Р = „, , и ■ "Г- „1э и' 9 + 2>решрр„ ¿р д + 2-р д + 2—р

А2 = (в, - 1)2Ф0"

2а,

(Ф'(0))2

АН-

С1 - константа наилучшего вложения V Wo, В - константа из условия (Г) 4В конце главы приводится список начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. В дополнение к примерам 1 - 6 в следующих примерах одновременно учитывается как линейная диссипация так и конвективная, в широком смысле, нелинейность. Во всех примерах Н = Ь2(0). Пример 16.

д ( п \ ^

— ^Ди - и + - и + и— + и3 = 0.

«|еп=0, и(г,0) =«0(1).

где П С й" - ограниченная область с гладкой границей класса С'2'г\ 8 6 (0,1]. Пример 17.

д ди

— (- А2и + Ди + <Цу(| УиР^Уи)) + Ди + и---сНу(|Уи|2Уи) = 0,

от ах 1

ди

«Ы = Й1«1 = 0, и(0,х) = щ(х).

где Г2 с К'* - ограниченная область с гладкой границей дО, класса 5 е (0,1].

Пример 18.

^ (-Д2и + Ди + сНу(|Уи|р~2Уи)) + Ди - <Иу(|Уи|2Уи)+

+/? ^ ( ^ + 0г ^ ( + 0 ^ / ди ди\ _ ^

дх\ \Ох? Зх3) дх2\дхздх1/ дх3 \dx1dx2J '

ди

"|вп = = 0, и(х, 0) = ио(:г),

где Р1 + Д + (83 = 0, + + \@з\ > 0, О С К* - ограниченная область с гладкой границей дй класса С<4^, & е (о, 1]. Пример 19.

^ (Ди - и - |и|"-2и) + Ди + ^^ + |и(^и = 0,

«|ап = 0, и(х,0) = ио(х)

где П С И*' - ограниченная область с гладкой границей дО класса С^Л, 5 € (0,1]. Все примеры имеют физический смысл и их вывод содержится в первой главе.

Основные результаты диссертации.

В диссертации получены следующие результаты:

1) В работе впервые были получены новые модельные трехмерные нелинейные уравнения псевдопараболического типа, как новые модельные уравнения физики полупроводников при учете самых разнообразных пелинейных факторов. В частности, получены как строго диссипативные, так и волновые уравнения. Порядок рассматриваемых нелинейных уравнений либо третий либо пятый. Некоторые уравнения носят нелокальный характер. В частности, в диссертации предложен вывод нового нелинейного нелокального уравнения псевдопараболического типа, причем при определенных условиях для начально-краевой задачи математически строго доказан эффект релаксации за конечное время;

2) Для одного класса сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа с нелинейными источниками в диссертации найдены необходимые и достаточные условия разрушения решений начально-краевых задач в абстрактной постановке, а также получены двусторонние оценки на время разрушения.

3) Для втрого класса получены достаточные, близкие к необходимым, условия разрушения решений для сильно нелинейных уравнений с нелинейной диссипацией и нелинейными источниками. Получены оптимальные оценки снизу и сверху на скорость разрушения решений, а также двусторонние оценки на время разрушения.

4) Наконец, для трех других сильно нелинейных уравнений с линейной диссипацией и источниками; с конвективной нелинейностью и источниками; с линейной диссипацией, конвективной нелинейностью и источниками получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения решений, а также двусторонние оценки на время разрушения решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Корпусов М. О.. Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О нестационарных волнах в средах

с анизотропной дисперсией // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. N 6. С. 968-984.

2. Корпусов М. О , Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистационарных процессах

в проводящих средах без дисперсии // ЖВМ и МФ. 2000. Т 40. N 8. С. 1237-1249.

3. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения

псевдопараболического типа в задачах математической физики //ЖВМ и МФ.

2003. Т. 43. N 12. С. 1835-1869.

4. Корпусов М О , Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения

псевдопараболического типа в задачах математической физики. 2. //'ЖВМ и МФ.

2004. Т. 44. N 11. С. 2041-2048.

5. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении за конечное время решения

начально-краевой задачи для полулинейного уравнения составного типа. //ЖВМ

и МФ, т. 40, 2000, N 11, стр. 1716-1724.

в. Корпусов М. О. К вопросу о глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного уравнения составного типа //ЖВМ и МФ, т 41, 2001, N 6, стр. 959-964.

7. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость и разрушение за конечное время решений

нелинейных уравнений псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 6, с. 849-866.

8. Корпусов М. О. К вопросу о разрушении за конечное время решения задачи Копта

для псевдопараболического у равнения//Дифференц. уравнения, т. 38, 2002, N 12, с. 1-6.

9. Корпусов М. О. "Разрушение"регаения псевдопараболического уравнения с произ-

водной по времени от нелинейного эллиптического оператора// ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 12, с. 1717- 1724.

10. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрешимости сильно нелинейного уравнения

псевдопараболического типа с двойной нелинейностью//ЖВМ и МФ, т. 43, N 7, 2003 с. 944-962.

11. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости задачи Коши для полулиней-

ного уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, 2003, т. 43, N 8, с. 1159-1172.

12. Корпусов М. О Пробой полупроводников//Радиотехника и Электроника. 2004. Т.

50. N 2. С. 252-255.

13. Корпусов М. О. О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа

Соболева//Изв РАН, 2004. Т. 68. N 4. С. 151-204.

14. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О существовании решения уравнения Лапласа с

нелинейным динамическим граничным условием//ЖВМ и МФ, т. 43, 2003, N 1, с. 113-128.

15. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Разрушение нелинейных волн Россби в полупро-

водниках// Радиотехника. 2005. N 1.

16. Korpusov М. О., Sveshnikov A. G . On blowing-up of solutions of Sobolev-type equation

with source.// The "CUBO"mathem. Journal. 2005. V. 7. N 1. pp. 57-69.

17. Корпусов M. О., Свешников А. Г. О разрушении решений абстрактных задач Коши

для нелинейных операторно-дифференциальных уравнений// ДАН, 2005. Т. 401. N 1. С. 1-3.

18. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости начально-краевой задачи для

нелинейного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн. 2005. Т. 41. N 5. С. 1-8.

19. Корпусов М. О. О разрушении решения начально-краевой задачи для неоднород-

ного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн., 2005. Т. 41. N 5. С. 1-4.

20. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений класса сильно нелиней-

ных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками//Изв. Ран. 2005. Т. 69. N 4.

11149 09

РЫБ Русский фонд

2006-4 11488

Подписано в печать 18.07.2005 Объем 2.0 печл. Тираж 75 экз. Заказ № 99 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992, г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к.102

Введение

Список обозначений

1 Модельные нелинейные уравнения псевдопараболического типа.

1.1 Математические модели квазистациоиарных процессов в кристаллических полупроводниках.

1.2 Модельные уравнения псевдопараболического типа.

1.2.1 Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме и соответствующие диссипативные уравнения.

1.2.2 Нелинейные волны типа Бенджамена-Бона-Махони и соответствующие диссипативные уравнения.

1.2.3 Нелинейные математические модели анизотропных полупроводников.

1.2.4 Нелинейные сингулярные уравнения типа Соболева.

1.2.5 Уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором при производной во времени.

1.2.6 Нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа.

1.2.7 Краевые задачи для эллиптических уравнений с граничными условиями псевдопараболического типа.

1.3 Разрушение решений - пробой полупроводников.

1.4 Возникновение и распространение электрических доменов в полупроводниках.

1.5 Математические модели квазистационарных процессов в кристаллических электромагнитных средах с пространственной дисперсией.

1.6 Модельные уравнения псевдопараболического типа в электрических средах с пространственной дисперсией.

1.7 Модельные уравнения псевдопараболического типа в магнитных средах с пространственной дисперсией.

2 Разрушение решений класса сильно нелинейных псевдопараболиче-® ских уравнений с источниками и уравнений с нелинейной диссипаци

2.1 Постановка задач.

2.2 Первоначальные определения и условия.

2.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).

2.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).

2.5 Слабая обобщенная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения решения.

2.6 Локальная сильная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения в случае В = 0.

2.7 Примеры.

3 Разрушение решений сильно нелинейных волновых псевдопараболических уравнений или уравнений с линейной диссипацией.

3.1 Постановка задач.

3.2 Первоначальные определения и условия.

3.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).*.

3.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи

1.1 ).

3.5 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи

1.2 ).

3.6 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.2).

3.7 Примеры.

4 Разрушение решений сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками.

4.1 Введение. Постановка задачи.

4.2 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1).

4.3 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1).

4.4 Примеры.

Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева и его подкласса псевдопараболических уравнений посвящено большое кол-личество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. JI. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости

Исследования С. JL Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеляником [5] и математиками новосибирской школы JI. В. Овсянникова, Н. Д. Копачевским [б], [7] и Габовым С. А., Свешниковым А. Г. [8], [9]. Среди работ, продолживших исследования С. JI. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперна [11], [12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.

Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта "квазифронта". В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна. Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляций и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет место.

Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах используя фундаментальные и сингулярные решения операторов внутренних волн, т.е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые используя преобразование Фурье было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, имеющего вид где /3 - параметр стратификации, w0 - частота Вейсяля-Брента.

В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, исследуя частные начально-краевые задачи для уравнений внутренних волн была замечено, что их свойства решений по пространственным переменным близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по времени необходимое число раз представить в следующем виде

Из данного вида и важного свойства равенства нулю спектрального радиуса вольтеровских операторв следует, что указанное интегродифференциалыюе уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтеровскими операторами эллиптическое уравнение

Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн в случае областей с негладкой границей [20]—[23]. Кроме того, в работе [162] были обнаружены модельные уравнения типа Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в нашей работе [163] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [24]. (Д3м - (32и) + ul&2u = 0, dt2 о

Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева - псевдопараболических уравнений [24]. Уточним нашу терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не типа Коши-Ковалевской высокого порядка с производной по времени первого порядка вида

A(u))+B(u) = 0, где А(и) и В(и) - это эллиптические операторы, и, вообще говоря, нелинейные операторы.

В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [25] по всей видимости впервые математически строго было получено линейное псевдопараболическое уравнение о (Ли + си) + Ли = 0, сеЕх\{0} описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [26] , Е. С. Дзекцера [27], Ю. Н. Работнова [28], [29] и Г. А. Свиридюка [30], [31] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Отметим так же наши работы [162-165] где были выведены самые разнообразные линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков уравнения псевдопараболического типа, а также линейные уравнения типа Соболева высокого порядка по времени.

Изучению нелинейных уравнений псевдопараболического типа посвящено большое количество работ. Причем волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [32]-[47]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса: тг: Ыхх -и) + их + иих + ихх = 0. at

Изучению волновых уравнений псевдопараболического типа пятого порядка Розенау и Розенау-Бюргерса посвящены работы [48]—[54]: д

777 {V'xxxx ~Ь ^v ^х 11хх — 0. at

В этих работах исследованы вопросы глобальной во времени разрешимости, асимптотического поведения при больших временах и устойчивочти решений типа бегущих волн.

С другой стороны, немало работ посвящено исследованию диссипативных нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Приведем некоторый обзор результатов.

Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений типа Соболева получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В.

Е. Федорова [55], [56]. Используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, а также некоторые обобщения понятий ограниченных, секториальных и радиальных операторов в сочетании с понятием фазового пространства удалось свести изучение линейных и полулинейных сингулярных уравнений типа Соболева к изучению структур соответствующих ядер, образов и фазовых пространств полугрупп операторов.

Исследованию псевдопараболических уравнений с незиакоопределеиным или необратимым оператором при старшей производной во времени посвящена работа И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [57]. В данной монографии авторы исследовали уравнения, в абстрактной постановке имеющие вид

В— + Lu = /, at где L, В - самосопряженные (или диссипативные) операторы в данном гильбертовом пространстве. И основная цель работы, реализованная авторами, это связанная с этим операторно-дифференциальным уравнением спектральная задача

L и = АВм, для которой изучены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов в некоторых семидифинитных Гильбертовых пространствах.

Кроме того, в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа рассматривались в работе A. Favini, A. Yagi [58]. В этой работе в законченном виде был предложен метод редукции сингулярных уравнений типа Соболева к дифференциальному включению du й€Аи с многозначным линейным оператором

А : V 2V.

Данный метод основан на хорошо разработанном методе многозначных линейных операторов и основной результат - это теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных сингулярных уравнений типа Соболева.

Широкий спектр результатов для уравнений и систем уравнений, неразрешенных относительно старшей производной рассматривается в работе Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [59]. В монографии изучаются некоторые аспекты задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся априорные V - оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики.

Отметим так же работу X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [24], где рассматриваются вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа. В данной монографии центральное место занимает исследование операторных и операторно-дифференциальных уравнений. Для псевдопараболических операторно-дифференциальных уравнений изучаются вопросы С и L2 - разрешимости. Рассматривается обоснование методов конечномерной апроксимации, в частности, метода Галер-кина.

Исследованию псевдопараболических включений с двойной нелинейностью посвящена работа U. Stefanelli [60]. Метод используемый в данной работе является развитием метода многозначных линейных операторов предложенный в работе A. Favini, A. Yagi [58].

Псевдопараболические уравнения с монотонной нелинейностью рассматривались в работе R. Е. Showalter [61]. В данной работе в развернутом виде рассматривается классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физике и, в частности, к нелинейным уравнениям типа Соболева с монотонными нелинейностями.

Задачи оптимального управления линейных задач для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работе С. И. Ляшко [62] (см. также библиографию к этой работе).

Разрушение за конечное время и существование глобального во времени ограниченного решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником щ — Aip(u) — Aut + q(u) = 0 исследовалось в работах А. И. Кожапова [63] и [64]. В данных работах для доказательства разрушения используется полученный в работе принцип сравнения решений первой краевой задачи для данного уравнения. В частности, в работе доказано разрушение положительного решения задачи, и получены результаты типа теорем существования-несуществования.

Наконец, в работе А. Л. Гладкова [65] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа: ut = сАщ + <р(и) в классе растущих функций (р{и), где и принадлежит некоторому классу корректности.

Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа Е. Di Benedetto и М. Pierre [66]. Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящены работы Н. Begehr и D. Q. Dai [67], [68] Отметим также, что исследованиям задач для квазилинейных уравнений типа Соболева посвящены работы С. Г. Пяткова [69] и С. Guowang и W. Shubin [70].

Перейдем к обзору результатов и методов доказательства теорем о несуществовании и разрушении решений, применимых и для уравнений псевдопараболического типа.

Прежде всего отметим классическую работу Фуджиты о несуществовании положительного решения для полулинейного уравнения параболического типа [71]. В данной работе, помимо доказательства разрушения, впервые был получен оптимальный результат типа теоремы существования - несуществования ограниченного решения, понимаемого в классическом смысле. В этой работе используя известные свойства фундаментального решения оператора теплопроводности были получены необходимые и достаточные условия разрушения положительного решения задачи Коши для полулинейного параболического уравнения = Аи + и1+а at

В другой также классической работе Н. A. Levine [72] был предложен энергетический подход к исследованию вопроса о разрушения сильного и слабого обобщенного решений для достаточно больших начальных данных задачи. Эта работа посвящена исследованию глобальной во времени неразрешимости задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения вида

А^ + Lи = F(и), и(0) = и0,

ЛЬ где существенно использовалось то, что операторы А и L - линейные, положительно определенные и самосопряженные, a F(«) имеет симметричную производную Фреше. Забегая вперед отметим, что наша техника доказательства несуществования глобальных во времени решений, рассматриваемых задач, является развитием энергетического метода Н. A. Levine. И мы обобщаем подход Н. A. Levine в следующих направлениях: во-первых, мы рассматриваем случай нелинейных операторов А и L и получаем двусторонние оценки времени разрушения, во-вторых, в случае линейного оператора А мы получаем оптимальные двусторонние оценки не только времени, но и скорости разрушения, в-третьих, мы рассматриваем случай волновых уравнений псевдопараболического типа для которых техника работы Н. A. Levine прямо неприменима. В работе [76] были получены достаточные условия разрушения решения с функциональной нелинейностью при производной по времени (см. также работы [73]-[75], [77]-[80]).

В работе Н. Amann Н. и М. Fila [81] была предложена новая задача, для которой удалось получить оптимальный результат Фуджиты.

Широкий спектр результатов по исследованию неограниченных решений был получен в работе А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова и А. П. Михайлова [82]. В данной работе исследуются вопросы разрушения решений квазилинейных параболических уравнений. Причем используется самая разнообразная техника. Для одних задач применяются признаки сравнения с помощью которых, а также верхних и нижних решений доказываются теоремы существования - несуществования. Для других задач применяется метод неограниченных коэффициентов Фурье. Получены достаточные условия разрушения решений классов квазилинейных уравнений параболического типа. Заметим, что методика развитая для доказательства разрушения решений параболических уравнений может быть применена и при исследовании вопросов разрушения для псевдопараболических уравнений. Отметим также работы В. А. Галактионова [83]-[85].

Кроме того, результаты по получению оценок сверху и снизу для скорости разрушения решения были получены в работе J. D. Rossi [86].

Метод доказательства несуществования решения некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума развит в работах Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева [87], [88].

Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в работах С. И. Похожаева и Э. Митидиери [89]. В этой работе в законченном виде был предложен общий метод исследования дифференциальных неравенств в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов. При этом оказалось, что с точки зрения доказательства разрушения нет никакой разницы в типе дифференциального неравенства в частных производных. Отметим, что по всей видимости разработанная методика может быть применена к исследованию псевдопараболических неравенств в неограниченных областях. Отметим также работы С. И. Похожаева [90], [91], в которых рассматрвались вопросы разрушения решений дифференциальных неравенств в частных производных. Отметим также работу Г. Г. Лаптева [92].

Перейдем к обзору результатов по исследованию разрушения решений псевдопараболического типа. В первую очередь отметим уже цитированные работы Н. A. Levine [72], [76] и А. И. Кожанова [64]. Отметим теперь работы [93]—[97] группы китайских математиков, в которых исследовались вопросы разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной во времени. Другие исследования по разрушению решений задач для нелинейных псевдопараболического типа нам не известны.

Поскольку рассматриваемые нами нелинейные уравнения псевдопараболического типа относятся к так называемым уравнениям с двойными нелинейностями, то мы в данном обзоре отметим работы посвященные исследованию разрешимости задач для данных уравнений. Вопросами разрешимости задач для уравнений с двойными нелинейностями посвящены работы [98]—[105]. Причем в работе [105] был рассмотрен случай нелинейного эллиптического оператора при производной во времени, в частности, такое дважды нелинейное уравнение div(|Vu|p"2Vu)) - Д(|Ди|9Ди) = 0.

CJL

Наша техника доказательства локальной разрешимости дважды нелинейных псевдопараболических уравнений очень близка к технике работы [105]. При этом ма рассматриваем другой класс дважды нелинейных эволюционных уравнений. Именно, мы рассматриваем псевдопараболические уравнения вида когда нелинейные эллиптические операторы А (и) и В(и) имеют порядки соответственно пит причем п > т. А в работе А. В. Кузнецова [105] рассматривается случай, когда п < т. Кроме того, мы в рассматриваем случай не монотонных операторов В (и).

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач.

1. Постановка начальных и начально-краевых задач для новых, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Исследуя нестационарные процессы в электромагнитных сплошных средах, таких как полупроводники и магнетики, было обнаружено что математические модели нестационарных процессов для широкого круга физических процессов редуцируются к начальным и начально-краевым задачам для, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. При этом получаются как волновые, так и диссипативные уравнения псевдопараболического типа. При этом мы получаем модельные трехмерные уравнения. Причем в простейших случаях модельные трехмерные уравнения являются трехмерными обобщениями модельных одномерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Розенау:

Помимо данных простейших уравнений были получены и новые сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа. В частности, было получено новое волновое существенно трехмерное уравнение псевдопараболического типа: а также некоторые его модификации, описывающие спиновые волны в магнетиках в рамках модели квазистационарного поля.

2. Исследовнию вопросов локальной разрешимости, условий разрушения решений и глобальной во времени разрешимости. В диссертации приведено обобщение результата и метода Н. A. Levine на случай нелинейных операторов эллиптического типа при производной во времени. Причем все начально-краевые задачи для данных сильно нелинейных уравнений сводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. В частности, четко выделены пять классов задач. Первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации. Второй класс содержит сильно нелинейные уравнения 0 с источниками и линейной диссипацией. Третий класс содержит сильно нелинейные уравнения с источником и нелинейной диссипацией. Четвертый класс содержит волновые сильно нелинейные уравнения с источником. Пятый клас содержит волновые диссипативные сильно нелинейные уравнения с источником. Для каждого класса получены достаточные и необходимые условия разрушения решений, а также условия их разрешимости в любом конечном цилиндре Qt = Г2 х (О, Т), где, f2 е MN - ограниченная область с достаточно гладкой границей.

По результатам диссертации опубликовано 28 работы [162]—[188].

Работа состоит из 4 глав, введения, списка обозначений, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 218 стр., включая список литературы, содержащий 195 работ. Перейдем к краткому описанию содержания работы.

В первой главе рассматриваются математические модели нестационарных процессов в физически различных сплошных электромагнитных средах [162]-[168]. В первом параграфе рассматриваются математические модели в сплошных проводящих средах, например, в полупроводниках. Рассматриваются различные феноменологические связи между такими параметрами электрических сред как вектора напряженности электрического поля Е, индукции электрического поля D, поляризации Р, плотности электрического тока J. Наконец, математически учитываются самые разнообразные физические факторы такие, как например, источники тока свободных зарядов с примесных центров полупроводников. Исходной системой уравнений для дальнейших редукций к конкретным уравненям псевдопараболического типа является система уравнений квазистационарного поля. Рассматриваются различные граничные условия, включая и нелинейные.

Во втором параграфе проводится редукция введенной в первом параграфе системы уравнений квазистационарного поля в предположении наличия внешнего постоянного электрического поля. В результате получаются трехмерные модельные уравнения Бенджамена-Вона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса. Кроме того, выводится модельное трехмерное уравнение нелинейных волн Россби. При наличии внешнего магнитного поля редукция системы уравнений квазистационарного поля приводит к анизотропным нелинейным уравнениям псевдопараболического типа. При учете отрицательности дифференциальной поляризации исходная система уравнений редуцируется к сингулярным уравнениям типа Соболева. При учете нелинейной зависимости вектора электрической индукции D от напряженности электрического поля Е в среде получаются сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором эллиптического типа при производной по времени. При учете так называемых сильных перегревных механизмов проводимость среды оказывается зависящей от усредненной по области температуры свободных электронов. И в результате получаются нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа. Причем для следующей первой начально-краевой задачи д Г

-{А<р-<р) + J dx\Vv\2 Av? = 0, ge(-l,0), д dt p(x, 0) = (fo(x), xett, ip(x,t)\gn = 0. описан наблюдаемый в экспериментах эффект релаксации за конечное время. При учете нелинейных нестационарных процессов в диэлектриках с тонкой граничной пленкой из полупроводника получена начально-краевая задача для, вообще говоря, нелинейного уравнения эллиптического типа с динамическим граничным условием псевдопараболического типа.

В третьем параграфе рассматривается математическая интерпретация такого существенно нелинейного эффекта как пробой в полупроводниках. С физической точки зрения пробой в полупроводниках может быть вызван любым из двух факторов: либо источниками тока свободных электронов с примесных центров, либо отрицательностью дифференциальной проводимости в среде. И оба эти случаи могут быть описаны в рамках модельных начально-краевых задач для соответствующих уравнений псевдопараболического типа. Получены достаточные условия пробоя полупроводников в смысле разрушения решений соответствующих начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа.

В четвертом параграфе рассматриваются нелинейные физические эффекты, приводящие к возникновению и распространению так называемых электрических "доменов", т. е. областей с "сильным"или "слабым"электрическим полем. И эти эффекты могут быть описаны в рамках начально-краевых для волновых уравнений псевдопараболического типа.

В пятом параграфе приведены дополнительные связи между параметрами сплошных электромагнитных сред при учете пространственной дисперсии. Рассматриваются две системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля.

В шестом параграфе из введенных в пятом параграфе систем уравнений выводятся нелинейные уравнения пятого порядка псевдопараболического типа, описывающие как волновые так и диссипативные нестационарные процессы в электрических средах.

В седьмом параграфе из введенных в пятом параграфе систем уравнений выводятся нелинейные уравнения высокого порядка псевдопараболического типа, описывающие спиновые волны в магнетиках. В частности, получены новые неклассические существенно трехмерные волновые уравнения. Например, такое дх 1 \dx2dx3) дх% д (ди ди\ „ д 0,

Во второй главе рассматриваются задачи Коши для абстрактных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с операторными коэффициентами, являющихся абстрактными постановками начально-краевых задач в ограниченных областях с гладкими границами для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа с источниками без диссипации и с источниками с нелинейной диссипацией [169]-[178]:

Jt + =F(«), «(0) = u0;

-Аи + Ш(и) = F(u), u(0) = u0.

СЛЬ

В первом параграфе приведены некоторые примеры нелинейных уравнений псевдопараболического типа: л (Ли- |и|91и) + |и|% = 0, Л (Ли + div(|Vu|p-2Vu) - |u|9lu) + \u\qu = 0, с/с л

Аи - и) + div(|Vu|p~2Vu) + Л|и|р2и = 0,

С/ ь л (Л2и - Ли) + div (| Vu|p"2Vu) = 0, л

Л2и + Ли + div(|Vu|pl-2Vu)) - div(| Vu|P2"2Vu) = 0,

J L где pj > 2, qu q> 0, pu p2, p > 2, Л > 0.

Во втором параграфе второй главы введены необходимые для дальнейшего условия на операторные коэффициенты и некоторые определения. При этом относительно линейного оператора А требуются условия сильной монотонности, симметричности и ограниченности. Относительно нелинейных операторов А* (и) требуется монотонность, дифференцируемость по Фреше, симметричность производной Фреше, ограниченность и коэрцитивность, полунепрерывность операторов и их производных Фреше, а также положительная однородность порядка pi. Относительно нелинейного оператора В (и) требуется монотонность, полунепрерывность, ограниченность, коэрцитивность, положительная однородность, а также дифференцируемость по Фреше и симметричность производной Фреше. Наконец, относительно нелинейного оператора F(u) требуется ограниченная липшиц-непрерывность, дифференцируемость по Фреше, симметричность производной Фреше и положительная однородность данного оператора.

В третьем параграфе исследуется вопрос о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле. Кроме того, в данном параграфе получены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи Коши за конечное время:

Jt + Е ^ = F(u)' =

В третьем параграфе приведено определение слабого обобщенного решения рассматриваемой абстрактной задачи Коши. Затем рассматривается конечно-мерная аппроксимация указанной в определении задачи. Стандартным образом доказывается ее разрешимость в классическом смысле. Затем используя априорные оценки доказывается равномерная по отношению к порядку системы галеркинских приближений разрешимость локально во времени.

Используя методы компактности и монотонности доказано, что последовательность галеркинских приближений сходится в некотором слабом смысле к решению исходной задачи. Доказана единственность решения расматриваемой задачи. Наконец, при отсутствии линейного оператора А в рассматриваемом уравнении приведен пример начально-краевой задачи, решение которой неединственное. Наконец, получены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи за конечное время. При этом получены двусторонние оценки на время разрушения, а также в случае разрешимости на любом конечном интервале времени получены двусторонние оценки на функционал энергии. В частности, доказано, что энергия системы растет во времени. При этом для доказательства разрушения используется оригинальная модификация метода энергетических оценок Н. A. Levine, который мы развиваем в случае нелинейных операторов при производной во времени.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о локальной разрешимости, о разрушении и о разрешимости на любом конечном интервале времени в сильном обобщенном смысле рассматриваемой задачи Коши при некоторых условиях на операторные коэффициенты. Используя принцип сжимающих отображений доказана локальная разрешимость. Кроме того, устанавливаются необходимые и достаточные условия разрушения за конечное время. Получены двусторонние оценки на время разрушения решения, а в случае разрешимости на любом конечном интервале времени получены двусторонние оценки на рост во времени энергии системы.

В пятом параграфе рассматривается следующая абстрактная задача Коши

-Аи + В(и) = F(м), м(0) = и0, ill для которой используя метод Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности доказывается локальная во времени разрешимость. Используя развитый нами метод энергетических оценок доказано разрушение решения задачи за конечное время при некотором условии на начальную функцию. Более того, используя свойство симметрии абстрактного уравнения относительно растяжений во времени и самого решения, с учетом одинаковой положительной однородности операторов В(и) и F(u) получены оптимальные двусторонние оценки на скорость разрушения решений.

В шестом параграфе рассматривается следующая задача Коши

Аи = F(«), it(0) = щ, для которой методом сжимающих отображений доказана локальная во времени разрешимость в сильном обобщенном смысле. Доказано разрушение решения за конечное время и получены оптимальные двусторонние оценки на скорость разрушения решения.

В седьмом параграфе приведен краткий список примеров начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа в ограниченных областях с гладкой границей. Все примеры имеют физический смысл и были выведены нами в работах [164-165].

Третья глава посвящена исследованию двух классов операторно-дифференциальных уравнений [179]-[187]: d ' dt Lu = F(u), u(0) = u0] i= 1 n jt + XJaj(u)J + = ВД, «(о) = uo, которые являются абстрактными постановками начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа в ограниченных областях с достаточно гладкой границей. Причем первая задача соответствует уравнениям псевдопараболического типа с нелинейными источниками и линейной диссипацией, а вторая -волновым псевдопараболическим уравнениям.

В первом параграфе приведены некоторые нелинейные уравнения псевдопараболического типа: (Ли + S div (I Vurj-2Vu)^ - и + |и|«« = 0, д (Дм - \u\qiu) + Аи+ \и\яи = 0,

С/ L д (Ли + div(|Vu|p-2Vif) - |и|91и) - и + \u\qu = 0, д (—Д2м + Ди + div(|Vu|Pl"2Vu)) + Дм - div(|Vu|P2"2Vu) = 0,

Ли + div(|Vu|p-2Vu)) - (-Afu + \u\qu = 0, dt д dt ^Au + f>v (|Vnr"2VU) j + u^- + u> = 0, | (Ли - MV) + + \u\^u = 0,

О r\ jl (д2u + Au + divfl Vu|Pl"2Vu)) + и - div(|Vu|2Vu) = 0, Q (~Л2и + Ли) - div(| Vu|2Vu)+ ди ди \ ^ д f ди ди\^ д f ди ди\ dx2dxz) дх2 \dx3dx1J дхз \dx\dx2) где ft + /?2 + /З3 = 0, | + Ш + \Рз\ > О, pj > 2, qu q, q2 > О, pu p2,p> 2, /3 G [0,1).

Во втором параграфе третьей главы приведены некоторые условия на операторные коэффициенты, а также необходимые для дальнейшего определения. Условия на операторные коэффициенты Ао, А; (и) и ¥(и) фактически повторяют соответствующие условия первого параграфа второй главы. Относительно, операторов L, D и Р(м) предположим следующее. Линейный оператор L является сильно монотонным, симметричным и ограниченным. Линейный оператор В является ограниченным. Наконец, нелинейный оператор Р(м) является ограничено Липшиц-непрерывным. Кроме того, операторы О и Р(и) удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

В третьем параграфе методом Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности устанавливается однозначная разрешимость в слабом обобщенном смысле задачи Коши

Для данной задачи получены некоторые достаточные условия, имеющих смысл достаточно большой величины начального возмущения, при которых имеет место разрушение решения задачи за конечное время. Причем получены двусторонние оценки на время разрушения решения.

В четвертом параграфе при некоторых дополнительных условиях на операторные коэффициенты абстрактной задачи Коши методом сжимающих отображений доказывается локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле. Точно также как и во втором параграфе методом энергетических оценок при некоторых условиях на величину начальной функции доказано разрушение решения за конечное время и получены двусторонние оценки на время разрушения решения. Кроме того, при некоторых условиях на нелинейности доказана разрешимость задачи на любом конечном интервале времени.

В пятом параграфе рассматривается абстрактная задача Коши для которой методом Галеркина в сочетании с методами компактности и монотонности доказывается локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле. Методом энергетических оценок доказывается разрушение при некоторых условиях на величину начального возмущения. и(0) = и0

В шестом параграфе при иекторых условиях на операторные коэффициенты методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость задачи

Jt + S + D(PH) = «(0) = Щ в сильном обобщенном смысле. Методом энергетических оценок, точно также как и в четвертом параграфе доказано разрушение за конечное время при некоторых условиях на величину начального возмущения.

В седьмом параграфе приведен краткий список примеров рассмотренных абстрактных задач. Именно, начально-краевые задачи для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа с источниками и линейной диссипацией, а также волновые псевдопараболические уравнения с источниками.

Четвертая глава посвящена исследованию вопросов разрушения решений одного класса сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками [188]: Целью настоящего исследования является получение оптимальных результатов типа теорем "существования - несуществования "для класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева, в абстрактной постановке - задач Коши для уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах jt ^A0u + ^ A,-(u) j + Lu + DP(u) = F(u), u(0) = u0, и оценок снизу и сверху на время разрушения решений данной задачи.

В первом параграфе приведена постановка рассматриваемых в дальнейшем задач и некоторые примеры уравнений, имеющих физический смысл: д ( N \ ди ( Ли - и + X^div (|Vu|Pj-2Vu)J - и + и~ + и3 = 0, (Ди - и - |и|91и) + Ди + dy+1 + \и\2^и = 0, dt дх\

Д2и + Ди + div(|Vu|pl2Vu)) + Ди + uj^- - div(|Vu|2Vu) = 0, r\

-Д2и + Ли + div(|Vu|Pl-2Vu)) - div(|Vu|2Vu) + Au+

J ь д f ди ди \ ^ p д f ди ди \ ^ p д / du du \ ^ dxi \dx2dx3J dx2 \dx3dx1 J dxz \dx1dx2J ' где ft + ft + ft = 0, |ft| + |ft| + |ft| > 0, pj > 2, qu q, q2 > 0, pu p2, p > 2.

Во втором параграфе получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения рассматриваемых задач за конечное время. При этом методом Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности доказана локальная во времени разрешимость в слабом обобщенном смысле.

В третьем параграфе получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения сильного обобщенного решения задачи, а также методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость задачи в сильном обобщенном смысле.

В четвертом параграфе приведен краткий перечень примеров задач, имеющих физический смысл:

Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных и всероссийских конференциях [189]-[195]:

1. Дифференциальные уравнения в частных производных составного типа как математические модели волновых процессов в средах с анизотропной дисперсией.// Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции, Минск, Беларусь, 19-24 июня, 2000 г., с. 173.

2. Non-classical PDE of composite type as mathematical models of waves in mediums with an anisotropic dispersion.// 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10 to 14, 2000.

3. Sobolev Equations as Mathematical Models of Processes in Mediums with a non-Isotropic Dispersion// First SIAM-EMS Conference "AMCW"2001, September 2 - 6, 2001, Berlin.

4. The application of dynamic potentials for the nonclassical PDE of composite type// International Conference "New Trends in Potential Theory and Applications", Bielefeld, Germany, March 26-30, 2001.

5. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа и некоторых систем уравнений физики полупроводников//Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002", стр. 50-53.

6. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа// Межд. конф. "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."М. Август 11-17, 2002, с. 56.

7. New Problems for Equation of Composite Type // Abstract of Short Communication and Poster Section, International Congress of Mathematicians, Beijing, August 20-28, 2002, p. 207.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах

1. Семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения"ф-та ВМиК под руководством профессора И. А. Шишмарева.

2. Семинаре математического института им. Стеклова под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, С. И. Похожаева.

3. Семинаре "Качественные свойства нелинейных уравнений"под руководством Н. X. Розова, В. М. Миллионщикова и В. А. Кондратьева

4. Семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения"под руководством В. А. Кондратьева и Е. В. Радкевича

5. Семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова.

Основные результаты опубликованы в 27 работах в ведущих математических журналах.

При ссылках внутри главы используется двойная нумерация. При ссылках на формулы другой главы используется тройная нумерация. Например, (1.2.3) - формула (2.3) из главы I.

Список обозначений

Физические обозначения

Е - вектор напряженности электрического поля.

D - вектор индукции электрического поля.

Р - вектор поляризации.

J - вектор плотности тока.

Н - вектор напряженности магнитного поля.

В - вектор индукции магнитного поля.

М - вектор намагниченности. п - плотность свободных электронов.

Q - плотность источников тока свободных электронов.

Oij - тензор проводимости среды.

Cij - тензор электрической восприимчивости среды.

Xij ~ тензор магнитной восприимчивости среды. ip - потенциал электрического поля. гр - потенциал магнитного поля. щ - скалярная электрическая восприимчивость. сто ~ скалярная проводимость среды. п0 - ,,квазистационарное"распределение свободных электронов.

Те - температура свободных электронов.

Т0 - температура фононов.

ЦШ - иквазистационарная"намагниченность. ш - пбыстропеременнаяичасть намагниченности.

Математические обозначения

А ® В - декартово произведение топологических пространств А и В. N - множество натуральных чисел. Z - множество целых чисел.

Z" - множество, состоящее из упорядоченного набора целых чисел вида (zi,z2,.,zn), zm Е Z , т = 1,п.

Z™ - множество, состоящее из упорядоченных наборов неотрицательных целых чисел.

RN - N-мерное эвклидово пространство. • | - норма Эвклидова пространства RN.

R+ - множество неотрицательных вещественных чисел. а - мультииндекс а = («i,., ап), а* € R+. а| - |а?| = ах + а2 +. + ап.

Dx - оператор градиента по переменной х Е RN.

D™ - оператор, имеющий следующий вид при т = m\ <g> т2 ® . <8> тn то)(х) - в случае если т = (mi,.,тм) - мультииндекс, то = D™1 • • • D™"f(x), х = (xu.,xN) е RN.

Vz - градиент по переменной х Е RN. grad - оператор производной Фреше.

- производная по направлению внешней номали п к гладкой границе д£1 Е С1'"5 ограниченной области (2 С RN. dt - частная производная по t.

- частная производная к-го порядка по переменной Xi G R1. Ари = div(|Vu|p-2Vu) - псевдо-Лапласиап (p-Laplacian). :

Д - оператор Лапласа.

Л2 - бигармонический оператор.

А2и = д^и + &12и - двумерный оператор Лапласа.

Д)1/2 - корень квадратный от оператора —А, т. е. в случае RN справедливо следующее равенство:

-(-A)V2U = L | <1к\к\й(к)ехр(((к,х)),

RN а в случае ограниченной области Г2 с гладкой границей дП

00 к=1 где Ajt - к-е собственное значение, a Wk - я собственная функция первой краевой задачи для оператора Лапласа. й - преобразование Фурье функции и.

Х, ¥) - множество линейных непрерывных операторов, действующих из X в ¥.

А'и(-) - производная Фреше от оператора А (и) : X —> X*, А„(<) : X —> £(Х, X*).

X* - сопряженное к банахову пространству X.

П С RN - область в RN.

- замыкание области Г2. дО. - граница области Г2.

6 С*"1'^ - граница 8Q области fi G MN, которая может быть в окрестности каждой точки х G 5Г2 представлена локальными координатами

0 = * = l.N-l, причем функции <J>i являются m - раз непрерывно-дифференцируемыми функциями своих переменных, а ф|т\ т £ Z+, являются Гельдеровыми с показателем

5е( о, 1].

II • ||х норма банахова пространства X.

- множество всех функций на Г2, которые имеют р е N непрерывных производных в Г2.

C^(fi) - банахово пространство с нормой

M|o,= sup^|D>|. - множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. supp и - носитель функции и.

Lip(fi) -банахово пространство липшиц-непрерывных функций с нормой . \и(х) — и(у)\

II ti ||Lip= sup|u| + sup 1 ,иЛ. zen x,yen F УI

- банахово пространство гельдеровских функций с нормой , | и(х) — и(у) I и \\ол= sup u + sup ш-AM, s е 0,1 . хеи х,Уеп \х - у\д Т) - пространство абсолютно непрерывных функций. Т) - пространство функций с ограниченной вариацией.

- банахово пространство измеримых функций, суммируемых с р € [1,+оо] степенью в области ft с нормой ее J dx\u\p. и Iir n

•, •) - скалярное произведение в L2 (иногда используется для обозначения скалярного произведения в R^).

•, ■) - скобки двойственности между рефлексивным банаховым пространством X и его сопряженным X*. • ||* - норма банахова пространства X*, если || • || - норма банахова пространства X.

- гильбертово пространство измеримых функций, имеющих нулевой след на границе области О, у которых при т е N существуют т обобщенных производных из L2(ft), со скалярным произведением

Миу = £ a|<m

H"m(fi) - гильбертово пространство сопряженное к НдЧ^), любой элемент и которого можно представить в виде и= £ Daga, да е L2(Q), а\<т

- определяется посредством вещественной интерполяции:

И'(П) = [ЕГ(П),И°(Й)]в, (1 -в)т = з, те Z, 0 < в < 1.

Wfc'p(f2) - банахово пространство измеримых функций, у которых определено к € N обобщенных производных, суммируемых с р G К+ степенью в области, с нормой имеющей вид к к,р= £ || D™„ ||р . и т=1

Wg'p(H) - банахово пространство, состоящее из элементов банахова пространства Wfc'p(fi), имеющих нулевой след на границе области П.

W~к'р (Q) - банахово пространство, сопряженное к банахову пространству Wo'p(f2), р = р/(р — 1), элементы которого можно представить в виде и= ^De</e, 9с е a|<fc

•,-)s - скобки двойственности между дуальными гильбертовыми пространствами Bg(fi) и v)fc,p ~ скобки двойственности между банаховыми пространствами Wo'p(f2) и W~k'p' (П), р = р/(р - 1).

1/(0, Т; В) - Банахово пространство сильно измеримых на интервале (0, Т), (В) - век-торнозначных функций, для которых конечен интеграл Лебега т fdt\\u ||р, с нормой т \ Vp и ||= I J dt II и ||р - множество непрерывных и ограниченных операторов на банаховом пространстве У в смысле равномерной топологии пространства линейных операторов £(¥;¥*).

Т) = (AI — Т)-1 - резольвента оператора Т.

Cm(0, Т; В) пространство р - раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в банаховом пространстве В.

V(ti) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем.

V'(Q) - пространство обобщенных функций, двойственное к Х>(Г2). = {ие C°°(RN) : xQDР € L2(RN)}, для любых а,Р в

P'(RN) - пространство распределений медленного роста, двойственное к *P(RN). D'(0, Т; В) = C(V'(0, Т); В), В - банахово пространство.

Заключение

В заключение приведем основные результаты полученные в диссертации.

1. Приведена постановка начальных и начально-краевых задач для новых, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Исследованы нестационарные процессы в электромагнитных сплошных средах, в таких как полупроводники и магнетики, обнаружено что математические модели нестационарных процессов для широкого круга физических процессов редуцируются к начальным и начально-краевым задачам для сильно нелинейным уравнениям псевдопараболического типа. При этом получены как волновые, так и диссипативные уравнения псевдопараболического типа. При этом мы получаем модельные трехмерные уравнения. В в простейших случаях модельные трехмерные уравнения имеют вид трехмерных обобщений модельных одномерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса и Розенау-Бюргерса: (Аи - и) + иХ1 + иихх + Аи = 0, х = (xi,x2,х3) G Q G R3, д (-А2и + Аи — и)+ иХ1 + ииХ1 + Аи = 0, х = (xi,х2, х3) е Q Е R3.

Помимо данных простейших уравнений получены и новые сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа. В частности, были получены новые волновые существенно трехмерные уравнения псевдопараболического типа, в частности, такое д ^ р д / ди ди \ ^ р д / ди ди\^ д f ди ди \ ^ dt дх\ \дх2дх3) дх2 \дх3дх\) дх3 \дххдх2) '

А+/32 + /Зз = 0, Iftl + l&l + lftlX), а также некоторые его модификации, описывающие спиновые волны в магнетиках в рамках модели квазистационарного поля.

2. Исследовны вопросы локальной разрешимости, условий разрушения решений и глобальной во времени разрешимости. В диссертации приведено обобщение в широком смысле результатов и метода энергетических оценок Н. A. Levine, в первую очередь на случай нелинейных операторов эллиптического типа при производной по времени для некоторых классов дифференциально- операторных уравнений с нелинейными операторами коэффициентами. В частности, четко выделены пять классов:

Jt + Y, = F(u)> = W

А0и + ®(u) = F(u), и(О) = u0, ( A0u + ) + Ьи = F(«), u(O) = uQ, d

3) j=i

4) j (a0u + ^ Aj(u) j + Lu + DP(u) = F(u), u(O) = u0.

5)

Первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации. Второй класс содержит уравнения с нелинейной диссипацией и нелинейными источниками. Третий класс содержит сильно нелинейные уравнения с источниками и линейной диссипацией. Четвертый класс содержит сильно нелинейные волновые уравнения с источником Пятый класс содержит волновые сильно нелинейные уравнения с источником. Для каждого класса получены достаточные и необходимые условия "разрушения"решений, а также условия их разрешимости в любом конечном цилиндре Qx = ft х (О, Т), где, ft € RN - ограниченная область с достаточно гладкой границей. Причем для первого класса нами получены необходимые и достаточные условия разрушения решений.

3. Математически описаны физически важные существенно нелинейные эффекты, происходящие в реальных сплошных электромагнитных средах. Некоторые эффекты математически описаны впервые.

В заключение, мы хотим выразить признательность своим учителям А. Г. Свешникову и Ю. Д. Плетнеру за поддержку исследований и постоянное внимание к работе. Кроме того, мы хотим выразить признательность И. А. Шишмареву за многочисленные ценные замечания, улучшившие содержание работы.

1. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР,

2. Сер. мат. 1954. N 18. С. 3-50.

3. Александрии Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева// Тр. Моск. мат. об.-ва. 1980. N 9. С. 455-505.

4. Масленникова В. Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С. JI. Соболева// Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: 1971.

5. Маслов В. П. О существовании убывающего при t —У +оо решения уравнения С. J1.

6. Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической обла-сти//Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. N 6. С/ 1351-1359.

7. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970.

8. Копаческий Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей//Препринт/ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. N 38 71. 54 с.

9. Копаческий Н. Д., Темпов А. Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы//ЖВМ и МФ. 1986. Т 26. N 5. С. 734-755.

10. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи теории нестационарных внутреннихволн. М.: Наука, 1990.

11. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: наука, 1998.

12. Вишик М. И. Задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения// Мат. сб. 1956. Т. 39. N 1. С. 51-148.

13. Гальперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частнымипроизводными//Тр. Моск. мат. об-ва. 1990. N 9. С. 401-423.

14. Гальперн С. А. Задача Коши для уравнения С. JI. Соболева// Сиб. мат. жури. 1963.1. Т. 4. N 4. С. 758-773.

15. Плетнер Ю. Д. О колебаниях плоского двустороннего диска в стратифицированнойжидкости//ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. N 2. С. 278-290.

16. Симаков С. Т. К вопросу о малых колебаниях в стратифицированной жидкости//ПММ. 1989. Т. 23. N 1. С. 66-74.

17. Крутицкий П. А. Нестационарные планетарные волны в полуограииченных каналах//ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27. N 12. С. 1824-1833.

18. Секерж-Зенькович С. Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн//ДАН СССР. 1979. Т. 246. N 2. С. 286-288.

19. Плетнер Ю. Д. О построении решений некоторых уравнений в частных производных// ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 5. С. 742-757.

20. Плетнер Ю. Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных// ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 6. С. 890-903.

21. Плетнер Ю. Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторыеначально-краевые задачи//ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 12. С. 1885-1899.

22. Корпусов М. О., Плетнер 10. Д., Свешников А. Г. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке//ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N 9. С. 1112-1121.

23. Алыпин А. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Разрешимость одной внешнейначально-краевой задачи для уравнения ионно-звуковых волн//ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N 10. С. 180-189.

24. Алынин А. Б., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Однозначная разрешимость задачи

25. Дирихле для уравнения ионно-звуковых волн в плазме//ДАН. 1998. Т. 361. N 6. 749-751.

26. Алыпин А. Б. Начально-краевые задачи для уравнения составного типа с движущимися границами//ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42. N 2. С. 171-184.

27. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

28. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // ПММ. 1960. Т. 24. N 5. С. 58-73.

29. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей

30. Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды МИАН. 1988. Т. 179. С. 126164.

31. Дзекдер Е.С. Обобщение уравнений движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т. 202. N 5. С. 1031-1033.

32. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1967.

33. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

34. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости

35. Изв. вузов. Математика. 1988. N 1. С. 74-79.

36. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости//Изв.вузов. Математика. 1988. N 1. С. 62-70

37. Karch G. Asymptotic behavior of solutions to some pseudoparabolic equations // Math.

38. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20. N 3. P. 271-289.

39. Biler P. Long time behavior of the generalized Benjamin- Bona-Mahony equation in twospace dimensions // Differential and Integral Equations. 1992. V. 5. N 4. P. 891-901.

40. Goldstein J.A., Kajikiya R., Oharu S. On some nonlinear dispersive equations in severalspace variables // Differ, and Integral Equat. 1990. V. 3. N 4. P. 617-632.

41. Zhang L. Decay of solutions of generalized BBMB equations in n-space dimensions //

42. Nonlinear Analysis T.M.A. 1995. V. 20. P. 1343-1390.

43. Naumkin P.I., Shishmarev I.A. Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of

44. Waves. Translations of Mathematical Monographs 133 (Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1994).

45. Naumkin P.I. Large-time asymptotic behaviour of a step for the Benjamin-Bona

46. Mahony-Burgers equation // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1996. V. 126. N 1. P. 1-18.

47. Avrin J., Goldstein J.A. Global existence for the Benjamin-Bona-Mahony equation inarbitrary dimensions // Nonlinear Anal., TMA. 1985. V. 9. N 8. P. 861-865.

48. Jeffrey A., Engelbrecht J. Nonlinear dispersive waves in a relaxing medium // Wave

49. Motion. 1980. V 2. N 3. P. 255-266.

50. Albert J.P. On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahonyequation // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 141. N 2. P. 527-537.

51. Pereira J.M. Stability of multidimensional traveling waves for a Benjamin-Bona-Mahonytype equation // Differ. Integral Equ. 1996. V. 9. N 4. P. 849-863.

52. Hagen Т., Tun J. On a class of nonlinear BBM-like equations // Comput. Appl. Math.1998. V. 17. N 2. P. 161-172.

53. Medeiros L.A., Perla M.G. On global solutions of a nonlinear dispersive equation of

54. Sobolev type // Bol. Soc. Bras. Mat. 1978. V. 9. N 1. P. 49-59.

55. Guo В., Miao Ch. On inhomogeneous GBBM equations // J. Partial Differ. Equations.1995. V. 8. N 3. P. 193-204.

56. Mei M. Lg-decay rates of solutions for Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equations // J.

57. Differ. Equations. 1999. V. 158. N 2. P. 314-340.

58. Li Z. On the initial-boundary value problem for the system of multi-dimensionalgeneralized BBM equations // Math. Appl. 1990. V. 3. N 4. P. 71-80.

59. Chen Yu. Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahonyequations in arbitrary dimension // Appl. Anal. 1988. V. 30. N 1-3. P. 1-15.

60. Liu L., Mei M. A better asymptotic profile of Rosenau-Burgers equation // J. Appl.

61. Math. Comput. 2002. V. 131. N 1. P. 147-170.

62. Chung Sang K., Pani Amiya K. Numerical methods for the Rosenau equation// J. Appl.

63. Anal. 2001. V. 77. N 3-4. P. 351-369.

64. Lee H. Y., Ohm M. R., Shin J. Y. The convergence of fully discrete Galerkinapproximations of the Rosenau equation// Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. N 1. P. 1-13.

65. Mei M. Long-time behavior of solution for Rosenau-Burgers equation. II // J. Appl.

66. Analys. 1998. V. 68. N 3-4. P. 333-356.

67. Chung S.K., Ha S.N. Finite element Galerkin solutions for the Rosenau equation // J.

68. Appl. Anal. 1994. V. 54. N 1-2. P. 39-56.

69. Park M. A. On the Rosenau equation in multidimensional space // J. Nonlinear Analys.,

70. Theory Methods Appl. 1993. V. 21. N 1. P. 77-85.

71. Park M. A. Pointwise decay estimates of solutions of the generalized Rosenau equation//

72. J. Korean Math. Soc. 1992. V. 29. N 2. P. 261-280.

73. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994.1. Т. 49. N 4. С. 47-74.

74. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейныеуравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 5. С. 1130-1145.

75. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциальнооператорные уравнения. Новосибирск.: Наука, 2000.

76. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Marcel Dekker,1.c. New York Basel - Hong Kong. 1999.

77. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск.: Научная книга. 1998.

78. Stefanelli U. On a class of doubly nonlinear nonlocal evolution equations // Differential1.tegral Eq. 2002. V. 15. N 8. P. 897-922.

79. Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear differentialequations, volume 49 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. 1997.

80. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. Киев: Наукова думка,1998.

81. Кожанов А.И. Параболические уравнения с нелинейным нелокальным источником

82. Сиб. матем. ж. 1994. Т. 35. N 5. С. 1062-1073.

83. Кожанов А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником // Матем. заметки. 1999. Т. 65. N 1. С. 70-75.

84. Гладков A.JI. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейныхпсевдопараболических уравнений // Матем. заметки. 1996. Т. 60. N 3. С. 356-362.

85. Di Benedetto Е., Pierre М. On the maximum principle for pseudoparabolic equations

86. Indiana University Mathematical Journal. 1981. V. 30. N 6. P. 821-854.

87. Begehr H., Dai D.Q. Initial boundary value problem for nonlinear pseudoparabolicequations // Complex Variables, Theory Appl. 1992. V. 18. N 1-2. P. 33-47.

88. Begehr H. Entire solutions of quasilinear pseudoparabolic equations // Demonstratiomathematica. 1985. V. 18. N 3. P. 673-685.

89. Пятков С.Г. Краевые задачи для некоторых уравнений и систем, возникающих втеории электрических цепей // Актуал. вопр. совр. мат. 1995. N 1. С. 121-133.

90. Guowang С., Shubin W. Existence and non-existence of global solutions for nonlinearhyperbolic equations of higher order // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1995. V. 36. N 3. P. 475-487.

91. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = Au + u1+Q//J.

92. Fac. Univ. Tokyo. 1966. Sect. IA. V. 13. P. 109 124.

93. Levine H. A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formallyparabolic equations of the form Put = —Au + F(u)// Arch. Rational. Mech. Analys. 1973. V.51. P. 371-386.

94. Levine H. A., Payne L. E. Some nonexistence theorems for initial-boundary valueproblems with nonlinear boundary constraints// Proc. of AMS. 1974. V. 46. N. 7. pp. 277-281.

95. Levine H. A. Quenching and beyond: A survey of recent rezults, GAKUTO Internat.

96. Series, Math. sci. appl. nonlinear math, problems in industry Vol. 2 (H. Kawarada et al., eds.), Gakkotosho, Tokyo. 1993. pp. 501-512.

97. Levine H. A., Payne L. E. Nonexistence theorems for the heat equation with nonlinearboundary conditions and for the porous medium equation backward in time//J. differ, equations. 1974. V. 16. pp. 319-334.

98. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and nonexistence theorems forqusilinear evolution equations of formally parabolic type//J. Differential equations. 1998. V. 142. pp. 212-229.

99. Levine H. A., Serrin J. Global nonexistence theorems for qusilinear evolution equationswith dissipation// Arch. rat. mech. anal. 1997. V. 137. pp. 341-361.

100. Levine H. A., Fila M. On the boundedness of global solutions of abstract semilinearparabolic equations.//J. Math. Anal. Appl., 1997, V. 216. pp. 654-666.

101. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and global nonexistence of solutionsof the Cauchy problem for a nonlineary damped wave equation.//J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 228. pp. 181-205

102. Levine H. A. The role of critical exponents in blowup problems.//SIAM Rev., 1990. V.32. pp. 262-288.

103. Amann H., Fila M. A fujita-type theorem for the laplace equation with a dynamicalboundary condition//Acta Math. Univ. Comenianae. Vol. LXVI. 2(1997). P. 321-328.

104. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы собострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

105. Галактионов В. А. Об одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения щ = Аи1+<т + и0// Дифференциал, уравнения. 1981. Т. 17. N 5. С. 836-842.

106. Галактионов В. А. Об условиях отсутствия глобальных решений одного класса квазилинейных параболических уравнений//ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. N 2. С. 322-338.

107. Галактионов В. А. О неразрешимых в целом задачах Коши для квазилинейныхпараболических уравнений//ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N 5. С. 1072-1087.

108. Rossi J. D. The blow-up rate for a semilinear parabolic equation with a nonlinearboundary condition//Acta. Math. Univ. Comenianae. 1998. V. LXVII. N 2. P. 343 350.

109. Egorov, Yu. V.; Galaktionov, V. A.; Kondratiev, V. A.; Pohozaev, S. I. Global solutions of higher-order semilinear parabolic equations in the supercritical range.// Adv. Differential Equations 9 (2004), no. 9-10, 1009-1038. MR2098064.

110. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений дифференциальных неравенств в частных производных. Труды МИАН. 2001.

111. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решенийдля квазилинейных эллиптичексих неравенств//До клады РАН. 1998. Т. 359. N 4. С. 456-460.

112. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в ^//Труды МИАН. 1999. Т. 227. С. 192-222.

113. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейныхдифференциальных неравенств//Труды МИАН. 2001. Т. 232. С. 223-235.

114. Liu, Yacheng; Wan, Weiming; Lu, Shujuan Nonlinear pseudoparabolic equations inarbitrary dimensions.// 1997, Text.Article, Acta Math. Appl. Sin., Engl. Ser. 13, No.3, 265-278 (1997).

115. Fan, En Gui; Zhang, Jian. Blow-up of solutions to a class of nonlinear pseudoparabolicequations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 18 (1995), no. 4, 21-26.

116. Zhi Jian; Chen, Guowang. Blow-up of solutions to a class of quasilinear pseudoparabolicequations. (Chinese) Gaoxiao Yingyong Shuxue Xuebao Ser. A 9 (1994), no. 3, 228-236. MR1328063 (95m:35108)

117. Tian, Ying Hui. The blow-up properties of generalized nonlinear pseudoparabolic andpseudohyperbolic equations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 16 (1993), no. 4, 61-68. MR1250599 (94j:35092)

118. Shang, Yadong; Guo, Boling Initial-boundary value problems and initial valueproblems for nonlinear pseudoparabolic integro-differential equations. (Chinese. English summary) J. Math. Appl. 15, No.l, 40-45 (2002). [ISSN 1001-9847]

119. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир,1972.

120. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

121. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Совр. пробл. матем. Т. 9. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 89-166.

122. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка//Мат. сб. 1973. Т. 90. N 1. С. 3-22.

123. Иванов А. В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение//Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. N 6. С. 114-130.

124. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностыо//Матем. сб. 1997. Т. 188. N 9. С. 83-112.

125. Лаптев Г. И. Эволюционные уравнения с монотонным оператором и функциональной нелинейностью при производной по времени//Матем. сб. 2000. Т. 191. N 9. С. 43-64.

126. Кузнецов А. В. О разрешимости дважды нелинейных эволюционных уравнений с монотонными операторами//Дифференц. уравн. 2003. Т. 39. N 9. С. 1176-1187.

127. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников М.: Наука, 1990.

128. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.

129. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970.

130. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.

131. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. М.: Мир, 1996.

132. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

133. Федосов В.Н. Низкочастотные флуктуации и релаксация в полупроводниковом сегнетоэлектрике // Физ. и техн. полупроводников. 1983. Т. 17. N 5. С. 941-944.

134. Басс Ф.Г., Бочков B.C., Гуревич Ю.С. Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках М.: Наука, 1984.

135. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Атомиздат, 1989.

136. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. Неустойчивости однородной плазмы. М.: Атомиздат, 1975.

137. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1977.

138. Knessl Ch., Keller J.B. Rossby waves // Stud. Appl. Math. 1995. V. 94. N 4. P. 359-376.

139. Zakharov V.E., Monin A.S., Piterbarg L.I. Hamiltonian description of baroclinic Rossby waves // Sov. Phys., Dokl. 1987. V. 32. N 8. P. 626-627.

140. Zakharov V.E., Piterbarg L.I. Canonical variables for Rossby and drift waves in plasma // Sov. Phys., Dokl. 1987. V. 32. N 7. P. 560-561.

141. Козлов В.Ф. Формирование волн Россби в нестационарном баротропном океаническом потоке под действием возмущений // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. N 4. С. 410-416.

142. Bagchi В., Venkatesan С. Exploring solutions of nonlinear Rossby waves in shallow water equations // J. Phys. Soc. Japan. 1996. V. 65. N 8. P. 2717-2721.

143. Redekopp L.G. On the theory of solitary Rossby waves // J. Fluid Mech. 1977. V. 82. N 4. P. 725-745.

144. Tan В., Liu Sh. Nonlinear Rossby waves in the geophysical fluids // J. Math. Appl. 1990. V. 3. N 1. P. 40-49.

145. Tan В., Boyd J.P. Dynamics of the Flierl-Petviashvili monopoles in a barotropic model with topographic forcing // Wave Motion. 1997. V. 26. N 3. P. 239-251.

146. Camassa R., Holm D.D. An integrable shallow water equation with peaked solitons // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. N 11. P. 1661-1664.

147. Benjamin T.B., Bona J.L., Maliony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems // Philos. Trans. Royal Soc. London A. 1972. V. 272. N 1220. P. 47-78.

148. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg- de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. N 19. P. 1095-1097.

149. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи./Под. ред. С. П. Новикова. М.: Наука, 1980.

150. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

151. Фурман А.С. О стратификации объёмного заряда при переходных процессах в полупроводниках // Физ. твердого тела. 1986. Т. 28. N 7. С. 2083-2090.

152. Астратов В.Н., Ильинский А.В., Киселёв В.А. Стратификация объёмного заряда при экранировании поля в кристаллах // Физ. твердого тела. 1984. Т. 26. N 9. С. 2843-2851.

153. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд. Иностранной лит., 1962.

154. Крейи С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

155. Свиридюк Г.А., Семенова И.Н. О разрешимости неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Дифферен. уравн. 1988. Т. 24. N 9. С. 1607-1613.

156. Свиридюк Г.А., Казак В.А. Фазавое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа // Мат. заметки. 2002. Т. 71. N 2. С. 292-297.

157. Боич-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках. М.: Наука, 1972.

158. Ваксер А.И. Термотоковая неустойчивость в полупроводниках // Физ. и техн. полупроводников. 1981. Т. 15. N 11. С. 2203-2208.

159. Kirchhoff G. Vorlesungen uber Mechanick. Teubner, Leipzig. 1883.

160. Spagnolo S. The Cauchy problem for Kirchhoff equations // Estratto dal "Rendiconti del Seminaro Matematico e Fisico di Milano". 1992. V. 62. P. 17-51.

161. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Мат. сб. 1975. Т. 25. N 1. С. 145-158.

162. Ball J. Stability theory for an extensible beam // J. DifF. Equations. 1973. V. 14. P. 399-418.

163. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационые неравенства. М.: Наука, 1988.

164. Робертсои А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

165. Морен К. Методы Гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

166. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967.

167. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

168. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.:Наука, 1994.

169. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. Изд. Московского Университета. 1988.

170. Габов С. А. Об уравнении Унзема//ДАН СССР. 1978. Т. 242. N 5. С. 993-996.

171. Габов С. А. О свойстве разрушения уединенных волн, описываемых уравнением Уизема//ДАН СССР. 1979. Т. 246. N 6. С. 1292-1295.

172. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 2. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.

173. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

174. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Мат. сб. 1975. Т. 25. N 1. С. 145-158.

175. Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям// ДАН СССР. 1979. Т. 247. Т 6. С. 1327-1331.

176. Похожаев С. И. О собственных функциях уравнения Ди+Аf(u) = 0//ДАН СССР. 1965, Т. 165, N 1, С. 36 39.

177. Похожаев С. И. Об одном конструктивном методе вариационного исчисления// ДАН СССР. 1988. Т. 298. N 6. С. 1330-1333.

178. Похожаев С. И. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач//Труды МИАН СССР. 1990. Т. 192. С. 146-163.

179. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гос. изд. технико-теор. лит., 1956.

180. Люстерник Л. А., Шнирельмаи Л. Г. Топологические методы в вариациониых задачах. Труды Института математики и механики при 1 МГУ, 1930, 1-68.

181. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

182. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984.

183. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О нестационарных волнах в средах с анизотропной дисперсией // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. N 6. С. 968-984.

184. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40. N 8. С. 1237-1249.

185. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики //ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. N 12. С. 1835-1869.

186. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики. 2. //ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 11. С. 2041-2048.

187. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О модельном уравнении составного типа, описывающем переходные процессы в полупроводниках// Вестн. МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1999. N 6. Стр. 12-14.

188. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Об одной начально-краевой задаче магнитной гидродинамики// ЖВМ и МФ, т. 41, 2001, N 11, с. 1734-1741.

189. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость начально-краевой задачи для одной полулинейной системы уравнешш//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 7, с. 1039-1050.

190. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении за конечное время решения начально-краевой задачи для полулинейного уравнения составного типа. //ЖВМ и МФ, т. 40, 2000, N 11, стр. 1716-1724.

191. Корпусов М. О. К вопросу о глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного уравнения составного типа //ЖВМ и МФ, т. 41, 2001, N 6, стр. 959-964.

192. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Энергетическая оценка при больших временах для решения нелинейного уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 8, стр. 1200-1206.

193. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость и разрушение за конечное время решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 6, с. 849-866.

194. Корпусов М. О. К вопросу о разрушении за конечное время решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения//Дифференц. уравнения, т. 38, 2002, N 12, с. 1-6.

195. Корпусов М. О. "Разрушение"решения псевдопараболического уравнения с производной по времени от нелинейного эллиптического оператора// ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 12, с. 1717- 1724.

196. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрешимости сильно нелинейного уравнения псевдопараболического типа с двойной нелинейностыо//ЖВМ и МФ, т. 43, N 7, 2003 с. 944-962.

197. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, 2003, т. 43, N 8, с. 1159-1172.

198. Корпусов М. О. Пробой полупро1зодников//Радиотехника и Электроника. 2004. Т. 50. N 2. С. 252-255.

199. Корпусов М. О. О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева//Изв РАН, 2004. Т. 68. N 4. С. 151-204.

200. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О существовании решения уравнения Лапласа с нелинейным динамическим граничным условием//ЖВМ и МФ, т. 43, 2003, N 1, с. 113-128.

201. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Разрушение нелинейных волн Россби в полупроводниках// Радиотехника. 2005. N 1.

202. Korpusov М. О., Sveshnikov A. G . On blowing-up of solutions of Sobolev-type equation with source.// The ,,CUBO"mathem. Journal. 2005. V. 7. N 1. pp. 57-69.

203. Корпусов M. О., Свешников А. Г. О разрушении решений абстрактных задач Коши для нелинейных операторно-дифференциальных уравнений// ДАН, 2005. Т. 401. N 1. С. 1-3.

204. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении за конечное время решений начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с псевдо-Лапласианом//ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. N 2. С. 272-286.

205. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений полулинейных уравнений псевдопараболического типа с быстро растущими нелинейностями//ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. N 1. С. 145-155.

206. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решения начально-краевой задачи для нелинейного нелокального уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 12. С. 2104-2111.

207. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн. 2005. Т. 41. N 5. С. 1-8.

208. Корпусов М. О. О разрушении решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн., 2005. Т. 41. N 5. С. 1-4.

209. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками//Изв. Ран. 2005. Т. 69. N 4.

210. А. В. Alshin, М. О. Korpusov, Yu. D. Pletner, A. G. Sveshnikov Non-classical PDE of composite type as mathematical models of waves in mediums with an anisotropic dispersion.// 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10 to 14, 2000.

211. A. B. Alshin, M. O. Korpusov, Yu. D. Pletner, A. G. Sveshnikov Sobolev Equations as Mathematical Models of Processes in Mediums with a non-Isotropic Dispersion// First SIAM-EMS Conference "AMCW"2001, September 2 6, 2001, Berlin.

212. A. B. Alshin, M. O. Korpusov The application of dynamic potentials for the nonclassical PDE of composite type// International Conference "New Trends in Potential Theory and Applications", Bielefeld, Germany, March 26-30, 2001.

213. Корпусов M. О. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа и некоторых систем уравнений физики полупровод-ников//Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002", стр. 50-53.

214. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа//Межд. конф. "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."М. Август 11-17, 2002, с. 56.

215. Alshin А. В., Korpusov М. О., Pletner Yu. D., and Sveshnikov A. G. New Problems for Equation of Composite Type // Abstract of Short Communication and Poster Section, International Congress of Mathematicians, Beijing, August 20-28, 2002, p. 207.