Вычисление локальных вычетов к их суммам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 В МАЙ 1995

К4У1Г №и¥аШЙ УЗоаИЮАИ ЩЮЖУТ 1ШШШЙ ммеык В.ЩРОМАНиВСКОГО

\

и»1вмд мюихся

— - - %

Сатаров Заряпбай Зэгдудяаееяч

ВЫЧИСЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНЫХ ЕШЕТОВ К НХ Ш' 01.01,01, - юат'е:;а'К1чес1иг6

)> Т О Р Е /. ■

.гхгепстшш! на соисказиэ уъемЯ стегяяк кандидата физнхо- «г.:е:га?кчбсках аау;.

гк-н/хнйии ь Красноярской гйсу&арзтЕе^о« у^.орьчимк'. йЗЗСО Уосегйсаой .икэдароада

Еяучикз руководите®! - доктор физияо- катеагпгчзсккх наук.

хгрсфэссор А„И ..¡каков, доктор ф пзщ:о-1са?е1атическ1ас наук, профессор

0$> Ещтяькнэ оппонента - доктор фйзкко- иатсшшгческкх наук«

профессор Яр1^уха.'ледоЕ 121.Я» ~ Е&гщэдат ф-дскпо- катеигдатческих акауке доцент Туйчяев Т.Тг

ВадуЕХ сзагсгшадкл - УраяьесЕй государгтвшнй унигергите?

даеервиги' савгодог " 4Г* фе&р&'^Ж- ь

й 7у "часвь ка «•.аепкгуааг.г^^^ж»^® Д 015.17С2)'

с И^г-л;т-гге ъгеяылхы'.:.: Ва1,Ра,;::^е1,ого ¡Л I мпубгккж.

гг. стал по сдрасу: -ТОЭКЗ, глеями» - НЭ* уж 2Г,

С дщсееряаадсй коз» озкааемзтьсЕ в бс^хкек^ кистйтута «агбга,5ЯЕЕ текк В.И.Роиаковского АН Разбавки Узбекистан»

Акозефераг разослал ° & "" 195/"с.

У^ыл-Д ссзрэтар* с&сци:до-1й~рогл«уого СОЕСГЕ. логл-ор фгза«— гаг. -иауг

/ /

обшая харакяииякка даЕРтшоквсЕ ракш;

—Актуальность темы. Локальный вь-ст относительно голомор?ко-. гс отображения. лгвляспи^ся наиболее вааным из многомерквх аналогов вычета Копгл, находит применение в алгебраической геометрик, комбинаторном анализе, при изучении и вычислении интегралов и рядов. Актуальной является задача вычисления отдельных локальных вычетоп. а также их сука для керемор&Евс к тазиояалькнх лкффетзэн-циалькых фор*, атому вопросу лоовястенс большее число работ. Ьада-^ """" Еычета и полной сукмы локальных зачетов

с.-::- „.сГр—сгг*- *> т»и.»„в

ла преобразования вычетов. Однз.го для её.лгжохсъ'л рительно найти соответствующее преобразование, сто в очапедь является также трудной задачей. В работах Л.А.Айзенберга, А.КЛиха, А.П.Кракова указаны некоторые валике случаи, когда полная сумка вычетов вычисляется разложением в- ряд Лорака.

Цель исследования. Выделение новых классов полиномиальных к локально голоморфных отображении глобальные, соответственно, локальные вычеты относительно по тори могут быть вычислены разложением, в ряд Лорана, а татае получение соответствующих фошул их вычисления, -получение конструктивных способов преобразования полиномиальных и голоморфных отображений, позволяющих эффективно вычислить локальные вычеты и ко суш; разработка методов вычисления глобального вычета путем последовательного понижения краткости в условичэ теоремы Бернготейна^ о выражений числа нулей систе-гги полиномов через смещанный объем Минковского иэ многогранников йьвтоьа.

Общая методика исследования. в диссертедии используются методы многомерного комплексного анализа, коммутативной алгебры н алгебраической геометрии.

Научная новизна. Получены следуакие козне результаты;

I. Гюлучен новы?, алгетуитм вычисления локальных 7. глобальных Еететов для отобрахеккй с керстоггентоги глгзкж ззвесевно- о.л-

I/. Бераитейн Д.Н. Число корней системы уравнений// Фуккц. анализ и его приложения. I? - 1975.- Г. 9, Р 3. - С. 1-4.

нородншеи час теми, основанной на фс^луле пре образования к обобщения теорекы Маколея^»

2. Найдена формула понижения кратности глобального ветета в комплексном торэ Т для системы полиномов Лорана в условиях теоремы Веряцтейна о числах нулей этой системы.

3. Выделены- ношэ классы полкномиальнкэ к голоморфных отобрав нкй, относительно которых глобальные и локальные вычетн внчислявтс с помощью разложения в ряд Лорана.

4. Получено применение локальных вычетов к выделению мнозжгел« псевдополкнома Вейергтрасса, а тапгек вычисления коэффициентов псввдополияоьгаальвого отображения Вейерзтрасса для голокорфныо ет( браге нкй.

Теоретическая £ практическая аенность. Работа носят теоргтК' четкий характер. Результаты- к иетодн когут бсть кслользоваш в да кейЕжс исследованиях; па теории кного^ернкх вететоз, нулей вектсрн полей к в алгебраической гесиетрки.

Аггообагшя оаботк. По результатам тг.асетхзя: сделаны сообг нгш з икохе-сезкйр® "Нашлйгсшй анапгз и категттическаг /¿Ьлглсговск, 19-57 г./с стендовое яоглалы ка XI Всесоюзной птполе по теории операторов з фукютснальннг: пространствах /Мласс, 7563 Всесоюзной го2ференцЕ2 ао геокетрэтеспоП тезглк функций /Ког-г-гг; бкссг» 1958 г./, иколе- сеазшаро "Актуальна вопросы кеняяо-сяогс акзгкга" /Куцуикая, 1989 г./, а такте на научнах сезкарозг арп Кт когрогог:, 1сяЕентс:х&- к Наракадпакскс^ госукквзрсктетах.

Публакаша:. Основное рззультаж диссертации опубл;пса:;~«2-: : работах [Х-И] « Работа [2] , [?,б] выполнена в соавторство 5 [п] з соавторство с А.К.Цихс:-:.

з сб-ьеа д::ссергаша:. Диссертация состоят по введ кее, ттедвагятелькн» сведений и трех глаз, Еоторгл в свои счерзд разбиты на восемь параграфов. ¿¡кссгртацкояная работа лзлап^а 113 страницах. ЬкбггогргАпд о од ерш? 45 наякенованп;..

п первой глазе указываются способы вычисления суммы локальных вычетов произвольного полинома относительно неяогорьж-, классов полиномиального отображения.

Б первом параграфе результат» полученный А.К.Цихом0^ для вычисления полной суммы вотетов произвольного многочлена относктел:-'j.o сястеда полиномов с незырояденкой однородной главной частью, сбсбтается для системк полиномов с невырозденной взвешенно- одно-

rrrrr::?!* »имен,- тлииш '¿аао^ж млл

во- однородных полиномов. ОснозкоЗ результат •} i - теорема 7,1.

Пусть ^ ~ €*-*<?* -полиномиальное отображение с

ганповентамв вида!

где l*) -ззвепгенно-однеродвьй поленом старяей степени относительно зэса N ' ) , A'i - делке числа; "^'у ^ = ^/V > ^ * предполагать, что

зтос-эажение л =■• (Р,,...7Р)г) имеет изолированный нуль в начале коосдинат.

0 у::'!? л ~ ~ д г; с л оt: : -31ЯХ на основа преобразования гдоёадьнго' вычетов доказана

/

1 ; : : s х a I.I. _ля .тебего полинома h глосальны»-

зыра."кается формулой

/ItJ/ t V ^_, , „

* 1 •• " ' 4 v v • , I

3/. Цех A.H. Хчогсмерные вычеты и их применения. ~ Еоносйбирск: * Наука, 1968. - 240 С.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

- б -

-:-----¡¿'¿¿(Ы-вЧ

где

• г< Л <

*г

Бо втором параграфе решается задалга вычисления полной сумш

зачетов в 7тЛ произвольного. полинома Лорана относительно си< темы полиномов Лорана, удовлетворяющей условию теоремы Бернштей

Т « о р в * а 2Л. Полная сумма вычетов формы ««ж, в А -иерно* торе Т* вычисляется формулой

4

' * * ,.,*

- - Я&^иГ^

* Г'У* Г')*

где Л^-у -полная сумма вычетов формы и/* в ;

ре на единицу меньшей разиерности / относительно отобрг

гения '¥('«) - (У, СЫ, ... , ('*» : ТП~' — С"'*

7 - число л - / -мерных граней суммарного многогранника кногограккиков Ньютона поииномов , ■ ■■ » у •

Теореиа 2.1. позволяет полную сумау зачетов в Т форш и! относительно отображения 4 представлять в виде суммы

* (/V*

глобальных вычетов (*Т * в торе на единицу меньшей ра:

мерности. Показано, что отображение ® , ... , )

Л

~r7 fr . f

-"•г -/слсвею тз^рвму Зер:-л:?ейка з / " * ., С:;.;:"-••-" •'. г- 2.1. w «••so««« яяяачтт

; -."с.-:

/1

олной ~ср%::гг-нно;..

~~ ----- ■г.гл; -je.:, .--.-на-; ncry-s:-; c.:;-,iys!K0 üi-'-f

-э-ге-уь' йОЭЙЯСгСГО ,

I ? река 2-2. Пусть f = (f^..., t/z.i) -система uo^xr-

-JnMnu лшипг. V . „С";:_____" "=ПТ*П»К1 ГЖИНШТСППИ. vJj-

... „ '

каояеетво нуле.-; зто.1 сяетегз« з / 7. -г -лолянск лсран!, для sctrcporo выполнена нзразекссзо

" 4 * - 4л/ -' '

д:?я веетороз * , являвшиеся вектарон внутренней нормали

rpajsi гтзгхызпга Мяогсцзатгаяа жгогегрв.ичяго^ ^.-•окг амаяеш» fir , r; , sv я ?}v

я'«стань zszsor отногятелько зетгтора // пол.гиоиоа

л -С / - . , Л- , состзе-готг'лжэ. Тогда

';ysßia знчетог, s 7~" форма cf « -/^г//- ., ■ • ^

^, , с J ^

£ г L j а т

"•».-jr-'wi fPi-i''"".-я tsc*wk Хованского, ъ лля "-Го. тгтооч еуммп ¿¿»w-icüjc; ь -гтжл;:ась ?реб:.-е?сл узлсзяе А " +

Г 1/Л ; s 'гтз ¿j< П./ , уяогсгзаянигя Ньч-сял. полот'.'Л?

: * I. » CC-;)Vi?2?i-.'VM!5,0 . "" VC Г" . -

.ь.-:с глсгсг^ -тгзозип /¿у по всем i¿«wu ^..¿r::'!.-' •'. . рстлъ'. »«.gayi. FS.- 24ö.

- Б -

А « В теореме 2.2. условие /2/ проверяется для тех граней нно-

гогранника Л параллельных каким- либо граням суммарного

ккогогранника многогранников Ньютона полиномов £ /

V' ' ' > V-/ а для остальных граней это условие не проветается.

Б третьем параграфе результат А.К.Пиха^, полученный для вычисления полной суммы локальных вычетов относительно систе:гк полиномов конкретнэго вида, не имевпгей нулей на бесконечности в пространстве теории функяхи, обобщается на полиномиальное отображение вида

= + /з/

, где ^ < ^ = 4 & ^,

л

У -степень иксгочлена по переменной • .

При предположении, что для кагдого £ ¿,.. , п полиномы р^, ) __ _ ^ попарно не ¡мегот обеих нулей, отображение

/3/ такке не имеет кулей на бесконечности е пространстве теории Функций, При /у^ и % = 9т"/Эк этот результат совпада-

ет с результатом А.К.Циэа.

Полученная фошула позволяет выразить полную сумму локальных вычетов Я&^и? относительно отображения /3/ через суммы вычетов в нулях система более простых полиномов Р£ , .... , . ,

которые разлагаются в произведение полиномов от одной переменной А • ) , - ¿,.... п - йсходя кз теоремы о полной сум-

не Еычетов да Еомлагтньк многообразиях , можно получить ф ормулу для & г яегвзбущр» знание нулей всех по-лжомо? (*■%) .

5 четзггто»' гарагоафе с покоиы: теорема: о полноР с; чаге гонах вгл-етог на ха*я::лТ*двг аьал5'тич&^яо; 1Ш?гоо5раллг..: лл.т г : г'-геу ел^-ць-з •осхаетсл аалача <йга:сг.«ы£Я глобэдьнс-гс- кн-гт. тг. от-

1;гг Z'jcpä^a гезу j r.p:-crr^iw'v£.£- гбсркл -яукзгз;::. ргг-?~ - ruTf.f уразкевиI//ti&tc-roTSS РОПТ.-СК

о:гсиплегтсязгз акагкв».-КраснйЯрг::» "йэ - ¿'г*5. ел: снссгт I/, 1,. с".

£

носительно полиномиального отображения з_ (■ не имешаго нулей ка бесконечности ь пространстве €1

В? глакя указаны некоторые случаи вычисления лскагыас;

СТО''Л' ? О ,

В пятом параграфе сп*;об, уздошква г:.-^:--

с.тавленик полной суммы дсхалы-'-тс я&гч-зтоз относителы>о дгстаточн? Екроксго ::ласса по лкнокиальег.; отображений, из гаязпггих нул--5 на бескокэччостк г яооекткЕгОм посстознств? С]Р '. з вире содмн

интеградоз, кал^ы? лз кот-сых зачисляется разложонпем а ■х-г -"отляг «олкоидируется для вычисления локальных вычетов относительно голо-

МГ^ИиННГЛ. й1иикит\>1ш1>«

3 пестом параграфе получен аналог теоремы 1.x. пдам^тг^лгн« к локальному вычету фушауш относительно голоморфного ото-

брл.теккя с невырожденной главней взвешенно- однородной частью.

В третьей главе содержатся- некоторые пркиеиеки локальных вычетов к выделению псездополизомов Вейерг трасса: решается задача вычисления коэфЬягментов псевдополикомиального отображения Т^.арштвагса для голоморфного отобтааения и задача выделения ши>-

■ гЯ'лг'—^-у- ; -.гисуъъ т. э.-готовутяльну.' 'ее

: -мсса ллг гзл^морзжас отображений, доказанной А.Н.,1, стся зал£-«и нахождения хоэофициектов псеаяополиномиадьного отст-г-жения Вейеритрасса Р И'» 6 » в случае, котла

компоненты голоморфного отобрадеивя 4( %, имеют вид

{¿.о-) « V- , , у-л....^

л''

лесклгл комплексного анализа.- Красноярск, 195*3. .И-/-<■ ^•

_ г- ] ч - А г;

ем • сноску С/ + ^ • ♦

- IG -

3 сто:-- случае сястеиа псевдоподнкомов Р « (% ^ ^ ^^ дктск в вце

т-

« < *

р (*',*') - *v ^ г ¿г /4/

i * ¿ * *: .Её коэффициента ¿^ ¿'О высеваются чегез локальные вычета» t-

Т е о р с к а 7.1. Коэффициенты псевдополи-

ноаяального отобранения /4/ находятся формулой

где коэффициенты яалзхтся решением системы

. «'-«у

■y' .--¿г.') = лЛ ,. /Je' .) - Коэффициента

" V x ' v'

. ".' авДЕЮТСЯ гсло^орфньэж В OKOOCTHOCTV. точп; -ï' 7

>4

>a

HiP.s&KHiLS uoowyss; лвляется прккуигхадькс вовой.. Лажз в клг:

t»'".áCKOv r-jsw-ae я - i ors. jcjuyzs. дае? е-е ожп csoccö кажэ«-t-sifiiä á^^-ui'.'i&H^oa г л сслов Bitfepcrpacca.

sisuibÂeHîtï ко xszyzíü ®к?ез sc гздслслаясма Зе^узггтрасга ¿с г.: не-¿ Tvicszu.Z ru. 3 зсськгу пара-

- ~ -г" что кпделу р??ту /2?.тдсй гвгжкн«/

;. •■•"-v"-.*:д:-;-"/."'» ívsKUSi

•-.-•л-.:;-.---:--. . : ^ - v - лг.гя■' г'.;'

нахождения этих множителей.

Пусть (Ч>>, Д,) , у « о, I, ,. . . , т -последовательнне вершины многоугольника Ньютона ряда

Теорема 3.1. Псевдополиноа Вейерштрасса функций п, . 4 '

-т г А./'п/). г ^ .. . и- л-'^л

■Л - - : Ш » ' " V"

разлагается а произведение псевдополинсыов /не обяза-

тельно неприводимы/:

г 7

где « -у5у_у , = 4 . Ноэфф нциенты этих

псевдополиномов голоморфны в некотором круге /*'/ < ^

и выражаются формулами:

'у

' У

Л V

г у» .^7/

г

где а А'. 7. j - //к'

cj - ? А'» г; - ^ х

' г

Предложение ЬЛ. Зункпия ^ (х) ется стопенкьы рядом

^ « - -^С 4 ' '

коэффициенты которого определяется формулой

пред ставля-

"'в * ■ ?

/=Т J^LZ

где /fy» £ (fp>*-/yjj- (>*- *)) , * Ä ^ - чясло, удовлетворярцее неравенству > > ^ V = ,

Дяя >»с не всегда вервзша многогранника Ньютона определяет нножителей псевдополкнома Вейерштрасса. Дано условие существования такого множителя, указаны* аналогичные формулы для нагсог-дення ноЕффициентов этого кнсшитгля.

ШБШлШ Ю ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Саларов З.Б. О вычислении глобального Енчета относительно системы полиноков с невырожденной взвешенно- однородной главной частью//¡Дкола-сешшар "Актуальные вопроси комплексного анализа". - Tseksbt. - IS39. - С. 103-105.

2. Саларов 3J5., хгаков А.П. 0 начислении полной суъза вычетов относительно полиножальнсго атебрагэннн в условиях теорегш Ьернгтейка/Лькола-сегннар "«зтуагьнаэ вопроса комплексного анализа",- TssseH?. - 1569 . - С. IGE. - /тез. докл./

3. Саларов З.Б. Некоторые случай вычисления полной суыын вычетов з Сп разлсхеннегг в ряд корана//Изв. АН УзССР,- 1986. -

$ 2. - С. 25 - 33«

4. Сатаров З.Б. О вычислении полной сукин вычетов разложением в ряд Лорана// XI Всесоюзная школа яо теории операторов в функциональных пространствах. Часть 2. - Челябинск, 1535. - С. ПО,- /тез. докл./ ■ Сапаров З.Б. Об одном способе игаислення полной суими локальных вычетов// Коаплехсный акадиа и кате катичесг^: физика. - Красноярск, 1987« - С. 95. - /теп, догд./ . .

о. Сапарсв З.Б. О в&числепии локальна* гичетов разложен;-о?« в ряд Лор&чд/У Йсследоаглгс'г по "жмпяексвому анализу. Красного«:?., Красноярск^ ушверсетит. - 1939. - Т62,-

/МеЗВуЗОВСКИЙ сборни::/. 7. " С.И. ° 1гл;г::те~о П псездз-

полико^а „„

^геской теорий функций. - Козоскбирс::, 1533. - С.153 /тез. докл./

£>. Шазов А.П., Сапаров З.Б. Зйдслекзо жсгттаягй пссздел-ликсма Вейергтрасса с псиощьа дпагрэз^-г Ньютоне// Исследования по кешлзкекому анализу. ~ Краекеярс::: Кргсноярсагй унтгяерентет. - 1939. - С. 155-165.- Л&гзугозсзЕй ейеркнг/. г.. и. „ лег^-тз-ят'? гягче-

I. Дих А.К., С::пс.рэз З.ь. ••¿•»•«.-¿.-.¿Г-- '.г-г г,---.-.

- —х-'.-гпян? ЗгПсгзграсся. для гояокорфннх

тез. - Нукус: Карзлялгакилпп - /тез. докл./

слп/роз з.е.

ЛОКАЛ «рЗЕЕ-^АР ВА У^РКГГ еиПКРПАИК! ÇîCOBJIAI.

Голсаюр;' акслантирксзи -•.•z''r..-'^у локал колдиг, бир ^згарувчк-лн сунпдия учун Ноет еолдирянинг ;<?п улчвмлк анзлог.шридак бирк. Диссертациеда :гг-т,п. лог.ал колди^лар ва уларнккг йигикдиларг. Лоран :-;атор:т£ ёЗиледкгак пояггномкал вз лекал razour.pp екслант;.-р.'гз-гар'-г.п-гг янги сии! лар:г ^аралгян ва бу ^олди-^ларяи ^/гоблаг: фсриугалари келтириб чикарнлгак; по лик airear ва голоморф акслантиркпларни локал колди^лар вз уларкикг Яи?;гндиларики г^енти зрсобласга км кон берувчи алыаштнригларкинг конструктив усулларп берклган; локал ^олдзп;лар Яигккдисини карралиликнк кетаа-кес пасаЯтириз срг.али ^исоблая кетодк кхлаб чик.клган.

' '.A'

QAiWi-tazfjH i хд, .assuras aux, ÏFLXR "

Ч ' ■

Ti¡i Iftci.I re? lO-as* Tith ruvipact te iiui.«r.ornh nappins v-ftot ir.>irtr.;st ça«.- u:* ILî sanj-dimeneioaol anale««» of Сяилйу

о:. '.Ье. иг.«-vaY^rá>la *кгвв*:'.ок» S« the üj.t;.jsrt4-.í:.DT¡ гдач-г classes or pol^ncniel and local holc®rrph «appiags gloViO.

ГПЯЧРРТ1 TOI« ~C-i.¿L—„1 »It ïeàatEX .—-

late by 'sc an of Lcraa-ecriea cx$ss3ica era selectel and. ccrro-b'pording fornulea ci their _freloal«tí.<ai tera alo© obtaiircáí ¿'ons truc title v.oys оГ polyvosÁal snd iioloiaorph tranefonrntioES «Ilching effectively calculai'» local rcsiöues and'tbsir ишяз are febíained; nsthode of calculation nf elote! residuo'© by t>*«o> i er.vt-:■<•!'„л--. • ' ¡y-4Si-ir.;\ "i raulf-Pii ^Vc ¿.re cevo'ir,:.<:■'.