Исследование напряженно-деформированного состояния оболочки глазного яблока при циркляжных нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Кныш Татьяна Петровна

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА ПРИ ЦИРКЛЯЖНЫХ НАГРУЗКАХ

Специальность 01.02.04.- Механика деформируемого твердого тела.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доцент Павилайнен В.Я.

Санкт-Петербург 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ................................................................................................2

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................4

1. ЗАМКНУТАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ..........................................................15

1.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ...........................................15

1.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ............................................................................................20

1.3. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА....................................................................................................24

1.4. ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ОБЪЁМА ВНУТРИГЛАЗНОЙ ЖИДКОСТИ НА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ ПРИ ЦИРКЛЯЖНОЙ НАГРУЗКЕ..................................................................30

1.5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ В ЗАДАЧЕ РАСЧЁТА ЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ..........................................................33

2. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.......................................40

2.1. ПОСТАНОВКА БЕЗМОМЕНТНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ............................................................................................41

2.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК............................................................46

2.3. ИЗМЕНЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ УЧЁТЕ СОХРАНЕНИЯ ОБЪЁМА В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ......................49

2.4. ПЕРЕХОД В НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ К НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ И ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ..................50

2.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЦИРКЛЯЖНОЙ

НАГРУЗКИ ИЛИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ..................................56

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НДС ОБОЛОЧКИ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ И

ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ.................................................................63

3. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБОЛОЧКИ СКЛЕРЫ С ОБЖИМАЮЩЕЙ УПРУГОЙ ИЛИ НЕРАСТЯЖИМОЙ ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТОЙ...........................................................................65

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА С ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТОЙ...........................65

3.2. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДАВЛЕНИЕ НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ НА МЯГКУЮ ПРЕДНАПРЯЖЕННУЮ СФЕРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ...............................................................................................66

3.3. МЕТОД ПОДАТЛИВОСТИ В СРЕДНЕМ ЗАМКНУТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ЛОКАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЁННОЙ НАГРУЗКИ........................................................69

3.4. РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ С УЧЁТОМ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ УПРУГОЙ ЦИРКЛЯЖНОЙ ЛЕНТЫ..........72

3.5. АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ВГД И ХАРАКТЕРИСТИК ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА ПРИ НАЛОЖЕНИИ ЦИРКЛЯЖНОГО ШВА.....................76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................80

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................................81

ПРИЛОЖЕНИЕ 1..........................................................................................92

ПРИЛОЖЕНИЕ 2........................................................................................101

ПРИЛОЖЕНИЕ 3........................................................................................105

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия расширилась область применения механики (классической механики, гидроаэромеханики, механики деформируемого твёрдого тела) в исследовании процессов, протекающих в различных биологических объектах и системах. Об этом свидетельствует обширная литература, в том числе обзорная [26, 69, 80, 82, 90], а также специальные научные конференции, проводимые как в региональном [87, 88, 94], так и международном масштабах [1, 89].

Большое число исследований, проводимых методами механики деформируемого твёрдого тела, посвящено анализу напряжённо-деформированного состояния костных тканей и структур, моделированию работы мышц, процессов лечения зубов, использованию различных конструкционных материалов при изготовлении протезов, суставов и других искусственных элементов живого организма. Для оценки прочности и деформативности биоконструкций необходимо изучить их напряженно-деформированное состояние, при этом важная роль принадлежит построению расчётной модели реального объекта, включающей в себя определение геометрии, действующих нагрузок и схематизацию механических свойств материала. Традиционно в механике деформируемого твёрдого тела упрощение объекта геометрии сводится к приведению формы тела к схеме стержня, пластины или оболочки. Последнее обусловило использование методов теории оболочек в значительном числе работ для изучения напряжений и деформаций в тонкостенных биоконструкциях (сосуды, стенки, диафрагмы и т.д.) при различных воздействиях.

Среди направлений применения теории оболочек в задачах биомеханики сохраняют свою актуальность теоретические и экспериментальные исследования оболочки глазного яблока, начало которых в отечественной науке было положено в работах В.В.Вожова, Л.К.Малышева, Ю.Ж.Саулгозиса, В.Я.Павилайнена, С.М.Бауэр, Б.А.Зимина, А.Б.Качанова и др. Методы теории оболочек применялись и

при исследовании различных патологий глаза [2, 21, 22, 53, 79, 84, 85]. Для решения задач биомеханики глаза построены различные модели, в частности, предложенная в работах Галояна В.Р. [34, 35, 36, 37] гидромеханическая модель плавающего глаза. В большинстве работ глаз представляется в виде заполненной жидкостью тонкой сферической оболочки (склеры) [2, 22, 27, 29, 53, 70, 79], эллипсоида [99] или имеющей асферическую форму [5].

Литература, посвященная теоретическим и экспериментальным исследованиям, а также натурным наблюдениям при профилактике и лечении глазного яблока может быть представлена двумя основными направлениями. Первое из них представляют результаты экспериментальных исследований и медицинских наблюдений [17, 28, 30, 63, 64, 83]. Второе направление основывается на уравнениях механики деформируемого твёрдого тела и предназначено для исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) оболочки глаза путём постановки и решения соответствующих краевых задач. При этом расчёт производится как в безмоментной постановке [70], так и с использованием моментной теории [21,22].

Следует отметить, что общей особенностью указанных направлений является их недостаточная взаимосвязь, что делает весьма актуальными исследования, построенные на основе задач биомеханики глаза, в которых теоретическая постановка сочетается с реально наблюдаемой картиной, а результаты исследований могут быть использованы в практике лечения офтальмологических заболеваний.

Роль теоретических исследований и необходимость математического моделирования задач биомеханики глаза значительно возрастает вследствие особенностей самого объекта изучения, а также свойств материала оболочки, что делает невозможным использование ряда традиционных экспериментальных приёмов, исключения из практики исследований травмирующих экспериментальных методик и травмоопасных режимов

воздействия. Однако такого рода воздействия непременно возникают при операции циркляжа - одном из способов лечения отслойки сетчатой оболочки глаза вследствие различных травм и заболеваний.

Этот метод циркулярного вдавления склеры был предложен в 1958 году Arruga. Он заключается в наложении циркулярного шва на склеру по экватору глазного яблока или параллельно ему. Вопросы локальных воздействий на оболочку глазного яблока ещё недостаточно изучены в литературе и требуют дальнейших теоретических исследований

Биомеханическую модель глаза можно представить в виде мягкой многослойной упругой оболочки, заполненной внутриглазной жидкостью и находящейся под воздействием совокупности внешних нагрузок (собственный вес, внутриглазное давление (ВГД), действие глазодвигательных мышц, реакция опорной поверхности, механические воздействия при проведении офтальмологических операций с целью диагностики, лечения и т.п.).

Важную роль при постановке биомеханической задачи играет достаточно точное определение геометрии оболочки и физических констант, характеризующих её механические свойства. К сожалению, даже усреднённые значения параметров живого глаза по данным различных источников колеблются в широких пределах.

Например, внутриглазное давление р изменяется в пределах: от 1333 Па [62, 79] до 2700 Па («20 мм рт.ст.) [22, 70, 82]; коэффициент Пуассона v от 0.3 [27, 29] до 0.5 [70, 79]; радиус оболочки R от 10 мм до 12 мм [22, 27, 62, 70, 79, 82]; модуль упругости Е от 10 МПа до 14.3 МПа [2, 71], а толщина оболочки в некоторых работах считается постоянной величиной в интервале от 0.5 мм -1 мм [22, 27, 29, 70], а в некоторых рассматривается как переменная величина, меняющаяся в пределах 0.4 мм ~ 1 мм [61,62,109].

Согласно физиологическому строению сетчатая оболочка прочно сращена с подлежащими тканями в двух местах - у диска зрительного нерва

и у зубчатой линии (рис.1), на остальном протяжении она только прилегает к пигментному эпителию, но не сращена с ним.

Рис. 1. Глаз человека в продольном разрезе:

1. Цилиарная мышца;

2. Радужная оболочка;

3. Хрусталик;

4. Зрачок;

5. Роговая оболочка;

6. Передняя камера глаза;

7. Задняя камера глаза;

8. Белочная оболочка глаза, склера;

9. Стекловидное тело;

10. Глазные мышцы;

11. Сетчатая оболочка глаза, ретина;

12. Ямка;

13. Слепое пятно;

14. Зрительный нерв;

15. Сосудистая оболочка.

Отслойка сетчатой оболочки - заболевание, при котором нарушается её связь с пигментным эпителием. Непрерывное поступление за сетчатку через разрыв жидкой части стекловидного тела (рис.2), постепенное сморщивание мембраны, стягивающей сетчатку со всех сторон, постоянные

движения глазных яблок и другие, менее значимые факторы приводят к неуклонному увеличению отслойки как по высоте, так и по площади. Стремление субретинальной жидкости занять всё пространство между сетчатой и сосудистой оболочками приводит в конце концов к образованию воронкообразной отслойки с вершиной у диска зрительного нерва.

Рис.2. Отслойка сетчатой оболочки и направление потока субретинальной жидкости.

При лечении отслойки проводят так называемые склеропластические операции. Для всех склеропластических операций общим является их целенаправленность: тем или иным способом уменьшить наружную оболочку глазного яблока и таким образом приблизить склеру и сосудистую оболочку к сетчатке.

Возникающее при этом уменьшение объёма глаза ведёт к значительному повышению ВГД, сетчатка за счёт этого в свою очередь придавливается изнутри к другим оболочкам. При вдавливании

склеральной оболочки офтальмологи используют различные приемы, В многочисленных офтальмологических клиниках и глазных отделениях больниц применяются операции типа локального и кругового пломбирования, а также их сочетание с использованием силиконовых имплантантов (рис.3) [13, 17,80,81,93].

1

2

3

I. Склера; 2. Силиконовая лента; 3. Пинцет.

При выполнении операции циркляжа и наложении циркулярного шва вдавливание склеры осуществляется одномоментно по всей окружности глазного яблока при помощи пояса, придающего глазу нерезко выраженную форму песочных часов (рис.4) [98]. В большинстве случаев для хирурга эталоном достаточного вдавления является величина повышения глазного давления [17, 18, 95, 107], которое не должно превышать 60 мм рт. ст.

Благодаря работам М.М.Краснова, В.В.Волкова, Р.Л.Трояновского. Н.Н.Пивоварова были выработаны основные принципы выбора способа

Рис.3. Наложение циркляжной ленты.

оперативного вмешательства при отслойках различной категории тяжести

Рис.4. Наложение циркулярного шва на склеру по экватору глазного яблока: 1. глазодвигательная мышца; 2. циркляжная лента; 3. роговица.

Для определения высоты вала кругового вдавления предлагают специальную формулу [13], но по-прежнему остаётся неясным насколько необходимо уменьшить периметр глазного яблока в каждом конкретном случае. Т.А.Багдасарова [18] связывает необходимое укорочение циркляжной ленты с уровнем ВГД, шириной и толщиной силиконовой ленты. H.H.Пивоваров, В.В.Волков, Р.Л.Трояновский, A.Hamilton, W.Taylor [17, 30, 81] установили возможность точного дозированного укорочения циркляжной ленты для определения необходимой величины вала вдавления. Т.А.Багдасаровой [18] были разработаны таблицы степени натяжения ленты в зависимости от величины ВГД, оптимальным признано укорочение ленты на 16 мм для всех случаев отслоек. Работы [4, 12] связывали успех операции с уменьшением объёма глазного яблока на

[17,28, 30, 63, 64, 83, 97].

величину, равную объёму субретинальной жидкости. Определению объёма субретинального пространства при отслойке посвящены всего две работы: в 1978 году Е.Оегке, О.Меуег-8с1шккега1:Ь [3] и наиболее перспективная модель Шишкина М.М. [108]. Отсутствие четких знаний о биомеханических изменениях глаза при наложении циркляжного шва требует помимо изучения механических, морфологических, биохимических свойств оболочек и внутренних структур глаза, использования математического аппарата, чтобы изучить эти изменения не только с качественной стороны, но и с количественной и, следовательно, прогнозировать в какой-то мере целесообразность и исход сложной и неоднозначной противоотслоечной операции циркляжа [22]. При проведении таких операций могут возникать различные осложнения: прорезывание оболочек глаза, повышение внутриглазного давления выше допустимого и др. Именно поэтому большое значение при определении показаний к таким операциям имеет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза [70].

Из приведённого обзора литературы можно сделать вывод, что задача циркулярного вдавливания склеры требует дальнейших теоретических исследований на основе механики деформируемого твердого тела и теории оболочек. Результаты таких исследований, в достаточной мере совпадающие с реально наблюдаемой картиной, могли бы быть использованы в практике лечения офтальмологических заболеваний. Этой цели посвящена данная диссертационная работа.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений.

В первой главе на основе уравнений общей теории сферических оболочек рассматривается задача воздействия на замкнутую сферическую оболочку циркляжного давления. Решению линейной моментной задачи посвящены целые разделы монографий А.И.Лурье [67], В.В.Новожилова [76, 77, 78], А.С.Вольмира [31], Гольденвейзера АЛ. [41] и др. [8, 43, 46-52,

74, 75,], уравнения которых можно использовать как исходные. В работе эти дифференциальные уравнения сводятся к вариантам разрешающей системы уравнений Е.Мейсснера [6, 7, 39, 101], относительно неизвестных функций -угла поворота и поперечной силы. В диссертации предлагается новый вариант разрешающей системы уравнений, для которого построено точное решение задачи в виде тригонометрических полиномов, коэффициенты которых определяются из последовательности рекуррентных соотношений. На основании расчетов анализируется влияние параметров нагрузки, а также условия сохранения внутреннего объема оболочки на характеристики напряженно-деформированного состояния. Строится решение линейной безмоментной задачи и путём сравнения с точным решением общей теории оценивается погрешность безмоментного решения.

Во второй главе рассматривается та же задача, но в геометрически нелинейной постановке. При больших прогибах (вследствие увеличения циркляжной нагрузки) линейная теория оказывается неприменимой, так как квадраты углов поворота оказываются сравнимыми с величиной удлинений, а перемещения оболочки соизмеримы с её толщиной. Это и обуславливает применение геометрически нелинейной теории [72], [73]. Уравнения равновесия получены как обычным путём, так и на основе вариационного принципа Лагранжа. Производится их сопоставление с уравнениями квадратичной теории Л.А.Шаповалова [105, 106] и уравнениями теории Рейсснера [10, 11]. Решению осесимметричных задач оболочек вращения в нелинейной постановке посвящены работы И.И.Воровича [32], Э.И.Григолюка, В.И.Мамая [44, 45], В.И.Феодосьева [33], К.Ф.Черныха [102, 103], Я.М.Григоренко [46-52] и многие другие ([9, 16, 31, 38, 40, 42, 60, 74, 75, 91, 100]). В некоторых работах С.А. Кабрица, К.Ф.Черныха [59], П.Е.Товстика [92], В.Ф.Терентьева [91] задачи рассматриваются в физически нелинейной постановке.

Для построенной системы формулируются граничные условия. Решается нелинейная задача расчёта мягкой оболочки. В работе одного из

основоположников теории мягких оболочек С.А.Алексеева [14, 15] помимо вывода дифференциальных уравнений равновесия содержится классификация задач в зависимости от типа нагрузки. Мягкие оболочки имеют широкое практическое применение [57, 68, 90, 96], что обусловило интерес к их исследованиям. В работах И.Б.Друзя и Б.И.Друзя содержится вывод как линейных [54], так и нелинейных [56] ура