Математическое моделирование напряженно - деформированного состояния оболочки глаза при некоторых операциях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Миронов, Андрей Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
Миронов Андрей Николаевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ПРИ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАЦИЯХ
01 02 04 — механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
□03158790
Санкт-Петербург 2007
003158790
Работа выполнена на кафедре гидроупругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета
Научный руководитель: доктор физ.-мат наук, профессор
Бауэр Светлана Михайловна
Официальные оппоненты:
доктор физ -мат наук, профессор
Колпак Евгений Петрович
канд физ -мат наук, профессор
Смольников Борис Александрович Ведущая организация:
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
Защита состоится 2007 г в часов
на заседании диссертационного совета Д 212 232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при СПбГУ по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , д 28 , ауд ЛЬЖ ¿/05~
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А М Горького СПбГУ по адресу Санкт-Петербург, Университетская набережная., д. 7/9
Автореферат разослан
Ученый секретарь диссертационного совета д ф.-м н , профессор
С А. Зегжда
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В данном исследовании обсуждаются некоторые задачи теории оболочек в приложении к определению напряженно-деформированного состояния глаза при хирургических операциях по лечению отслоек сетчатки
Отслойка сетчатки является тяжелой патологией и нередко приводит к значительному снижению зрения и слепоте По некоторым оценкам, среди причин инвалидности по зрению отслойка сетчатки составляет до 9%, причем 84% страдающих этим недугом - лица трудоспособного возраста Основная причина возникновения отслойки - разрыв сетчатки с последующим проникновением под нее жидкости В 1953 г Е Сноске предложил пломбировать зону разрыва сетчатки с помощью экстрасклеральных имплантатов, позже стали применять круговое сдавливание - циркляж С тех пор методы хирургического лечения постоянно совершенствуются, для изготовления имплантатов применяются различные материалы
Применение методов механики для изучения напряженно-деформированного состояния глаза при экстрасклеральных методах лечения позволяет оценить риск и причины возможных послеоперационных осложнений, эффективность применения имплантатов различной формы и с различными механическими характеристиками
Исследования механических свойств тканей глаза позволяют усовершенствовать методы расчета глазной оболочки при различных нагрузках, а развитие методов прижизненной оценки биомеханического статуса глазной оболочки делает перспективу внедрения результатов расчетов в клиническую практику вполне реальной
Целью данной работы является построение моделей противоотслоеч-ных операций, таких как циркляж и локальное пломбирование, исследование нелинейности физических свойств склеральной ткани
Методы решения. При решении поставленных задач применялись различные методы При решении задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки глаза при наложении циркляжа узкой лентой использовались асимптотические методы Контактные задачи решались методами, разработанными Ю П Артюхиным и Г Я Поповым Ряд результатов получен численными методами
Новые результаты, выносимые на защиту:
1 Исследовано осесимметричное напряженно - деформированное состояние сферической оболочки при краевой нагрузке Получены результаты,
позволяющие оценить значения напряжений, удлинения передне-задней оси и изменения внутреннего давления при приложении нагрузки не только по экватору, но и по параллели
2 Построено решение контактной задачи, описывающей взаимодействие между упругой сферической оболочкой и абсолютно жестким кольцом по экватору Также решена задача о контакте сферической оболочки и упругого сферического слоя Полученные распределения контактной нагрузки позволяют оценить наиболее выгодную форму сечения кольца для которой при заданном значении прогиба пик нагрузки минимален
3 Построена математическая модель локального пломбирования глаза
4 Предложен способ построения нелинейного упругого потенциала склеральной ткани с использованием эмпирической зависимости Результат исследований может быть применен при построении нелинейных моделей, позволяющих более адекватно описывать напряженно - деформированное состояние оболочки глаза при различных хирургических вмешательствах
Теоретическое и практическое значение. Математический анализ напряженно - деформированного состояния оболочки глаза при противо-отслоечных операциях является объективным диагностическим и прогностическим критерием для выбора лечебной тактики
Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов, полученных по асимптотическим формулам с результатами численного решения задач, в некоторых случаях сравнением решений, полученных по линейной теории оболочек с результатами других авторов, а также согласованностью с экспериментальными данными
Апробация результатов. Результаты, постановка и методы решения задач обсуждались на семинарах кафедр теоретической и прикладной механики и гидроупругости мат-мех ф-та СПбГУ, на конференции молодых ученых мех-мат ф-та МГУ (Москва, 1994), на II, III и V Всеросийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1994, 1996, 2000), на Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения"(СПб,
1997), на XIII Международном конгрессе исследователей глаза (Париж,
1998), на II семинаре по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им Гельмгольца (Москва, 2001 г), на XIII Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002), на объединенном семинаре СПб-ГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"(СПб, 2006)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы Общий объем диссертации составляет 103 страницы Список литературы содержит 152 наименования
Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и тезисах докладов [1 - 14], в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК В статье [1] автором получены численные результаты Экспериментальные данные, используемые в работах, получены Б А Зиминым В совместных работах [1,6,8] медицинские аспекты изучаемых проблем представлены врачами - офтальмологами В В Волковым, А Б Качановым, О В Светловой, Л В Багровой, постановка задач в работах [3 - 5] принадлежит Семенову Б Н , в работах [9 - 11, 14] - Бауэр С М Модели, представленные в работах [1,3,4] также вошли в учебные пособия по математическому моделированию в биомеханике (Пальмов В А , Зинковский А В (ред.), Бегун П.И , Афонин П Н ) и б монографии (Бауэр С М , Зимин Б А , Товстик П Е , Бегун П И )
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводятся общие сведения о структуре глаза, обзор литературы, посвященной биомеханическим аспектам рассматриваемых проблем, формулировка цели работы, основные положения, выносимые на защиту, и описание структуры диссертации
Первая глава посвящена построению линейной модели операции циркляжа
В п 1 1 выведены линейные уравнения равновесия непологой изотропной сферической оболочки в перемещениях при осесимметричной нагрузке
В п 1 2 приведены асимптотические приближения функций Лежандра, являющихся точным решением уравнений равновесия
Расчетные формулы для перемещений, усилий и моментов получены в п 1 3 При этом уточнено значение тангенциального перемещения, влияющего в большой степени на вычисление объема оболочки
В и 1 4 показана связь между выведенными уравнениями и классическими уравнениями В В Новожилова в комплексных усилиях Показано, что найденное асимптотическое решение совпадает с решением, полученным интегрированием уравнений второго порядка в комплексных усилиях
Моделирование диркляжа нитью или узкой лентой как краевой нагрузки, наложенной по параллели на безмоментное состояние оболочки, рассмотрено в п 15 Приведенные уравнения позволяют получить решение для двух способов проведения операции циркляжа с применением нерастяжимого или растяжимого материала для "обычного" способа, когда известен объем удаленной субретинальной жидкости, и операции на "сухом" глазу, когда во время операции поддерживается известное постоянное значение ВГД
Для наиболее распространенного в клинической практике частного случая циркляжа по экватору, вп 16 выведены формулы для оценки параметров операции Результаты расчетов представлены в виде таблиц
В п 1 7 рассмотрен случай циркляжа в плоскости, параллельной экватору
Во второй главе рассмотрено применение контактных задач теории оболочек при моделировании операции циркляжа
В п 2 1 изложена постановка одномерных контактных задач, учитывающая поперечную деформацию оболочки и приводящая к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, рассмотренная в работах Артюхина Ю П , Карасева С Н , Блоха М В , Григолюка Э И , Толкачева В М и др
В п 2 2 рассматривается замкнутая тонкая изотропная сферическая оболочка, обжатая по экватору абсолютно жестким кольцом Форма сечения кольца симметрична относительно плоскости экватора Определяется контактное напряжение а (в) Используется метод решения контактных задач, предложенный Ю П Артюхиным, в котором интегральное уравнение сводится к решению краевой задачи
Так как задача симметрична относительно экватора, рассматривается только верхняя половина оболочки в е [0,7г/2] Искомое контактное напряжение удовлетворяет следующему интегральному уравнению
/"Г/2
аа{в) + 2тгД2 / = /(#), к/2 - ^<0<тг/2 (1)
•/-71-/2—0
Здесь а = . —---——коэффициент, характеризующий обжатие
2(1 — и) Ь
оболочки по нормали, К - толщина, К - радиус оболочки, Е - модуль Юнга, I/ - коэффициент Пуассона, /(в) - функция формы сечения кольца, ф - угол контакта
Ядро (3(0, £), удовлетворяющее уравнению Д2
ЬС(в,0 =
2тгБ 81П (
5(в-0, где Ь = [АД + 4/34] ,
ограниченное в полюсе и симметричное относительно экватора, имеет вид
' - ^ (0)) (^(0 + ^(о) -
- (0) + ^ (0)] (£) - **(£)) , < £ < тг/2,
(**(£) - ^(£)) (0) + (0)) -к - Ш + ^(0) (0) - ^ (0)) , 0 < £ < 0<тг/2,
2-кР (ЗсН
<?(0,О = <
(2)
где
^ (0) = вш(/3(0 - тг/2))е/5(0-эт/2), ^ (0) - соз(/3(0 - 1г/2))е0{в~7т/2\
р£(в) = ЯП(/3(0 - ж/2))е-0(9-*/2\ ^(0) = соз(/3(0 - тг/2))е~0(в-ж/2) Интегральное уравнение (1) сводится к следующей краевой задаче о4 о2 тэ4
ААу(в) + К4у(в) = 1/(0 = /(С) - МО, 4к4 = + —
с/
С=тг/2
= 0,
£=тг/2—ф
решение которой можно записать в виде
<7(0) = А1Ф?(0) + А2Ф5(0) + ^-
1 ге (п + 1) + 4/3
--27—, ,ч2 ■ л 4ВпРп{соъв),
а п (п + I)2 + 4к
где ФЦв) = Р?(в)-Е?(в), Ф§(в) = ^2К(0)+Е4К(6>), Вг - коэффициенты разложения функции /(в) в ряд по полиномам Лежандра /(О) = ВпРп(соев), а коэффициенты Ах, А2 определяются из систе-
мы
А! [д3Ф£ - чП + 2Ф1} + [< к4-/34
3Ф5
^ ап2(п+ I)2 + 4к4
-п. 4 /
Д
+ 2Ф§] = п(гг + 1) 4/33 4
Л! [д3Фд + 2<72Ф£ + + Л2 [д3Ф£ - 2д2Ф" - =
8 к4 - /?4
а п2(п + I)2 + 4/г4
2?„
П(П + 1) _ ! П(П+!)
^ /1 I -'та "т" « М1
4/?3 2(5) п 2/32
(3)
Фз (0) = ВД) + ВД) + - (*). Ф? = - V),
Ф«(0) = ^(0) - + + ВД), д = к/0
Обжатие жестким цилиндрическим кольцом На рис 1 представлена зависимость распределения контактного напряжения от относительной длины интервала контакта (7г/2 — в)/ф для цилиндрического кольца радиусом В,\ и шириной Н = 2 мм, оболочки с параметрами Я = 12 мм, к = 1 мм, .Е = 14 3 МПа, г/ = 0 4, соответствующими средним значениям для глаза человека, угла контакта ф = аг^ (Н/2В.^)
Формулы (3) справедливы при безотрывном контакте (предполагается что оболочка приклеена к кольцу) Расчеты показывают, что когда зона контакта распространяется на всю ширину кольца (радиус кольца В[ та 11 97 мм), экватор оболочки отходит от кольца, и безотрывный контакт а > 0 в неприклеенной оболочке невозможен При дальнейшем уменьшении Яг середина оболочки загружается небольшим контактным давлением, а зона отрыва смещается к границе области контакта (рис 1), на которой достигается максимальное контактное напряжение
Кривые на графике, обозначенные цифрами, построены при следующих значениях 1 - 11 9 мм, 2-116 мм, 3-113 мм, 4-110 мм, 5 - 10 7 мм, 6 - 10 4 мм, 7 - 10 1 мм
Обжатие жестким тороидальным кольцом В отличие от случая обжатия цилиндрическим кольцом, здесь угол контакта неизвестен, для его
7 СЬ
б о:
40!
за 2а 1 а оа -1
а, МПа
ст, МПа
О 02 04 06 08 10
О 02 04 06 08 10
Рис 1 Контактное напряжение под цилиндрическим кольцом
Рис 2 Контактное напряжение под тороидальным кольцом
определения к системе (3) нужно добавить соотношение а{ж/2 — ф) = 0 Распределение контактного напряжения также имеет другой характер
Процесс деформирования оболочки при обжатии тороидальным кольцом может быть условно разделен на два этапа На начальном этапе длина интервала контакта и напряжение увеличиваются по мере уменьшения радиуса кольца, при этом напряжение распределено по Герцу
На рис 2 представлено распределение контактного напряжения на втором этапе для кольца, радиус сечения которого г = 2 0 мм Напряжение на экваторе оболочки начинает уменьшаться, появляется пик давления у конца интервала контакта Кривые на графике, обозначенные цифрами, построены при следующих значениях то - прогиба оболочки в точке тг/2 1 - 1 342 мм, 2 - 1 362 мм, 3 - 1 372 мм И, наконец, при гоо и 1 375 мм, середина оболочки теряет контакт с кольцом
В п 2 3 исследуется обжатие оболочки по экватору упругим сферическим слоем с краями тг/2 ± ф, ф — угол контакта Также как в п 2 2 рассматривается верхняя половина оболочки в £ [0,7г/2] Обозначая индексом "о" величины, относящиеся к оболочке, а индексом "к" - к кольцу, интегральное уравнение контакта, справедливое в области 7г/2 — ф^в^тт/2,
можно записать в виде
мг/2
d+(a0 + aK)a + 2Tr / sm(0[R2oGo(9,0 + RÍGK(e,0]^(0^ + wK = 0 Jw/2-ф
(4)
Здесь d = Rk — Ro y wk ~ прогиб кольца, симметричный относительно экватора, удовлетворяющий уравнению равновесия Ькюк = 0 и обеспечивающий выполнение условий свободного края в точке в = ж/2 — тр
Awv
(9) + 2тг Г' Rl sm(£)АСк(в, = 0,
J-K/2-Í,
т/2
+ 2к = 0 (5)
Вид функций Со к(в, £), имеющих смысл прогиба в точке в при действии единичной силы в точке определен уравнениями (2)
При введении новой функции у (в), связанной с искомой соотношениями
Rn
Rk
к + о
Do
Du
у(в) = -d- %, а(в) = Ь0Ьку(в),
интегральное уравнение (4) может быть сведено к следующей краевой задаче
До г , Rк т
+ -^о
(а0 + ак) LQLKy +
Dn
DK
у = -d-w к
(6)
п= 1 ( ,
sm^ Е [R2KGK(e,О + B»Go(e,О]
d
+ ^ДS-b^íOAf' №4oRlGK(e,a)+4fáR2oGo(e,0]
= 0 (7)
Í=tt/2-ip
Краевые условия (7) содержат восемь линейно-независимых функций
1> А
(в) Приравнивая нулю коэффициенты при этих функциях, можно получить восемь уравнений, четыре из которых будут выполнены тождественно, а остальные вмете с уравнениями (5) образуют линейную систему относительно коэффициентов А^ б решения уравнения (6)
у = А1Ф^(0) + А2 Ф?(в) + А3Ф?(в) + А4Ф?(в)~
а
где
(а0 + ак) 4(3*4$
До,
^ 4/3* +^4/% и о Ь'к
Дк
~ корни характеристического уравнения
Л2 + А
4/?о
До
Дк
£>о («о + ак)
£>к(«о
д4
^о
"к)
+
°-4Д4
к + ^о
(а0 + «к)
= О
Результаты На рис 3 представлена зависимость распределения контактного напряжения от относительной длины интервала контакта для упругого силиконового кольца шириной Н = 2 5 мм, с параметрами /гк = 0 6 мм, Ек = 1 93 МПа, = 0 5, оболочки с параметрами До = 12 мм, Но = 1 мм, = 14 3 МПа, г^о = 0 45, угла контакта ■ф = аг^ (Я/ 2ЛК)
Кривые на графике, обозначенные цифрами, построены при следующих значениях 1 — 115 мм, 2 — 110 мм, 3 — 10 5 мм, 4 — 10 0 мм, 5 — 95 мм Как видно из рисунка, характер распределения напряжения аналогичен случаю обжатия жестким цилиндрическим кольцом середина оболочки загружена небольшим контактным давлением, максимальное контактное напряжение достигается на кромке кольца и растет по мере уменьшения радиуса кольца При этом, в отличие от обжатия жестким кольцом, упругое кольцо имеет безотрывный контакт с оболочкой, зона отрыва появляется при Дк ~ Ю мм, а максимальные значения напряжения на границе зоны контакта оказываются существенно меньше
О 6 сг, МПа
О
5
О
О
О
О
О
О'[ттттттттттт-п-,^^! I , ......
0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0
Рис 3 Контактное напряжение под упругим кольцом
Пережатие волокон склеры в областях максимума контактной нагрузки при чрезмерном затягивании циркляжного кольца по видимому является основной причиной изменения прозрачности и других свойств склеральной ткани - так называемого синдрома "бельевой веревки", а также возможного прорезывания
Применение упругих имплантатов и жгутов позволяет перераспределить нагрузку и существенно уменьшить максимальные значения напряжений, тем самым снизить риск пережатия волокон и их прорезывания
В третьей главе модель локального пломбирования рассматривается как задача контактного взаимодействия однородной упругой оболочки с абсолютно жестким эллипсоидальным штампом Пломба обычно пришивается П-образными швами Полагается, что их расположение таково, что усилие У, возникающее при затягивании швов, распределено равномерно по параллели крепления в = во Сила Р, приложенная к штампу, компенсируется усилием У Слизистая оболочка глаза рассматривается как тонкий слой смазки, поэтому касательными напряжениями в зоне контакта можно пренебречь Кроме того предполагается, что расстояние от параллели крепления до оси симметрии и размер зоны контакта малы по сравнению с радиусом оболочки Поэтому, разделив оболочку по параллели в = во на две, часть оболочки, контактирующая со штампом, считается пологой И для нее рассматриваются уравнения равновесия при действии
единичной силы, приложенной по параллели £ (Артюхин Ю П )
R Я2
AAw-^-AF = —Six - О D 2ж Dx v v
Е Rh Aw + A A F — 0 (8)
Здесь w - прогиб, F - функция напряжений, h - толщина, R - радиус оболочки, E - модуль Юнга, и ~ коэффициент Пуассона, <5 - дельта-функция, г — расстояние до оси Z,
_ Eh3 ijL
"12(1-1/2)' ~dx2+xdx
Общее решение уравнений (8) представляется в виде суммы решений однородной системы и фундаментального решения системы (8) В частности, w = w\ + G, a W\ имеет вид (Артюхин Ю П , Коренев Б Г)
Wi = Ci Ьег(еж) + С2 bei(ex) + С3 ker(ex) + С4 kei(ea:) + С5 + Се 1п(ж),
R?Eh
где ber, bei, ker, kei - функции Кельвина (Томпсона), £4 = ———
Функция G(x, £), которая также выражается через функции Кельвина, удовлетворяет уравнению
о2 ри D2
АДС(Ж, О + О = ^5(х - О
Для контактных напряжений <т(х) в области контакта 0 < х < х справедливо уравнение (Артюхин Ю П , Попов Г Я )
аа(х) + 2тг R2 Г G(x, О (aß)=-Wl(x) + f(x), (9)
Jo
где р - изменение внутреннего давления, х - граница области контакта, f(x) - функция формы и жесткого смещения штампа
Напряженно-деформированное состояние второй, непологой части оболочки определяется соотношениями первой главы Неизвестные коэффициенты определяются из системы нелинейных уравнений, получающейся при сведении интегрального уравнения контакта к краевой задаче, условий сопряжения оболочек, равенства контактного напряжения нулю на
границе области контакта и условия равновесия штампа Эта система решалась численно, зона контакта находилась в процессе решения методом итераций Представлены результаты расчетов для штампа в форме эллипсоида вращения
В четвертой главе изучается задача конструирования нелинейного упругого потенциала склеральной ткани Склеральную ткань можно отнести к разряду мягких биологических тканей (п 4 1) Механические свойства этих тканей являются важным диагностическим параметром при оценке их состояния В практических расчетах мягкие биологические ткани (в том числе и склеру) можно рассматривать как несжимаемые трансверсально-изотропные тела Кроме того, по мнению К Ф Черныха, деформационное изменение площади срединной поверхности биологических мембран мало Тогда упругий потенциал следует брать в виде
Ф0 = АХ( Ф?) + СФ°
(10)
Здесь А, С, х(Ф?) _ постоянные и функции материала, - значе-
ния главных инвариантов тензора деформаций на срединной поверхности оболочки Для данного вида упругого потенциала в п 4 2 приведены основные безмоментные соотношения нелинейной теории оболочек (Кабриц С А , Товстик П Е , Черных К Ф ) В п 4 3 рассматривается симметричное двухосное растяжение оболочки при повышении внутреннего давления На основании эмпирической зависимости между обьемом глаза и внутренним давлением
Ар
с1V
= ар + Ъ, (МсЕ\уеп и Не1еп)
построена функция рассматриваемого упругого потенциала
1/2
- 1
|ф?
(И)
(12)
Зависимость изменения объема оболочки от роста давления носит логарифмический характер и хорошо согласуется с экспериментальными данными Также рассчитаны значения констант и модуля Юнга В п 4 4 для упругого потенциала вида (10) проведен графический анализ экспериментальной зависимости "напряжение-деформация" при одноосном растяжении образца склеральной ткани вплоть до разрыва Получены условия
существования решения и ограничения на константы упругого потенциала, построен график функции упругого потенциала Приведены графики зависимости нагрузки от деформации для симметричного двухосного, одноосного растяжений и сдвига
При одноосном нагружении упругий потенциал (10, 12) дает экспоненциальный рост нагрузки в зависимости от деформации, и не имеет точки перехода в линейный участок, как это наблюдается в эксперименте Таким образом, применение упругого потенциала (10, 12) возможно только при малых деформациях, соответствующих физиологическим нагрузкам
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1 Бауэр С M, Зимин Б А, Миронов А H, Бегун П И, Качанов А Б Построение изменений модели глаза при наложении циркляжного шва // Повреждение органа зрения у детей Сб научн трудов под ред Е Е Сомова СПб , 1991, С 57-64
2 Миронов А H Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза при циркляже в плоскости, параллельной экватору // деп в ВИНИТИ, Вестн ЛГУ Мат, мех , астрон JI ,1991, N 3220-В, 1991
3 Миронов А H, Семенов Б H Математическая модель пломбирования глаза //II Всерос конф по биомеханике, H Новгород, 1994, Тез докл , Т 2, С 72
4 Миронов А H, Семенов Б H Математическое моделирование эпис-клерального пломбирования глаза // Прикладная механика Вып 9 Динамика и устойчивость механических систем СПб Изд-во С -Петербург ун-та 1995 С 155-160
5 Mironov А N ,Semenov В N Zum problem der mathematischen modellierung m der ophtalmologie //Technische Mechanik, no 3, 1996, pp 245249
6 Миронов A H, Волков В В О математическом моделировании операции циркляжа // III Всерос конф по биомеханике, H Новгород, 1996 Тез докл , Т1, С 158
7 Миронов А Н Осесимметричная контактная задача для непологой сферической оболочки // Прикладная механика Вып 10 К 90-летию со дня рождения профессора Н П Поляхова СПб Изд-во С -Петербург ун-та 1997 С 136-140
8 Bagrova L V, Svetlova О V, Mironov А N Contact problems m mathematical simulation of retinal detachment surgery // XIII International Congress of Eye Research, Paris, France, July 26-31, 1998, Addendum to the Book of Abstracts, p 13
9 Бауэр С M, Миронов А Н Напряженно-деформированное состояние оболочки глаза при некоторых противоотслоечных операциях // V Всерос конф по биомеханике, Н Новгород, 2000, Тез докл , С 34
10 Бауэр С М, Миронов А Н Об изменении ригидности глаза после циркляжа //Биомеханика глаза, сб трудов II семинара Моек НИИ глазных болезней им Гельмгольца, 2001, С 41-46
11 Bauer S М, Mironov А N On the Mathematical Simulation of the Sterss-Strain State of the Eye Shell Undergoing the Scleral Buckling Procedure // Acta of Bioengmeermg and Biomechanics, Vol 4, Suppl 1, 2002 Proceedings of the XIII Conference of the European Society of Biomechanics, Wroclaw, Poland, September 1-4, 2002, p 726-727
12 Миронов АН О задаче конструирования упругого потенциала склеральной ткани // Тр семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды" 2005-2006 гг Под ред A JI Смирнова, Е Ф Жигалко - СПб Изд-во С -Петербург ун-та 2006 С 130-142
13 Миронов А Н Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом //Вестн С-Петербург ун-та Сер 1 2007 №2 С 124-127
14 Бауэр С М, Миронов А Н Контакт сферической оболочки с упругим кольцом // Вестн С -Петербург ун-та Сер 1 2007 № 3 С ХОкг
1«Г
Лицензия ЛР №020593 от 07 08 97
Подписано в печать 06 07 2007 Формат 60x84/16 Печать цифровая Уел печ л 1,0 Тираж 100 Заказ 1766Ь
Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29 Тел 550-40-14 Тел/факс 297-57-76
ВВЕДЕНИЕ
1 Напряженно - деформированное состояние сферической оболочки при осесимметричной краевой нагрузке.
1.1 Осесимметричный изгиб сферической оболочки. Уравнения равновесия.
1.2 Функции Лежандра и их асимптотические приближения.
1.3 Асимптотическое решение.
1.4 О комплексном преобразовании уравнений равновесия.
1.5 Моделирование циркляжа как краевой нагрузки. Постановка задачи. Основные уравнении.
1.6 Циркляж по экватору.
1.7 Циркляж в плоскости, параллельной экватору.
2 Контактное взаимодействие сферической оболочки с абсолютно жестким и упругим кольцом.
2.1 Постановка одномерных контактных задач теории оболочек.
2.2 Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом.
2.3 Контакт сферической оболочки с упругим кольцом.
2.4 Результаты и выводы.
3 Контактное взаимодействие сферической оболочки с абсолютно жестким эллипсоидальным штампом.
4 Конструирование упругого потенциала склеральной ткани.
4.1 О нелинейности физических свойств склеры.
4.2 Нелинейная модель оболочки глаза.
4.3 Симметричное двухосное растяжение при малых деформациях
4.4 Одноосное растяжение при больших деформациях.
4.5 Результаты и выводы.
Актуальность исследования.
В данном исследовании обсуждаются некоторые задачи теории оболочек в приложении к определению напряженно-деформированного состояния глаза при хирургических операциях по лечению отслоек сетчатки.
Отслойка сетчатки является тяжелой патологией и нередко приводит к значительному снижению зрения и слепоте. По некоторым оценкам, среди причин инвалидности по зрению отслойка сетчатки составляет до 9%, причем 84% страдающих этим недугом - лица трудоспособного возраста. Основная причина возникновения отслойки - разрыв сетчатки с последующим проникновением под нее жидкости. В 1953 г. E.Custodis предложил пломбировать зону разрыва сетчатки с помощью экстрасклеральных имплантатов, позже стали применять круговое сдавливание - циркляж. С тех пор методы хирургического лечения постоянно совершенствуются, для изготовления имплантатов применяются различные материалы.
Применение методов механики для изучения напряженно-деформированного состояния глаза при экстрасклеральных методах лечения позволяет оценить риск и причины возможных послеоперационных осложнений, эффективность применения имплантатов различной формы и с различными механическими характеристиками.
Исследования механических свойств тканей глаза позволяют усовершенствовать методы расчета глазной оболочки при различных нагрузках, а развитие методов прижизненной оценки биомеханического статуса глазной оболочки делает перспективу внедрения результатов расчетов в клиническую практику вполне реальной.
Структура глаза.
Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру. Оболочка глаза (Рис. 1 ) состоит из трех основных слоев переменной толщины: корнеосклеральной оболочки (склеры, сопряженной с роговицей), сосудистой оболочки и сетчатки. Сетчатая оболочка, в свою очередь, также представляет собой многослойную (до 10 слоев) оболочку. Кроме того, к склеральной оболочке присоединены глазодвигательные мышцы и оптический нерв. Внутриглазная структура также сложна: она состоит из цилиарного тела, хрусталика, стекловидного тела, внутриглазной жидкости и др. хрусталик роговица цилиарное тело коньюктива стекловидное тело сетчатка сосудистая оболочка склера решетчатая пластинка оптическим - внутричерепная нерв полость
Рис. 1. Сечение глазного яблока.
Склера вместе с роговицей являются самыми жесткими оболочками глаза и выполняют каркасную функцию. Б.А.Зиминым в лаборатории прочности полимеров НИИ математики и механики СПбГУ были проведены эксперименты по определению модуля Юнга склеральной ткани человека [12], на образцах, вырезанных в экваториальной области в меридиональном направлении. Максимальный срок хранения ткани с момента энуклеации не превышал 3 часов. Испытания проводились в условиях одноосного растяжения. Результаты вычисляли, как средние арифметические не менее, чем по восьми образцам. Были получены следующие значения: модуль Юнга склеры Е = 14.3 МПа, условный предел прочности на растяжение — 4.3 МПа, предел прочности при сдвиге — 2.2 МПа, коэффициент Пуассона ц = 0.4 ~ 0.45. Данные параметры используются в дальнейших расчетах.
По данным J. Battaglioli, R. Kamm [90] величина модуля Юнга может изменяться в пределах 107 - 109 дин/см2 (1 - 100 МПа). Согласно исследованиям Е. Н. Иомдиной [47], величина Е} а также предел прочности, меняются не только по областям склеральной оболочки, но и в зависимости от возраста в диапазоне 5.0 — 40.0 МПа, причем модуль упругости склеры в передней области выше, чем в области заднего полюса глаза. Аналогичный возрастной разброс этого параметра, 53 — 208 кГ/см2 (5.2 — 20.4 МПа) отмечается в работе A. Arciniegas с соавт. [88], а также Д. Ф. Иванова, Е. Э. Кагана [46], которые обнаружили весьма существенную разницу в механической прочности склеры новорожденных и взрослых в переднем сегменте 2.6 кГ/мм2(25.5 МПа) и 3.1 кГ/мм2 (30.4 МПа) и в области заднего полюса глаза 0.246 кГ/мм2 (2.4 МПа) и 0.552 кГ/мм2(5.4 МПа). Т. Friberg, J. Lace [108] приводят более узкие пределы изменений модуля упругости - 1.8 — 2.9 МПа.
Эти и другие исследования [1] - [4], [76, 77,102,103,111, 121,135,151] показали, что склера характеризуется выраженной неоднородностью механических свойств. Также имеются данные и об анизотропии склеры, так, например в [47], отношение меридионального модуля упругости к модулю Юнга в направлении параллелей в норме составляет 1.1, а при миопии достигает 1.5, а величина радиального модуля упругости на два порядка меньше, чем меридионального и поперечного [48, 90].
Сосудистая оболочка (хориоидея) обеспечивает кровоснабжение глаза и принимает участие в механизме аккомодации [101, 112, 142]. Во время аккомодации хориоидея способна сдвигаться на расстояние до 0.3 мм [146]. Благодаря изменению своей толщины, хориоидея может изменять рефракцию глаза, сдвигая сетчатку вперед или назад [144,145]. Возможно, хориоидея участвует также в механизме регуляции оттока водянистой влаги, и, следовательно, внутриглазного давления (ВГД) [130]. Модуль упругости этой ткани выше в меридиональном направлении (477.2 кПа), чем в экваториальном (193.1 кПа) [128]. Исследования, проведенные J. Saulgozis et al. [132,133], выявили, что при одноосном нагружении цилиарная мышца и хориоидея здоровых глаз человека характеризуются нелинейной зависимостью между напряжением и деформацией. При увеличении нагрузки жесткость ткани возрастает, при этом максимальный тангенциальный модуль упругости изменяется в среднем от 519.6 кПа до 555.3 кПа. В целом сосудистая оболочка, как и склера, характеризуется в норме неоднородностью механических свойств, поскольку биомеханические показатели различных ее участков (в частности, зоны цилиарного тела и области заднего полюса глаза) существенно отличаются друг от друга.
Сетчатка - мягкая оболочка, состоящая из зрительных клеток, она плотно соединена с сосудистой оболочкой у диска зрительного нерва и у зубчатой линии. К сожалению, в медицинской литературе отсутствуют сведения об ее механических характеристиках.
Внутри глаз заполнен, в основном, стекловидным телом, которое представляет собой оформленный гель. В некоторых источниках, например в [40], упоминается, что поскольку стекловидное тело состоит в основном из воды, то можно считать его практически несжимаемым. Отслойка сетчатки и методы ее лечения.
Отслойка сетчатки - это такое патологическое состояние, при котором сетчатка теряет контакт с сосудистой оболочкой и отходит от нее. Основными факторами, вызывающими отслойку, являются травмы глаза, в том числе и хирургические, образование задней отслойки стекловидного тела (например, при падении, ушибах головы, поднятии тяжести), воспаление сосудистого тракта. Ведущим механизмом в развитии отслойки является образование разрыва сетчатки с последующим проникновением под нее жидкости (Рис. 2 ).
Подавляющее большинство отслоек сетчатки в случае ее неполного прилегания подлежат хирургическому лечению с вдавлением оболочек в области разрыва с помощью пломбы, с эвакуацией жидкости [7, 98, 115, 134] или без пункции [120,122,147]. Данный метод называется склеральным пломбированием.
Основная идея склерального пломбирования — закрыть разрыв сетчатки, сближая сосудистую оболочку с отслоенной частью сетчатки в зоне разрыва. Однако это слишком упрощенное объяснение механиз
ПрОНИКНОВ! жидкости азрыв сетчатки к Отслойка сетчатки
Рис. 2. Отслойка сетчатки. ма склерального пломбирования. В механизме прилегания играют роль уменьшение объема глаза, снижение подвижности стекловидного тела, не исключена также возможность "внутреннего" пломбирования, т.е. сближение сетчатки в зоне разрыва с корковым слоем стекловидного тела, имеющего малую проницаемость для жидкостей.
Величина пломбы определяется размерами разрыва или расстоянием между разрывами в случае их множественнсти. Вал вдавления должен быть шире зоны разрыва на 1,5 - 2 мм. Ширина вала вдавления может быть изменена как увеличением размеров самой пломбы, так и совмещением двух и более пломб, а также растягиванием швами сегмента силиконовой губки по склере - "аппланирующее" пломбирование.
Для изготовления пломб используются различные биологические материалы [52, 54, 55, 84, 85].
Использование силиконовой резины в качестве материала для вдавления оболочек глаза резко повысило эффективность хирургического лечения отслоек сетчатки. Преимуществами силиконовых имплантатов являются их эластичность, простота стерилизации, нетоксичность, отсутствие антигенных свойств, легкость моделирования во время операции [72,97,99]. Преимущества силиконовых имплантатов перед всеми остальными стали наиболее очевидны после введения Lincoff [97, 123, 148] губчатых материалов (силиконовые губки). Эластичность губок практически исключает некроз склеры, и даже в случае выраженного вдавления наблюдается незначительное истончение склеры.
Самостоятельное локальное пломбирование проводят, в основном, при единичных разрывах с хорошим контактом сетчатки с валом вдавления в области разрыва. Во всех остальных случаях рекомендуется накладывать дополнительно циркляжную нить.
Круговое вдавление, или так называемый циркляж, который появился исторически позже локального пломбирования и был введен в практику двумя выдающимися офтальмологами (Скепенсом - вдавление полиэтиленовой трубкой - 1954 г. и Арруга - с использованием циркулярного шва на склеру - 1958 г.), занимает особое место среди способов пломбирования. Операция стала очень популярна не только из-за способности закрывать множественные разрывы, но и из-за относительной легкости выполнения и обоснованности с точки зрения биомеханики глаза, так как круговое вдавление уменьшает подвижность стекловидного тела в плоскости вдавления за счет уменьшения диаметра глазного яблока в этом месте [84, 99].
Циркляж с применением силиконовых эластичных имплантатов обычно проводится силиконовой лентой (Рис. 3 ), или полуцилиндрическим сегментом трубки, образующимся при рассечении вдоль пористого силиконового жгута (Рис. 4 ).
Расчет укорочения ленты обычно проводят по известным методикам [37, 71], учитывая растяжимость ленты под влиянием внутриглазного давления.
Рис. 3. Циркляж силиконовой лентой.
Рис. 4. Циркулярное "аппланирующее" пломбирование склеры.
Также важную роль в проведении таких операций играет изменение объема внутриглазной среды, и, как следствие, изменение внутриглазного давления(ВГД). Изменение внутриглазного объема происходит из-за деформации глаза вследствие наложения циркляжной ленты или пломбы, и из-за удаления субретинальной жидкости.
Иногда, особенно при тотальных отслойках сетчатки, в полость глаза вводят газы или физиологические растворы, частично или полностью замещая ими стекловидное тело. Введение газа или жидкости обычно заканчивают когда ВГД повышается до 35 мм.рт.ст. [81], но если в зоне операции были повреждены кровеносные сосуды, то для того, чтобы кровь не затекала вовнутрь глаза, введение продолжают пока ВГД не достигнет 50 мм.рт.ст. [45]. Такой способ проведения операции называется операцией "на сухом глазу".
Чрезмерное затягивание циркляжной ленты или швов над пломбой является одним из важнейших факторов, вызывающих операционные и послеоперационные осложнения в хирургии отслойки сетчатки [7, 40, 53, 83, 86, 100, 136] :
- выпадение через разрезы в склере стекловидного тела, при этом прорываются также сосудистая оболочка и сетчатка;
- чрезмерное повышение внутриглазного давления;
- синдром сдавления, возникающий при пережатии цилиарных артерий или вортикозных вен;
- продавливание циркляжной ленты или пломбы сквозь склеру в полость глаза — синдром "бельевой веревки";
- отслойка сосудистой оболочки;
- потеря устойчивости формы, возникновение дополнительных складок;
Математическое моделирование операций по лечению отслоек сетчатки.
Математическое моделирование операций по лечению отслоек сетчатки, направленное на определение напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, позоляет оценить риск возникновения осложнений и играет важную роль при определении показаний к таким хирургическим вмешательствам.
Проблема построения математической модели операции, вероятно, впервые была поставлена офтальмохирургами А.Б. Качановым и В.В. Волковым, в результате совместного сотрудничества с которыми в 1991 г. была предложена первая простейшая модель операции [12]. В этой работе оболочка глаза рассматривается как тонкая однослойная изотропная сферическая оболочка постоянной толщины. Циркляж моделируется как краевая нагрузка, приложенная по экватору. В работе [57] результаты были обобщены на случай циркляжа в плоскости, параллельной экватору. При расчете оболочки были использованы решения линейной теории тонких оболочек В.В.Новожилова [69]. Уравнение состояния внутриглазной среды (зависимость между давлением и обьемом) было принято в виде pV = const, что, однако не вполне адекватно соответствует несжимаемости стекловидного тела.
Дальнейшим развитием моделирования склеропластических операций занимались Товстик П.Е., Бауэр С.М., Павилайнен В.Я., Мишина Э.Н., Кныш Т.П., Зимин Б.А.
В работе Т.П. Кныш [50] применялся простейший вариант геометрически нелинейной теории для заданного распределения циркляжной нагрузки. В работах Э.Н.Мишиной [64, 65], С.М.Бауэр и П.Е.Товстика [13] - [21], [24, 26], [91] - [94], [96], [119] были проведены расчеты с использованием решения уравнения нелинейного краевого эффекта [82, 42], асимптотических методов [25], по геометрически нелинейной теории [39], по линейной анизотропной теории [75], по трехмерной теории упругости [56], также, в диссертации Э.Н.Мишиной [65] приведены расчеты с учетом ор-тотропии и асферичности оболочки. Кроме того, был решен и ряд смеж-• ных задач: об отслойке сосудистой оболочки, об устойчивости облочки при циркляжной нагрузке [18]. Напряженно-деформированное состояние оболочки с учетом переменной толщины было исследовано в работе [80].
В [65] рассматривается случай наложения под лентой жесткой пломбы цилиндрической формы, расположенной симметрично относительно экватора. Определение взаимодействия между штампом и оболочкой проводится в предположении о симметрии соответствующих контактных напряжений относительно оси штампа при неизвестной функции распределения. Впоследствии, предлагается итерационный алгоритм для определения распределения контактных напряжений.
Очевидно, что более точное моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза нужно проводить на основе рассмотрения нелинейной динамики многослойных анизотропных оболочек и при q этом учитывать такие факторы, как сопряжение склеры с роговицей, взаимодействие оболочки не только с нитью или пломбой, но и с внешними тканями и внутриглазной средой, приток и отток внутриглазной жидкости и др. Также важную роль в этом вопросе играет точное определение геометрии оболочек и их механических свойств.
Однако, поскольку многие аспекты биомеханики глаза еще недостаточно изучены, для определения наиболее важных факторов, влияющих на количественное описание напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, целесообразно использовать простейшую модель - изотропную упругую тонкостенную сферическую оболочку постоянной толщины. Применение линейной теории для расчета оболочки, несмотря на относительно большую погрешность для толстых оболочек и оболочек средней толщины, также представляется оправданным, поскольку линейная теория позволяет получить замкнутое аналитическое решение, удобное для последующего анализа.
Целью данной работы является построение моделей противоотслоечных операций, таких как циркляж и локальное пломбирование; исследование нелинейности физических свойств склеральной ткани. Обьем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая и вторая главы посвящены моделированию циркляжа, а третья — моделированию локального пломбирования. В заключительной, четвертой главе обсуждается вопрос о физической нелинейности склеральной ткани.
1. Аветисов Э.С., Маслова И.П., Булач Э.Х. О физических и гистохимических свойствах склеры при эмметропии и миопии. // Вести, офтальмол., 1971, 1, С.9-13.
2. Аветисов Э.С., Саулгозис Ю.Ж., Волколакова Р.Ю. Неоднородность деформативных свойств склеры глаза человека. // Вестн. офтальмол., 1978, б, С.35-39.
3. Аветисов Э.С., Винецкая М.И. Роль биохимических исследований патогенеза миопии. В кн.: Миопия. Сб. научн. работ под ред. Э.С.Аветисова. Рига, 1979, С.5-9.
4. Акпатров А.И. Реакция склеры на одноосное растяжение: упругий и упруго-вязкий эффекты. // Рукопись депонирована в ВНИИМИ МЗ СССР, №583032, МРЖ, разд. VIII, 1983, 4, 29.
5. Акпатров А.И. Коэффициент ригидности глаза. Автореф. дис: канд. мед. наук. М., 1984, 17 с.
6. Андреева Л.Д. Структурные особенности склеры при миопии и эмметропии. Автореф. дис. : канд. биол. наук. М., 1981, 23 с.
7. Антелава Д.Н., Пивоваров Н.Н., Сафоян А.А. Первичная отслойка сетчатки. Тбилиси: "Сабчота Сакартвело 1986, 160 с.
8. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений. // Исследования по теории пластин и оболочек, Сб. статей. — Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1976, вып. 12, С.68-76.
9. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач. // В кн.: Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. — Казань, 1977, С. 132-153.
10. Артюхин Ю.П. Одномерные контактные задачи теории оболочек. //МТТ, N 3, 1981, С. 55-65.И. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Действие кольцевых штампов на сферическую оболочку // Tp.XV Всес.конф.по теории пластин и оболочек, Казань, 1990, Т.1, С.3-8.
11. Бауэр С.М., Зимин Б.А, Миронов А.Н., Бегун П.И., Качанов А.Б. Построение изменений модели глаза при наложении циркляжного шва. // Повреждение органа зрения у детей. Сб. научн. трудов под ред. Е.Е. Сомова. СПб., 1991, С.57-64.
12. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Волков В.В., Качанов А.Б. О биомеханической модели отслойки сосудистой оболочки глаза. //II Всес. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1994, Тез.докл., т.2, С.11-12.
13. Бауэр С.М., Волков В.В., Качанов А.Б., Зимин Б.А. К построению биомеханической модели отслойки сосудистой оболочки глаза. //Прикл. мех. СПб., 1995. Вып. 9. С.149-155.
14. Бауэр С.М., Мишина Э.Н., Волков В.В., Качанов А.Б. К расчету напряженно-деформированного состояния оболочки глаза при наложении циркляжного шва. //III Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1996, Тез.докл., т.1, С.15.
15. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Товстик П.Е. К построению механической модели развития отслойки сосудистой оболочки. //IV Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1998, Тез.докл., С.43.
16. Бауэр С.М., Товстик П.Е. Математические модели некоторых операций при лечении отслойки сетчатки. //II Белорусский конгресс по теоретической и пркладной механике, "Механика-99", 1999, С.353-354.
17. Бауэр С.М., Зимин Б.А., Товстик П.Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб, Изд-во СПбГУ, 2000, 92 с.
18. Бауэр С.М. О моделях оболочек и пластин в офтальмологии. //Вторые Поляховские чтения, Тез.докл. С.Петербург, 2000, С. 112.
19. Бауэр С.М. О приложении теории тонких оболочек к проблемам офтальмологии. //Обозрение прикл. и промышл. матем., 2000, т.7., вып.2 (Первый Всеросс. симпозиум по прикл. и промышл. матем.), С.312.
20. Бауэр С.М. Приложение теории пластин и оболочек к проблемам офтальмологии. // V Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 2000, Тез.докл., С.66.
21. Бауэр С.М., Миронов А.Н. Напряженно-деформированное состояние оболочки глаза при некоторых противоотслоечных операциях. // V Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 2000, Тез.докл., С.34.
22. Бауэр С.М., Миронов А.Н. Об изменении ригидности глаза после циркляжа. //Биомеханика глаза, сб. трудов II семинара Моск. НИИ глазных болезней им. Гельмгольца, 2001, С.41-46.
23. Бауэр С.М. Математические модели теории оболочек и в некоторых проблемах офтальмологии. //Восьмой всерос. Съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 2001, Аннот. докладов. С.83.
24. Бауэр С.М., Смирнов A.JL, Товстик П.Е, Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. //Сб. трудов НИИММ им. В.И.Смирнова, (к 70 летию основания института), 2002, С.167-188.
25. Бауэр С.М. Модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. Дис. : докт. физ.-мат. наук. СПб, 2002, 172 с.
26. Бауэр С.М. Математические модели и компьютерное моделирование в биомеханике: Глава 9. Биомеханические модели глаза // В.А. Пальмов, А.В. Зинковский (ред.). СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 516 с.
27. Бауэр С.М., Миронов А.Н. Контакт сферической оболочки с упругим кольцом // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2007. №3. С. Ш,-14Г
28. Бегун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика. СПб.: Политехника, 2000, 464 с.
29. Бегун П.И. Гибкие элементы медицинских систем. СПб.: Политехника, 2002. 296 с.
30. Бегун П.И., Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике. Изд-во Высшая школа, 2004, 390 с.
31. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Том 1, Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра., М., "Наука 1973, 296 С.
32. Блох М.В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел. // Прикл. механика, Т.13, вып.5, 1975, С.34-42.
33. Бранков Г. Основы биомеханики. М.: Мир, 1981. 254 с.
34. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек. //ПММ, 1944, том VIII, вып.2, С. 109 — 140.
35. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949, 784 с.
36. Волков В.В., Трояновский JI.JI. Новые аспекты патогенеза, лечения и профилактики отслойки сетчатки. //Актуальные проблемы офтальмологии. М., 1981, С. 140 - 171.
37. Волколакова Р.Ю. Структурные, биомеханические и биохимические свойства склеры и их значение в патогенезе прогрессирующей миопии. Дис. : канд. мед. наук. Рига, 1980, 214 с.
38. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд-во Казанского ун-та, 1975, 326 с.
39. Горбань А.И. Отслойка сетчатки как проблема витреоретиналыюй биомеханики. //В кн."Стекловидное тело в клинической офтальмологии под ред. А.И.Горбаня, вып. 2. JI., 1979, С.29 31.
40. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами. //ПММ, Т.39, вып.5, 1975, С. 876-883.
41. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978, 360 с.
42. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М., 1980.
43. Дашевский А.И., Львовский В.М. Применение теории оболочек к исследованию физических основ тонометрии глаза. // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, Изд. "Будивель-ник 1975, с. 7-14.
44. Запускалов И.В., Екимов А.С., Колесниченко В.А. Витреальная хирургия на "сухом глазу". Методические рекомендации Томск, 1996, - 30 с.
45. Иванов Д.Ф., Каган Е.Э. Результаты исследования сопротивления роговой и склеральной оболочек глаза к растяжению и разрыву. // Тез. докл. научн. конф., посвященной 100-летию со дня рожд. акад. Филатова. Одесса, 1975, с.95.
46. Иомдина Е.Н. Биомеханические свойства склеры и возможности ее укрепления при миопии. Дис. : канд. биол. наук, 1984, 169 с.
47. Иомдина Е.Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Дис. : докт. биол. наук, 2000, 319 с.
48. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Ша-мина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек, СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002, 388 с.
49. Кныш Т.П. Исследование напряженно-деформированного состояния оболочки глазного яблока при циркляжных нагрузках. Ав-тореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб, 1999, 16 с.
50. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 287 с.
51. Краснов М.М. Система хирургического лечения отслойки сетчатки. // Вестн.офтальмол., 1966, Hp. 1, с.3-9.
52. М.Л.Краснов, В.С.Беляев и др. Руководство по глазной хирургии. М.:Медицина, 1988, 624 С.
53. Лупан Д.С. Оперативное лечение отслойки сетчатки биопломбами. Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1978, с. 1-134.
54. Лупан Д.С. Новое в практической офтальмологии. Кишинев: Шти-инца, 1981, с.1-149.
55. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Госте-хиздат, 1955, 492 с.
56. Миронов А.Н. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза при циркляже в плоскости, параллельной экватору. // деп. в ВИНИТИ, Вестн. ЛГУ. Мат., мех., астрон. Л., 1991, №3220-В, 1991.
57. Миронов А.Н., Семенов Б.Н. Математическая модель пломбирования глаза. //II Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1994. Тез.докл., Т.2, С.72.
58. Миронов А.Н., Семенов Б.Н. Математическое моделирование эписклерального пломбирования глаза. // Прикладная механика. Вып.9. Динамика и устойчивость механических систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та. 1995. С.155-160.
59. Миронов А.Н., Волков В.В. Математическая модель операции циркляжа. // III Всерос. конф. по биомеханике, Н.Новгород, 1996. Тез.докл., Т.1, С. 158.
60. Миронов А.Н. Осесимметричная контактная задача для непологой сферической оболочки. // Прикладная механика. Вып. 10. К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н.Поляхова. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та. 1997. С. 136-140.
61. Миронов А.Н. О задаче конструирования упругого потенциала склеральной ткани. // Тр. семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды" 2005-2006 гг. Под ред. А.Л.Смирнова, Е.Ф.Жигалко. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та. 2006. С. 130-142.
62. Миронов А.Н. Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2007. №2. С. 124-127.
63. Мишина Э.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния ор-тотропной сферической оболочки при опоясывающей нагрузке. // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1999. №4. С. 109-113.
64. Мишина Э.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочки глаза при опоясывающей нагрузке. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб, 2000, 14 с.
65. Нестеров А.П., Бунин А.Я., Кацнельсон Л.А. Внутриглазное давление. М., 1974, 381 с.
66. Новожилов В.В. Новый метод рассчета тонких оболочек. //Изв.АН СССР. ОТН, 1946, N 1, С. 35 48.
67. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. -344 С.
68. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. 2-е изд., испр. и доп. Л.: Судостроение, 1962. 431 С.
69. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. — 656 С.
70. Пивоваров Н.Н., Багдасарова Т.А., Приставко Э.Ф., Леонов А.А. Опыт акцентированного и динамического циркляжа. //Реконструктивная офтальмохирургия. М., 1979, С. 128 - 131.
71. Пивоваров Н.Н., Багдасарова Т.А., Глуходед С.В., Прививкова Е.А. Хирургия отслоек сетчатки с применением силиконовых имплантатов. Метод.рек. М., 1983, С.1-13.
72. Попов Г.Я. О контактных задачах для оболочек и пластин. // Тр. Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Кутаиси, 1975. Тбилиси, "Мецниереба 1975, T.l, С.244-250.
73. Попов Г.Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов. // ПММ, 1976, т.40, вып.4, С.662-673.
74. Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996, 280 с.
75. Саулгозис Ю.Ж., Добелис М.А. Напряжения в склеральной оболочке глаза. // Тез. докл. 2-ой Всесоюзн. конф. по проблемам биомеханики. Рига, Зинатне, 1979, т.1, 117-120.
76. Саулгозис Ю.Ж. Особенности деформирования склеры. // Механика композитных материалов, 1981, 3, 505-514.
77. Серов В.В., Пауков B.C. Ультраструктурная патология. М., Медицина, 1975, 430 с.
78. Серов В.В., Шехтер А.Б. Соединительная ткань (функциональная морфология и общая патология). М., Медицина, 1981, 312 с.
79. Снеткова Е.В. Напряженно-деформированное состояние сферической оболочки переменной толщины, перетянутой нитью по экватору. //Вестник Санкт-Петербургского университета, 2001, N 1, С 105-107.
80. Сомов Е.Е. Введение в клиническую офтальмологию., Петербург,1993, 198 с.
81. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболчек. М.: Наука, 1995, 318 с.
82. Уздин М.И., Левина Б.И. Исходы и осложнения операции циркляжа при вдавлении различным шовным материалом. // Офтальмол. Журн., 1971, Ном. 2, С.91-96.
83. Филатов С.В. Отслойка сетчатки. М:Медицина, 1978, с. 1-116.
84. Шевалев В.Е., Бабанина Ю.Д. Оперативное лечение отслойки сетчатой оболочки. М:Медицина, 1965, 144 с.•
85. Шишкин М.М. Современная хирургия отслоек сетчатки: Метод, пособие. М. Изд-во МВМУ, 1996. 38 с.
86. Arciniegas A., Amaya L.E. Mechanical behavior of the sclera. // Ophthalmologic^ 1986, 193 (1-2), 45-55.
87. Bagrova L.V., Svetlova O.V., Mironov A.N. Contact problems in mathematical simulation of retinal detachment surgery. // XIII International Congress of Eye Research, Paris, France, July 26-31,1998, Addendum to the Book of Abstracts, p. 13
88. Battaglioli J.L, Kamm R.D. Measurements of the compressive properties of scleral tissue. // Invest. Ophthal. Vis. Sci, 1984, 25, 59-65.
89. Chignell А.Н. Retinal Mobility and Retinal Detachment Surgery. // Br. J. Ophthalmol., 1977, vol.61, pp. 446 449.
90. Chignell A.H. Retinal Detachment Surgery. Berlin Heidelberg, New York, Springer - Verlag, 1980, 168 p.
91. Chisholm I.A., McClure E., Foulds W.S. Functional Recovery of the Retina after Retinal Detachment. // Trans. Ophthal. Soc. U.K., 1975, vol. 95, pp. 167 172.
92. Coleman D.J. Unified model for the accommodative mechanism. // Am. J. Opththalmol., 1970, 69, 1063-1079.
93. Curtin B.J. Physiopathologic aspects of scleral stress-strain. // Trans. Amer. Ophthal. Soc., 1969, 67, 417-461.
94. Curtin B.J. Myopia: a review of its etiology, pathogenesis and treatment. // Surv. Ophthalmol., 1970, 15, 1, 1-17.
95. Daly C.H. The role of elastin in the mechanical behavior of human skin. // Proc. of 8th I.C.M.B.I., 1969, 7-18.
96. Dische J. Biochemistry of connective tissues of vertebrate eye. // Int. Rev. Connect. Tissue Res., 1970, 5, 209-216.
97. Edmund C. Corneal elasticity and ocular rigidity in normal and keratoconic eyes. // Acta Ophthalmol., 1988, 66, 134-140.
98. Friberg T.R., Fourman S.B. Scleral buckling and ocular rigidity. Clinical ramifications. //Arch. Ophthalmol., 1990 Nov; 108(11), 1622-1627.
99. Friberg T.R., Lace J.W. A comparision of the elastic properties of human choroid and sclera. // Exp. Eye Res., 1988, 47, 3, 429-436.
100. Friedenwald J.S. Contribution to the theory and practice of tonometry. // Am. J. Ophthalmol., 1937, 20 (Pt 2), 985-1024.
101. Fung Y.C. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. New-York, Spriger-Verlag, 1993, 568 p.
102. Gloster J., Perkins E.S., Pomier M.L. Extensibility of strips of sclera and cornea. // Br. J. Ophthalmol. 1957, 41, 103-110.
103. Graebel W.P., van Alphen G.W.H.M. The elasticity of sclera and choroid of the human eye, its implications on scleral rigidity and accomodation. // J. Biomech. Eng., 1977, 99, 203-208.
104. Hibbard R.R., Lyon C.S., Shepherd M.D., McBain E.H., McEwen W.K. Immediate rigidity of an eye. // Exp. Eye Res., 1970, 9, 137-143.
105. Holland M.G., Madison J., Bean W. The ocular rigidity function. //Am. J. Ophthalmol., I960, 50, 288-304.
106. Jess A. Temporare Skleraleindellung als Hilfsmittel bei der Operation der Netzhautablosung. // Klin. Monatsbl. Augen., 1937, vol.99, p.318.
107. Johnson M.W., Han D.P., Hoffman K.E. The effect of scleral buckling on ocular rigidity. //Ophthalmology, 1990 Feb; 97(2), 190-195.
108. Kalenak J.W. More Ocular Elasticity? letter. //Ophthalmology, 1991, 98, 411-412.
109. Keeley F.W., Morin T.D., Vesely S. Characterization oil collagen from normal human sclera. // Exp. Eye Res., 1984, 9, 533-542.
110. Lanzl I.N., Bauer S.M., Kotliar K.E., Maier M. Change in optical refraction after scleral buckling a biomechanical model // Ophthalmic research, 2004, vol. 36 (Suppl.l), p.177
111. Laqua H., Machemer R. Glial Cell Proliferation in Retinal Detachment. (Massive Peri retinal Proliferation). // Am. J. Ophthal., 1975, vol.80, pp. 602-618.
112. Lepore D., De Santis R., Pagliara M.M., Borzacchiello A., Molle F., Minicucci G., Ambrosio L. Biomechanical behavior of human sclera // XIIISER Abstracts. Exp. Eye Res., 1996, 63, suppl.l, 211.
113. Lincoff H.A., Kreissig I. The Treatment of Retinal Detachment Without Drainage of Subretinal Fluid. // Trans. Am. Acad. Ophthal. Otolaryng., 1972, vol.76, pp. 1221-1223.
114. Lincoff H.A., Baras I., McLean J.M. Modifications to the Custodis Procedure for Retinal Detachment. // Arch. Ophthal., 1965, vol.73, pp.160-163.
115. Marshall G.E. Human scleral elastic system: an immunoelectron microscopic study. // British J. Ophthalmol., 1995, 79, 57-64.
116. McBain E.H. Tonometer calibration. II. Ocular rigidity. // Arch. Ophthalmol., 1958, 60, 1080-1091.
117. McEwen W.K., St Helen R. Rheology of the human sclera: unifying formulation of ocular rigidity. // Ophthalmologica, 1965, 105, 321-346.
118. Mironov A.N., Semenov B.N. Zum problem der mathematischen modellierung in der ophtalmologie //Technische Mechanik, no.3, 1996, pp. 245-249.
119. Moses R.A., Grodzki W.J., Starcher B.C., Galione M.J. Elastic content of the scleral spur, trabecular meshwork, and sclera. // Invest. Ophthalmol., 1978, 17, 816-821.
120. Muir H. Proteoglycans as organizers of the intercellular matrix. // Biochem. Soc. Trans., 1982, 11, 613-616.
121. Phillips C.I., Tsukahara S., Hosaka 0., Adams W. Ocular pulsation correlates with ocular tension: the choroid as a piston for an aqueous pump. // Ophthalm. Res., 1992, 24, 6, 338-343.
122. Purslow P.P., Karwatowski W.S. Ocular elasticity. Is engineering stiffness a more useful characterization parameter than ocular rigidity? //Ophthalmology, 1996 Oct, 103(10), 1686-1692.
123. Saulgozis J., Volkolakova R. Nonuniformity of the mechanical properties of sclera and X-ray density of vitreous of normal and myopic eyes. // Abstr. Fifth Meet. Europ. Soc. Biomech. Berlin (west), 1986, 233.
124. Saulgozis J., Volkolakova R., Dobelis M. Mechanical properties of the human eye choroid. II. Anisotropy and Nonuniformity. // Proc. of Third Intern. Conference on Myopia, 1987, 77-87.
125. Schepens C.L. Scleral Buckling with Circling Element. // Trans. Am. Acad. Ophthal. Otolaryng., 1964, vol.68, p.959.
126. Schlegel W.A., Lawrence C., Staberg L.G. Viscoelastic response in the enucleated human eye. // Invest. Ophthalmol., 1972, 11, 593-599.
127. Schwartz P.L., Pruett R.C. Factors Influencing Retinal Detachment after Removal of Buckling Elements. // Arch. Ophthal., 1977, vol.95, pp.804-808.
128. Silver D.M., Geyer O. Pressure-volume relation for the living human eye. //Current Eye Research (Swets к Zeitliiiger), 2000, Vol.20, No.2, pp. 115-120.
129. Simone J.N., Whitacre M.M. The effect of intraocular gas and fluid volumes on intraocular pressure. //Ophthalmology, 1990 Feb, 97(2), 238-243.
130. Spitznas M. The fine structure of human scleral collagen. // Am. J. Ophthalmol., 1971, 71, 68-72.
131. Trier K., Olsen E.B., Ammitzboll T. Collagen and uronic acid distribution in the human sclera. // Acta Ophthalmol., 1991, 69, 1, 99-101.
132. Vo T.D., Blumenfeld O.O., Coleman D.J. The biochemical composition of the human sclera and its relationship to the pathogenesis of degenerative myopia. // Proc. of Third Intern. Conference on Myopia, 1987, 206-214.
133. Van Alphen G.W.H.M. Choroidal stress and emmetropisation. // Vis. Res., 1986, 26, 723-734.
134. Van der Werff T.J. A new single-parameter ocular rigidity function. // Am. J. Ophthalmol., 1981, 92, 391-395.
135. Wallman J., Xu A., Wildsoet C., Krebs W., Gottlieb M.D., Marran L., Nickla D.L. Moving the retina: a third mechanism of focusing the eye. // ARVO Abstracts, 1992, 1053.
136. Wallman J., Wildsoet C., Xu A., Gottlieb M.D., Nickla D.L., Marran L., Krebs W., Christensen A.M. Moving the retina: choroidal modulation on refractive state. // Vision Res., 1995, 35, 1, 37-50.
137. Weale R.A. A biography of the eye. Development, growth, age. London, H.K.Lewis&Co. LTD, 1982, 368 p.
138. Weidenthal D.T. Retinal Reattachment Without Release of Subretinal Fluid. // Am. J. Ophthal., 1967, vol.63, pp.108 112.
139. Weidenthal D.T. Silicone Sponges. // Arch. Ophthal., 1971, vol.86, p.726
140. Whitacre M.M., Emig M.D., Hassanein K. Effect of buckling material on ocular rigidity. //Ophthalmology, 1992 Apr; 99(4), 498-502.
141. White O.W. Ocular Elasticity? letter. //Ophthalmology, 1990, 97, 1092-1094.
142. Woo S. L., Kobayashi A.S., Schegel W.A., Lawrence C. Nonlinear material properties of intact cornea and sclera. // Exp. Eye Res., 1972, 14, 1, 29-39.
143. Woo S. L., Kobayashi A.S., Lawrence C. et al. Mathematical model of the corneo-scleral shell as applied to intraocular pressure-volume relations and applanation tonometry. // Ann. Biomed. Eng., 1972, 1, 87-98.
