Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-Математический факультет

На правах рукописи УДК 515 16

Граев Михаил Маркович ооз

Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах

Специальность 01 01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

1 6 [¿¡у] 7'Уп

003172233

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-Математического факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Алексей Викторович Чернавский.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Эрнест Борисович Винберг; доктор физико-математических наук, профессор Аркадий Львович Онищик

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им В А Стеклова РАН

Защита диссертации состоится ZQ> июня 2008 г. в 1640 на заседании диссертационного совета Д 501 001.84 при Московском государственном университете имени М.В Ломоносова по адресу. 119991, Российская Федерация, Москва ГСП-1, Ленинские горы, Московский государственный университет имени M В Ломоносова, Механико-Математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ имени M В Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 20 мая 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501 001.84 при МГУ доктор физ.-мат наук, профессор

Общая характеристика работы. Актуальность темы. Важный класс римановых однородных пространств M составляют изотропно неприводимые пространства, классифицированные О Мантуровым и, позднее, независимо, Дж Вольфом ^ Каждая инвариантная риманова метрика g на таком пространстве удовлетворяет уравнению Эйнштейна ncci(^) = A g

В частности, этот класс однородных пространств включает неприводимые римановы симметрические пространства с действиями полных связных групп изометрий Открытие симметрических пространств Э Картаном ^ около 1926 г и последовавшее построение теории этих пространств явились одними из главных достижений XX века

В диссертации изучается более широкий класс однородных пространств M = G/H с однократным спектром представления изотропии. Этот класс содержит, наряду с редко встречающимися, многие из наиболее значительных однородных пространств M (их рассмотрение в рамках одного класса продиктовано сходством многообразий инвариантных метрик) Важными представителями этого класса являются все компактные однородные пространства положительной эйлеровой характеристики, в том числе все (обобщенные) флаговые пространства Под флаговым пространством понимается факторпространство связной полупростой компактной группы Ли G по централизатору любого тора в G

Основными примерами флаговых пространств являются комплексное n-мерное проективное пространство СРп, грассманово многообразие Grfc_|_ 1, точками которого являются fc-мерные подпространства пространства СРп, и пространство флагов, точками которого являются последовательности двух и более вложенных друг в друга подпространств пространства CP™, первые два из них являются симметрическими, пространство флагов является изотропно

«О В Мантуров Однородные несимметрические римановы пространства с неприводимой группой вращений ДАН СССР, 141 (1961), 792-795 Римановы пространства с ортогональными и симплектическими группами движений и неприводимой группой вращений ДАН СССР, 141 (1961), 1034-1037 Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 13 (1966), 68-145

J A Wolf, The geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous spaces, Acta Math 120 (1968) 59-148 Erratum, Acta Math 152 (1984) 141-142

Продолжение классификации на случай изотропно неприводимых пространств, где связная подгруппа изотропии приводима M Y Wang and W Ziller, On isotropy irreducible Riemannian manifolds, Acta Math 199 (1991) 223-261

Cartan Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, Oeuvres complètes, 11, vol 2,587-659 Имеется сокращенный перевод с фр веб Э Картам, Геометрия групп Ли и симметрические пространства, M ИЛ, 1949, на с 112-149.

1

приводимым Несомненно, роль уже только этих трех однородных пространств в математике и математической физике огромна

По теореме Вана (1954г) флаговые пространства, и только они, составляют класс односвязных компактных однородных пространств кэлерова типа Известно, что каждое флаговое пространство М допускает одну и только одну, с точностью до пропорциональности, инвариантную метрику Кэлера-Эйнштейна для каждой пары противоположных инвариантных комплексных структур в М Описание инвариантных комплексных структур в М и соответствующих кэ-леровых конусов восходит к классическому описанию камер Вейля Теория инвариантных метрик Кэлера и Кэлера-Эйнштейна во флаговых пространствах была построена в основном вскоре после работы Вана в классических статьях Бореля, Кошуля, Хано, Мацусимы, Бореля-Хирцебруха5) в 1954-1958гг и позднее совершенствовалась

Теория некэлеровых инвариантных метрик Эйнштейна во флаговых пространствах далека от завершения

В классе изотропно приводимых пространств с однократным спектром представления изотропии задача описания инвариантных метрик Эйнштейна и даже оценки их числа решена только для метрик специального вида, например, для метрик Кэлера-Эйнш-тейна во флаговых пространствах, о которых только что говорилось Отсюда очевидна актуальность их рассмотрения в общем случае

Данная работа посвящена оценке числа решений алгебраического уравнения Эйнштейна, точнее, уравнения Эйнштейна для гомотети-ческих классов инвариантных метрик на однородном пространстве

3>НС Wang Closed manifolds with homogeneous complex structure Amer , J Math , 76 (1954), 1-32

4)a Borel, Kahlerian coset spaces of semi-simple Lie groups, Proc Nat Acad Sci usa, 40 (1954), No 12, 1147-1151

J L Koszul, Sur la forme hermitienne canonique des espaces homogènes complexes, Canad J Math , 7 (1955), No 4, 562-576

J I Hano, On Kahelnan homogeneous spaces of ummodular Lie groups, Amer J Math , 79 (1957), 885-900

Y Matsushima Sur les espaces homogûes kahleries d'un groupe de Lie réductif, Nagoya Math J , 11, 53-60 (1957), JI Hano and Y Matsushima, Some studies of Kahelnan homogenous spaces, Nagoya Math J , 11, 77-92 (1957), Y Matsushima Sur la structure du groupe d'homéomorphismes anahtiques d'une sertame variété kâhlenenne, Nagoya Math J , 11, 145-150 (1957)

5)a Borel and F Hirzebruch, Characteristic classes and homogeneous spaces I, Amer J Math 80 (1958), No 2, 458-538

®)См , в частности Y Matsushima, Remarks on Kàhler-Emstem manifolds Nagoya Math J , 46, 161-173 (1972)

М = С/Н группы Ли (? с компактной подгруппой изотропии Н и с однократным спектром представления изотропии

Цель работы. Оценка числа голоморфных инвариантных метрик Эйнштейна (рассматриваемых с точностью до пропорциональности) в комплексификациях однородных пространств М = в/Н с однократным спектром представления изотропии Нахождение конструкций комбинаторики и линейной алгебры, которые могут использоваться для практической оценки при заданном М.

Основные методы исследования. Средства римановой геометрии и теории однородных пространств Сжатия алгебр Ли, групп Ли, однородных пространств и т д Элементы комплексной алгебраической геометрии Используется теория систем рациональных алгебраических уравнений (Лорана), построенная в работах А.Г Кушниренко и Д Н Бернштейна Комплексные торические многообразия лишь упоминаются (из них рассматривается только СР3 х СР2), вместо них непосредственно привлекаются многогранники Ньютона, которыми эти многообразия задаются

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми Развит подход, основанный на сопоставлении однородному пространству М с однократным спектром представления изотропии (в частности, каждому флаговому пространству) компактного выпуклого целочисленного многогранника Р = Рм и ассоцированного с Р торического многообразия, которое является компактификацией комплексифицированного пространства инвариантных метрик на М.

Введен инвариант и{М) = то!(Р)/то1(5) (5 — стандартный симплекс) однородной структуры на М, названный целым числом Ньютона, такой, что для отличного от тора компактного пространства Эйнштейна М выполняется неравенство и{М) > О Основные результаты диссертации состоят в следующем Показано, что отклонение 5м ф О числа изолированных комплексных решений алгебраического уравнения Эйнштейна на М от числа и(М) (при р(М) > 0) приводит к появлению комлексных решений на подходящем сжатии однородного пространства М (и обратно)

Показано, что для изучения 8м можно использовать сжатия пространства М—С/Н, локально изометричные прямым произведениям сжатий слоя и базы (7-эквивариантной римановой субмерсии С/Н —► в/К, где Я С К

Разобрано большое число примеров с 8м — 0 и 5м Ф О

з

Теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер Ее результаты могут применяться для исследования пространств модулей инвариантных метрик Эйнштейна Полезно было бы попытаться перенести их на различные классы эйнштейновых метрик Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции Euler and Modern Combinatorics (St -Petersburg, June 1-7 2007) и на следующих семинарах мех-мат факультета МГУ на кафедральном семинаре кафедры высшей геометрии и топологии, на семинаре им М М. Постникова, руководимом В М Бухштабером и А В Чернавским, и на семинаре Э В Винберга и A JI Онищика 'Труппы Ли и теория инвариантов"

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в двух работах автора, полные названия которых приведены в конце реферата [1-2].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 110 страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография включает 21 наименование.

Краткое содержание работы.

Рассматривается класс связных римановых однородных пространств М = G/H (G — не обязательно связная группа Ли, Н — компактная подгруппа) с однократным спектром представления изотропии с H-+GL(g/fj).

Через d обозначается число неприводимых компонент в t Пространство инвариантных римановых метрик на М является конусом (R>o)d

Точки пространства (С \ 0)d называются комплексными инвариантными метриками в вещественном многообразии М = G/H Если существует компл екси фикация М^ = Gc /НС' однородного пространства М, то они соответствуют голоморфным метрикам в Мс Комплексные инвариантные метрики (Эйнштейна) в М — это ограничения голоморфных инвариантных метрик (соответственно метрик Эйнштейна) в Сс /Нс на вещественную часть

В §1 дается оценка числа изолированных комплексных метрик Эйнштейна в М, рассматриваемых с точностью до гомотетии, те до постоянного множителя Утверждается, что оно не превосходит целого числа v{M)< 61, названного числом Ньютона Следовательно, число гомотетических классов комплексных метрик Эйнштейна конечно, если и только если каждый из них можно изолировать от остальных (в классической топологии в (С \ 0)d_1).

4

В 2004 г К Вём, M Ван и В Циллер опубликовали доказательство компактности пространства и пространства модулей положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна объема 1 на любом компактном однородном многообразии с конечной фундаментальной группой 7) Это привело их к гипотезе о конечности множества гомо-тетических классов положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна положительной скалярной кривизны s > 0 в однородном пространстве M=G/H с однократным спектром представления изотропии Естественно сформулировать такую же гипотезу для г к комплексных метрик Эйттпттейна в M (где M компактно, a s ф 0)

Следующие утверждения из диссертационной работы показывают, что обе эти гипотезы справедливы по крайней мере в случае выполнения некоторых условий типа "общего положения" для М, и позволяют эффективно находить эти случаи

При d — 1 инвариантная риманова метрика на M единственна, с точностью до гомотетии, и является эйнштейновой (по замечанию еще Э Картана) Тогда мы полагаем по определению и(М) = 1

При d > 1 система уравнений Эйнштейна для инвариантных голоморфных метрик на Мс является системой d — 1 однородных рациональных алгебраических уравнений (Лорана) для d переменных Переходя от инвариантных метрик к их гомотетическим классам (г к ), получаем такую же систему неоднородных уравнений для d — 1 переменных Имеется теория Кушниренко - Бернштейна таких систем уравнений9). В силу этой теории выполняется следующее.

1) Число £(М) изолированных решений с учетом кратностей не превосходит объема соответствующего компактного выпуклого многогранника Ньютона X, отнесенного к объему стандартного d — 1 -мерного симплекса S;

£{М) ^ v(M) = vol(X)/vol(S).

2) В случае равенства £(М) = и(М) > 0 все решения изолированы

3) Равенство £{М) = и(М) при v{M) > 0 имеет место в том и

Böhm, M. Wang, W Zilier A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds Geom Funct Anal 14 (2004), 681-733

8)e

Cartan Sur la détermination d'un système orthogonal complet dans un espace de Riemann symmetric clos Rendic di Cire Matem di Palermo 53 (1929) 217-252

H Бернштейн Число корней системы уравнений Функциональный Анализ и его приложения, 9 (1975), выл 3 1-4

A G Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et nombres de Milnor. Invent Math , 32 (1976) No 1, 1-31

A Г Кушниренко Многогранники Ньютона и теорема Везу Функциональный Анализ и его приложения, 10 (1976), вьш 3 82-83

5

только том случае, когда "сужение системы уравнений" на каждую р-гранъ многогранника X, где 0 < р < d— 1, не имеет решений в (С \ 0)d (т.е. выполнено дискриминантное условие Д Н Бернштейна)

Здесь сужение произвольного ряда Лорана на грань многогранника X означает сумму членов ряда с показателями, принадлежащими этой грани Компактность М не предполагается

Имеем и(М) 6 Z. Целое число v(M) названо числом Ньютона Возникают вопросы об эффективной проверке и выполнимости условий v{M) > 0 (т е dimX = d - 1, где d > 1) и £ (М) = и{М) Ответ на эти вопросы приводится ниже

Предложение. В классе однородных пространств М = G/H полупростых групп JIu G выполняется неравенство и(М) > 0 и, для некоторых М, достигается равенство £{М) — v(M)

Например, на М — SUz/T2 существуют 4 попарно негомотетичные положительно определенные метрики Эйнштейна (изучавшиеся Д В Алексеевским 10), 1986), и и{М) = 4 Но, как показано в диссертации, £{М) < v(M) для факторпространств М простых компактных групп Ли по их максимальным торам, кроме М = SUi+\/Tl, I — 1,2

Достаточные условия положительности числа Ньютона. Однородные пространства класса а, В диссертации показано, что условие v{M) > 0 влечет унимодулярность группы G и что и(М) > О в случае полупростой группы Ли G Условие

X ~Э S

влечет полупростоту группы G Однородные пространства М, для которых X D S, составляют важный класс а Класс а включает, например, любые компактные однородные пространства положительной эйлеровой характеристики и, в частности, все флаговые пространства компактных полупростых групп Ли G Однако, обобщенные расслоения Хопфа М над флаговыми пространствами М' этому классу не принадлежат (под обобщенным расслоением Хопфа понимается расслоение единичных окружностей любого обильного голоморфного линейного расслоения над М')

Многогранник Ньютона Ри• Критерий равенства v(M) = £(М) и его достижимость. В §1 каждому однородному пространству М с простым спектром представления изотропии сопоставлен компактный выпуклый многогранник Р = Рм — многогранник

V Alekscevslcy Homogeneous Emstein metrics, m Differential Geometry and its Applications, communications (Proceedings of Brno Conference, 1986) Umv of J E Purkyng, Brno, 1987, 1-21.

Ньютона многочлена Лорана s(t), t = (¿i,... выражающего скальную кривизну инвариантной метрики t

Р = Nw(s)

В диссертации показано, что в случае унимодулярной группы Ли G

Х = Р

(на самом деле равенство X = Р выполняется и в неунимодулярном случае за некоторыми исключениями, которые можно легко описать, рассматривая пространство Лобачевского Ln с транзитивным действием расширения R ХМ"-1 посредством сохраняющей точку группы изометрий Н) В §1 равенство X = Р для унимодулярного случая объясняется исходя из вариационного принципа для семейства всех инвариантных метрик — теоремы Гильберта-Иенсена, доказательство которой приводится в §4 С использованием этой теоремы и дискрими-нантных условий Д Н Бернштейна доказано следующее предложение Пусть s7(i) — сужение многочлена Лорана s(t) на грань 7 С Р

Предложение. Пусть G — полупростая группа Ли Тогда неравенство S(M) ф v{M) выполняется, если и только если для некоторой р-грани 7 многогранника Ньютона Р такой, что 0 < dim(7) < d — 1, комплексная гиперповерхность в (С \ 0)d, заданная уравнением s7(i) = О, имеет хотя бы одну особую точку

С учетом этого критерия построены бесконечные серии однородных пространств М = G/H компактных простых групп Ли G с фиксированным многогранником Ньютона Рм = Р,в которых равенство

£(М) = v{M) достигается для всех или для большинства членов

Достижимость равенства £(М) = v(M) является одним из основных сделанных в диссертации наблюдений Этим наблюдением мотивировано дальнейшее изучение многогранника Ньютона Р = Nw(s) Кроме того, оно показывает достаточность верхней оценки числа £(М) объемом многогранника Р,

6{М) < и(М) = vol(PM)/vol(5) (основанной на теореме А Г Куппшренко) вместо более тонкой верхней оценки числа Е(М) смешанным объемом Минковского нескольких многогранников (основанной на теореме Д Н Бернштейна)

Теоремы главы 1. Основные результаты диссертации сформулированы в трех теоремах главы 1, доказательства которых приводятся в главах 1 и 2 В главе 3 рассматриваются частные случаи

В §2 доказана теорема о двойственности между многогранником Р = Рм и конусом, состоящим из фильтраций некоторой алгебры Ли 0 или }, удовлетворяющих простому условию допустимости

7

Считая М односвязным или имеющим односвязную комплексифи-кацию, мы можем заменить группу G группой J всех изометрий, сохраняющих сразу все (^-инвариантные римановы метрики (или, что эквивалентно, одну такую метрику, находящуюся в общем положении). Можно также заменить G некоторым "расширением" G С J (посредством тора) В диссертации группа G э G явно строится по G В неодносвязном случае соответствующие алгебры Ли Я и j можно определить как подалгебры полной алгебры Ли ростков киллинговых векторных полей в точке еЯ € G/H по отношению к фиксированной инвариантной римановой метрике в G/H

Под фильтрацией алгебры Ли g понимается возрастающая фильтрация (Fa ß)a€R

.С Fat с С Fa+10 С . , [Fa g, Fbß] С Fa+b g, которая является исчерпывающей и отделимой, и для которой функция а dim(.Fag) является полунепрерывной сверху Фильтрация F называется допустимой, если

bcFog, Ad (Я) Fag=FaS VaeM.

Через С(Р) обозначен двойственный конус многогранника Ньютона Р, являющийся выпуклым ci-мерным многогранным конусом в R d • C(P) = {feRd (a;,/)<0V® € Р}

Доказана следующая теорема (см теорему 2 1)'

1) Для пространств М класса а

С(Р) = {допустимые фильтрации алгебры JIu д}

2) Равенства из п 1) можно добится для каждого однородного пространства М унимодулярной группы JIu G с простым спектром представления изотропии, заменяя, в случае надобности, G на любую из упоминавшихся групп J или G с J

3) Если g полупроста, то j редуктивна и g = g + с, где с — центр алгебры Ли ) (явно описанный в диссертации) Пространство М принадлежит классу а, если и только если ) полупроста

В §2 приводится описание конуса С(Р) многогранника Ньютона Р = Nw(s) и носителя supp(s) для любого однородного пространства М = G/H полупростой группы Ли G с простым спектром представления изотропии, состоящим из d неприводимых слагаемых.

В частном случае однородного пространства М класса а конус С(Р) задается неравенством треугольника

/М + Яз)М(*0 v(t,j,fc) g т,

где Т с [d] х [d] х [d] — симметричное тройное отношение на множестве индексов [d] = {1, ,d}, нумерующих части спектра

(Тройное отношение Т названо инвариантом де Зибенталя однородного пространства М ) Во Введении это описание конуса С(Р) специализировано для односвязного пространства М, > О

Приведем описание конуса С{Р) в случае флагового пространства М — С/Н, те факторпространства полупростой компактной группы Ли С? по централизатору Н любого тора в С Пусть Т С Н — максимальный центральный тор группы Н Пусть = {с^х,— — — полная система ненулевых характеров

естественного представления тора Т в пространстве дс /\)с. Следуя Д В Алексеевскому и А.М Переломову11^, будем называть системой Т-корней флагового пространства М. Тогда С(Р) является конусом четных неотрицательных функций / О —* К^о, удовлетворяющих неравенству треугольника:

С{Р) = {/ : /И = П~ш) > 0, /(а) + /(/3) > /(7) при а + (3 + 7 = 0}

Из этого описания ясно, что многогранник Ньютона Р флагового пространства М зависит только от системы Т-корней Г2, которую достаточно рассматривать с точностью до автоморфизмов решетки те

Р = Р(П)

В работе дана следующая классификация систем Т-корней О, флаговых пространств классических простых компактных групп Ли с точностью до изоморфизмов решеток Ъ£1 (уточнение классификации, данной в статье Алексеевского и Переломова)

1) классические системы корней типа Ак, С к и неприведенные системы корней ВС к,

2) неполные системы корней следующих типов*

-,Ск)3-1,С^, -,Ск, Вк, ,ВСк>^ъВСк^ ,вск,

(среди которых системы корней Вк = ВСь,о и Вк = С*,о)> где Х^-г получается из из исключением пары противоположных длинных корней, 1 ^ 2 ^ к Каждой из этих систем, кроме Бк, к > 3, отвечают бесконечные серии пространств М с общим многогранником Ньютона Р = Р(Г2). Между перечисленными системами Т-корней существует несколько изоморфизмов, в том числе ~ В\ ~ С\л Ач — Сгд.

В диссертации в качестве примеров рассматриваются серии флаговых и иных однородных пространств с многогранниками Ньютона

В Алексеевский, А М Переломов Инвариантные метрики Кэлера-Эйнштейна на компактных однородных пространствах Функциональный Анализ и его приложения, 20 (1986), выл 3. 1-16

Р{А%) - правильный треугольник, Р(1?2) - трехмерная призма,

Р{А$) - прямое произведение тетраэдра и правильного треугольника, и другими многогранниками Ньютона, в том числе Р(<3г)

Во Введении перечислены простые (те двойственные к симпли-циальным) многогранники Р, служащие многогранниками Ньютона флаговых пространств M = G [H компактных простых групп Ли G (простота многогранника является сильным дополнительным условием на M) Это, прежде всего, точка, соответствующая эрмитовым симметрическим пространствам, и еще 5 многогранников Р, а именно отрезок, трапеция, а также Р(А2), Р(-Вг) — А2 XI и Р(Аз) — Д3 х Д2

Изложим теорему из §3, ограничившись случаем однородного пространства M = G/H класса а, например, флагового пространства

(а) Каждой грани 7 ф Р многогранника Ньютона Р = Ру сопоставлено новое однородное пространство М7 = G7/H с простым спектром представления изотропии такое, что Рму = 7 Оно является сжатием однородного пространства M Алгебра Ли д7 есть сжатие Иненю-Вигнера алгебры Ли g, при этом g7 D Ь

(б) С использованием свойства v{M) > 0 наличие положительного дефекта и(М) — €(М) > 0 интерпретировано как условие существования голоморфной метрики Эйнштейна д1 в комплексифи-кации хотя бы одного из пространств М7, 0^7 ^ Р

(в) С использованием свойства полупростоты G показано, что каждая инвариантная комплексная метрика Эйнштейна в М1 имеет нулевую скалярную кривизну, и установлено взаимнооднозначное соответствие этих метрик и особых точек поверхности s7(t) = 0 в (С \ 0)d Это позволяет интерпретировать неравенство £(М) < и{М) как условие существования у M риччи-плоских сжатий М7

Сжатие Иненю-Вигнера из (а) на языке алгебры является переходом от фильтрованной алгебры Ли g к ее градуированной алгебре д7. При этом используется фильтрация F g алгебры Ли g, соответствующая точке общего положения в пересечении конуса С(Р) векторным подпространством 71- с (7-1 — ортогональное дополнение множества 7, а 7х П С(Р) — грань многогранного конуса С(Р))

Утверждения пп (а)-(в), где Мб а, обобщены на однородные пространства G/H с простым спектром представления изотропии унимо-дулярных групп Ли G (при выполнении указанных свойств) В том числе на случай полупростой группы Ли G пп (а)-(в) перенесены лишь с некоторыми второстепенными отличиями (теорема 3 1)

Для некоторых G/H в определениях g7 и М1 надо G заменять на любую из групп G или J, а вместо Fq использовать фильтрации Fg или F) алгебр Ли g или ) соответственно Если грань 7 может быть задана хотя бы одной фильтрацией F такой, что Ua<o = 0 (при G/H 6 а таковы все F), то 7 можно сопоставить сжатое однородное пространство М7 = G-y/Hp В общем случае грани 7 соответствует лишь росток сжатого однородного пространства, заданный алгеброй Ли д7, подалгеброй f)p в д7 и компактной подгруппой Нр в Aut(g7). Росток, продолжаемый до однородного пространства, назван полным. Существуют примеры неполных ростков (g7, f)p, Hр) для компактного G/H Но основные определения инвариантных метрик на однородном пространстве и т д , а также теорема Гильберта-Йенсена, естественно переносятся на случай неполного ростка Условие полноты ростков (g7, Ijp, Нр) для всех граней 7 С Р выполняется, например, в случаях G/H класса а и компактного G/H со связными G и H

Соглашение. Под сжатием М1! 7 С Р однородного пространства M = G/H понимается однородное пространство G^/Hp, если оно существует, или росток (д7, ()р,Нр) в общем случае Начиная с §3 2 3 всюду, кроме §4 и 5, рассматриваются пространства G/H (класса а и другие), имеющие настоящие сжатия для всех 7 С Р.

В §3 2.3 построены примеры сжатий пространства М, приводящих к появлению положительного дефекта 6м — v(M) — £(М) > О

Далее в §3 3 рассматривается последовательность компактных групп Ли H С К С G и эквивариантное отображение

тг G/H —> G/K

такие, что база M' = G/K, тотальное пространство M = G/H и (в естественном смысле) связная компонента М" слоя К/Н содержатся в классе а Снабдим M инвариантной римановой метрикой, по отношению к которой ж будет римановой субмерсией Теория сжатий таких римановых субмерсий тт развивается отдельно в главе 2 (§6). Дается критерий того, что сжатие тотального пространства M локально изометрично прямому произведению сжатий слоя и базы Из этого критерия легко выводится следующая теорема (теорема 3 2)

Неравенство £{М) < v(M) следует а) из £(М") < v(M"); b) из £(М') < р(М') и некоторого дополнительного условия.

Дается оценка дефекта 5м при условиях типа общего положения

il

В силу а), доказательство следующего предложения сводится к исследованию трех случаев М = Sfä/T2, SU4/T3, G2/T2 (рассмотренных вместе с другими примерами в §7 2, 7 3 и 8 6)

Предложение. Пусть G — компактная простая группа Ли ранга п ^ 2, Тп — ее максимальный тор, М = G/Tn Тогда или и(М) ф £{М), или М = SUг/Т2

Частные случаи. Остановимся на простом примере Легко проверяется, что £{SUz/T2) = v(SUz/T2) = 4. В этом случае d — 3 Конус С(Р) bR3 задается неравенством треугольника

Х\ + х2 - х3 ^ О, Xi - Х2 + хз ^ О,

-Х\ + Х2 + хз ^ О

Многогранник Ньютона Р является треугольником в Ж 3 с вершинами (-1,-1,1), (-1,1,-1), (1,-1,-1) В нем содержится, очевидно, стандартный треугольник S с вершинами (—1,0,0), (0,-1,0), (0,0,-1) Поэтому всякое однородное пространство М = G/H с многогранником Ньютона Рм = Р принадлежит классу а, в частности, G полупроста В диссертации приводится необходимое и достаточное условие равенства £(М) = 4 и бесконечная серия пространств М с £(М) = 4 Проверка этого условия (признак 7 2) не требует вычислений

В §7 и §8 рассматривается десять многогранников Р, семь из которых являются простыми, т е двойственными к спмшищиэлъпьт многогранникам Для каждого из них строится серия компактных однородных пространств М с фиксированным многогранником Ньютона Рм — Р В большинстве случаев выполняется равенство и(М) = £(М) Часто оно следует без вычислений из признаков 7 1 и 7 2 Появляются также исключения с положительным дефектом 6м — v{M) — £{М) > 0 Найдены явные формулы для 6м Например, рассмотрен пятимерный простой многогранник

Р[А3) = Аз х Д2,

соответствующий системе корней О, типа A3 (примеры 1.4, 15, 3 2, 7 3) Он является многогранником Ньютона однородного пространства SU4/T3 (см. пример 1.7 и замечание 7 2). Соответствующее число

12)чи ело k ^ V положительно определенных инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах с этим треугольником Р равно 4-м, например, для флаговых пространств (М Кимура, 1990) О случаях к = 4 и к ф 4 см А М Ломшаков, Ю ГНиконоров и А В Фирсов Инвариантные эйнштейновы метрики на локально трисимметрических пространствах, Siberian Adv. Math 14 (2004), no 3, 43-62 (Translation of Mat Tr 6 (2003), no 2, 80-101)

12

6=<

Ньютона равно 80, и = и(Р(А^)) = 80 В §7 3 приводится следующая бесконечная серия однородных пространств М = в/Н с многогранником Ньютона Р(Аз)

П1 X X ип4), (пг ^ 1), 8р„/8рП1 X .. х ЭрП4, (пг ^ 1), БОп/БОп! х х 80П4, ((п!,п2) ф (1,1), (2,2),п3 ^ 3,п4 > 3), где п = щ + П2 + пз + п4 В §7 3 показано, что для этих пространств М дефект <5 = 80 — £{М) принимает пять значений 0,2,4,12,18 (в зависимости от щ, п2, пз, п4). Именно, пусть

{ = п->п*-тпл <1 -¿еь( П + П1 + Щ + е (ти + тг4 + е) пхп4 \

где е = 0,1, —2, соответственно, для О = БИп,, 8рп, 80п, и пусть Щ ^ п2 ^ пз < П4. Тогда

1) 80 = £{М), если и только если í ф 0, (1£ ф 0,

2) дефект 5 = 80 — £(М) положителен только в следующих 4-х случаях

' 18 при 711 — П2 = Пз = Щ, 12 при П1=П2 <пз = щ; 4 приЪф 0, Г = 0, .2 при = 0, Г ф 0;

3) все решения [д^1] уравнения Эйнштейна изолированы Приведем все пространства такие, что с! £ = 0, £ ф 0, п < 44 .

Эр^Ан х Эр4 х Эр4 х 8р12,

8027/805 хЭ05 хЭОхе (щ = 1),

8и39/8(и1 х и5 х и8 х и25). В соответствии с вышеизложенным, эти однородные пространства допускают риччи-плоские сжатия (описанные в примере 3 2)

В §8 рассматривается пятимерный многогранник Р = Р(П), где О — система корней ранга 2 типа <32 Существует пять флаговых пространств М с этой системой Т-корней, а значит, с многогранником Ньютона Р(О), а именно

<?2/Г2, Е6/Т2(А2)2, Е7/Т2А5, Е8/ТаЕ6, Е4/Т2А2, где Т2А5 С А2А5 С Ет. Для этих пространств М в диссертации доказано равенство

р{М) = 152,

и приведена следующая формула дефекта 5 = и{М) - £(М)

^ _ Г18, приМ-С2/Г2,

1 0, в остальных случаях 13

Пусть a M —> M — автоморфизм однородного пространства М, соответствующий отражению системы корней типа G2 В §8 проверено, что многогранник Ньютона однородного пространства M/а трехмерен, и

£(М/а) = и(М/о) = 16 Эти 16 решений описаны в добавлениях, где показано, что среди них существуют вещественные положительно определенные метрики Эйнштейна В частности, это приводит к "римановым некэлеровым" метрикам Эйнштейна в двенадцатимерном особом однородном пространстве M = G2/T2 (по-видимому, ранее неизвестным)

Рассматриваются также другие примеры

В §9 развит подход к описанию граней многогранников Ньютона однородных пространств класса а Рассмотрены также более общие многогранники Р, ассоциированные с симметричными тройными отношениями Их двойственные конусы задаются неравенствами треугольника В этих терминах определены некоторые понятия (камер, корней 1 и 2 типов и др ) Они иллюстрированы примерами Устанавливается связь с классическими камерами Вейля конечного и бесконечного объемов итд В §9 10 грани двойственного конуса С многогранника P(An_i) интерпретируются с помощью метрических графов

Благодарности. Выражаю глубокую благодарность моему учителю профессору Д В Алексеевскому Приведенная здесь на 9-й странице классификация написана в продолжение одной из его работ Мне приятно поблагодарить профессора В А. Голубеву и своего научного руководителя профессора А В Чернавского за внимание и поддержку в моей работе и за предоставление важной научной информации Я признателен коллективу кафедры высшей геометрии и топологии за дружелюбную атмосферу и полезное обсуждение результатов работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Michail M Graev On the number of invariant Einstein metrics on a compact homogeneous space, Newton polytopes and contractions of Lie algebras International Journal of Géométrie Methods m Modem Physics Vol 3, Nos 5 & 6 (2006) 1047-1075

[2] M M Граев Число инвариантных метрик Эйнштейна в однородном пространстве, многогранник Ньютона и сжатия алгебры Ли Известия АН, сер матем., т.72, номер 2, 2007, с 29-88

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 16.05,0$ Формат 60x90 1/16 Уел печ л Тираж {00 экз Заказ 49

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

0.1. Исторические замечания

0.2. Основное соглашение и содержание работы 7 0.2.1. Однородное пространство G/H с однократным спектром представления изотропии

0.2.2. Содержание работы

0.3. Некоторые многогранники Ньютона Р

0.3.1. Симметрическое пространство M простой группы G 10 0.3.2. Компактное односвязное пространство M = G/H положительной эйлеровой характеристики

0.3.3. Флаговое пространство 10 0.3.4. Классификация систем Г-корней флаговых пространств (уточнение классификации из [1])

0.3.5. Простой многогранник 11 0.3.6. Классификация систем Т-корней Cl с простым многогранником Ньютона

P = P(iî).

0.3.7. Седьмой простой многогранник Р(Г2)

0.3.8. Шестиугольник 12 0.3.9. Нефлаговое р-симметрическое пространство внутреннего типа и его система S-корней

0.3.10. Грани конуса С(Р) и классы эквивалентных метрических графов

0.4. Благодарности

Глава 1.

Уравнение Эйнштейна для инвариантных метрик на однородном пространстве G/H и его сжатиях. Многогранник Ньютона

§ 1. Оценка числа инвариантных комплексных метрик Эйнштейна в G/H

1.1. Инвариантные римановы метрики в G/H

1.2. Инвариантные комплексные метрики в G/H 16 1.2.1. Дополнение

1.3. Число £{М)

1.4. Многогранник Ньютона и число Ньютона

1.5. Оценка £(М) ^ и{М)

1.6. Формула Гильберта - Йенсена и ее следствия

1.6.1. Аналог теоремы Гильберта ([8])

1.6.2. Многогранник Ньютона Р = Рм- Уравнение Эйнштейна как уравнение критических точек функции

§ 2. Описания многогранника Ньютона с помощью фильтраций алгебр Ли и с помощью тройного отношения

2.1. Фильтрации алгебры Ли и многогранник Ньютона

2.2. Порождение неустойчивых подпространств касательного пространства ростками киллинговых полей

2.3. Теорема двойственности для многогранника Ньютона Р

2.4. Многогранник Ньютона в случае полупростой группы G

2.5. Редукция к случаю компактной группы С (дополнение к

§2.4)

§ 3. Решения (1.2) как инвариантные метрики Эйнштейна в сжатиях однородного пространства

3.1. Сжатия алгебры Ли, группы Ли и однородного пространства

3.1.1. Сжатия алгебры Ли 0 посредством группы (Ж>о)с(

3.1.2. Сжатые однородные пространства М7 = С7/Нр и локальные сжатия

3.2. Интерпретация уравнений (1.2) с помощью сжатий Иненю-Вигнера

3.2.1. Общий случай

3.2.2. Случай однородного пространства полупростой группы Ли (

3.2.3. Случай однородного пространства С/Н класса а

3.3. Применение сжатий

3.3.1. Соответствие регулярных расщеплений прямым произведениям римановых пространств М" х М'р

3.3.2. Грань 7 = а И /

3.3.3. Теорема об эквивариантном отображении 7г

3.3.4. Число риччи-плоских сжатий

3.3.5. Замечания

Глава 2.

Доказательства основных теорем

§ 4. Доказательство формулы Гильберта - Йенсена

§ 5. Доказательство теоремы двойственности

5.1. Доказательство предложения 2.1. Описание конуса допустимых фильтраций алгебры Ли

5.2. Описание многочлена з(£)

5.3. Формула для коэффициентов з(£)

5.4. Исключительные подпространства

5.5. Сумма всех неустойчивых подпространств как разрешимая алгебра Ли

5.5.1. Разрешимая подалгебра О С

5.5.2. Вложение а : о/п —> 5о(ш)

5.5.3. Алгебраическое замыкание а(в) в алгебре 5о(т)

5.6. Доказательство теоремы 2.

§ 6. Сжатие эквивариантной римановой субмерсии. Доказательство теоремы 3.

6.1. Сжатия подалгебры, подгруппы и эквивариантной римановой субмерсии

6.1.1. Сжатие подалгебры I с я

6.1.2. Сжатие подгруппы К с (

6.1.3. Римановы метрики в

6.1.4. Сжатие римановой субмерсии

6.1.5. Разложение в риманово прямое произведение

6.2. Совместные сжатия тотального пространства и базы римановой субмерсии

6.2.1. Связь между двойственными конусами многогранников Ньютона Рм и

6.2.2. Совместные сжатия пространств М и тгМ

6.3. Доказательство теоремы 3.2 (окончание)

Глава 3.

Примеры и частные случаи

§ 7. Серии однородных пространств компактных простых групп Ли с простыми многогранниками Ньютона (добавление к

§ 1)

7.1. Примеры. Равенство и(М) = £(М) в сериях однородных пространств с фиксированным многогранником Ньютона

7.2. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона IB = I х Д

7.3. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона П = Д3 х

7.3.1. Серия однородных пространств

7.3.2. Формула для разности числа Ньютона и(М) и числа £{М) изолированных решений уравнения Эйнштейна

7.3.3. Проверка п.1) предложения 7.1 (случай 8м = 0)

7.3.4. Условия совместности систем (1.2), связанных с гранями □ и Д3 х I

7.3.5. Проверка п.1) предложения 7.1 (окончание)

7.3.6. Проверка пп.2) и 3) предложения 7.1 (точная формула для 5м)

7.3.7. Вычисление дефекта 5м = и(М) - £{М)

7.3.8. Частный случай М = SU4/T

§ 8. Флаговые пространства с системой Т-корней типа G

8.1. Инварианты де Зибенталя пространств М/<т

8.2. Трехмерные многогранники Р\2 и Р

§

8.3. Однородные пространства с трехмерными многогранниками Р\2 и P\q

8.4. Число Ньютона u(G2/T2)

8.5. Фасеты многогранника Ньютона Р = P(G2)

8.6. Неравенство для £{G2/T2) 79 Дополнение 1. О пяти особых флаговых пространствах М 80 Дополнение 2. Вычисление комплексных метрик Эйнштейна в М/а 81 Дополнение 3. Положительно определенные эйнштейновы метрики на М/а

§ 9. Грани многогранника Ньютона. Тройные отношения. Метрические графы

9.1. Конусы и многогранники, ассоциированные с тройными отношениями

0.1. Исторические замечания. Начиная с открытия симметрических пространств Э.Картаном, изучение инвариантных метрик Эйнштейна играло заметную роль в геометрии и предваряло многие результаты для неоднородного случая (достаточно упомянуть открытие Дж.Вольфом, по существу, твисторного соответствия для однородного случая). При некоторых важных специальных предположениях теория построена. В частности, хорошо изучены компактные однородные многообразия Кэлера-Эйнштейна. Другой важный класс однородных пространств Эйнштейна составляют компактные односвязные изотропно неприводимые однородные пространства, классифицированные О.Мантуровым и позднее, независимо, Дж.Вольфом.

Известно, что кватернионно-кэлеровы пространства являются пространствами Эйнштейна. Все такие пространства, допускающие транзитивную редуктивную группу движений, являются неприводимыми односвязными симметрическими пространствами (т.н. пространствами Вольфа). Классифицированы несимметрические кватернионно-кэлеровы солвмногообразия (пространства Алексеевского). Они не имеют факторов конечного объема (Д.В.Алексеевский и В.Кортес, 1999).

Приведем отдельные результаты о множестве всех положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна на однородном пространстве С/Н, тесно связанные с темой данной работы. Гебер [16], работавший с левоинвариантными римановых метриками на односвязных разрешимых группах Ли (?, установил, что в пространстве модулей односвязных ТУ-мерных солвмногообразий Эйнштейна (СЛВМНЭ) модули стандартных СЛВМНЭ образуют открытое подмножество, состоящее из конечного числа компактных компонент, а каждая разрешимая группа С допускает не более одной левоинвариантной стандартной метрики Эйнштейна с точностью до изометрии и умножения на число В конце доказательства теоремы 6.9 он естественно перешел от пространства левоинвариантных метрик на группе (? к пространству операций Ли на алгебре Ли 9, воспользовавшись тем, что для любого х £ ОЬ(д) р ■ (0, ж"1 • [,]> Я) -»■ (д, И, я ■ <Э), У е в ■-»• хУ где ж1[,] = ж-1 [ж-, ж-] ж х ■ = х~иО) есть линейная изометрия и изоморфизм алгебр Ли, вследствие чего выполняются равенства типа з(д, х'1 ■ [,]., О) = з(0,.[,], х-О), где з — скалярная кривизна инвариантной метрики. Затем, в §6.4, перейдя к наиболее важному случаю группы <3 с факторгруппой С?) = М, он доказал, что существование метрики Эйнштейна в 6? эквивалентно существованию минимума евклидовой нормы на орбите О точки [•, •] е Нот(0 А 0, д) относительно некоторой алгебраической подгруппы группы Он заключил, что это условие эквивалентно замкнутости орбиты О. Таким образом, ему удалось соединить описание пространств модулей положительно определенных инвариантных метрик

1)в 2007 г. X. Лоре (1. Ьаиге1з, [17]) обнародовал доказательство стандартности всех солвмногообразий Эйнштейна. Если это действительно так, то результат Иенса Гебера является полным.

Эйнштейна с алгебраической теорией инвариантов (вещественной версией теоремы Кемпфа-Несс). Мы опустим его элегантный окончательный результат. Й.Гебер также прямо упоминает (во введении и в замечании 6.18 (с)) о сжатиях алгебры Ли 0 группы (3, соответствующих точкам р Е О \ О, и делает вывод, что точке р единственной замкнутой орбиты в О соответствует эйнштейнова алгебра Ли (возможно, абелева). Отметим, что сжатия алгебры Ли существенно используются в настоящей диссертации. Приведем одно необходимое условие замкнутости орбиты О, а значит (по теореме Гебера), существования положительно определенной инвариантной метрики Эйнштейна на С. Это условие можно получить с помощью многогранника Р, аналогичного многограннику Ньютона, рассмотренному в настоящей диссертации. Именно, требуется, чтобы некоторая точка ^ зависящая от С, находилась строго внутри Р в аффинной плоскости ай"(Р), натянутой на многогранник Р. Вершины многогранника Р содержатся в статье Йенса Гебера 2) в доказательстве теоремы 4.14 (хотя он и не переходит к их выпуклой оболочке), а j можно определить из разложения единицы в на две ортогональные составляющие: 1с1 = а^+сЪ а, с > 0), где Ь определяет эйнштейнову градуировку на д и, по теореме 4.14, пропорционален ортогональной проекции на некоторое подпространство. (Сам Гебер рассматривал составляющую Ь, которая у него обозначена через а,ё.(Ндо).) Точка j тесно связана с точкой т из §1 настоящей диссертации. ]

В 2004 г. К.Бём, М.Ван и В.Циллер опубликовали доказательство компактности пространства модулей положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна объема 1 в любом компактном однородном многообразии М = С/Н с конечной фундаментальной группой (см. [19]). Вместе с тем, они доказали, что подмножество (конечномерного риманова симметрического некомпактного) многообразия М^р всех инвариантных римановых метрик объема 1 на М, состоящее из решений алгебраического уравнения Эйнштейна, ограничено, а значит, не имеет алгебраических компонент, уходящих на бесконечность. Таким образом, оно состоит из конечного числа компонент, каждая из которых является компактной. Это привело их к гипотезе о конечности множества гомотетических классов положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна положительной скалярной кривизны на однородном пространстве М — С/Н с однократным спектром представления изотропии. Естественно сформулировать такую же гипотезу для комплексных решений алгебраического уравнения Эйнштейна.

Из результатов данной диссертации следует, что обе эти гипотезы справедливы, по крайней мере, при некоторых условиях типа общего положения для М, которые могут быть эффективно проверены. Эти условия тесно связаны с выбором то-рического многообразия, являющегося наиболее естественной компактификацией комплексифицированного пространства инвариантных метрик в однородном пространстве М = С/Н с простым спектром представления изотропии, что позволяет затем рассматривать предельные "комплексные решения уравнения Эйнштейна на

2^Уточнение и дальнейшее развитие имеются в препринте Ю.Николаевского [18] за июль 2007, теорема 1, с.2, замечание 2, с.6. бесконечности". В диссертации это формулируется в терминах сжатий Иненю-Вигнера алгебры Ли группы G и соответствующих сжатий однородного пространства G/H. Предельные решения являются риччи-плоскими комплексными решениями уравнения Эйнштейна на сжатом пространстве (рассматриваемыми с точностью до действия связной коммутативной группы преобразований этого пространства). Отметим, что некоторые из этих риччи-плоских сжатий пространства G/H, по существу, используют К.Вём, М.Ван и В.Циллер (в доказательстве теоремы 2.1); при этом их подход совершенно иной и термин "сжатие" (по крайней мере в этой их работе) не используется; более общие сжатия пространства G/H (по крайней мере в этой и связанной с ней более старой работе) они не используют, но более общие риччи-плоские сжатия и не могут появиться, пока работа ведется только с положительно определенными метриками.

Аппарат сжатий (и связанных с ними фильтраций алгебр Ли), использованный в данной диссертации, проясняет также, как мне кажется, "грубую картину" из §3 работы Бема, Вана и Циллера, в их предположениях (но сам по себе вряд ли добавляет к ней что-либо существенно новое). Эта картина описывает амебообразную область в многообразии М^ инвариантных метрик объема 1, за пределами которой метрики имеют отрицательную скалярную кривизну, в силу чего (поскольку G/H компактно) заведомо не являются эйнштейновыми. Мы будем называть эту область не амебой, а осьминогом из за отдаленного сходства этих животных и во избежание смешения с терминологией, принятой в торической геометрии. Тело этого осьминога представляет шар достаточно большого радиуса (в пространстве метрик), а щупальца (если они существуют) — некоторые конусы, заполненные геодезическими (в пространстве метрик), выпущенными из центра шара. Стремление к —оо скалярной кривизны инвариантной метрики на каждой геодезической, идущей из центра шара вне щупалец, и к +оо на некоторой геодезической внутри щупальца можно просто объяснить исходя из стремления скалярной кривизны соответственно к отрицательной и положительной конечным величинам при сжимании M = G/H в подходящее некомпактное однородное прост-ранстЬо (зависящее от выбора геодезической).

0.2. Основное соглашение и содержание работы.

0.2.1. Однородное пространство G/H с однократным спектром представления изотропии. Пусть (M,g), M=G/H, — связное риманово однородное пространство группы Ли G с компактной группой изотропии Н. Касательное пространство к M в точке xq — еН расщепляется на попарно ортогональные неприводимые iï-инвариантные подпространства: тхом = Q/b = n.(B.eu

Если это расщепление единственно, с точностью до порядка слагаемых, то M называется однородным пространством с однократным спектром цредставления изотропии. Далее через G/H обозначается только такое пространство М, например, компактное пространство M положительной эйлеровой характеристики, %(М) > 0. Всюду, кроме §0.3, предполагается, что dim(M) ^ 3, d ^ 2.

0.2.2. Содержание работы. Сформулируем утверждения для случая компактной полупростой группы G, хотя большинство утверждений в диссертации доказано при более слабом условии унимодулярности G.

В §1 однородному пространству M = G/H однозначно сопоставляется компактный выпуклый d— 1-мерный многогранник, называемый многогранником Ньютона (§ 1.3 и § 1.6.2). Отношение его объема к объему стандартного d—1-мерного симплекса называется целым числом Ньютона и обозначается через и(М).

Приведем примеры однородных пространств M с треугольником Ньютона А = {x G М3 : х\ + %2 + = — 1) ®1)Ж2,жз ^ —1} и числом Ньютона и(М) = 4.

ПРИМЕР 0.1. Многогранником Ньютона всех перечисленных ниже однородных пространств M является треугольник А. Его можно разбить на 4 элементарных треугольника с вершинами в целых точках, как показано на рисунке; поэтому v(M) — 4.

1) Пространство S03/(Z2)2 = SU2/Н, где H = {±1, ±г, ±j, ±к} — группа кватернионных единиц.

2) Пространства SU„/S(Um xUn2 xUra3), (щ ^ 1), Spn/Spni xSpn2 xSpn3, {щ ^ 1), SOn/SO ni x SOn2 x SOna, ((п1,П2) ф (1,1), (2,2);пз ^ 3), где n — n\ +Щ +

3) Флаговые пространства S02z/U/i x Ui и Eq/T2 ■ Spin8

4) Односвязные пространства Е^/Т1 А\А\А^ и Ej/Т1 A\A^i не допускающие инвариантной кэлеровой структуры.

Через £(М) обозначается число изолированных голоморфных инвариантных метрик Эйнштейна на соответствующем комплексном однородном пространстве Мс = Gc /Нс (рассматриваемых с точностью до гомотетии), называемых также комплексными метриками Эйнштейна в М. Из теорем А.Г.Кушниренко - Д.Н.Бернштейна о многогранниках Ньютона следует оценка £(М) ^ и(М) и эффективный критерий равенства £{М) — и(М); см. предложения 1.2 и 1.4.

Для всех пространств из пп.2,3,4 предыдущего примера выполняется £(М) = и(М) = 4 (§7.1). Для большинства факторов M простых компактных групп Ли G по их максимальным торам справедливо £(М) < и(М) (предложение 1.3). В примерах §1, §3, §7и§8 для некоторых из простых многогранников Р (§0.3.5, §0.3.6, §0.3.9) разобраны бесконечные серии однородных пространств с общим многогранником Ньютона Р, где для большинства объектов типично равенство £{М) = и(М), и появляются исключения с £{М) < и(М).

Приведем грубую оценку числа и(М), вытекающую из его определения в §1. Обозначим через П(x,d) выпуклый многогранник в с вершинами, получаемыми из точки с координатами \ (x—1, 0,., 0, — x— 1) любыми перестановками координат, и через u(x,d) — отношение (d — 1-мерного) объема П(ж,d) к объему стандартного симплекса П(1, d). Многогранник Ньютона однородного пространства M = G/H объемлется многогранником П(3,с£). Отсюда следует неравенство и(М) ^ v(3,d)-=-Pd-ï(3) < (3 + 2V2)d~1 < 6d-\ где Рп(х) — п-й многочлен Лежандра. Воспользовавшись производящей функцией для полиномов Лежандра, мы можем записать

ОО ОО 1 1/(3, d) W= £ rv^1 = 2 = ti Й Vl-6W + W*

1 + 3 w + 13 w2 + 63 w3 + 321 wA + 1683 w5 + 8989 w6 + 48639 w7 + О (w8) .

Основные результаты § 2 и § 3 состоят в следующем.

Предположим для простоты, что х(М) > 0, и пусть Р = Рм — многогранник Ньютона, ассоциированный с М. В §2 каждой точке двойственного конуса С(Р) многогранника Ньютона Р ставится в соответствие фильтрация алгебры Ли д. Соответствующая градуированная алгебра Ли может рассматриваться как сжатие Иненю-Вигнера алгебры д. Пользуясь этим, можно сопоставить каждой р-грани 7 многогранника Р некомпактное пространство М7 (сжатие пространства M — G/H). Оно является или настоящим однородным пространством М7 = G^/H, или его локальным аналогом, т.е. (д7, ^-пространством. Алгебра Ли д7 есть градуированная алгебра Ли, соответствующая общей точке двойственной к 7 грани 7* двойственного к Р конуса С(Р) (§3).

Вообще (при х(М) ^ 0), всякая точка дуального конуса С(Р) определяет фильтрацию некоторой алгебры Ли gp D g (теорема 2.1). Грани 7 сопоставляется сжатое однородное пространство М7 = G1/Hp (или его локальный аналог) с ассоциированным многогранником Ньютона 7,7 = Рмп ■

Существование риччи-плоской инвариантной комплексной метрики на сжатом некомпактном пространстве М7, для некоторой 0 ^ 7 ^ Р. приводит к появлению дефекта 5м = v{M) — £(М) > 0, и обратно (теорема 3.1).

ПРИМЕР 0.2. В случае пространства M — SU2[H из п.1) примера 0.1 мы имеем дд = SU-2- Пусть G& := SU2, Дд := Н. Сжатия группы Сд являются 3-мерными группами Ли. Чтобы описать их алгебры Ли, обозначим стороны треугольника А через а, /3, 7, и кватернионные единицы — через Ja — h Jp = 3-, = к. Алгебры Ли групп G a, Ga, Gar\j3 и G& имеют следующий вид:

1) 0д — полупростая алгебра Ли, [Ja, Jp] = 2J7, [J7, Ja] = 2Jp. [J^, J7] = 2Ja;

2) gQ — разрешимая алгебра Ли, [Ja, Jp\ = 2J7, [J7, Ja] = 2Jp, [Jp-, J7] = 0;

3) Banp — нильпотентная алгебра Ли, [Ja, Jp] = 2J7, [J7, Ja] = [Jp, J7] = 0; '

4) Q0 — коммутативная алгебра Ли, [Ja, Jp] = [J7, Ja] = [Jp, J7] = 0.

Выражения для Qp, g7 и т.д. получаются из предыдущих циклическими перестановками. Введем группы Ga ~ Gp ~ G7 ~ Ж2х02, где О2 = ТХН С SU2, Г1 = {e0Ja}, {eejP} или {eGJ^}, соответственно, a Ô2/(±l) = 02 = 0(К2). Сжатое однородное пространство, сопоставляемое любой стороне треугольника А, имеет вид R2XÔ2/-H"~M2X! SO2/7L<i. Оно допускает К2 хгОг-инвариантную евклидову метрику. Каждая сторона треугольника А дает положительный вклад в дефект 4 — 6(М) и, таким образом, £{М) = 1.

Сжатия применяются для доказательства следующей теоремы. Пусть задано G-эквивариантное отображение 7Г : M=G/H —*G/K со слоем F=K/H, H С К. Тогда при некоторых естественных условиях наличие дефекта 'u(F) — £{F) > 0 влечет v{M) > £(М); при и(ттМ) — £(пМ) > 0 имеется похожий результат (теорема 3.2).

Доказательства основных утверждений из § § 2 и 3 изложены отдельно в § § 5 и 6.

В §7 и §8 рассматриваются частные случаи. В §9 намечен подход к описанию граней многогранников Ньютона Р однородных пространств определенного в §2.4 класса а и более общих многогранников Р, заданных симметричными тройными отношениями. В §9.10 грани многогранника Ньютона однородного пространства SUn/Tn1 интерпретированы с помощью метрических графов (см. также п. 0.3.10).

0.3. Некоторые многогранники Ньютона Р. Ниже дается описание многогранников Р для некоторых классов компактных однородных пространств M=G/H.

0.3.1. Симметрическое пространство М простой группы G. Многогранник Р сводится к одной точке, d — 1, и мы положим по определению v(M) : = 1 (в других разделах, кроме введения, случай d = 1 не будет рассматриваться).

0.3.2. Компактное односвязное пространство М = G/H положительной эйлеровой характеристики. Пусть М = G/H ~ фактор компактной полупростой группы Ли G по подгруппе максимального ранга Н. Предположим, что многообразие М односвязно. Пусть A.q и А я С Ag ~~ системы корней групп G и Н относительно их общего максимального тора, Ам = Aq \ Д# - множество М-корней, т.е. корней из А о, не являющихся корнями Н. Обозначим через = ¿(Дм) образ Дм в (абелевой) факторгруппе Qm — Z Дс/Z Ая при естественной проекции г. Тогда d = Card(fi/(±1)),

С = С(Р) = {/ : Q М, /И = f(-u) > 0, f(a) + /(/3) > Д7) при а + (3 + у = 0} , т.е. С — конус всех четных неотрицательных функций на fl = {a>i, —cui,., uJd-, удовлетворяющих неравенству треугольника. Многогранник Ньютона имеет вид

Р = Р(П) = {х б R'd : (х, 1) = -1, (х, /) ^ 0, V/ € С}, (0.1) где (х, 1) := xi + . + xd и (х, /) := х\ f(ui) + . + xd f(ud).

0.3.3. Флаговое пространство. Флаговые пространства образуют важный класс пространств с однократным спектром представления изотропии.

Пусть М — G/H — флаговое пространство, т.е. факторпространство компактной полупростой группы Ли G по централизатору Н любого тора в G. Это эквивалентно тому, что группа Qq/h — (см. § 0.3:2) свободна от кручения.

Следуя [1], будем называть О, системой Т-корней флагового пространства М. Это — система характеров представления максимального центрального тора Тк группы Н в векторном пространстве QC/f)C. (Например, треугольник А из §0.1 равен А = Р(Г2), где £1 — классическая система корней ранга 2 типа А2.)

0.3.4. Классификация систем Т-корней флаговых пространств (уточнение классификации из [1]). Приведем классификацию с точностью до автоморфизмов группы Zk — Zfi систем Т-корней О всех флаговых пространств классических простых компактных групп Ли G.

1) классические системы корней типа А^С^ и неприведенные системы корней ВС^,

2) неполные системы корней следующих типов:

-Dfc; • • • ,Ck,j~i,Ck,j, ■ ■ ■ ,Ck, Bk, ■ ■ ■ ,BCk,j-i,BCk,j, ■ ■ ■ ,BCk, среди которых системы корней В^ — BCk,о И -Dfc = Cfc,0), где Xk,j-i получается из из Xkj исключением пары противоположных длинных корней; 1 < j ^ к. Каждой из этих систем, кроме Dk, к > 3, отвечают бесконечные серии пространств М с общим многогранником Ньютона Р = P(ii), приведенных в таблице 1 (для доказательства

Таблица 1. Системы Г-корней О флаговых пространств классических простых компактных групп Ли С тип G тип Í2 d пространство неравенства

Ai Ak k(k + l)/2 SUm/UA+1 nSU i+1 i=k +1^2, n=/ +1

Ci 2) ck BCk k2 k2+k £>Pz/UA+1 Sp¡/UA+1 x SpTO 1, n—l t=k~£l, n=l — m^l-l,

Di (/>4) Ck,i2 BCk¿2 k2 -k + t2 k2 + £2 so2l/uA+1 S02Z/Ua+1 x SO2™ n=l £=k^l, n=l-m^.l-2,

Bi (l > 3) BCK¿2 k2 + e 2 S02Hi/Ua+1 x S02m+i l—k^l, n—l—m^l,

Примечание. Здесь к — ранг системы Т-корней, d — число неприводимых компонент представления изотропии, Ai + 1 ^ • • ■ ^ + 1 — любое разбиение длины £ веса п, UA+! = UAl+i х ■ • • xUA(+1. i-2 = \г : \г > 0| — высота 2-го столбца диаграммы Юнга, соответствующей разбиению А + 1. этого см., например, [1]). Между перечисленными системами Т-корней существует несколько изоморфизмов, в том числе А\ ~ В\ с± Ci, А2 Сгд.

0.3.5. Простой многогранник. Напомним, что любой компактный выпуклый многогранник Р в Ж k называется простым многогранником, если нормальные конусы к Р во всех точках на границе Р являются симплициальными конусами. Это эквивалентно условию, что в каждой его вершине сходится в точности dim(P) ребер.

Очевидно, P(Í2) является простым многогранником, если и только если все собственные грани конуса С являются симплициальными конусами.

0.3.6. Классификация систем Т-корней Í2 с простым многогранником Ньютона Р = P(ßl). Ниже приводится классификация систем Т-корней Q всех флаговых G-пространств, где G — любая простая компактная группа Ли, для которых Р(Г2) является простым многогранником.

ТЕОРЕМА 0.1. Многогранник Р = -Р(О) является простым только для следующих систем Т-корней Í2 (для каждой из этих систем Í2 указаны соответствующий многогранник Р = P(ß) и его число Ньютона и = v(P(£íj)):

1) Ai ; тогда Р — точка и и: = 1;

2) ВС\; тогда Р — отрезок и v = 2;

3) А2 ; тогда Р — треугольник и и = 4;

4) В2 = С2; тогда Р — S-мерная призма с треугольным основанием и v = 12;

5) A3; тогда Р = Д3ХД2 — прямое произведение тетраэдра на треугольник и и = 80;

6) система точек на прямой Í2 = {±1, ±2, ±3} С Z1; тогда Р — трапеция и и = 6. Если рассматривать флаговые пространства произвольных полупростых компактных групп Ли, то к этому списку добавляются только системы Т-корней типов поАх е mBCi © п2А2 (и = 2п1+2п2).

Случаи 3),4),5) этой классификации обсуждаются в § § 1.4, 3.2.3, 3.3.4, 3.3.5 и 7.1-7.3.

Приведем многогранники Ньютона других (не флаговых) однородных пространств. .

0.3.7. Седьмой простой многогранник Р{£1). "Пространства Гессе" Е%/{А2)а и ЭИз//, где J — конечная группа Жордана (расширение 232 посредством Zз), связаны с конфигурацией Гессе в СР2, образованной точками третьего порядка на кубике и двенадцатью прямыми, и группой Гессе ЯХгОВз) X Р32. Их многогранники Ньютона Р совпадают. Для пространства М = ^/(У^)4 выполняются условия §0.3.2, отсюда следует, что Р = ¡Г2 = ¿(Дм) = И?з2 \ 0, где Ез — поле из 3 элементов. В этом случае Р = Р(&) является 3-мерным простым многогранником (усеченный тетраэдр, архимедово тело, и = 23), £{Е%/(^Ь)4) = 23 (см. §7.1), £(Зи3//) = 19 (см. §3.3).

0.3.8. Шестиугольник. Следующий шестиугольник Р = Р(П) определяется формулой (0.1), где Г2 = Ъ7\0 (<1 = 3). Из предложений 1.2 и 1.4 без вычислений следует (§7.1), что £(М) = р{М) = 10 для каждого однородного пространства М=С/Н полупростой группы С с многоугольником Ньютона Р. Укажем такие пространства М :

Зи7п/Б((ип)7)Ф7(п > 1), $р7гг/(Брп)7 Ф7 (п ^ 1), 807п/(80п) 7ф7(п > 3), $07/(ъ 2)6ф7, где V7 — группа диэдра, а (йг)6 = 807 П {diag(±l,., ±1)}.

Как показывает вычисление, все 10 попарно негомотетичных метрик Эйнштейна в М = 8р7/(8р1) 7-Т>7 вещественны, и 7 из них положительно определены.

Аналогично строятся пространства М с многогранником Ньютона Р = Р{£1) для П = Хр \ 0, где р — натуральное число.

Исходя из серии флаговых пространств с системой Т-корней построим серию нефлаговых однородных пространств с фиксированным многогранником Ньютона.

0.3.9. Нефлаговое р-симметрическое пространство внутреннего типа и его система Б-корней. Рассмотрим односвязное факторпространство М = (7/Н компактной полупростои группы Ли и без центр^по~*Тцентрализат6р^. элемента конечного порядка р = 2,3,4,., т.е. р-симметрическое пространство внутреннего типа. Предположим, что М не является флаговым пространством. Можно показать, что такие (и только такие) пространства М получаются из флаговых пространств М = (?/Н следующей конструкцией. Пусть П — система Т-корней пространства М и ц е £1 — вершина выпуклой оболочки системы ГI. Определим односвязное однородное пространство М = С/Н, где Н с Н, естественным образом, формулой фд^ = Ъ и>о, и предположим, что — группа с кручением. При этих условиях назовем О, := г(Д^) системой ^-корней пространства М. Системы ¿/-корней О однородных пространств классических простых групп сводятся к системам ВСк+1,]+1 (шо — двукратный корень системы ВСк+гл+г)- Им отвечают серии однородных пространств М с многогранниками Ньютона Р = Р(£1) (таблица 2).

Отметим, что Р(5Сг) является простым трехмерным многогранником (призма с треугольным основанием, и — 12, в этом случае £(М) = 12, см. §8.3).

Наметим одно комбинаторное определение граней у многогранника Ньютона Р — Р(£2), где Г2 — система Т-корней из п. 0.3.4. Мы ограничимся случаями, когда 7 не

ТАБЛИЦА 2. Системы Я-корней О нефлаговых р-симметрических пространств внутреннего типа классических простых компактных групп Ли С (обозначения см. в таблице 1) тип тип Г2 <2 пространство неравенства

Сх (1 > 2) ВСк+1 (к + I)2 х их+1 х врт п~1 — т—т', т'^т^ 1

А (1 > 4) ВСк+1>е2+1 (к + 1)2-к + е2 3021/302т/ х их+1 х 502т £=к^ 0, п=1-~т—т', ш'^т^ 2

В, (1 > 3) ВСк+1,е2+г (к + I)2 — к + £2 3021+1/3<Э2т, х их+1 х 502т+1 £=к^0, п=1—т~т пересекает стандартный симплекс Б С Р, т.е. опишем грани двойственного конуса С = С(Р(Г2)), не лежащие в координатных гиперплоскостях пространства Мс1.

0.3.10. Грани конуса С(Р) и классы эквивалентных метрических графов. Имеется связь между гранями многогранника Р(П) и классами эквивалентных метрических графов. Мы будем подразумевать под метрическим графом простой неориентированный граф Е, снабженный метрикой р (заданной положительными длинами всех ребер) такой, что каждое ребро е £ Е является единственным кратчайшим путем в (Е, р) между своими концами. Два метрических графа (Е, р) и (Е',р') с равными подстилающими графами, £ = Е', и одним и тем же множеством кратчайших путей называются эквивалентными. Положим Тп = {связные метрические графы (Е,р) с вершинами 1 ,.,п}, = {(£, р) Е Тп : (£, р) сохраняется при отображении г ь-► n+l—i и граф Е свободен от ребер е = {¿, п+1—г}, 1 ^ г ^ [§]~~ з}- Существует естественная биекция между Тп и конусом всех метрик на множестве {1,., п}. Пользуясь этим, нетрудно доказать следующее.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть С = {/ е : (/, х) < 0 для всех х е Р} - двойственный конус многогранника Р = Р(П), и пусть Сх = С П (К Тогда С С (К >0)^;

Сх = Гк+ъГ2к,з, Т2к+1Л при Гг = Ак, Ск,з , ВСк,э соответственно (0 ^'^к)^ и грани с конуса С, сИт.(с)^с£; пересекающие Сх, совпадают с замыканиями классов эквивалентных метрических графов (£,р) £ Сх.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.1. Возможно, интерпретация граней с помощью метрических графов представляет интерес в связи с недавними успехами в тропической геометрии (работы Г.Е.Михалкина и других авторов).

Использованные выше связные графы Е естественно отождествляются с любыми подмножествами в П/(±1), порождающими Ъ к = 2Г2.

ПРИМЕР 0.3. В таблице 3 мы сопоставляем бесконечные серии .А^к

2) связных аффинных схем Дынкина, за исключением некоторым расширенным базисам П в системах Ак, , ВСк0 < 3 ^ к < оо, и интерпретируем базисы П как графы.

Введение

14

Таблица 3. Некоторые расширенные П-системы в системах Т-корней Г2

Мы сопоставляем каждой системе с ъ1 из 0.3.4 расширенный базис ее простых корней П = {а>1,. ,0^+1} с Г2, и приводим примеры с I — 5. О графе Е см. 0.3.10. тип Q п аффинная схема Дынкина для П простой граф £

Ai £;+1 — £1 £1 - £2 £1 — £г+1 (У>< = 0) А«'" 1 ° 1 О-О-О-О—о / + 1-ЦИКЛ

Di 1 ^ 4 -£l - £2 £l - £2 £г-1'— £1 £1-1 +£l О о Ы» \ </ г/ Ч о о X X • • • • • 21 вершин, 2/+2 ребер.

Ci,i —£l - £2 £l - £2 £1-1 — £l 2£l О Ая-1 ^о—о—о<г=о о X 1 • — • • 21 вершин, 21-\-1 ребер.

2 ^ 3 ^ 1 -2ei £1 - £2 £1-1'— £l 2e« сг(1) 0=^0—О-0—0^=0 • —•—•—•— • 1 1 2 ¿-цикл

Bi £1 - £2 £1 - £2 £1-1- £1 £l о о/ X > 2/+1 вершин, 2/+2 ребер.

BCij £1 - £2 £1-1 - £l £/ А™ о^о-о-о-о^о 1 > •—•—•—•—• 2/+1-ЦИКЛ

0.4. Благодарности.

Выражаю глубокую благодарность моему учителю Д. В. Алексеевскому, которому обязан, в частности, многими полезными и воодушевляющими беседами по теме диссертации.

Мне приятно поблагодарить В. А. Голубеву и своего научного руководителя А. В. Чернавского за внимание и поддержку в моей работе и за предоставление важной информации.

Я также признателен А. Г. Хованскому за полезные консультации и замечания.

1. Д.В.Алексеевский, А.М.Переломов. Инвариантные метрики Кэлера-Эйнштейна на компактных однородных пространствах. — Функциональный Анализ и его прил. 20 (1986), вып. 3. 1-16.

2. А.Л.Бессе. Многообразия Эйнштейна. В 2-х томах. М:Мир.1990.

3. Ф.Гриффите,Дж.Харрис. Принципы алгебраической геометрии.Т.2.М.:Мир.1982

4. В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. М.:Наука.1982.

5. Д.Н.Бернштейн. Число корней системы уравнений. — Функциональный Анализ и его прил. 9 (1975), вып. 3. 1-4.

6. A.G.Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et nombres de Milnor. Invent. Math., 32 (1976) No.l, 1-31.

7. А.Г.Кушниренко. Многогранники Ньютона и теорема Везу. — Функциональный Анализ и его прил. 10 (1976), вып. 3. 82-83

8. G.R.Jensen. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics. Indiana Univ. Math. J. 20 (1971) 1125-1143.

9. M.Kimura. Homogeneous Einstein metrics on certain Kâhler C-spaces. Advanced Studies in Pure Math. 18-1, 1990. Recent topics in Differential and Analytic Geom. Pp.303-320.

10. Ш.Кобаяси, К.Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, тт. 1 и 2. М.:"Наука". 1981.

11. С. Bohm-M. Kerr: Low dimensional homogenous Einstein manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 358(4) (2006) 1455-1468.

12. А.Л.Онищик. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований. Тр. Моск. мат. об-ва, 1962, 11, 199-242.

13. В.И.Данилов. Геометрияторическихмногообразий. УМН 33(1978), вып.2, 85-135.

14. В.Г.Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. М.:Мир.1993.

15. J.Heber. Noncompact homogeneous Einstein spaces. Invent.math. 133,279-352 (1998)

16. J.Lauret. Einstein solvmanifolds are standard. arXiv:math/0703472yl.(MapT 2007).

17. Y.Nikolayevsky. Einstein solvmanifolds with a simple Einstein derivation. Preprint arXiv:math/0707.4595 (июль 2007).

18. С. Bôhm, M. Wang, W. Ziller. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds. Geom. Funct. Anal. 14 (2004), 681-733.Работы автора по теме диссертации

19. M.M.Граев. Число инвариантных метрик Эйнштейна в однородном пространстве, многогранник Ньютона и сжатия алгебры Ли. — Известия АН, сер.матем., т.72, номер 2, 2007, с.29-88.

20. M.M.Graev. On the number of invariant Einstein metrics on a compact homogeneous space, Newton polytopes and contractions of Lie algebras. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. Vol. 3, Nos. 5 & 6 (2006) 1047-1075