О контактных задачах для полуплоскости и составной плоскости, усиленных кусочно однородными тонкостенными элементами и о методе плоских волн в динамических задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г б О Д^ аии Ш7'и1П',,1,из,> ^иэмпк

2 5 ДПР 1334

Ч-фчпщиВ Ъчфигп Ътитф

^бпр цп- чбпр <а«гииьа риршштиз виррьрпч ш-^ьшвчив

11|>ии<ирй-пкэ-зиъ ьч пиаиарзш. <ир1»пъг»з1ги <иаир ипъзимзизм, кл/Тфръьрь иишл, ьч ипиэаи«1иг,пьг»зиъ зьипьг>зиъ «мл»шл*1 ьл^гьърпыг ии^еъьрь иъв-п*«»

тшм,

и"ишйик)]15шр)шВ5 01.02.04 - цЬфпгйшдфщ пфГщ 15щпШ]1 'ЛЪ^ишГфЦш .ЭДиОДиыиирМмц^Цш^шб «^иш^тСПЬт^ Г)п1)5пг[1 о}иш1|ш(| ниифйшб^ ЬицдйигС

иьчиич-ьр

ЬгЬиий 1994р.

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ НАН РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ

На правах рукописи

Григорян Эавард Хосрововип

О КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И СОСТАВНОЙ ПЛОСКОСТИ, УСИЛЕННЫХ КУСОЧНО ОДНОРОДНЫМИ ТОНКОСТЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И О МЕТОДЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ.

Специальности. - 01.02.04- механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученной степени доктора физико-математических наук

Ереван 1994 г.

Работа выполнена в Ереванском Государственном Университете.

Официальные оппоненты:

Г. II. Багдасарян доктор физико-математических наук, профессор, член корр. HAH РА,

B.C. Тоноян доктор физико-математических паук,

А.Н. Мартиросян доктор физико-математических наук.

Ведущая организация НИИ механики и прикладной математики Ростовского Государственного Университета

Защита диссертации состоится " 10 • имх

1094 г. в ■и часов на заседании специализированного Совета Д 005.23.01 при Институте Механики НАЛ Армении по адресу г. Ереван, ул. маршала Баграмяна 246.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института Механики НАН Армении, ул. маршала Баграмяна 246.

■31 -

Автореферат разослан VJ " / 1004 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук, профессор P.M. Киракосян

р. ¡¿и^&е^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ Диссертационная работа посвящена исследованию задач для упругих полуплоскости и кусочно-однородной плоскости, усиленных накладками (стрингерами) и включениями различных длин и свойств. В ней изучаются также особенности распространения магнитоупругих волн, на примере задачи об установившемся колебании бесконечной магнито-упругой плоскости. Кроме того, иллюстрируется эффективность метода плоских волн в одной его простейшей модификации при рассмотрении задач о сосредоточенном импульсе, действующего в одном случае в бесконечной магнитоупругой среде, а в другом - на границе упругой полуплоскости (задача Лзмба).

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Контактные задачи о передаче нагрузки от, тонкостенных элементов в виде накладок (стрингеров), включений и пластинок к массивным телам, которые представляют теоретический интерес и имеют практическое значение, в последнее время получили бурное развитие. Эти задачи, в рамках принятых гипотез, учитывающих тонкостенность одного из контактирующих тел, сводятся к решению родственных математических задач, встречающихся при обсуждении классических контактных задач теории упругости, но вместе с тем, требующих отыскание новых эффективных методов их решения. Указанные задачи Являются актуальными, поскольку они встречаются в современной технике прй проектировании авиационных конструкции, при расчете фундаментов зданий, аэродромных и дорожных покрытий, при расчете на прочность композиционных материалов, в тензометрии и других областях прикладной механики, а разработанные при этом новые эффективные методы могут иметь свои применения в различных

областях математической физики.»

В настоящее время представляют интерес вопросы, распространения упругих волн, при наличии-различных факторов, действующих на этот ■ процесс, а также выявления эффективности методов математическое! физики при решении определенного крута задач.

Цель работы заключается: в разработке математически обоснованных Методов решения контактных задач для упругих плоскости и полуплос-

кости с кусочно-однородными накладками (стрингерами), для упругой полуплоскости с включениями, выходящими на ее границу, для кусочно-однородной плоскости (состоящей из двух полуплоскостей) со стрингерами, выходящими на границу или пересекающими границу раздела материалов, позволяющих получить- простые расчетные формулы для контактных напряжений, действующих под стрингерами (накладками) и включениями; в отыскании способа для эффективного преодоления парадокса, возникающего в антиплоской задаче для четверть-пространства, когда одна грань жестко заделана, а на другой действуют постоянные напряжения; в выяснении вопроса о коэффициенте ' интенсивности контактных напряжений, когда один из контактирующих Тел является тонкостенным элементом; в исследовании влияния магнитного поля на процесс колебания упругой среды; в установлении, при некоторой простейшей модификации, эффективности метода плоских волн на примере задач о сосредоточенном импульсе, действующего в бесконечной магнйтоупругой среде и на границе упругой полуплоскости.

НАУЧНДЯ НОВИЗНА. В работе рассмотрен, в основном, новый класс ' задач теорий упругости, требующих новых подходов к их постановке и разработок новых методов решения этих задач. К этим задачам, в частности, относятся задачи для упругой полуплоскости и кусочно-однородной плоскости с' включениями и стрингерами, соответственно выходящими на границу или на границу раздела материалов, и задачи для упругой плоскости с двумя полубесконечными стрингерами, находящимися на одной линии. В работе впервые поставлены задачи для упругих плоскости и полуплоскости с4 кусочно-однородными накладками (стрингерами) и включениями, разработан метод решения этлх задач и выявлен эффект влияния неоднородности на закон распределения контактных .напряжений. Впервые решены задачи для кусочно-однородной плоскости со стрингерами, пересекающими линию раздела материалов.

В работе новым является путь определения коэффициента интенсивности контактных напряжений в .случаях, когда одно из контактирующих тел тонкостенно. Следует отметить, что новым инми-го! и подход преодоления парадокса, возникающего в шгпппиской

задаче для четверть-пространства, когда одна грань жестко заделана, а на другой действуют постоянные напряжения, который дает возможность решить родственные задачи.

Впервые, с учетом поведения волнового процесса иа бесконечности, подробно исследовано влияние магнитного поля на характер распространения упругих волн, и обнаружена эффективность' метода плоских волн при определении фундаментального решения задачи Лэмба.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при расчете на прочность композиционных материалов; при проектировании инженерных конструкций и деталей машин, взаимодействующих с тонкостенными армированными элементами; в строительстве дорожных и- аэродромных покрытий; яри проектировании различных деталей летательных аппаратов; в* измерительной технике и во многих других областях инженерной практики. Математические методы, апробированные в работе, могуг быть применены при решении других задач математической физики.

ДОСТОВЕРНОСТЬ. При решении поставленных задач применялись методы интегрального преобразована» Фурье, Вгшера-Хопфа, краевой задачи Римана, ортогональных многочленов, бесконечных систем, плоских волн и методы решения функционально-разностных уравнений.

Полученные результаты в некоторых частных случаях сравнивались с известными результатами.

Достоверность полученных . результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач л строгостью примененного математического аппарата.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы регулярно докладывались на семинаре "Механика сплошной среды" кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета; но традиционных ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава Ереванского государственного университета; на общем семинаре Института механики АН Республики Армения; на первой Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Ростов-на-Дону, 1977 г.); на второй Всесоюзной

конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981 г.); на третьей Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела " (Харьков, 1985 г.); на четвертой Всесоюзной конференции "Смешанные задачи деформируемого тела" (Одесса, 1989г.); на первой Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1983 г.).

ПУБЛИКАЦИЯ. По материалам диссертационной работы опубликовано 19 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, библиографии и изложена на 384 страницах машинописного текста. Работа содержит 39 рисунков, 6 таблиц и список литературы, включающий 168 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

' СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка цитированной литературы.

Решению, контактных и смешанных задач теории упругости и разработке математических методов, применяемых при решении задач для различных областей посвящены основополагающие работы Б.Л.Абрамяна, А.Я.Александрова, В.М.Александрова, Н.Х.Арутюняна, В.А.Бабешко, А.А.Баблояна, Г.Е.Багдасаряна, И.И.Векуа, И.И.Воровича, Л.А.Галина, Э.И.Григолюка, Д.В.Грилицкого, В.И.Довноровича, А.И.Ка-ландия, А.И.Лурье, В.С.Макаряна, А.Н.Мартиросяна, А.М.Мкртчяна, В.И.Моссаковекого, Н.И.Мусхелишвили, Б.МНуллера, С.О.Папояна, Г.Я.Попова, В.С.Проценко, В.Л.Рвачева, .А.И.Ростовцева, В.С.Саркисяна, В.М.Сенмоиа, ВМТолкачеьа, В.С.ТсшоянаА.Ф.Улитхо. Я.С.Уфлянда, Г.П Черепанова, Д.И.Шернана, И.Я Штаермана и других. Во введении более подробно анализированы работы: К.Л.Агаяна. В.МАлексаидрова. НХ.Аруч'юняна, РД.Банцури, Дж..Нентема, С.Бенскотера, Г.Буффлера,

A.И.Каландия, В.Койтера, Ю.И.Ларькина, ^.Мелана, Г.А.Морарья, Р.Муки, Б.М.Нуллера, Л.О.Овсепяна, Г.Я.Попова, Е.Рейснера,

B.С.Саркисяна, Е.Стернберга, В.М.Толкачева, Л.А.Фильштинского,

C.С.Шагиняна и других, посвященных решению контактных задач о взаимодействии тонкостенных элементов с различными телами; а? также работы В.М.Александрова, А.Г.Багдоева, Н.М.Бородачева, В.Г'.Буряха, З.Н.Данояна, В.М.Сенмова, касающиеся динамических задач теории упругости.

Во введении изложены также основные результаты диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются контактные задачи для упругой плоскости и полуплоскости с бесконечными кусочно-однородными накладками и включениями постоянной толщины. Считается, что накладки не сопротивляются изгабу 51 находятся в одноосном напряденном состоянии, а включения в процессе деформации находятся в одноосном напряженном состоянии, при этом не меняя толщину.

В и. 1.1 решается задача для упругой полуплоскости, граница которой усилена бесконечной кусочно-однородной накладкой малой постоянной толщины, модуль упругости которой при х >0 равен £,, а при зг <0 - Е3% находящаяся под действием сил Р&{х-а) и Л>{г+я) {8{-г} - функция Дирака). В силу вышесказанного относительно одноосностп накладки, ее уравнення равновесия запишутся в виде

</У"(Зс) т(х-) Р. Лс! = А/; £,/»

5(г-а). х>0

(1)

Ф) Р

<±с2 = £,/1 ~

Ь(х+а), х <0

(2)

при условии

£

сЫ

1 1 1А',

Е,) И

(3)

где Х„ - неизвестная продольная сила, действующая на сечении х = -0, и"'(х) - горизонтальные перемещения точек накладки,' ~(х) • интенсивность тангенциальных контактных напряжений, Л- толщина накладки. Далее вводятся функции

•0

а(*)л(ж) = Э(-х)4*) = А*(о) = j А^е^ск, (-оо<а<оо)

где 8(х) - функция Хевисайда и записываются уравнения равновесия (1) и (2), с условием (3), единым уравнением

аиы. т"(х) *"(*)

-— -----

Е2к~ Е,)^0 (-со < X < оо)

Е,И

ЕгН

где

ах ах

,0

, (Ш

Имея в виду, что

(4)

йи

-62к 1

т'Ы+т'С?)

Л ~ 2ц(1-£2)п J 5-

(¿Г, (-00 < X < со)

(5)

Г(1-2у)

, к|2|(х,0) - горизонтальные перемещения граничных то-

чек полуплоскости, ц - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона материала полуплоскости. • Применив к (4) и (5) преобразование Фурье и имея в виду условие контакта

задача сводится к решению функционального уравнения (Я, +|о|)Г(о) +(Х2 +|а|)т~(ст) = /(а), (~со<а< со)

здесь X = ML.il 0 = 1,2), /(а) = {12-\,)Х0 + ^е1™

с,ух

Далее, с помощью метода факторизации поручено замкнутое решение задачи. Обнаружено, что т(х) в точке х = 0 имеет логарифмическую особенность, обусловленную неоднородностью накладки. Постоянная Х„ определяется из условия т(0) = 2Р.

В п. 1.2. рассматривается задача для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением, состоящим из двух разных полубесконечных частей. Плоскость деформируется под действием сосредоточенных сил — А) +б(>»+А)]б(дг), действующих в плоскости, и сил Р[5(х-я)+б(х+а)], приложенных к накладке. Поступая аналогично, как в п.1., строится замкнутое решение задачи. Далее получены асимптотические формулы для контактных тангенциальных и нормальных напряжений в окрестности точки соединения частей включения и далеких от него точках. •

В п. 1.3 опять обсуждается задача, рассмотренная в п. 1.2, с целью нахождения другого пути решения,' хотя бы приближенного, но упрощающего численные расчеты. Этот вопрос возникает в связи с тем, что полученное замкнутое решение имеет достаточно сложную структуру. Для этого т(х) представлено в виде

т(х) + (х;-х'г)|^5(|х-5|)т(5)л = лз(х), -=о<х«о, (7)

о

или

о

т(х)+(я,;-я.;)|/:).1(|х-^ф)л = л1(х)< '-С0<х<°0, (8)

где •

Х>2(1-Е<)"\ 0 = .1,2),

РМ =

ф-г2)Ыа\а\е

: (^г

Рассматривая (7) при 0 < х <оа, получим интегральное уравнение относительно т(х) при 0 < х < оо. После определения т(х) при 0 < х < со,. его значение при -со < х < 0 определяется по формуле (7).

Далее доказывается, что вышеуказанное интегральное уравнение допускает решение методом последовательных приближений при

-1

<1. Поступая аналогично с уравнением (8), доказывается, что со-

ответствующее интегральное уравнение можно решать вышеуказанным

методом при

-1

<1. Из неравенств

-1

<1 и

— 1

<1 заключено,-

что задачу можно решать с помощью метода последовательных приближений при 0<Х,, \2<оо.

В п. 1.4 исследуется контактная задача для упругой плоскости с бесконечным включением, состоящим из двух одинаковых полубеско-иечиых и одного конечного кусков с модулями упругости соответственно £, и Е2. В этом случае к включению приложена сила Рс1(х). Задача сводится к уравнению

т(х)+(х,;-х*г)

• | А'^ (|х - *|)т(*)А +1 (|* - 51,) т (, )сЬ

= /,>) (-«<*<«) (9)

или

о

т(*)+(х; - х'2) |^,(м)ф)л=л,(х)

—а

здесь

» я

= .V. = (11)

Принимая > а, уравнение (9). приводится к интегральному уравнению относительно т(х) при ]х| > а. После определения т(х) при |г) > а, его значение при |х|<а дается по формуле (9). Далее, рассматривая (10) при |*|<я, получено интегральное уравнение относительно т(х) ()х|<а). Следовательно, т(х) при (х|>о определится по формуле (10), если известно т(х) при |х|<а. Сопоставлением результатов, касающихся вышеуказанных интегральных уравнений, сделан вывод о том, что поставленная задача допускает решение методом последовательных приближений при 0<Х,, Хг <со. Постоянные X» и X. определяются из (И).

В п. 1.5. обсуждается та же задача, что и в п. 1.4, для упругой полуплоскости с бесконечным включением, но состоящим из трех различных частей. В этом случае задача сводится х уравнению

а • -л

х{х)+(Г2- Х.*,)| к\ (х - 5)ф)с&'+ (х;-Х;)|а-х,(х-у)т = 7,,(х) (12)

или

»

а «о'

т(*)К) / Я и - - ки(х- =л, (х) (13)

, -Л А

(-СО < х '< оо)

здесь

. /(сг) = - Х'2)е*»Х. +1(Х\ - Р+Р(о)

Требуя, чтобы в одном случае х изменился в интервале (-а,а), а в другом (-оо,-а), из (12) получена система интегральных уравнений относительно т(х) при |х|<я и (-оо<х<-а). Далее решение полученной системы сведено к решению совокупности систем интегр'о-алгебраических уравнений относительно т(х) (-оо <; х < -а) и коэффициентов разложения т(х) (|х|<а) по многочленам Чебышева второго рода. Поступая аналогичным образом, решение задачи можно построить, рассматривая систему интегральных уравнений, возрожденной уравнением (13), относительно неизвестных напряжений т(х) при |х|<а и а<х<оо. Оказывается, что задача допускает решение при значениях параметров 0 < X, <оо [к = 1,3) и 0 < Х'2 < оо с помощью метода последовательных приближений.

В п. 1.6. решается периодическая контактная задача для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением. Включение состоит из двух различных конечных частей периодически повторяющихся от -оо до оо. Плоскость деформируется под действием сил

где О - интенсивность сосредоточенных сил, а у0 и Ь - положительные постоянные. Поступая аналогично, как в предыдущих параграфах, задача сводится к двум уравнением. Показывается опять, что задачу можно решить с помощью метода последовательных приближений для любых физических и геометрических параметров задачи.

В н. 1.7. обсуждается .взаимодействие дискрет но сцепленного посредством периодической системы заклепок, кусочно-однородного стрингера (накладки), состоящего из двух полубесконечных частей, с бесконечной пластиной Соединяющие заклепки расположены с постоянным шагом. Внешняя нагрузка в виде сосредоточенной силы приложена к А-той (к >01 зак\епке. Для решения задачи принимаются известные предположения, которые гозволяют задачу свести к решению бесконечной «

- !' -

системы линейных алгебраических уравнений. Далее . строится замкнутое решение вышеуказанной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений сведением ее к задаче Римана теории аналитических функций. В п. 1.7 уделяется внимание и на то, что решение задачи можно построить сведением ее при любых конечных значениях физических параметров, к вполне регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

В п.1.8 рассмотрена задача для упругой полуплоскости, граница которой усилена полубесконечной кусочно-однородной накладкой малой толщины. Полуплоскость деформируется под действием горизонтальной силы, действующей на конце накладки. Поступая так, как в предыдущих параграфах, задача с помощью интегрального преобразования Фурье и метода факторизации сводится к двум уравнениям. Показывается, что эти уравнения допускают решение задачи с помощью метода последовательных приближений при 0<Х, <оо, 0 < < со.

Глава вторая посвящена исследованию задач для упругой полуплоскости, содержащей конечное упругое включение, выходящее под прямым углом к границе полуплоскости.

В п.2.1 рассматривается задача, в которой считается, что включение со всех сторон закреплено с полуплоскостью, которая деформируется под действием приложенной в конце включения силы. Исходя из текко-стенности включения, после продолжения материалом полуплоскости до бесконечности, задача формулируется в виде задачи для упругой полуплоскости, содержащей полубесконечное кусочно-однородное включение. Это позволяет задачу свести к решению неоднородного функционально-разностного уравнения, относительно трансформаиты Фурье контактных тангенциальных напряжений, действующих на полубесконечном участке контакта. Причем правая. часть функционального уравнения содержит трансформанту' Фурье искомых контактных напряжений. После решения функционально-разностного уравнения н приложения к нему обратного преобразования Фуры;, удается задачу свести к Фредгольмовскому интегральному уравнению второю рода относительно искомых • контактных тангенциальных напряжений, допускающему решение методом последовательных 'приближений.

- П-

В п.2.2 рассматривается та же задача, что и в п.2.1, но здесь задача сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно вычетов трансформанты Фурье искомых контактных тангенциальных напряжений.

В п.2.3, в отличие от ц.2.1, исследуется случай, когда включение закреплено с полуплоскостью с двух сторон, то есть пренебрежена продольной силой, на том конце включения, который находится в среде. Здесь задача сведена к-решению сингулярного интегрального уравнения с неподвижной особенностью в ¡гуле.

а

■ ■ н

а

при условии

о

где Еь Л - соответственно модуль упругости и толщина включения, т(п) -

■ интенсивность контактных сил, Р - сила, действующая на конце включения, ¿ь ¿2," - постоянные, зависящие от упругих констант материала полуплоскости, а - длина включения.

Производя в (14) замену переменных т\=ае", у = ае", а затем, применив к '(14) преобразование Фурье, решение уравнения (14) сводится к решению функционально-разностного уравнения. Далее, с помощью метода Винера-Хопера это функциональное уравнение решается относительно трансформанты Фурье функции х(,у) такум образом, чтобы полученное функциональное уравнение соответствовало уравнению (14) после обращения всей сингулярной части уравнения. После применения к полученному функциональному уравнению обратного преобразования Фурье, получено Фредгольмовское интегральное уравнение второго рода, допускающее решение с помощью метода последовательных приближений.

В и.2.4 предлагается другой путь решения, полученного в п.2.3, функционального уравнения. Здесь удается задачу свести к' квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем линейных. •

г\+у 1)-у (г)+у)3

гЬМ = -— Г^ЬМ+г-гг-

Ехп1 2

(14)

алгебраических уравнений. В этом параграфе получена также асимптотическая формула для т(,у) при у—>а.

. В третьей главе решается задача для бесконечной пластины, усиленной полубесконечными стрингерами, находящимися на-.одной линии.

В п.3.1 рассматривается задача для упругой бесконечной пластины с двумя одинаковыми полубесконечными стрингерами, находящимися на одной линии. Пластина деформируется под действием сил Р, Q, приложенных на концах накладок х = —а, х = а соответственно, и сил

Задача сводится к уравнению

40

Г(х) = -1 Кк(х- /Ы/)Л + Х,[РКк (х+а) + (х - «)]+

(X-£/) + АГ^(х + £/)], (-оо<х <оо) (15)

где g0(x) - с точностью постоянного множителя, деформация промежуточного интервала между стрингерами при |х| < а, а при |х| > а равна кулю,

соответственно, модуль упругости и площадь поперечного сечения стрингера, Л - толщина пластинки.

Требуя, чтобы в (15) х изменялся в интервале (-а,я), получим сингулярное интегральное уравнение, которое допускает применение к нему метода ортогональных многочленов- Чебышева. После получения решения вышеуказанного сингулярного уравнения, контактные напряжения определяются по формул^ (15) при |х(>а.

В п.3.2 обсуждается та же задача, что и в п.3.1, но предлагается другой метод решения. Здесь задача сводится к решению уравнений

= а) • . (17) ■

(-1<1та<0)

где х)(а) (у = 1,2) - трансформанты Фурье функции т^(х), т,(х), т2(х) -соответственно, нечетная и четная части функции т(х), ^,(х) и g2(x) -

соответственно, четная и нечетная части деформации промежуточного интервала между стрингерами, а (а)- их преобразование Фурье, Х = К1а, А - известная постоянная. Каждое из уравнений (16), (17) сводится к решению квазивполне регулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, относительно вычетов функций т*(о), при 0<Х<оо. • '

В п.3.3 рассматривается задача, являющаяся обобщением задачи п.3.1 в том смысле, что полубесконечные стрингеры считаются неодинаковыми. В окончательном виде задача сводится к решению совокупности систем интегро-алгебраических уравнений, относительно контактных напряжений и -коэффициентов разложения по многочленам Чебыщева ' первого рода деформации промежуточного интервала между стрингерами. Доказывается, что задачу можно решить методом последовательных приближений для любых геометрических и физических параметров задачи.

В четвертой главе обсуждаются антиплоские задачи для упругих полупространства и четверть-пространства.

В п.4.1 рассматривается антиплоская задача мя упругого полупространства, на граничной поверхности которого находится сцепленный с ним полубесконечный слой. Полупространство и слой деформируются под действием сил, приложенных на краю слоя. Здесь исследуется вопрос о коэффициенте особенности контактных напряжений, ксгда слой достаточно тонкий. Доказывается, что если тонкий слой моделировать как Пластинку и решить задачу, то коэффициент при особенности этого решения не может быть коэффициентом особенности контактных напряжений, то есть для определенна коэффициента особенности необходимо еще и знание истинного решения задачи в окрестности края елок. .

В и.4.2 предлагается новый подход для преодоления парадокса, возникающего в антиплоскоп задаче для четверть-пространства, одна грань которого жестко закреплена, а на другой действуют Постоянные касательные напряжения. Парадокс заключается в том, что решение

укачанной задачи для клина при угле раствора а * 2), а имеет ьид

w_xt Sin G cosa

где W - перемещения, G - модуль сдвига упругого мша, г0 - интенсивность касательных напряжений, которое при a и а% стремится к бесконечности. Для устранения парадокса известен метод, при хоторрм используются однородные решения задачи .клина (ц*2

2'

с последующим проведением предельного перехода при «В обсуждаемом параграфе поставленная задача непосредственно формулируется в виде граничной задачи для четверть-пространства и решается 'с помощью преобразования Меллина, не обнаруживая при этом наличие парадокса. Этот факт позволяет обычным образом поставить и решить задачи указанного типа для четверть-пространства. Исходя из этого, в рассматриваемом параграфе решается также задача для четверть-пространства, когда одна грань, начиная с конечного рассточни-ч от края грани, закреплена, а на другой действуют постоянные касательные напряжения. Задача решается замкнуто, сведением ее к краевой задаче Римана теории аналитических' функций, правая часть которой является обобщенной функцией.

В пятой главе рассматривается задача для кусочно-однородно:; пластины, состоящей из двух различных полубесконочных иласпш <•••> стрингерами различных длин и свойств.

В П.5.1 строится функция ВЛИЯНИЯ-ДЛЯ кусочно-однородной ПЛиСИП-М с двумя сосредоточенными силами, деисгаующичк на рапных конечных пластинах.

3 п.5.2 решается задача о передаче нагрузки к хусочно-однороды.ч"' пластине, через полубесконечный стрингер, конец которого зтолит ,ь> .линию раздела материалов , пластины ¡год прямым углом. .'5л\.с,'1 сводится к решению функцаоналыю-рачностнс-го уг • относительно трансформанты Фурье контактных сил. ГГсм-' ... :ггл;«й функционального уравнения, с домощью теории выч«;-оа определен?! асимптотические формулы для контактные напряжений ь окрк'сгж.. конца н далеких от него точках стрингера. Обь^ру/кено, чю кш-дг.

стрингер находится на более Жесткой пластине, то показатель особенности контактных напряжений меньше, чем а когда стрингер

находится на менее жестком материале, то она больше, чем

В п. 5.3 обсуждается задача для кусочно-однородной пластины с бесконечным стрингером, состоящим из двух полубесконечных частей, одна из которых упругая, а другая жесткая. Причем, точка пересечения упругой к жесткой частей стрингера находится на линии раздела материалов пластин. Пластика деформируется под действием силы, приложенной к накладке. Задача сводится к решению неоднородного функционально-разностного уравнения. Получено замкнутое решение этого функционального уравнения, с помощью которого построены асимптотические формулы для контактных тангенциальных напряжений в окрестности точки пересечения упругой и жесткой частей стрингера и далеких от нее точках.

В п 5.4 рассматривается задача для кусочно-однородной пластины с полубесконечным жестким стрингером, пересекающим линию раздела материалов пластин под прямым углом. Пластина деформируется под действием силы, приложенной к пластине и находящейся на линии продолжения стрингера. Задача сводится к решению функционального уравнения Винера-Хопфа. Дано замкнутое решение этого функционального уравнения. Для контактных напряжений получены асимптотические формулы в окрестности точки пересечения стрингера с линией раздела материалов пластин и далеких от нее точках.

В п.5.5 решается задача для кусочно-однородной пластины с двумя, находящимися на одной линии, стрингерами, перпендикулярными к линии раздела материалов и расположенными на ее разных сторонах. Причем конец одного из стрингеров выходит на линию раздела материалов пластин. Задача сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений с неподвижной особенностью в нуле. Далее, обращая, с помощью интегрального преобразования Фурье -и метода Виннера-Хопфа, всю сингулярную часть, касающаяся стрингера выходящего. на линию раздела материалов пластины, задача сводится к решению кпазивпо\ке регулярной совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений. Неизвестными этих уравнений являются

коэффициенты разложения по многочленам Чебышева первого рода и вычеты трансформанты Фурье соответствующих контактных напряжений.

Шестая глава посвящена решению плоских динамических задач теории упругости для плоскости и полуплоскости,

В п.6.1 рассматривается динамическая контактная задача для упругой полуплоскости, граница которой усилена двумя одинаковыми полубесконечными накладками. Полуплоскость колеблется под действием горизонтальных гармонических сил, действующих на концах накладок. После некоторых преобразований задача сводится к уравнению, вид которого аналогичен (15). Поступая, как в п.-3.1, задача сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого род?, а затем -к квазивполне регулярной системе линейных алгебраических уравнений. Получены асимптотические формулы для амплитуд контактных напряжений и перемещений граничных точек полуплосхости на бесконечности.

В п.6.2 обсуждается колебание упругой идеально проводящей плоскости, находящейся в постоянном магнитном поле, вектор напряженности которого перпендикулярен действующей сосредоточенной периодической силе. В зависимости от значения скорости Альфвенп а2 =

где р - плотность упругой среды, ц - магнитная проницаемость среди, Нв - интенсивность магнитного поля, получены следующь« асимптотические формулы для перемещений н":'(дг,_г,/) («= 1,2), характеризующие степень воздействия магнитного поля па колебанне упругой плоскости (С - модуль сдвига материала плоскости)

1. О < о < а, .

«<"(х,0,г) = -4вхрГ-.(тг - *2|х-! - л) 4 0(,,: •)) (|х| ») #1 ;

с?

^ V Р Р I

2. а = а,

= +о(И^)) (|х| -> «о)

3. a, <a <a¡, но аФа2= -JC?

■в^тЬЭ-с? ■ 2

= j|exp(-í(otf -A.lxD+oflxl"2)) (|*| -> «)

5. « =-- я.

«/"(хД,) -¿2jx|- f) + p(|x¡-5)) (|xj -> „)

Показывается также существование, при о, <а<а2 такого полярного угла ф\ что при О < g < g' (г, ф - полярные координаты) и /--»со

,/">(г.<м) = -fLy ехр(-/(сог-!х.^|г-|)) -

л/яг — 114

- В„ exp(-/(ой - ^(г -1)+o(r-í)) (» = 1,2)

ü при ф - ф* И Г —> СО

vw('', Ч>\') = фехр(-/(ю/ -|x'10¡r -f )) + о(г"0 (и = 1.2)

В п.6.3 с помощью метода плоских волн решается задача, рассмотренная в предыдущем параграфе, но сила здесь является сосредоточенным

удается с помощью метода плоских волн получить решение задачи достаточно простым образом и в наглядном виде.

В п.6.3 обсуждается также задача для упругой полуплоскости, на границе которой приложен сосредоточенный' импульс. С помощью представления (.18) удается метод плоских волн применить и к граничной задаче и получить ее решение достаточно простым образом.

В конце диссертации приведено ее заключение, где сформулированы основные выводы.

импульсом. Преобразовав представление 8(г1)б(г2) к виду

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Диссертационная "работа посвящена решению контактных задач для упругих плоскости и полуплоскости, усиленных бесконечными или нолубесконечными кусочно-однородными накладками (стрингерами) и включениями. Рассмотрены задачи о передаче нагрузки от конечного включения, выходящего к границе полуплоскости, к упругой полуплоскости; о деформации упругой пластины, граница которой усилена двумя полубесконечнымк стрингерами; о передаче нагрузки к кусочно-однородной бесконечной пластине, состоящей из двух различных полубесконечных пластин, от стрингеров, выхддящих на границу или Пересекающих границу раздела материалов пластин. Решены антиплоские задачи для упругого полупространства, на граничной поверхности которого, находится сцепленный с ним полубе.сконечный слой; для четверть-пространства, одна грань которого частично закреплена, а на другой действуют постоянные касательные напряжения. Рассмотрена динамическая задача об установившихся колебаниях упругой полуплоскости, граница которой усилена двумя полубесконечными накладками.

В работе обсуждается также вопрос: о взаимодействии постоянного магнитного поля и идеально-проводящей упругой плоскости, когда плоскость совершает установившиеся колебания; о методе решения задачи о сосредоточенном импульсе, примененного к магнитоупругой среде; о методе решения задачи Аэмба о сосредоточенном импульсе, примененном на границе упругой полуплоскости.

В точной математической постановке теории упругости, в рамках известных физических предположений относительно контактирующих тел, в работе получены математически обоснованные решения указанных выше задач.

2. Впервые поставлена задача для упругой полуплоскости, граница которой усилена бесконечной кусочно-однородной накладкой, состоящей из двух разных полубесконечных частей. Задача сводится к решению задачи Римана теории аналитических функций. С помощью метода факторизации дается замкнутое решение указанной задачи, а затем исследуется характер особенности контактных напряжений и точке раздела материалов накладки.

3. Рассматриваются новые контактные задачи для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением, состоящим.

а) из двух разных полубесконечных частей;

б) из двух одинаковых полубесконечных и одной конечной части из другого материала;

в) из двух различных конечных частей, периодически повторящихся от -<х> до 00.

Следует отметить, что эти задачи можно истолковать как модельные для плоскости с включениями, где учитываются нормальные усилия, действующие на концах включения. Случай а) соответствует задаче для полубесконечного включения, когда включение продолжается до бесконечности материалом плоскости. Случай б) соответствует задаче для конечного включения, когда включение продолжено материалом плоскости в обоих направлениях до бесконечности. Наконец, случай в} соответствует ' задаче для конечного включения, периодически повторяющегося от -со до со, когда включение продолжается материалом плоскости.

В случае а) решение задачи строится в замкнутом виде. Для контактных, тангенциальных и нормальных .напряжений .получены асимптотические формулы, характеризующие поведение контактных напряжении вблизи точки соединения материалов включения и далегих от нее точках контактного участка. Помимо этого, установлен тот факт, что решение обсуждаемой задачи можно построить при любых .шаченинх физических параметров, сведением ее к интегральным уравнениям Винера-Хопфа второго рода, допускающим решение методом последовательных приближений.

Задачи, соответствующие случаям б) и в|, решаются при любых значениях геометрических и физических параметров, сведением их к интегральным уравнениям фредгольма второго рода, допускающим решение методом последовательных приближений

4. Решена новая задача, о взаимодействии дискретно скрепленного бесконечного кусочно-однородного стрингера, состоящего иг; двух различных нолубесконечных частей, с оесконичной пластиной. Дано замкнутое решенде задачи сведением ее к "адчч<; Рнмаиа теории анаш-тнчсских функций- Помимо что го, обнаружено, что решение задачи при любых значениях физических И геометрических параметром, можно

определить сведением ее к регулярным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.

5. Рассмотрена новая задача о взаимодействии упругой полуплоскости со скрепленной на своей границе кусочно-однородной полубесконечной накладкой, состояний из разных конечной и полубесконечной частей. Задача, при любых значениях геометрических и физических параметров, сведена к решению Фредгольмовских интегральных уравнений, решаемых методом последовательных приближений.

6. Решена задача для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородНым включением, которое состоит из трех разных частей. Задача ¡решается при любых геометрических и физических параметрах сведением ее к интегро-алгебраическим уравнениям, допускающим решение методом последовательных приближений.

7. Впервые поставлена задача для упругой полуплоскости, содержащей, выходящее перпендикулярно на границу полуплоскости конечное включение при учете осевой продольной силы, действующей на том конце включения, который находится в полуплоскости. Моделируя задачу как задачу для полубесконечного кусочно-однородного включения, удается ее свести к Фредгольмовскому интегральному уравнению второго рода, которое можно решать методом последовательных приближений. Кроме того, оказывается возможным сведение задачи к решению совокупности бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, относительно вычетов трансформанты Фурье контактных касательных напряжений.

8. Рассматривается известная задача для упругой полуплоскости, содержащей перпендикулярно выходящее на границу полуплоскости конечное включение, при пренебрежении осевой силы на конце включения. Впервые задача сведена к Фредгольмовскому интегральному уравнению второго рода, которое решается методом последовательных приближений. Более того, удается свести задачу к квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений, относительно вычетов трансформанты Фурье интенсивности контактных касательных напряжений.

9. Впервые поставлена и решена задача для бесконечной пластины, усиленной, находящимися на одной линии, двумя одинаковыми полубес-конечпыми стрингерами. Задача сводится к сингулярному

интегральному уравнению первого рода, относительно деформации промежуточного интервала между стрингерами, которое затем с помощью многочленов Чебышева сводится к квазивполне регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. Оказывается, что зта задача допускает и другой путь решения, позволяющий псслч разделения четной н нечетной частей интенсивности тангенциальных контактных напряжений свести задачу к квазивполне регулярным бесконечным системам алгебраических уравнений, достаточно простои структуры, относительно вычетов трансформанты Фурье соответствующих четной и нечетной частей тангенциальных контактных напряжений. . '

10. Решена задача для бесконечной пластины с пслубесконеччыми стрингерами, имеющими разные упругие свойства и находящимися на одной линии. Задача сведена . к интегрс-алгебракчеокнм уравнениям, которое решается методом последовательных приближений.

11. На примере антиплоской задачи для упругого полупространства со сцепЛенным с ним на граничной поверхности полубесконечным слоем, показывается, что без учета истинного решения, в окрестности конца .тонкого* слоя, невозможно определить коэффициент интенсивности контактных напряжений. Предлагается метод определения приближенного коэффициента интенсивности контактных напряжений иа конце тонкого упругого слоя.

12. Предлагается новый подход для преодоления парадокса, возникающего в антиплоской задаче четверть-пространства, одна грань которого жестко закреплена, а на другой действуют постоянные касательные напряжения. Этот подход позволяет сравнительно просто получить решекие задачи для четверть-пространства, одна грань которого, начиная с конечного расстояния от вершины грани, закреплена, а на другой действуют постоянные касательные напряжения, сведением ее к функциональному уравнению Вннера-Хопфа.

13. Рассматривается контактная задача для кусочно-однородной упругой пластины, состоящей из двух полубесконечных нлгстпн V. полубесконечным стрингером, ортогонально выходящим на Iрепицу раздела материалов пластин. Задача сводится к решению функционально-разностного уравнения. Это уравнение решается ммлнуто, что

позволяет получить асимптотические формулы для контактных сил в окрестности конца стрингера и далеких от него точках.

14. Решается новая задача для кусочно-однородной пластины с полу*-Оесконечным жестким стрингером, пересекающим линию раздела материалов полубесконечных пластин под прямым углом. Задача сводится к функциональному уравнению Винера-Хопфа, решение которого получается в замкнутом виде. Далее определяются асимптотические формулы для контактных сил в окрестности точки пересечения стрингера с линией разнородности и далеких от нее точках стрингера.

15. Поставлен^ и решена задача для кусочно-однородной пластины со стрингером бесконечной длины, расположенным ортогонально границе разнородности. Стрингер состоит из двух долубесконечных частей; одна из которых жесткая- и целиком находится на одной из полубесконечных

пластин, а другая - упругая и опять целиком находится на другой «

полувек конечной пластине. Задача 'в окончательном виде сводится к функционально-разностному уравнению, допускающему замкнутое решение. Определены асимптотические формулы для контактных сил в окрестности точки изменения материала стрингера и далеких от нее точках контактного участка.

16.. Решается новая задача для кусочно-однородной пластины с двумя конечными стрингерами, находящимися на одной линии, перпендикулярной линии разнородности, и лежащих на разных полубесконечных пластинах. Задача сводится к решению квазивполне регулярной совокупности бесконечных систем алгебраических уравнений.

17, Решена динамическая контактная задача об установившихся колебаниях упругой полуплоскости, граница которой усилена двумя одинаковы ми полубесконечными накладками. Дается эффективный метод решения задачи, допускающий сведение ее к решению квазивполне регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Помимо этого, получены асимптотические формулы для амплитуд контактных тангенциальных напряжений и перемещений в далеких, от концов накладок, точках контактного участка.

18. Рассматривается задача о гармоническом колебании идеально проводящей упругой плоскости, находящейся г> постоянном магнитном поле, в»ктор напряженности которого параллелей плоскости движения. !' зависимости от интенсивности магнитного поля, определены асимпто-

тические формулы для перемещений, далеких от места приложения силы точках, которые характеризуют степень воздействия магнитного Поля на колебания упругой плоскости.

19., Проведена модификация в методе плоских. волн, основанная на разложении 5-функции по плоским волнам, позволяющая достаточно наглядным и простым; образом получить решение плоской задачи о сосредоточенном импульсе, действующем в магнитоупругой среде.

20. С помощью метода плоских волн, основанного на разложении S-функции по плоским волнам, решена задача Лэмба о сосредоточенном импульсе, примененном на границе упругой полуплоскости.

21. В конкретных случаях проведены численные расчеты, с помощью которых получены графики распределения контактных касательных напряжений.

1. Григорян Э.Х. О колебании магнитоупругой среды, возбуждаемой сосредоточенной гармонической силой. - Изв АН Арм.ССР, Механика, 1978, т.31, №5, с.48-62.

2. Григорян Э.Х. Об одном эффективном методе решения одного класса смешанных задач теории упругости. - Ученые записки ЕСУ, естеств. науки, 1979, №2, с.62-71, -

3. Григорян Э.Х. Передача нагрузки от куссчцо-однородьой бесконечной иакладкн к упругой полуплоскости. - Ученые записки liГУ, естеств.науки, 1979, №3, с.29-34.

4. Саркисян B.C., Григорян Э.Х., Шагнпян С.С. О двух задачах для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением. - Ученые записки ЕГУ, естеств.науки, 1981, Nsl, с.27-40.

5. Григорян Э.Х. Решение задачи упругого конечного включения, выходящего на границу полуплоскости. - Ученые записки 13ГЧ ес-теств.науки, 1981, №3, с.32-43.

6. Григорян Э.Х. Об одной периодической задаче для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным упругим включением. -Докл.АН Арм.ССР, 1981, т.73, Ns2, с.103-108.

7. Григорян Э.Х. Об одной модификации метода плоских волн в плоских линейных задачах механики сплошной среды. ИзвЛП Арм.ССР, Механика, 1981, Ncfi, с.3-11.

8. Григорян Э.Х. О контактной задаче для упругой полуплоскости, усиленной полубесконечной кусочно-однородной накладкой. - Межвузовский сб.научн.трудов, Механика, Ереван: Изд.ЕГУ, 1982, Nal, с.66-73.

9. Григорян Э.Х. Об одной задаче для упругой полуплоскости, содержащей упругое конечное включение. - Ученые записки ЕГУ, ес-теств.науки, 1982, №2, с.38-43.

10. Григорян Э.Х. Задача для кусочно-однородной бесконечной пластины с полубесконечным стрингером. - Ученые записки ЕГУ, естеств.науки, ' 1983, №1, с.34-37.

11. Григорян Э;Х., Мелтонян Б.А. Об одной задаче для упругой бесконечной пластины, усиленной двумя полубесконечнымк стрингерами. - Ученые записки ЕГУ, естеств.науки, 1984, №3, с.45-49.

12. Григорян Э.Х. Задача для кусочно-однородной бесконечной пластины с конечным стрингером, выходящим на границу раздела сред. -Тезисы докладов IIÍ Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Харьков, 3-6 июня 1985 года, с.12-13.

13. Григорян Э.Х. Об одном подходе решения задач.для упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением. - Ученые заппСки ЕГУ, естеств.науки. 1985, №2, с.35-40.

14. Григорян Э.Х. О коэффициентах интенсивности контактных напряжений в задачах для упругих тел с накладками. - Межвузовский сб.научных трудов, Механика. Ереван: Изд.ЕГУ, №5, с. 130-140.

15. Агаян К.Л., Григорян Э.Х. Взаимодействие дискретно скрепленного кусочно-однородного стрингера с бесконечной пластиной. - Межвузовский сб научных трудов, Механика, Ереван: Изд.ЕГУ, 1986, №5, с.183-188. _ . •

16. Саркисян B.C./ Григорян Э.Х., Огаписяк Г.В. Контактная задача для упругой кусочно-однородной бесконечной пластины с бесконечным стрингером. - Ученые записки ЕР/, естеств.науки, 1986, №1, с. 142-145.

17. Саркисян B.C., Григорян Э.Х., Оганисян Г.В. О решении контактной задачи для упрутой кусочно-однородной бесконечной пластины, усиленной абсолютно жестким стрингером.

Межвузовский сб.научных трудов, Механика. Ереван: Изд.ЕГУ, 19В6, №6, с.46-54.

18. Григорян Э.Х. Об одном подходе к решению задач для упругой полуплоскости, содержащей упругое конечное включение, выходящее на границу полуплоскости. - Межвузовский сб.научных трудов, Механика. Ереван: Изд.ЕГУ, 1987, №6, с. 127-133.

19. Григорян Э.Х. Контактная задача для кусочно-однородной бесконечной пластины с конечными стрингерами. - Ученые записки ЕГУ, естеств.науки, 1988, №3, с.48-57.

Uiíijinijuuq]ip

UinUümfunumpjniQri G\|]ipi|ai& t umuiáqiuliuiG l¡]iuuihaippmpjaiGbi l¡irmp-um-l|ump. huiúuiubn buippnipjuifi huiiSiup íjnGmaibmuij)iG JufiqlípfihpJi niumúfiumni-pjuifip, bpp libpgJiQQhpu nidhr(Uigi|LU& bG inuippbp bpliiupmpjuiG bt'huunlpupjiuG umuidquiquiG ilbpmr}|ipGíipm| bi Gbpi}fipGbpm¡, JiG¿u¡bu Guibi amaiúcjaUjaiG ш^рГЛр)! тшрш£гйшй huipgbpJiG, bpp umliui bû muippbp. mbuml)ji qnnànGGbpp, upuQp uiqijmti bß rnjij u{pnghu|i i{pw: Piugji qpmßfrg gniguitipi}iu& t aiiHuáqailiaiümpjaiG mhunipjmü íi¡iQiuú[il[ JuGqJipûbpnuî hiupp шфрйЬрр úbpnijli lujiruiuümifbinutpjntíip: " .

lIjtuiummQpniü й2ш1ц}ш& bû |uGi]lipûbp|i ¡minhuG iSaipbúajinjib.npbG h[iiSGuii[tipilui& hqaiûmi|Gup, npnßß hßitipuii{npmpjniü bß шш^ш' l¡mnp-am-limnp inuiSuiuUc I'bpiuqjipGljpni] umiuáqiuljiuG liliuuihiuppuipjuiû bv IimnpnipjmG. 4Ьр?ш-цпр GUpt))i[miJ IjjiuaihiuppiupjaiG ( bpp G!¡pr)(ipp tjnipu t qui(jiu l¡¡iuiuhuippmpjiuú bqp), ilbpiuqlipGbpr.il тйЬцшдфийг liuinp-um-limhp ЬшйшиЬи шВДЪдо inu[ji (ишц; Ijiuqüijaiír t bpljiii l)jiuuiGi[bp¡> uwjbpjig), nprnbtj i[bpuHjJipfibp[i jjntpu bû qшфи umjji Gjmphp|i piudmGúiuG qù]i ijptu Ipuú huunmiS mjG; ljnCuiuil¡inmj¡iG ^pniüQbpJi hiuiíujp тг.шйш^ upupq hw^mpliuijfiü putúuiáhtbp: M¿u(bu Quila.

ЬшдршЬшрЬри uimpmnnnup, npp umuijuißniiS t pumnpq uimpuiírmpjiuG hmliiuhuipp |uGt)pniü, bpp йрш Q[iuuihp{ig úbl]p Ipijiin ábinij uiUpmgt[uii> t, }iui¡ üjmuji Црш qnp&mü bü hiuuiniuinmfi iiupmdßbp.

upupqmpuiübini linûuiuil)uimj!iG luipmiSühpji bqiuli¡uiipjuiü qnp¿nu¡jg[; haipgp, bpp ипйтаЛиф üb? üinßaq i¡ai¡ii)¡iGGhp|ig i!bl¡P ршрш'Цшшшщ t,

титййикфрЬуи iSuiqGJiuiuliuiG nai^mp mqqhgnipjmûp amaJúquiíjaiú ùhjauJuijph miuimußm\uii|iuü uipngbuji.ilnm,

ЬшитштЬри huipp щфрQbpji iShpntiJi uipqjmGiui}bimupjniGi! íibGmpuGiugüiuír juîu[ru|up Ubpuipíifijau ¡uüijp¡i op|iGail¡tui5, прц qnpírniü t aiüv[bn? úuiqüjiuui-lunuiáquiliaiG ú¡i jan|uijpmü Ы. amaióqail|aiü ¡iquinpntq l[]iuiuhaippiupjiuG bqpniiS:

Suippbp фшишшц)! rçhuyjbpniiS baimuipijuiír bß pijiujíifi Ьш^фирЦйЬр, npuGg oqGmpjiuiSp l|mnmg'4b^ bß UnGuiuiljinaijliG jtyanjmq |aipmiíühp¡i pui^juüiuG qjiaj^Jiljübpp: