Многогранники Ньютона и малочлены тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

штш НАУК СССР ОРДЕНА. ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ШТКМЛ.'ПГЧЕСККЙ ИНСТИТУТ имш В.А. СТЕЮЮВА

На правах рукописи

ажнсш-Й Аскояьд Ггорггзвэт

Ш 515.17.21 ДОГОВДШШ1 ШОТСНА И ШОЧЛЕШ

01.01.05 - Магекашческгя лсгкка, алгебра я теория чисел

А ВТОР В §Е ? А Т

ДИ0С8РУЕЦНЯ на соасксшя ученой огэпевп доктора фззлко-гшоггяпчбсках наук

1387

с

nacas ЕЛЗСКЛ^ СЗС^ЗХЖ&зкшйзгу coi-^ь Л 032.£3.Ой щ:; ОМ! (II7SS3, г. láoüa, ул. Елб^зео:, 42).

С дЕооортациой шгно осшЕогоггьоя'в drôsioïcso Евомяуто.

УчешЕ секретарь спещализяроБагшого совета кандидат физико-шткавЕчео- ..

кнх наук В.Н.ГШШШ

Большая часть вычислений с многогранниками Ньютона проводится с помощью торических многообразий. "Элементарные" счисления, в которых удается обойтись без юс помощи, являются скорее исключениями. Связь тематики многогранников Ньютона с торически-ми многоофазяями била найдена автором. Эта связь лежит в основе первой главк диссертации.

Идеология теории малочленов заключается в том, что вещественные многообразия, определенные "простыми" негромоздкими системами уравнений.должны галеть "простую" топологию. Один из результатов теории - вещественный трансцендентный аналог теоремы Безу: для весьш широкого класса систем из 4 трансцевдент- • ных уравнений от вещественных неизвестных число корней конечно и явно оценивается сверху через "сложность!' системы. Более общий результат состоит в построении категории вещественных трансцендентных многообразий, напоминающих по свопы свойствам алгебраические многообразия. Эти результаты дают новую информацию о поверхностях уровня элементарных функций и о полиномиальных уравнениях; Комплексное полиномиальное уравнение высокой степени, содержащее шло мономов,- ото объект, принадлежащий пересечению тематики многогранников Ньютона и тематики малочленов. В его исследования переплетаются методы обеих теорий.

Теория малочленов создана в работах автора и нашла применения в работах А.Н.Варченко, Г.С.Петрова, 2.1. Рислера, Д.Ричардсона и других. Этой теории посвящена вторая глава диссертации.

Интенсивная разработка проблематики многогранников Ньютона и малочленов за последние 10-15 лет говорят о ее актуальности.

Цель работы: I) разработка тематики многогранников Ньютона на основе теории торических многообразий; 2) построение теории иалочлоиов.

Методы яс(щздгс1иддя- В работе используются методы алгебраической геометрии, комплексного и вещественного анализа, топологии.

Научная новяава. В диссертации полнены следующие новые результаты:

1) явно построены разреоение особенностей я неособая ком-па ктификацня многообразна, определенного системой полиномиальных уравнений с фиксированными многогранниками Ньютона я с достаточно общими коэффициентами;

2) вычислен арифметический род я геометрический род многообразия, определенного системой полиномиальных уравнений с фив- • сированными многогранниками Ньютона и с достаточно общими коэффициентами;

3) получены новые результаты о геометрии и комбинаторике многогранников, использующие связь алгебраической геометрии и геометрии вппуклых тел, которую устанавливают многогранники Ньютона. В частности, для широкого класса многогранников оценены сверху число и доля граней фиксированной размерности, которые может одновременно пересекать гиперплоскость. (Эта оценка позволила решить старую проблему: доказать отсутствие в многомерных пространствах Лобачевского дискретных групп, порожденных отражениями, с фундаментальными многогранниками конечного объена.);

4) построена обыяркая категория вещественных трансцендентных многообразий, содержащая категории вещественных алгебраических многообразий и имеющая близкие свойстш. Б частности, в этой категории система из п. уравнений на п. -ыерпом многообразии имеет лишь конечное число нешроддешшх корней, причем'это число корней явно оценивается сверху,

;;■') ..■>'..,.■ ..:.... .. г.--'..; ■■....., -У' ..';■;.. :

, Роьуйх/хакл Л-;<осэрхац:;л ) 1 с о )„ л " I;,; ii.op.ni оооЗоивосгей а ¡Л"

(руководитель сешшара В.И.Аркольд), па селитре отдала елгеб-ри б Штауличсоноа институте /Л СССР ш. В.Л» СтекдоЕл (руко-годетол, еншшра И.Р,в:.£аровзч) в ка рядо других сеганароэ в ИГУ. Результаты докладшакксь т гаседакиях ИЬсь'оесеого шгега-мгаеского обаастЕД (1975, 1979, 1532, 1834), Ленинградского ка-тештдческого общестш (1930, 1935), ю согмесишх заседаниях Московского гатстатического обгцзства н оакякара т. Н.Г.Петросо-кого (1978, 1979, 1981, 1986), в Ворокеаоко& акмнеЗ катекаяиео-кой вколо (1979), па саседашга оехлнара Р. Тога в Институте шо-шйх ваучшх ясследоЕашш ко ураицш (1931), т Международном ка-тегятлзескоы копгрзсса в Варшаве (1933), Обсусдешэ результатов автора по теории гллочлепев ¿нов пос^ядоно саоегшиз сс^ипра ИБурбапп (1984).

Структура я объем. Диссертация состоит из введения и двух глав, содерядт 317 страниц машинописного текста, один рисунок, •список литературы из 91 наименования.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в одиннадцати статьях.

СОДЕШШИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертация поевяшепа многогранникам Ньятока и оскошка на тораческой геометрпл.

В § I приводится подробное построение торкческшс многообразий. Этот параграф не содерлнт новпх результатов, хотя наш способ построзпяя отличается от обяепрзпктото. Основной этап прп'еиенгл торячесиях гдогообрзгяй с?л:гкгается в явном построен пот рэсропвпк! особенное™?'! п яеосебоЗ сог:!;зсг*»

о,- ] го 1 _ ' 1 ' - " '

"I 1 ■ - ,

" 1 <" л. чо- ~ ■> „гс" ' л с

< .-.-" г.--' г; ■ ~ " '*' — V - - ■■-..... .......-■ - - -_

Пп ГС 1 ГУ-. -Г г-г'-.'у Г7 ' >" ' " : ■- - - Г Л - ТТ П Г\ г-Г 2 г-

лс::::'г п С51з;п-б. ГиОаш! шшака.-.: Еаггопа поляпегл

Лсрзга кагыЕается ишунлзя оболочка его носителя. Полтюш Лорка регулярны в прсстряясете (Сч0)п" ... -иерпем тллчко ном пространстве, из которого гяхидуты все иоордашшше плос~

г

С I , 0-1' С1 (

'¿¿¡и "..01-': ■..„....'.л;..!» л. Л,*,). 1; или Отг-.- а>*

. , ¡, I С.1 , , - ... ■ 0 - ураыл..^ и > J ■

ОПО (Л-чи)' , \ ¡.Эи^р.)-. -Ц " ПО. НС I С I- , Г

нейной функцией | ш пространство К,11, , з котором лаиат июгогршпшкп Ньютона уравнений, сь^-еы укороченную спстеиу уравнений = ... = = 0, в которой ^ - укорочение полпнош Лорана ^ по той грани многогранника Ньютона, на которой достигает минимума функцня | . Система называется А -невырожденной, если для любой линейной функции | укороченная система невыроздена в пространстве 0)^(1.е. в любом решении Ъ (Сч0)л' укороченной систеш ^ = ... = = | ■= 0 дифференциалы сА. | ^ линейно независимы в касательном пространстве к точке 2, ). Хотя формально условия невырожденности выписываются для лвбой линейной функции | , фактически различных условий конечное число (существует лишь конечное число различных укороченных систем). Поэтому почти каждая система является А -невырожденной - в пространстве коэффициентов систем уравнений с фиксированными многогранниками Ньютона дополнение до множества А -невыровненных систем является полуалгебраическим множеством меньшей (комплексной) размер-кости. Среди условий А -невырожденности содержится условие,

с;;отн;г- с'"П'/.:т\га i . ; ,. (татаопо ';о?оро:д' споге—

::?. V, Vf. ~ О кгг.'р-у-';::--:. ¡ г; (С.sо))\

G'i.сцо^р.телшо, ¿X •"iícr,'jpor,¡v3í¡r..'3íi eix: яяст яеособао

\ . .

г > ' Г ' Ur^C-

i п t v ]Т • -> <t «

ч ч ' \ Tt

v'D'í' с- f rs'-:'"xri /\. ..... Л; »

В п. 2.8 рмст.'мртглегс.г mçsass dtoí какагруЕШЛ про-отрэкатга С10. пдастпалепсло мпогог^ашгагд Д...£ц легат в пологлпелышм октане псесгрзпзггз R-'1" п содерггя-г па-поло воордшш. В и, 2.6 до набору яакчх кногограпяиков сгроят-~ '.соо1' л ¿сгл^си?? 'о "a i' "яц^я пго^'л и jk1"

п п.

зя I.

г«о t :¡ Г* Т ич^рл. Гц'-Л'^ <-*ТТГк".TTГП1»^^П

». > i „ -- s-.Tî7- í-ч- = v; ->' ï» f "! -. Í-: . i r"î'r> : t ?ТП "f Í'--Г.--¡"Г. *"Т Т~.<

с

объединения всех октантов с вершинами в носителе ряда. Диаграммой ряда называется объединение кошаятных граней многогранника Ньютона. Многогранник Ньютона ряда называется удобным, если он пересекает все координатные оси. Многогранником (диаграшой) Ньютона ростка аналитической функции в точке 0 £ Сказывается многогранник (диаграмма) Ньютона ее.ряда Тейлора в этой точке.

Линейная функция £ называется положительной, если ее значения в любой ненулевой точке положительного октанта полоЕительны. Укорочением ^ ростка аналитической функции по полояительной линейной функции ^ называется его укорочение по той грани диаграммы Ньютона, на которой достигает мини-муки функция £ (Укорочение ^ является полиномом.)

Система аналитических уравнений ^ = ... = = 0 а окрестности точки Об С называется Д -невырожденной, если для каждой положительной функции | укороченная полиномиальная система = ... = =0 невыровдена в (С4^)^ • Почти все систеш аналитических уравнений с фиксированными многогранниками Ньютона А -нешроядены.

В п. 2.7 доказано, что росток в точке Ое С аналитического множества в С*1" , определенного Д -невырожденной системой аналитических уравнений с удобными многогранниками Ньютона, имеет в точке 0 е С изолированную особенность. По многогранникам Ньютона уравнений явно построены торическое многообразие М вместе с проекцией 1С'- И С , разрешающие эту особенность. Отметим, что для случая одной аналитической функции эта конструкция была ранее описана А.Н.Варченко.

В пл. 3.4, 3.5 торическая компактификация применена для вычисления арифметического рода и геометрического рода алгебраи-

(сложение многогранников понимается в смысле Минковского).

Теорема (см. П. 3.4). Геометрический род Д -невырожденного полного пересечения ... = = О в (при < П. ) с многогранниками Ньютона Дь ,..., Д^ полной размерности равняется ¿>1

Приведем теперь описание голоморфных форм старшей размерности, голоморфно продолжающихся на компактификацию, для случая

Д -невырожденной гиперповерхности = 0 в (С4 с многогранником Ньютона Д полной размерности. Для каждой целой точки & , строго лежащей внутри многогранника Ньютона А , обозначим через и)" ( IX -1)-форму на гиперповерхности ^ » 0 , определенную формулой

^с .....

Угвервдение (см. п. 3.4). Все форш иг^ лекат в пространстве форм, дродолкающяхся на компактификацию многообразия О, они линейно независимы и порождают это пространство. В частности, геометрический род гиперповерхности равен \ В .

Пример. Рассмотрим кривую на плоскости, определенную уравнением ца = Р^, (X) . Внутренние мономы для многогранника

Си /

Ньютона этой кривой имеют вид у. X , где О- < П-/2. .

Соответствующие мономам формы иТ^ на кривоь С^2- = Р^ (X) совпадают с формами

. Мы получаем обычное описание голоморфных абелевых дифференциалов на гиперэллиптической

КРИВО II.

Доказательства приведенных вике теорем основшш на построе-

шш неособой торипеской компактификащщ Д -невырожденных пол-исс переселений к га вычисления когс-услоглй горя ческах !Шогоо6~ разяй « козффлхпеитамя в ^-инвариантных пупках.

В п. 3.5 показано, что найденная Д.Н.Бернияейном формула для эйжеровой характеристики А -яешрозденного полного пересечения в пространстве вытекает из внчислегая глзссов Чяеня топических многообразий. В п. 3.6 приведены'формулы дан эйлеровой характеристики А -невырожденного полного пересечения в пространстве и

Пусть X - кнагество корней в пространстве (.С 4 0),Хр Д -невыроздеиной систеш уравнений ^ = ... = =0 с многогранниками Ньютона Л1..... Д ^ , Р - произвольный полином Лорана, многогранник Ньютона которого лежит строго внутри многогранника Д= Д1+...+ Д)г , ^ ,..., ^ - координаты в пространстве

определитель глатрицы Якоби.

Теорет (см. п. 3/'). Справедлива фортлула

аеХ

Эта теорет является обобщением классической формулы Эйде-ра-Якоби (в которой | ^ - обвдай поляком степени гл. ^ , или, другими словами, многогранник Ньвтока - симплекс, определенный неравенствами х^о , ....х^О , хА +...+ хп.=£тч).

Связь многогранников Ньютона о торическимя многообразиями дает содержательную информацию о геометрии многогранников. Так, например, из результатов вычисления когомологий торическях многообразий с коэффициентами в Т -инвариантных пучках, теоремы Риыана-Роха и двойственности Серра вытекает (си. п. 3.2), что:

■х-

' V. , ^,.V . к'ч .'Л-,.....* _____О", -

ла в ^¿¿уш ега ¿зер^и; е^одр^л.а и тган^и сгага«:'; иоряоохщ дросткл в ребрах; если в пчгудал с.го ппбпо о^олггог: ровно (и.- 1 ) грань старгой рае^ершоха.

Устегщдеппо (со, сгэдсгнле 4 и. 4,3). Но нрогододее чорзз ¿орил.и ишергшхжое оач>:т:э простого _ Л -иоркого пзогограшп--:.а ио пересекает по крайие£ коре ( Й. "- -уа честь его

и -верных граней, где взлич'ква (п) пе савпога? ог сабо-ра шох'огракшга и его ссчепцс п сгро;^лгся к цулз при и, , с-грсэдзися к бескоаечиоохв.

Указана ®иая формула дох вашкшш (п) . Приведенное утверждение связало с с1Ш>ио11 тсореаой Лефшца для квлеровых торичеекпг ккогообравдЁ и швег точшй ашлог в т орячеокой гео-ыегпяя. Пусть на кодерозоы горлческоу изогообрашш действие ве-1т,«С1г,э«шого тар:; .г-"

кзл^р^у и, ол",л'^гс.-.".?, огллишл; о глж

П)/;', , »г ■--.г,??-

г.:"

"" 'Л'."":; полу«:"':

" сдои;.':: В,В.Н*'".ул";п догя.Етгт^

1 и ■ ч. (.0), В лросзракстзе Лобачевского размэр-' " Т. с, дЕсяроетх ггупп, пэрогяогшш: охра-

0 г'<зпталхш.;з шогогранюгеают конечного объега. Последняя теорегп - совместный результат М.Н,Прохорова а

Д.гч групп с ксипаигшши фушиионтаяыпош щогограшшгамя сдгглогтптай результат был получен В.В.Никулины« и Э.Б.Вянбергом. Вторая глава диссертация посвящена теории иалочлеков. Пе-

рехоядп к ее содержания.

Топология геометрических объектов, заданных алгебраическими урзвавкшг'л (вещестозакых алгебраических кряшзс, поверхности л, особя т.п.), йзотсо .усложняется по мере яозрясуя-г.:л '.•гел^ггей урзвиевдЗ. Недапг ■> "" ""о сложность

сор^е по от с" 1 ' I г по о?

сложность топологии геометрических объектов через громоздкость задающих их уравнена'!.

Хорошо извести сценка Декарта: число пологштельних корней полипы,а от одного вещественного переменного меньше числа мономов, входшдих в полином с ненулеваш коэффициентами. Следующие теореш обобщают оценку Декарта на многомерный случай.

Теорема о вещественных шлочленах (см. п. 3.12, следствие 7). Число невырожденных корней поляиоыиальпоЛ системы Р1 =...

... = Р» =0 , лежащих в 'положительном октанте пространству

ва Я. , не превосходит некоторой функции (^ 5 <|) , где с^ - число различных мономов, входящих с денулет"а) коэффициентом хотя бы в один из полиномов

Теореш (см. п. 3.14, следствие 5). Пусть Xе К. - алгео-раическое множество, определенное системой из Га полиномиальных уравнений. Число компонент связности мнокества X не превосходит некоторой функции фгС^,^,^) . Если система уравнений не-выровдена, то сумка чисел Бетти гладкого (Л - Па. )-ыерпого многообразия X не превосходит некоторой функции ( ^ 5 , т) . (2десь - до-преанеыу число мономов, входящих хотя бы в одно уравнение.)

Приведем, например, оценку для функции Ф1 С <

Комплексные корни простейшего двучленного уравнения -О с ростом N равномерно распределяется по аргументам. Формулируемая низе теорема о комплексных ыалочленах показывает, что аналогичное явление наблюдается для многомерных систем мадо-члешшх уравнений. Эта теореш связывает тематику многогранников Сг-шона о тематикой ыалочленов.

Носителем полинома 21Г С^^^ , зависящего от & комплексных переменных, называется множество степеней входящих в него моноков, т.е. конечное множество точек с( в целочисленной решетке пространства ИА , для которых-коэффициент С^ не равен нулю. Многогранник Ньютона полинома - зто выпуклая оболочка его носителя.

Невырожденную систему полиномиальных уравнений от ;

комплексных неизвестных будем обозначать стволом Р - 0 . | Пусть С^р!.-»—»^-О ило^ЯзС- тор аргументов пространства ! (С^О)* (координата '-р^ - аргумент д -ой компоненты вектора V. = .....С040^

). Пусть 0> - область в I * . Нас интересует число решений системы г~

~ 0 , аргументы которых лекат в области & • . В случав б=» = Т для Л -невырсаденной системы Р«= 0 это число совпадает с числом Кушниренко-Бериптейна, равным умноженному на ! смешанному объему многогранников Ньютона уравнений системы. Обоз- | начим через $(Р>^) число Кушниренко-Бернштейна, умножен- ' ное на отношение объема области С к объему тора Т ^ . Существует число Г1 , зависящее лишь от области С и многогранников Ньютона уравнений системы (геометрическое определение числа П дано ниже), для которого справедлива следующая

Теорема о комплексных ыалочленах (см. п. 3.13 теорема 2). Существует функция 1р от Ь я такая, что для всякой .

А -невырозденной системы Рв О уравнений от ^ неизвестных, содержащих С^, мономов, справедливо соотношение:

| 1НР,С)- ЛуИц).

пространстве Я. я от функций вида ехр х> , 1=1, Xе (I . Тогда число нешролденных корней этой системы в не превосходит числа 4 С21 р^ + -О ^•^.Ч..'

Этот результат является трансцендентным обобщением теоремы о вещественных малочленах (трансцендентное обобщение теоремы о комплексных малочленах содержится в п. 3.13).

Более общий результат - аналог теоремы Безу для вещественных элементарных функций . Элементарная функция шогях вещественных переменных - это функция, представимая в виде суперпозиций полиномов и следующих функций одной переменной: -ехрх.&гх, Х^.^игХ , х , X . Функции Мп* и тле-

ют-бесконечное множество нулей. Поэтому, вообще говоря, не существует оценки числа корней системы элементарных уравнений во всей области их определения.. Однако такие оценки существуют для специальных областей, называемых областями урезания. Приведем определение области урезания элементарной функции. Пусть среди суперпозиций, задающих эту функцию, 1ти раз встречаются супер- ) позиции с синусами и косинусами. Тогда область урезания этой функции зависит от Ят. параметров А;, , где ,

А^ В^ , и строится по следующему правилу: всякий раз, когда в процессе конструирования элементарной функции встречается суперпозиция вида -ЪОгг ^ С/) или вида СсЛ ^ Сх) , в области определения элементарной функции выделяется подобласть, в которой ^(х) . Пересечение всех выделенных подобластей и

называется областью урезания. Элементарной функции в ее области урезания приписывается сложность, которая определяется гак набор следующих чисел: I) число суперпозиций с функциям , -Сп, и т.д., и степени полиномов, встречающихся в процессе конструи-

-- ио -

роьзкш олеиа.-.-ариап щш; 2) цошв чпола ¡4U^-A;.)/iKj , псогрос-шгле- по шОеду сарзис&ров облагай урезашш.

Теорем ( шдеозяшс I и. 4.6 п § I). Число псвирэ.-денаш: Eon.teii скссеш цс> It одедовдаршх.уравкзш& -f 4 -fj. - О

ш? Vt койзвгсетшх в пересечение бшгсирошюпп: осйатгей урлй»

sVyiuavi:: .>',_ ксх.ьчко и яшго оцеггш.сз-:гс;;

сйс^г:ост1, йукэдШ is соотао^сгвузЕаах об/хаст«.":

&1Г.: i".i иекоторш: ргзульгах:::. теор:;.ч

чйсноп, Прлисде:.; twicpL Kjiocjoi;^:: г?.::cicM тоара:. (с:;,, xai. Г:,I - 2.2). р^сс^отри.:. 'аи^гаеску;.; сиетеглу из ьаоокс&м, ведгшду» вояша&ашакд векгорнау пояеы. Траектории ?аке2 спстс-ш регко отличается or дерейраотеокпх кривых. Шприыер, траесто-рдя, шштшшшгшся на цикл, шее® счетное число точе:; псросече-шш с любой щшоН, заходящей внутрь цикла. Приводасе кипе ограничение на гопояогшэ интегральной лишш реско сказптается ва оо алгебраическая свойствах и прабжжасг ks к СЕр1ияжаг? алгебраической кривой.

Определенна., ОрлекироБашшя ювдкл: (еовлшо, ксскпка.:) :;рпгая т плоское'?;; пакы^^ссоя р-!зде;1л:,i ps;;ieK::o,: C'i&sezi, сслш о) дшжая ооох:о;,:т лс csec^ а.;.',;; :

'^ор::*,; cr.cv'.:.-.^: (о ce^.y'i:.::.;;;;^; .:.л<; ■:'> ;..■■.■

¡.•'J/ нл lihi'^-M.-- i 'го;:лки carat..::■:, l; л. ... :.: :..■.

uv--.- ucrov .лл .i. об:..;.,с;!л;! Ku ikockocv;; ■, слит.л л л ......

: >л. ,,:ллл. ,*: .''у;., ..■.■,.•.. „■ jv> : пл.;,;

- ■ '1 ■ ........ ■ " > ■ ■ ' ■' '; г> • г;' "■ г * ' ■"" т ^ ^ . , - -:" ' ^ - ■ -. .......>

; г ^ . ' ' с т , < i* %

уП~ Г,- ' !Г ""I 'У:'V ' " ' " '"" : ■ Л " ? --г- : ,

о^^О'"} I, а фуп:;циЗ "Ъул л ~ сгоаснл 2, На

ярпаой Щай-а ум^О*/2) фушиш а сс'»'Д рзипокаль-

н!1. Эта прлнера поясняют роль разделяющих реаешй для теория вещественных олеглентарннх функций.

Теорепа (аналог теореш Бсву для кривых Щаффэ). I. Ограничение полннот степени Ш, на кривую Щаг?фа степени П, тлеет на ней не более чем т. С изолированных корней.

2. Две кривые Щэаффа степеней а и ГО. имеют не более чем (п.+-т) ( Яп, + Гп)+ 1Х+ 1 изолированных точек пересечения.

Следствия. I. Все циклы динамической системы с полиномиальным полем степени 2 выпуклы'. 2. Ограничение полинога степени Ш на кривую Пфаффа степени п. имеет на этой'кривой не более чем (ги-т.-!) (Я,|г + критических значений. 3. Кривая Щаф-

фа степени (г имеет не более чем 1г+1 некомпактных компонент, не более чем П. компактных компонент и не более ^.-1) точек перегиба.

Отметим, что для любых П. я т. при П. > О имеются примеры для первого утверждения теорема, отличающиеся от соответствующей оценки не более чем в три раза.- Оценка чио-ла некомпактных компонент точная, оценки числа компактных

- ¿¿г-

компонент и числа точек перегиба имеют тот же порядок роста при К-» со , что и точные оценки для алгебраических кривых степени

Перейдем теперь к многомерной ситуации.

Пусть .М. - гладкое многообразие (возможно несвязное и неориентируемое) а - 1-форш на нем.

Определение. Подмногообразие коразмерности один в К называется разделяющим решением уравнения Щаффа с1= О , если а) ограничение форма сЛ на подмногообразие тождественно равно нуда, б) подмногообразие не проходит через нули форкн Ы , в) подмногообразие является границей некоторой области б М. , причал его коорлеятацяя, определенная форглой, совпадает с коори-ектецвзй грашщд области.

Прк.'ер. Неособая поверхность уровня Н »- С • фу

кг.ц1щ 1"|

является раздогякдки реизшеа уравнения Ща?йа сШ « 0 (ог;а сграшливает область Н С ).

Утверлдолле. К^^у д--' » .01 г - I 1 о ¡л^деллллдл рогкйзк с , П си 1 -

та, т.е. г;очгл, ь которой ' «с i ганбралоокооги с-'. — 0 .

Это утвередеш!» илзехо о лрухллл ;л:ого::сг,лл.,.л гоата*«:.: теорег:: Ролля (с::., п. 3.5) является осиоыой дан догл&згедьогеа • оценок в гсорян шлочжонов.

Оярзделеипо. Поддаогообравие I' коразмерности Ц. в илого-сбразпп К, называется разделяющим ревенной упорядоченной сксто-о уравнений к ... к оСп - 0 (в которой с{;_ - I-

"ор'лл на ]1 ), если существует цепочка подмногообразий Н.

Г1»,....-^ - Г такая, что для кавдого I -• I,..., нгогообраеио I' является раздедкаадк решением урав-

, . -:г т::-) -г.".-■

■ ' .:■! Пуетъ стопс:-::: кое;:

■р;;. \ • "з лрх.:с;о:,о;:ст Пи , а сзепоаг» полипе! я Р^ раз-"Л -,»; . Тода з 7ачо7?пп:: упоре"! ччът тртй по превосходит

-.,(:•,-О/.1 г , % а,

Ипогообразпе X »¿еста о поиеяиопороддсшяи кольцом Д Фушздпй па нем называется простым многообразием ПЬаффа, если у пего существует некоторое влоаеяяе Тс в пространство таксе, что:а) образ многообразия X является простыл подзио-гообрззием П$аф$а в , 6} образ кольца полиномов па

прл отображении СП* совпадает с кольцом А . Отобразеяпе К одного простого многообразия П$а$фа в другое называется регулярный, если отображение задает го:.хя.:орфлз:* соответству»-и;::;: колзц фунздпЗ.

Дза «йгшадай из кольца А гл просто:.' "*ногссбрлс":1

справедлив аналог теоремы Без/ (являвшийся перефразировкой приведенной выше теореш).

Структура Щяффа на многообразия - его специальный набор открытых множеств, вазываешй областями Щаффв, шесте с кольцами функций, называнию функциями Пфаффа, на них. Определим сначала структуру Пфаффа ва простом многообразии Пфаффа (X, А). Разрешением области IUX называется конечный набор простых многообразий ^ Х-^А;) и их регулярных отображений Äi'-Xs."*" X , являющихся диффеоморфизмами на свой образ, такой что объединение образов 9С- (Xt) совпадает с областью U, . Разрешением функции | , определенной на области IIе- X . нгзывается такое разрешение ее области определения U. , что каждая функция

«м ■

лежит в кольце Аi . Область (функция), у которой существует некоторое разрешение, называется областью (функцией) П$аффа.

Многообразие Пфаффа - ато результат склейки конечного числа простых многообразий Пфаффа. Склейка производится по диффеоморфизмам областей Пфаффа, устанавливающим изоморфизм колец функций Пфаффа на них. На многообразия Пфаффа естественно переносятся определения областей и функций Пфаффа. В области П$аффа элемент внешней алгебры, натянутой на функции Пфаффа и их дифференциалы, называется формой Пфаффа; дифференцирование кольца функций Пфаффа называется векторным полем Пфаффа.

На неособом вещественном аффинном алгебраическом многооб-pasi;i. существует (единственная) структура многообразия Пфаффа, совместная с алгебраической структурой'(т.е. такая, что все полуалгебраические области являются областями Пфаффа, а регулярнее функций на них являются функциями ПфаффаУ Категория много -

образий Щэаффа содержит не только алгебраические, но я транс-цендентние объекты. В пространстве Я*1, всякая элементарная функция на каждой своей области урезания является функцией Щаф-фа. Класс функций Пфаффа замкнут относительно суперпозиций и арифметических операций. Пусть ?<=- к.? - график вектор-функции , определенной на области К в многообразии Пфаффа К. . В следующих двух случаях область Ц. является областью Пфаффа, а компоненты ^.....<| ^ вектор-функции

^ - функциями Пфаффа: I) график Г является разделяющим решением некоторой упорядоченной системы уравнений Пфаффа о(1 = = ... = с/. 1 =0, определенной в некоторой области ЩаЛфа многообразия К* , в которой 1-форш с(. являются формами Пфаффа; 2) вектор-функция Ц. удовлетворяет невырожденной системе уравнений КА(х,у<х)) = 0,, в которой -

функции Щаффз, определенные в некоторой области Пфаффа многообразия (т.о. "неявная функция Пфаффа" является функцией Щаффа).,

На многообразия Щаффа справедливы следующие теоремы конечности (см. п. 4.6).

Теорема I. Дусть ^ - функции Щвффа на (I -

мерном многообразии Пфаффа. Тогда число невырозденшх корней система ^ = ... = =0 конечно я допускает явную оценку сверху.

Теорема 2. Пусть ^ | (, - функция Щ®ФФа на мно-

гообразия Пфаффа. Тогда число компонент связности множества, определенного системой ^ = ... = | ~ 0,конечно и допускает явную оценку сверху.

Теорема 3. Пусть ,..., | ^ -функции Пфаффа т мно-

Г _ . i

tíj;;., JI- (г.- . : \ . ? ; ."■,;.;•... i...". .... -■..

о ...... - ' ...;■■.• : . ' ■

í. .¿„^а^./О С \ ■".',.-. : a,'. ',.. -••■.' ■ .

1= „¡.«J.', uá:. И^-'Г-.'ил:^ : ...j^-'Î :.>....

// Сушсцаон. з к его щ.;:;:.. - ICVV. 'г, I.u -.'. - G, 52-34=

Я., Л.Г. Каогограшпиш Ныогола л род kg,.

//QyiiKUKOH. arctic u его щпд. - I87ö. - Т. ¿.s, 'u -■■ ^ 51-61.

is, Xoraiicisil ¿.Г. Г&огог^^лькд 1&;атй::а и ((;ор::ула

G. - С, 2S7-2Í2, 1 i .. '"a;:.,:;.., a.,v

'Ч А, .Н!Л V.'

I , . . !

■:•■/, -Л '..--С-Л'^. Жь/;>А/-

хм-^л, т.-з!^..

9. Гсг-шсплй Л.Г. Цзкдп дзпа?ппеозп2 спстс:! гз плоскости л тсо~ рет:з Ролдя // СпЛ Г-З?. гуря. - 1534. - Т. 25, .'5 8. - С. 198203.

10. Хоезнскпй Л.Г. Вещественные аналитические цногсобрззия- со свойством конечности и ккгалекспие обзлеш гптегралы // Зупк-одон. анализ п его прил. - 1984. - Т. 18, вып. 2, - С. 40-50.

11. Хованский А.Г. Глперплоскяе сеч опия многогранников, торзчес-кие многообразия н дискретные группы в пространстве Лобачево-кого // Функцион. анализ я его прял. - 1936. - Т. 20, вып. I. - С. 50-61.

Заказ )й 72 Т- 1^58 21/Х-8?г.Объем ЬЗп.л.Тирая ЮОэкз.

Ротапринт ЦЗ»Л1 АН СССР.