Эйнштейновы солвмногообразия малой размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

НИКИТЕНКО Евгений Витальевич

ЭЙНШТЕЙНОВЫ СОЛВМНОГООВРАЗИЯ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена в Рубцовском индустриальном институте Алтайского '•государственного технического университета им. И.И. Ползунова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Никоноров Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент Базайкин Ярослав Владимирович

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет

Защита состоится " " «¿у^и^ 2006 года в _часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованию од-носвязных римановых солвмногообразий с метрикой Эйнштейна. Такие солвмногообразия образуют важный класс некомпактных однородных эйнштейновых многообразий, т. е. многообразий (М,р), для которых кривизна Риччи е каждой точке связана соотношением Шс(р) = С ■ р с римановой метрикой р для некоторой константы С. Для неплоских некомпактных однородных эйнштейновых многообразий константа С обязана быть отрицательной. . .

Энциклопедическим изданием по вопросам, связанным с эйнштейновыми многообразиями, является книга А. Бессе [4]. О более свежих результатах можно узнать из обзоров [7, 32]. Хорошо известно, что все многообразия Эйнштейна в размерностях 2 и 3 изометричны пространствам постоянной кривизны. Г. Йенсен в работе [22] показал, что каждое четырехмерное однородное односвязное многообразие Эйнштейна изометрично симметрическому пространству. Классификация пятимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в [11]. Частичная классификация шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в работе [29]. В работе [27] дана полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна размерности 7. К. Боем и М. Керр в работе [13] классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности < 12 и доказали, что все такие пространства в размерности <11 допускают инвариантную метрику Эйнштейна. Сильные структурные результаты и теоремы существования для инвариантных эйнштейновых метрик получены в работах [12, 14].

В некомпактном случае структура однородных эйнштейновых многообразий изучена менее обстоятельно. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 классифицированы в работе [28]. В размерности 6 и выше классификация однородных некомпактных эйнштейновых многообразий в настоящее время не известна. В тоже время, известно много примеров некомпактных эйнштейновых многообразий в разных размерностях. Заметим, что все известные на сегодняшний день некомпактные однородные многообразия Эйнштейна изометричны эйнштейновым солв-многообразиям. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи могло бы стать доказательство гипотезы Д. В. Алексеевского [1], утверждающей, что для произвольного некомпактного однородного многообразия Эйнштейна М = О/Н отрицательной кривизны Риччи, группа изотропии Н является максимальной компактной подгруппой группы С. В случае

истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа ¿7 группы С?, действующая на М просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий. ■■ ■

Д. В. Алексеевский в [2] получил классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности < 5. Отметим, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел также все стандатные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена Ю. Г. Никоноровым в [6]. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами. Э. Картаном (см. [10]) классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. И. И. Пятецкий-Шапиро, С. Г. Гиндикин, Э. Б. Винберг [8, 9, 5, 18] создали структурную теорию ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных ^'-алгебрах. Д. В. Алексеевский [1] и В. Кортес [15] классифицировали кватернионно-кэлеровы многообразия, моделируемые на вполне разрешимых группах Ли. Отметим, что многочисленные примеры солвмногообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны были построены также в работах [16, 24, 34].

Произвольное солвмногообразие (5, р) определяет скалярное произведение <3 на алгебре Ли б групп ь; ^, и наоборот, каждое скалярное произведение <3 на 5 индуцирует левоинвариантную метрику р на группе Б. Метрическая разрешимая алгебра Ли, соответствующая эйнштейнову солвмно-гообразию, также называется эйнштейновой. Исследование свойств кривизны солвмногообразий удобно проводить в терминах соответствующих разрешимых метрических алгебр Ли.

Метрическая разрешимая алгебра Ли (в, <2) называется стандартной, если ортогональное дополнение а к [5,5] относительно С? является абелевой подалгеброй алгебры я. Отметим, что все известные примеры эйнштейновых солвмногообразий именно стандартны. Детальному исследованию стандартных эйнштейновых солвмногообразий посвящена работа Й. Хебера [20], в которой получен ряд фундаментальных результатов, а также приведена обширная библиография по обсуждаемой тематике. Из более поздних работ можно выделить статьи [19, 23, 31], в которых строятся новые примеры эйнштейновых солвмногообразий, а также работы [25, 33], в которых классифицируются эйнштейновы солвмногообразия ранга 1 в размерности 6 и 7 соответственно.

Цель работы. Целью представленной работы является решение некоторых известных и говых задач теории однородных эйнштейновых многообразий. К их числу относятся следующие конкретные задачи:

1) классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий;

2) получение классификации шестимерных однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны;

3) классификация семимерных однородных многообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны,-

4) доказательство стандартности некоторых классов эйнштейновых солвмногообразий.

Методы исследования. Методика исследований ориентирована на использование стандартных методов анализа, дифференциальной геометрии, методов групп и алгебр Ли. Кроме того, для проверки рабочих гипотез использовались методы численных и символьных расчетов на ЭВМ. :

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут служить основанием для дальнейшего развития теории однородных эйнштейновых многообразий и смежных разделов дифференциальной геометрии. Получена классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообразий. В частности, показано что все такие солвмногообразия стандартны. Классифицированы шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны. Получена классификация семимерных однородных многообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны. Доказана стандартность некоторых классов эйнштейновых солвмногообразий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: Шестая краевая конференция по математике "МАК-2003" (Барнаул, 2003); V международная конференция по геометрии и топологии (Черкассы, 2003); Региональная научно-методическая конференция "МОНА 2003" (Барнаул, 2003); Межрегиональная конференция по математическому образованию в регионах России (Барнаул 2004); VI научно-техническая конференция студентов и аспирантов (Рубцовск, 2004); Международная школа-конференция по анализу и геометрии посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004); VII межрегиональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Рубцовск, 2005); Региональная научно-методическая конференция "МОНА 2005" (Барнаул, 2005); Барнаульский государственный педагогический университет (семинар кафедры геометрии под руководством д.ф.-м.н. Е.Д. Родионова)-2006г.; Кемеровский государственный университет (семинар по геометрии и анализу под руководством д.ф.-м.н.

H.K. Смоленцева)-2006г.; Институт математики СО РАН (семинар по геометрии, топологии и их приложениям под руководством чл.-корр. РАН И.А. Тайманова)-2006г.; Институт математики СО РАН (объединенный семинар отдела геометрии и анализа под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка)-2006г. Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре кафедры прикладной математики Рубцовского индустриального института АлтГТУ. .. - • ■

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-01071-а, 05-01-00611-а), Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ Российской Федерации (грант НШ-8526.2006.1) и Федерального агентства по образованию Российской Федерации (грант А 04-2.8-47).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ. Часть результатов получена в соавторстве с Ю.Г. Никоноровым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы - 107 страниц, библиография - 48 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов,- Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе — номер раздела, третье — номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации. ' .

В первой главе диссертации приводятся необходимые сведения об эйнштейновых солвмногообразиях и метрических алгебрах Ли, описывается структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли.

Вторая глава диссертации посвящена классификации шестимерных эйнштейновых солвмногообразий и основана на совместной с Ю.Г. Никоноровым работе [47].

В первом разделе второй главы устанавливаются некоторые достаточные условия стандартности эйнштейновых солвмногообразий. Используя найденные достаточные условия, доказывается

б

Теорема 2.1.1 Все неунимодулярные разрешимые эйнштейновы метрические алгебры Ли размерности < 6 являются стандартными.

Во втором разделе второй главы приводится и доказывается

Теорема 2.2.1 Пусть (я,<Э) - шестимерная неунимодулярная эйнштейнова разрешимая метрическая алгебра Ли, Шс(<5) = —г2(2 (г > 0). Тогда {в, О) изометрична одной из метрических алгебр Ли, перечисленных в следующем списке. Для каждой из алгебр указан ортонормированный относительно базис и нетривиальные коммутаторы базисных векторов.

1) {-^11 Х2, Х3, Х^,Х5,У1}, [Хг, Х2] = [Х3, Х4] = Г^ь-^] — ^ (1 < г < 4), [Уг,Х5] = %Х5.

2) {Хг,Х2, Хз, Х4, Х3, Ух}, [Х1,Х2] = [Х\, Х4] = [Х2, Хз] = %Х5, [УиХг] = 2^гХи [УЬХ2] = ДгХ2, [У,,Х3] = <ДгЛГ3, [У!,*«] = 2ДГА'4, [У„Х5] == у/ЩгХ5.

3) {Х1,Х2,Х3,ХА,Х5,У1}, [ХиХ2] = у/±гХ3, [ХЬХ3] = Х4] г= [Х2,Х3] = -^-Хь, [Уь -^1] = Т^-Хь [^1.-^2] =

[Уь Л'з] = ^Хз, [Уь А'4] = [УьА'5] =

4) {Х1,Х2,Х3,Х4>Х5,Гг},[Х1,Х2] = ^Х3, [Хг,Х3] = \ДгХ4,[ХиХ4) = ^Х5, [УЬ Х1] = ¿л/бгХь [УиХ2] = щ^/&гХ2, [У1,Х3] = 15%/бгХз, [УЬХ4] -|§ч/бгХ4, [УЬХ5] = \уДгХъ:

5) {Х\,Х2, Х3, Х4, Х$, У^, [Х1,Х2] = [Х^Хз] == [Уь^] = з^2Х1> Ръ-Хг] '= [Уь Х3] = ^=Х3, [Ух, Х4] — [УъХ5] = ¡гдХ5.

6) {ХиХ2,Хз,Х4,Х5,Уг}, [ХьХ2] = ^/§гХ3, [Х1,Хз] = [Х2,Х3] — 75-^5, [УЬХХ] = [У\,Х2] = [УьХ3] = ^Х3, [У1,Х4] = \V6rXt, [УьХ5] = |л/бгХ5.

7) {Х1,Х2,Х3>Х4,Х5,У1}, 1^ьА'2] = тДгХ3, [ХЬХ3] = уДгХ4, [11,^1] = [УьХ2] - ^-Ха, [Я.Хз] = ^Х3) [УьХ4] = [УЬХ5] = ^Х5. -

8) {Хи Х2,Х3, Х4, Х5, Уг}; [Хи Х2] = ^/§гХ3) [Уи ХД = \ff.rXu [УЪХ2] = ^гХ2, [УьХз] = 2^гХ3, [УиХ4] = [УЬХ5] =

у/1-гХь-

9) {ХиХг,Хл,ХА,Х6,П}, [УьХ,] = (1 < « < 5).

10) {ХьХг,Хз,Х4,УьУ2}, [Х1;Х2] = У§гХз, [УЬХ!] = ^Хь [УЬХ2] -

^Х2, [УиХ3]=^Х3, [УиХ4] = ^Х4, [У2,Ху] = * . гХ} + - ШЬХ2, [У2, Х2] = Ш2Хх + г • гХ2, [У2, Х3] = 21 • гХ3, [У2, ЛГ4] = -4« • для

некоторого г е [о, 1/4/22].

11) {Л'ьХг.Хз.^.УьГг}, [ХЬХ2] = дДгХз, [ХЬХ3] = ^ДгХ,, [^1.^1] = Тда^ь Р1..Х2] = [Уъ-Хз] = т^ц^з, [Уь^] =

= ^Хь [У2,Х2] = [У2,Х3] = -^дХз, [У2,Х4] =

12) {ХиХ2,Х3,Х4>У1,У2},-\YuXi] = ^Х, (1 < г < 4), [У,,^] = ьЯ&ЬгХи [Уа,Х2] = [У2,Х3] = ¿Щ^гХ3) [У2,*<] =

2>Л+^'+ ' для некоторых О < в < Ь < 1.

13)+{ХиХ2,Х3,УъУ2,У3}, [Уих{] = (1 < г < 3), [У2,Х2] = ^Х2, [У2, х3] = -%Х3, [У3,Хг] = -%Х1г [У3,Х2] = ^Х2,[У3,Х3] =

Дсе перечисленные метрические алгебры Ли являются попарно неизомет-ричными.

В каждом из случаев, описанных в теореме 2.2.1, векторы X; образуют ортобазис в нильрадикале п алгебры в. При этом п = [5,5], т. е. нильрадикал совпадает с производной алгеброй алгебры Ли 5. Лишь для метрических алгебр Ли из пунктов 9), 12) и 13) теоремы 2.2.1'нильрадикал п является коммутативным. Векторы У{ образуют ортобазис в а — ортогональном дополнении к п в алгебре в. В каждом случае а является коммутативной подалгеброй алгебры Ли в. Более того, все приведенные метрические алгебры Ли являются алгебрами типа Ивасавы.

Следствие 1 Все неплоскйе эйнштейновы разрешимые метрические алгебры Ли (солвмногообразия) размерности 6 являются стандартными. Метрические алгебры Ли (как стандартные эйнштейновы) из пунктов 1)-9) теоремы 2.2.1 имеют ранг 1, алгебры из пунктов 10)-12) - ранг 2, а алгебра из пункта 13) имеет ранг 3. Кроме того, эйнштейновы солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам Ли из пунктов 1)-13) имеют спектральные типы (1 < 2; 4,1), (3 < 4 < 6 < 7 < 10; 1,1,1,1,1), (1 < 2 < 3 < 4 < 5; 1,1,1,1,1), (2 < 9 < 11 < 13 < 15; 1,1,1,1,1), (2 < 3 < 5; 1,2,2), (1 < 2 < 3;2,1,2), (1 < 2 < 3 < 4; 1,1,2,1), (2 < 3 < 4; 2, 2,1), (1;5), (2 < 3 < 4; 2,1,1), (1 < 2 < 3 < 4; 1,1,1,1), (1;4), (1;3) соответственно.

Отметим, что несимметрические солвмногообразия, порождаемые метрическими алгебрами Ли из списка теоремы 2.2.1 неприводимы по де Раму, поскольку в противном случае они представлялись бы в виде прямого произведения двух однородных эйнштейновых многообразий размерности < 4, а каждое такое многообразие симметрично [22, 4].

В третьем разделе второй главы.классифицируются шсстимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной- секционной кривизны. Основным результатом раздела является

Теорема 2.3.1 Пусть (М,р) - шестимерное связное односвязное однородное эйнштейново многообразие неположительной секционной кривизны, тогда оно либо симметрическое, либо изометрично солвмногообразию отрицательной секционной кривизны, которое порождается одной из двух ниже приведенных метрических алгебр Ли:

1) Рч, Х2] = 75^4, — [У1.-Х1] = 575-^ь Х2] = ^¡дХъ, \Уи = 555X3, [УиХА\ = ^. [Уь^] =''^5/

2) [ХиХ2] = ^ДгХз, [УЬХ:] = ^гХи [У1,Х2}^л/^гХ2, [УЬЛ'3] = ^гХ3,[УиХ4 = ^гХ4,[УиХь} = ^гХ5>

где г > 0 определяется условием Шс(р) = —г2р.

Метрические алгебры Ли, указанные в теореме 2.3.1, фигурируют в списке теоремы 2.2.1 под номерами 5) и 8) соответственно. Шестимерными симметрическими эйнштейновыми солвмногообразиями являются солвмногообразия, соответствующие метрическим алгебрам Ли из списка теоремы 2.2.1 с номерами 1), 9), 10) при Ь = 1/л/22, 11), 12) при ..(в,4) = (0,0), 12) при (в,£) = (1,1), 13). Указанные эйнштейновы солвмногообразия изометричны следующим симметрическим пространствам соответственно (прямые произведения берутся с учетом равенства кривизны Риччи на всех сомножителях): 51/(3,1)/Б(1/(3) х С/(1)), 5О0(6,1)/50(6) (пространство постоянной отрицательной кривизны), 5£/(2,1)/5([/(2) х [/(1)) х 5О0(2,1)/50(2), 5О0(3,2)/5О(3) х 50(2), 5О0(3,1)/50(3) х 5О0(3,1)/5О(3), 5О0(2,1)/5О(2) х 5О0(4,1)/5С>(4), 5О0(2,1)/50(2) х 50о(2,1)/50(2) х 50о(2,1)/5С>(2). Первые два из перечисленных симметрических пространств (симметрические пространства ранга 1) имеют отрицательную секционную кривизну, остальные пространства имеют двумерные площадки с нулевой секционной кривизной.

Третья глава посвящена изучению семимерных эйнштейновых солв-многообразий.

В первом разделе третьей главы классифицируются нильпотентные метрические алгебры Ли размерности 5 над полем вещественных чисел К (Теорема 3.1.1).

Второй раздел посвящен исследованию эйнштейновых расширений пятимерных нильпотентных метрических алгебр Ли. При этом существенно используются найденные в разделе 1 главы 2 достаточные условия стандартности эйнштейновых расширений нильпотентных метрических алгебр

Ли. Особое значение имеет пятимерная нильпотентная вещественная алгебра Ли, заданная следующими нетривиальными коммутационными соотношениями:

п = {Х\,Х2, Хз, Х4, Х5}, [Х1, Х2] = Хз, , Х4] = Х$, [Хз, Х3] = Х5.

- (3.2.1)

Основным результатом данного раздела является следующая

Теорема 3.2.1 Пусть п - пятимерная вещественная нильпотентная алгебра Ли, не изоморфная алгебре Ли (3.2.1), ц <2 - некоторое скалярное произведение на п. Тогда любое эйнштейново расширение нилъпотентной метрической алгебры Ли (п, (£) является стандартным.

Из этой теоремы непосредственно получается

Следствие 3.2.1 Пусть (з, <3) - семимерная нестандартная разрешимая метрическая эйнштейнова алгебра Ли. Тогда 5 имеет производную алгебру [з.з], изоморфную алгебре Ли (3.2.1).

Третий раздел посвящен классификации семимерных однородных мно-. гообразий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны. При этом существенно используется классификация семимерных эйнштейновых солв-многообразий ранга 1, полученная С. Уилл в [33]. Основным результатом раздела является .

Теорема 3.3.1 Пусть (М,р) - семимерное связное однородное эйнштейново многообразие отрицательной секционной кривизны, тогда оно изомет-рично солвмногообразию отрицательной секционной кривизны, которое порождается одной из четырех ниже приведенных метрических алгебр Ли:

1) [ХиХъ] = Гу/1Х.и [А'ьХз] - гуДх5, [Х2,Х3] = г^Дх6, [У,Хг] =

. [У) Хи] = [У, Х>] = ^Х3, [У, Ха] — [У, Х5] =

[У,Х6] = • ■

2) {ХъХг) = т^1Хь, [ХиХ4] = [Х2,Х3] - ГуДх6, [У,Хг] =

[у>= ^¡МХ2> [у- *>] = [У, х4] = [У, х5] =

3) [ХиХ2] = ^Хв, [Х3,х4] = [У,Х1] = [У,Х2} = ^щХ2,

[У, Хз] = [У, ХА = ^Шх4> [у. хь] = [у, Х6] =

4) [У,^] = (1 < I < 6);

где г > 0 определяется условием Шс(р) = —г2р.

Отметим, что алгебры из пунктов 1)-3) не являются симметрическими, что легко следует из результатов Э. Хайнце (см. предложение 3 в [21]). Предпоследняя из приведенных алгебр найдена в работе [16] наряду с целым семейством метрических алгебр Ли отрицательной секционной кри-

ю

визны (см. подробности в [34]). Солвмногообразие, порождаемое последней алгеброй в формулировке теоремы, изометрично симметрическому пространству (пространству постоянной отрицательной секционной кривизны) 5О0(7,1)/£О(7)[2].

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Ю.Г. Ни-конорову за постоянное внимание и поддержку.

и

Литература

[1] Алексеевский Д. В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. Т. 39. № 2. С. 315-362.

[2] Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93-117.

[3] Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Структура однородных рима-новых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. № 2. С. 5-11.

[4] Бессе А. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

[5] Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., Винберг Э. Б. О классификации и канонической реализации ограниченных однородных областей // Тр. Моск. мат. общ. 1963. Т. 12. С. 359-388.

[6] Никоноров Ю. Г. Пятимерные эйнштейновы солвмногообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 343-367.

[7] Никоноров Ю. F., Родионов Е. Д., Славский В. В. Геометрия однородных римановых многообразий // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 162-189.

[8] Пятецкий-Швпиро И. И. О классификации ограниченных однородных областей в n-мерном комплексном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 316-319.

[9] Пятецкий-Шапиро И. И. Структура -алгебр // Изв. Акад. наук. Сер. мат. 1966. Т. 26. С. 453-484.

[10] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

[11] Alekseevsky D. V., Dotti I., Ferraris С. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Рас. J. Math. 1996. V. 175. P. 1-12.

[12] Böhm С. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // J. Diff. Geom. 2004. V. 67. P. 79-165.

[13] Böhm С., Kerr M. Low-dimensional homogeneous Einstein manifolds // Ttans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 358. N 4. P. 1455-1468.

[14] Böhm С., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds // GAFA. 2004. V. 14. P. 681-733.

Cortés V. Alekseevskian Spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129168.

Deloff E. Naturally reductive metrics and with volume preserving geodesic symmetries on NC-Algebras // New Brunswick: Thesis, Rutgers 1979.

Dotti Miatello I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Math. Zeit. 1982. V. 180. P. 257-263.

Gindikin S. G., Piatetskii-Shapiro I.I., Vinberg E. B. Homogeneous Káhler minifilds // In: Geom. homogen. bounded domains (C.I.M.E., 3 Ciclo, Urbino, 1967). Roma: Edizioni Cremoneze, 1968. P.3-87.

Gordon C. S., Kerr M. New homogeneous metrics of negative Ricci curvature // Ann. Global Anal. Geom. 2001. V. 19. P. 1-27.

Heber J. Noncompact homogeneous Einstein spaces // Invent. Math. 1998. V. 133. P. 279-352.

Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Math. Ann. 1974. V. 211. P. 23-34. .........

Jensen G. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Diff. Geom. 1969. V. 3. P. 309-349.

Kerr M. A deformation of quaternionic hyperbolic space // Trans. Amer. Math. Soc., 2006. V. 134, N 2, P. 559-569. • ,

Lanzendorf M.'' Einstein metrics with nonpositive sectional curvature on extensions of Lie algebras of Heisenberg type // Geom. Dedicata. 1997. V. 66. P. 187-202. ■ . .

Lauret J. Finding Einstein solvmanifolds by a variational method // Math, Z. 2002. V. 241. P. 83-99.

Leite M. L., Miatello I. D. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R), n > 3 // J. Diff. Geom.' 1982. V. 17. P. 635-641.

Nikonorov Yü. G. Compact homogeneous Einstein 7-manifolds // Geom. Dedicata. 2004. V. 109. P. 7-30.

Nikonorov Yu. G. Noncompact homogeneous Einstein 5-manifolds // Geom. Dedicata. 2005. V. 113. P. 107-143.

Nikonorov Yu. G., Rodionov Eu. D. Compact homogeneous Einstein 6-manifolds // Diff. Geom. and. its Appl. 2003. V. 19. P. 369-378.

Schueth D. On the "standard" condition for noncompact homogeneous Einstein spaces // Geom. Dedicata. 2004. V. 105. P. 77-83.

Tamaru H. A class of noncompact homogeneous Einstein manifolds //Diff. Geom. and its Appl. 2005. P. 119-127.

Wang M. Einstein metrics from symmetry and Bundle Constructions // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds. Lectures on geometry and topology, sponsored by Lehigh University's Journal of Differential Geometry. (Surv. Differ^ Geom., Suppl. J. Differ. Geom. V. 6). Cambridge: International Press, 1999. P. 287-325. . - ■

[33] Will С. Rank-one Einstein solvmanifolds of dimension 7 // Diff. Geom. Appl. 2003. V. 19. P. 307-318.

[34] Wolter Т. Я. Einstein Metrics on solvable groups // Math. Zeit. 1991. V. 206. P. 457-471.

Публикации автора

[35] Никитенко E.B. Классификация нильпотентных метрических алгебр Ли размерности 5 // Математическое образование на Алтае. Труды региональной научно-технической конференции. Барнаул: Изд-во АлтГТУ. 2003. С. 72-75.

[36] Никитенко Е.В. Классы изоморфизмов в множестве пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли // Математическое образование в регионах России: Тезисы межрегиональной конференции по математическому образованию в регионах России. - Барнаул: Изд-во БГПУ. 2004. С. 17-18.

[37] Никитенко Е.В. 6-мерные эйнштейновы разрешимые метрические алгебры Ли с 3-мерным нильрадикалом // Тезисы докладов VI научно-технической конференции студентов и аспирантов 13-14 мая 2004 г./ Рубцовский индустриальный институт. - Рубцовск: РИО. 2004. С. 23-24.

[38] Никитенко Е.В. Пятимерные нильпотентные метрические алгебры Ли // Вестник БГПУ. 2004. Ш 4. С. 29-41.

[39] Никитенко Е.В. Классификация семимерных связных однородных эйнштейновых многообразий отрицательной секционной кривизны // Тезисы докладов VII межрегиональной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, 28-29 апреля 2005 г./ Рубцовский индустриальный институт. - Рубцовск: РИО, 2005. С. 21-22.

[40] Никитенко Е.В. О стандартности эйнштейновых расширений пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли // Математическое образование на Алтае. Труды региональной научно-методической конференции. Барнаул, изд-во АлтГТУ. 2005. С. 67-79.

[41] Никитенко Е.В. О нестандартных эйнштейновых расширениях пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли //. Сибирские Электронные Математические Известия. 2006. Т. 3. С. 115-136.

[42] Никитенко Е.В. Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны // Математические труды. 2006. Т. 9. № 1. С. 101-116. .

[43] Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Стандартные эйнштейновы 6-мерные разрешимые метрические алгебры Ли с некоммутативным 4-мерным

■ нильрадикалом // Материалы шестой краевой конференции по математике "МАК-2003". - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. 2003. С. 8-9.

[44] Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Новые примеры шестимерных солв-многообразий Эйнштейна // Тезисы докладов 5-ой международной конференции по геометрии и топологии, Черкассы: Изд-во ЧИТИ. 2003. С. 27-28.

[45] Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Стандартные эйнштейновы 6-мерные разрешимые метрические алгебры Ли с некоммутативным 4-мерным нильрадикалом // Вестник БГПУ: Естественные и точные науки. Выпуск 3. 2003. С. 9-18.

[46] Nikitenko E.V., Nikonorov Yu.G. Einstein 6-dimentional solvmanifolds // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика РАН Ю. Г. Решетника (Новосибирск, 23 августа - 2 сентября 2004 г.): Тез. докл. - Новосибирск, 2004. - С. 189190.

[47] Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Шестимерные эйнштейновы солвмно-гообразия // Математические труды. 2005. Т. 8. № 1. С. 71-121.

[48] Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. О шестимерных эйнштейновых солв-многообразиях // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 601-604.

Подписано к печати 26.04.06 Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Зак. 06-485. Per. № 31

РИО Рубцовского индустриального института. 658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Эйнштейновы солвмногообразия и метрические алгебры Ли

1.2 Структура шестимерных разрешимых метрических алгебр Ли

2 Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия

2.1 Достаточные условия стандартности эйнштейновых солвмногообразий. i 2.2 Классификация шестимерных эйнштейновых солвмногообра

2.3 Шестимерные однородные эйнштейновы многообразия неположительной секционной кривизны.

3 Семимерные эйнштейновы солвмногообразия

3.1 Классификация пятимерных нильпотентных метрических алгебр Ли. t 3.2 Нестандартные эйнштейновы солвмногообразия.

3.3 Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны.

Данная диссертация посвящена исследованию односвязных римановых солвмногообразий с метрикой Эйнштейна. Такие солвмногообразия образуют важный класс некомпактных однородных эйнштейновых многообразий, т. е. многообразий (М, р), для которых кривизна Риччи в каждой точке связана соотношением Ric(p) — С • р с римановой метрикой р для некоторой константы С. Для неплоских некомпактных однородных эйнштейновых многообразий константа С обязана быть отрицательной.

Энциклопедическим изданием по вопросам, связанным с эйнштейновыми многообразиями, является книга А. Бессе [5]. О более свежих результатах можно узнать из обзоров [17, 46]. Хорошо известно, что все многообразия Эйнштейна в размерностях 2 и 3 изометричны пространствам постоянной кривизны. Г. Йенсен в работе [33] показал, что каждое четырехмерное однородное односвязное многообразие Эйнштейна изометрично симметрическому пространству. Классификация пятимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в [21]. Частичная классификация шестимерных компактных однородных эйнштейновых многообразий получена в работе [43]. В работе [41] дана полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна размерности 7. К. Боем и М. Керр в работе [24] классифицировали все компактные односвязные однородные пространства размерности < 12 и доказали, что все такие пространства в размерности < 11 допускают инвариантную метрику Эйнштейна. Сильные структурные результаты и теоремы существования для инвариантных эйнштейновых метрик получены в работах [23, 25].

В некомпактном случае структура однородных эйнштейновых многообразий изучена менее обстоятельно. Некомпактные однородные многообразия Эйнштейна размерности 5 классифицированы в работе [42]. В размерности 6 и выше классификация однородных некомпактных эйнштейновых многообразий в настоящее время не известна. В тоже время, известно много примеров некомпактных эйнштейновых многообразий в разных размерностях. Заметим, что все известные на сегодняшний день некомпактные однородные многообразия Эйнштейна изометричны эйнштейновым солв-многообразиям. Существенным продвижением на пути к классификации однородных эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи могло бы стать доказательство гипотезы Д. В. Алексеевского [1], утверждающей, что для произвольного некомпактного однородного многообразия Эйнштейна М = G/H отрицательной кривизны Риччи, группа изотропии Н является максимальной компактной подгруппой группы G. В случае истинности приведенной гипотезы существует разрешимая подгруппа G группы G, действующая на М просто транзитивно. Таким образом, задача классификации в этом случае сведется к классификации эйнштейновых солвмногообразий.

Д. В. Алексеевский в [2] получил классификацию однородных многообразий Эйнштейна неположительной секционной кривизны в размерности < 5. Отметим, что в процитированной работе Д. В. Алексеевский нашел также все стандартные пятимерные эйнштейновы солвмногообразия. Полная классификация пятимерных эйнштейновых солвмногообразий получена Ю. Г. Никоноровым в [16]. Частичные классификации эйнштейновых многообразий отрицательной кривизны Риччи получены многими авторами. Э. Картаном (см. [20]) классифицированы симметрические пространства некомпактного типа. И. И. Пятецкий-Шапиро, С. Г. Гиндикин, Э. Б. Винберг [18, 19, 10, 29] создали структурную теорию ограниченных однородных областей, которые моделируются на вполне разрешимых нормальных j-алгебрах. Д. В. Алексеевский [1] и В. Кортес [26] классифицировали кватернионно-кэлеровы многообразия, моделируемые на вполне разрешимых группах Ли. Отметим, что многочисленные примеры солвмного-образий Эйнштейна отрицательной секционной кривизны были построены также в работах [27, 35, 48].

Произвольное солвмногообразие (S, р) определяет скалярное произведение Q на алгебре Ли 5 группы <5, и наоборот, каждое скалярное произведение Q на з индуцирует левоинвариантную метрику р на группе S. Метрическая разрешимая алгебра Ли, соответствующая эйнштейнову солвмно-гообразию, также называется эйнштейновой. Исследование свойств кривизны солвмногообразий удобно проводить в терминах соответствующих разрешимых метрических алгебр Ли.

Метрическая разрешимая алгебра Ли (s, Q) называется стандартной, если ортогональное дополнение а к [5, л] относительно Q является абелевой подалгеброй алгебры з. Отметим, что все известные примеры эйнштейновых солвмногообразий именно стандартны. Детальному исследованию стандартных эйнштейновых солвмногообразий посвящена работа Й. Хебе-ра [31], в которой получен ряд фундаментальных результатов, а также приведена обширная библиография по обсуждаемой тематике. Из более поздних работ можно выделить статьи [30, 34, 45], в которых строятся новые примеры эйнштейновых солвмногообразий, а также работы [38, 47], в которых классифицируются эйнштейновы солвмногообразия ранга 1 в размерности 6 и 7 соответственно.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов. Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая из которых обозначает номер главы, вторая — номер раздела, третья — номер утверждения данного типа. Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация.

1. Алексеевский Д. В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. Т. 39, № 2. С. 315-362.

2. Алексеевский Д. В. Однородные римановы пространства отрицательной кривизны // Матем. сб. 1975. Т. 96. С. 93-117.

3. Алексеевский Д. В. Сопряженность полярных разложений групп Ли // Матем. сб. 1971. Т. 84. С. 14-26.

4. Алексеевский Д. В., Кимельфельд Б. Н. Структура однородных ри-мановых пространств с нулевой кривизной Риччи // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. № 2. С. 5-11.

5. Бессе А. Л. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1978.

7. Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г. Кэлеровы многообразия, допускающие транзитивную разрешимую группу автоморфизмов // Матем. сб. 1967. Т. 74. С. 357-377.

8. Винберг Э. БГорбацевич В. В., Онищик А. Л. Строение групп и алгебр Ли. (Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т. 41.) М.: ВИНИТИ, 1990.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.юз

10. Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., Винберг Э. Б. О классификации и канонической реализации ограниченных однородных областей // Тр. Моск. мат. общ. 1963. Т. 12. С. 359-388.

11. Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли 6-го порядка // Изв. вузов. Мат. 1958. N. 4. С. 161-174.

12. Никитенко Е.В. О нестандартных эйнштейновых расширениях пятимерных метрических нильпотентных алгебр Ли // Сибирские Электронные Математические Известия. 2006. Т. 3. С. 115-136.

13. Никитенко Е.В. Семимерные однородные эйнштейновы многообразия отрицательной секционной кривизны // Математические труды. 2006. Т. 9. № 1. С. 1-16.

14. Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. О шестимерных эйнштейновых солв-многообразиях // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 601-604.

15. Никитенко Е.В., Никоноров Ю.Г. Шестимерные эйнштейновы солвмногообразия // Математические труды. 2005. Т. 8. № 1. С. 71-121.

16. Никоноров ДО. Г. Пятимерные эйнштейновы солвмногообразия // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 343-367.

17. Никоноров ДО. Г., Родионов Е. Д., Славский В. В. Геометрия однородных римановых многообразий // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. 2003. С. 162-189.

18. Пятецкий-Шапиро И. И. О классификации ограниченных однородных областей в n-мерном комплексном пространстве // Докл. АН СССР. 1961. Т. 141. С. 316-319.

19. Пятецкий-Шапиро И. И. Структура J-алгебр // Изв. Акад. наук. Сер. мат. 1966. Т. 26. С. 453-484.

20. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

21. Alekseevsky D. V., Dotti I., Ferraris С. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Рас. J. Math. 1996. V. 175. P. 1-12.

22. Boggino J. Generalized Heisenberg groups and solvmanifolds naturally associated // Rend. Semin. Mat. Torino. 1985. V. 43. P. 529-547.

23. Bohm C. Homogeneous Einstein metrics and simplicial complexes // J. Diff. Geom. 2004. V. 67. P. 79-165.

24. Bohm C., Kerr M. Low-dimensional homogeneous Einstein manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 358. N 4. P. 1455-1468.

25. Bohm C., Wang M., Ziller W. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds // GAFA. 2004. V. 14. P. 681-733.

26. Cortes V. Alekseevskian Spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129168.

27. Deloff E. Naturally reductive metrics and with volume preserving geodesic symmetries on NC-Algebras // New Brunswick: Thesis, Rutgers 1979.

28. Dotti Miatello I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups // Math. Zeit. 1982. V. 180. P. 257-263.

29. Gindikin S. G., Piatetskii-Shapiro I. I., Vinberg E. B. Homogeneous Kahler minifilds // In: Geom. homogen. bounded domains (C.I.M.E.,. 3 Ciclo, Urbino, 1967). Roma: Edizioni Cremoneze. 1968. P. 3-87.

30. Gordon C. S., Kerr M. New homogeneous metrics of negative Ricci curvature // Ann. Global Anal. Geom. 2001. V. 19. P. 1-27.

31. Heber J. Noncompact homogeneous Einstein spaces // Invent. Math. 1998. V. 133. P. 279-352.

32. Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Math. Ann. 1974. V. 211. P. 23-34.

33. Jensen G. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Diff. Geom. 1969. V. 3. P. 309-349.

34. Kerr M. A deformation of quaternionic hyperbolic space // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. N 2. P. 559-569.

35. Lanzendorf M. Einstein metrics with nonpositive sectional curvature on extensions of Lie algebras of Heisenberg type // Geom. Dedicata. 1997. V. 66. P. 187-202.

36. Lauret J. Ricci soliton homogeneous nilmanifolds // Math. Ann. 2001. V. 319. P. 715-733.

37. Lauret J. Standart Einstein solvmanifolds as critical points // Quart. J. Math. 2001. V. 52. P. 463-470.

38. Lauret J. Finding Einstein solvmanifolds by a variational method // Math. Z. 2002. V. 241. P. 83-99.

39. Leite M. L., Miatello I. D. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R),n> 3 // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 635-641.

40. Nakajima K. On J-algebras and homogeneous Kahler manifolds // Hokkaido Math. J. 1986. V. 15. P. 1-20.

41. Nikonorov Yu. G. Compact homogeneous Einstein 7-manifolds // Geom. Dedicata. 2004. V. 109. P. 7-30.

42. Nikonorov Yu. G. Noncompact homogeneous Einstein 5-manifolds // Geom. Dedicata. 2005. V. 113. P. 107-143.

43. Nikonorov Yu. G., Rodionov Eu. D. Compact homogeneous Einstein 6-manifolds // Diff. Geom. and its Appl. 2003. V. 19. P. 369-378.

44. Schueth D. On the "standard" condition for noncompact homogeneous Einstein spaces // Geom. Dedicata. 2004. V. 105. P. 77-83.

45. Tamaru H. A class of noncompact homogeneous Einstein manifolds //Diff. Geom. and its Appl. 2005. P. 119-127.

46. Will C. Rank-one Einstein solvmanifolds of dimension 7 // Diff. Geom. Appl. 2003. V. 19. P. 307-318.

47. Wolter Т. H. Einstein Metrics on solvable groups // Math. Zeit. 1991. V. 206. P. 457-471.