Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного эллиптико-параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГВ~ЛОДдд

ЙКЙДЕЩ ...НйЗК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН / 1 [¡^Цнйстатут натенатики иненя в. И. ронановского

Яв.пра&ак рукописи.

МЯРСЙГДТОБ Яцхрат 1авкатсвич

ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНОЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЫРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА СМЕШАННОГО 3ЛЛИПТИКО—ПАРАО ОЛИЧЕСКОГ О ТИПА

01.01. ог - Дл^Фередашальные гргззгнюг

АВТОРЕФЕРАТ'

диссертации на соискания тчешоА степени кандидата $изико-нате»атических наук,

т а вс к: е е г — 1995

Работа наполнена в Институте нате катюш имени В. И. романовского АН Республики Узбекистан.

Научный руководитель - академик.

доктор Физико-натекатических наук, профессор Т. jx. Дхураев

Официальные оппоненты - а к а л е н и к АТН России.

доктор Физико-на тематических наук, профессор В. и. Врагов

- кандидат Физико-математических наук.

с. з. Дхаиалов

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной

математики АН Республики Казахстан.

3агата диссертации состоится ____ 1993 Г.

в/^" часов на заседании специализированного совета Д 015.17.21 в Институте математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, р. Ташкент -143. ул. ф. Ходхаева. 29.

с диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. и. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат Разослан ________ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета «

доктор Физ. -мат. наук ЦЦ - JLQMíjp ш. А- Хашинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа за последние годы, благодаря своей практически значимости, превратилась в один из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первым фундаментальным исследованием по уравнениям смешанного типа второго порядка явилась работа Ф.Трикомн.

Уравнения эллиптчко-параболического типа являются одним из основных разделов в теории уравнений смешанного типа. Они могут быть положены за основу математического моделирования ряда важных прикладных зада« естествознания. Например, некоторые задачи, совместно - раздельного течения вязяоупругой и вязкой жидкостей, движения газа в канале, изучения движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости и др. сгодятся к изучению краевых задач для эллиптико-параболичесних уравнений.

Бсльпинство основных результатов, имеющихся к настоящему времени в теории уравнений смешанного типа, можно найтк в монографиях и работах А.В.Бицадзе, Л.Берса, М.С.Салахитдинова. Т.Д. Даураева, М.М.Смирнова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, В,И.Врагова, В.Ф.ВолкодавоЕа, Т.Ш.КальменоЕа, А.Г.Кузмкна, А.А.Деэтна я других.

Г- настоящее время достаточно шого работ посвященных выявлению классов единственности п.существования решений локальных п нелокальных краевых задач для уравнений сысягнного типа, как в ограниченных, так к в неограниченных областях. При этой используются различные подходы. Настоящая работа посзящеяг разви-

тип этого круга вопросов в сдедущих направлениях:

■ I) Доказать теоремы единственности и существования решений локальных краевых задач для вырождающихся эллиптико-аараболи-ческих ураьнеяий второго порядка в ограничен;--эос областях, а также определить класс искомых функций к поведение границы области параболической части уравнения, в зависимости от степени вырождения.

2) Доказать единственность и существование решения нелокальных краевых дадач для эллиптико-параболо-гиперболических уравнений второго порядка, в ограниченных областях.

3). Получить энергетические оценки, аналогичные неравенствам, вырожащим принцип Сен-Бснг.-а в теории упругости, и на их основе доказать теоремы единственности и существования решения нелокальных краевых задач для эллиптико-параболического уравнения второго порядка в неограниченных областях в классах растущих функций, а также указать условия на свободные чле;ш уравнений, при которых существует единственное решение соответствупцей задачи из указанных классов.

Цель рабо"ы.

I. Установить теоремы единственности и существования решений локальных краевых задач для Еырожцаицихся зллиптико-параболичес-ких уравнений в ограниченных областях, а также определить класс искомых функция в зависимости от степени вырождения.

П. Доказать теоремы единственности и существования решений нелокальных краевых, задач для эллиптико-параболо-гиперболических уравнений в ограниченных областях.

0. Для решения гзллызтико-параболических уравнений получить пнергетические оценки, аналогичные неравенствам, выражающим

принцип Сен-Венана в теории упругости.

1У. Доказать теор'емы существования и едкнстве.чности решений нелокальных краевых задач в неограниченных областях для эллип-тико-параболических уравнений в классах растущих функций в зависимости от геометрических характеристик области и поведения правой части уравнения на бесконечности.

Методы исследования. Для решения локальных краевых задач в ограниченных областях единственность доказывается на основе принципов экстремума для эллиптических и параболических уравнений. Разрешимость задачи устанавливается с помощью метода потенциалов и теоремы Шаудера о неподвижной точке.

Остальные результаты работы доказываются методами функционального анализа с использованием теорем вложений, априорных оценок и методом весовых (функций (см. О.А.Олейник, Г.А.Йосифь-ян, Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неограниченных областях, Сиб. матем.журнал, т.19, £5, 1978, с.1154).

Научная новизна. В работе исследованы вопросы разрешимости, единственности и гладкости решений некоторых локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка в ограниченных областях. На основе энергетических оценок Сен-венановского типа, полученных методом весовых функций, для общего линейного эллиптико-параболического уравнения второго порядка с нелокальными краевыми условиями доказаны теоремы существования и единственности решений в неограниченных областях. Полученные при этом оценки учитывают геометрические свойства области. Б диссертации используются новые подходы к исследованию рассматриваемых задач.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носкт теоретический характер. Результаты работы найдут применение в качественной теории уравнений с частными производными, а также могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" Института математики имени В.И.Романовского АН РУз. (руководители акад.АН РУз. М.С.Салахитдинов, акад.АН БУз. Т.Д. Джураев), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных памяти В.И.Романовского (1990, 1991 гг.), на Всесоюзной школе молодых ученых "функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (г.Ташкент, 1988г.), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнением й оптимально^ управлении (г.Ашхабад,1990г.), на Всесоюзной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (г-Алма-Ата,1991г.).

Публикация. По теме диссертации опубликовано пять научных статей, в которых отражено основное содержание диссертации.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа, изложенная на 116 "границах машинописного текста, состоит из введения, двух глав н списка литературы содеряего 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов, полученных ранее .различными авторами по вопросам теории уравнений смешанного типа, примыкающим к теме диссертации. Кроме того, во введении

кратко сформулированы основные результаты настоящей работы. В главе I рассматриваются локальныа и нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в ограниченных областях. Во второй главе рассматриваются нелокальные краевые задачи для эллиптико-параболических уравнений в неограниченных областях. Перейдем к изложения результатов каждой из двух глав. В §1 главы I рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка

Р

Ц^ИХ^О а , т>0, ■

(I)

где = 0<я<{„ С<ь<т}, а область %

ограничена отрезком [0,Т] оси и нормальной кривой ££ с концами в точках А(0,0), Е>(0,Т) лежащей в полуплоскости Э~< О ; УП. и р - постоянные. Обозначим через замыкание $¿(¿=¿,2)

•л положим $ = и Ъ2 и (А, В ) .

•Задача. £) . Требуется найти функцию Ыобладающуп следующими свойствами: ^ -

непрерывна в 9 и имеёт непрерывные производные

. по X в £) :

2) имеет производные, входящие в уравнения (I) я удовлетворяет км соответственно в областях , ;

3) и(%,{.) удовлетворяет следующим кабальны?« и граничным условиям

^ Ч><±), (3)

и.I - , 0<:5<$а . (4)

Задача исследуется при следупцах предположениях относительно заданных функций:

I. Функции Ц(Х) , ^(а) и

таковы, что: Ш

% [ОЛ1 \

если г Ч>(Ь)£Ж 2 если

2 <■ С^ "С 2 ; непрерывная функция, при

06 5£50; 1/(21) = (0)*0 ) , где

пространство Гельдера, У £.(0^11 , {о>

т->0 - заданные действительные числа, £ - длина дуги , отсчитываемая от точки Л (0,0) .

П. Функции / , ^ н ф удовлетворяют условиям соглосования:

У(0) - /(О), = и ;

Единственность решения задачи доказывается на основе принципов экстремума для эллиптических и параболических уравнений. Разрешимость задачи устанавливается с помощью метода потенциалоа и теорема Шаудера о неподвижной точке.'

В §£ первой главы изучена следущая краевая задача для уравнения-

Lu^A^*-"*'0---9^'- с

иХх+1%Ги^о в Вг,

где /П- CCVZJ¿ г - i< )п <¿0 ;

Q'l(Xfí):.0<X<k(í)tO<t¿rfk(Í)>o}, X~k(i) - заданная функция, а область ограничена отрезком [О,7 J оси ¿ и гладкой кривой б" с концами в точках А(0,0) , &(0,Т), лежащей в полуплоскости Х<-0 .

Задача V . Требуется найти функцию U(X,i), обладапцув

следующими свойствами: .

I) Lí{X,"L) непрерывна в $ , имеет непрерывны? производные

U^B^UGTU (Х = hii)) я в ^и^ие, причем

вблизи точек 1 и S они могут обращаться в бесконечность по-1

рядка ниже ;

Z)U(x,í) засеет производные, входящие в уравнение (5) и удовлетворяет им соответственно в областях Ъ^ и .

3)¿¿(jr.удовлетворяет начальным й граничным условиям:

и(Х,0) = ЩХ)г OéXéh(O),. (б>

OüUT, (7)

-ю-

где заданные функции;

£ - дайна дуги кривой б" — отсчитывается точен &(0,Т). Задача исследуемся при следующих предполокениях относительно заданных функций:

I. Кривая ДГ=А (£) при

определяющая боковую границу , удовлетворяет условию

, О^.Мт.

Здесь {^-ГП+2 , ¡С и — постоянные положительные числа П. Заданные функции , УСс) и 4(5) такова, что

Я-*

% [0,к(0)],

кепрерыЕные функции при О^£<Т , б щяО<$<£. Е. Функции У 1! У удовлетворяют условию согласования

[у'(к(о))++) - У О» -

Теорема I. Пусть функция ¡1 непрерывно дифференцируемая на О^ЪйТ ? и решение задачи (5)-(8)

существует, тогда ранение соответствующей однородной задачи имеет только тривиальное решение.

Доказательство теоремы приводится с помощью метода интегралов энергии. Существование задачи {5)-(В) доказывается как и в первом параграфе с помощью метода потенциалов и теоремы Шаудера о кеподвЕЕной точке.

-и -

В §3 первой главы рассматривается уравнение сметанного типа второго порядка вида

(9)

в ограк-гченной области (у — О. *(Р>Т), где Л^ ,

, 0<Т<*> , причем [£$$.>¿1$]*

в & для всех ау=гг\ £./= , а* , ,

/С , /С^ , С , С^, , С£ — ограничены и измерила в & ; /С (г, Т$ = О) - О е . Для уравнение (9) расскат-

ривяется след.--ггзая нелокальная задача:

на Г~90*(0,Т\ (Ю)

(II)

3 53 главы I доказывается существование я единственность регентш задачи (9)-(П) в пространствах СЛ.Соболева

Во второй глаЕе диссертации рассматривается-нелокальная краевая задача (Э)-(П) в неограниченной области & - О* (0,Т), где Фа ^ , 0<Т<со .прием

а?(сс,1)$с$.>о при лвбом , с^-а^ ,

¡С(х,±)^0 в £ , !С(ОС.,С) - к: (Л, Т) ^ О вО ; функция О?

непрерывны э £ ; а , О,. С ; /С , Л, ^ Р ,

-

ггрн ¡с~ I ограничены и измеримы в любой конечной подобласти области 6- (¿,¿=4,..., п) .

Относительно границы Зб- области лредпогоггаг, что

Г иС2 СГ) , где область на. гиперплоскос-.

гиперповерхность такая, что в некоторой окрестности любой точки поверхность ЭО пред-ставима в виде Зу а ^ ''"' ПрИ какоы~

либо У , где

о,.

Пусть { (i-z J - (QjT)j- семейство конечных подобластей области Q- , зависящее от параметра

г,); z ел « [z: z.cz" ], ■ti,...J, z'-izl...,^ ), Г/

Будем считать, что G^. ^ если tj ~ « J= X—,^ •

Обозначим *(0,Т) и предположим, что

V

£ - U 5ч- » где 5-т- - связная (П-4) - мерная поверхность обладащая той же гладкостью, что- и СУЪсг > & ее граница

эз csg.

Будем ■предполагать, что для Се./7 с Z^ ФО

Ч L

при i „ V в некоторой окрестности «^i можно ввести ло—

* ' с

кальные координаты у = ,... ^ ^ ) так, что ^ ~ ,

J- , где функции непрерывно дифференцируемы,

плоскость содержит J^. при всех Z^ из не-

которой окрестности . Легко видеть, что для любой непрерывной функции 1>(ЭС,1) и любого Z^&^O, ) справедливо равенство

9Xt * .s

-,гз -

где ds - элемент площади Yi- мерной поверхности $ ,

1

- / ^ ^ ^ - непре-

рывные функции в \ й-а .

Положим ч '

■с.

при (%,£)£ , где

единичный вектор внешней нормали к Р=д^2х(0,Т)'}

• ^ ' "С тг

£ '''*£'

Введем обозначение Ч

dij

' / ^

•Положим при Се Л/,

где 'fa - множество функций Wнепрерывно дифференцируемых в окрестности S^ при & я равных нули на ST йГ.

Будем предполагать, что существует непрерывные паложжгельнне функций А^СГ) при гге П , У , такие»- что

- ч -i • >

Л'- -

и что система уравнения

имеет решение "С{<1)= Ту (с£) ) с условием

Т(0)~0, причем функция Т^ (с1) имеет, обратную функцию с/- ) При , где

,..., ) обозначает первую точку пересечения ' траектории Т, выходящей из точки , с границей /7 ,

если Л ограничено. Если » ¿~ ¿г } ^ * то будем

предполагать, что "С* = с© , у- . ) ,

£.- л/ , если /7 ограничено, и если Т^—0" ,

л*.....' • . ■■ '

Теорема 2. Пусть И(х,{.) является обобщенным решением задачи (9)-(II) в области 6-, причем /= £3 в , -)С^Х,0)-аСХуО)<0 в О^о. Тогда при любых и таких, что имеет место оценка

'(Я-Ы

10.(и)С(Хс{г. (12)

£ а

(2С*)с1хсИ . £ е(К ^ | о.(и) с1хсИ

Далее кз основе оценки (12) получена теорема единственности решения задачи (9)-(П) в неограниченной области О.

Зз оценки (12) следует, что если и (ос, {.) является обобщенным решением задачи. С9)-(П) в й- и для некоторой последовательности

действительных чисел {jÇ.J . такой, что J^-*-«' при j~+">t:>

справедливы неравенства-

\&(u)dxdtéé(R.)eapjRj}, ¿'-1,2,...} £ è â

где ¿.(Rj)-*~0 при » то О б . Это означает,

что чем сильнее сужается область

Q . тем больший рост допускается для интеграла энергии решения принадлежащего к классу единственности рассматриваемой задачи.

Б §2 на основе оценки (12) также пглучена теорема существования решения задачи (9)-(II) в неограниченной области G- .

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что 2 ! j g cl^ içi é cl è ."éj i , , - положительные постоянные,

¿¿tfi. >,o , , tc*o ,аЛа'\ 2a-ct>f>o ,

<t=awi, c<0 , c^o, э £ îtt^.ay,

êU , CiLl ' , CL XCL, С , К. непрерывны

и ограничены в Q. , = Л. , cfl(X,T)s. CL^(X,0) ,

а«Г)- icçz,Tka(z,oy к^о) ?0 в Q .

Обозначим через ту часть О , где £ Т) - Oj.5удям считать, что

¥ С.(х,т)~t(oc,o)в Q\Q? .

Положим

M<Lj*ri\]amàkdti Wd* ). fr ¡a ë '

z(k)

л Г )

* гсп Чк) ' >

где Г (1с) = [г^с),..., Г (1с) ] -

вектор функция.

Теорема 3. Пусть для каждой из областей ^^^^ имеем А .. ) ? О к пусть функция определена в О- ,

Ъ(к)

удовлетворяет соотношениям

^Т(с)

где С&ПЯ^<5^. постоянная С не зависит от £ . Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (9)-(П), для которого справедливы неравенства

&-СОО

Автор-считает своим долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю академику АН Республики Узбекистан, заслуженному деятелю науки Узбекистана, профессору Тухтамураду Джуреевичу ДЕУРАЕВУ за постановку садач, неоценимую помощь и постоянное внимание при работе над диссертацией.

. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛВДУЩЙХ РАБОТАХ •

1. Т.Д.Джураев, С.Якубов, Ш.Ш.Мирсагатов. Однозначная разрешимость одной краевой задачи для вырождающихся эллиптико-па-раболических уравнений второго порядка. В книг.*Неклассичес-кие уравнения математической физики и задачи теории ветвления". Ташкент. ФАН. 1988. 3-16.

2. Т.Д.Джураев, С.Якубов, Ш.Ш.Мирсагатов. Об одной краевой задаче для вырождающихся яллюзтико-параболических уравнений второго порядка; Известия. АН УзССР. 1988. М. 18-25,

3. Ш.Ш.Мирсагатов. О единственности решения нелокальной крае-" вой задачи для- яллиптико-параболичёских уравнений в неограниченных областях. Дифференциальные уравнения и оптимальное управление. Тезисы докладов Всесоюзной конф. Ашхабад.1590.95-56.

4. Ш.Ш.Мирсагатов. О нелокальных краевых задачах для уравнений смешанного типа в неограниченных областях. Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнения. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. А:. 'а~Лтз. 1991.

5. Т.Д.Джураев, Р.Р.Кадыров, Ш.Ш.Мирсагатов. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнений смешанного ^кяа. УзЫ£. 1992. №2. 13-17.

Подписано в печать - 5.05.93 г.

Формат бумаги 60x84. -^16. Бушгз типографская к! I.

Печать "РО'ШШТ". Объём 1.0. Тараз - КО за.

Заказ й 54.

Ротадрааг "Вигам - 93е.

Таакент, уз. А.Хадыря» 13.

ИККИНЧИ ТАИИЕЛИ лг/иш 1УРДАГИ ЗЛШТИКО-ШИШОК ТЕНГЛАМАЛАР УЧУН ЛСКАЛ ВА НОЛАКАЛ ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР

Зллиптико-пвраболик тенгламалар - аралаш турцаги тенгламалар нас-ариясининг асосий ^исмларицан бири зрсобланади. Бу гурда г и тенгламалар физика ^амда механика масалаларини хал этшда жуда катта а^амиятга эгацир.

Диссертацяянинг биринчи бобида иккинчи тартибли эллиптико-параболик ва эллиптико-параболо-гиперболик тенгламалар учун че-гараланган сохада локал ва нолокал чегаравий масалалар ургашл- ■ ган. Биринчи бойца куйилган барча масалалар ечимларининг мавжуд-лиги ва ягоналиги эца^идаги теоремалар исботланган.

, Иккинчи бобэллиптико-параболих тенгламалар учун чексиз со-з^аца нолокал чегаравий масалаларни урганишга баришланган. Бу тенгламалар учун махсус интеграл ба^олар олинган. Щу интеграл ба^оларга асосланиб чексий со^аца нолокал масалалар ечимлариншг мавжудлиги ва ягоналиги хасидаги теоремалар исботланган, хамца соз^а Ееометриясига узвий борликликда ягоналюс синфлари ^айц этилган. .

LOCAL AKD NOIilOCAL BOUHDARX VALUE mOBLEKS FCB THE SECOKD CRBER MIXED ELUPTIC-PAEABOLIC Ti^E EQUATICffiS

The theory of elliptic-parabolic type equations is one of the basic parts of mixed type equations theory. Such equation® are often used in the applied problems of mechanics and physics.

In the first chapter of the work local and nonlocal boundary value problems for the second order elliptic-parabolic and elliptic-parabolic-hyperbolic equations in the bounded region studied. The existence and uniqueness theorems for these problems are proved.

In the second chapter nonlocal boundary value problems for the second order elliptic-parabolic equations in the unbounded domain are considered and enerqetic estimations for the equations obtained. They are siailar to Saint-Tenant'o principle in the elasticity theory. Etc- existence and uniqueness theorems ffxr nonlocal boundary value problems in the unbounded domains on the set of inereasing functions' are proved by means of these estimations; moreover "the class of functions where there is unique solution of the equation is defined by geomsrtical characteristics of domain.