Устойчивость физически ортотропных цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

□0305703Э

Мочалов Максим Валерьевич

УСТОЙЧИВОСТЬ ФИЗИЧЕСКИ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК СО СПИРАЛЬНЫМ ПОДКРЕПЛЕНИЕМ.

УДК 539.3

Специальность 01.02.06 - динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва 2007

003057039

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственный технический университет) на кафедре «Строительная механика и прочность»

Научный руководитель: - доктор технических наук,

профессор Нерубайло Б.В.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Ангуфьев Б.А.

- кандидат технических наук, доцент Викуленков В.П.

Ведущая организация: МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Защита диссертации состоится «/¿> » ^к&л 200 У года в I ь' часов на заседании диссертационного совета Д.212.125.05. в Московском авиационном институте (Государственном техническом университете)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ. Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре по адресу: 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, МАИ, отдел Ученого секретаря.

Автореферат разослан « 3 » ¿ь 200~г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

В.Н.Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность: Тонкостенные конструкции в виде подкрепленных оболочек находят широкое применение во многих отраслях науки и промышленности - в авиационной, ракетно-космической технике, в атомном машиностроении и строительстве. Часто их работоспособность определяется устойчивостью, проблема исследования которой продолжает оставаться актуальной, особенно в случае, когда оболочки подкреплены «неклассическим» силовым набором - в виде спирально ориентированных ребер.

Следует отметить, что проблеме устойчивости цилиндрических оболочек, в том числе содержащих продольный набор (стрингеры) и поперечный набор (шпангоуты, кольца), посвящено огромное число работ отечественных и зарубежных исследователей. Этого нельзя сказать про случаи, когда оболочки имеют спиральное подкрепление, т.е. когда ребра жесткости ориентированы под некоторым углом к оси оболочки.

Исследованию устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением посвящено весьма ограниченное число теоретических и экспериментальных исследований. Отметим опубликованные работы И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубашто, В.А.Заруцкого, Г.Д.Зубкова, А.С.Пальчевского, И.И.Федика, В.И.Шалашилина, R.L.Lec, S.Y.Lu, R.Meyer, J.Singer, Tsay-Chen Soong, а также В.В.Васильева, В.А.Бунакова по механике конструкций и оптимальному армированию оболочек из композиционных материалов и Г.И.Пшеничнова по сетчатым оболочкам.

Исходя из вышеописанного, диссертационная работа на данную тему актуальна для авиационной, ракетно-космической техники, атомного машиностроения и строительства и других областей промышленности.

Целью работы является:

• Рассмотрение имеющей важное практическое значение проблемы

устойчивости подкрепленной круговой цилиндрической оболочки при действии осевого сжатия, внешнего давления, изгиба и кручения, а также некоторых комбинированных случаев нагружения. При этом подкрепление может быть как в виде спиралей, так и в виде стрингеров и шпангоутов, а также различных случаев сложного совместного подкрепления из стрингеров, шпангоутов и набора групп спиральных элементов, имеющих различные углы наклона.

• Получение простых аналитических выражений или расчетных формул, применимых в процессе проектирования для расчета на устойчивость цилиндрических оболочек с произвольным подкреплением.

• Создание пакета прикладных программ для расчета на устойчивость произвольно подкрепленных физически ортотропных цилиндрических оболочек.

■Научная новизна. На протяжении многих десятилетий при проведении исследований по устойчивости тонкостенных конструкций, как правило, использовались уравнения теории пологих оболочек, или уравнения Доннелла -Власова. Полученные в их основе решения наиболее пригодны для оболочек средней длины, в то время как на практике встречаются оболочки различной длины, в том числе достаточно длинные.

В диссертации, в отличие от принятых постановок задачи для подкрепленных оболочек получены дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории физически ортотропных оболочек. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, найденные методом вариации уточненной полной потенциальной энергии деформации сводятся к одному разрешающему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно нормального перемещения. На основе этих уравнений появилась возможность получать решения, применимые при рассмотрении конструкций любой длины.

Далее, весьма существенным шагом является возможность упрощения полученного разрешающего дифференциального уравнения по критерию академика В.В.Новожилова до дифференциального уравнения модифицированной

полубезмоментной теории физически ортотропных оболочек, на основе которой построены простые решения и формулы.

Производится сравнение решений, что приводит к фактической реабилитации уравнений модифицированной полубезмоментной теории, дающих для длинных оболочек более приемлемые результаты, чем использование к анализу длинных оболочек уравнений типа пологих оболочек.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что

• полученные методики и алгоритмы основаны на известных механико-математических моделях и физически обоснованных допущениях.

• имеет место хорошее соответствие полученных результатов с имеющимися или найденными точными решениями, или с экспериментальными данными для моделей, близких к натурным.

Практическое значение

• Применение предложенного подхода к решению поставленной проблемы привело к получению простых формул, пригодных при создании конструкций, включающих оболочки со спиральным подкреплением, особенно на стадии их проектирования, поскольку классические формулы не учитывают наклонность подкрепляющих элементов. Рассмотрены наиболее часто встречающиеся на практике случаи нагружения оболочек - действие осевой силы, изгибающего и крутящего моментов и нормального давления.

Полученные формулы, содержащие все необходимые геометрические и механические характеристики оболочки и подкрепляющих элементов, по сути, явились обобщением классических формул, широко применяемых в практике, не отличаясь от них сколько-нибудь заметным увеличением трудоемкости.

• На основе полученных формул спиральное парносимметрнчное подкрепление сравнивалось с обычным вафельным, а одномерная спираль - с подкреплением в виде шпангоута при внешнем давлении и с подкреплением в виде стрингера при осевом сжатии. Выявлен эффект спирального подкрепления (увеличение несущей способности) по сравнению с подкреплением обычного типа.

» Для длинных оболочек в смысле обеспечения минимального веса конструкции выявлена целесообразность постановки подкреплений в виде шпангоутов. При осевом сжатии преимущество спирального подкрепления перед обычным того же веса выражено слабее, чем при внешнем давлении, но сохраняется для оболочек любого удлинения. Оптимальный угол наклона спирали колеблется в зависимости от удлинения оболочки.

• Спирально подкрепленные оболочки небольшой длины работают значительно лучше оболочек такого же веса, подкрепленных шпангоутами и стрингерами. Преимущество возрастает при увеличении мощности элементов жесткости. Установлено, что для спиральных элементов существует оптимальный угол их наклона. Рекомендуется при создании надежных конструкций высокой прочности и минимального веса в виде подкрепленных цилиндрических оболочек, наряду с подкреплением классического типа, рассматривать возможность и спирального подкрепления.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 3-х международных научно-технических форумах:

- XI Международный симпозиум: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2005.

- XIV Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта, 2005 год

- ХИ Международный симпозиум: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2006.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы, в которых полно отражены теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

На защиту выносятся результаты, определяющие научную новизну и имеющие практическую ценность:

• механико-математические модели устойчивости подкрепленных физически ортотропных цилиндрических оболочек, основой которых являются дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории оболочек и приближенной модифицированной полубезмоментной теории.

• метод и полученные на его основе с использованием уравнений модифицированной теории физически ортотропных оболочек аналитические выражения или простые расчетные формулы для критических нагрузок при спиральном и комбинированном подкреплении.

• пакет прикладных программ для вычисления величин критических нагрузок при спиральном и комбинированном подкреплении физически ортотропных оболочек.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5-ти глав, выводов, списка литературы, включающего 108 наименований и 2-х приложений. Объем работы составляет 147 страниц машинописного текста, в том числе: 3 таблицы, 31 рисунков и 7 фотографий.

Содержание работы.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цель исследования, определены методы решения поставленной задачи, изложены общие сведения о содержании диссертационной работы с описанием основных результатов по главам.

В первой главе дается обзор литературы по теме диссертации. Приводятся некоторые сведения из теории цилиндрических оболочек, обзор теорий (общая моментная теория, моментная техническая теория, полубезмоментная теория, теория краевого эффекта, другие варианты уравнений теории оболочек) и методов, применяемых для решения задач устойчивости и прочности оболочек (Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина, смешанный метод).

Во второй главе выводятся уравнения устойчивости подкрепленной

цилиндрической оболочки, имеющей комбинированное подкрепление в виде нескольких групп эксцентричных спиральных элементов произвольного наклона при действии равномерно распределенных по окружности осевых усилий и радиального давления. При этом стрингеры и шпангоуты рассматриваются как частные случаи спирали, наклоненной к образующей под углом 0 и 90 градусов соответственно. Пример оболочки, имеющей парносимметричное спиральное подкрепление, изображен на рис 1.

>\ А

Форма поперечного сечения подкрепляющих элементов принимается в расчетах близкой к прямоугольной и характеризуется площадью поперечного сечения, расстоянием центра тяжести сечения спирали от срединной поверхности и полярным моментом инерции.

В обшем случае оболочка имеет подкрепление в виде произвольного количества групп спиралей. Каждая группа состоит из спиральных элементов, выполненных из одного материала, расположенных по одну сторону от срединной поверхности оболочки, имеющих одинаковую форму поперечного сечения и угол наклона к образующей. Наиболее распространенные типы подкрепления изображены на рис 2. Здесь цифрой 1 - обозначена группа спиральных элементов, наклоненных к образующей под углом +ц>\ цифрой 2 - группа спиральных

элементов, наклоненных к образующей под углом ~<р; цифрой 3 - шпангоуты, т.е. группа спиральных элементов, наклоненных к образующей под углом 90°; цифрой 4 - стрингера, т.е. группа спиральных элементов, наклоненных к образующей под углом 0°.

Для получения дифференциальных уравнений равновесия использован метод вариации полной потенциальной энергии деформации. Три дифференциальных уравнения сводятся в одно относительно радиального перемещения. Энергия деформации подкрепляющих элементов включает деформации растяжения, изгиба и кручения. Эти величины брались осредненными по оболочке.

Зависимости, основанные на теории пологих спирально подкрепленных оболочек, путем уточнения выражения для потенциальной энергии деформации обобщаются на случай общей теории оболочек. В исходные уравнения введены уточненные выражения для параметров кривизны и потенциалов нагружения, что существенно расширяет область их применения и даст возможность рассматривать длинные оболочки, а также решить ряд принципиальных вопросов, связанных с переходом к уравнениям модифицированной полубезмоментной теории.

Рис 2. Типы подкрепления оболочек.

Таким образом, получено разрешающее дифференциальное уравнение для цилиндрической оболочки, имеющей произвольное подкрепление:

Здесь i - номер спирали, к - количество групп спиралей. Все константы: С, Е, d - относятся к физико-механическим свойствам цилиндрической оболочки и записаны в приложении.

Произведен анализ потери устойчивости цилиндрических оболочек с шарнирно опертыми торцами при осевом сжатии, внешнем давлении, изгибе и кручении. Решение разрешающего дифференциального уравнения для произвольного подкрепления и подкрепления в виде простой одномерной спирали, когда сохраняются члены с нечетными производными (Ф - sin 26), ищется в виде функции w = /l(cos¿,n*cos/¡v' + sin ¿„л-sin пу),

которая означает, что выпучивание сопровождается образованием регулярно расположенных по окружности волг/, наклоненных под углом к образующей. Строго говоря, такое решение для перемещения не удовлетворяет условиям классического шарнирного опирания, поэтому граничные условия удовлетворяются в интегральном смысле:

J wily ~ j №.„<•/)> = О при х = 0;.t = —.

Ú (1 ^

Для парноснмметричных спиральных элементов жесткости (Ф~-0) решение разрешающего дифференциального уравнения ищется в виде, который соответствует асимметричной форме потери устойчивости оболочки

... , . mnR w = Л sin Л,„.veos «у, где А - произвольная постоянная; лт =-; »i>l, ш - число

полуволн в осевом направлении.

В результате очевидных подстановок получено выражение устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки, имеющей комбинированное подкрепление в виде нескольких групп спиралей, для случая осевого сжатия и внешнего давления:

где для произвольного количества спиралей выражения/¡(т,п) и_/~2(т,п) следующие:

Изгибающий момент принимаем в форме: Мх = ]Мхьсо5>\ Подставляя эти выражения в разрешающее уравнение и используя метод Галеркина, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

где и' = 0,1,2,..., оо

Коэффициенты полученной системы уравнений образуют определитель для каждого произвольного целого числа ш, который должен равняться нулю,

Á (т,п) = с,Х+с„лу++ С,¿y + су -с6Х- саяу - С«яу -

t

-С(У + С.Х + Сл2ху + су + - Е*-ЛУ - Епху - ЕшЛУ +

i=l

+EtX» + £«АУ + Еалу - EtXn - Екяу)

к

/, (т,п) = + dl}Ay + ¿У + X"~А"')

»«i

Здесь / - номер спирали, к - количество групп спиралей. При изгибе форма потери устойчивости принимается в виде

w = sin Хях^Ла cos и)'

если существует нетривиальное решение системы уравнений. Если заданы N„, и Ny, такие,что, будучи приложены по отдельности, они находятся ниже своих критических значений, наименьшая Nxb для всех возможных величин т, обращающая в нуль определитель, является критическим изгибающим усилием при наличии заданной осевой нагрузки Nxc и окружного напряжения Ny.

Рассматривается также случай чистого изгиба.

При кручений форма потери устойчивости принимается в виде

W=sin«>' ^ sin Ятх+cos ny Bmsin¿m,x, ?l>]

В результате подстановки этого выражения в разрешающее дифференциальное уравнение и применения процедуры Галеркина получаем

* 2/V

л

2

й(»2,■».<>,... [_ i ■-■Л £«)"<i

2 Nv E,Ji,

m '-m

2m

= 0

X 4 ("'•'<)

¿(1/i„ _ i

m'~ 2,4,6,...

где:

/3 (m,n) = C\X + Скху + QX"* + QЯУ + су --c*X - СьХ»1 - С<ЛУ - с«»5 + с<Х + скху+су

/4 (т, п) = Лтп (-£,X - В\Х"~ - Е*Хп' - Еип" + + Е(Х + Е^У + Е,У - Е,Х ~ Еанг)

Л i"'*") - (¿iX ) Л(т'")= +d,¡X":+(Íií"')

Здесь i - номер спирали, к - количество групп спиралей.

Из коэффициентов полученных уравнений образуется определитель для произвольной величины п (1, 2, ...). При переборе численных значений п наименьшая величина обращающая в нуль определитель, является критическим сдвигающим усилием при кручении.

В третьей главе Упрощение уравнений общей теории физически ортотропных оболочек производится на основе критерия, предложенного В.В. Новожиловым. Он, как известно, состоит в сравнении изменяемости напряженно-деформированного состояния в продольном и окружном направлениях, т.е. в

сравнении вторых производных |д2//&2| и ]з2//<л>2|, где /- любой фактор в

оболочке, например, разрешающая функция, момент, перемещение и т.д. Таким образом, получаются уравнения модифицированной полубезмоментной теории, уравнения краевого эффекта. В уравнениях краевого эффекта и полубезмоментной теории в качестве разрешающей функции вводится радиальное перемещение

Чх'>>')-

Использование при расчете полных уравнений теории оболочек приводит к громоздким решениям, требующим проведения трудоемкой вычислительной работы. Построить достаточно точные приближенные решения, легко поддающиеся численной реализации, можно, если применить упомянутые выше уравнения.

Вопрос замены полных уравнений теории оболочек приближенными уравнениями более низкого порядка представляет значительный интерес, как в теоретическом отношении, так и для решения практически важных задач, которым посвящена работа. При расчетах на устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек, как и при исследовании напряженно-деформированного состояния, естественно использовать уравнения, погрешность которых при данном показателе изменяемости минимальна.

При асимметричной форме потери устойчивости оболочки принимаем: |з2//ду2|»|з2//Зд-2|. В результате данного допущения получены простые расчетные формулы для определения критических напряжений в произвольно подкрепленных

цилиндрических оболочках средней и большой длины при действии осевого сжатия, внеишего давления, совместного действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, изгиба и осевого сжатия, а также кручения.

Рис.3 Сравнение результатов, полученных по расчетным формулам с результатами общей теории физически ортотропных оболочек при асимметричной форме потери устойчивости оболочки.

Произведено сравнение результатов, полученных по расчетным формулам и упрощенным выражениям с результатами общей теории физически ортотропных оболочек. Из графиков на рис.3 видно, что для длинных оболочек с парно'симметрнчным спиральным подкреплением результаты, полученные по минимизированным формулам и упрощенным выражениям, в диапазоне углов наклона спиралей от 10 до 90 градусов отличаются от аналогичных результатов общей теории физически ортотропных оболочек не более чем на 10-20%. При этом совпадение тем лучше, чем длиннее оболочка. Полученные графики приведены для изгиба.

В четвертой главе рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением при осесимметричной

форме потери устойчивости. Подобный вид потери устойчивости наблюдается у оболочек, длина которых меньше диаметра, а также у имеющих несимметричное иррегулярное подкрепление. Упрощение уравнений общей теории оболочек, производится на основе критерия В.В. Новожилова, который при осесимметричной

форме потери устойчивости оболочки принимается в виде: |з2//ф'2(<<[д2//&'2['

В результате данного допущения выведена простая расчетная формула для определения критического напряжения для произвольно подкрепленной оболочки, являющаяся обобщением классической формулы для определения устойчивости неподкрепленной оболочки.

Получены простые расчетные формулы для определения критических напряжений в произвольно подкрепленных цилиндрических оболочках средней и большой длины при действии осевого сжатия, внешнего давления, совместного действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, изгиба и осевого сжатия, а также кручения.

Рис.4. Сравнение результатов, полученных по расчетным формулам с результатами общей теории физически ортотропных оболочек при осесимметричной форме потери устойчивости оболочки.

Произведено сравнение результатов, полученных по расчетным формулам и упрощенным выражениям, с результатами общей теории физически ортотропных оболочек. Из графиков видно, что для коротких оболочек с парносимметричным спиральным подкреплением результаты по минимизированным формулам и упрощенным выражениям в диапазоне углов наклона спиралей от 10 до 80 градусов отличаются от аналогичных результатов общей теории физически ортотропных оболочек, не более чем на 10-20% . При этом совпадение тем лучше, чем оболочка короче. Полученные графики для изгиба приведены на рис.4.

В пятой главе проводится сравнение полученных в диссертации результатов с теоретическими и экспериментальными данными других исследователей.

Численные результаты исследования моделей цилиндрических оболочек указывают на то, что при сравнении, основанном на равном весе элементов жесткости или равной прочности, спирально подкрепленные оболочки примерно соответствуют оболочкам, подкрепленным шпангоутами и стрингерами при осевом сжатии и чистом изгибе, но лучше работают на кручение и гидростатическое давление. Преимущество возрастает при увеличении элементов жесткости.

На рис. 5 даны отношения весов элементов жесткости цилиндрических оболочек (вес ребер спирально подкрепленных оболочек, поделенный на вес ребер подкрепленных обычно), сравниваемых на основе равной критической нагрузки. Цилиндрическая оболочка обычного типа имеет стрингеры и шпангоуты, с постоянным шагом. Сравниваются все четыре вида нагрузки.

Выявлен эффект спирального подкрепления (увеличение несущей способности) по сравнению с подкреплением обычного типа. Так, при действии внешнего давления для выбранных параметров жесткости модели положительный эффект отмечен до удлинения оболочки, равного примерно трем. Причем, с увеличением расстояния между ребрами этот предел смешается в сторону более коротких оболочек с одновременным уменьшением выигрыша в прочности. Оптимальный угол наклона увеличивается с ростом длины оболочек.

Эффективность спирального подкрепления при действии на конструкцию внешнего давления снижается с увеличением длины оболочки, и для очень длинных оболочек целесообразнее применять подкрепления в виде шпангоутов. При осевом сжатии преимущество спирального подкрепления перед обычным сохраняется для оболочек любой длины.

Лг

0,8 0,6 0,4 0,2 0

О 0,025 0,05 0,075

Рис.5. Отношения весов ребер оболочек подкрепленных спирально к весу ребер подкрепленных обычно, сравниваемых на основе равной критической

нагрузки.

Несущая способность спирально подкрепленных оболочек небольшой длины больше несущей способности оболочек той же массы, подкрепленных шпангоутами и стрингерами. Преимущество возрастает при увеличении мощности элементов жесткости. Для спиральных элементов подкрепления можно установить оптимальный угол наклона.

В заключении изложены основные научно-технические результаты работы, заключающиеся в следующем:

1. В работе предложен метод расчета на устойчивость подкрепленных цилиндрических конструкций, представляющих собой дискретно-континуальную систему, состоящую из цилиндрической оболочки и произвольного количества

■ 1-Осевое сжатие 12-Гидростатическое давление -З-Изгиб -4-Кручение

подкрепляющих элементов в виде спиралей, и, как частный случай, стрингеров и шпангоутов.

2 Для произвольно подкрепленных конструкций получены дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории физически ортотропных оболочек. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, найденные методом вариации уточненной полной потенциальной энергии деформации, сведены к одному разрешающему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно нормального перемещения. На основе этих уравнений появилась возможность получать решения, применимые при рассмотрении конструкций любой длины.

3 Используя критерий В.В.Новожилова, получены уравнения модифицированной полубезмоментной теории физически ортотропных оболочек и выведены простые расчетные формулы для определения критический напряжений для произвольно подкрепленных оболочек, являющиеся обобщением классических формул для определения устойчивости неподкрепленных оболочек.

4 Разработана методика расчета на устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек, подкрепленных произвольным количеством групп спиральных элементов, стрингерами и шпангоутами, в том числе коротких, средних и длинных цилиндрических оболочек при действии осевого сжатия, внешнего давления, изгиба и кручения

5 Рассмотрено применение упрощенных уравнений для решения задач устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с комбинированной произвольной системой подкрепления.

6 Получены простые аналитические выражения и расчетные формулы для определения критических напряжений для коротких, средних и длинных цилиндрических оболочек, имеющих произвольное и парносимметричное подкрепление, при действии осевого сжатия, внешнего давления, совместного

действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, совместного действия изгиба с осевой сжимающей нагрузкой и гидростатическим давлением, а также при кручении. Полученные результаты нашли подтверждение либо путем сравнения с имеющимися или найденными точными решениями, либо при сравнении с экспериментальными данными для моделей, близким к натурным. Показано, что упрощенные уравнения устойчивости оболочек применены для частных случаев подкрепленных цилиндрических оболочек, имеющих практическое значение. Это оболочки подкрепленные стрингерами, шпангоутами, спиралями и их комбинациями.

7 Результаты расчета показали рациональность использования спиралей в качестве подкрепляющих элементов в цилиндрических оболочках, по сравнению с подкреплением в виде стрингеров и шпангоутов.

8 На основе построенных алгоритмов решения задач устойчивости создан пакет прикладных программ, позволяющий находить величины критических нагрузок в спирально и в комбинированно подкрепленных оболочках при действии осевого сжатия, внешнего давления, совместного действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, совместного действия изгиба с осевой сжимающей нагрузкой и гидростатическим давлением, а также при кручении.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Нерубайло Б.В., Зубков Г.Д., Мочалов М.В. К вопросу об устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением при внешнем давлении. -ИФЖ. 2006. Т.79, №1. с.196-198.

2 Мочалов М.В., Нерубайло Б.В. Автоматизация управления нагружением и тензометрического контроля при статических прочностных испытаниях летательных аппаратов.//Труды XIV Международного научно-технического семинара: Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации; Алушта, 2005.

3 Мочалов М.В., Нерубайло Б.В. Расчет устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением при внешнем давлении.//Тезисы докладов XI Международного симпозиума: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2005, с. 87.

4 Мочалов М.В., Нерубайло Б.В. Обобщение классической формулы устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии на случай спирального подкрепления.//Тезисы докладов XI Международного симпозиума: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2005, с. 86-87.

5 Мочалов М.В. Расчет устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением при осевом сжатии и внешнем давлении.//Тезиеы докладов ХП Международного симпозиума: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2006, с. 243-244.

6 Мочалов М.В. Устойчивость цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением при изгибающем моменте .//Тезисы докладов ХП Международного симпозиума: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2006, с. 244-245.

7 Мочалов М.В. Устойчивость цилиндрических оболочек с парносимметричным спиральным подкреплением при изгибе. - Механика композиционных материалов и конструкций. 2006, Т.12, №4, с.437-442.

8 Нерубайло Б.В., Мочалов М.В. Обобщение классической формулы устойчивости цилиндрической оболочек на случай спирального подкрепления. -ИФЖ. 2005. Т.78, №4, с. 197-200.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК.

1.1. Обзор работ, посвященных задачам устойчивости подкрепленных и сетчатых цилиндрических оболочек.

1.2. Общая моментная и приближенные теории физически ортотропных цилиндрических оболочек.

1.3. О других вариантах уравнений теорий оболочек.

1.4. Об асимптотической погрешности уравнений теории оболочек и расчленении напряженного состояния.

1.5. Постановка и методы решения задач устойчивости.

ВЫВОДЫ К ПЕРВОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ИМЕЮЩЕЙ КОМБИНИРОВАННОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ.

2.1. Выражения для энергии и уточненные потенциалы нагружения.

2.2. Дифференциальные уравнения и граничные условия.

2.3. Анализ потери устойчивости цилиндрических оболочек с шарнирно опертыми торцами.

2.4. Случай нагружения оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением осевым сжатием и давлением.

2.5. Оболочка с эксцентричным спиральным подкреплением при действии изгибающего момента.

2.6. Форма потери устойчивости подкрепленной оболочки при изгибе с осевой сжимающей нагрузкой.

2.7. Сопротивление оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением при кручении.

ВЫВОДЫ КО ВТОРОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВАЗ. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПОЛУБЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ В.З.ВЛАСОВА ДЛЯ СПИРАЛЬНО ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ АСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ

3.1. Общий вид уравнений модифицированной полубезмоментной теории произвольно подкрепленной оболочки.

3.2. Форма потери устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки при осевом сжатии и давлении.

3.3. Случай нагружения подкрепленной оболочки только осевой сжимающей нагрузкой.

3.4. Случай действия внешнего давления.

3.5. Расчет цилиндрической оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением при чистом изгибе.

3.6. Цилиндрическая оболочка с эксцентричным спиральным подкреплением при изгибе с осевой сжимающей нагрузкой.

3.7. Расчет цилиндрической оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением при изгибе с осевой сжимающей нагрузкой, когда форма потери устойчивости близка к асимметричной.

3.8. Применение модифицированной полубезмоментной теории при кручении.

3.9. Сравнение с теоретическими исследованиями для цилиндрических оболочек с парносимметричным спиральным подкреплением.

ВЫВОДЫ К ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ПОЛУБЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ В.З.ВЛАСОВА ДЛЯ СПИРАЛЬНО ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ.

-44.1. Потеря устойчивости оболочки с эксцентричным спиральным подкреплением в случае осевой сжимающей нагрузки и при действии внешнего давления.

4.2. Расчет подкрепленной цилиндрической оболочки при чистом изгибе при квазиосесимметричной форме потери устойчивости.

4.3. Квазиосесимметричная форма потери устойчивости оболочки при изгибе и осевой сжимающей нагрузкой.

4.4. Расчет на устойчивость оболочки при изгибе и осевой сжимающей нагрузкой, при преобладающей изменяемости напряженно-деформированного состояния вдоль образующей.

4.5. Подкрепленная цилиндрическая оболочка при кручении, когда форма потери устойчивости близка к осесимметричной.

4.6. Сравнение с теоретическими исследованиями для цилиндрических оболочек с парносимметричным спиральным подкреплением.

ВЫВОДЫ К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ.

ГЛАВА 5.СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.

5.1. Оптимальное подкрепление цилиндрических оболочек.

5.2. Сравнение с результатами испытаний оболочек для вафельного подкрепления.

ВЫВОДЫ К ПЯТОЙ ГЛАВЕ.

Актуальность: Тонкостенные конструкции в виде подкрепленных оболочек находят широкое применение во многих отраслях науки и промышленности - в авиационной, ракетно-космической технике, в атомном машиностроении и строительстве. Часто их работоспособность определяется устойчивостью, проблема исследования которой продолжает оставаться актуальной, особенно в случае, когда оболочки подкреплены «неклассическим» силовым набором - в виде спирально ориентированных ребер.

Следует отметить, что проблеме устойчивости цилиндрических оболочек, в том числе содержащих продольный набор (стрингеры) и поперечный набор (шпангоуты, кольца), посвящено огромное число работ отечественных и зарубежных исследователей. Этого нельзя сказать про случаи, когда оболочки имеют спиральное подкрепление, т.е. когда ребра жесткости ориентированы под некоторым углом к оси оболочки.

Исследованию устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением посвящено весьма ограниченное число теоретических и экспериментальных исследований. Отметим опубликованные работы И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло, В.А.Заруцкого, Г.Д.Зубкова, А.С.Пальчевского, И.И.Федика, В.И.Шалашилина, R.L.Lee, S.Y.Lu, R.Meyer, J.Singer, Tsay-Chen Soong, а также Васильева B.B., Бунакова B.A. по механике конструкций и оптимальному армированию оболочек из композиционных материалов и Пшеничнова Г.И. по сетчатым оболочкам.

Исходя из вышеописанного, диссертационная работа на данную тему актуальна для авиационной, ракетно-космической техники, атомного машиностроения и строительства и других областей промышленности.

Целью работы является: • Рассмотрение имеющей важное практическое значение проблемы устойчивости подкрепленной круговой цилиндрической оболочки при действии осевого сжатия, внешнего давления, изгиба и кручения, а также некоторых комбинированных случаев нагружения. При этом подкрепление может быть как в виде спиралей, так и в виде стрингеров и шпангоутов, а также различных случаев сложного совместного подкрепления из стрингеров, шпангоутов и набора групп спиральных элементов, имеющих различные углы наклона.

• Получение простых аналитических выражений или расчетных формул, применимых в процессе проектирования для расчета на устойчивость цилиндрических оболочек с произвольным подкреплением.

• Создание пакета прикладных программ для расчета на устойчивость произвольно подкрепленных физически ортотропных цилиндрических оболочек.

Научная новизна. На протяжении многих десятилетий при проведении исследований по устойчивости тонкостенных конструкций, как правило, использовались уравнения теории пологих оболочек, или уравнения Доннелла -Власова. Полученные в их основе решения наиболее пригодны для оболочек средней длины, в то время как на практике встречаются оболочки различной длины, в том числе достаточно длинные.

В диссертации, в отличие от принятых постановок задачи для подкрепленных оболочек получены дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории физически ортотропных оболочек. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, найденные методом вариации уточненной полной потенциальной энергии деформации сводятся к одному разрешающему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно нормального перемещения. На основе этих уравнений появилась возможность получать решения, применимые при рассмотрении конструкций любой длины.

Далее, весьма существенным шагом является возможность упрощения полученного разрешающего дифференциального уравнения по критерию академика В.В.Новожилова до дифференциального уравнения модифицированной полубезмоментной теории физически ортотропных оболочек, на основе которой построены простые решения и формулы.

Производится сравнение решений, что приводит к фактической реабилитации уравнений модифицированной полубезмоментной теории, дающих для длинных оболочек более приемлемые результаты, чем использование к анализу длинных оболочек уравнений типа пологих оболочек.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что

• полученные методики и алгоритмы основаны на известных механико-математических моделях и физически обоснованных допущениях.

• имеет место хорошее соответствие полученных результатов с имеющимися или найденными точными решениями, или с экспериментальными данными для моделей, близких к натурным.

Практическое значение

• Применение предложенного подхода к решению поставленной проблемы привело к получению простых формул, пригодных при создании конструкций, включающих оболочки со спиральным подкреплением, особенно на стадии их проектирования, поскольку классические формулы не учитывают наклонность подкрепляющих элементов. Рассмотрены наиболее часто встречающиеся на практике случаи нагружения оболочек - действие осевой силы, изгибающего и крутящего моментов и нормального давления.

• Полученные формулы, содержащие все необходимые геометрические и механические характеристики оболочки и подкрепляющих элементов, по сути, явились обобщением классических формул, широко применяемых в практике, не отличаясь от них сколько-нибудь заметным увеличением трудоемкости.

• На основе полученных формул спиральное парносимметричное подкрепление сравнивалось с обычным вафельным, а одномерная спираль - с подкреплением в виде шпангоута при внешнем давлении и с подкреплением в виде стрингера при осевом сжатии. Выявлен эффект спирального подкрепления (увеличение несущей способности) по сравнению с подкреплением обычного типа.

• Для длинных оболочек в смысле обеспечения минимального веса конструкции выявлена целесообразность постановки подкреплений в виде шпангоутов. При осевом сжатии преимущество спирального подкрепления перед обычным того же веса выражено слабее, чем при внешнем давлении, но сохраняется для оболочек любого удлинения. Оптимальный угол наклона спирали колеблется в зависимости от удлинения оболочки.

• Спирально подкрепленные оболочки небольшой длины работают значительно лучше оболочек такого же веса, подкрепленных шпангоутами и стрингерами. Преимущество возрастает при увеличении мощности элементов жесткости. Установлено, что для спиральных элементов существует оптимальный угол их наклона. Рекомендуется при создании надежных конструкций высокой прочности и минимального веса в виде подкрепленных цилиндрических оболочек, наряду с подкреплением классического типа, рассматривать возможность и спирального подкрепления.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 3-х международных научно-технических форумах:

- XI Международный симпозиум: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2005.

- XIV Международный научно-технический семинар «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта, 2005 год

- XII Международный симпозиум: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред; Ярополец, 2006.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы, в которых полно отражены теоретические и прикладные результаты проведенных исследований.

На защиту выносятся результаты, определяющие научную новизну и имеющие практическую ценность:

• механико-математические модели устойчивости подкрепленных физически ортотропных цилиндрических оболочек, основой которых являются дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории оболочек и приближенной модифицированной полубезмоментной теории.

• метод и полученные на его основе с использованием уравнений модифицированной теории физически ортотропных оболочек аналитические выражения или простые расчетные формулы для критических нагрузок при спиральном и комбинированном подкреплении.

• пакет прикладных программ для вычисления величин критических нагрузок при спиральном и комбинированном подкреплении физически ортотропных оболочек.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5-ти глав, выводов, списка литературы, включающего 108 наименований и 2-х приложений. Объем работы составляет 147 страниц машинописного текста, в том числе: 3 таблицы, 31 рисунков и 7 фотографий.

Выводы к пятой главе.

1. Численные результаты исследования моделей цилиндрических оболочек указывают на то, что для сравнения, основанного на равном весе элементов жесткости или равной прочности, спирально подкрепленные оболочки примерно соответствуют оболочкам, подкрепленным шпангоутами и стрингерами при осевом сжатии и чистом изгибе, но лучше работают на кручение и гидростатическое давление. Преимущество возрастает при увеличении элементов жесткости.

2. Выявлен эффект спирального подкрепления (увеличение несущей способности) по сравнению с подкреплением обычного типа. Так, при действии внешнего давления для выбранных параметров жесткости модели положительный эффект отмечен до удлинения оболочки, равного примерно трем. Причем, с увеличением расстояния между ребрами этот предел смещается в сторону более коротких оболочек с одновременным уменьшением выигрыша в прочности. Оптимальный угол наклона (45 градусов) увеличивается с ростом длины оболочек. Эффективность спирального подкрепления при действии на конструкцию внешнего давления снижается с увеличением длины оболочки, и для очень длинных оболочек целесообразнее применять подкрепления в виде шпангоутов. При осевом сжатии преимущество спирального подкрепления перед обычным сохраняется для оболочек любой длины.

3. Несущая способность спирально подкрепленных оболочек небольшой длины больше несущей способности оболочек той же массы, подкрепленных шпангоутами и стрингерами. Преимущество возрастает при увеличении мощности элементов жесткости. Для спиральных элементов подкрепления можно установить оптимальный угол наклона.

- 123-ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

На основе проведённых исследований решены практические и теоретические задачи, которые возникают при расчете на устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек. Целью диссертационного исследования было найти такие упрощенные формулы, которые с достаточно большой точностью можно было бы применять для практических целей. Решены следующие вопросы:

1. В работе предложен метод расчета на устойчивость подкрепленных цилиндрических конструкций, представляющих собой дискретно-континуальную систему, состоящую из цилиндрической оболочки и произвольного количества подкрепляющих элементов в виде спиралей, и, как частный случай, стрингеров и шпангоутов.

2. Для произвольно подкрепленных конструкций получены дифференциальные уравнения наиболее безукоризненной с точки зрения энергостатики общей теории физически ортотропных оболочек. Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях, найденные методом вариации уточненной полной потенциальной энергии деформации, сведены к одному разрешающему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно нормального перемещения. На основе этих уравнений появилась возможность получать решения, применимые при рассмотрении конструкций любой длины.

3. Используя критерий В.В.Новожилова, получены уравнения модифицированной полубезмоментной теории физически ортотропных оболочек и выведены простые расчетные формулы для определения критический напряжений для произвольно подкрепленных оболочек, являющиеся обобщением классических формул для определения устойчивости неподкрепленных оболочек.

4. Разработана методика расчета на устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек, подкрепленных произвольным количеством групп спиральных элементов, стрингерами и шпангоутами, в том числе коротких, средних и длинных цилиндрических оболочек при действии осевого сжатия, внешнего давления, изгиба и кручения.

5. Рассмотрено применение упрощенных уравнений для решения задач устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с комбинированной произвольной системой подкрепления.

6. Получены простые аналитические выражения и расчетные формулы для определения критических напряжений для коротких, средних и длинных цилиндрических оболочек, имеющих произвольное и парносимметричное подкрепление, при действии осевого сжатия, внешнего давления, совместного действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, совместного действия изгиба с осевой сжимающей нагрузкой и гидростатическим давлением, а также при кручении. Полученные результаты нашли подтверждение либо путем сравнения с имеющимися или найденными точными решениями, либо при сравнении с экспериментальными данными для моделей, близким к натурным. Показано, что упрощенные уравнения устойчивости оболочек применены для частных случаев подкрепленных цилиндрических оболочек, имеющих практическое значение. Это оболочки подкрепленные стрингерами, шпангоутами, спиралями и их комбинациями.

7. Результаты расчета показали рациональность использования спиралей в качестве подкрепляющих элементов в цилиндрических оболочках, по сравнению с подкреплением в виде стрингеров и шпангоутов.

8. На основе построенных алгоритмов решения задач устойчивости создан пакет прикладных программ, позволяющий находить величины критических нагрузок в спирально и в комбинированно подкрепленных оболочках при действии осевого сжатия, внешнего давления, совместного действия осевой сжимающей нагрузки и гидростатического давления, чистого изгиба, совместного действия изгиба с осевой сжимающей нагрузкой и гидростатическим давлением, а также при кручении.

Направление дальнейших исследований - разработка методов расчета на устойчивость сложно подкрепленных оболочек сферических, конических и произвольной формы.

1.Л., Арутюнян Н.Х. Кручение упругих тел. - М., Физматгиз, 1963, 686с.

2. Алфутов Н.А Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением Инж. сб., 1956, вып. 23, с.36-46.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука, 1974.448с.

4. Амиро И.Я., Грачев О.А., Заруцкий В.А., Пальчевский А.С., Санников Ю.А. Устойчивость ребристых оболочек вращения. Киев, Наукова думка, 1987,160с.

5. Амиро И.Я., Диамант Г.И., Заруцкий В. А. О формах потери устойчивости продольно подкрепленных цилиндрических оболочек. -Прикладная механика, 1977, Т.13, №9, с. 115-117.

6. Амиро И .Я., Заруцкий В. А., Мацнер В.И. О влиянии эксцентриситета ребер на устойчивость цилиндрических оболочек, нагруженных осевыми сжимающими силами и внутренним давлением. -Строительная механика и расчет сооружений, 1975, №1, с.25-27.

7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск, Наука, 2001,287с.

8. Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М., Наука, 1985, 221с.

9. Антуфьев Б.А. Колебания дискретно закрепленной оболочки, несущей сосредоточенную массу. М., Прочность элементов конструкций летательных аппаратов, 1982, с. 8-13.

10. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К применению МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материалов. Изв. Вузов, Сер. Строительство и архитектура, 1985, №3,с.24-27.

11. Белоносов С.М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек. М. Наука, 1993,160с.

12. Беликов Г.И. Статика, динамика и устойчивость сетчатых и подкрепленных оболочек с учетом поперечного сдвига. Волгоград, 2003, 297с.

13. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М., Машиностроение, 1988, 271с.

14. Васильев В.В., Лопатин А.В. Теория сетчатых и подкрепленных композитных оболочек. Механика конструкций из композиционных материалов, Новосибирск, 1984, с.31-36.

15. Васильев В.В. О воздействии локальной нагрузки на цилиндрическую оболочку из ортотропного стеклопластика. Механика полимеров, 1970, №1, с. 95-101.

16. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Функциональное нормирование при решении краевых задач для цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1994, Т.58, №1.

17. Виноградов Ю.И. Методы вычисления и построения алгоритмов решения краевых задач строительной механика. ДАН СССР, т.298,№2, 1988.

18. Виноградов, Ю.И., Образцов И.Ф., Клюев Ю.И. Методы решения краевых задач механики деформирования тонкостенных конструкций. МТТ, №1,2001.

19. Власов В.З. Избранные труды т1-3, АН СССР, М., 1962.

20. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. -М., Гостехиздат, 1949, 784с.

21. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958. 502с.

22. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. Физматгиз, 1967, 984с.

23. Вороненок Е.Я., Куркин Ю.С., Спиро В.Е. Неупругая устойчивость произвольных изотропных оболочек вращения с учетом дискретности и эксцентриситета продольных и кольцевых ребер. Расчет пространственных конструкций, 1977, вып. 17, с. 160-171.

24. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953, 544с.

25. Грачев О.А., Игнатюк В.И. Об устойчивости трансверсально-изотропных ребристых оболочек вращения. Строительная механика и расчет сооружений, 1986, №3, с.61-64.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978,360с.

27. Гурвич И.Б., Заруцкий В.А., Манцнер В.И., Почтман Ю.М. К вопросу о весовой оптимизации эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек. Прикладная механика, 1977, Т.13, №7, с.113-116.

28. Даревский В.М. К теории цилиндрических оболочек. ПММ, т. 15, 1951, с.531-562.

29. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1970, с. 150-162.

30. Заруцкий В.А. О влиянии числа и жесткости ребер на устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при осевом сжатии. -Гидроаэромеханика и теория упругости, 1971, вып. 13, с.79-88.

31. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов, изд-во СГУ, 1988,156с.

32. Игнатьев В.А., Соколов O.JL, Альтенбох И., Киссинг В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластинчато-стержневой структуры. М. Стройиздат, 1996, 560с.

33. Игнатьев В.А. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. Саратов, Изд-во СГУ, 1992, 144с.

34. Кабанов В.В. Устойчивость подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки при сжатии и нагреве. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975. вып. 15. с.117-120.

35. Кан С.Н., Каплан Ю.Н. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек. В кн.: Устойчивость пространственных конструкций. Киев: Киев, инж.-строит. ин-т, 1978, с. 170-174.

36. Кан С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966, 508с.

37. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975, 375с.

38. Колодяжный А.П., Маневич А.И. Устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек при изгибе. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, №6, с.115-119.

39. Колодяжный А.П., Маневич А.И. Экспериментальное исследование устойчивости стрингерных цилиндрических оболочек при изгибе. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 15, с. 180-182.

40. Колодяжный А.П. Устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек, нагруженных изгибающим моментом и внутренним давлением. Гидроаэтомеханика и теория упругости, 1972, вып. 15, с. 143-150.

41. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. Казань, 1994,122с.

42. Красовский B.JL, Космырко В.В., Гусев В.В. О влиянии особенностей расположения ребер на устойчивость стрингерных отсеков. В кн.: Устойчивость пространственных конструкций. Киев: Киев, инж.-строит. ин-т, 1978, с.113-117.

43. Липовский Д.Е., Алтухер Г.М., Коц В.М. и др. Статистическая оценка влияния случайных возмущений на устойчивость ребристых оболочек по данным экспериментальных исследований. Расчет пространственных конструкций, 1977, №17, с.32-44.

44. Лопатин А.В. Устойчивость при изгибе композитной цилиндрической оболочки с продольными ребрами жесткости. Изв. РАН: Механика твердого тела, 1993, №1, с. 169-177.

45. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. СПб., 1948,28с.

46. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.-Л., ОГИЗ ГИТТЛ, 1947,252с.

47. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л., ГОНТИ, 1935,674 с.

48. Малютин И.С. Устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной регулярной системой кольцевых ребер различной жесткости. -Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, №4, с.185-188.

49. Маневич А.И., Красовский В. Л., Кучеренко В.М. Влияние внутреннего давления на устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Расчет пространственных конструкций, 1973, №15, с.26-35.

50. Мацнер В.И., Поляков П. С. Об устойчивости цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами, при действии осевых сжимающих сил. Проблемы прочности, 1971, №8, с.22-26.

51. Морозов B.C., Сквиренко С.М. Численное решение вариационных задач механики тонкостенных конструкций. Ташкент, Фан, 1991, 190с.

52. Морозов B.C. Численные методы решения вариационных задач строительной механики. М., МАИ, 1988,42с.

53. Мочалов М.В. Устойчивость цилиндрических оболочек с парносимметричным спиральным подкреплением при изгибе. Механика композиционных материалов и конструкций. 2006, Т. 12, №4, с.437-442.

54. Муштари Х.М. Об области применимости приближенной теории оболочек Кирхгоффа Лява. ПММ, 1947, т.11 вып. 5, с. 517-520.

55. Наринский В.И., Сергеев В.Н. Устойчивость тонкостенных стержней и плоских элементов конструкций летательных аппаратов. М., МАИ, 1989, 57с.

56. Нерубайло Б.В., Зубков Г.Д., Мочалов М.В. К вопросу об устойчивости цилиндрических оболочек со спиральным подкреплением при внешнем давлении. ИФЖ. 2006. Т.79, №1. с.196-198.

57. Нерубайло Б.В. К расчету напряжений в цилиндрических оболочках, загруженных по линиям контура. Прикладная механика, 1975, т.11, вып. 2, с. 41-48.

58. Нерубайло Б.В. Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. М., Машиностроение, 1983,248 с.

59. Нерубайло Б.В., Мочалов М.В. Обобщение классической формулы устойчивости цилиндрической оболочек на случай спирального подкрепления. ИФЖ. 2005. Т.78, №4. с. 197-200.

60. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М. Издательство УССР, 2003,214с.

61. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962,432с.

62. Новожилов В.В., Финкелынтейн Р.Л. О погрешности гипотез Кирхгоффа в теории оболочек. ПММ, т.7,1943, с. 331-340.

63. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М., Машиностроение, 1991, 426с.

64. Пальчевский А.С., Кукарина А.И., Прядко А.А., Коднер М.Я., Шилин В.В. Экспериментальное исследование устойчивости ребристых цилиндрических оболочек при кручении. Прикладная механика, 1984, Т.20, №3, с.110-113.

65. Пальчевский А.С Расчет цилиндрических стрингерных оболочек минимального веса при осевом сжатии. Прикладная механика, 1966, Т.2, №9, с.37-43.

66. Пальчевский А.С. Устойчивость цилиндрических оболочек, подкрепленных спиральными ребрами. Прикладная механика, 1990, Т.26, №7, с.49-56.

67. Погорелов А.В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. Киев, Наукова думка, 1998, 200с.

68. Пономарев В.В., Беликов Г.И. Расчет сетчатых оболочек вращения. Прикладная механика, 1981, Т. 17, №7, с.53-60.

69. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек. Прикладная механика, 1976, Т.12, №5, с.44-49.

70. Постнов В.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л., Судостроение, 1979,288с.

71. Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М. Наука, 1982, 352с.

72. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига, Зинатне, 1988, 284с.

73. Рудых Г.Н. Экспериментальное исследование общей устойчивости каркасированных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. -В кн.: Tp.IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. 1973,Л.: Судостроение, 1975, с.386-389.

74. Рыбаков Л.С., Наринский В.И. Вариационные принципы и методы строительной механики. М., МАИ, 1987, 92с.

75. Соколов П.А. Устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной упругими круговыми ребрами жесткости, при действии поперечной и продольной нагрузок. Прикладная механика и математика, 1933, 1, №2, с.256-281.

76. Теребушко О.И. Устойчивость подкрепленных и анизотропных оболочек. В кн.: VII Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970, с.884-897.

77. Тимашев С. А. Устойчивость подкрепленных оболочек. -М.:Стройиздат, 1974, 256с.

78. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки -М.: Физматгиз, 1963, 636с.

79. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1971, 808с.

80. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. 1995, 319с.

81. Филин А.П. Пути согласования дискретных и континуальных объектов в механике деформируемого тела. Сб. тр.: ЛИИЖТ, Л., 1970.

82. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстройиздат, 1961,306с.

83. Черников С.П. Устойчивость подкрепленной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Изв. вузов. Машиностроение, 1973, №1, с.15— 19.

84. Шалашилин В.И., Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейной задачи механики и твердого деформируемого тела. М., 1988, 232с.

85. Bijlaard P.P. Stresses from local loadings in cylindrical pressure vessels. Transactions of the ASME, 1955, vol. 77, N 6, p.805-816.

86. Cooper R.M. Cylindrical shells under line load. Ann. Arbor, Mich., Paper Amer.Soc., Mech. Engrs., 1957, N АРМ 28, p. 1-6.

87. Donnell L.H. Stability of thin-walled tubes under torsion. NASA Technical Report N 479, Washington, 1933, p.3-16.

88. Lakshmikantham C., Tsui T. Dynamic buckling of ring stiffened cylindrical shells. -AIAA Journal, 1975,13, N 9, p. 1165 1170.

89. Meyer R.R. Buckling of 45° Eccentric-Stiffened Waffle Cylinders. -Journal of the Royal Aeronautical Society 1967. Vol. 71. Pp.516-520.

90. Hunt, G.W. Cylindrical shell buckling: a characterization of localization and periodicity. Amsterdam 2002

91. Simitses G.J., Ungbhakorn V. Minimum weight design of stiffened cylinders under axial compression. AIAA Pap., 1974, №101, p. 1-9.

92. Simitses G., Aswani M. Minimum weight design of stiffened cylinders under hydrostatic pressure. AIAA Pap., 1975, № 138, p. 1-10.

93. Singer J., Haftra R.T. Buckling of discretely stringer-stiffened cylindrical shells and elastically restrained panels. AIAA Journal, 1975, 13, №7, p. 849-850.

94. Tong L. Effect of transverse shear deformation on free vibration of orthotropic conical shells. Acta mech, 1994, 107, №1-4, p. 11-18.