О краевых задачах для эллиптико-параболических уравнений со знакопеременной квадратичной формой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ШШСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУЮ1, ШЖЙГШКОйЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛЯНКИ КЖЗР

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВШШЙ. : УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЗА1ШР0В Сангага Хгашатови'Ч

УДК 517.95

г с --

У

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

для элжптжо-таБОжчшаа уравнений

СО ЗШШЕРЕДШЮЙ ШДЕИИНОЯ ФОЕГОЙ 01.ОХ.02 - да@еревдиаяьные уравнения

'Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фйзико-«атеиатических наук

НОВОШШВСК - 1992

Работа выполнена р Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель! доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Врагов

Официальные оппоненты: доктор 'физико-математических наук,

профессор С.И.Кабашшш

кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Хабиов

Ведущая организация: Институт вычислительно!! технологии

СО РАН

Защита состоится

п п 1992 т в

на заседании Специализированного ученого совета К 063.98.04 Новосибирского госунигверсптета по присуждении ученой степени кандидата наук по адресу: 630090, Новое ибирск-90, Пирогова, 2, С диссертацией ыошо ознакомиться в- библиотеке Новосибирского госушпзепелтета (Новосибирок-90,' Пирогова, !2). Автореферат разослан " ^¿-¿г-*^ 1992 г. ,

Ученый секретарь Специализированного ..овета доктор физико~математачео1сих .

наук, доцент Б.3.Капитонов

(ВДШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Многие задачи механики, финики, геофизики приводят к решению уравнений в -частных производных, которые не входят в известные класса эллиптических, параболических или гиперболических уравнений. Такие уравнения, как правило, стали называть некласоичеоками уравнениями математической" физики. К ним отнооят уравнения смешанного типа, ¿ллип-тико-параболаческого типа, уравнения составного а смешанно-составного типог.

Впервые некяасскческае уравнения математическая физики появились как уравнения смешанного типа при исследовании около-авуковнх течений' в работе О.А.Чаплыгина "О газовых струях". Начало систематическому исследовании уравнений смешанного типа положил Ф.Трикоми в 20-е года, а затем в 30-е годы юс изучение продолжил Геялерстеда.

Современное развитие теории неклассически* уравнений началось о исследований советских математиков. М.А.Лаврентьева, М.В.Келдыша, А.В.Бвдадзе, Ф.И.Фрашсля, К.И.Бабентю, И.Н.Векуа, Л.В.Овсянникова и' др. В их работах было указано на важнооть изучения некяасоических уравнений математической физики, в частности задачи 'Траками; в связи с трансзвуковой газовой динамикой, магнитогидродааашческшя течениями о переходом через скорость звука и скорость Альфвена, с течением жидкости в открытом канале, с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей, а

также с безмоментвоЯ теорией оболочек о кривизной переменного знака и с многими другими вопросами механики.

Среда работ пооледних лет, посвященных изучению неклассических уравнений, необходимо отметить работы Ю.М.Березанского, Б.II.Враге за, Т. И. Ка льыенова,; В. П. Михайлова, Е.И.Моисеева, A.I.I. Нахушева, MJJ.Смирнова, С.А.Терсенова, Б.А.Бубнова, А.И.Коаано ва, С.Г.Пягкова и др.

В настоящее время имеется большая оерия работ, в которых рассматриваются задачи о "нелокальными" граничными условиями. Краевые условия "нелокальны" в том смысле, что задают связь между значениями решения и его производных в различных точках границы. В первые задачи с условиями такого типа, возникающими в газовой динамике, исследовал Ф.И.Франкль. Новый толчок данное направление получило после впхода работ А.В.йацадэе, АД.Самарского и А.А.Дезнна.

При исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа естественно стал вопрос об исследовании краевых задач для вырождающихся эллиптических, гиперболических и параболических уравнений; В . ..ботах Ы.В.Кеидша, 1.Фикера, О.А.Олейник и'других авторов были предложены новые подходы п метода дня построё-»

ная единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений второго порядка с квадратичной фогмой тлеющей определенный знак,'в частности для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. Поэтому представляет интерес изучение кгаевях задач 'для эллштигеихарайолпчеоких уравнений с квадратичной формой меняющий знак в'области задания уравнения.

Известно, что в некоторых скучаях эллиптико-параболическ:е_ уравнеиия редуцируются к элииптичеегшм уравнениям с операторам

Эйлера-Дарбу. Изучению свойств решений и исследования краевых задач для Эллиптических уравнения с оператором Эйдера-Дарбу, посвящено много работ как отечественных так и зарубежных авторов. Достаточно полная библиография по теории таких уравнений оодерштся в работах Н.Ыйдаабова, М.М.Смирнова, С.А.Терсево-Ва, А. , &ёслл€ег*г и др.

Первая краевая задача дяя эяшптико-парабояичеокого уравнения с знакопеременной квадратичной формой, вообще говоря, переопределена. Поэтому были основания подозревать, что использование "нелокальных" условий по крайней мере по одному из переменных неизбежно ' пра описании разрешимых расширении для некоторых классов операторов.

Цель работы - доказательство разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для эллиптико-параболяческих уравнений со знакопеременной квадратичной формой, постановка и доказательство однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для эллиптико-параболических уравнений со знакопеременной квадратичной формой редуцируемых к задачам дяя эллиптических уравнений с оператором Бессеяя.

Общая методика исследований. В, диссертации используются метод априорных оценок, метод "£~ регуляризации", метод разложения Фурье о выбора.! специального базиса. При исследовании краевых задач для уравнении Эйяера-Дарбу используются методы теории аналитических функций. .

научная новизна, теоретическая з практическая ценность. В диссертации получены следующие новые результаты:

I. Для о,иного класса элтштако-параболичест-шх уравнений со знакопеременной., квадратичной Горной в прямоугольник», д.г.азаны:

а), обобщенная разрешимость в весовом пространстве Соболева локальной краевой задачи;

б) существование решения нелокальной краевой задачи.

Иоояедованн некоторые свойства решений этих задач..

2. Д"я эллиптических уравнений о оператором Эйлера-Дарбу первого порядка, в прямоугольнике содержащем линию вырождения внутри, доказана однозначная разрешимость одной нелокальной краевой задачи и разрешимость в верхней полуплоскооти задачи с "Бесовыми* уопови^ми. •

3. Для одного класса эллиптических уравнений с оператором Эйлера-Дарбу второго порядка в прямоугольнике содержащем линию вырождения внутри Доказана однозначная разрешимость в некоторых классах функций локальных и нелокальных краевых задач.

Полученные результаты имеют теоретическое значение, • ' Апробация работа. Результаты дассёртацпи обсуждались на семинарах профессоров В.Н.Врагова в ИМ СО РАН, Н. Р. йджабова в Тадаикокоы университете, докладывались на У школе-семинаре по неклассичеокЕм уравнениям математической физики (Улан-Удэ, • 1985 г.), ¡¡всесоюзной конференции по да^ференцаалънш и ин-тегхальннм уравнениям (Дуйбшев, 1987 г.), на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1987 г.), на конференции молодых ученых Казахстана (Алма-Ата, 1980 г.), ; на Всесоюзной студенческой конференции (Ловооибирск, 1980 г, и 1986 г.),., '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы . „в работахLI -63. ■ \ . , .

, Структура и объем работы, Диссертация состоит из введения, ■ двух глав, разделенных на-параграфа и списка литературы (84 названия).Она изложена на 87 страницах-машинописного текста.

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен - лито рагу рный обзор и сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В § I первой главы в прямоугольнике рассматривается уравнение

где , «г -целые неотрицательные числа, J

<г 'гЛ), ¿Г^'^ ^^ •

Задача. Найти решение уравнения (I) в области л? , удовлетворяющее краевым условиям

Вводятся обозначения: - класс функций из ¿^с^?) удовлетворяшщх краевым условиям (2).

и ¿¿¿¿г) - гильбертовы прост рано тва полученные пополнением класса по нормам

= лг »* ¿а ¿т.. &

* - клаос функция , удовлетворяю-

щих краевым условиям

Определение. функции «г-*-,^ ^С-я> будем называть слабым обобщенный решением краевой задачи (0.3) - (0.4), еоя для всех функций имеет место тождество

с . ^ -д. «у *

где ^г** - формально оопряженный оператор к оператору

Теотема I. Пусть в области -2? для коэффициентов уравне^ иия (I) помимо вышеприведенных условий выполнены условия

(3)

Тогда для любой функции Жг-^у существует

слабое обобщенное.решение задачи (I), (2) из пространства

Доказательство этой теоремы проводится методом "<£ - ре«-гуляризацш", получением равномерных по опенок.

Теорема 2. Пусть в области ¿о коэффициенты уравнения (I), <?¿гг^^и для них

выполнено условие (3). Кроме того пусть в

Тогда для любой функции слабое обобщенное

решение задачи (I), (2)'будет принадлежать пространству

Доказательство проводится методом введения "орезадщей" функции и получением априорных оценок на решение регуляризо-тнного уравнения. ■

В § 2 первой главы в прямоугольнике 4'¿с-*,^■ <• ^ я*?**/ рассматряваегся уравнение

Задача. Найти решение уравнения (4) в области , удовлетворяющее краевым условиям

Те орет 3. Пусть в уравнения (4) - целые

числа, <?</ и такие, что на сегменте

С/ выполнены усговия

«Гсгу--¿(¿Юг /^Лгт с? } - четная функция,

^ -^г^гг^^ -нечетная функция,

Тогда для любой функции , где ^

такой, что и коэ^фици-

. ^ «о

ентн разложения в ряд Фурье по системе

имеют порядок

—-—--)J■e><I¿</

задача (4), (5) при имеет решение

Доказательство теоремы основывается на представлении решения поставленной задачи в виде ряда Фурье по системе ^ ^

и принципе максимума для выровдавдихся эллиптических уравнений.

В § Г второй главы в прямоугольнике -

рассматривается уравнение

где - постоянные, причем су-оо2-^*^^ «целое неотрицательное число.

Задача. Найти решение уравнения (6) в области ' удовлетворявшее следующим условиям

(7)

и условию склейка .48)

(причем пределы слева и справа конечны), где

¿Я-—-—/с - ). -заданная на

функция. • Вводятся обозначения:

¿Сае,^).- "Я/?* \ ¿ж**/

класо функций из г-'^) <? удов-

летворяющих условиям (7),

Теопема 4. П^сть входные данные задачи (6), (7), (8) удовлетворяют условиям

у -г.

а функция екрл-е такая, что

= - а, <р''<гф (р"<'7-> - а. Тогда в класое

задача (6), (7), (8), имеет единственное решение, которое явно выписывается, причем Л-е/ ЛГ«1

В § 2 второй главы в верхней полуплоскости х7-"■/^уЛ'-«-"«^. рассматривается уравнение

^ (9)

.йгЙа (¿-г)* ' '

где ~

> - натуральное

число.

Задача Д. Найти решение уравнения (8) из класса имеющее при + & порядок и убывающее на беско-

нечности при , по.граничному условию

где * , , ^с^ заданные н

на веществен позначные функции.

Задача А . Найти решение .'уравнения (8) из клаоса ¿'¿Ф имеющих при порядок и убывающих на беоконеч- '

ности при , а также удовлетворяющих граничному условию

' (Ш

л-г ** ....

где - V, , /л-у '^сх; - заданные на

(■-■со^азУ ветественнозначнне функции.

Теорема 5. Пусть в условиях (10) и (II) функции ^(¿с; и вмеоте со своими производндаа до -го (в случае

задачи ^ до (<**-? )-го) плрядка включительно непрерывны и при имеют порядок --^лгг1 >&. Тогда

задача _4 и задача ^ имеют решения из вышеуказанного клаоса.

При доказательстве теоремы 5 попользуется известное представление решений уравнения (9) в полуплоскости , через две ана-лптические функции.

В § 3 второй главы в области рассматривается уравнение

Задача I. Найти решение уравнения (12) в области <? , удовлетворяющее условиям . • ггс-?,у; к^ис^;

<- -'¿С: ^ с

гге^с, О ) « ггс^ # J с

(13)

(14)

где ^ ,^ - постоянные, ^^ - известные функции на

г*,*7 .

Задача П. Найти решение уравнения (12) в области 4> удовлетворявшее условиям ссл-Г-А^^-^с г-*-,у;

/¿7^, ¿у - гггс^

где ¿Г -постоянные, тшше, что ,

J ¿¿¿^- заданные на функции.

Вводятся обозначения:

^- класс функций из <? , удовлетворяющих условиям (13).

. - класс функций из , удовлетворяющих условиям

(14).

г., ^

-Г £ ^

4 = г2) аг , Л? *

¡£ * ^аыт? г? J ¿с* ><, ¿з , , .

Теорема 6. Пусть в условиях сформулированных задач:'

1) £>/(■£ , ^¿¿г ^

2) ""^гъ г}, гу^сх/*' /у и такие, что

у ^ "-'с о; =* ^ ^^ ~ ^ = у '-^(ту

2. '

Тогда при г~гг " ^ >

задача (12), (13) в класое и задача (12), (14) в классе ^однозначго разрешимы, причем эти решения аналитические по переменной -г.

Доказательство теоремы 4 и теоремы 6 основывается на представлении решения поставленных задач в виде ряда Фурье и свойствах оператора Бесоеяя.

Автор выражает искреннюю благодарность научному, руководителю д.ф.-м.н., профессору В.Н.Врагову за постановку задач и внимание к работе.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих работах;

1. Закиров С.'Х. Краевые задачи для несимметричного решения одного модельного уравнения с сингулярной линией// Изв. АН Тадк. ССР. фаз.-мат. и геол.-хим. наук. - I983.-T.88, В 2. -

С. 67 - 70,

2. Закиров С.Х. Краевая задача для одного вырождающегося эллиптического уравнения// Уравнения некяассического типа/ АН СССР. Сиб. стд-цие. Мн-т ыатеттшш. - Новосибирск, 1986, -С. 61-65.

3. Закиров С.Х. О существовании решения ^нелокальной крае-воЛ задачи для одного вырокдающегооя эллиптическогоуравнения . с квадратичной формой меняющей' знак// Неклассическг^ уравне-

ния математической физики/ АН СССР. Сиб. отд-ние. йн~т математики. - Новосибирск, 1986, - С. 153 - 1Ш.

4. Загаров С.Х. Нелокальная краевая задача для одного вы-, рождающегося эллиптического уравнения// Тез.докл. конф. по дифферент и интегр. уравнениям, Куйбышев, 1987. - С. 63-64.

5. Баки ров СЛ. Нелокальная краевая задача для одного вн-ровдающегооя внутри обяаоти эллиптического уравнения// Неклао-сические дифференциальные уравнения в частных производных/ АН СССР. Саб. отд-ние. Ия-т математики. - Новосибирск, 1988. - . С. 130 - 136,

6. Загаров С.Х. Краевые задачи для одного эллиптического' уравнения четвертого порядка с сингулярными коэффициентами// Алгебра я математический анализ. - Новосибирск: ШУ, 1990. - . С. 35 - 40.-