Однородные римановы многообразия с метрикой Эйнштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЙ НАУК РОСОМКХОИ ФЕДЕРАЦИИ I) Ом Институт Математики СО РАН

I тл > Специализированный совет Д 002.23.02

I > 511; -

На правах рукописи УДК 514.765

Родионов Евгений Дмитриевич

ОДНОРОДНЫЕ РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ С МЕТРИКОЙ ЭЙНШТЕЙНА

01.01.04.- геометрии и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новоснбирск-1994

Работа выполнена в Алтайском государственном университете

Научный консультант - доктор физико-математических наук

профессор Топоногов В.А. Официальные оппоненты: доктор физико-магматических наук профессор Алексеевский Д.В. доктор физико-математических наук: профессор Берестовский В.Н. доктор физико-математических наук профессор Левичев A.B. Ведущая организация -* Белорусский государственный университет'

Зацита состоится 1994 г. в часов

на заседании Специализированного Совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-мате ,этических наук при Институте Математики СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики СО РАН.

Автореферат разослан щ ОЗ 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного доктор физико-математических наук, профг ссор A/i^—

Совета

В.А.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Римановы многообразия с теми или иными ограничениями на риманову метрику представляют собой важный объект современной дифференциальной геометрии. В частности, представляется важным исследование эйнштейновых многообразий, т. е. таких римаиовых многообразий (М,р), тензор Риччи 1ис(р) которых пропорционален метрическому тензору р, т.с . Шс(р)=С.р (С(Ю .

Интерес к многообразиям Эйнштейна определен двумя основным» причинами:

Во первых, уравнение 1Нс(р)=С.р било предложено Эйнштейном как уравнение гравитационного поля в вакууме.

Во вторых, развитие теории многообразий Эйнштейна обусловлено и потребностями развития самой геометрии. Дело в том, что р.шановы многообразия постоянной секционной кривизны в значительной степени уже изучены [81. Следующей, по простоте постановки, является задача отыскания всех римаиовых многообразий постоянной кривизны Риччи (эйнштейновых многообразий).

Наибольшие успехи в решении этой задачи 'или достигнуты в компактном однородном римановом.случае, хотя в последнее время полуены примеры и не однородных компактных эйнштейновых многообразий ((271,[17],[29],(281,). Основные результаты, полученные ч рамках пзданиг теории Эйнштейн вих многообразий, содержатся в работах Э.Картана 116], Дж.Вольфа [391,(40], Э.Калаби (19], Т.Обина [13], С.Т.Яу [41-43], М. Берже [15], Л.Берар-Бесжери [16], Г.Йенсена [22-25],

- з -

И.Громова I201, M.Вана и В.Циллера (33-38|, Н.Хитчина (2ll, Д.В.Алексеевского и Б.Н.Кимельфельда ll-4),I5,6), О.В.Ыанту-рова 110-121 и многих других математиков. Наиболее полный обзор результатов относящихся к многообразиям Эйнштейна содержится в книге А.Бессе (7|, где также приводится обширная библиография по этой тематике до 1990 года.

Заметив однако, что в общем случае задача классификации многообразий Эйнштейна является очень сложной, она представляется также сложной в случае однородных пространств. Так, например, до сих пор не решена такая проблема, поставленная А.Бессе (7|:

Классифицировать компактные односвязные однородные многообразия M"=G/H (с компактными G и И), которые допускают С-инаарнантную метрику Эйнвтейна.

Поэтому многие авторы предполагают наличие дополнительных ограничений: либо на алгебраическое строение G/H, либо на размерность пространства, либо на класс G- инвариантных римаковых метрик рассматриваемых на данном пространстве G/H и т.д. Иногда эти ограничения встречаются в той или иной комбинации. Так, например, И.-П. Бургиньон и Г. Катер 11S J, Г- Йеисен [24,251, В.Циллер |44|, Н.Ван {321, О.Ковальский и З.Влашек 126] решала задачу классификации однородных эйнштейновых метрик на пространствах Берже-Уоллача ll4,3ll, а Г.йеисен решил (221 проблему А.Бессе в размерности л*4. В качестве другого примера мокно привести классификацию стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой транзитивной группой движений, полученную М.Ваном и В.Циллером 1341.

''осле работ этих и других авторов естественным образом возник вопрос об исследовании однородных эйнштейновых многообразий с теми илч иными ограничениями алгебраического, метрического или иного характера.

Цель работы - изучение метрического строения однородных римановых многообразий, однородная риманова метрика которых является эйнштейновой.

I. Завершить классификацию однородных эйнштейновых метрик на пространствах Берже-Уоллача.

II. Дать ответ на проблему А.Бессе в размерности 5.

III. Получить классификацию стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии, регулярной алгеброй изотропии, симметриями конечного порядка.

IV. Дать классификацию всех редуктивных однородных римановых пространств (а не только стандартных), соответствующих специа!ьным простым тройным алгебрам Ли, впервые рассмотренным А.Сейглом.

V. Построить новые примеры однородных эйнштейновых пространств.

' Методы исследования. Все результаты работы доказываются методами современной дифференциальной геометр"и с привлечением аппарата теории групп и алгебр Ли.

Задачи I и II реш .ются путем редукции к алгебрам Ли, с последующим использованием формул для вычисления секционной кривизны и кривизны Риччи однородного риманова пгостранства. Для решения классификационных задач III и IV удается привлечь дополнительные алгебраические структуры: либо элементы теории представлений (операторы Казимира, отмеченные схемы

Дынкина и т.д.), либо тройные алгебры Ли. тесно связанные с редуктивными однородными пространствами.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и дают ответ на часть проблем, поставленных ранее Л.Бессе, И.-П. Бургиньоном, Г. Кашер, Г. Йенсенон, В.Циялером, М.Ваном, Д.В. Ллексеенским,

Завершг 1а классификация однородных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны (пространствах Берже-Уоллача).

Дана классификация односвязных компактных однородных пятимерных многообразий Эйнштейна.

С помощью формулы, позволяющей вычислять кривизну Риччи с использованием "отмеченных" схем Дынкина, получена классификация стандартных однородных периодических эйнштейновых многообразий, а также стандартных однородных эйнштейновых многообразий с простой группой изотропии.

Доказаны структурные теоремы, типа теорем Костанта-де Рама, о метрическом строении стандартных однородных эйнштейновых многообразий. . /ановлена связь между стандартными однородными эйнштейновыми многообразиями и тройными алгебрами Эйнштейна.Получена классификация стандартлых однородных эйнштейновых многообразий в регулярном случае.

Впервые дана классификация всех редуктивных однородных римановых пространств (а не только стандартных), соответствующих специальным простым тройным Б-алгебрам Сейгла.

При помощи систем днофантовых уравнений построены новые примеры однородных гространств Эйнштейна.

"езультаты работы имеют теоретическое значение и могут найти применение в теории однородных эйнштейновых многообразий. а также п общей теории эйнштейновых многообразий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики СО РАН, на заседаниях кафедры геометрии и топологии Новосибирского гскуниверситета, на заседаниях кафедры геометрии Белорусского госуниверситета, на Всесоюзных конференциях по геометрии и анализу (Кииинев-1988г., Кемерово-1988,1990г.г., Новосибирск-1989г. ), На Международных конференциях: по геометрии и физике (ЧСФР-1991г.), по алгебре и анализу (Барна-ул-1991г.), по ~еометрии (Казань-1992г.), на чтениях посвященных памяти Н.И.Лобачевского (Москва-1992г.), на 3 и 7 Сибирских школах по алгебре и анализу (0мск-1990г., Иркутск-1993г.)

Публикации. По томе диссертации опубликовано 23 работы И 13 тезисов конференций.

Структура и объем. Диссертация изложена на 174 страницах и состоит из введения и четырех глав. Список литературы '.-одержит 115 наименований.

содержание работы

Во введении дается краткий обзор диссертации.

Глава 1 посвяцеиа классификации однородных эйнштейновых метрик на однородных пространствах Берже-Уоллача. В §1 главы 1 приводятся нёобходимые сведения из теории групп и алгебр Ли, которые затем используются во всех главах, а также выво-

дится формула для нахождения секционной кривизны однородного риманова многообразия. В 82 изучается строение следующих пространств, принадлежащих классу компактных однородных пространств Берже-Уоллача: многообразий флагов SU(3)/TBax, Sp(3)/Sp(l)«Sp(l)«Sp(l), F4/Spin(8) в комплексной, кватерии-онной и Кели проективных плоскостях, а также SU(5)/Sp(2)»S*. Кроме того, 1 этом параграфе дается описание, с помощью формы Кнллинга и конечных наборов характеристических чисел, класса G-инвариантшх римановых метрик на каждом из вышеназванных пространств. В §3 главы I выводится формула для вычисления секционных кривизн и кривизн Риччи .а данных пространствах. Завершении» классификации однородных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах допускающих однородную риианову метрику положительной секционной кривизны (пространствах Берже-Уоллача) посвящены §§4-5 главы I. Основной результат формулируется таким образом:

Теорема. Пусть G/11 - одно из следующих многообразий Берже-Уоллача: SU(3)/T«.<.*, Sp(3)/Sp(l )xSp( 1 )*Sp( 1 ), F4/Spln(8), SU(5)/Sp(2)*S1. Если (G/H, p) - однородное эйнштейново многообразие, то оно изометрично, с точностью до умноиения метрики р на константу, одному из следующих многообразий:

GAI Представление изотропии Характеристические числа метрики p

SU(3)/T 1 m х P=P,®P2®P3 (1,1,1), (2,1,1),

(1,2,1), (1,1,2)

Sp(3)_ SptlKSptTRSpTTT P=P,©Pa©P3 (1,1,1), (3,1,1),

(1,3,1), (1,1,3)

Р/Бр1п(8) р=р1ердорз (1,1,1), (7,2,2),

(2,7,2), (2,2,7)

51М5) р=р ©р ((20«4/7)/9,1)

Бр( 2)» Э1

Заметим, что более подробная формулировка классификационной теоремы приведена в теореме 1.5.1 текста диссертации.

Основная цель главы II- дать ответ на вопрос, поставленный Л.Бессе |7):

"Отметим, что даже в пятнмерном случае проблема полной классификации однородных многообразий Эйнштейна все еще остается открытой".

В §1 главы изучается специальное семейство однородных пространств размерности 5: М^=5и(2)х5и(2)/Н31), где иг1)- произвольный одномерный тор в 5и(2)х5Ц(2)• Доказывается, что на каждой таком пространстве существует ровно од-па. с точностью до подобия, однородная метрика Эйнштейна для вложений ¡.($*)=5и(2)*5и(2). не являющихся "диагональными", а для последних вложений найдется по крайней мере одна однородная метрика Эйнштейна. Эта метрика определяется единственный вещественным корнем некоторого уравнения третьей сте-

С р о

пени. Так как каядое из многообразий М^ дифф-оморфно в ,

то отсюда и из результатов §1 следует, что произведение ? Ч

Б допускает бесконечное множество попарно неизометричлых 5и(2)*5и(2)- инвариантных метрик Эйнштейна, что дает ответ на проблему поставленную \.Бессе 171:

"Является ли множество С-инвариантных риманопых метрик Эйнштейна на однородном пространстве МИЗ/Н, рассматриваемых с точностью до пропорциональности, конечным?"

В §2 главы II, с использованием идеи Д.В.Ллекееевско/о об изоморфном вложении группы изотропи.. II однородного пространства M""=G/H в группу S0(5), а также результатов §1 и конкретных алгебраических рассуждении, дается классификация односвязных компактных пятимерных однородных многообразий Эйнштейна, которая может быть приведена, без ограничения общности расхождений, в следующей теореме:

Теорема. Пусть G - компактная связная и односвязная полупростая группа Ли эффективно действующая :а пятимерном односвязном однородном пространстве Mr'=G/Ii, II - замкнутая подгруппа G. Если (G/H, р) - однородное эш'чтейново многообразие, тогда оно изометрично, с точностью до подобия, одному из следующих многообразий:

И* метрики Эйнштейна

5и(3)/1(2и(2))=85 нормальная однородная риманова

где 1 - регулярное вложение метрика постоянной секционной кривизны

8и(3)/^ д ^-неприводимое симметрическая

симметрическое пространство

типа А1

-50(2) х 3. ^ произведение метрик постоянной секционной кривизны с условием Г1"с(8э)=г1сс(5г)

5и(2)х5и<2)_М5 Ив1) «' на М* существует ровно одна

где 1- П[ шзволыюе не инвариантная метрика Эйнштей-

диагональное вложение на, определяемая некоторым уравнением третьей степени

10 -

Р тексте диссертации данной теореме соответствует теорема 2.2.1.

Автору стало известно, что Д.В.Ллексеевским, И.Дотти-Миателло. и С.Феррарис также пол/чена классификация однородных 5-многообразии Эйнштейна.

В последнем параграфе главы II строится многомерное обобщение Mj=SU(2)sM/Ts (sil), Tn|ax=TsxS1, семейства однородных многообразий Эйнштейна М? из §1. что приводит к новым примерам однородных многообразий Эйнштейна (теорема 2.3.1 главы II).

В главе III исследуются односвязные компактные однородные эинштеиновь: многообразия со стандартной, т.е. полученной из формы Киллинга, римановои метрикой. В SS 1.2 приводятся необходимые сведения о стандартных однородных римановых многообразиях. а также показывается, как кривизна Риччи такого многообразия может быть записана с привлечением оператора Казимира представления изотропии / однородного пространства G/H. Кроме того, приводятся критерии эйнштейновости стандартного однородного риманова многообразия. В §3 гл .вы III выводится формула, позволяющая вычислять кривизну Риччи стандартного однородного риманова многообразия с помощью "отмеченных" схем Дынкчна. и §4 вычисляются константы Казимира присоединенных представлении классических простых алгебр Ли, которые затем используются в классификационных теоремах. Иллюстрацией идей и методов, изложенных в §§1-4, является классификация стандартных периодических (т.е. имеющих в каждой точке симметрию конечного порядка) многообразий Эйнштейна, стандартных однородных эйнштейновых многообразий с прос-

- и -

тон группой изотропии, которая дается в SS5-9 главы III и может быть приведена в следующих теор .-мах ( соответствующих теоремам 3.Ü.2, 3.8.3, 3.9.1 текста диссертации):

Теорема. Пусть (G/ÏI, р^) - односвязмоо компактное стандартное периодическое римапоио многообразие, G- компактная связная и односвязная полупростая группа Ли, действующая эффективно н" M=C/II, И - замкнутая подгруппа G. Тогда (С/И, р() является многообразием Эйнштейна в том и только том случае, если (G/1I, р(>) либо изометрично компакт) ому симметрическому пространству, либо изометрично прямому произведению компактных стандартных периодических рнмлн'чшх многообразий: (G/Il, р ) = (G /!! , р )ч.. . ,х(С /И , fi ),

к Н 1 1 rt г. и II

) Г1

калдое из которых обладает тем свойством, что алгебры ■ Ли

(fi ,1» ), idl.....п), групп Ли (С ,Н() входят и таблицу 1, а

константы Эйнштейна С ,...,Сп этих «ространсти совпадают.

Таблица 1.

11 С, h i с 1

1. п раз g -простая 1 + 1 ¡Г Zn

2. su(nk.) 2sk, 3ïn n su(k)ôRn~1 ? 2iî

3. sp(3n-l ) Ьп sp(n)sRssu(2n-l) 5 T2

4. so(3n+2) 3s n so(n)©R©su(n+l) 5 Ti

5. е soteViR2 ... 5 T2

6. sut п ) 3<п t mu; ' + 1 ¡T 2n

7. soi2п) 3=п 1 * 1 -T -Uh-i;

й. е г t »»* к Y 7Â

9. е У t гт» л х '.') ГБ

10. е н T5

11. sp( 2 ) su ( 2 ) и 20

12. G, su(3) b rz

13. f4 su(3)esu(3) b TZ

14. е ь 3su(3) b TZ

15. su(6)9su(3) b rz

16. е п sut 9) b TZ

17. " е п e ©sut3) ь b TZ

18. е о 2su(5) Y 20

Теорема. Пусть (G/H, - односвязное компактное стандартное рнманово многообразие. G - компактная св/.зная полупростая группа Ли, действующая эффективно на M=G/H, 11 - замкнутая простая подгруппа G. Тогда (G/H, рп) япляется многообразием Э1шштейн" в тим и только том случае, если алгебры Ли (g,h) групп Ли (G,H) входят в следующий список:

(1) (g,h) = (h0. . .oh, d.iag h), где diag h - диагональное вложение;

(2) g - простая алгебра Ли, а пара (g,!i) является одной из эйнштейновых пар Картана-Вольфа-Мантурова-Вана-Циллера с простой алгеброй Ли h [9],|12],I:41,I39].

В последнем параграфе главы III построены нетривиальные примеры стандартных однородных эиныейковых многообразий (G/H, рв) с полупростыми группами С и II, причем, при их построении возникают системы диофантовых уравнений (см. теоремы 3.10.1, 3.10.2 текста диссертации).

В главе IV устанавливается связь между однородными эйнштейновыми м"огообразиями и антикоммутативными алгебрами. В §1 главы IV приводится конструкция, с помощью которой для произвольного редуктивного пространства стро! гея некоторая антикоммутативная алгебра, а также тройнал алгебра Ли. Во втором параграфе с помощью разложения де Ргма-Костанта доказывается теорема о разложении односвязных компактных стандартных однородных римановых многообразий, из которой затем выводится ряд теорем о разложении стандартных однородных эйнштейновых многообразий. В частности, получена классификация стандартных однородных эйнштейновых многообразий в регулярном случае (теорема 4.2.4 главы IV):

Теорема. Пусть (0/11, рв) - односвязное компактное специально редуктивное стандартное однородное эйнштейово многообразие, G - связная односвязиая полупростая группа Ли эффективно действующая на W=G/H, Н - замкнутая подгруппа G, алгебра Ли которой h является регулярной -'одалгеброй алгебры g. Тогда (Ы, рп) изометрично прямому риманову произведению неприводимых (по де Раму) стандартных эйнштейновых многообразий: (М,рв)=(Н1,рв )х...к(Мг,рв ), где Я^С/Н^

1 г .

1-1,...,г, причем:

1) константы Эйнштейна сомножителей должны совпадать:

С

t г

2) алгебры являются простыми;

3) гк 2(=гк Ь1, 1 = 1.....г;

4) пара ) совпадает с одной из пар Мантурова-Во."ьфа-Вана-Циллера (121.1341.(39]. удовлетворяющих условии гк g|=rk .

В 83 доказано (теоремы 4.3.1, 4.3.2 текста диссертации), что любое односвязное компактное стандартное однородное эйнштейново многообразие тгшетрично прямому риманову произведению неприводимых (по де Раму) эйнштейновых многообразий, с каждым из которых, в свою очередь, связана некоторая простая тройная алгебра Ли, удовлетворяющая тождеству определенного вида (тройная алгебра Эйнгтейна). Для неприводимых компонент теорема может быть сформулирована таким образом:

Теорема. Пусть (С/И, р()) неприводимое стандартное однородное риманово многообразие (компактное и односвязное). Тогда (С/Н, ра) является эйнштейновым тогда и только тогда, когда тройная алгебра Ли (ш,*,1) однородногс пространства С/Н удовлетворяет тождеству:

Х»Е1(Х,Х .Х^-О УХсп.

I

где я=1и п, Х»У=(Х,У| для Х,У(ш, 1(Х,У,г)=|(У.Х1 ,г] для

(I М Ь

Х,У,2сп, {Х^ - произвольный В - ортонормированный базис га.

В §3 также строятся примеры тройных алгебр Эйнштейна.

Различны«, критерии эйнштейновости стандартного однородного риманова многообразия приводятся в §4, кроме того, при помощи свойства инвариантности формы Киллинга алгебр Ли и алгебр Мальцева, т также конструкции Номидзу, строятся примеры однородных многообра-шй Эйнштейна, не являющихся стан- 15 -

дартными. С последнем параграфе гл;>оЫ IV получена классификация всех редуктишшх однородных римановых пространств (а не только стандартных), соответствующих специальным простым тройным алгебрам Ли (Б- алгебрам), оперные рассмотренным А.Сейглом 130).

Теорема. Пусть М=С/!1 - редуктмвное однородное пространство, чьи тройная алгебра Ли (т.*,!) является тронной Б-алгеброй, а алгебра (т,*) является простой алгеброй Ли или простом алгеброй Мальцева, и пусть р - однородная риманова метрика на М. Тогда:

1) метрика р является, с точностью до подобия, канонической;

2) и случае, когда (т,д)- алгебра Ли, пространство (М,р) является изотропно неприводимым и локально симметрическим ;

3) в случае, когда (ш,«)=С7 - простая алгебра Мальцева, универсальная закрывающая пространства (М,р) изометрнчна БрЫУ)/^.,.

Отметим, что данной теореме соответствует теорема 4.5,1 текста диссертации.

1!з этой классификации также видно, что такие пространства являются, вообще говоря, однородными многообразиями Эйнштейна.

Автор считает необходимым отметить то огромное влияние, которое оказали идеи и методы разработанные Д.Б.Алексеевс-ким, В.Л.Топоноговым, 0.Коваль-ким, М.Ваном и В.Циллером, М.Берже, Л.Сейглом, Дк.Йенсеном и многими другими математиками при проведении данных исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеевсннн Д.Н. Рнманови многообразии с необычными гру :нами голоиомий // «¡'ункнион . анализ и его прил. , 1960.т .2, »12.- С.1-10.

2. Длексеспскнй Д.В. Компактные кпатерннонные пространства //Функцион. анализ и его прил., I960,- т.2,Н2,-С. 11-20.

3. Алексеевсннн Д.В. Кватернионние рнманови пространства с транзнтнннои редуктивной или разрешимой группой движении // '¡'ункцион. анализ и его прил.. 1970. -т. 4, N4 .-С. 68-69.

Л. Ллексеепскнй Д.В. Классификация кватерннонних пространств с транзитивной разрешимой группой движений// Изв. ЛИ СССР. Сер мат., 1975,- т.39, N2,- С.315-362.

5.Алексеевсннн Д.В., Кимельфельд В.И. Структура однородных римапопых пространств с нулевой кривизной Рнччн// Функцион. анализ и его прил., 1975,- т. 9, »12,- С.5-11.

6. Алексеевсннн Д.В., Кимельфельд В.!!, Классификация однородных конформно плоских рим.чновых многообразий // Мат. заметки, 1973.- т.24,- С.103-110.

7. Бессе Л, Многообразия Эйнштейна. Москва: Мир, 1990.

8. Вольф Дя. Пространства постоянной кривизны. Москва: Паука, 1982.

9. Картан Э. Геометрия групп Лн и симметрические пространства. Моста: HJI, 1949.

10. »Дантуров О.В. Однородные несимметрические рнманови пространства с неприводимой группой вращений// Докл. АН СССР, 1961,- т.14?.- С.792-795.

И. Мантуров O.B. Римановы npoiгранства с ортогональными и симплектическими группами движении и неприводимой группой вращений// Докл. АН СССР, 1961,- т.141.- С.1034-1037.

12. Мантуров О.В. Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии/' Тр. сем. по вект. и тенз. анализу, 1966.- т.13,- С.68-145.

13. Aubin T. Equations du type de Monge-Ampere sur les variétés kähleriennes compactes// C.R. Acad.Sel. Paris, 1976.- V.283.- p.119-121.

14. Berger M. Les variétés riemanniennes homogenes normales simplement connexes a courbure strictement positive // Ann. scuola norm. super Pisa. Sei. fis. e. mat., 1961.-v.15 - p.179-246.

15. Berger M. Sur quelques variétés d Einstein compactes // Ann. Bat. pura ed appl., 1961.- v.53.- p.89-96.

16. Berard Bergery L. Certains fibres a courbure de Ricci positive // C. R. Acad. Sei. Paris. 1978.- A 286.-p.929-931.

17. Berard Bergery L. Sur de nouvelles variétés riemanniennes d'Einstein // Publications de l'Institut E.Cartan t!4 (Nancy). 1982.- p.1-60.

18. Bourguignon J.P., Karcher H. Curvature operators: Pinching estimates and geoiaetric examples // Ann.sei. Ecole norm, super., 1978,- v.ll.- p.71-92.

19. Calabl E. On Kahler raanifolds with vanishing canonical class, in Algebraic geon^try and topology // Symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton, 1955.- Princeton Univ. Press, 1955.- p.78-89.

20. Gromov M. Volume bounded cohomology // Publ. Math. I.1I.E.S. , 1982. - v.56.- p.5-99.

21. Hitchin N. On compact four-dimensional Einstein manifolds //J. different, geom., 1974.- v.9,- p.43b 442,

22. Jensen G.R. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. different, geom., 1969,- V.3.- p.309-349.

23. Jensen G.R. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics // Indiana Univ. matii. J., 1971,- v.20,-p.1125-1143.

24. Jensen G.R. Einstein metrics on principal fibre bundles // J. different, geora., 1973,- v.8.- p.599-614.

25. Jensen G.li. Imbeddings of Stie"el maniiolds into Grassmanians // L Jke math. J.. 1975,- v.42,- p.397-407.

26. Kowalski 0., Vlasek Z. Homogeneous Einstein metrics on Aloff-Vfallach spaces 7/ Diff. geom. and its appl., 1993,-v.3.- p.157-167.

27. Page D. A compact rotating gravitational instanton // Phys. Lett., 1979,- 79B.- p.230-238.

28. Page D.M., PopeC.H. Einstein metrics on quater-nionlc line bundles // Class. Quantum Grav., 1986,- v.3.-p.¿49-259.

29. Page D.N., Pope C.N. Inhomogeneous Einstein metrics on complex line bundles // Class. Quantum Grav., 1987,-

v.4.-p.213-225

30. Sagle A. On •,nti-coiwnutativp algebras and general Lie triple systems // Pacif. J. math.,1965.-v.15.-p.281-291.

31. Wallach N. Compact honogersous riemannian manifolds with strictly positive curvature// Ann. math., 1972.- v.96.-p.277-295.

32. Wang M. Some examples of homogeneous Einstein manifolds in dimension seven // Duke math. J.. 1982,- v.49,-p.23-28.

33. Viang M., Ziller W. On the isotropy representation of a symmetric space, in Proc. Conf."Differential geometry on homogeneous spaces, Torino (1983)" // Rend. Sea. Mat. Univ. Poli tec. Torino, 19u3.- p.253-261.

34. Wang M., Ziller ff. On normal homogeneous Einstein manifolds // Ann.sei. Ecole norm, super, 1985.- v.18.-p.563-633.

35. Wang M., Ziller W. Einstein metrics with positive scalar curvature, preprint I.I1.E.S. Bures-sur-Yvette, 1985.

36. Wang M, Ziller W. Hew examples of Einstein metrics on principal bMndles, preprint, 1986.

37. Wang M. Ziller W. Existence and Non-existence of Homogeneous Einstein Metrics // Invent, math., 1986.- v.84.-p.177-194.

38. Viang M., Ziller W. On isotropy irreducible Riemannian manifolds // Acta math., 1991.- v.166.- p.223-261.

39. Wolf J. The geometry and structure of isotropy irreducible homogeneous spaces // Acta math., 1968.- v.120.-p.59-148.

40. Wolf J.A. On Calahi's inhomogeneous EinsteinKahler nan*folds // Proc. Amer. Math. Soc., 1977.- v,63,-p. 207-288.

41. Yau S.T. On Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry // Proc. flat. Acad. Sci. USA, 197?.- v.74.- p.1798-1799.

42. Yau S.T. On the Ricci Curvature of a compact Kah-

I

ler manifold and the complex Monge-Ampere equation I // Comm. Pure and Appl. Math., 1978,- v.31,- p.339-411.

43. Yau S.T. Problem section, in Seminar on Differential Geometry, ed, S.T. Yau, Ann. of Math. Study n°102, Princeton Univ. Press, 1982.- Princeton.- p.669-706.

44. Ziller W. Homogeneous Einstein metrics on Spheres and Projective spaces // Math. Ann.. 1982.-v.259.-p.351-358.

Оспопние результаты исследования опубликованы в следующих работах:

1. Родионов Е.Д. Однородные римановы Z-многообразня // Сиб. мат. жури., 1981.-т.22, (12.-С.191-197.

2. Родионов Е.Д. Об однородных римановых Z-многообрази-ях. Москва, 1980.-Деп. в ВИНИТИ.-115394-80.-Деп.

3. Родионов Е Д. Однородные римановы многообразия ранга 1 // Симпозиум по геометрии в целом и основаниям теорш относительности. Новосибирск, сент.1982: Теч. докл.- Новосибирск, 1982,- С.91.

4. Родионов Е.Д. Характеристические свойства СРП // Симпозиум по геометрии р целом и основаниям теории относительности. Новосибирск, сент.1982: Тез. докл.- Новосибирск, 1982.- С.93.

5. Родионов Е.Д. Однородные римановы многообразия ранга 1 // Сиб, мат. журн.,1984.-т.25,114.-С.163-166.

6. Родионов Е.Д. Строение од: эродных римановых почти КРОСПовых многообразий. Москва, 1586,- Дел. в ВИНИТИ.-116035- 86 Деп.

7. Родионов Е.Д. Строение однородных римановых почти КРОСПовых многообразий // Всес~>юзн. школа "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово, сент.1986: Тез. докл.-Кемерово,1986.-С.60.

8. Родионов Е.Д. Поведение геодезических линий нормальных однородных пространств // Всесоюзн. конф. по геометрии в целом, посвящ. 75-летию акад. Л.Д.Александрова. Новосибирск, септ.1987: Тез. докл.-Новосибирск,1987.-С.104.

9. Родионов Е.Д. Характериэация четномерных КРОСПов впогче геодезическими подмногообразиями. Москва,1987.-Деп. в ВИШ1ТИ-116269-В87.

10. Родионов Е.Д. Однородные римановы почти Р - многообразия // Тез. докл. конф. мол. уч-х Сибири и Д.Востока. Новосибирск, с нт. 1987.-Новосибирск,1987.-С.71.

П. Родионов Е.Д. Ранг нормального однородного пространства // Сиб. мат. журн. ,1987.-т.28,115.-С.154-159.

12. Родионов Е.Д. Геометрия однородных римановых многообразий // Тез. докл. IX Всесоюзн. геом. конф. Кишинев, сент. 1988.- Кишинев,1988.-С.268.

13. Родионов Е.Д. Вариации однородных римановых метрик увеличивающие кривизну // Тез. докл. Всесоюзн шк."Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово, сент.-окт. 1988.-Кемерово,1988.-С.42.

14. Родионов Е.Д. Геодезические линии некоторых классов левоинвариантных римановых метрик компактных групп Ли //

Тез."докл. конф. мол. уч-х Сибири и Д.Востока. Новосибирск, окт. 1988.-Новосибирск.1988.-С.139.

15. Родионов Е.Д. Однородные римановы многообразия бли-зкиг к КРОСПам // Геометрия и топология однородных пространств .-Барнаул,1988.-С.64-77.

16. Родионов Е.Д. Положительные вариации стандартной римановой метрики на компактных симметрических пространствах ранга больше 1 // Тез. докл. Всесоюзн. конф. по геометрии it анализу. Новосибирск, нояб.1989.-Новосибирск,1989.-С.69.

17. Родионов Е.Д. Геометрия однородных римановых многообразии //Докл. АН СССР,1989.-т.306,11.5.-С.1049-1051.

18. Родионов Е.Д. Однородные риманои почти Р- многообразия // Сиб. мат. журн. ,1990.-т.31,115.-С.102-108.

19. Родионов Е.Д. Компактные стандартные сднородные эйнштейновы многообразия // Тез. докл. Всесоюзн. шк.'Понтря-гинские чтения". -Кемерово, сент.1990.-Кемерово, 1990.-С.60.

20. Родионов Е.Д. Стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Тез. докл. Всесоюзн. совет, t т. уч-х по дифф. геом., посвящ. 80-летию Н.В.Ефимова, п, Абрау-Дьрсо, сент.1990.-Ростов-на-Дону,1990.-С.90,

21. Rodionov E.D. Einstein metrics on a class of 5-dimensional homogeneous spaces // Coum. Matli. Univ. Caroli-nae, 1991.-v.32,№2.-p.389-393.

22. Родионов Е.Д. Эйнштейновы метрики на чечномерных однородных пространс~вах допускающих однородную риманову метрику положительной секционной кривизны // Сиб. мат, журн., 1991.-т.32,№3.-С.126-131.

23. Родионов Е.Д. Компактные периодические стандартные многообразия Эйнштейна // Докл. АН СССР. 1991.-т.316, IM.-С.819-822.

24. Родионов Е.Д. Вариаиин однородных римановых метрик // Геометрия многомерных прост; 1ИСТв.-Барнаул.1991.-С.61-69.

25. Родионов Е.Д. Тройные алгебры Ли и стандартные однородные многообразия Эйнштейна // Тез. докл. Междунар. конф. по алгебре. Барнаул, авг.1991.-Барнаул,1991.-С.75.

26. Родионов Е.Д. Однородные эйнштейновы метрики на одном исключительном пространстве Берже // Сиб. мат. журн., 1992.-т.33, 1И.-С.208-211.

27. Rodionov E.D. On a new fanily of homogeneous Einstein manifolds // Archlvum math., 1992.-v.28,-n.3-4.- p.199-204.

28. РодионOB Е.Д. Замыкания геодезических линий в компактных есгественно-редуктивных однородных римановых многообразиях // Пак.лти Лобачевского посвящается.-Казань, 1992.-С.80-86.

29. Родионов Е.Д. Компактные пятимерные однородные многообразия Эйнштейна // Тез. докл. Междунар. конф. "Лобачевский и современная геометрия". Казань, авг.1992.- Казань, 1992.- С.84.

30. Родионов Е.Д. Одкосвязные компактные стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Сиб. мат. журн., 1992. -т.33, IM.- С.104-119.

31. Родионов Е.Д. Компактгые стандартные периодические эйнштейнов! многообразия // Сиб. мат. журн., 1992.-т.33.115.-С.127-144.

32. Родионов Е.Д. Компактные пчтимерные однородные многообразия Эйнштейна // Донл. АН РОССИИ, 1992.-T.327.IM-6.-С.442-445.

33. Родионов Е.Д. Стандартные однородные эйнштейновы многообразия // Докл. АН РОССИИ, 1993.-т.328,№2.-С.147-149.

34. Rodionov E.D. Some examples of honogeneous Einstein aanifolds, in 11-th winter school, geometry and physics, Srni, jan.1991 // Suppl. ai Rend, del Circolo Hat. di Paler-no, Italia. 1993.- Ser.II.n.30.-p.153-155.

35. Родионов Е.Д. Односвязиые компактные пятимерные многообразия Эйнштейна // Сиб. иат. кури, (в печати).

36. Родионов Е.Д. Критерии Эйнштейневости стандартного однородного риманйва многообразия // Геометрия многомерных пространств, Барнаул (в печати).