Краевые задачи для стационарной системы теории упругости в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛСЫОНОСОЗА

БАЛАБАНОВ МАНСЛИС ВЛАДИМИРОВИЧ

УДК 517.925

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТ ОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученей степени кандидата физикв-натематических наук

Механикв-иатеиатический факультет

На правах рукописи

Москва 1991

ч

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математическог(| факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор, академик Российской Академии Наук О.А.Олейник.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, доцент Г.П.Панасенко кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А.С.Шамаев.

Ведущая организация - Институт прикладной математики

АН СССР.

Защита диссертации состоится Ц" ¿МьаЛ (I 1992г. в 16 час 05 мин. на заседании специализированного совета Д 053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1624.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " 4 О' 199$ г.

Ученый секретарь специализированного согета -Д 053.05.04 при МГУ, доктор физико-математических

наук .Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одними из основных вопросов, изучаемых в на тематической теории упругости, являются вопросы существования, единственности и устойчивости решений краевых задач. Одной из первых;работ, положивших начало систематическому изучению этих проблем, была классическая работа Фред-

гольма [I] , в которой первая краевая задача для линейной теории упругости в случае однородных изотропных тел изучалась методом интегральных уравнений.

Вторую краевую задачу для теории упругости исследовал

Корн £2] . В этой работе применяются интегральные уравнения

и в первый раз появляются неравенства, которые сейчас известны под названием неравенств Корна. Вслед за работой Корна появилось много работ, в которых доказывались различные модификации неравенств Корна и предлагались их приложения к исследованию различных вопросов теории упругости. В связи с этим отметим работу К.Фридрихса СЗД , в которой автором доказаны неравенства Корна и вариационным методом исследованы

первая и вторая краевые задачи теории упругости. Отметим так-ке работу Г.Фикера С43 , в которой с использованием неравенств

1.Fredholm J. Solution d*un problème fondamental de la theorie d*élasticité. Ark. Mat. Astron. Fys., 2. 28 (1906),

2.Korn A. Solution generale du problems d*équilibré dans la theorio d*elaatioltp dan? la cas ou les offopta sont donnes a la surface. Ann. Toul. Univ. (1908).

3.Friedrichs K.O. On the boundary valye prpblems of__theori of elasticity and Korn"s inequality. Ann. Math. 48 (1947).

*.Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. Ы.: Mrçj, 1974.

Корна и функциональных методов изучаются различные краевые задачи .для системы теории упругости. Новым эталрм е исследовании краевых задач для системы теории упругости, в частности, в изучении вопросов единственности, устойчивости и существования решений в неограниченных областях, являются работы Б.А. Кондратьева и О.А.Олейник С53 - CdJ . В этих работах для широкого класса неограниченных областей установлены неравенства Корна, а также и другие важные неравенства, и с их помощью исследованы краевые задачи для системы теории упругости.

Настоящая работа тесно примыкает к работам £5} - C8J . В ней устанавливаются неравенства Корна и другие важные для приложений неравенства, для неограниченных областей с липшицевой границей, а также для областей,содержащихся в слое. При помощи

5. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. - I9dd. - Т.43, JS 5. - С.55-98.

6. Kondratiev V.A.,01einik O.A. Kornes type inequalities for e class of unbounded domains and applications to toundary-value problems in elasticity//Elasticity,.Matem$tical methods and applications.Ed. Ъу C.Eason and R.W.Ogden.West Sussex, England,1990,211-233.

7. V.A.Kondratiev, Q.A.Oleinik. Hgrdy's and Korn*s type inequalities and their applications.,

Hendiconti di Maternatica, Serie 711,Vol.10, 641-666.

d. Кондартьев В.А., Олейник O.A. Новый подход к задаче Бус-" синеска и Черрути для системы теории упругости. // Вестник iffy, сер. I. Матем., мех. - 1991. - I. - С. 12-33.

этих неравенств исследуются краевые задачи .для системы теории. упругости в неограниченных областях.

Цель работы. Исследование вопросов единственности, устойчивости и существования решений второй краевой задачи, а так-то задачи со смешанными условиями для линейной системы теории упругости в неограниченных областях.

Научвая новизна. В диссертации получены обобщения неравенств Корна и Харди для неограниченных областей с липшице-вой границей, а также для областей, содержащихся в слое. Даны приложения этих неравенств к исследованию второй краевой задачи, а также задачи со смешанными краевыми условиями для линейной системы теории упругости в рассматриваемых областях.

Бее основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методы исследования. В диссертации используются функциональные и вариационные методы исследования краевых задач, а также методы теории пространств Соболева.

Приложение. Результаты диссертации являются продвижением в области теории краевых задач для эллиптических систем в неограниченных областях. Они представляют самостоятельный инте-рас и имеют применение в математической теории упругости и в задачах механики твердого тела.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на ХШ -Х1У совместных сессиях семинара имени Л.Г.Петровского и Московского математического общества (1990, [991гг.),на научно-исследовательских семинарах механико-ыате-натического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в деух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Глава I состоит из четырех, глава П - из трех, глага Ш '- из двух параграфов. Список литературы содержит 18 наименований. Общий объем диссертации 112 стр.

Содержание диссертации. Во введении показана актуальность темы работа, проводится обзор ранее полученных результатов по этой теме, дается их краткий анализ, формулируются основные результаты диссертации.

В диссертации исследуется единственность, устойчивость и существование обобщенных решений краевых задач для линейной системы теории упругости в неограниченных областях.

В § I главы I, используя формулу продолжения функции, предложенную в работе Нитше £9] (по этому поводу см. также монографию И.М.Стейна С10Ц ). устанавливаются следующие результаты.

Теорема I (теоремы I.I и 1.2,гл. I). Пусть вектор-пункция Ц определена в области с = , Ос = (эс., Хк)

Х= (Xi,...,3Ch.t>, Хк^(р(ж), Hp(3C)-(p(J)| 4 М|х-9Ь

М = const.

9. JiAiNitsche. On Когп*в second inequality.,

R.A.I.E.0. Analyse numerique, vol. I5,Ko3,I9SI.

10. И.М.Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

(1)

(2)

Тогда существует Еектор-функция V , определенная в IR, такая, что "lf(.2c)='U.(oc) в £1. и справедливы неравенства

где постоянные Ci . Ci не зависят от И. и

ем- fel^ss)^

л

В § 2 глэеы I .для областей , определенных выше (так называемых специальных липшицвЕых областей), устанавливаются неравенства Корна и Харди. Эти результаты содержатся е следующих теоремах.

Теорема 2 (теорема 2.3 гл. I). Пусть - специальная лилшицевая область в IR, и К.£ • ^ли 00»

то существует кососимметрическая матрица Л с постоянными элементами, такая, что

D(u-Äx,D_)4C3E(u,n.), (3)

где постоянная С3 не зависит от IX. .

Теорема 3 (теоремы 2.7 и 2.9, гл. I). Пусть

а

- специальная липшицевая область в IR* , функция Ut Не,* (Sl) и D(U^)<CX3 . Тогда

||и-мГ|э:Го1х С^D(u, О.) при ЮЗ, с

4)

л.

где ГЧ некоторая постоянная, зависящая от К. С^ и С 5 не зависят ст П..

В этом параграфе неравенства Корна и Харди доказываются также и дая других широких классов неограниченных областей (см. теоремы 2.4, 2.5, 2.10,гл. I).

В § 3 главы I рассматривается система теории упругости

I ^ аик\ л *х<1аЧ(х> Г Ь = ^ в С1, (6)

кк ■

где _ ограниченные измеримые в-О. функции такие,

что для любого X е кк кк

= , (7)

< , (В)

Д1 . Л 2 - положительные постоянные, ^ ^ симметрическая матрица, ^ ='Т. к • 1*111= ^Тч •

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от I до п . Для системы (6) рассматривается вторая краевая задача

У на , -О)

где 6Ч^)= ( , Сп(Ж>) } К=

= °Ц ^ ^ ' • • > - единичный

Еектор Енешней нормали к 'дГХ .

Для задачи (6), (9) веодится понятие обобщенного решения и доказывается теорема единственности и устойчивости.

Теорема 4 (теорема]3.1 гл. I). Пусть -П_ - специальная липшицавая область в и ЛИ^х) - обобщенное решение за-

дачи (6), (9), для которого < СЮ . Пусть да-

лее

•X < Оо

г

|У|Х£ксх:>€и < оо э

где

1 , 1 1+1«1хС£1х1, IГ\ = 2

Тогда найдутся постоянная кососимметрическая матрица А и постоянный вектор В) такие, что

(10)

(II)

0(и-АхА)4С6 ДЩ ук(«)Ах + ,

за ^

где постоянные Се и С-? не зависят от*Ц. . Если "\)Г = 0 и О , тогда

и= + В> (12)

В § 4 глзеы I доказывается теорема существования обобщенного решения задачи (6), (9).

Глава П посвящена исследованию краевых задач теории упругости в бесконечных областях, содержащихся в слое. Рассмотрим е пространстве неограниченную область: : 1_,**[Р,1], где|_в.С:1{С к является областью вида = 0

П ; 01= Ссйг$"Ь ^ О . угол в с Еершинои в точке 0 = (<>,о), а .

В § I главы П доказываются аналоги неравенств Харди и Корна.

Теорема 5 (теоремы 1.1 и 1.2 гл. П). Пусть IX. £ Тогда .

9 \ 1 * ^ ^ > (14)

-^-оо XI а.

где постоянная / | зависит от 1л , С^ и 1^9 от и не зави- •

сят.

Теорема 6 (теорема 1.4,гл. П). Пусть и £ Н^ и = 0 . Тогда существует постоянная кососиммет-

рическая матрица Л={с*-ч.з\, О, = 2 , Ъ } такая,

что

^Ч-Лх,^оОч<С1вЕ(и^-и) 5 (15)

где постоянная Сю не зависит от И .

В § 2 глэеы 11 при помощи неравенств (14) и (15) доказывается теорема устойчивости и единственности решения следув-

щей краевой задачи для системы (6):

Ми)= V* , , и3= о на (16)

Ми) К.»4-,а,3 на Гг, (IV)

где Г1= Э-О-о-П , Гг= Г^ .

Будем предполагать, что

Г"'

Л

I

||| ^«и <оо,

ои

(16)

(19)

где (£)=

Теорема 7 (теорема 2.1 гл. П). Пусть

и (ос) - обобщенное решение задачи (6), (16), (17), .для которого оо. Тогда найдутся кососимметрическая .матрица А^ОЦ^СС^О,^ , постоянный вектор В- ) такие> что

л,

4 Л<х

Если о , ,

О , тогда

и= ь.

Б §3 главы П доказывается теорема существования обобщенного решения задачи (6), (16), (17).

В главе Ш исследуются краевые задачи Черрути и Буссинес-ка, а также различные модификации этих задач для слоя. Пусть

о. = |Ца*Со,1], По^ Г2 о п.

В § I главы Ш доказаны теоремы единственности, устойчивости и существования для следующих краевых задач для системы теории упругости (см. теоремы 1.1-1.4, гл. Ш):

на

Г*.

с,

на

на

а) '6,ДгО= 6"*(и) 8 о , иъ = 0 &*1и)=0, к г 1 ,Х,Ъ

где 5 - ограниченное множество в Га.

ь> о, и-ь = Ф

К = 1>2>Ъ 6-1 (ю = О

В § 2 главы Ш исследованы следующие краевые задачи для системы (6) (см. теоремы 2.1-2.4 гл. Ш):

а) Ми)'°у их=иа-0 на VZJ

на б 3 на & ,

на »'Гд. .

^ъ^о • ва П.,

ъ) ^ОДавич^О, иъ=0 на

^-0,41=112=0 на С ,

1С =1,2,2» на Г^Ч^

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Ольге Арсеньевне Олейншгза постановку интересных задач и постоянное Енимание к работе.

Работы автора по теме диссертации.

1. Балабанов М.В. Неравенства типа Корна и краевые задачи для системы теории упругости в некоторых классах неограниченных областей // УШ. - 1990. - Т.45, № 4. - С. 130-131.

2. Балабанов М.В. Аналоги неравенств Харди и Корна и их приложение к решению краеиых задач теории упругости в бесконечных областях, содержащихся в слое. - Деп. в ВИНИТИ 29.05.91, № 2250-В91.