Распределение нулей аналитических почти периодических векторных полей и диаграммы Ньютона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

ШВА X. СРВДШЙ ИНДЕКС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВЕКТОРНОГО

ПОЛЯ.

§ I. Индекс и 1фатность векторных полей на множестве. Предварительные сведения.

§ 2. Особые точки вещественных почти периодических векторных полей. Определения, формулировки результатов.

§ 3. Существование среднего индекса вещественного почти периодического векторного поля и оценка остаточного члена (доказательства теорем).

§ 4. Корни комплексно-аналитической почти периодической системы уравнений.

§ 5. Оценка размерности аналитических подмножеств.

ГЛАВА 2. КОРНИ СИСТЕМ КОНЕЧНЫХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СУШ.

§ I. Конечные суммы экспонент. Определения и формулировки.

§ 2. Экспоненциальное отображение Веронезе.

§ 3. Экспоненциальные вектор-функции с набором одинаковых спектров нулевого ранга.

§ 4. Среднее число нулей экспоненциального векторного поля с различными спектрами компонент.

ГЛАВА 3. КОРНИ ПРАВИЛЬНО ЗАПЕРТЫХ СИСТЕМ ГОЛОМОРФНЫХ ПОЧТИ

-- ' ПЕРИОДИЧЕСКИХ" УРАВНЕНИЙ.

§ I. Почти периодические функции на [j^ и ([^ предварительные сведения.

§ 2. Правильно запертые системы голоморфных почти периодических уравнений.,.

§ 3. Среднее число корней правильно запертой системы.

Диссертация посвящена изучению распределения нулей вещественных почти периодических векторных полей и корней систем голоморфных почти периодических уравнений.

Исследование распределения нулей целых функций - хорошо разработанная область теории функций комплексного переменного. Классическим результатом по распределению нулей целой функции одного комплексного переменного является теорема о среднем числе корней голоморфной почти периодической функции класса Д .

Эта теорема может быть обобщена на голоморфные почти периодические вектор-функции многих комплексных переменных. При этом обобщении существенную роль играют геометрические свойства индикаторных диаграмм компонент вектор-функции. Ситуация здесь оказывается в значительной степени параллельной той, которая возникает в алгебраической геометрии, когда в основу изучения многочлена многих комплексных переменных кладется многогранник Ньютона.

Многоуольники Ньютона были введены и использовались И.Ньютоном для решения алгебраических уравнений, а позднее использовались рядом авторов для построения рядов Пюизо в теории дифференциальных уравнений. Многогранники Ньютона впервые появились, по-видимому, в работах Ходжа 1934 года.

В работах А.Д.Брюно многогранники Ньютона систематически использовались для вычисления степенных асимптотик решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Начиная с 1974 года многогранники Ньютона начали интенсивно использоваться в алгебраической геометрии и теории особенностей дифференцируемых отображений. В терминах геометрии многогранников Ньютона вычислялись всевозмодные локальные и глобальные дискретные инварианты многочленов и ростков аналитических функций и вектор-функций общего положения с заданными многогранниками. Этим вопросам посвящены работы В.И.Арнольда, А.Г.Кушни-ренко, Д.Н.Бернштейна, А.Г.Хованского, А.Н.Варченко, И.В.Долга-чева, В.А.Васильева, В.И.Данилова и др. (см. / 1-3 /,/8-15 /).

В частности, в этих работах несколькими способами доказана теорема о том, что число корней общей системы П алгебраических уравнений в (С\0 )п равно "\Гп! , где V- смешанный объем многогранников Ньютона уравнений системы.

Актуальным вопросом является построение аналогов многогранников Ньютона и перенесение связанных с ними результатов на более широкие классы функций.

Естественным обобщением полиномов являются конечные суммы экспонент с вещественными показагыями. Система из П уравнений такого вида от П переменных имеет, вообще говоря, бесконечное количество нулей и конечные инварианты можно получить, изучая распределение этих нулей. Изучение распределения нулей систем конечных сумм экспонент с вещественными и комплексными показателями проводилось в работах А.Г.Хованского / 19 /, Б.Я.Казарновского / 13 /.

В данной работе найдены достаточные условия существования среднего значения индекса вещественного почти периодического векторного поля и среднего числа корней системы комплексных аналитических уравнений. Получены оценки скорости сходимости усредняемых величин к пределам.

Описан класс систем голоморфных почти периодических уравнений с ограниченными спектрами, среднее число корней которых существует и вычисляется явно по индикаторным диаграммам уравнений. Эти системы названы правильно запертыми системами. Корни правильно запертых систем имеют ограниченные по модулю единой константой вещественные части. Класс правильно запертых систем достаточно широк и включает в себя, например, системы экспоненциальных полиномов общего положения.

Среднее число корней правильно запертой системы Г\ голоморфных почти периодических уравнений в Сп зависит лишь от индикаторных диаграмм уравнений системы и равно их смешанному объему, умноженному на

Полученная в главе 3 диссертации формула для среднего числа корней правильно запертой системы голоморфных почти периодических уравнений может рассматриваться как обобщение классической теореj мы о среднем числе корней голоморфной почти периодической функции класса А (см., например / 16 /), результатов / 2 / о числе корней системы полиномиальных уравнений и результатов автора о среднем числе корней систем конечных экспоненциальных уравнений / 10,11 /.

Метод, которым в данной диссертации была получена формула для среднего числа корней правильно запертой системы голоморфных почти периодических уравнений состоит в следующем. Каждой правильно запертой системе становится в соответствие некоторая последовательность укороченных систем, спектры уравнений которых конечный и исчерпывают бесконечные спектры исходной системы. Среднее число корней каждой системы из этой последовательности совпадает со средним числом корней исходной системы. Для правильно запертых систем конечных экспоненциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым дополнительным слабым ограничениям на спектры, среднее число корней вычислено во второй главе диссертации.

Отметим, что этот аналитический метод доказательства позволяет получить чисто геометрический результат: достаточное условие, при выполнении которых совместное монотонное возмущение набора выпуклых многогранников не меняет их смешанного объема (§ 3. гл.Ш).

Приведем теперь некоторые определения и утверждения, необходимые для точной формулировки основных результатов диссертации. Сначала определим смешанный объем выпуклых тел (см. / 7 /), фигурирующий в формулировках результатов.

Наделим множество В ограниченных выпуклых множеств в структурой полугруппы, определив операцию сложения для X>Ye£> формулой X*Y = Ux еу OsO . Смешанным объемом Минков-ского выпуклых множеств Г± 1 называется значение на ( Г\, .,Гп) симметрического полилинейного отображения V^B^IR, удовлетворяющего для любого ГёВ условию нормировки

V(r,.,r) =Vn(r) где Vn (Г) - обычный П -мерный объем множества Г .

Областью в [Rm будем называть связное открытое множество с гладкой или кусочно-гладкой границей. Примерами областей, чаще всего используемых в данной работу, могут служить внутренности шара и куба.

Полосой П в пространстве г = г\ г назовем множество где Ьг- ограниченная область в ItS . Группа Ич действует в полосе ТГ как группа сдвигов: элемент Кб. (R^ переводит точку (а,Ь ) €.Т в точку (CL,b +К ) бХ Это действие в полосе т индуцирует действие Г- (сдвигами аргументов) в различных пространствах функций, вектор-функций, векторных полей, определенных в полосе ТГ. л п

Полосой "ТГ в комплексном пространстве (D будем называть полосу в его овеществлении 1К = Ч-* .

Брусом назовем подмножество полосы определяемое равенством

Мы будем рассматривать бесконечно дифференцируемые векторные поля F '-ТГ->Г в полосах и голоморфные векторные поля

F-fT-^C* в полосах ТсСп.

Введем пространство векторных полей, определенных и непрерывных в замыкании полосы "IF и бесконечно дифференцируемых в самой полосе "W . Введем в следующую топологию: последовательность сходится к полю F , если Fj сходятся к Р равномерно на замыкании II и на любом компакте KcfJT любая производная Fj равномерно сходится к соответствующей производной F .

Аналогично введем пространство АпС"П) комплекснозначных векторных полей, определенных и непрерывных в замыкании полосы Псф*1 и голоморфных в самой полосе И . Введем в

АпСтт) топологию равномерной сходимости на замыкании ТГ .

Каждое из пространств и Ап(Д) инвариантно относительно действия группы IR*" , участвующей в определении соответствующей полосы.

Если поле F принадлежит пространству AnClTj, где ч-^с:^ то его овеществление, рассматриваемое как поле в полосе

R(Dn, будет принадлежать ^сР°(ТГ) . Из интегральной формулы Коши вытекает, что получаемое таким образом отображение ЛтП (lO^fec00(ТТ) непрерывно.

Поле

Fe^tTT) называется почти периодическим, если замыкание всех его сдвигов под действием группы компактно в пространстве . Аналогично определяется почти периодическое векторное поле Fe Ш сравни У 17 /).

Особой точкой векторного поля называется точка, в которой поле обращается в нуль? Приведем определение кратности особой точки Og. (С комплексно-аналитического поля гп ) в ф" см. / I /). В кольце ростков ? ^п} в точке 0 голоморфных функций в Сп определим идеал Хр , порожденный ростками компонент Fi,., Fп поля F . Если особая точка 0 поля р изолирована, то фактор-кольцо

Xf имеет конечную размерность над© . Эта размерность и называется кратностью особой точки О поля F . Аналогично определяется кратность особой точки (X £ С^ поля F.

Кратность особой точки

Об г бесконечно дифференцируемого векторного поля F -{.Fij-v^l в определяется аналогично, как где кольцо ростков в точке 0 бесконечно дифференцируемых функций в [Rn , a If - идеал в этом кольце, порожденный ростками компонент поля F . Пусть F'AJ^IR^- гладкое векторное поле в области Ucr.

Индексом особой точки aeU поля F называется степень отображения ^с ^ достаточно малой, лежащей в U сферы S>£ = !Rn' < £} в единичную сферу Для голоморфного в области поля индексом особой точки aeU поля F называется индекс его овеществления.

Для неизолированных особых точек индекс не определен. В данной работе найдены достаточные условия существования среднего значения индекса почти периодических векторных полей, из пространств ЧЬсГСп) и Ау>Си).

Средним индексом почти периодического векторного поля F из пространства где

- полоса из

Г = г, называется предел (если он существует) при Г , стремящемся к со, величины

- 10 -Ind^F • г K где i-fld^f* - суммарный индекс особых точек поля F , попавших в брус У^С II .

Величины индекса и кратности изолированной особой точки голоморфного векторного поля совпадают / I /. В силу этого, число изолированных особых точек, попавших в некоторую фиксированную область в С и посчитанных с учетом кратностей, совпадает с суммарным индексом этих особых точек.

Для почти периодического в полосе И С (С векторного поля вводится понятие среднего числа нулей Н(F). Среднее число нулей П векторного поля Fs An. ( \l) равно среднему индексу этого поля.

В третьей главе настоящей диссертации будет изучаться распределение нулей голоморфных в (Q^ векторных полей, почти-периодических в каждой полосе вида Q +ifyi С1} где G - ограниченная область

Такие поля будут называться голоморфными в (j почти периодическими по мнимым частям векторными полями (или, короче, голоморфными почти периодическими).

Для каждой аналитической почти периодической по мнимым частям функции , определенной в полосе

Н = Gr , существует предел при , стремящемся к бесконечности,

Г—оо 7 г . причем сходимость равномерна по 1> из области Gr^ . Величина М £ С f) называется средним значением -f в точке .

Спектром £ называется множество точек из [R^* , для которых среднее значение функции f fe) • в ' не равно нулю в некоторой точке б*£ Gr. Спектр функции не более чем счетное множество в [Rn* и не зависит от выбора 6 в G* . Индикаторной диаграммой почти периодической функции называется выпуклая оболочка спектра этой функции. Многогранником Ньютона экспоненциального многочлена называется индикаторная диаграмма этого многочлена.

Справедлива следующая теорема аппроксимации: всякая почти периодическая голоморфная в полосе функция может быть равномерно аппроксимирована в ТГ последовательностью конечных экспоненциальных сумм, спектры которыз содержатся в спектре приближаемой функции (см. / 4 /, / 17 /).

Основные результаты диссертации касаются класса так называемых правильно запертых систем голоморфных почти периодических уравнений. Изучение таких систем проведено в главе Ш и опирается на исследование среднего индекса почти периодического векторного поля (глава I) и результаты главы П.

В первой главе показано, что если К, - связный компакт из пространства (тг) , состоящий из почти-периодических полей, где , инвариантный относительно сдвигов вдоль то при выполнении некоторых условий достаточно общего характера на поля из К» , средний индекс любого поля из К существует и его величина одинакова для всех полей из К. Показано, что существует равномерная для всех полей из компакта оценка скорости сходимости усредняемой величины к пределу. Для компакта К. из ДпСФ» где TIС (Dn, доказано аналогичное утверждение.

В § I изложены необходимые предварительные сведения, касающиеся индекса и кратности особой точки векторного поля. Дается определение кратности особой точки бесконечно-дифференцируемого векторного поля. Сформулированы теоремы об аддитивности индекса и субадцитивности кратности особых точек / I /.

В § 2 сформулированы две сходные теоремы I.2I и 1.22 о среднем индексе вещественных почти периодических полей. В первой из них делается предположение об ограниченности кратности С ^ полей в единичном брусе J*±cT[ во второй эта ограниченность а ркдоа \ не предполагается, а выводится (§ 3) из ^аддитивности кратности особых точек вещественно-аналитических полей.

Теорема 1.2.I. Пусть к - связный компакт из инвариантный относительно действия группы г . Пусть, кроме того, все особые точки всех векторных полей из К изолированы, не попадают на границу полосы II , конечнократны, и суммарная кратность корней калщого векторного поля из К , попавших в единичный брус Jl , ограничена сверху единой константой, не зависящей от поля.

Тогда найдутся такие константы А и В, что для любого и любого поля РбК выполнено неравенство

Следствие. В условиях каждой из теорем I.2.I и 1.2.2 средний индекс существует и одинаков для всех полей из компата К .

В § 4 формулируется теорема 1.4.1, аналогичная теореме 1.2.I для комплексно-аналитических векторных полей.

Обозначим через

ПгОО число попавших в брус

JY нулей векторного поля F , посчитанных с учетом кратностей.

Теорема 1.4.I. Пусть К -связный компакт в пространстве Дп^Л-й+^С (tnинвариантный относительно действия группы Если подпространство ffi^lD^ не содержит ни одной комплексной прямой и нули полей из К. не попадают на границу полосы 1Г , то найдутся константы А и В такие, что для любого Г>1 и любого поля F из К. верно неравенство

-К л I ✓ Q nrCF) -г* -А < В * Г

В § 5 доказывается теорема 1.4Л. Для этого показывается, что если вещественное подпространство [R*^ (СП не содержит комплексных прямых и G - компактно в то аналитическое множество, попавшее целиком вовнутрь полосы ТТ = &(R.^-, дискретно.

В главе П результаты главы I применяются к комплексно-аналитическим в (Сп почти периодическим по мнимым частям вектор-функциям (векторным полям), компонентами которых являются конечные суммы экспонент с вещественными показателями.

Для подсчета среднего числа нулей экспоненциального векторного поля используются следующий результат Казарновского Б.Я., Кушниренко А.Г.

Теорема П.1.3. Существует гладкая нормированная мера J^А в пространстве М всех экспоненциальных вектор-функций с набором спектров -A-jl,., А.^, такая, что для любой области с конечнымо объемом У (Т7) справедлива формула

J n (F.UjJjrt = V fa) • п! • С2тгГ V Ui, ■ , , tA где П\.Г,Ц^ - число корней вектор-функции г в области и "V (Ai.,.,An) - смешанный объем Минковского выпуклых оболочек множеств Aj .

В § I приводятся формулировки основных двух теорем главы П. Экспоненциальным векторным полем будем называть поле, компоненты которого есть конечные суммы экспонент Z] ' , где

Следом множеств

А О направлении d е S"'1 С. fRn называется подмножество > на котором достигается максимум скалярного произведения < Я.,о1>, как функции X £ А . Укорочением в направлении экспоненциальной функции "р со спектром А назовем функцию , die S^ctR" , определяемую формулой где суммирование ведется только по точкам X, принадлежащим следу л* спектра А в направлении bL .

Если спектры компонент экспоненциального векторного поля совпадают и равны А » то Для краткости будем говорить, что векторное поле имеет спектрЛ . В противном случае будем говорить о наборе Ai, .» Ап спектров поля.

Определение спектров нулевого ранга и набора спектров общего положения приведено в § 4 главы П.

Теорема П.1.1. Для почти всякой вектор-функции F со спектром нулевого ранга найдется константа В такая, что при Г>1 верно неравенство nrfF) •r-"-n!U'it:)"n-YnCA)l<- B-r-^ где Vn (Л) П- мерный объем выпуклой оболочки множества Jl .

Теорема П.1.2. Для почти всякого экспоненциального векторного поля F с набором спектров Ai, ., Ау\, находящихся в общем положении, найдется такая константа В, что при Г >d верно неравенство nr(F) - Г* - n\(Z%)'n -7(АЪ.;АИ)1 < В-Г1 где V ( ., А^) смешанный объем Минковского выпуклых оболочек множеств Аа , .,Ау\.

Для доказательства теорем П.1.1 и П.1.2 используется теорема.

1.13 n*

Л ^ ^ . „ ^IR построено экспоненциальное отображение Веронезе V/^ : IR^-*- IR, (Вещественное проективное пространство имеет размерность N-l , где ^ число точек множества Л. ). Отображение Vy^ задается в однородных координатах ( XJ± j. j )c и координатах ( ECjl, ., c R^ формулой

V/v (х) = (eccp < Я1,х> : exp<£ : .: езср^ ; H где Л - .U ° К .

Замыкание образа R в М>Л при отображении Веронезе V/^ являются удобной компактификацией пространства . Показано, что Vy^Cfl^) устроено так же как многогранник Д(А) - выпуклая оболочка

JV . Точнее говоря, верно следующее. Утверждение П.2.1. Справедливо равенство VAOn)U v^CR"), где объединение берется по всем граням Г многогранника а(а) и образ отображения ^Qp принадлежит координатному подцространст-ву Полупространства

IRPj.

RPa[1p = {и -• • • •• Vu)с wj qj - о<=* £ i-ftri .

Аналогичным образом определяется отображение Веронезе ., Л-^для набора конечных множеств JL ^,., А ^ с

Г*

В § 3 вводится понятие спектра нулевого ранга. Скажем, что ранг спектра экспоненциального векторного поля F ' (DМ равен нулю, если для любого о1в 3 С1R размерность линейного пространства над (J^, натянутого на разности точек множества А , меньше Г\ . В пространстве конечных множеств спектры нулевого ранга всюду плотны.

Утверждение П.ЗД. Если ранг множества Л<^ЕПравен нулю, то все множество М(Л-) экспоненциальных векторных полей со спектром А (за исключением некоторого дискриминантаого подмножества меры ноль) исчерпывается расширяющейся системой компактов •[ , удовлетворяющих следующим свойствам:

1. ICj - связные множества.

2. Kj - инвариантны относительно сдвигов вдоль

3. Вещественные части всех нулей всех полей из Kj , для каждого j ограничены некоторой единой константой О] .

Показано, что дискриминатное множество К является объединением конечного числа собственных комплексно-алгебраических подмногообразий в М^Л^ .

Доказана теорема П.1.1., сформулированная в § I главы П.

Четвертый параграф посвящен экспоненциальным векторным полям с наборами спектров, находящихся в общем положении.

Скажем, что набор • • • > А пконечных подмножеств IR находится в общем положении, если для всякого d£ <с среди множеств .AJi",., -Л-^ есть хотя бы одно, состоящее из одной точки.

В множестве наборов из h конечных множеств в !Rn*, количество точек в каждом из которых не превосходит некоторой константы, наборы общего положения образуют открытое всюду плотное множество.

Утверждение П.4.1 аналогично утверждению П.3.1, но вместо условия на ранг спектра накладывается условие общности положения набора спектров поля.

Теорема ПЛ.2 доказывается аналогично тому, как доказывалась теорема П.1.1 в § 3 гл.П.

В главе Ш обобщены результаты второй главы. Описан класс систем уравнений, голоморфных в (Е/^ и почти периодических в полосах

G +Im £ , GcIReT, для которых среднее число нулей существует и вычисляется по индикаторным диаграммам уравнений. Системы этого класса названы правильно запертыми системами и включают в себя системы конечных экспоненциальных уравнений, описанных в главе П. Корни правильно запертой системы имеют ограниченные единой константой вещественные части.

В § I, носящем технический характер, приведены необходимые сведения из теории голоморфных почти периодических функций в Сформулирована и доказана теорема Ш.1.1, являющаяся обобщением одной теоремы теории голоморфных почти периодических функций одного комплексного переменного (см. / 16 /). Доказательство теоремы Ш.1.1 аналогично доказательству одномерной теоремы. Приведено также простое следствие принципа Фрагмена-Линделёфа (Лемма Ш.1.1).

Далее приведена теорема Ш.1.2 о том, что для голоморфной почти периодической функции f fe) ряд Фурье функций "ГосСу) = я < Х+ UJ) при каждом фиксированном X € Re (Dn имеет вид focCy)

A. J где спектр А и коэффициенты СХ^. не зависят от X .

Формулировка и доказательство почти дословно повторяют формулировку и доказательство классической одномерной теоремы (см./7/).

Укорочением *f jj^O2) почти периодической функции "pf^) на конечное поданожество Аоее спектра называется конечная сумма 2 ft) • 6 < ^ , где Од ft) " коэффициенты Фурье функции f .

Следом JV множества в конусе называется множества точек Л- из множества , на которых достигается максимум скалярного произведения , с каждым вектором ^ из конуса А. гА

Укорочением в конусе А системы р = 0 назовем систему г = О из укороченных в Д уравнений, если конечны следы спектров уравнений системы в конусе А .

В § 2 приведено определение правильно запертой системы, приведены также некоторые примеры правильно запертых систем, сформулированы некоторые необходимые для дальнейших рассмотрений утверждения, касающиеся правильно запертых систем голоморфных почти периодических уравнений.

Систему голоморфных почти периодических уравнений F=0 назовем правильно запертой системой, если существуют конечное разбиение пространства [R^ \ 0 на выпуклые многогранные незамкнутые ( ЗА^А) конуса и отображение б* , сопоставляющее каждому конусу А разбиения подсистему d (А) из одного или нескольких уравнений системы F = 0 так, что выполнены следующие два условия: а) для любого конуса А из разбиения след в конусе А спектра любого уравнения системы непуст и конечен; б) для любого конуса А из разбиения и для любого вектора dcR рассмотрим укорочение системы в направлении (к .

Тогда замыкание множества всех сдвигов на мнимые вектора уравнений этого укорочения (в пространстве систем с топологией равномерной сходимости в полосах. состоит из несовместных систем.

Приведены достаточно простые примеры правильно запертых систем, показывающие, что класса таких систем существенно шире конечных экспоненциальных систем общего положения.

Для того, чтобы система была правильно запертой, достаточно, например, чтобы индикаторные диаграммы уравнений системы были многогранниками в общем положении и вершины принадлежали спектрам. Многогранники эти можно также заменить слегка раздутыми гладкими фигурами с особыми точками в вершинах.

Для набора спектров .,JL г\любой правильно запертой системы F=0 построено исчерпание этого набора последовательностью наборов конечных спектров ., А к j так, что

I. A^Aj для j=I,.,n и К= 0,1,.

П. Укорочение Fk = 0 системы F = 0 на набор конечных подмножеств А*^,., А£ является правильно запертой системой.

Справедливо следующее.

Утверждение Ш.2.1. Правильно запертая система F = 0 вместе с любой укороченной системой F& = о может быть включена в компакт Ьк»» удовлетворяющий условиям теоремы I.4.I.

Из этого утверждения следует, что число корней системы F)c = = 0 и число корней системы F = 0 совпадают для любого fc^G , причем вещественные части корней каждой из систем Fk.= 0 и системы Р = 0 ограничены единой константой (быть может, своей для каждой системы Fk. = 0).

В § 3 вычисляется среднее число корней правильно запертой системы.

Теорема Ш.3.1. Для правильно запертой системы из П голоморфных в Сл почти периодических уравнений F = 0 найдется константа В такая ,что при Г>1 верно неравенство nrCF)-r*-n>C2xr.-vl <В- г"1 где^Г - смешанный объем индикаторных диаграмм уравнений системы и Пг CF ) - число корней, попавших в ? •

Следствие. В условиях теоремы Ш.3.1,среднее число корней системы F = 0 равно Х\! (2/Tt) ^ V

В качестве еще одного следствия результатов § Z и § 3 получен сформулированный ниже геометрический результат.

Скажем, что набор У^ многогранников из ^ рационально зависим, если в К4 существует ( V^-i) независимых рационально векторов, таких, что вершины каждого многогранника после некоторого сдвига попадают в целочисленную решетку, натянутую на эти вектора.

Скажем, что выпуклое тело S является монотонным возмущением выпуклого тела Т , если Ч3 S .

Назовем набор П выпуклых тел из почти многогранным набором, если существует конечное разбиение пространства на незамкнутые выпуклые многогранные конуса и отображение d , сопоставляющее каждому конусу А разбиения такой поднабор б'(А) данного набора, что - рационально зависимый набор многогранников.

Утверждение Ш.3.1. Любой почти многогранный набор У\ выпуклых тел из является совместным монотонным возмущением такого набора выпуклых многогранников, что смешанные объемы возмущенного и невозмущенного наборов совпадают.

1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982, 303 с.

2. Бернштейн Д.Н. Число корней системы уравнений. Функ.анализ., 1975, т.IX, вып.З, с.1-4.

3. Бернштейн Д.Н., Кушниренко А.Г., Хованский А.Г. Многогранники Ньютона УМН, 1976, т.31, вып.З, с.201-202.

4. Бор Г. Почти периодические функции. М.: ГТТИ, 1930.

5. Брюно А.Д. О степенных асимптотиках решений нелинейных систем. Препринт ИПМ АН СССР № 51, М., 1973, 41 с.

6. Брюно А.Д. Элементы нелинейного анализа (конспект лекций) -Изд-во Самаркандского Университета, 1973.

7. Бура го Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л., Наука, 1980, 288 с.

8. Варченко А.Н. Многогранники Ньютона и оценка осциллирующих интегралов. Функц.анализ., 1979, т.13, вып.4, с.1-12.

9. Васильев В.А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек минимума. Функц.анализ, 1977, т.II, вып.З, c.I-II.

10. Гельфонд О.А. Корни систем почти периодических полиномов. -Препринт ФИАН CCGP № 200, М., 1978, 27 с.

11. Гельфонд О.А. Средний индекс почти периодического векторного поля. Препринт ФИАН № 219, М., 1981, 27 с.

12. Гельфонд О.А. О среднем числе корней систем голоморфных почти периодических уравнений. УМН, 1984 ,т„ЗЭ, вып. I , с. 1^3

13. Казарновский Б.Я. О нулях экспоненциальных сумм. ДАН, 1981, т.257, №4, с.804-808.

14. Кушниренко А.Г. Многогранники Ньютона и число решений системыК/ уравнений с & неизвестными. УМН, 1975, т.30, вып.2, с.266-267.

15. Кушниренко А.Г. Многогранник Ньютона и число Милнора. Функц. анализ, 1975, т.9, вып.2, с.74-75.

16. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956, 632 с.

17. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953, : 396 с.

18. ШабатБ.В. Введение в комплексный анализ, Часть П. М.: Наука, 1976, 400 с.

19. НоиапэЦ A. S ur- Pes r-aclnes complexes des systemeS d?^cjuatlonS> aEgebricjues, a an petit nombre des monomes : C.R.Acad. sc. Paris, iSjuLn 1981 ? t. 2,92, SeVle 1, p.937-9^0.и ant