Контактные задачи для полубесконечной пластины с конечными и полубесконечными накладками (стрингерами) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АРМ.ССР

ЕРЕВАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АГАБЕКЯН ПАЙКАР ВАРАЗДАТОВИЧ

УДК 539.3

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПМСТИНЫ С КОНЕЧНЫМИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫМИ НАКЛАДКАМИ (СТРИНГЕРАМИ)

(специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1990

Работа выполнена в Институте механики АН Арм.ССР

Научные руководители: член-корр.АН Арм.ССР, доктор физико-математических наук, профессор В.С.САРКИСЯН, кандидат физико-математических наук, доцент Э.Х.ГРИГОРЯН

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор В.М.АЛЕКСАНДРОВ кандидат физико-математических наук, доцент С.С.ШАГИНЯН .

Ведущая организация: Ленинградский политехнический

«

институт

Защита диссертации состоится " J. " икона 1990г. в \Ъ°° часов в аудитории 0 на заседании специализированно го совета (шифр К 055.01.02) по присуждению ученой степени кандидата физико,-математических наук в ЕрГУ по адресу: Ереван,37504 ул.Мравяна I, ЕрГУ, факультет механики.

С диссертации можно ознакомиться в научной библиотеке ЕрГУ.

Автореферат разослан «25» fl.npM.A- 1990г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент Й/Ж . М.М.МИНАСЯН

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию контактных задач о передаче нагрузки от тонкостенных элементов в виде стрингеров (накладок) различных длин к упругой, сплошной, однородной полубесконечной пластине и полуплоскости.

Актуальность темы. Задачи контактного взаимодействия тонкостенных элементов различных длин с массивными деформируемыми телами составляют обширный раздел теории смешанных и контактных задач механики деформируемого твердого тела. Этот раздел включает в себе как классические контактные задачи линейной теории упругости, так и современные сложные задачи о концентраторах напряжений типа стрингеров (накладок), включений, штампов и разрезов различных физических свойств и геометрических форм. Ввиду их большого теоретического и прикладного значения, исследование этого круга вопросов в последнее время получило интенсивное продвижение и развитие, связанные с возрастающими запросами инженерной практики: использование армированных композиционных материалов; применение тонкостенных элементов в авиационных аппаратах, в измерительной технике, сварочных и клеевых соединениях и во многих других отрослях инженерной практики.

Эти задачи способствуют разработке новых эффективных методов математической физики.

Цель работы- заключается в получении простых расчетных формул для контактных напряжений под стрингерами, выявлении характерных закономерностей взаимодействия стрингеров с полубесконечной пластиной, с полуплоскостью и взаимовлияния стрингеров между собой, путем исследования и построения эффективного решения разрешающих интегральных и интегро-дифференциальных уравнений при определенных граничных условиях. Сюда входят также вопросы аналитического исследования структур ядер и решений этих уравнений.

Научная новизна. В работе изучен новый класс контактных задач1 о передаче нагрузки от тонкостенных элементов в виде конечных и полубесконечных стрингеров к упругой однородной полубесконечной пластине и полуплоскости. Впервые поставлены контактные задачи для упругой полубесконечной пластины с конечным и полубесконечным стрингерами, расположенными на.одной линии, одно из которых выходит на границу пластины. Рассмотрено также контактная задача для упругой полуплоскости, усиленной на своей границе конечной и полубесконечной накладками. Проведено аналитическое ис-

следование разрешающих уравнений. Для некоторых физико-механичес * ких и геометрических параметров контактирующих пар выяснены характерные закономерности изменения тангенциальных контактных сил под стрингерами и по результатам вычислений построены графики. Опробирован способ сведения функциональных уравнений к системам алгебраических уравнений, неизвестным которых являются вычеты трансформант искомых величин.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчете многих инженерных конструкций и их деталей, подкрепленных или армированных тонкостенными элементами: в тензометрии, при проектировании различных деталей летательных аппаратов, при строительстве дорожных и аэродромных покрытий, I практике сварочных и клеенных соединений и во многих других областях прикладной механики. Математические способы опробирован-ные в работе могут быть использованы при решении других задач мг тематической физики.

Достоверность. При решении поставленных задач применялись точные аналитические методы: метод интегрального преобразования Фурье, метод факторизации, методы решения функционально-разносТ' ных уравнений , методы ортогональных многочленов Чебышева и Яко< Полученные результаты в некоторых частных случаях сравнены с известными результатами,

Апробация работы.Результаты работы регулярно докладывались на семинарах отдела "Механика конструкций из композиционных материалов" и на семинарах и конференциях молодых ученых Институ та механики АН Арм.ССР; на 1У Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса,1989г.).

В окончательном виде диссертационная работа доложена на оС щем семинаре Института механики АН Арм.ССР и на семинаре каыед! механики сплошной среды Ереванского государственного университе Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

. Объем работы. Диссертационная работа изложена на 119 стра! цах машинописного текста, содержит 9 рисунков.и список литерат; ры содержащего 134 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, за ключения и списка цитированной литературы.

Во введении кратко определены цель, научная новизна и актуальность выполненной работы, дана краткий обзор ряда основополагающих работ: Б.Л.Абрамяна, А.Я.Александрова, В.М.Александрова, 0.1.Артюхина, Н.Х.Арутюняна, В.А.Бабешко, А.В.Белоконя, Н.М.Боро-цатева, И.И.Векуа, И.И.Воровича, Л.А.Галина, Э.И.Григолюка, Э.Х. Григоряна, Д.В.Грилицхого, В.Т.Гринченко, С.С.Заргаряна, А.И.Ка-ландот, А.С.Космодашанского, А.И.Лерье, Н.Ф.Морозова, В.И.Мосса-ковского, А.М.Мкртчяна, Н.И.Мусхелишвили, Б.М.Нуллера, Г.Я.Попова, В.К.Прокопова, В.С.Проценко, В.Л.Рвачева, А.И.Ростовцева, В.С.Сар-кисяка, В.М.Сеймова, В.М.Толкачева, А.Ф.Улитко, Я.С.Уфлянда,Г.П. Череганова, Д.И.Шермана, И.Я.Штаермана и других посвященных контактном задачам теории упругости и разработке математических методов, грименяемых при решении задач для различных областей, Более подробно анализированы работы: К.Л.Агаляна, В,М.Александрова,Н.Х. Арутюяяна, Р.Ф.Банцури, Э.Х.Григоряна, Д.В.Грилицкого, А.И.Калан-дия, Г.А.Морарья, Б.Т.Нуллера, Л.О.Овсепяна, Г.Я.Попова, В.С.Саркисяна, В.М.Толкачева, Л.А.Фильштинского, С.С.Шагиняна, посвященных радению контактных задач о взаимодействии тонкостенных элемента с различными телами.

'Первая глава имеет вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы приводятся некоторые основные соотношения Плоской задачи теории упругости. Во втором параграфе приводятся некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье и о его аналитических свойствах. В третьем параграфе с помощью обобщенного интегрального преобразования Фурье построена функция влияния для упругой однородной, полубесконечной пластины малой постоянной тол-щиш, когда на нее действует сосредоточенная единичная сила.

Во второй главе рассматривается контактная задача для полуплоскости, граница которой усилена двумя конечной и полубесконеч-нсй накладками малой постоянной толщины, с различными модулями упругости. Накладки деформируются под действием сил, приложенных на концах накладок. Решение поставленной задачи, при помощи интегрального преобразования Фурье, сводится к решению функционального уравнения относительно трансформанты Фурье танген-щальных контактных напряжений и деформации точек границы полуплоскости находящихся между накладками:

при граничном условии

Т + (о)=Р , (2)

где

Л ;6-4 ^ 16-а.

(е) = Г< (€■) + %(*) >

оо

(3)

-оо во

-оо

лк

77

Ъ^С*) и - интенсивности тангенциальных контактных

сил в интервалах (0,а) и , И*°(х) - горизонтальные пе

ремещения граничных точек полуплоскости, и - модули упругости накладок при 0<ллЛ. и ^«схсе» , А- - толщина н£ кладок, /*■ и £ - упругие постоянные полуплоскости, ^С*,) -функция Хевисайда,

Функциональное уравнение (I) решается, рассматривая его ка! краевую задачу Римана теории аналитических функций, так как представляет собой граничное значение аналитической функции /С+С« (о( = Р+Н) при ±-+0 .

Далее, методом факторизации решение этой задачи сведено к

:истеме сингулярных интегральных уравнений, относительно каса-'ельных напряжений под конечной накладкой (О,а.) и деформации "очек границы полуплоскости между накладками . С помощью

|ртогональных многочленов Чебышева полученная система интегральна уравнений сведено к квазивполне регулярной бесконечной систе-1е линейных алгебраических уравнений.

Осуществлено численное решение бесконечных систем задачи.Вымелены искомые величины. Результаты вычислений приведены в виде ■рафиков, показывающих изменения контактных напряжений в зависи-гости от физических и геометрических параметров.

В третьей главе рассматриваются контактные задачи для полу-¡есконечной пластины с конечными и полубесконечными накладками.

В первом параграфе этой главы рас "чэивается контактная за-;ача для упругой полубесконечной пластиь^, усиленной двумя нак-адками. Накладки находятся на одной линии перпендикулярной к ■ранице пластины. Одна из них конечна и выходит на границу плас-'ины, а другая - полубесконечная. Накладки, имеющие различные мо-,ули упругости, деформируются под действием сил, направленных доль накладок, приложенных на их концах. Относительно накладок :рименяется модель контакта по линии, т.е. предполагается, что ангенциальные контактные усилия сосредоточены вдоль средних ли-мй контактных участков. При помощи интегрального преобразования урье, задача сведена к решению разностного функционального урав-:ения относительно трансформанты Фурье тангенциальных контактных апряжений:

Ш = (X+1 С*). +

(4)

ри граничном условии

?(-0 = Р

где ^ ^-¿¿^ыл:} Х^ЧЛа^Р)'1 , ^И(си^Р)'1, (6)

ТН = Р[*М] ,

- оператор Фурье, и - модули упругости накладок, Н - толщина пластины, р - площадь поперечного сечения накладок.

На основе метода решения разностного функционального уравне ния, решение поставленной задачи сведено к системе сингулярных интегральных уравнений, относительно касательных напряжений под конечной накладкой и деформации точек отрезка между накладками, Затем, с помощью ортогональных многочленов Чебышева и Якоби полученная система интегральных уравнений сведено к квазивполне р? гулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Во втором параграфе рассматривается контактная задача, для упругой полубесконечной пластины с двумя конечными накладками расположенными на линии перпендикулярной к границе пластины. Од. на из накладок выходит на границу пластины. Накладки имеют различные упругие характеристики, не одинаковые площади поперечных сечений. К ним считается приемлемой модель контакта по линии. Пластина деформируется под действием сосредоточенных сил, прило женных на концах накладок.

Здесь, при помощи интегрального преобразования Фурье и мет да факторизации, решение задачи сведено к системе функционально уравнения относительно трансформанты Фурье тангенциального контактного напряжения под накладкой, выходящей на границу пластиь и сингулярного интегро-дифференииального уравнения относительнс касательных напряжений под накладкой целиком лежащей на пласт«

Г- си » ГМ ГМ-Ь^Ь—,

I К™ = ГЙ ' ГЙ " Г^л^

\ х 4 У

+ 1 {к^&ъШ)*!'-****4

V °

при условии у ^ (8)

ГДв П^М^'

—оо

= Р'1 [ФМ] > РМ^'РМ]' -——~

^ =-х ^

Р ['] - обратный оператор Фурье, - сосредоточенные

силы приложенных на концах накладок.

Далее, используя аналитические свойства трансформант Фурье неизвестных контактных напряжений и свойства многочленов Чебьшева, решение задачи сведено к квазивполне регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно вычетов трансформанты Фурье контактных напряжений и коэффициентов разложений по многочленам Чебышева. Приведена численная реализация задачи, при котором выявлен эффект взаимовлияния стрингеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертационной работе поставлены и решены новые контактные задачи плоской теории упругости и взаимодействии контактных элементов в виде накладок (стрингеров) различных длин и различными .свойствами с упругими телами, моделированными в виде упругой полубесконечной пластины. В точной математической постановке плоской теории упругости, в рамках известных физических предположений относительно контактирующих тел, в работе получены математически обоснованные решения указанных выше задач. '

2. Решена контактная задача для полуплоскости, граница которой усилена двумя конечной и полубесконечной накладками с различными модулями упругости. Применением методов факторизации и ортогональных многочленов Чебьшева решение задачи сведено к квазивполне регулярным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

3. Впервые получено решение контактной задачи для упругой полубесконечной пластины, усиленной двумя конечной и полубесконечной накладками с различными модулями упругости, расположенные на одной линии перпендикулярной границе полуплоскости. Причем конец конечной накладки выходит на границу пластины. Совместное применение методов решения разностных функциональных уравнений и ор-

огональных многочленов позволило свести решение задачи к беско-:ечным системам линейных алгебраических уравнений. Доказана квази-¡олная регулярность этих систем.

4. Впервые поставлена и решена контактная задача для упругой юлубесконечной пластины с двумя конечными накладками ра'сположен-мми на одной линии перпендикулярной границе пластины.Причем ко-шц одной из накладок выходит на границу пластины.

На основе совместного применения методов факторизации и ортогональных многочленов Чебьшева решение задачи сведено к квазивпол-1е регулярным бесконечным системам линейных алгебраических уравне-тй относительно вычетов трансформанты тангенциальных напряжений, . ;ействующих под накладкой выходящей на границу пластины, и коэффи-даентов разложения тангенциальных напряжений действующих под дру-?ой накладкой.

5. Во всех задачах выделены особенности тангенциальных контактных напряжений и получены расчетные формулы для этих напряжений. При помощи этих формул, для конкретных значений геометрических и физических параметров получены графики распределения контактных тангенциальных напряжений. Графики,показывающие общую характеристику распределения напряжений,приведены на рис.1,2,3,4, причем графики на рис.1 и рис.2 относятся к случаю,когда накладки приложены на границе полуплоскости,а та рис.3 и рис.4 изображены напряжения под конечными накладками действующими на полубесконеч-

0 - 12 - T.W к=4

{

а. ■

-i (fí\ ИИ

// N*-* /|| II

' Рис.2.

\ %(9) К = ',5 /

0 0,5 1

1 а. Л <4 А- с X а.

Рис.4.

Все численные результаты рассматриваемых контактных задач проводились на ЭВМ ЕС-1022 по программам,составленным на алгоритмическом языке ФОРТРАН-1У.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. Агабекян П.В. Контактная задача для упругой полуплоскости усиленной на своей границе конечной и полубесконечной накладками. - Изв.АН Арм.ССР, Механика, 1989, № 3, с.21-27.

2. Агабекян П.В. Контактная задача для полубесконечной пластины с конечной и полубесконечной накладками.-В сб.-Механика деформируемого твердого тела. Изд.АН Арм.ССР,Ереван:1989,с.17-23.

3. Агабекян П.В.,Григорян Э.Х. Контактная задача для полу-'бесконечной пластины усиленной двумя конечными стрингерами (накладками) .-Изв. АН Арм.ССР, Механика,1989, № 5,с.47-59.

4. Агабекян П.В. Контактные задачи для полубесконечной пластины с конечными и полубесконечными накладками.(стрингерами).-

1У Всесоюзная конференция "Смешанные задачи механики деформируемого тела".Тезисы докладов, I часть, Одесса, 1989, с.7.